2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题好拿分【提升版】
一、解答题
1．已知函数，函数.
（1）若函数， 的最小值为-16，求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调减函数，求实数的取值范围；
（3）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.
2．已知函数， .
（1）求证：函数在上是单调增函数；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若方程有实数解，求实数的取值范围.
3．已知函数是定义在上的奇函数，且， .
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围.
4．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当（， ）时，函数， 的值域为，求实数的取值范围.
5．已知二次函数的图象经过点，对任意实数满足，且函数的最小值为2．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，其中，求函数在区间上的最小值；
（3）若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的取值范围．
6．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若对任意互不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围；
（3）判断函数在上的零点的个数，并说明理由．
7．已知函数， 为实数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）设，当时，求函数的最小值（用表示）；
（3）若关于不等式的解集中恰好有两个整数解，求的取值范围．
8．对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1) 判断函数是否为 “()型函数”，并说明理由；
(2) 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对；
(3)已知函数是“()型函数”,对应的实数对为(1,4).当 时, ,若当时,都有,试求的取值范围.
9．已知函数
（1）用定义证明在上单调递增；
（2）若是上的奇函数，求的值；
（3）若的值域为D，且，求的取值范围.
10．设 (R)
(1) 若，求在区间上的最大值；
(2) 若，写出的单调区间；
(3) 若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.
11．已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
12．已知函数的图象关于直线对称.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，使得有解，求实数的取值范围；
（3）若时，关于的方程有四个不等式的实根，求实数的取值范围.
13．有一块半径为的正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心， 在圆的直径上， 在半圆周上，如图.
（1）设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；
（2）当满足取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角的值，
求出的最大值.
14．知函数 （且）的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．
15．为治疗一种慢性病，某医药研究所研究出一种新型药物，病人按规定的剂量服用该药物后，测得每毫升血液中含药量（毫克）与时间（小时）满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数（为常数）衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．
（1）求函数的解析式；
（2）已知每毫升血液中含药量不低于0．5毫克时有治疗效果，低于0．5毫克时无治疗效果．求病人一次服药后的有效治疗时间为多少小时？
16．已知函数（）．
（1）判断的奇偶性；
（2）当时，求证：函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；
（3）若正实数满足，，求的最小值．
17．已知函数为偶函数，关于的方程的构成集合．
（1）求的值；
（2）若，求证：；
（3）设，若存在实数使得，求实数的取值范围．
18．设函数是定义域为的奇函数．
（1）求值；
（2）若，试判断函数单调性,并求使不等式恒成立的的取值范围；
（3）若，设，在上的最小值为，求的值．
19．已知函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
20．（本小题满分16分）设常数，函数．
（1）当时，判断并证明函数在的单调性；
（2）若函数的是奇函数，求实数a的值；
（3）当时，若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围．
一、解答题
1．已知函数，函数.
（1）若函数， 的最小值为-16，求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调减函数，求实数的取值范围；
（3）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）8或－32；（2）或；（3）
试题解析：
（1）设，又，则，
化简得， ，对称轴方程为，21世纪教育网
当，即时，有，解得或；
当，即时，有，解得（舍）；
所以实数的值为8或－32；
2．已知函数， .
（1）求证：函数在上是单调增函数；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）偶函数；（3）
【解析】试题分析：（1）任取， 且，利用函数单调性的定义即可证明函数在上是单调增函数；
（2）函数的定义域为，验证即可证明函数为偶函数；
（3）由题意得： ，
因为，所以， ， ， ， ； 又方程有实数解，则，则，
即.21世纪教育网
3．已知函数是定义在上的奇函数，且， .
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
(2) 函数在上的单调递减，在上单调递增
证明如下：取且
且
即
，即
函数在上的单调递减
同理可证得函数在上单调递增 .
函数在上单调递增
当时， ；当时，
即，
又对任意的都有恒成立
21世纪教育网
即
解得.
