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湘教版数学八年级下册1.1.2课时教学设计
课题 直角三角形的性质与判定 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。
能力目标 经历“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”性质的发现过程。掌握直角三角形的性质，会运用直角三 角形的性质进行简单的推理和计算。
知识目标 掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”， 掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”
重点 直角三角形性质“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”。
难点 直角三角形性质的应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点∠A+ ∠B=90° CD=AD=BD=AB2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角的和是90°的三角形是直角三角形； （3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。 学生解答问题 学生通过复习直角三角形的性质来引出新知识。
讲授新课 在Rt △ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？分析：1.辅助线的常用作法有 ：作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线，作相等的角等等。2、你打算怎样作辅助线？结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.图形语言：已知△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°(∠A=60°)，那么：AC= AB想一想：还有其他方法证明这个定理吗？延长BC到D，使CD=BC，连接AD将△ABC沿AC对折，得到轴对称图形△ADC。这样构成等边△ADB你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的这条性质吗？可证得：AB=2DC=2BC，即：BC=AB练习如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．如图，在Rt△ABC中，如果BC=AB ，那么∠A等于多少？结论在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.例1在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗 礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？练习：如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中 AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为 米． 学生思考，添加辅助线，得出BC=AB学生试着用不同的方法验证直角三角形的性质学生自主解答，教师适时的进行提示学生自己动手添加辅助线，然后进行解答并总结出结论。学生自主解答，教师适时的进行提示学生自主解答，老师巡视指导 增强学生自己解决问题的能力。通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。增强学生解答问题的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( )A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm答案：C2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为 （ ） A、4.9 B、9 C、12 D、15答案： C3、如图所示，一个人从山下A点沿30°的坡路登上山顶，他走了500米后到达山顶的点B，则这座山的高度是 米答案： 2504.如图,在△ABC中，若∠BAC=120°，A B=AC，AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.答案：95、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1.(1)求证：AD＝BE；(2)求AD的长．答案：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)．∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD(2)∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，又∵BQ⊥PQ，∴∠PBQ＝30°.∴PB＝2PQ＝6.∴BE＝PB＋PE＝7.∴AD＝BE＝7.2 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
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1.1.2直角三角形的性质和判定同步练习
1. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是( )
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm【来源：21·世纪·教育·网】
3. 等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为( )
A.10 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )
A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC
5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足( )
A.0°＜∠B＜15° B.∠B=15° C.15°＜∠B＜30° D.∠B=30°
6. 等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( )
A.30° B.30°或150° C.120°或150°D.30°或120°或150°
7. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )21世纪教育网版权所有
A.25° B.30° C.45° D.60°
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.21*cnjy*com
9.如图，AC=BC=6cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ______ ．
10. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米. 【来源：21cnj*y.co*m】
11.在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长是 。
12. 如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，则CD的长是 .
13. 已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.求证：CD⊥AB.【出处：21教育名师】
14. 如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？
15. 已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.
答案：
1. D
分析：首先根据角的比的关系可以判断三角形是直角三角形，从而根据中线性质得到最长边的长度。
解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC是直角三角形，根据直角三角形中线性质可得斜边AB为8 cm，故选D。21cnjy.com
2. C
分析：根据直角三角形中一角为30°的性质可解答。
解：在Rt△ABC中
∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°
∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等）∵AD=2cm
在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm
在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm∴AB的长度是8cm．故选C.
3. B
分析：根据等角三角形的角的关系进行计算可得顶角大小，从而根据直角三角形一锐角为30度的性质可的高长。21·cn·jy·com
解：
设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则
2x+4x=180°，解得x=30°，
则顶角是120°，
如右图，在Rt△ABD中，AB=10，∠B=30°，∴AD= AB=5．故选B．
4. A
分析：根据直角三角形一直角为30度的性质可得。
解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，∠B=30°所以AB=2AC ，故选A。
5. D
分析：根据直角三角形中角平分线的性质可得到答案。
解：解；过点D作DE⊥AB， ∵在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线， ∴ED=CD， ∵BD：DC=2：l，DE⊥AB， ∴BD/E =2/1 ， ∴∠B=30°． 故选D．2·1·c·n·j·y
6. D
分析：分两种情况进行讨论解决。
解：（1）腰上的高是“腰”长的一半 ----->顶角＝30°或150° (在直角三角形中,30度所对的边为斜边的一半) （2）腰上的高是“底边”长的一半 --->底角＝30° 顶角=120。故选D。www-2-1-cnjy-com
7.B
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE,从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质和三角形的外角性质得到∠B=2∠A,从而不难求得∠A的度数。
解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵△CED是由△CBD折叠而成，
∴∠B=∠CED，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，
∴∠B=2∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=30°．
故答案为：30．故选B.
