2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题易丢分
1.已知，且，设命题p：函数在上单调递减；命题q：函数 在上为增函数，
（1）若“p且q”为真，求实数c的取值范围
（2）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
2．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集， ： ， ： .
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
3.已知，向量，向量，集合．
（1）判断“”是“”的什么条件；
（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为2，则．判断，，
的真假，并说明理由．
4．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明： 平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
5．如图所示，直三棱柱中， ， ， 为棱的中点.
（Ⅰ）探究直线与平面的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
6．如图，在三棱锥中， ， 底面， ，且.
（1）若为上一点，且，证明:平面平面.
（2）若为棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.
7．如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．
（I）求证： ．
（II）若， 分别是， 的中点，求证： ∥平面．
（III）若二面角的大小为，求线段的长
8．如图，直三棱柱 中， , , 是棱上的动点.
证明： ；
若平面分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点的位置，并求二面角的大小.
9．已知坐标平面上点与两个定点， 的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为 8，求直线的方程.
10．已知圆的圆心在直线上，且与另一条直线相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
11．已知与曲线相切的直线，与轴， 轴交于两点， 为原点， ， ，（ ）.
（1）求证:： 与相切的条件是： .
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求三角形面积的最小值.
12．已知动圆：与圆：交于 、两点，且这两点平分圆的圆周．
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）求圆半径最小时的方程．
13．已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点， 分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
14．已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
15．已知圆： 过圆上任意一点向轴引垂线垂足为（点、可重合），点为的中点.
（1）求的轨迹方程；
（2）若点的轨迹方程为曲线，不过原点的直线与曲线交于、两点，满足直线， ， 的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.
16．设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.
17．已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过三点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在直线上任取一点,连接,分别与椭圆交于两点,判断直线是否过定点?若是,求出该定点.若不是,请说明理由.
18．已知椭圆的短轴端点和焦点组成的四边形为正方形，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点都在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值．
19．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）记的斜率分别为，试问： 的值是否随直线位置的变化而变化？证明你的结论.
20．已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1.已知，且，设命题p：函数在上单调递减；命题q：函数 在上为增函数，
（1）若“p且q”为真，求实数c的取值范围
（2）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
【答案】（1）；（2）
（2）∵c>0且c≠1，∴ p: c>1, q： 且c≠1.
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．
当p真，q假时，{c|0当p假，q真时，{c|c>1}∩{c|0综上所述，实数c的取值范围是{c| 2．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集， ： ， ： .
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
（2）易得： ： 或，
∵是的充分不必要条件，
∴是的真子集
则，解得：
∴的取值范围为：
点睛：本题考查了函数定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对区间端点值的比较，是中档题．学&科网
3.已知，向量，向量，集合．
（1）判断“”是“”的什么条件；
（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为2，则．判断，，
的真假，并说明理由．
【答案】
（1）充分不必要条件.（2）为真命题为假命题为真命题.
4．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明： 平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .学&科网
【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，通过勾股定理计算可知，由三线合一得出平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出是（Ⅱ）侧棱底面, 面
由（Ⅱ）知： 平面,是三棱锥到平面的距离
分别是的中点, ， ,
四边形是边长为的正方形， 是的中点
三角形是等边三角形
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5．如图所示，直三棱柱中， ， ， 为棱的中点.
（Ⅰ）探究直线与平面的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.
因为平面， 平面，所以平面.
（Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面.
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，学&科网
所以.因为，
所以，
故三棱锥的体积为.学&科网
6．如图，在三棱锥中， ， 底面， ，且.
（1）若为上一点，且，证明:平面平面.
（2）若为棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
7．如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．
（I）求证： ．
（II）若， 分别是， 的中点，求证： ∥平面．
（III）若二面角的大小为，求线段的长
【答案】（I）见解析（II）见解析（III）
（II）连接交于点．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点．
又∵， 分别是， 的中点，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又平面， 面，
∴平面．学&科网
（III）∵，且平面，
∴， ， 两两垂直。学&科网
以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
设，则， ， ， ，
8．如图，直三棱柱 中， , , 是棱上的动点.
证明： ；
若平面分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点的位置，并求二面角的大小.
【答案】（1）见解析（2）30°学&科网
(II) ,
依题意,
为中点；
（法1）取的中点,过点作于点，连接
,面面面
,得点与点重合，且是二面角的平面角.
设，则,得二面角的大小为30°.
（法2）以为空间坐标原点， 为轴正向、为轴正向、为轴正向，建立空间直角坐标系，设的长为 1，则.
