2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题易丢分
一、解答题
1．对于数列， ， ， ，若满足，则称数列为“数列”．
若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，
例如数列因为， ， ， 与， ， ， 按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．
（I）分别判断下列数列， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这项；
（II）若项数为的数列一定是 “阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可 使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．
2．已知椭圆经过点，离心率为， 为坐标原点．
（I）求椭圆的方程．
（II）若点为椭圆上一动点，点与点的垂直平分线l交轴于点，求的最小值．
3．如图，在四棱锥中，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， 是中点．
（I）求证：直线平面．
（II）求证：直线平面．
（III）在上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由．
4．数列的前项和为，且， .
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足： ，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前项和.
5．已知函数 ．
（I） 讨论函数的单调区间；
（II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．
6．在中，角所对的边分别为，且满足， .
（1）求的面积；
（2）若，求的值.
7．设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时， 恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时， .
8．如图，在中， ， ，点在边上，且， .
（1）求；
（2）求的长.
9．已知函数（， ）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.
10．已知向量， ，设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知分别为三角形的内角对应的三边长， 为锐角， ， ，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积.
11．已知： （为常数）； ：代数式有意义．
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
12．已知函数 ， .
（1）若存在极值点1，求的值；
（2）若存在两个不同的零点，求证： （为自然对数的底数， ）.
13．已知函数， (为自然对数的底数).
(1)设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；
(2)若对于任意实数， 恒成立，试确定的取值范围；
(3)当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
14．在△ABC中，已知＝3.
(1)求证：tanB＝3tanA；
(2)若cosC＝，求A的值．
15．已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）记函数的两个零点分别为，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范围.
16．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论方程的实数根的情况.
17．已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设的前项和为，求证： ．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线平行于，且与椭圆交于两个不同的点.若为钝角，求直线在轴上的截距的取位范围.
20．已知数列中， ，前项和满足（）．
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 记，求数列的前项和；
⑶ 是否存在整数对（其中， ）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．
一、解答题
1．对于数列， ， ， ，若满足，则称数列为“数列”．
若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，
例如数列因为， ， ， 与， ， ， 按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．
（I）分别判断下列数列， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这项；
（II）若项数为的数列一定是 “阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可 使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．
【答案】（I）；（Ⅱ） 的最小值是；（III）.
2．已知椭圆经过点，离心率为， 为坐标原点．
（I）求椭圆的方程．
（II）若点为椭圆上一动点，点与点的垂直平分线l交轴于点，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .学*科网
【解析】试题分析：（I）由离心率得到，再由椭圆过点E可求得， ，故可得椭圆的方程；（II）设点，结合条件可得AP的垂直平分线的方程为： ，令，得，再由点P在椭圆上可得得，化简点，求出|OB|后用基本不等式求解即可。
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，设点，
则线段的中点的坐标为，且直线的斜率，
因为直线，
故直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为： ，
令，得，
则，
由，得，学*科网
3．如图，在四棱锥中，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， 是中点．
（I）求证：直线平面．
（II）求证：直线平面．
（III）在上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由．
【答案】（I）见解析；（Ⅱ）见解析（III）与重合．点的位置为所求.
（Ⅱ）因为是中点，底面是菱形， ，
所以，
因为，
所以，
所以．
又平面，
所以
又
所以直线平面
（III）由（Ⅱ）可知， ， ，相互垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
，
解得
所以点。
所以当点与点重合时，二面角的大小为．
因此点为所求的点。
点睛：空间向量为立体几何中的探索性问题的解法带来了方便，解题时可先假设所探索的点（或其他元素）存在，然后通过代数运算进行验证，看是否得到矛盾，若得到矛盾的结论，则说明假设不成立，即满足条件的点（或其他元素）不存在，否则存在。学*科网
4．数列的前项和为，且， .
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足： ，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前项和.
∴ ··· 8分
令， ①学*科网
则②Ks5u
①－②得：
∴，…………………………10分
∴数列的前n项和…………12分
（Ⅲ）∵，
∴ ，
令，③
则，④
③④得， ，
，学*科网
∴数列的前项和．
5．已知函数 ．
（I） 讨论函数的单调区间；
（II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；（Ⅱ）即的取值范围是．
（iii）当，即时，
当时， 在内单调递增；
当时， 在内单调递减． 5分
综上，当时， 在内单调递增， 在内单调递减；
当时， 在单调递增；
当时， 在内单调递增，
在内单调递减．（其中） 6分
考点：1.导数与函数单调性；2.导数与函数的极值.
6．在中，角所对的边分别为，且满足， .
（1）求的面积；
（2）若，求的值.
【答案】解：（I）因为，所以，又,所以.
由，得所以.学*科网
故. ………6分
（II）由，且，解得或
由余弦定理得，故. ………………13分
考点：1．二倍角公式；2．向量运算；3．余弦定理
7．设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时， 恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时， .
