2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题好拿分【提升版】
一、解答题
1．如图,直线与圆 且与椭圆相交于两点.
(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长
(2)设直线的斜率分别为,判断是否为定值,并说明理由
(3)求，面积的最小值.
2．已知（），定义.
（1）求函数的极值
（2）若，且存在使，求实数的取值范围；
（3）若，试讨论函数（）的零点个数.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆S过定点，且与定圆Q：相切，记动圆圆心S的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点M，N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；如果不是定值，说明理由；
（3）在（2）条件下，求四边形AMBN面积的取值范围．
4．某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。
（1）已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
（2）从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1 (ab0)，AC与BD的斜率之积为－，求椭圆的离心率。
5．（13分）如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、、的斜率分别为、、．问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
6．（1）已知椭圆方程为，点．
i．若关于原点对称的两点记直线的斜率分别为，试计算的值；
ii．若关于原点对称的两点记直线的斜率分别为，试计算的值；
（2）根据上题结论探究：若是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在，并分别记为，试猜想的值，并加以证明．
7．已知定义在上的函数是偶函数．
（1）求实数的值；并判断在上的单调性；(不必证明)
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
8．已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ， ）.
9．已知函数（）.
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）当时，方程有实根，求实数的最大值.
10．已知函数，（ ， ）.
（1）若， ，求函数的单调增区间；
（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当， 时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证： .
11．已知函数，（ ）
（1）若，求曲线在处的切线方程.
（2）对任意，总存在，使得（其中为的导数）成立，求实数的取值范围.
12．已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．
（1）求圆的方程；
（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．
13．已知函数当时有极值，且在处的切线的斜率为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
14．设函数是定义域为的奇函数．
（1）求值；
（2）若，试判断函数单调性,并求使不等式恒成立时 的取值范围；
（3）若， 且在上的最小值为，求实数的值．
15．已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）证明： 是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在（0，+∞）上恒成立，求实数的取值范围.
16．如图，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的任意一点，若椭圆的离心率为，且右准线的方程为
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交于点，以为直径的圆交直线于点，试证明：直线与轴的交点为定点，并求出点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
18．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率，为椭圆的左右焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆的圆心在轴上方，且圆经过椭圆两焦点．点为椭圆上的一动点，与圆相切于点．
①当时，求直线的方程；
②当取得最大值为时，求圆方程．
20．在平面直角坐标系中，已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，求四边形的面积．
（3）设直线与圆相交于两点，，且的面积为，求直线的方程．
1．已知命题（其中）.
（1）若，命题“且”为真，求实数的取值范围；
（2）已知是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
2．设命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R;命题q:方程表示椭圆
(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题"p或q”为真命题,求实数a的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ） 解不等式求解（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集即得解.
试题解析：
（1）命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为R转化为ax2-x+在R上恒成立（ⅰ）；ⅱ）；所以. 21世纪教育网
（2）由（1）知 为真即求p真q真的并集，所以
3．设命题p：已知点，直线与线段AB相交；命题q：函数的定义域为R。如果命题p、命题q有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围。
【答案】
4．已知四棱锥中，四边形是菱形， ，又平面,
点是棱的中点， 在棱上，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
（2）连接交于，连接，则平面平面，
∵平面
∴，
∵底面是菱形，且点是棱的中点
∴,21世纪教育网
∴,
∴，
∵梯形的面积，
∴.21世纪教育网
5．如图，在三棱锥中， 平面， ， 为侧棱的中点，它的正视图和俯视图如图所示.
(1)求证： 平面；
(2)求三棱锥的体积；
【答案】（1）见解析; (2) .
(2) 由三视图可得，由（1）知， 平面，
又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
所以，所求三棱锥的体积.
6．一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x＋y＋1＝0上,反射后穿过点Q(1,1).
(1)求入射光线的方程;
(2)求这条光线从P到Q的长度.
【答案】(1) 5x－4y＋2＝0. (2)
解得l与QQ′的交点M的坐标为.
又∵M为QQ′的中点,
由此得解得
∴Q′(－2,－2).
设入射光线与l交点为N,则P、N、Q′共线.
又P(2,3),Q′(－2,－2),得入射光线的方程为,
即5x－4y＋2＝0.
(2)∵l是QQ′的垂直平分线,从而|NQ|＝|NQ′|,
∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝,
即这条光线从P到Q的长度是.
点睛：在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程
（1）两点的中点在对称直线上；21世纪教育网
（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.