作中点，连结，则，从而平面，平面的一个法向量学&科网
设平面的一个法向量为，则
，令，得，
故二面角为30°. 学&科网
点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
9．已知坐标平面上点与两个定点， 的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为 8，求直线的方程.
【答案】（1）（2），或．
10．已知圆的圆心在直线上，且与另一条直线相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1) 圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2;(2) （x﹣3）2+（y﹣1）2=.
【解析】试题分析：（1）由题意可知所求圆的圆心在经过点，且与直线垂直的直线上，又所求圆的圆心在直线上，解方程组求出圆心，求出半径，即的长，可得圆的方程； （2）设，则有代入圆 即可得到线段的中点的轨迹方程.学&科网
试题解析：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
根据题意得：，
解得：，
则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=；学&科网
（2）设M（x，y），B（x0，y0），则有代入圆C方程得：（2x﹣5）2+（2y﹣4）2=8，化简得（x﹣3）2+（y﹣1）2=
11．已知与曲线相切的直线，与轴， 轴交于两点， 为原点， ， ，（ ）.
（1）求证:： 与相切的条件是： .
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求三角形面积的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
即，
．
(2)线段AB中点为
∴（）
(3) ，
，
解得， ，
，
最小面积．
点睛：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆位置关系的判断，点到直线的距离公式的用法，解题的关键是对等式进行灵活变换，利用基本不等式求函数的最值.
12．已知动圆：与圆：交于 、两点，且这两点平分圆的圆周．
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）求圆半径最小时的方程．
【答案】（1）；（2）.
∵，
∴（*）
故动圆圆心的轨迹方程为．
（2）由（*）式，知，
于是有，
而圆半径，
∴当时，，，
所求圆的方程为．
13．已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点， 分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
∴.
∴椭圆的方程为.
点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
14．已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2) 为定值，该定值为0
（2），下面给出证明：设， ，
将代入并整理得，
，解得，且
故， ，
则，
分子=
，
故为定值，该定值为0.
15．已知圆： 过圆上任意一点向轴引垂线垂足为（点、可重合），点为的中点.
（1）求的轨迹方程；
（2）若点的轨迹方程为曲线，不过原点的直线与曲线交于、两点，满足直线， ， 的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）面积的取值范围为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为（），， ，
由消去得
则 ，且， .
故
因为直线， ， 的斜率依次成等比数列，
即，又，所以，即.
由于直线， 的斜率存在，且，得且，设为到直线的距离， ，
则，所以面积的取值范围为.
点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
16．设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
即： ， ，
解得： ，或.
∴
∴ .
而抛物线在点处切线斜率： ，
是抛物线的切线， ∴，
整理得，
∴，解得 (舍去)，或，∴.
17．已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过三点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在直线上任取一点,连接,分别与椭圆交于两点,判断直线是否过定点?若是,求出该定点.若不是,请说明理由.
【答案】（1）；（2）
（2）直线，直线，联立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，
当时， ， ，所以三点共线；
当时， ， 三点共线；
综上， 三点共线也就是过定点.
点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中，如果已知动直线过定点且与圆锥曲线有另一个交点，那么通过韦达定理可以求出另一个交点的坐标并用斜率表示它，从而考虑与该点相关的一些定点定值问题.另外，我们用先猜后证的策略考虑定点定值问题，因此这样可以使得代数式变形化简的目标更明确.
18．已知椭圆的短轴端点和焦点组成的四边形为正方形，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点都在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值．
【答案】(1) ;(2)见解析.
试题解析：
（1）由题意， ，又，解得， ，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，设， ，
联立得，
，
， ，
∵，∴，∴ ，
，
∴，∴，∴，
设原点到直线的距离为，则
，
∴，即四边形的面积为定值．
19．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）记的斜率分别为，试问： 的值是否随直线位置的变化而变化？证明你的结论.
【答案】（1）；（2）的值不随直线的变化而变化，证明见解析.
试题解析：
（1）∵且直线斜率存在，∴可设，
代入得： ，令，
设，∴，
∴
，
∵，∴，
∴
（2）∵，∴
，
∴的值不随直线的变化而变化.
点睛：本题主要考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，其中解答中涉及到直线与圆锥曲线的弦长公式，以及二元一次方程中根与系数的关系等关系的应用，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想，试题综合性强，属于中档试题，解答中把直线与圆锥曲线问题转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.
20．已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）时， ， 的长为定值．
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，
设 ，则， ，①
由得： ，
整理得，②
将①代入②解得，∴直线，
∵圆心到直线l的距离，∴，
显然当时， ， 的长为定值．
点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.
