1.1.1集合的含义与表示
第一部分 走进预习
【预习】教材第2-5页
1、查阅大数学家康托尔（Contor）的材料。
2、初步掌握：①集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？
②集合、元素的记法
③元素与集合的关系
④集合的性质。
第二部分 走进课堂
【探索新知】
在小学、初中我们就接触过“集合”一词。
例子：
（1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。
（2）不等式解的集合（简称解集）。
（3）方程解的集合。
（4）到角两边距离相等的点的集合。
（5）二次函数 图像上点的集合。
（6）锐角三角形的集合
（7）二元一次方程解的集合。
（8）某班所有桌子的集合。
现在，我们要进一步明确集合的概念。
问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？
2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？
知识点一：1、集合、元素的概念
再看例子
（9）质数的集合。
（10）反比例函数图像上所有点。
（11）、、
（12）所有周长为20厘米的三角形。
问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？21世纪教育网版权所有
知识点一 2、有限集和无限集
指出：集合论是德国数学家Cantor（1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。21教育网
知识点二 集合、元素的记法
问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？
（2）、、、、等各表示什么集合？
知识点三 元素与集合的关系
阅读教材填空:
如果a是集合A的元素 ， 就记作_________，读作“____________”；
如果a不是集合A的元素，就记作__ ____，读作“______ _____”.
再用或填空：
1、6______N ， ______Q ， _______Z ，_______Q _______Q，
2、设不等式的解集为A，则 5_______A , _______A
3、的解集为B，则_______B , _______B , _______B
问题5、元素a与集合A有几种可能的关系？
知识点四 集合的性质
确定性：
例子1、下列整体是集合吗？
①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。
2、集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3） （活动形式：组内合作 组间交流）
②互异性：
例子、集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？
（活动形式：独立完成 小组内讨论 小组间交流展示）
③无序性：
反思总结:
【课堂检测】
1、实数x,－x,｜x｜,是集合P中的元素，则P最多含（ ）
A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素
2、设a、b都是非零实数，y=++可能的取值为（ ）
A.3 B. 3,2,1 C. 3，1，-1 D. 3，-121cnjy.com
反思总结:
【拓展提升】--活动与探究
数集A满足条件：若a∈A，则∈A（a≠1）.
（1）若2∈A，试求出A中其他所有元素.
（2）设a∈A，写出A中所有元素.
第三部分 走向课外
【课后作业】
1、设一边长为1且有一内角为40°的等腰三角形组成集合P，试问P中有多少个元素?
2、已知集合A有三个元素，，
（1）若，则集合A中还有哪些元素？
（2）若，则a应满足什么条件?
【质疑与收获】
§1.1.1集合的含义与表示
一、教学目标：
l．知识与技能
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
（2）知道常用数集及其专用记号；
（3）了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；
（4）会用集合语言表示有关数学对象；
（5）培养学生抽象概括的能力．
2．过程与方法
（1）让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．
（2）让学生归纳整理本节所学知识．
3．情感、态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性．
二、教学重点、难点：
重点：集合的含义与表示方法．
难点：表示法的恰当选择．
三、学法与教学用具：
学法：学生通过阅读教材，思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．
教学用具：投影仪
四、教学过程：
（一）创设情景，揭示课题
1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价．
2．接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容．
（二）研探新知
1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面一些实例：
（1）1—20以内的所有质数；
（2）所有的安理会常任理事国；
（3）所有的正方形；
（4）海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
（5）到一个角的两边距离相等的所有的点；
（6）方程的所有实数根；
（7）不等式的所有解；
（8）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体．
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3．每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义．21世纪教育网版权所有
一般地，指定的某些对象的全体称为集合（简称为集）．集合中的每个对象叫作这个集合的元素．
4．教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示．
（三）质疑答辩、排难解惑、发展思维
1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难．使学生明确集合元素的三大特性，即：确定性．互异性和无序性．只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等．21教育网
2．教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）大于3小于11的偶数；
（2）我国的小河流．
让学生充分发表自己的见解．
3． 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由．教师对学生的学习活动给予及时的评价．21·cn·jy·com
4．教师提出问题，让学生思考
（1）如果用A表示高—（3）班全体学生组成的集合，用表示高一（3）班的一位同学，是高一（4）班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于．www.21-cn-jy.com
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作．
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作．
（2）如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国．日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．2·1·c·n·j·y
（3）让学生完成教材第5页练习第1题．
5．教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号．并让学生完成习题1．1A组第1题．【来源：21·世纪·教育·网】
6．教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考。讨论下列问题：
（1）要表示一个集合共有几种方式?
（2）试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
（3）如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
（四）巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
（1）用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；
（2）用列举法表示集合
（3）试选择适当的方法表示下列集合：教材第5页练习第2题．
（五）归纳小结
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容?
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么?
