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1.1.1直角三角形的性质与判定练习题
一、选择题
1. 若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( )
A.24° B.34° C.44° D.46°
2. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )
A.60° B.75° C.90° D.105°
3. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则AC=（ ）
A.1 B.4 C. D.21·cn·jy·com
4. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余
的角的个数有（ ）
A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个；
5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=cm，则AB边上的中线长为（ ）
A.1cm B.1.5cm C.2cm D.cm21·世纪*教育网
6.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元www-2-1-cnjy-com
二、填空题
7. 如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.
8. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是 ______ cm．
9. 如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，则∠ACD的度数 .www.21-cn-jy.com
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC= ______ ．
11. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，则DE的长是 .
三、解答题
12. 已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长2·1·c·n·j·y
13. 已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC。
14. 已知：△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证：.
15. 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。
求证：AE=DF。
参考答案：
1. B
分析：可设其中的小角的度数为X，则另一个角的度数为x+22,根据直角三角形的性质可计算得到。
解：设其中的小角的度数为X，则另一个角的度数为x+22，则有X+ x+22=90，解得x=34,故选B。2-1-c-n-j-y
2. C
分析：根据对顶角的性质可判断∠1+∠2等于90°。
解：∠1+∠2等于90°故选C
3. C
分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．21*cnjy*com
解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴AB=2BC=4，
由勾股定理得，AC2=AB2-BC2，
∴AC=2． 故选 C．
4. C
分析：由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．
解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A互余的角有2个，
故选C．
5.A
分析：设斜边AB=2x，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x，再利用勾股定理列式求出x的值，从而得到AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【来源：21·世纪·教育·网】
解：设斜边AB=2x，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC= QUOTE AB=x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，
即（2x）2=（）2+x2，
解得x=1，
∴AB=2×1=2cm，
AB边上的中线长= QUOTE AB= QUOTE ×2=1cm．故选A．
6.B
分析：作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC= QUOTE AB×CD= QUOTE ×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格：150a元． 故选B．
7. 分析：根据直角三角形中线的性质解答即可。
解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴在Rt△BCE中，EM=12BC=4，
在Rt△BCF中，FM=12BC=4，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13．
8.分析：先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等），
∵AD=2cm，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm．
∴AB的长度是8cm．
9.
解：∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.
∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.
∵△ABC为直角三角形，
∴∠CAB=90°-35°=55°.
∵DC是斜边AB上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠ACD=∠A=55°
10.
分析：根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD=BD=3，即可求出答案．21世纪教育网版权所有
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∠A=90°-60°=30°，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°， 21cnjy.com
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=，
∵AD=6，
∴BD=6，
∴CD=BD=3，
∴AC=6+3=9，
故答案为：9．
11.
解：∵∠B=∠C，∴AB=AC.
又D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
又E是AC的中点，∴DE=AC.
∵AB=AC，AB=8，
∴DE=AB=×8=4.
12.分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.21教育网
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90 ∠A=30°∴
∵AB=8 ∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，，
∴
13.证明：∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°
∴∠DCA=22. 5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°
∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°
∴DE=DC
14.分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点，
∴ ∴
∴.
15.解：∵在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴且，∠2=∠3
∵DE∥CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3
∴在△DEA与△DFC中
∴△EDA≌△DFC（SAS）
∴AE=DF
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湘教版数学八年级下册1.1.1课时教学设计
课题 直角三角形的性质与判定 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 通过图形的变换?引导学生发现提出新问题进行类比联想?促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。
能力目标 巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
知识目标 掌握直角三角形的性质和判定
重点 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用
难点 直角三角形斜边上的中线性质定理的探索过程及证明思想方法
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 直角三角形的定义？三角形内角和的性质？三角形中线的定义 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，对八年级的学生而言不难理解，只需加以归纳，不需花力气。
