23.2.3 关于原点对称的点的坐标学案（附答案）

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23.2.3 关于原点对称的点的坐标
知识梳理
1.关于原点对称的点的特征：
两个点关于 对称时，它们的坐标 ，即点P(x，y)关于原点的对称点为Pˊ .
2.关于x轴对称的点的特征：
两个点关于 对称时，它们的坐标中， ， ，即点P(x，y)关于x轴的对称点为Pˊ .
3.关于y轴对称的点的特征：
两个点关于 对称时，它们的坐标中， ， ，即点P(x，y)关于y轴的对称点为Pˊ .
4.在理解关于原点、x轴、y轴对称的点坐标规律时要注意事项：
（1）关于x轴对称点的坐标是 ；
（2）关于y轴对称点的坐标是 ；
（3）关于原点对称点的坐标都变为 .
5.线段的中点坐标公式：
若P点坐标为(x，y)，Pˊ点坐标为（xˊ，yˊ），则PPˊ的中点坐标为 .
重点突破
知识点一 求关于原点对称点的坐标
1.已知点P（a+1，）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标，再利用第四象限点的坐标性质得出答案．
【解析】本题主要考查关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确得出关于a的不等式组是解题关键．因为点P（a+1，）关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1，），该点在第四象限，
∴，解得：a＜﹣1，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
【答案】C．
2.在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A.（1，2） B.（2，﹣1） C.（﹣2，1） D.（﹣2，﹣1）
【解析】本题主要考查坐标与图形变化﹣旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，∴点B和点B1关于原点对称，∵点B的坐标为（2，1），∴B1的坐标为（﹣2，﹣1）．
【答案】D．
知识点二 求关于轴对称点的坐标
1.向左平移2个单位长度得到点A′，点A′关于轴的对称点是A″，则点A″的坐标为（ ）
A.（0，-3） B.（4，-3） C.（4，3） D.（0，3）
【解析】本题主要考查点的坐标的平移及对称，解题的关键是熟记平移规律及关于轴对称的点的坐标的变化规律．将点A（2，3）向左平移2个单位得到点A′的坐标是(0，3)，关于轴对称点的纵坐标互为相反数，所以点A″的坐标是（0，-3），故选择A .
【答案】A
基础过关
1.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
　A.（﹣2，1） B.（2，﹣1） C.（2，1） D.（﹣2，﹣1）
2.（2016 武汉）已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（　　）A.a＝5，b＝1. B.a＝－5，b＝1. C.a＝5，b＝－1. D.a＝－5，b＝－1.
3.在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．33 B．-33 C．-7 D．7
4.在平面直角坐标系中，点M（-2,6）关于原点对称的点在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.在平面直角坐标系中，讲点（-2,3）关于原点的对称点向右平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A.（4，-3） B.（-4,3） C.（0，-3） D.（0,3）
6.点A（-2,3）关于原点O对称的点B（b，c），则b+c= .
7.若点P（a-5，a+3）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围为 .
8.在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为　 　．
9.若点A（3-m，2）在函数y=2x-3的图象上，则点A关于原点对称的点的坐标是___ _ ．
10.在平面直角坐标系xOy中，已知A（－1，5），B（4，2），C（－1，0）三点.
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 ，点B关于x轴对称点B′的坐标为 ，点C关于y轴对称点C′的坐标为 ；
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积.
11.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4）[]
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．
能力拓展
1.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）
A.（4n﹣1，） B.（2n﹣1，） C.（4n+1，） D.（2n+1，）
2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣4,1),C(﹣2,1).
（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的 △ABC.
（2）请画出△ABC关于原点对称的△ABC.
（3）求四边形ABAB的面积
3.在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．
（1）若A点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则等于多少；
（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），判断△ABC的形状．
4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，5），B（－2，1），C（－1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标.
参考答案
知识梳理
1.原点，符号相反， (-x，-y).
2.x轴，x相等，y符号相反，(x，-y).
3.y轴，y相等，x符号相反， (-x，y).
4.纵变横不变；横变纵不变；相互的相反数.
5.
基础过关
1.B
2.D
3.D
4.D
5.A
6.-1
7. -38.（﹣5，﹣3）
9.（，-2）
10.解：（1）（1，－5）；（4，－2）；（1，0）.
（2）如图，△A′B′C′的面积：×5×3=.
11.解：
能力拓展
1.C
2.解：(1)借助网格，△ABC向右平移5个单位长度，经过数格子确定
A1,B1,C1，连接A1B1，A1C1，B1C1，则△ABC为所求（如图所示）；
（2）关于原点对称的点，对应点的横纵坐标分别互为相反数，∴A2(-3，1),B2(4，-1),C2(2，-1),描出A2,B2,C2,并连接成三角形，于是△ABC为所求；
（3）四边形ABAB的面积=6×8-=22.
3.解：（1）∵A点的坐标为（1，2），点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，
∴B点坐标为（-1，2），C点坐标为（-1，-2），
连AB，BC，AC，AB交y轴于D点，如图，D点坐标为（0，2），
∴S△ADO=OD AD=×2×1=1，S△ABC=BC AB=×4×2=4，
∴=；
（2）点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则B点坐标为（-a，b），C点坐标为（-a，-b），
AB∥x轴，BC∥y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，
∴△ABC的形状为直角三角形．
4.解：（1）如图所示，△A1B1C1为所作三角形，
A1（2，2），B1（3，－2）；
（2）（2）A2（3，－5），B2（1，－1），C2（1，－3）；
（3）如图，△ABC为所作三角形，A（5，3），B（1，2），C（3，1）.
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