点睛：恒成立的问题常规处理方法，往往转化为函数的最值问题，如果含有参数的话，可以先变量分离，然后再求不含参的函数的最值即可，有时也可以构造两个函数通过数形结合的方法来处理恒成立问题.
4．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当（， ）时，函数， 的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
5．已知二次函数的图象经过点，对任意实数满足，且函数的最小值为2．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，其中，求函数在区间上的最小值；
（3）若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的取值范围．
【答案】（1）（2） （3）21世纪教育网
【解析】试题分析：（1）由题意可得二次函数图象的对称轴和最小值，可根据顶点式设出解析式，再根据图象过点求解；（2）根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出函数的最小值；（3）分离参数得对恒成立，可将问题转化为求函数， 的最小值解决。
（2）由（1）知， ，
则 ．
①当时，函数在区间上单调递增，
所以；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
③当时，函数在区间上单调递减，
所以．21世纪教育网
综上函数在区间上的最小值
（3）由题意，得对恒成立，
6．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若对任意互不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围；
（3）判断函数在上的零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）3个零点. 21世纪教育网
【解析】试题分析：（1）当时，不等式为，去掉绝对值化为或，解得；（2）先求出函数的单调增区间为和，由题意可得在上单调增，故可得，解得解得或；（3），当时，根据零点存在定理可得函数在区间和区间各有一个零点；当时，函数在区间上单调递增，在区间有一个零点，综上可得函数共有3个零点。
（2)
的单调增区间为和
又在上单调增，
，
解得或21世纪教育网
∴实数的取值范围为 .
7．已知函数， 为实数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）设，当时，求函数的最小值（用表示）；
（3）若关于不等式的解集中恰好有两个整数解，求的取值范围．
【答案】(1) m=-2；(2)详见解析;(3) 或.
（2）函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，
因为，所以，
①当，即m≥3时，函数在单调递增，
则当x=-1时取得最小值；
②当，即时，
函数在上递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值；
综上所述，当m≥3时；当时.
（3）由得，
设，21世纪教育网
因为，所以原不等式一定有整数解x=1.
因为不等式的解集中恰好有两个整数解，故有两种情况，即{0,1}和{1,2};
①当解集中恰好有两个整数解集为{0,1}时，有，解得；
②当解集中恰好有两个整数解集为{1,2}时，有，解得；
综上，m的取值范围是或.
点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值. 21世纪教育网
8．对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1) 判断函数是否为 “()型函数”，并说明理由；
(2) 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对；
(3)已知函数是“()型函数”,对应的实数对为(1,4).当 时, ,若当时,都有,试求的取值范围.
【答案】(1) 不是“()型函数”；(2) ；(3) .
(3) 由题意得, ,所以当时, ,其中,而时, ,其对称轴方程为.
当,即时, 在上的值域为,即,则在上 的值域为,由题意得,从而；
当,即时, 的值域为,即,则在 上的值域为,则由题意,得
且,解得；当,即时, 的值域为,即,则在上的值域为,即,则, 21世纪教育网
解得
综上所述,所求的取值范围是
9．已知函数
（1）用定义证明在上单调递增；
（2）若是上的奇函数，求的值；
（3）若的值域为D，且，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）（3）
， ，
的取值范围是21世纪教育网
10．设 (R)
(1) 若，求在区间上的最大值；
(2) 若，写出的单调区间；
(3) 若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）的单调增区间为和，单调减区间（3）
11．已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.；（3）.21世纪教育网
【解析】试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得求出解集即可；（2）分为， ， 分别解出3种情形对应的不等式即可；（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，利用分离参数的思想得恒成立，求出其最大值即可.
（3）不等式的解集为， ，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设则， ，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时， ，
所以
点睛：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及转化与化归的能力，难度一般；对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
12．已知函数的图象关于直线对称.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，使得有解，求实数的取值范围；
（3）若时，关于的方程有四个不等式的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
（3）令，则关于的方程有四个不等的实数根等价于关于的方程在上有两个不等的实根，
令，由根的分布的有关知识，可得：
，解得.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、函数的零点以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.