（六）作业布置
1．课后书面作业：第11页习题1．1A组第4题．
2．请同学们通过预习教材，了解元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？21cnjy.com
课件17张PPT。第一章 集合与函数概念 1．1集合1.1.1集合的含义与表示自然数集合，正分数集合，有理数集合；1．我们以前已经接触过的集合到角的两边的距离相等的所有点的集合；到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；是角平分线是线段垂直平分线 ２．集合的含义⑴１到20以内的所有质数;⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;(4)所有的正方形;⑻新华中学2004年9月入学的高一学生全体.(5)2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．３．集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性 －即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性 －即集合中的元素没有次序之分．例子: 1.A={1,3},问3，5哪个是A的元素？
2.B={素质好的人}能否表示成为集合？
3.C={2，2，4}表示是否正确？
4.D={太平洋，大西洋}
E={大西洋，太平洋}
集合 D ,E是不是表示相同的集合？4．常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ
所有正整数组成的集合称为正整数集，记为
全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ
全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ
全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ 我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．５．元素与集合之间的关系如果 是集合Ａ中的元素，就说 属于集合Ａ，记作 ；
如果 不是集合Ａ中的元素，就说 属于集合Ａ，记作 ；例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝ 6．集合的表示方法 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写
在大括号内的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示
集合的方法。{一般符号及取值范围|集合中元素具有的共同特征}⑶ 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．例如，图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5}A1 2 3
4 5图1-1图1-2解：①由大于3小于10的整数组成的集合
用列举法可表示为：{-3，3}{4，5，6，7，8，9}例1用列举法表示下列集合：
①由大于3小于10的整数组成的集合；
②方程x2 － 9=0的解的集合；例2用描述法表示下列集合：
（1）小于10的有理数组成的集合；
（2）所有偶数组成的集合；
（3）抛物线y=x2上的点组成的集合.解：（1）小于10的有理数组成的集合用描述法可表示为：（2）所有偶数组成的集合用描述法可表示为：（3）所有偶数组成的集合用描述法
可表示为：7 ．集合的分类⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．⑶空 集：不含任何元素的集合.
记作 ．8．反馈演练1．填空题
⑴现有:①不大于 的正有理数.②我校高一年级所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿＿．⑵设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}，Ｂ＝{ 时代数式 的值}．则Ｂ中的元素是＿＿＿＿＿．②{3,0,-1}2．选择题⑴ 以下四种说法正确的( )
A．“实数集”可记为{R}或{实数集}
B．{a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
C．“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定cc 9．小结集合的含义
元素与集合之间的关系
集合中元素的三个特征
集合的表示方法
集合的分类课后活动探究：数集A满足条件：若a∈A，则1/ (1－ a) ∈A (a≠1)（1）若2∈A,试求出A中其他所有元素。（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他元素。（3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？
并大胆地证明你发现 的这个道理。自我小测
1．给出下列说法：
①地球周围的行星能构成一个集合；
②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；
③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
3．已知A＝{x|3－3x>0}，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
5．(2013山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )21·cn·jy·com
A．1 B．3 C．5 D．9
6．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为__________．
7．已知集合A＝{－2，－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝__________.
8．用描述法表示集合为__________．
9．(1)定义集合运算A*B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，求集合A*B的所有元素之和.www.21-cn-jy.com
(2)用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标．
10．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
参考答案
1. 解析：①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，不满足集合元素的确定性．
②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合．
③是错误的，因为集合中的元素是无序的．
答案：B
2. 答案：B
3. 解析：集合A是不等式3－3x>0的解集，很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.21教育网
答案：C
4. 解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；
若a＝4，则6－4＝2∈A；
若a＝6，则6－6＝0?A.
故选B.
答案：B
5. 解析：当x，y取相同的数时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；其他则重复．故集合B中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C.2·1·c·n·j·y
答案：C
6. 解析：∵集合A中有两个元素1，a2，
∴a2≠1，即a≠±1.
答案：±1
7. 解析：∵x∈A，∴x的取值有－2，－1,0,1.
又∵y＝|x|，
∴y的取值有0,1,2.
∴B＝{0,1,2}．
答案：{0,1,2}
8. 解析：1，，，分别是1,2,3,4的倒数，所以可设x＝，n∈N*，且n≤4.
故用描述法表示为.
答案：
9. 解：(1)由题意知x＝1时，y＝0或y＝2，此时Z＝0或Z＝2；x＝2时，y＝0或y＝2，此时Z＝0或Z＝4.故A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.21世纪教育网版权所有
(2)图中阴影部分点的横坐标－1≤x≤3，纵坐标0≤y≤3，故用描述法可表示为{(x，y)|－1≤x≤3,0≤y≤3}．21cnjy.com
10. 解：当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时原方程的解为x＝－1，符合题意．【来源：21·世纪·教育·网】
故当a＝0或a＝1时，A中只有一个元素．
备选习题
1. 分析：由题目可知集合A中的元素特征是能写成一个整数与另一个整数的倍的和．解答本题可将a分母有理化，看能否化为m＋n的形式．21·世纪*教育网
解：a＝＝2＋＝2＋×1，
而2,1∈Z，∴2＋∈A，即a∈A.
2. 解：首先根据绝对值的意义化简x＝＋：
当a>0，b>0时，x＝2；
当a<0，b<0时，x＝－2；
当a>0，b<0或a<0，b>0时，x＝0.
故集合用列举法表示为{－2,0,2}．
