24.1.1 圆学案（附答案）

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第二十四章 圆
24.1.1 圆
知识梳理
1.圆的定义：
（1）在一个平面内，一条线段绕它固定的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个端点0 ，另一个端点所形成的图形叫做 .固定的端点叫做 ，线段叫做 .记作： .21·cn·jy·com
在一个平面内，到定点O的距离 定长的所有点组成的图形叫做 ，定点叫做 ，定长叫做 ，记作： .www.21-cn-jy.com
（2）在一个圆中，圆心决定圆的 ，半径决定圆的 .
2.弧、弦的定义：
（1）连接圆上任意两点之间的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦，一个圆中有 条直径.21教育网
（2）圆上任意两点之间的部分叫做 ，简称 ，记作： ，弧可分为 、 、 .
①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做 .
②大于半圆的弧叫 ，用三个大写字母表示.
③小于半圆的弧叫 ，用两个大写字母表示.
3.等圆、等弧的定义：
（1）能够重合的两个圆叫做 . 相等的圆是等圆；反之，同圆或等圆的 相等.
（2） 中，能重合的弧叫做 .等弧是全等的，不仅仅是弧长相等.
重点突破
知识点一 圆的定义
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.2·1·c·n·j·y
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【解析】本题主要考查圆的定义和矩形的性质. ( http: / / www.21cnjy.com )判断几个点是否在同一个圆上，要看能否找到一个定点，使这几个点到定点的距离相等，即OA=OB=OC=OD，根据圆的定义可证.
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AO=OC=AC；OB=OD=BD；AC=BD
∴OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上。
知识点二 与圆的有关概念
1.下列说法正确的是（ ）
A、长度相等的弧叫等弧 B 、半圆不是弧
C、直径是弦 D、 过圆心的线段是直径
【解析】本题主要考查弦、弧、等弧、直径的概 ( http: / / www.21cnjy.com )念.同圆或等圆中，能重合的弧叫做等弧，等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧，A错误；直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧是半圆，B错误；C正确；过圆心的弦是才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，D错误。故选C【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】C
基础过关
1.下列命题正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弧是半圆，半圆是弧
A.1个? B.2个? C.3个? D.4个?
2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于 ( )
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A.70° B.60° C.50° D.40°
3.如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（ ）.
A.AD=BC B.AD∥BC C.AD∥BC 且AD=BC D.不能确定
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4.下列图形中，四个点一定在同一个圆上的是（ ）
A、菱形、平行四边形； B、矩形、正方形；C、正方形、菱形； D、 矩形、平行四边形
5.在同一平面内，与已知点P的距离等于2.5cm的所有点组成的图形是 　　.
6.如图，图中有 条直径；有 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条.21·世纪*教育网
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7.⊙O的半径为3cm，则它的弦长d的取值范围是 .
8.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC=　 　.
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9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：A，B，C，D四个点在同一个圆上.
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10.如图，已知OA、OB是⊙O的两条半径，C、D为OA、OB上的两点，且AC=BD．求证：AD=BC．
11.已知:如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,求∠C的度数。www-2-1-cnjy-com
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12.如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的数．
能力拓展
1.如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在 QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT 上,且不与M,N重合,当P点在 QUOTE \* MERGEFORMAT 上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( 　)21世纪教育网版权所有
A.逐渐变大 　　 B.逐渐变小 C.不变 　　 D.不能确定
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2.如图，AB是⊙O的直径 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数（　 　）。21cnjy.com
A．70° Ｂ．60° Ｃ．50° Ｄ．40°
3.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连结BD交⊙O于点E．若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）2-1-c-n-j-y
A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO D．DE＝OB
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4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于　 　.21*cnjy*com
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5.如图,已知半径为R的半圆O,过直径AB上一点C,作CD⊥AB交半圆于点D,且CD= QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R,试求AC的长.【来源：21cnj*y.co*m】
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参考答案
知识梳理
1.旋转一周，圆，圆心，半径，⊙O；等于，圆，圆心，半径，⊙O；位置，大小.
2.弦，直径，直径，无数；圆弧，弧，⌒，劣弧、半圆、优弧；半圆；优弧；劣弧.
3.等圆，半径，半径；同圆或等圆，等弧.
基础过关
1.A
2.D
3.C
4.B
5.圆
6.1,4,3,3
7.0＜d≤6
8.8
9.证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD，
∵△ABC是直角三角形
∴AO=OC=OB=AC；
同理可得OA=OC=OD=AC
∴AO=OC=OB=OD
∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上。
10.证明：∵OA=OB,AC=BD
∴OA-AC=OB-BD
即OC=OD,
在△AOD与△BOC中
OA=OB
∠O=∠O,
OD=OC
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴AD=BC.
11.解：连接OD,
∵AB=2DE,AB=2OD,
∴OD=DE,
∴∠DOE=∠E=18°,∠ODC=∠DOE+∠E=36°,
∵OC=OD,
∴∠C=∠ODC=36°
12.解：∵OB、OC为半径，
∴OB=OC
∵∠OBC=40°
∴∠OBC=∠OCB=40°
在△OBC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°
∵∠AOB=50°
∴∠AOC=100°+50°=150°
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°
∴2∠OAC+∠AOC=180°
∴2∠OAC=180°-150°=30°
∴∠OAC=15°
能力拓展
1.C
2.D
3.D
4.
5.解：(1)当C点在A,O之间时,如图甲.
由勾股定理OC== QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R,
故AC=R- QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R= QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R.
(2)当C点在B,O之间时,如图乙.由勾股定理知OC== QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R,故AC=R+ QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R= QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) \* MERGEFORMAT R.
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