24.1.3 弧、弦、圆心角学案（附答案）

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24.1.3 弧、弦、圆心角
知识梳理
1.圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角。
2.弧、弦、圆心角关系定理：
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 相等，所对的 也相等．用数学符号语言表示为: ∵∠AOB=∠A /OB/，∴ ， .21世纪教育网版权所有
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等．用数学符号语言表示为: ∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com ) ，∴ ， .
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 ( http: / / www.21cnjy.com )所对的 相等，所对的 也相等．用数学符号语言表示为: ∵AB=AˊBˊ， ∴ ， .21教育网
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3.其他：
（1）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有 相等，就可以推出它们所对应的 也分别相等．这些结论是根据圆旋转的 得出，可归纳为圆心角相等 ( http: / / www.21cnjy.com )弧相等 ( http: / / www.21cnjy.com )弦相等.21·世纪*教育网
（2）推论中“弦相等”得出“所对的弧相等”，这里所对的弧指的是对应的劣弧与劣弧相等,优弧与优弧相等.www-2-1-cnjy-com
重点突破
知识点 弧、弦、圆心角关系定理
1.如图，在⊙O中，点C是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
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A．40° B．45° C．50° D．60°
【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦之间的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，等腰三角形的性质的应用，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦之间的关系．①因为半径OA=OB，故可先根据等边对等角求得∠B的度数；②根据三角形内角和定理求得∠AOB的度数；③根据等弧所对圆心角相等求得∠BOC的度数．www.21-cn-jy.com
【答案】A
基础过关
1.下列图形中表示的角是圆心角的是(　　)
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2.如图,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B=(　　)
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A.150°　　　　B.75°　　　　C.60°　　　　D.15°
3.已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
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A. ∠NOQ=42 　 B. ∠NOP=132 　 C. ∠PON比∠MOQ大　D. ∠MOQ比∠MOP互补
4.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是(　　)
A.=2　　　 B.>2 C.<2 D.不能确定
5.如图，AB是⊙O的直径，==,∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）
A．51° B．56° C．68° D．78
6.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
7.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为　　　　.
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8.如图,=,若AB=3,则CD=　　　　.
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9.如图,在☉O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于　　　°.
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10.如图, A,B是半径为3的☉O上的两点,若∠AOB=120°,C是的中点,则四边形AOBC的周长等于　　　　.2-1-c-n-j-y
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11.如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.
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12.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O
求证：=；
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13.如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB、AC交⊙O于D、E,求证：BD=DE=EC
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能力拓展
1.A,B,C,D是☉O上四点,且=2,则弦AB与弦CD的关系是(　　)
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A.AB >2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.不能确定21·cn·jy·com
2.如图,将☉O沿弦AB折叠,使经过圆心O,则∠OAB=　　　　　°.
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3.如图,已知OA,OB是☉O的半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点,求证:MC=NC.
( http: / / www.21cnjy.com ) [
4.如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一个动点,圆O的半径为1.
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(1)找出当AP+BP能得到最小值时点P的位置.
(2)求出AP+BP的最小值.
参考答案
知识梳理
1.圆心
2.弧，弦， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )， AB=AˊBˊ ；圆心角，弦，∠AOB=∠AˊOBˊ ，AB=AˊBˊ ；圆心角，弧，∠AOB=∠AˊOBˊ ， ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com ) .21cnjy.com
3.一组量，其余各组量，不变性.
基础过关
1.A
2.B
3.C
4.A
5.A
6.D
7.60°
8.3
9.40
10.12
11.证明:在☉O中,
∵AB,CD,EF都是☉O的直径,
∴∠AOC=∠1，∠ BOE=∠2，∠FOD=∠3.
∵∠1=∠2=∠3,
∴∠AOC=∠BOE=∠FOD.
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) = QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )
∴AC=EB=DF.
12.证明:连结OM、ON，
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∵OA=OB,AC=BD
∴OA-AC=OB-BD
即CO=DO
在Rt△OCM和Rt△ODN中,
OM=ON
OC=OD，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL)，
∴∠AOM=∠BON，
∴
13.证明：连接OD、OE,
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∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵OB=OD,OE=OC,
∴△OBD、△OEC是等边三角形，
∴∠BOD=60°,∠EOC=60°
∴∠DOE=180°-∠BOD=∠EOC=60°,
∴∠BOD=∠DOE=∠EOC
∴BD=DE=EC
能力拓展
1.C
2.30
3.证明：连接OC.
∵C为的中点,
∴=,
∴∠MOC=∠NOC.
又∵M,N分别是OA,OB的中点,
∴OM=OA,ON=OB,
∴OM=ON.
在△OMC与△ONC中，
OM=ON
∠MOC=∠NOC
OC=OC,
∴△OMC≌△ONC,
∴MC=NC
4.解：(1)过A作AA′⊥MN于E,连接BA′.
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∴P位于A′B与MN的交点处.
(2)∵点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠AON=∠A′ON=60°,
∵点B是的中点,∴∠BON=30°,
∴∠BOA′=∠A′ON+∠BON=90°,
∵OB=OA′=1,
∴BA′=,即AP+BP最小值为.
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