24.2.2 直线和圆的位置关系(2)学案（附答案）

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24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
知识梳理
1.切线的判定方法：
（1）若直线与圆_________公共点，则直线是圆的切线；
（2）若圆心到直线的距离等于_______，则直线是圆的切线；
（3）经过半径的_______并且________这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理）
2.切线的性质：
（1）切线与圆 公共交点.
（2）圆心到切线的距离等于圆的________。若直线是⊙O的切线，切点是A，⊙O的半径为r，则_______；2·1·c·n·j·y
（3）圆的切线垂直于过______的半径（切线的性质定理）；
（4）经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过_______；
（5）经过切点并且垂直于切线的直线一定经过_______.
3.切线长：
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间______ _____，叫做这点到圆的切线长.【来源：21·世纪·教育·网】
（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的________相等，这一点和圆心连线_______两条切线的夹角.21·世纪*教育网
4.三角形的内切圆：与三角形________都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条___________的交点，叫做三角形的内心.www-2-1-cnjy-com
5.其他：
（1）证明切线可以从两方面入手，一是“ ( http: / / www.21cnjy.com ) ”，即如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到一条半径，证明这条半径垂直于已知直线即可；二是“ ”，即如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可.2-1-c-n-j-y
（2）“有切点， ，得垂直”，这是已知圆的切线时常用的辅助线的做法.
重点突破
知识点一 切线的性质
1.如图，AB和⊙O的切线于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
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【解析】本题主要考查切线的性质、直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )两锐角互余，解题的关键是熟练掌握切线的性质．解答本题的思路是：利用切线的性质得到∠ABO的度数，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B的度数，再利用圆周角定理可以求得∠COD的度数．21教育网
【答案】B
知识点二 切线的判定
1.如图，已知⊙0的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙0于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点 E. 21*cnjy*com
(1)求证：DE是⊙0的切线. (2)求DE的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】本题主要考查圆切线 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定以及与圆有关线段长度的计算，解题的关键是掌握切线的判定方法以及应用垂经定理进行计算．(1) 连结 OD，由题意可得∠ODA=∠DAO=∠DAE,推出OD∥AE，再由DE⊥AC得出OD⊥DE，即DE是⊙0的切线；（2）画OF⊥AC于点F，则四边形OFED为矩形，推出DE=OF,OF的长可通过Rt△OAF求得.【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】解：(1)连结 OD，
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∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙0的切线.
(2)过点0作OF⊥AC于点F，
∴AF= CF= 3 ,
∴.
∵∠0FE=∠DEF=∠ODE= 90°,
∴四边形OFED是矩形.
∴DE= OF=4 .
知识点三 切线长定理
1.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD．若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是（ ）【出处：21教育名师】
A．15° B．20° C．25° D．30°
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【解析】本题主要考查切线长定理，圆心角、圆周角定理，切线的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线，利用切线长定理结合圆周角和圆心角有关性质求解角度．①因PA、PB是⊙O的两条切线 ，由切线长定理得∠APO＝ ∠APB；②连接OA，由切线的性质求∠AOP的度数；③最后由圆周角定理得∠ADC ＝ ∠AOP= 25°.21教育名师原创作品
【答案】C
基础过关
1.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是 ( http: / / www.21cnjy.com )弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10cm，则⊙O的半径为（　　）21*cnjy*com
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A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
2.如图 ，AB 是⊙O 的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )直线 PA 与⊙O 相切于点 A，PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠ P=40° , 则∠ ABC 的度数为（ ）
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A．20° B．25° C．40° D．50°
3.如图所示，AB是⊙O的直径，点 ( http: / / www.21cnjy.com )C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是(　　)
A．15° B．30° C．60° D．75°
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4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上的点，∠DCB=30°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于E，若AB=4，则DE的长为（　　）
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A．2 B．4 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5.在⊿ABC中，∠A=50°（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= .
(2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= .
6.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=　　　．
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7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为
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8.一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　　　cm．
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9.如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC＝3，PF＝1，求AB的长．
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10.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点.
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC 并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小.www.21-cn-jy.com
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11.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=3，CD=4，BF=5，且△ABC的面积为10．求内切圆的半径r．【版权所有：21教育】
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能力拓展
1.如图，⊙O的半径为2 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为　　　　　．
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2.如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF＝4，求AC的长度．
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3.已知△ABC中，AC=BC，∠CA ( http: / / www.21cnjy.com )B=α（定值），圆O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q．
（1）求∠POQ的大小（用α表示）；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与圆O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由；21cnjy.com
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参考答案
知识梳理
1. 只有一个，半径，外端，垂直于
2.只有一个，半径，OA=r；切点；切点；圆心.
3.线段的长；切线长，平分.
4.各边，角平分线.
5.连半径，证垂直，作垂直，证半径，连半径.
基础过关
1.C
2.B
3.D
4.D
5.100°，115°
6.125°
7. ( http: / / www.21cnjy.com ).
8.3
9.解：（1）证明：如图，连结OC．
∵直角△ABC内接于⊙O，∴圆心O是斜边AB的中点．
∵OA=OC，∴∠A=∠OCA．
∵PD⊥AB，∴∠A＋∠AED=90°．
又∵∠ECP=∠AED，∴∠A＋∠ECP=90°，∴∠OCA＋∠ECP=90°，即∠OCP=90°．
∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．
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（2）解：设⊙O的半径为r，由（1）得OC⊥PC，在Rt△OCP中，根据勾股定理，得
OC2＋PC2=OP2，即r2＋32=( r＋1)2，解得r=4．
∴直径AB的长为8．
10.解：（Ⅰ）如图，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°.
∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°.
在Rt△OPC中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°-∠COP=36°.
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（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠EAO=90°.
在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°-∠EAO=80°.
∴∠ACD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOD=40°.
∵∠ACD是△ACP的一个外角，
∴∠P=∠ACD-∠CAP=30°.
11.解：连接OA、OB、OC
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F
∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB
由切线长定理得，AF=AE=3,CE=CD=4,BD=BF=5
∴AB=AF+BF=8，BC=BD+CD=9，AC=AE+CE=7
∵△ABC的面积为10
∴AB OF+BC OD+AC OE=10
即×8 r+×9 r+×7 r=10
∴r=
能力拓展
1.4．
2.解：DE与⊙O相切．
证明：连结OD，AD．
∵点D是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴∠DAO＝∠DAC．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA．
∴∠DAC＝∠ODA．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
∴DE与⊙O相切．
（2）连结BC交OD于H，延长DF交⊙O于G．
∵D是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，O为圆心，
∴OH⊥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵DF⊥AB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴弦心距OH＝OF＝4．
∵AB是直径，
∴BC⊥AC．
∴OH∥AC．
∴OH是△ABC的中位线．
∴AC＝2OH＝8．
3.解：（1）∵AC=BC，
∴∠OAP=∠OBQ=α
∵圆O分别和AC、BC相切于点P、Q，
∴∠OPA=∠OQB=90°，21·cn·jy·com
∴∠AOP=∠BOQ=90°-α
∴∠POQ=180°-2（90°-a）=2α
（2）∠DOE的大小保持不变，
说明理由如下：
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连接OM，由切线长定理，EM=EQ
又∵OM=OQ，OE=OE，
∴△OEM≌△OEQ，
∴∠MOE=∠QOE
同理，∠MOD=∠POD21世纪教育网版权所有
∠DOE=（∠POM+∠QOM）=(360°-∠POQ)=180°-α
∵a为定值，
∴∠DOE的大小保持不变．
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