8.
分析：根据直角三角形斜边中线性质可解答得到。
解：解：∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD=4，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
故答案为：2．
9.
分析：根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．www.21-cn-jy.com
解：∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=15°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AD⊥BC，
∴AD= QUOTE AC= QUOTE ×6cm=3cm．
故答案为3cm．
10.
分析：根据直角三角形一直角为30度的性质解得。
解：
如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB，
而BC=4米，∴AB=8米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．
故答案为：12．
11.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.
∵AB=8 cm，∴BC=4 cm.
故最短的边的长是4 cm.
12.
分析：在Rt△AEC中，由于= ，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．21教育网
解：在Rt△AEC中，∵2CE=AC，
∴∠1=∠2=30°.
∵AD=BD=4，
∴∠B=∠2=30°.
∴∠ACD=180°-30°×3=90°.
∴CD=AD=2.
13.
分析：由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．21·世纪*教育网
证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，
∴CM=AB=BM.
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴CB=AB=BM.
∴CM=CB.
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，
即CD⊥AB.
14. 解
分析：根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半，先求出BC的长度，再根据两个方位角可证明AB=BC，然后AB与BD相加即可得解。2-1-c-n-j-y
解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.
在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.
∴AB=BC=2BD.
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD=80海里.
∴AB=BC=160海里.
∴AD=160+80=240(海里).
因此船从A到D一共走了240海里.
15.
解：取CD的中点E,连接AE,
∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°.
∵E是CD的中点,CD=2,
∴AE=CD=DE=CE=×2=1.
∵BD=1,∴BE=CD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴AD=AE=1=CD.
又∵∠CAD=90°,
∴∠C=30°.
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1.1.2直角三角形的性质和判定
数学湘教版 八年级下
导入新知
1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。
Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
D
C
B
A
∠A+ ∠B=90°
CD=AD=BD=AB
2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
新知讲解
在Rt △ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
分析：1.辅助线的常用作法有 ：
30 °
B
C
A
作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线，作相等的角等等。
2、你打算怎样作辅助线？
新知讲解
D
证明：取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.
则有：CD=AB=BD
因为∠A+∠B=90°， 且∠A=30°，
则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，
于是得：BC=CD=BD=AB.
新知讲解
结论
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形性质定理：
C
B
A
30°
图形语言：
已知△ABC中， ∠ACB=90°，
∠B=30°(∠A=60°)，
那么：AC= AB
新知讲解
想一想：还有其他方法证明这个定理吗？
D
A
C
B
300
600
你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的这条性质吗？
（1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD
（2）将△ABC沿AC对折，得到轴对称图形△ADC。
这样构成等边△ADB
可证得：AB=2DC=2BC，
即：BC=AB
学以致用
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
学以致用
解：(1)∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.
又∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
新知讲解
解：取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边上的中线，
D
如图，在Rt△ABC中，如果BC=AB ，那么∠A等于多少？
则有：CD=AB=BD
又BC=AB ，所以CD=BD=BC，
即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°.
而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
新知讲解
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
逆定理
结论
新知讲解
例1 在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗 礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？
新知讲解
分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.
解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°.
所以轮船不会触礁.
于是：AD= AO=×30≈25.98（海里）>20海里
学以致用
如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中 AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为 米．
6
巩固提升
1．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( )
A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为 （ ）
A、4.9 B、9 C、12 D、15
C
C
巩固提升
3、如图所示，一个人从山下A点沿30°的坡路登上山顶，他走了500米后到达山顶的点B，则这座山的高度是 米
4.如图,在△ABC中，若∠BAC=120°，A B=AC，AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
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巩固提升
5、如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求AD的长．
巩固提升
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD
巩固提升
(2)∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，
又∵BQ⊥PQ，
∴∠PBQ＝30°.
∴PB＝2PQ＝6.
∴BE＝PB＋PE＝7.
∴AD＝BE＝7.2
课堂小结
直角三角形的性质与判定
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
逆定理：
直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
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