13．有一块半径为的正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心， 在圆的直径上， 在半圆周上，如图.
（1）设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；
（2）当满足取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角的值，
求出的最大值.
【答案】（1）；（2）当时， 有最大值为.
所以
因为在上单调递增，所以时有最大值为，此时.
答：（1）；
（2）当时， 有最大值为.
14．知函数 （且）的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．
【答案】（1）；（2）详见解析.
15．为治疗一种慢性病，某医药研究所研究出一种新型药物，病人按规定的剂量服用该药物后，测得每毫升血液中含药量（毫克）与时间（小时）满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数（为常数）衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．
（1）求函数的解析式；
（2）已知每毫升血液中含药量不低于0．5毫克时有治疗效果，低于0．5毫克时无治疗效果．求病人一次服药后的有效治疗时间为多少小时？
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（2）当时，为有效治疗
当时，，解得
当时，，解得，
则当时，有治疗效果
所以有效治疗时间为小时
（或解方程，再求两根差）
考点：函数解析式
16．已知函数（）．
（1）判断的奇偶性；
（2）当时，求证：函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；
（3）若正实数满足，，求的最小值．
【答案】（1）当时函数是偶函数，当时是非奇非偶函数（2）详见解析（3）
（2）证明：，且，则
，
当时，，，
所以，
即，
所以函数在区间上是单调递减函数；
考点：1．函数奇偶性；2．函数单调性的判定；3．由单调性求函数最值
17．已知函数为偶函数，关于的方程的构成集合．
（1）求的值；
（2）若，求证：；
（3）设，若存在实数使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由函数为偶函数，可得，又于的方程的构成集合，即只有一个根，利用判别式即可求解的值；（2）根据偶函数性质将所证明问（2）证明：由（1）得 ，当时，
所以对任意的恒成立
（3）由题意知，，即
由（2）知，当时，
所以当时，有最大值
考虑
所以
则
故
考点：1、函数恒成立问题；2、函数奇偶性的应用；3、二次函数的图象与性质．
【易错点睛】本题考查了函数恒成立问题、函数奇偶性的应用及二次函数的图象与性质综合应用，同时着重考查了数学的转化的思想方法，属于难度较大的试题，其中认真审题、合理转化为函数的性质求解是解答的关键和难点，本题中求解函数的最值是题目的一个易错点．
18．设函数是定义域为的奇函数．
（1）求值；
（2）若，试判断函数单调性,并求使不等式恒成立的的取值范围；
（3）若，设，在上的最小值为，求的值．
【答案】（1）k＝0；（2）；（3）
单调递增，单调递减，故f（x）在R上单调递增。
不等式化为，，恒成立，
，的取值范围为；
考点：1．奇函数性质；2．函数的单调性；3．求函数最值
19．已知函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）a=1，b=0；（2）；（3）．
（2）由（1）知即.
不等式化为，即
，令， 恒成立，
，记，
.
（3）由，
20．（本小题满分16分）设常数，函数．
（1）当时，判断并证明函数在的单调性；
（2）若函数的是奇函数，求实数a的值；
（3）当时，若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减；（2）；（3）
【解析】
试题解析：（1）当时，，
设，则
因为，所以，故，
故函数在上单调递减．
（2）因为为奇函数，所以定义域关于原点对称且恒成立，
所以a= -1或a0，
当a= -1时，, 成立，
所以为奇函数成立，所以a= -1
当a0时，x，即
=>
所以a2=1，得 a= 1
综上得
（3）因为，
① 当时，函数在和上单调递减，
所以m由题意可得，（*）
上述两式相减得，
即，故，
代入（*）式得，此时，且或
此时显然有解，如满足条件．
故此时．
