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1.2.1直角三角形的性质与判定练习题
一、选择题
1. 如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
A．9 B．24 C．45 D．51
2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．
A．12 B．7＋ C．12或7＋ D．以上都不对
3. 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13 B．8 C．25 D．64
4. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1
5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5和7 D．25或7
6. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．www.21-cn-jy.com
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
7. 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2www-2-1-cnjy-com
二、填空题
8. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
9. 如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．
10. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是 ．
11. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
12. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于 ．
三、解答题
13. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？21·cn·jy·com
14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.2-1-c-n-j-y
15. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）21·世纪*教育网
答案：
1. C
分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
解：∵ =15厘米，
∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．
2.C
（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋＝7＋）21教育网
故选C；
3. B
分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，
解得：x=8．故选B．
4. D
分析：根据勾股定理直接解答即可．
解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是： ===n2+1．故选D．
5. D
分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．
解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．
6. D
（提示：筷子在杯中的最大长度为＝17cm，最短长度为8cm，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h≤24－8，即7cm≤h≤16cm，）2·1·c·n·j·y
故选D．
7. A
分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．21*cnjy*com
解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE，
设AE=xcm，则ED=BE=（9﹣x）cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=（9﹣x）2，
解得：x=4，
∴△ABE的面积为：3×4×=6（cm2）．故选：A．
8.分析：由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
9. 3.6（提示：设DC＝x，则BD＝5－x．在Rt△ABD中，AD2＝52－（5－x）2，在Rt△ADC中，AD2＝62－x2，∴52－（5－x）2＝62－x2，x＝3.6．故AD＝＝4.8）；
10. 分析：在直角三角形ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出AB的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
根据勾股定理得：AB==5，
则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，
故答案为：19．
11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．21cnjy.com
解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
12.
分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．
解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，
∴BD=AD=5，
∵BC=8，
∴CD=BC﹣BD=3，
∴AC==4，
故答案是：4．
13.
分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
14.
解：.∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∴AD=DB.
又∵Rt△CBD中，CD=5 cm，
∴BD=10 cm.
∴BC===5(cm).
∴AB=2BC=10 cm.
15. 解 如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，∴AC＝2x．由勾股定理21世纪教育网版权所有
得AD＝＝＝x．∵AD＋DB＝2.732，
∴x＋x＝2.732，∴x≈1．即CD≈1＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
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1.2.1直角三角形的性质和判定
数学湘教版 八年级下
导入新知
这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.
同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？
新知讲解
1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.
b=4
A
C
B
a=3
5
c=
通过测量三角形ABC的斜边长5
新知讲解
P
R
Q
A
B
C
正方形P的面积 正方形Q的面积 正方形R的面积
9
16
？
怎么求SR的大小？
如图，小方格的边长为1.
新知讲解
P
Q
R
S1=32=9
S2=42=16
S3=72-×3×4×4 =25=52
S1+S2=S3
即：32+42=52
从Rt ABC的三边看，
就有：AC2+BC2=AB2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
新知讲解
是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？
新知讲解
我们剪四个这样的直角三角形和一个边长是c的正方形，如图摆放：
由于△DHK≌△EIH
∴∠2=∠4
∵∠1+∠2=90° ∴∠1+∠4=90°
∵∠KHI=90° ∴∠1+∠KHI+∠4=180°，
即D、H、E在一条直线上
同理E，I，F在一条直线上；
F，J，G在一条直线上；
G，K，D在一条直线上
证法一
D
K
G
H
E
I
F
J
2
1
4
3
所以：(a+b)2=c2+4×ab
即：a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+2ab+b2=c2+2ab
结论：
因此正方形DEFG的边长是(a+b)，则面积是(a+b)2
又正方形DEFG的面积为
新知讲解
证法二
∵
=4
=4×
=2ab+
=
∴
新知讲解
新知讲解
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
如图，在Rt △ABC中
∵ ∠C=90°
∴a2+b2=c2（或：AC2+BC2=AB2)
A
C
B
c
b
a
强调：勾股定理反映了直角三角形三边关系
已知直角三角形任意两边求第三边。
b
a
c
B
C
A
c2 = a2 + b2
√
a2+b2
c=
a2 = .
b2 = .
√
c2-b2
a=
√
c2-a2
b=
c2-b2
c2-a2
新知讲解
Rt ABC中，∠A=900，AC=3，BC=4，求AB长。
学以致用
解：AB=
新知讲解
例1、如图， 在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm， BC =10cm，AD⊥BC于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？
解 在△ABC 中， ∵ AB= AC= 13， BC=10，AD⊥BC，
∴ BD=BC=5.
