2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题好拿分【提升版】
一、解答题
1．（13分）如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、、的斜率分别为、、．问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
2．函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若判断的奇偶性；
（3）是否存在实数使函数在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
3．已知函数，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；
（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
4．（2015秋?扬州期末）若数列{an}中不超过f（m）的项数恰为bm（m∈N*），则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{an}生成{bm}的控制函数．
（1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
（2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m项和Sm；
（3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{bm}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
5．（2015秋?扬州期末）已知函数f（x）=（ax2+x+2）ex（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．
6．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为）
7．如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.
（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；
（2）若，求椭圆离心率的取值范围
8．在极坐标系中，圆的极坐标方程为，已知，为圆上一点，求面积的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
10．（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
11．在数列中，已知，，，，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，，其中为正整数.
(1)求数列的通项公式；
(2)问是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.
12．已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.
(1)若时，求的值；
(2)若时，证明直线过定点.
13．如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面.
(1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由；
(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面.
14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
15．（2015秋?扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）
16．设函数。
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由。
17．已知函数，设数列满足：，.
（1）求证：，都有；
（2）求证：
18．已知函数，其中，为自然对数的底数
（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值．
（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
（3）讨论极值点的个数．
19．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：
①在内单调递增或单调递减；
②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数.
（1）求闭函数符合条件②的区间；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围．
20．（本题满分16分）已知函数， ．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图象有两个交点，求证： ．（取为，取为，取为）
一、解答题
1．（13分）如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、、的斜率分别为、、．问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）．
又将代入得
， ，， 12分
故存在常数符合题意． 13分21世纪教育网
考点：1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题．
2．函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若判断的奇偶性；
（3）是否存在实数使函数在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）奇函数(3)
（2）易知，∵且，∴关于原点对称，又∵，
∴，∴为奇函数.
（3）令，∵，，∴在上单调递减，又∵函数在递增，
∴，又∵函数在的最大值为1，∴，即，∴，∵，∴符合题意.即存在实数，使函数在递增，并且最大值为 .
点睛：本题主要考查函数的基本性质，考查奇偶性的判断，考查复合函数的单调性等知识.第一问考查函数的定义域，需要对数的真数大于零.第二问考查函数的奇偶性，判断的时候先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断和的关系，由此判断的单调性.复合函数单调性判断主要是根据同增异减. 21世纪教育网
3．已知函数，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；
（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
（2）令，
且定义域为
所以,令，，
列表如下：
1
+
0
-
递增
极大值
递减
考点：1.运用导数求函数的单调性;2.函数思想及导数的运用和零点判定定理的运用; 3.函数思想及导数的运用.
4．（2015秋?扬州期末）若数列{an}中不超过f（m）的项数恰为bm（m∈N*），则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{an}生成{bm}的控制函数．
（1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
（2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m项和Sm；
（3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{bm}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
【答案】（1）b1=1；b2=2；b3=3．（2）．（3）d=3，A=64或65．
【解析】
试题分析：（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出．21世纪教育网
（2）对m分类讨论：可得bm．进而得出前n项和．
（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，所以2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出．
解：（1）m=1，则a1=1≤1，∴b1=1；
m=2，则a1=1＜4，a2=4≤4，∴b2=2；
m=3，则a1=1＜9，a2=4＜9，a3=9≤9，∴b3=3．
（2）m为偶数时，则2n≤m，则；
m为奇数时，则2n≤m﹣1，则；
∴，
m为偶数时，则；
m为奇数时，则；
∴．
∵b3=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b3=10，
∴210≤27A＜211，∴．
当t=4时，，∴无解．
当t=5时，，∴无解．
当t=6时，，∴．
当t=7时，，∴无解，∴．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．21世纪教育网
综上：d=3，A=64或65．
考点：数列的应用．
5．（2015秋?扬州期末）已知函数f（x）=（ax2+x+2）ex（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[﹣2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．
【答案】（1），；（2）a的取值范围是．（3）t=﹣4，0．
（2）问题转化为f′（x）=[ax2+（2a+1）x+3]ex≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；
又ex＞0即ax2+（2a+1）x+3≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立；
令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，
∵a＞0，对称轴
①当﹣1﹣≤﹣2，即时，g（x）在[﹣2，2]上单调增，
∴g（x）的最小值g（x）=g（﹣2）=1＞0，∴0＜a≤
②当﹣2＜﹣1﹣＜0，即时，g（x）在[﹣2，﹣1﹣]上单调减，在[﹣1﹣，2]上单调增，
∴△=（2a+1）2﹣12a≤0，解得：，21世纪教育网
∴＜a≤1+，
综上，a的取值范围是．
考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．
6．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为）
【答案】（1）40（2）拱高为米，拱宽为米
（2）抛物线最大拱高为h米，，抛物线过点，代入抛物线方程得：
令，则，解得：，则，
即
21世纪教育网
当时，；当时，，即在上单调减，在上单调增，在时取得最小值，此时，
答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．
考点：求抛物线方程，利用导数求最值21世纪教育网
7．如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.