7．在平面直角坐标系中，点，直线： 与直线： 的交点为圆的圆心，设圆的半径为1．
（1）过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）过点作斜率为的直线交圆于， 两点，求弦的长．
【答案】(1) 切线为或;(2)
解得， ，故切线为或．
（2）直线： ，则圆心到直线的距离为，
则弦长．21世纪教育网
8．已知点为圆的圆心， 是圆上动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹教育不同的两点 是坐标原点，且时，求的取值范围.
【答案】（1）（2）或
（2）设直线
直线与圆相切
联立
21世纪教育网
所以或为所求.
9．如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC
(1)求三棱锥D-ABC的体积
(2)求证:平面DAC⊥平面DEF;
(3)若M为DB中点,N在棱AC上,且CN=CA,求证:MN∥平面DEF
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
所以再线面垂直的判定得，从而。又根据题意得到,从而，根据面面垂直的判定可得平面DAC⊥平面DEF。（3）连交于点则得又从而有根据线面平行的判定定理可得MN∥平面DEF。21世纪教育网
试题解析：
（1）因为
所以是点到平面的距离，
所以
（3）连交于点则得
又因为
所以在面
又
所以
点睛：高考中对空间中线面位置关系的考查主要体现在证明垂直、平行上，难度中等，主要考查线面平行（垂直）间的相互转化以及条件的寻求，解题时要结合图形探索解题的思路和方法，注意添加适当的辅助线借以完成题目的求解，同时对解题过程的表达上要规范、完整，解题步骤到书写到位. 21世纪教育网
10．如图，三棱柱中，底面为正三角形， 底面，且， 是的中点.
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
由题意知,在三棱柱中,平面,
∴四边形为矩形,21世纪教育网
∴点为的中点.
∵ 为的中点,
∴.
∵ 平面,平面.
∴ 平面.
（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.
设。
11．已知：三棱锥中，侧面垂直底面， 是底面最长的边；图1是三棱锥的三视图，其中的侧视图和俯视图均为直角三角形；图2是用斜二测画法画出的三棱锥的直观图的一部分，其中点在平面内．
（Ⅰ）请在图2中将三棱锥的直观图补充完整，并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；
（Ⅱ）设二面角的大小为，求的值；
（Ⅲ）求点到面的距离．
【答案】（1）见解析（2）（3）
（Ⅱ）如图，过作交于点.
由三视图知， ， ，
∴在图中所示的坐标系下，相关点的坐标为： ， ， ， ，
则， ，21世纪教育网
， .
设平面、平面的法向量分别为, ．
由， ，得
令， 得， ，即．
由， ，得，
令， 得， ，即．
，
,则．
12．（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别为、， 是双曲线右支上一点，且，求双曲线的标准方程.
【答案】(1) ;(2) .
（Ⅱ）由双曲线定义及可知，
所以，
又因为是双曲线上的点，
所以，
解得，21世纪教育网
所以双曲线的标准方程为.
13．在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足，直线，且与交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2），或.
（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点.
因为，所以与的斜率相同，
故的斜率.21世纪教育网
设的方程为.
由消去并化简得，
设， .
因为，所以.
21世纪教育网
.
所以.
此时，
故所求直线的方程为，或.
14．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知过原点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】(1）（2）(4,0)
∴.
∴
解得.
∴抛物线的方程为： .
（2）由（1）直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，
联立，得，
则①.
设，则.
所以或（舍）,
所以直线DE过定点（4,0）.
15．如图,已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点,过作准线的垂线,垂足为为原点.
(1)求证: 三点共线；
(2)求的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（2）因为
所以，
所以，
所以
16．已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（1）方程为.焦点坐标为（，0），准线方程为.（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.
试题解析：（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21世纪教育网
17．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别为线段的中点，原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
即把式代入得,得得，且当时同样适合题意，所以， 的取值范围为
18．已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交曲线于， 两点，若，当时，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：
（1）由题意得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，
∴ 动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，
设其方程为,
由条件得.
∴ 曲线的标准方程为；
（2）由题意设直线的方程为y=kx+1，
由消去y整理得，
∵ 直线与抛物线相交，
∴，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∵，即，
∴，
∴，
由可得
，
即，
19．已知圆过两点， ，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ） ；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.
（II）设直线的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，
则d=
由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0
∴k＜0或k＞
又因为k＞0
∴k的取值范围是（，+∞）
（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0
∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2
∵k=2＞
故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.
20．已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）定点为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线,
联立，得，
∴.21世纪教育网
假设轴上存在定点，使得为定值，
∴