讲授新课 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？结论：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言：∵△ABC为Rt△，∠C=90°∴∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)探究已知如图，∠A＋∠B＝900，试证明△ABC是直角三角形。结论：有两个角互余的三角形是直角三角形。几何语言：∵∠A+∠B=90°∴ △ABC为Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)练习1、Rt△ABC中，一个锐角∠A＝500，则另一个锐角∠B＝ 。2.若一个三角形的三内角之比为2:1:1，则该三角形是 .3.△ABC中，∠A=∠B,∠B=∠C,∠A= ,∠B= .∠C= .画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一量比较各线段的长度。你能猜出什么结论？ 是否任意一个Rt △ABC都有CD=AB 成立呢？我们来验证一下.如图1-3， 如果中线CD =AB，则有∠DCA = ∠A .由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD’交AB于D’，使 ∠D’CA=∠A，则CD’=AD’ 又∵∠A +∠B=90° ， ∠D’CA +∠D’CB=90°∴ ∠B= ∠D’CB∴CD’=BD’故得CD’=AD’=BD’=∴ 点D’是斜边上的中点，即CD’是斜边AB的中线.从而CD与BD’重合，且CD=结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何语言：∵△ABC为Rt△，∠C=90°∴CD=AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中线，且.求证：△ABC是直角三角形.证明：∵ ，∴∠1=∠A，(等边对等角)∠2=∠B .根据三角形内角和性质，有∠A+∠B+∠ACB =180°，即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，2(∠A+∠B)=180°.∴∠A+∠B =90°.∴ △ABC是直角三角形练习：如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长. 学生思考，进行探索，并试着得出两锐角之和等于90°学生探究直角三角形的性质的逆定理学生自主解答，教师适时的进行提示学生自己动手操作画出直角三角形，找出斜边中线，然后测量长度，试着进行探究并总结出结论学生自主解答，教师适时的进行提示学生自主解答，老师巡视指导 学生充分利用以前的知识得出相应的性质，对知识加以巩固利用。增强学生自己解决问题的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进行巩固课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。增强学生观察和解答问题的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A -∠B =30°，那么∠A=（ ） A. 90° B. 80° C. 70° D. 60° 答案：D2.如图， 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，则图中等腰三角形的个数有（ ）A. 4个； B. 3个； C. 2个； D. 1个； 答案：C3、 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，CE⊥AB，CE=4，则△ABC的面积是 。答案： 204、如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，△AHC是 三角形。 答案：直角5、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。求证：DE=DC。答案：证明：∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90° ∴∠DCA=22. 5° ∠BCD=67.5° ∠B=22.5° ∴∠CEA=45° ∠ECD=67.5°-22.5°=45° ∴DE=DC6、在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。答案：解：∵在Rt△ACB中，D为AB中点， ∴CD=AB=AD∴∠2=∠3∵DE∥CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3∴在△DEA与△DFC中∴△EDA≌△DFC（SAS）∴AE=DF 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 直角三角形的性质与判定直角三角形的两个锐角互余。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
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1.1.1直角三角形的性质和判定
湘教版 八年级下
导入新知
三角形顶点与对边中点的连线段。
1.直角三角形的定义
2.三角形内角和的性质
有一个是直角的三角形叫直角三角形。
三角形内角和等于180°。
3.三角形中线的定义
新知讲解
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
∠A+∠ B=90 °
在RT△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，可得：
新知讲解
结论
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的性质
几何语言：
∵△ABC为Rt△，∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
(直角三角形的两个锐角互余)
新知讲解
探究
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝1800
又∵∠A＋∠B＝900
∴∠C＝900
∴△ABC是直角三角形。
已知如图，∠A＋∠B＝900，试证明△ABC是直角三角形。
新知讲解
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
结论
几何语言：
∵∠A+∠B=90°
∴ △ABC为Rt△
(有两个角互余的三角形是直角三角形)
学以致用
1、Rt△ABC中，一个锐角∠A＝500，则另一个锐角∠B＝ 。
400
2.若一个三角形的三内角之比为2:1:1，则该三角形是 .
3.△ABC中，∠A=∠B,∠B=∠C,∠A= ,∠B= .∠C= .
等腰直角三角形
20°
40°
120°
新知讲解
画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一量比较各线段的长度。你能猜出什么结论？
我们来验证一下.
是否任意一个Rt △ABC都有CD=AB 成立呢？
BD=AD=CD，即CD=AB
新知讲解
图1-4
如图1-3， 如果中线CD =AB，则有∠DCA = ∠A .
由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD’交AB于D’，使 ∠D’CA=∠A，则CD’=AD’
图1-3
新知讲解
∠A +∠B=90° ， ∠D’CA +∠D’CB=90°
又∵
故得CD’=AD’=BD’=
∴ 点D’是斜边上的中点，即CD’是斜边AB的中线.
从而CD与BD’重合，且CD=
∴ ∠B= ∠D’CB
∴CD’=BD’
结论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质定理：
几何语言：
∵△ABC为Rt△，∠C=90°
∴CD=AB
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
新知讲解
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中
线，且.
求证：△ABC是直角三角形.
新知讲解
新知讲解
证明：∵ ，
∴∠1=∠A，(等边对等角)
∠2=∠B .
根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB =180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形
学以致用
如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
学以致用
由EH=2 易知AC=4.
证明：∵ AB∥CD，∴ ∠BAC+∠DCA=180°.
又∠CAH=∠BAC ，∠ACH=∠DCA，
∴△AHC是直角三角形.
在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线，
∵∠CAH+∠ACH=
∴EH=
巩固提升
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A -∠B =30°，那么∠A=（ ）
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
2.如图， 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点
则图中等腰三角形的个数有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
D
C
巩固提升
3、 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，CE⊥AB，CE=4，则△ABC的面积是 。
20
4、如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，△AHC
是 三角形。
直角
巩固提升
5、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC。
证明：∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°
∴∠DCA=22. 5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°
∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°
∴DE=DC
巩固提升
6、在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。
求证：AE=DF。
巩固提升
解：∵在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴CD=AB=AD
∵DE∥CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3
∴在△DEA与△DFC中
∴△EDA≌△DFC（SAS）
∴AE=DF
∴∠2=∠3
课堂小结
直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的判定：
直角三角形的有关性质：
(1)有两个角互余的三角形是直角三角形.
(2)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
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