在 Rt△ADB 中，由勾股定理得，
AD2 +BD2=AB2，
∴ AD====12.
故AD的长为12cm.
学以致用
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米.这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
B
C
A
3
5
？
解：在Rt△ABC中，
答：飞机飞过的距离是4千米.
巩固提升
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论成立的是（ ）
A、2abc2 D、2ab≤c2
2、一个直角三角形的三边分别是2、3、x，那么以x为边长的正方形面积是（ ）
A. 13； B. 5； C. 13或5； D.无法确定；
D
C
巩固提升
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC= .
9
4、在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若BD=3，DC=1，则AD=_______。
4
巩固提升
5、已知在△ABC中，∠ACB＝90° ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长。
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理有AC=4，
∴
∴CD=
巩固提升
6、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900 ，D是BC上任一点，
求证：BD2+CD2=2AD2
巩固提升
证明：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，
则DE∥AC，DF∥AB
又∵AB＝AC，∠BAC＝900 ，
∴EB＝ED， FD＝FC＝AE
在Rt△EB D和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2
在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2
∴BD2+CD2=2AD2
课堂小结
直角三角形的性质与判定
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2
勾股定理
（两直角边的平方和等于斜边的平方。）
常用的勾股数：
①3 4 5 ②5 12 13 ③7 24 25 ④8 15 17
⑤9 40 41以及它们的倍数
谢谢
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湘教版数学八年级下册1.2.1课时教学设计
课题 直角三角形的性质与判定 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受.
能力目标 在探索勾股定理的过程中培养学生的思维能力和语言表达能力.
知识目标 经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程。
重点 掌握勾股定理
难点 通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ 学生解答问题 学生通过观察图片，来引出新知识。
讲授新课 在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.如图，小方格的边长为1.怎么求的大小？如图：S1=32=9 S2=42=16S3=72-×3×4×4 =25=52S1+S2=S3即：32+42=52从Rt ABC的三边看，就有：AC2+BC2=AB2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？证法一我们剪四个这样的直角三角形和一个边长是c的正方形，如图摆放：由于△DHK≌△EIH∴∠2=∠4∵∠1+∠2=90° ∴∠1+∠4=90°∵∠KHI=90° ∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D、H、E在一条直线上同理E，I，F在一条直线上；F，J，G在一条直线上；G，K，D在一条直线上因此正方形DEFG的边长是(a+b)，则面积是(a+b)2又正方形DEFG的面积为所以：(a+b)2=c2+4×aba2+2ab+b2=c2+2ab即：a2+b2=c2结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。证法二∵=4 =4× =2ab+ =∴勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：如图，在Rt △ABC中∵ ∠C=90°∴a2+b2=c2（或：AC2+BC2=AB2)强调：勾股定理反映了直角三角形三边关系已知直角三角形任意两边求第三边。Rt ABC中，∠A=900，AC=3，BC=4，求AB长。例1、如图， 在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm， BC =10cm，AD⊥BC于点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？ 练习：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米.这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？ 学生思考，用直尺测量出c的长度学生试着用面积割补法求出图片中R的面积，从而得出结论学生试着探究直角三角形三边之间的关系学生自己动手剪拼，然后进行解答并总结出结论。学生试着用另一种方法证明学生总结勾股定理内容，并用几何语言表示出来学生自主解答，老师巡视指导学生自主解答例题，老师适时的进行提示 增强学生自己动手的能力。通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。增强学生解答问题的能力。培养学生一题多解的能力。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论成立的是（ ） A、2abc2 D、2ab≤c2答案：D2.一个直角三角形的三边分别是2、3、x，那么以x为边长的正方形面积是（ ）A. 13； B. 5； C. 13或5； D.无法确定；答案： C3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC= .答案： 94.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若BD=3，DC=1，则AD=_______。 答案：45、已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长。答案：解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有AC=4，∴ ∴CD=6、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900 ，D是BC上任一点， 求证：BD2+CD2=2AD2 答案：证明：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F， 则DE∥AC，DF∥AB又∵AB＝AC，∠BAC＝900 ，∴EB＝ED， FD＝FC＝AE 在Rt△EB D和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2 在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2 ∴BD2+CD2=2AD2 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 勾股定理如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2（两直角边的平方和等于斜边的平方。）常用的勾股数：3 4 5 ②5 12 13 ③7 24 25 ④8 15 17 ⑤9 40 41以及它们的倍数
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