2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题好拿分【基础版】
一、解答题
1．已知函数部分图象如图所示。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的值域。
2．设函数,的两个极值点为,线段的中点为.
(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时，求函数图象的对称中心；
(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;
(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.
3．如图，在半径为、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设．
（1）试写出用表示长方形的面积的函数；
（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．
4．如图，单位圆（半径为的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交于点，与钝角的终边交于点，设.
（1）用表示；
（2）如果，求点的坐标；
（3）求的最小值.
5．在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图所示).已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1,第三组的频数为12,请解答下列各题.
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)哪组上交的作品数量最多?有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件?2件作品获奖,问这两组哪一组获奖率较高?
6．已知函数，其中
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
7．（2015秋?扬州期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．
（1）求证：DE∥平面ABC1；
（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．
8．若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.
（1）已知，且，写出、、；
（2）已知，且，求的前项和；
（3）已知，且（），若数列中，，，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值
9．已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；
（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.
10．已知函数（）的周期为.
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知的内角，，对应的边分别为，，，若，且，，求的面积.
11．已知数列满足，．
（1）求证：；
（2）求证：当时，．
12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，点是棱上一点，满足．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的正弦值为，求的值．
13．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
14．的内角所对的边分别为，向量与平行．（1）求；（2）若，求的面积．
15．已知函数。
（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。
（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；
（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x时，
恒有f（x）＞g（x）成立。
16．如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30o方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。
（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；
（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置。
17．如图，A，B，C是椭圆M： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。
18．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．
（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：
（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．
19．（本题满分16分）数列，，满足：，，．
（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；
（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；
（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．
20．（本小题满分10分）如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．
（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．
一、解答题
1．已知函数部分图象如图所示。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的值域。
【答案】（1）（2）
（2）， 10分
因为，故，则，即，
所以函数的值域为． 14分21世纪教育网
考点：三角函数解析式，三角函数性质
2．设函数,的两个极值点为,线段的中点为.
(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时，求函数图象的对称中心；
(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;
(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.
【答案】（1）函数图象的对称中心为（1，0）.
（2）或.
（3）由（2）得点，推出点也在函数的图象上.
设为函数的图象上任意一点，
求得关于的对称点为
证明在函数的图像上.证得为函数的对称中心.
（3）由（2）得点，
又
=，所以点也在函数的图象上. 12分
设为函数的图象上任意一点，
关于的对称点为
而
=.
即在函数的图像上.
所以，为函数的对称中心. 16分
【法二】设 21世纪教育网
.
为奇函数，
对称中心为.
把函数的图象按向量
平移后得的图象，
为函数的对称中心. 16分
考点：本题主要考查函数的奇偶性，函数图象的对称性。
点评：中档题，本题解法较多，紧紧围绕函数图象的对称性展开讨论。奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。21世纪教育网
3．如图，在半径为、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设．
（1）试写出用表示长方形的面积的函数；
（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．
【答案】（1）（2）.
另一方面，如图所示，设圆与边切于点，连结，
.
设两小圆的半径为，则，
且，从而所以，
因，
所以能作出满足条件的两个圆.此时圆柱的体积.……………16分
考点：本题主要考查三角函数模型，圆柱的体积计算，三角函数倍半公式。21世纪教育网
点评：中档题，结合图形特征，利用直角三角形中的边角关系，建立函数模型。确定函数最值过程中，可利用导数。
4．如图，单位圆（半径为的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交于点，与钝角的终边交于点，设.
（1）用表示；
（2）如果，求点的坐标；
（3）求的最小值.
【答案】(1) . （2）；（3）最小值为。
【法二】为钝角，,
，
,,
的最小值为 14分21世纪教育网
考点：本题主要考查单位圆，三角函数定义，三角函数同角公式，辅助角公式。
点评：中档题，结合单位圆及三角函数定义，得出，进一步求点的坐标等。
5．在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图所示).已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1,第三组的频数为12,请解答下列各题.
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)哪组上交的作品数量最多?有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件?2件作品获奖,问这两组哪一组获奖率较高?
【答案】（1）60（2）四 18（3）第六组获奖率较高.
6．已知函数，其中
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
（2）方法一：
①当时， ，函数在区间单调递增
所以
即（舍）
②当时， ，函数在区间单调递减
所以
符合题意
③当时,
当时， 区间在单调递减
方法二：
①当时， ，函数在区间单调递减
所以
符合题意 …………8分
②当时， ，函数在区间单调递增
所以 不符合题意
③当时,
当时， 区间在单调递减
当时， 区间在单调递增
所以 不符合题意
综上所述：实数取值范围为21世纪教育网
7．（2015秋?扬州期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．
（1）求证：DE∥平面ABC1；
（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．
【答案】见解析
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．21世纪教育网
8．若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.
（1）已知，且，写出、、；
（2）已知，且，求的前项和；
（3）已知，且（），若数列中，，，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值
【答案】（1） （2）（3），或
再由得，为正整数 ，最后代入验证得，因此，最后由得，经验证得或．
试题解析：解：（1），则 ；，则，
，则，
（2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则；
为偶数时，则；
为奇数时，则；
由得，为正整数 ，
当时， ，
不合题意，舍去；
当时， ，21世纪教育网
不合题意，舍去；
当时， 无解
当时， 无解
当时，
当时， 无解
或
综上：，或．
考点：新定义
9．已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；
（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.
