24.1.2 垂直于弦的直径学案（附答案）

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24.1.2 垂直于弦的直径
知识梳理
1.圆的对称性：
圆是 图形， 是它的对称中心；圆是 图形， 都是它的对称轴，有 条对称轴.
2.垂径定理及推论：
（1）定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.
用数学符号语言表示为（如下图）：
∵CD过圆心，CD⊥AB于点P，
∴AP=PB、、.
（2）推论：平分弦( )的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.用数学符号语言表示为：
∵AB不是直径，CD过圆心，AP=PB，
∴ CD⊥AB、、
3.其他：
圆中常作的辅助线是 作弦的垂线,垂径定理常用作计算，若圆的半径为r，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d， 则r、a、d三者之间的关系式是 .
重点突破
知识点 垂径定理的应用
1.如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
【解析】本题主要考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
【答案】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA
∵OE⊥弦AB,
∴AE= QUOTE \* MERGEFORMAT AB=4,
在Rt△OAE中,由勾股定理得，
OA2=AE2+OE2=42+32=25,
∴OA=5
2.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【解析】本题主要考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，
∴CE=== ，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
基础过关
1.如图所示,在☉O中,直径MN⊥弦AB,垂足为C,则下列结论中错误的是(　　)
A.AC=CB　　 B.= C.= D.OC=CN
2.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则(　　)
A.5 B.7 C.9 D. 11
3.如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为 (　　)
A. 　 　B. C. D.
4.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　)
A．12．5° B．15° C．20° D．22．5°
5.绍兴是著名的桥乡,如图,圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为(　　)
A.4 m　　 B.5 m　 　C.6 m　 　D.8 m
6.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是(　　)．
A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm或1cm
7.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
8.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为　 ．
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______.
10.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.
11.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为　　 cm.
12.如图，⊙O的直径CD＝20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．若OM＝6cm，则AB的长为_____cm．
能力拓展
1.已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为(　　)
A. cm B. cm C. cm或cm D. cm或cm
2.如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.
3.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
参考答案
知识梳理
1.中心对称,圆心,轴对称,经过圆心的任何一条直径所在的直线,无数.
2.（1）平分,平分；（2）不是直径，垂直于，平分
3.过圆心，
基础过关
1.D
2.A
3.D
4.B
5.D
6.D
7.A
8.4
9.
10.（3,2）
11.
12.16
能力拓展
1.C
2.50
3.解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，
∵∠NOM=30°，AO=80m，
∴AD=40m，
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；
（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=800m，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，
∴AD=OA=×800=400（m），
在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30（m），
故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响．
∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300（米/分钟），
∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）．
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟．
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