21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.3直角三角形的性质与判定练习题
一、选择题
1.若△ABC三边长a，b，c满足+||+（）2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2. 有五根木棒他们的长度分别是2cm，6cm，8cm，10cm，12cm，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为 （ ）21教育网
A．2cm，6cm，8cm B．6cm，8cm，10cm
C．6cm，8cm，12cm D．2cm，8cm，12cm
3. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4. 长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）21·世纪*教育网
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．www-2-1-cnjy-com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B．如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C．如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D．如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
7. 下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
8.如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.21世纪教育网版权所有
9.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________2-1-c-n-j-y
.
10．观察以下几组勾股数,并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41，…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .
11.已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 三角形．
三、解答题
12. 一如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？21*cnjy*com
13.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.
14. 某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲轮船每小时航行24海里，乙轮船每小时航行18海里，它们离开港口一个半小时后相距45海里，如果知道甲轮船沿东北方向航行，那么请你判断乙轮船沿哪个方向航行，并说明理由。
15. （1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：
1.C
解答：∵△ABC三边长a，b，c满足+||+（）2=0=0，且≥0，||≥0，（）2≥0【出处：21教育名师】
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故选C．
2. B
根据勾股定理逆定理进行计算即可得出
故选C．
3. D
解答：根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=
∵
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
故选D．
4. B
解答：根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有
9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；
根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有
9、12、15和15、36、39．
故选B．
5. D
解答：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；21cnjy.com
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
6. C
解答：A、∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B、∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C、∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D、∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故选C．
7.C
解答：①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故选C．
8. 解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.
根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.
∴AB= cm.
9. 思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以AB=.21·cn·jy·com
答案：
10. 解答：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2，解得x=60，则得第⑤组勾股数是11，60，61．www.21-cn-jy.com
答案：11，60，61．
11. 解答：根据题意得，m﹣=0，n﹣2=0，p﹣=0，
解得m=，n=2，p=，
∴m=p，
又∵2+2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
12.
解答：△ABC是等腰三角形，
理由是：∵BC=18cm，BC边上的中线为AD，
∴BD=CD=9cm
∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm
∴AB2=1681，
BD2+AD2=1681，
∴AB2=BD2+AD2，
∴AD⊥BC
∵BD=CD，
∴AC=AB
∴△ABC是等腰三角形．
13. 思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.2·1·c·n·j·y
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S△BDA=×3×4=6;S△DBC=×6×4=12.
∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
14. 解：根据题意 PQ = 24 X 1.5 = 36 ,
PR = 18X 1.5 = 27 ,
QR = 45．
因为362+272=452 ，即 PQ2+PR2 = QR2 ,
所以 ∠QPR = 90°．
由甲轮船沿东北方向航行，可知∠QPA = 45°，
所以 ∠RPA = 90°．
即 乙轮船沿西北方向航行．
15. 解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）PA2+2PB2=PC2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版数学八年级下册1.2.3课时教学设计
课题 直角三角形的性质与判定 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
能力目标 1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神
知识目标 1.掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法
重点 探究勾股定理的逆定理
难点 归纳、猜想出勾股定理逆定理的结论
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一个三角形满足什么条件才能是直角三角形 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角的和是90°的三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形的三边a，b，c满足那么这个三角形是直角三角形吗？ 学生解答问题 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．
