22.3 实际问题与二次函数(2)学案（附答案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
22.3实际问题与一元二次方程(2)
知识梳理
1.二次函数应用题类型及解题步骤
（1）二次函数的应用类型：
①用二次函数表示实际问题中 之间的关系；
②用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质是求函数的 和 .
（2）二次函数的应用解题步骤：
①找：找出问题中的 之间的关系；
②表：用 表示它们之间的关系；
③解：利用 解题；
④验：检验结果的 .
2.利用二次函数解决销售实际问题：用二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立 解析式，然后利用 或自变量在实际问题中的 解决利润最大问题．21教育网
重点突破
知识点 利用二次函数解决利润最大问题
1.某种商品每件进价为20元，调查表明：在 ( http: / / www.21cnjy.com )某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为________元．
【解析】本题主要考查利用二次函数的最值或自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.www.21-cn-jy.com
∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25，
故答案是25.
【答案】25
2.某公司生产的一种健身产 ( http: / / www.21cnjy.com )品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：2-1-c-n-j-y
若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：
（1） 用x的代数式表示t为：t＝ ；当0＜x≤4时， y2与x的函数关系为y2＝ ；当≤x＜ 时，y2＝100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；21cnjy.com
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
【解析】本题主要考查利用二次函数解决最 ( http: / / www.21cnjy.com )大利润问题.（1）根据“每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件”，知x＋t＝6，据此易解第（1）问．
（2）w等于国内销售总利润与国外销售总利润的和，即w＝y1x＋y2(6－x)．根据第（1）问可得，结合，可知w与x之间属于分段函数关系，自变量x的取值范围分别是0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x≤6．然后将不同取值范围下的解析式代入w＝y1x＋y2(6－x)中得解．21·世纪*教育网
（3）对（2）中w与x之间的各段二次函数关系配方，得出各最大值情况，再把它们进行对比，获得最后的最大值．
【答案】解：（1）t＝6－x；当0＜x≤4时，y2＝－5(6－x)＋110＝5x＋80．当4≤x＜6时，y2＝100．
（2）当0＜x≤2时，w＝(15x＋90)x＋(5x＋80)(6－x)＝10x2＋40x＋480；
当2＜x≤4时，w＝(－5x＋130)x＋(5x＋80)(6－x)＝－10x2＋80x＋480；
当4＜x＜6时，w＝(－5x＋130)x＋100(6－x)＝－5x2＋30x＋600；
（3）当0＜x≤2时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋440．此时x＝2时，w最大＝600．
当2＜x≤4时，w＝－10x2＋80x＋480＝－10(x－4)2＋640．x＝4时，w最大＝640．
当4＜x＜6时，w＝－5x2＋30x＋600＝－5(x－3)2＋645．4＜x＜6时，w＜640．
∴x＝4时，w最大＝640．
国内4千件，国外2千件，最大利润为64万元．
基础过关
1.某商店经营皮鞋，已知所获利润为y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=－x2+24x+295，则获利最多为( )．
A．3144 B．3100 C．144 D．2956
2.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系
y=－x2+5－500，则要想获得最大利润每天必须卖出( )．
A．25件 B．20件 C．30件 D．40件
3.某商品的单件售价为a元，经过二次降价，每次降价x%，则两次降价后的售价为( )元．
A．a(1－x%)2 B．a(1+x%)2 C．a－(x%)2 D．(1－x%)2
4.某物体从上午7时至下午4时的温 ( http: / / www.21cnjy.com )度M( ℃)是时间t(h)的函数：M=t3－5t+100(其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度为 ℃．
5.人民币一年定期的年利率为x，一 ( http: / / www.21cnjy.com )年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是a元，则两年后的本息和y(元)的表达式为 (不考虑利息税)．
6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出2 ( http: / / www.21cnjy.com )0件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．则商场降价后每天盈利y(元)与降价x(元)的函数关系式为 ．【版权所有：21教育】
7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
8.某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示。
（1）试求出y与x的之间的一个函数关系式；
（2）利用（1）的结论：
①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润。
②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？21世纪教育网版权所有
能力拓展
1.某商场要经营一种新上市 ( http: / / www.21cnjy.com )的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
2.我区某镇地里环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－(x－30)2＋10万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修筑一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q＝－(50－x)2＋(50－x)＋308万元．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．
3.天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成 ，约定这批粽子的出厂价为每只4元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系．
（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？
（2）如图，设第x天每只 ( http: / / www.21cnjy.com )粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
( http: / / www.21cnjy.com )
4.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与每天销量的相关信息如下表：21·cn·jy·com
时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40 90
每天销量(件) 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
参考答案
知识梳理
1.（1）变量；最大值，最小值.
（2）变量与常量；二次函数解析式；二次函数的图象及性质；合理性.