【答案】（1） ，（2）（3）21世纪教育网
试题解析：解：（1），则
令 ，
0
0
增
极大值
减
极小值
增
，
（2）问题转化为在上恒成立；
又 即在上恒成立；
，对称轴
①当，即时，在上单调增，
在上单调减，在上单调增
又
由零点的存在性定理可知： 即．21世纪教育网
考点：利用导数求函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数零点
10．已知函数（）的周期为.
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知的内角，，对应的边分别为，，，若，且，，求的面积.
【答案】（1）（2）
试题解析：解：（1）
的周期为，且，，解得
又， 得，，
即函数在上的值域为．
（2） 由，知，
解得：，所以
由余弦定理知：，即
，因为，所以
∴． 21世纪教育网
考点：降幂公式、二倍角公式、配角公式，余弦定理
11．已知数列满足，．
（1）求证：；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）用数学归纳法加以证明：
①当时，
，
所以当时，结论成立．
②假设当时，结论成立，即，21世纪教育网
则时，
，
由可知，，即．
所以当时，结论也成立．
综合①②可得，当时，．
考点：数学归纳法21世纪教育网
12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，点是棱上一点，满足．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）（2）的值为
（2）设平面的法向量为， ，
由得
不妨取，则，
所以平面的法向量为．
则，又因为二面角的正弦值为，
所以，21世纪教育网
化简得，解得或（舍去），
故的值为．
考点：利用空间向量求线面角，利用空间向量研究二面角，
13．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理21世纪教育网
14．的内角所对的边分别为，向量与平行．（1）求；（2）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
视频
15．已知函数。
（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。
（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；
（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x时，
恒有f（x）＞g（x）成立。
【答案】（1）（2）当时,；当时, ；当时, ．（3）详见解析
试题解析：（1）解: ，，， ，， 2分
依题意：，所以； 4分
（2）解: ，时，， 5分
①时，，，即
②时，，，即
③时，令,则.
设，则，
当时, 单调递减;当时, 单调递增.
所以当时, 取得极小值, 且极小值为
即恒成立，故在上单调递增,又,
因此,当时, ,即. 21世纪教育网 9分
综上，当时,；当时, ；当时, ． 10分
（3）
证法二：设，则，
当时，，单调减，当时，，单调增，
故在上有最小值，， 12分
①若，则在上恒成立，
即当时，存在，使当时,恒有；
②若，存在，使当时,恒有；
③若，同证明一的②， 21世纪教育网 15分
综上可得，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有. 16分
考点：导数几何意义，利用导数研究不等式
16．如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30o方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。
（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；
（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置。
【答案】（1）13.5km．（2）商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km
，其中，或．利用导数可得当时，有极小值也是最小值为9km；此时OA=6km，OB=3km，
试题解析：
（2）
方法1：当AB与轴不垂直时，设AB：，①
令，得；由题意，直线OB的方程为，②
解①②联立的方程组，得，∴，
∴，由，，得，或． 11分
，令，得，
当时，，是减函数；当时，，是增函数，
∴当时，有极小值为9km；当时，，是减函数，结合（1）知km．
综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，
同理在△PMB中，，得，
， 13分
当且仅当即即时取等号．
方法3：若设点，则AB：，得，
∴， 13分
当且仅当即时取等号．
方法4：设，AB：，得，
考点：函数解析式，利用导数求最值
17．如图，A，B，C是椭圆M： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）确定△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率；（2）求出△ABC的外接圆的方程，由垂径定理得，求出a，可得b，即可求椭圆方程
试题解析：（1）因为过椭圆的中心，所以，
又，所以是以角为直角的等腰直角三角形，
则，所以，则，
所以；
（2）的外接圆圆心为中点，半径为，
则的外接圆为：
令，或，所以，得，
（也可以由垂径定理得，得）
所以所求的椭圆方程为．
考点：椭圆方程及性质
18．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．
（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：
（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．
【答案】（1）为中点（2）详见解析
在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点；
考点：平面与平面垂直的判定．
19．（本题满分16分）数列，，满足：，，．
（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；
（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；
（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）数列成等差数列．
试题解析：证明：（1）设数列的公差为，
∵，
∴，
∴数列是公差为的等差数列． 4分
（2）当时，，
∵，∴，∴，
∴，
∵数列，都是等差数列，∴为常数，
∴数列从第二项起为等差数列． 10分
∴， 12分
令，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴数列（）是公差为的等差数列， 14分
∵，令，，即，
∴数列是公差为的等差数列． 16分
解法2 ∵，，
令，，即， 12分
∴，，
∴，
∵数列是等差数列，∴，
∴， 14分
∵，∴，
∴数列是等差数列． 16分
考点：等差数列定义
20．（本小题满分10分）如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．
（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（１）或． （２）
化简得：,解得：或，
或． 5分
（2）∵，∴，
,，,，
设平面的一个法向量为，
∴，∴，即，取，，
设平面的一个法向量为，
∴，∴，即，取，，
考点：利用空间向量求线线角及二面角