（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；
（2）若，求椭圆离心率的取值范围
【答案】（1）（2）
直线的方程为：，直线的方程为：
由解得： 点的横坐标为
（2）设
，
即 21世纪教育网
联立方程得：，消去得：
解得：或
解得：
综上，椭圆离心率的取值范围为．
考点：椭圆离心率
8．在极坐标系中，圆的极坐标方程为，已知，为圆上一点，求面积的最小值．
【答案】
考点：极坐标方程化为直角坐标方程
9．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）21世纪教育网
【解析】
试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此
，本题思路简单，但运算量较大．
试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以
又因为，
所以椭圆C的标准方程为．
由，得
，
当且仅当即时取等号，
所以当时，的最小值为．
考点：直线与椭圆位置关系21世纪教育网
10．（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的极小值为，无极大值．（2）
【解析】
试题解析：（1），
，令，得． 1分
列表：
x
0
+
↘
极小值
↗
所以的极小值为，无极大值． 4分
（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立． 5分
1）当时， 可化为，
令，问题转化为：对任意恒成立；（*）
则，，．
令，则．
①时，因为，
故，所以函数在时单调递减，，
2）当时，可化为，
令，问题转化为：对任意的恒成立；（**）
则，，．
令，则．
①时，，
故，所以函数在时单调递增，，
即，从而函数在时单调递增，所以，此时（**）成立；11分
②当时，21世纪教育网
ⅰ）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立； 13分
ⅱ）若，则，所以当时，
，
故函数在上单调递减，，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；
所以当，恒成立时，； 15分
综上所述，当，恒成立时， ，从而实数的取值集合为． 16分
考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性
11．在数列中，已知，，，，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，，其中为正整数.
(1)求数列的通项公式；
(2)问是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ， (2)
当时，，两式相减得， 4分
所以数列的奇数项成公差为2的等差，偶数项也成公差为2的等差
又，可解得 6分
因为，所以
又，所以数列成公比为的等比数列
所以 8分
考点：由数列和项求通项，数列综合应用
12．已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.
(1)若时，求的值；
(2)若时，证明直线过定点.
【答案】(1) (2)详见解析
试题解析：(1)将直线方程代入椭圆方程得： 2分
解得4分
所以 6分
所以8分
(2) 设将直线方程代入椭圆方程得： 10分
考点：直线与椭圆位置关系
13．如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面.
(1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由；
(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面.
【答案】(1)如图 (2)详见解析
【解析】试题分析：（1）在上底面内过点作的平行线分别交、于、两点，即即为所作的锯线. 在四棱柱中，易知四边形是平行四边形即∥，再由（2）证明：由于四边形是矩形，所以，又∥，所以.又因为四棱柱的底面是菱形，所以.因为，平面，平面，所以平面，因为平面是，所以平面平面.21世纪教育网
考点：1.平面与平面平行的性质及其判定定理；2.平面与平面垂直的判定定理；3.线面垂直的判定定理；
14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
【答案】（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故； ，故，故；所以， ；
（2）令，则，由题设可得，故，令得，
（1）若，则，从而当时， ，当时，即在上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
（2）若， ，故在上单调递增，因为所以f(x)≤kg(x)恒成立
（3）若，则，故f(x)≤kg(x)不恒成立；
综上所述k的取值范围为.
考点：用导数研究函数的性质．
视频
15．（2015秋?扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）
【答案】（1）40米；（2）当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．
（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），
代入抛物线方程得：
令y=﹣h，则，解得：，
则，，
∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，
∴，
∴，
当时，S'＜0；当时，S'＞0，
即S在上单调减，在（20，40]上单调增，
∴S在时取得最小值，此时，21世纪教育网
答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
16．设函数。
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）5；（2）；（3）存在， ，理由见解析．
（2）易知函数的定义域为，
又，
由题意，得的最小值为负， （注：结合函数图象同样可以得到）， ， ，
（以下解法供参考，请酌情给分）
解法2： ，其中
根据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且，解得且，
即时上述条件成立此时．
解法3： ，其中
设 ， 函数单调递增， 函数单调递减，
要使得对任意正数恒成立，
只能是函数， 的与轴的交点重合，即，所以．
考点：1．导函数的应用；2．不等式恒成立问题．21世纪教育网
17．已知函数，设数列满足：，.
（1）求证：，都有；
（2）求证：
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）由（1）可得
两边同时取为底的对数，可得
化简为
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
，化简求得：，
时，，
时，
时，，
．21世纪教育网
考点：数学归纳法，数列综合应用
18．已知函数，其中，为自然对数的底数
（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值．
（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
（3）讨论极值点的个数．
【答案】（1）（2）（3）当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点．
试题解析：（1）由题意，，
因为的图象在处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）法一：由，得，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，所以，
（3）因为由题意，可得，
所以只有一个极值点或有三个极值点．
令，
①若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，
即为单调递增函数或者极值同号．
ⅰ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得…12分
ⅱ）当极值同号时，设为极值点，则，
由有解，得，且，
考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数极值
19．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：
①在内单调递增或单调递减；
②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数.
（1）求闭函数符合条件②的区间；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）不是闭函数，理由见解析；（3）．
（2）取，则，即不是上的减函数，
取，即不是上的增函数，
所以函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.
（3）若是闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，
即，∴为方程的两个实根，
即方程有两个不等的实根，
当时，有，解得，当时，有，无解．
综上所述，.
考点：1、新定义；2、函数的单调性；3、不等式的解法．
20．（本题满分16分）已知函数， ．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图象有两个交点，求证： ．（取为，取为，取为）
【答案】（1）（2）．（3）详见解析
∴，即，为研究等式右边范围构造函数，易得在上单调递增，因此当时，有即，所以，再利用基本不等式进行放缩： ，
即，再一次构造函数，易得其在上单调递增，而，因此，即．
（3）由题意知， ，
两式相加得，两式相减得，
考点：导数几何意义，导数综合应用