讲授新课 猜想如果三角形的三边长a，b，c满足：，，那么这个三角形是直角三角形如图，已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且，求证：△ABC是直角三角形分析：如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.可以画一个Rt△A’B’ C’ ，使∠C’=90°，B’C’ =a ，A’C’=b，如图根据勾股定理，A’B’2 =a2+b2 ,因为 a2+b2=c2，所以A’B’2 =c2，于是斜边A’B’=c在△ABC和△A’B’C’中，因为BC=B’C’=a，AC=A’C’=b,AB=A’B’=c所以△ABC ≌ △A’B’C’(SSS)于是∠C=∠C’=90° (全等三角形的对应角相等)所以△ABC是直角三角形.结论:直角三角形的判定定理：如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。 （2）运用时注意条件。如图， △ABC的三边为a、b、c， ∵a2 + b2 = c2， ∴ △ABC是直角三角形。例1 判断由a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15 , b =8 , c=17(2) a=13 , b =15 , c=14满足的三个正整数称为勾股数练习已知△ABC的三边分别为a，b，c且a=，b=2mn，c=+(m>n，m，n是正整数)，△ABC是直角三角形吗？说明理由例2 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6， AC=17，求DC的长.练习：已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形. 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发学生自主解答，教师适时的进行提示由学生自己独立完成，教师巡视学生的结果学生自主解答，教师适时的进行提示让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路 由特殊到一般，归纳猜想出"如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。增强学生解答问题的能力。进一步理解和掌握勾股定理的逆定理，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5答案：D2.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（ ）A．3 B． C．1 D．4答案：A3、如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（ ≈1.732，结果保留三个有效数字）（ ）A．5.00米 B．8.66米 C．17.3米 D．5.77米答案：D4.4.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .答案：120cm25、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.答案：解：连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，而 AB2=132=169，∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD= AB·BC＋AC·CD =×3×4＋ ×5×12=6＋30=36.6、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.答案：解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a2+b2=169=c2,∴△ABC是直角三角形. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。勾股定理逆定理的运用步骤：(1)先确定最长边；(2)计算较短的两边的平方和；(3)若较短两边的平方和等于较长边的平方，则是直角三角形，否则不是直角三角形
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
1.2.3直角三角形的性质和判定
数学湘教版 八年级下
导入新知
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形
(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形
(3)如果一个三角形的三边a，b，c满足
那么这个三角形是直角三角形吗？
新知讲解
如图，已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，
求证：△ABC是直角三角形
猜想
如果三角形的三边长a，b，c满足：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
分析：如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.
新知讲解
可以画一个Rt△A’B’ C’ ，
使∠C’=90°，B’C’ =a ，
A’C’=b，如图
根据勾股定理，A’B’2 =a2+b2 ,
因为 a2+b2=c2，
所以A’B’2 =c2，
于是斜边A’B’=c
先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略
因为BC=B’C’=a，AC=A’C’=b,
AB=A’B’=c
所以△ABC ≌ △A’B’C’(SSS)
于是∠C=∠C’=90° (全等三角形的对应角相等)
所以△ABC是直角三角形.
在△ABC和△A’B’C’中，
新知讲解
新知讲解
结论
如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
C
B
A
c
b
a
注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。
（2）运用时注意条件。
如图， △ABC的三边为a、b、c，
∵a2 + b2 = c2，
∴ △ABC是直角三角形。
新知讲解
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C边所对的角为直角.
互逆命题
新知讲解
例1 判断由a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形：
a=15 , b =8 , c=17
(2) a=13 , b =15 , c=14
满足的三个正整数称为勾股数
根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方。
分析：
新知讲解
(2)∵132＋142=169＋196=365
而152=225
∴ 132＋142≠152
∴这个三角形不是直角三角形
注意：书写格式。
解：(1)∵152＋82=225＋64=289
而172=289
∴ 152＋82=172
∴这个三角形是直角三角形
学以致用
已知△ABC的三边分别为a，b，c且a=，b=2mn，c=+(m>n，m，n是正整数)，△ABC是直角三角形吗？说明理由
∴△ABC是直角三角形
解：∵
新知讲解
例2 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6， AC=17，求DC的长.
新知讲解
∠ADC=180°-∠ADB=90°.
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得 DC2=AC2-AD2，
解：在△ABD中，
已知 AB = 10，BD=6，AD=8，
根据62+82=102， 即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB = 90°，
所以DC=
学以致用
已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
巩固提升
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（ ）
A．3 B． C．1 D．4
D
A
巩固提升
3、如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（ ≈1.732，结果保留三个有效数字）（ ）
A．5.00米 B．8.66米 C．17.3米 D．5.77米
4.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
D
120cm2
巩固提升
5、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
巩固提升
解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，
∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，
∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD= AB·BC＋AC·CD
=×3×4＋ ×5×12=6＋30=36.
巩固提升
6、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,
配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.
∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.
∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.
解得a=5,b=12,c=13.
又∵a2+b2=169=c2,
∴△ABC是直角三角形.
课堂小结
直角三角形的性质与判定
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理逆定理：
勾股定理逆定理的运用步骤：
(1)先确定最长边；(2)计算较短的两边的平方和；
(3)若较短两边的平方和等于较长边的平方，则是直角三角形，否则不是直角三角形
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站
有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
赶快加入21世纪教育网名师合作团队吧！！月薪过万不是梦！！
详情请看：http://www.21cnjy.com/zhaoshang/
