(共24张PPT)
1.4角平分线的性质(2)
数学湘教版 八年级下
导入新知
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1、角的平分线的性质定理:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
几何语言表述：
2、角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
动脑筋：
如图，已知 EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是 EF 的中点. 需添加一个什么条件，就可使 CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
新知讲解
新知讲解
解：可以添加MN=ME（或MN=MF）
∵ME⊥CD，MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线
同理可得AM是∠CAB的平分线。
理由如下：
新知讲解
例2、如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点
P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。
试探索BE+PF与PB的大小关系。
新知讲解
解：∵AP是∠DAC的平分线
又PE⊥DB，PF⊥AC
∴PE=PF
在△EBP中，BE+PE＞PB
∴BE+PF＞PB。
学以致用
如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
（1）求证：DE＝DF；
学以致用
（1）证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，
∵∠EAF＋∠EDF＝180°，
∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，
∵∠AFD＋∠CFD＝180°，
∴∠AED＝∠CFD，
∴△DME≌△DNF，
∴DE＝DF．
新知讲解
如图，你能在△ABC中找到一点P，使其 到三边的距离相等吗？
新知讲解
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A 与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点. 点P也在∠C的平分线上，如图
分析：
你能证明吗？
新知讲解
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
A
B
C
P
M
N
D
E
F
新知讲解
学以致用
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得此点一定在角的平分线上，故作出a、b、c三条线组成的角的平分线，其中两个角平分线的交点就是度假村的位置．
解：如图所示：
点P即为所求．
学以致用
定理：三角形的三条角平分线相较于一点，并且这一点到三边的距离相等。
这个交点叫做三角形的内心
新课讲解
归纳
巩固提升
1 .到三角形三边距离相等的点是（ ）
三条高的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
2.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.10cm D. 以上都不对
C
B
巩固提升
3、如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .
4
4、如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．
55
巩固提升
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF．
巩固提升
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD．
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．
巩固提升
6.某市有一块有三条公路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．
要求：在给出的示意图上用直尺和圆规作出小亭中心位置（用P表示），不写作法，但要保留作图痕迹．
巩固提升
解：设三条公路围成的三角形绿地为△ABC，
如图
点P为△ABC中∠CAB与∠ABC的角平分线的交点．
课堂小结
角平分线的性质
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相逢的新途径
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1、角的平分线的性质定理:
2、角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
谢谢
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湘教版数学八年级下册1.4.2角平分线的性质 教学设计
课题 角平分线的性质 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。
能力目标 通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
知识目标 让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题。
重点 角平分线的性质及其应用
难点 灵活应用两个性质解决问题
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、角的平分线的性质定理:几何语言表述：2、角平分线的性质定理的逆定理： 学生解答问题 先提问，让学生回答，既起了诊断评价的作用，又为导入新课、创设思维情 景奠定了基础。
讲授新课 动脑筋：如图，已知 EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是 EF 的中点. 需添加一个什么条件，就可使 CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？例2、如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索BE+PF与PB的大小关系。练习：如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF如图，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？分析：因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A 与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点. 点P也在∠C的平分线上，如图你能证明吗？如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等归纳：定理：三角形的三条角平分线相较于一点，并且这一点到三边的距离相等。这个交点叫做三角形的内心练习如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发学生自主解答，教师适时的进行提示让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路由学生自己独立完成，教师巡视学生的结果学生自主解答，教师适时的进行提示 培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.让学生体验成功培养学生运用角平分线的性质，解决实际 问题，激发学生的学习兴趣 ，让学生获得成 功的体验，培养学生合作交流意识和大胆猜想，乐于探究的良好品质以及解决问题的能力通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。进一步理解和掌握勾股定理的逆定理，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．
巩固提升 1 .到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定答案：C2.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）A.4cm B.6cm C.10cm D. 以上都不对答案：B3、如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .答案：44、如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．答案： 555、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF． 答案：证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD．在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥EF．6、某市有一块有三条公路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．要求：在给出的示意图上用直尺和圆规作出小亭中心位置（用P表示），不写作法，但要保留作图痕迹．答案：解：设三条公路围成的三角形绿地为△ABC，如图点P为△ABC中∠CAB与∠ABC的角平分线的交点． 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 1、角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径
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1.4.2角平分线的性质练习题
一、选择题
1. 如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是( )21cnjy.com
A.AD=CP B.点D在∠ABC的平分线上
C.△ABD≌△CBD D.∠ADB=∠CDB
2. 如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中( )21教育网
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
3．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( )21·cn·jy·com
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
4. 如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．DE=DF B．AE=AF C．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF
5.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB边的距离为( )2·1·c·n·j·y
A．18 B．16 C．14 D． 12【来源：21·世纪·教育·网】
6. 如图， ∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P 到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（ ）
A．平行线之间的距离处处相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上
二、填空题
7. 如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.www-2-1-cnjy-com
8.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.
9.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是 。
10.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.
三、解答题
11.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.
12. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2-1-c-n-j-y
13.如图所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．
14．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.
15.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
答案：
1.A
2. B
3.D
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
解：如图所示，货物中转站的地址有四处．
故选D．
4. D
5. C
分析：做DE垂直于AB,求证ΔACD全等ΔAED(AAS),CD等于DE,用比例设X,求出CD,BD长,DE就是距离。21·世纪*教育网
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC交BC于D，而∠C=90°，
∴CD=DE，
∵BC=64，且BD：CD=9：7，
∴CD=64×=28，∴DE=28，
则点D到AB边的距离为28．故选C．
6. B
7. PC=PD
8. 27°
9. 分析：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等即可得到结果
解：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等即可得到结果，
BD是∠ABC的内角平分线，DE⊥BC、DG⊥AB，
CD是∠ACB的外角平分线，DE⊥BC、DF⊥AC，
10. 5
11. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE.
∴BC=BD+CD=BD+DE.
∵AC=BC，
∴AC=BD+DE.
12. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS).
∴DF=DE.
∴AD是∠BAC的平分线.
13.证明：证一（截长法）：如图1所示，过点D作BD⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共，∴△ADE≌△ACD（AAS），∴ AE＝AC，CD＝DE21世纪教育网版权所有
在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴△EBD是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB．
∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．
证法二（补短法）：
如图2所示，在AC的延长线上截取CM＝CD，连结DM．
在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM
∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°
∴∠M＝∠B＝45° 又∵AD平分∠CAD
∴在△MAD与△BAD中
∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB．
14.相等.
证明：连接EB，EC.
∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG.
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB=EC.
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).
∴BF=CG.
15. (1)AM平分∠DAB.
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E.
∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2.
∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC.
又∵MC=MB，∴ME=MB.
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB.
(2)AM⊥DM.
理由：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB.
∴CD∥AB.
∴∠CDA+∠DAB=180°.
又∵∠1=∠CDA，∠3=∠DAB，
∴2∠1+2∠3=180°.
∴∠1+∠3=90°.
∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.
A
B
C
M
D
图2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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