2.二次函数，二次函数的最值，取值．
基础过关
1.B
2.A
3.A
4.102
5. y=a(x2+2x+1)
6.y=－2x2＋60x＋800
7.解：设旅行团的人数为x，利润为y元，由题意得：
利润={800-[10（x-30）]}x
=x（1100-10x）
=-10x2+1100x
=-10（x2-110x）
=-10[（x-55）2-3025]
=-10（x-55）2+30250，
∴当x=55时，利润最大，达到30250元．
答：当一个旅行团的人数为55时，旅行社可以获得的利润最大．
8.解：（1）设y关于x的函数关系式是：，把点（37，38）、（39，34），代入关系式，，解得∴y=-2x+112．把点（40，32）代入y=-2x+112中，仍然成立，所以y与x的之间的函数关系式是y=-2x+112．2·1·c·n·j·y
（2）①设利润为z，则，即= -2(x-38)2+648，当x=38时，利润最大，且最大利润为：元．www-2-1-cnjy-com
②由题意可知，售价越低，销量越大，所以尽可能多进货，设一次进货mkg，，解得：m≤1300.故一次最多进货1300kg.
【出处：21教育名师】
能力拓展
1.解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，
则w=（x﹣20）（﹣10x+500）
=﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w最大=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x=30时，w有最大值，
此时wA=2000；
B方案中：
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，
∴当x=35时，w有最大值，
此时wB=1250，
∵wA＞wB，
∴A方案利润更高．
2.解：(1)若不开发此产品，按原来投资方式P＝－×(x－30)2＋10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年可获最大利润10万元．则10年的最大利润为M1＝10×10＝100万元．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)若对该产品开发，在前五年中，每年最多可投资25万元(另25万元用于修路)，当x＝25时，每年最大利润是P＝－(25－30)2＋10＝9.5万元，则前5年最大利润为M2＝9.5×5＝47.5万元．21教育名师原创作品
设后5年x万元用于本地投资，则由Q＝－(50－x)2＋×(50－x)＋308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售投资，才有可能获得最大利润．那么后5年的利润是：M3＝5×[－×(x－30)2＋10]＋5×｛－[50－(50－x)]2＋[50－(50－x)]＋308｝＝－5(x－20)2＋3500．故x＝20时，M3取最大值3500万元，所以10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3500＋47.5＝3547.5万元．21*cnjy*com
(3)因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值．
(2)若对该产品开发，在前五年中，每年最多可投资25万元(另25万元用于修路)，当x＝25时，每年最大利润是P＝－(25－30)2＋10＝9.5万元，则前5年最大利润为M2＝9.5×5＝47.5万元．21*cnjy*com
设后5年x万元用于本地投资，则由Q＝－(50－x)2＋×(50－x)＋308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售投资，才有可能获得最大利润．那么后5年的利润是：M3＝5×[－×(x－30)2＋10]＋5×｛－[50－(50－x)]2＋[50－(50－x)]＋308｝＝－5(x－20)2＋3500．故x＝20时，M3取最大值3500万元，所以10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3500＋47.5＝3547.5万元．
(3)因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值．
3.解：（1）将y＝260代入y＝32x，得260＝32x，解得x＝．
此时，x值不满足0≤x≤5，故这种情况不存在．
∴5＜x≤19时，则有20x＋60＝260，解得x＝10．
∴李红第10天生产的粽子数量为260只．
（2）由图可知p1＝2(0≤x≤9)．
设p2＝kx＋b(9≤x≤19)，将(9，2)，(19，3)代入，得
，解得．
∴p2＝0.1x＋1.1(9≤x≤19)．
当0≤x≤5时，w＝(4－2)×32x＝64x，由一次函数的性质，知当x＝5时，w最大＝320．
当5＜x≤9时，w＝(4－2)×(20x＋60)＝40x＋120，由一次函数的性质，知当x＝9时，w最大＝480．
当9＜x≤19时，w＝[4－(0.1x ( http: / / www.21cnjy.com )＋1.1)]×(20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，由二次函数的性质，知当x＝13时，w最大＝512．
∴w与x之间的函数表达式为，
由320＜480＜512，知第13天时利润最大，最大利润是512元．
4.解：(1)
(2)当1≤x<50时，y＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050，
∵a＝－2<0，
∴当x＝45时，y有最大值，最大值为6050.
当50≤x≤90时，y＝－120x＋12000，
∵k＝－120<0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y有最大值，最大值为6000.
∴当x＝45时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元．
(3)当1≤x<50时，令－2x2＋180x＋2000≥4800，
解得20≤x≤70.
∴20≤x<50.
当50≤x≤90时，令－120x＋12000≥4800，
解得x≤60.
∴50≤x≤60.
综上可知20≤x≤60.
又∵x是正整数，∴x可取41个数，故该商品在销售过程中共有41天每天销售利润不低于4800元．
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)