【答案】（1）的单调递减区间为； 的单调递增区间为；（2）；（3）见解析．
解：（1））当时，则，令得，所以有
即时， 的单调递减区间为； 的单调递增区间为.
（2）由，分离参数可得： ，
设， ，
∴，又∵，学*科网
∴，则在上单调递减，
∴，∴
即的取值范围为.
点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式中参数分离出来可得，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；第三问的证明过程中，先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此证得当时，不等式成立。学*科网
8．如图，在中， ， ，点在边上，且， .
（1）求；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）7.
考点：正弦定理与余弦定理．
视频
9．已知函数（， ）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.
【答案】(1) ;(2) .
（2）由题意可得：
∵，∴
∴，∴学*科网
即函数的值域为.
10．已知向量， ，设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知分别为三角形的内角对应的三边长， 为锐角， ， ，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积.
【答案】（1）；（2），或， 或.
（2）由（1）知，当时，.
由正弦函数图象可知，当时， 取得最大值，又为锐角
所以. 8分
由余弦定理得，所以或
经检验均符合题意. 10分
从而当时，△的面积； 11分
当时，. 12分学*科网
考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积.
11．已知： （为常数）； ：代数式有意义．
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
因此： ， ，故实数的取值范围是。
12．已知函数 ， .
（1）若存在极值点1，求的值；
（2）若存在两个不同的零点，求证： （为自然对数的底数， ）.
【答案】(1) ；(2)见解析.
(2)
①当时， 恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；
②当时，由得，
当时， ，所以为增函数，
当时， ，所为增函减数，
所以当时， 取得极小值
又因为存在两个不同零点，所以，即学*科网
整理得，令， ， 在定义域内单调递增， ，由知，故成立.
13．已知函数， (为自然对数的底数).
(1)设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；
(2)若对于任意实数， 恒成立，试确定的取值范围；
(3)当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 或 (2) (3)不存在
(3)根据极值的定义,函数在区间有零点且在零点附近的符号不同,求导可得,设,求求导可以得到的导函数在区间恒为正数,则函数在区间上是单调递增,即可得到函数进而得到恒成立,即在区间上没有零点,进而函数没有极值.
试题解析：
（1）, .
在处的切线斜率为， 1分
∴切线的方程为，即. 3分
又切线与点距离为,所以，
解之得， 或5分
（3）依题意, ，
所以, 2分
设,则,当,
故在上单调增函数,因此在上的最小值为，
即， 12分
又所以在上， ，
即在上不存在极值. 14分学*科网
考点：导数极值单调性
14．在△ABC中，已知＝3.
(1)求证：tanB＝3tanA；
(2)若cosC＝，求A的值．
【答案】（1）见解析（2）A＝
15．已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）记函数的两个零点分别为，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）函数在上单调递增；在上单调递减; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数 的单调区间即可; （Ⅱ）分离参数得： ,从而可得恒成立；再令,从而可得不等式在上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为
（Ⅱ）由（I）可知分别为方程的两个根，即， ，
所以原式等价于.
因为， ，所以原式等价于，
又由， 作差得， ，即.
所以原式等价于.
因为，原式恒成立，即恒成立.
令，则不等式在上恒成立.
令，则，
当时，可见时， ，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；
当时，可见当时， ；当时， ，
所以在时单调递增，在时单调递减.
又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.
16．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论方程的实数根的情况.
【答案】（1）（2）当时，方程有两个实数根；当时，方程无实数根.
故当时， 是单调递增函数；当时， 是单调递减函数，
所以.
当时，由，得.
又，令，则在区间上，故为增函数，所以，即，所以.
，故当时，方程有两个实数根；当时，方程无实数根.
点睛: 本题主要考查了导数的几何意义以及函数零点的个数,属于中档题.
【一题多解】在(2)中,由有,转化为函数与图象交点的个数,当与相切时,切点为,又,所以此时无零点;由图象知,当时图象有两个交点,即有两个零点, ,图象没有交点,无零点,综上讨论,得出结论: 有两个实数根, 无实数根.
17．已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设的前项和为，求证： ．
【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析；
（Ⅱ）
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【答案】（1）；
（2）当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.
（2）依题意并由（1）可得
f（x）＝
当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f（x）＝x（200－x）≤ []2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立.
所以，当x＝100时，f（x）在区间上取得最大值.
综上，当x＝100时，f（x）在区间上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.
考点：函数模型的选择与应用
19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线平行于，且与椭圆交于两个不同的点.若为钝角，求直线在轴上的截距的取位范围.
【答案】（1）；（2）.
因为直线与椭圆交于两个不同的点，所以，
解得.
设，
又为钝角等价于且，
则
，
将代入上式，
化简整理得，即，
故的取值范围是.
20．已知数列中， ，前项和满足（）．
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 记，求数列的前项和；
⑶ 是否存在整数对（其中， ）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， ．
⑵由⑴ 知，
，
则．
⑶，即，
