(共20张PPT)
1.3 直角三角形全等的判定
数学湘教版 八年级下
导入新知
１．三角形全等的判定定理有哪些
SAS ASA AAS SSS
２．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗
(即有SSA或ASS判定吗？)
不一定，没有SSA或ASS判定
３．如果其中一边所对的角是直角呢
新知讲解
如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，已知AB=A’B’，AC=A’C’，∠ACB=∠A’C’B’=90°，那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？
请用推理的方法说明你猜想的正确性。
全等
分析：因为AB=A’B’，AC=A’C’，所以由勾股定理可得BC=B’C’，从而得出Rt△ABC ≌ Rt△A’B’C’
证明： ∵ ∠ACB=∠A’C’B’=90°，
AB=A’B’，AC=A’C’
∴BC= ，B’C’=
∴BC=B’C’
Rt△ABC和Rt△A’B’C’中
∴Rt△ABC ≌ Rt△A’B’C’(SSS)
新知讲解
新知讲解
有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
在Δ ABC和Δ A’B’C’中，
∵ ∠ C= ∠ C’=90°
AB=A’B’
AC=A’C’
∴ Rt△ABD≌Rt△ A’B’C’
结论：
几何语言
强调：(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法
(2)注意分别相等
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，
还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
想一想
1、总共有几种方法可以证明两个直角三角形全等？
新知讲解
例1 如图，BD、CE分别是△ABC的高，且BE=CD。求证： Rt△BEC≌Rt△DCB。
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵BC=CB
BE=CD
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)
已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC=DF，连接AC、DF.
求证：∠A=∠D.
学以致用
证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC.即BC=EF.
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B=∠E=90°.
在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵AC=DF，BC=EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
∴∠A=∠D.
新知讲解
例2 已知一直角边和斜边，求作直角三角形。
a
c
已知：线段a,c(c＞a)
求作：Rt△ABC,使AB=c，BC=a
作法：（1）作∠MCN=90°。
A
B
C
M
N
（2）在CN上截取CB，使CB=a.
(3)以点B为圆心，以c为半径画弧，交CM于点A，连接AB。
新知讲解
学以致用
用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30°
作法：(1)作∠MCN=90°.
(2)在CN上截取CB，使CB=a.
(3)以B为圆心，以2a为半径画弧，交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形.
巩固提升
1、在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和它所对的直角边对应相等
D.一条斜边和一条直角边对应相等
A
巩固提升
2.如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
C
3、已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.
4、如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.
30°
AB=AC
巩固提升
巩固提升
5、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.
解：BE与AC垂直.
理由：
∵AD是△ABC的高， ∴∠BDF=∠ADC=90°.
∴在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD.
∴Rt△BDF≌△Rt△ADC(HL).
∴∠DBF=∠DAC.
∵∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°.
∴∠DBF+∠ACD=90°.
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC.
巩固提升
巩固提升
6、已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF.求证：AB∥CD.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,DE=BF，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴∠ACD=∠CAB.
∴AB∥CD.
课堂小结
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的识别
直角三角形全等的识别
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
SAS
ASA
AAS
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
谢谢
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1.3直角三角形全等的判定练习题
一、选择题
1. 在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=10,b=8,c=6;②a2=3,b2=4,c2=5;③a2=(b+c)(b-c)；④∠A=2∠B=2∠C。其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）www.21-cn-jy.com
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A、90° B、135° C、150° D、180°
3. 如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC △DAE的是（ ）
A、AC=AE B、BC=DE C、∠B=∠D D、∠C=∠E
4. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．2·1·c·n·j·y
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )
A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD
6. 如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为( )m.【来源：21·世纪·教育·网】
A.400 B.600 C.500 D.700
二、填空题
7. 已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是__________.
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，
则∠ABC= 度．
9. 如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 （填入序号） 21·世纪*教育网
①AB=DC，∠B=∠C； ②AB=DC，AB∥CD；
③AB=DC，BE=CF； ④AB=DF，BE=CF．www-2-1-cnjy-com
10．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到 位置时，才能使ΔABC≌ΔPQA. 2-1-c-n-j-y
三、解答题
11. 如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. 求证：AB=AC21*cnjy*com
12. 已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？【出处：21教育名师】
13. 已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
14. 已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE【版权所有：21教育】
15.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；21教育名师原创作品
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：
1.C
2. B
3. B
4.C
5. B
分析：连接EC,可证明△ACE≌△DCE,从而得到答案。
解：连接EC,∵CD=CA，EC=EC，∴△ACE≌△DCE ，故得到DE=AE ，选B。
6. C
分析：由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．
解：如右图所示，
∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠ACB，
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400m，
∴△ABC≌△DEA，
∴EA=BC=300m，
在Rt△ABC中，AC=500m，
∴CE=AC-AE=200，
从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，
∴最近的路程是500m．故答案为500m。故选C。
7.分析：
结论：如图所示，Rt△ABC即为所求作的三角形．
解：HL
8. 45
9. ①②③
10．AC中点或C点
解：点P运动到AC中点时，△ABC≌△QPA．
∵AX⊥AC，∠C=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
又∵AP=CB=5，PQ=AB，
∴△ABC≌△QPA．
点P运动到C点时，△ABC≌△QPA．
∵AX⊥AC，∠C=90°，
∴∠BCA=∠PAQ=90°，
又∵AP=CA=10，PQ=AB，
∴△ABC≌△QPA．21教育网
11.
证明：
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC（三线合一）．21世纪教育网版权所有
12.
证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）
CE=CF（角平分线的性质）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）21cnjy.com
∴BE=DF
13.
证明：在Rt△ACB与Rt△ABD中
∴Rt△ACB≌Rt△BDF（HL）
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD
∴在Rt△CAE与Rt△BDF中
∴△CAE≌△BDF（AAS）
∴CE=DF.
14.
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°
∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）
∴DE=EC
又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.
15. 解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．21·cn·jy·com
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湘教版数学八年级下册1.3直角三角形全等的判定 教学设计
课题 直角三角形全等的判定 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性
能力目标 会运用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等
知识目标 1、探索两个直角三角形全等的条件.2、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）．
重点 直角三角形全等的判定的方法“HL”.
难点 直角三角形判定方法的说理过程.
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 １．三角形全等的判定定理有哪些 ２．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗 (即有SSA或ASS判定吗？)３．如果其中一边所对的角是直角呢 学生解答问题 先提问，让学生回答，既起了诊断评价的作用，又为导入新课、创设思维情 景奠定了基础。
讲授新课 如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，已知AB=A’B’，AC=A’C’，∠ACB=∠A’C’B’=90°，那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？请用推理的方法说明你猜想的正确性。分析：因为AB=A’B’，AC=A’C’，所以由勾股定理可得BC=B’C’，从而得出Rt△ABC ≌ Rt△A’B’C’证明： ∵ ∠ACB=∠A’C’B’=90°， AB=A’B’，AC=A’C’∴BC= ，B’C’=∴BC=B’C’Rt△ABC和Rt△A’B’C’中∴Rt△ABC ≌ Rt△A’B’C’(SSS)结论:有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 几何语言在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∵ ∠ C= ∠ C’=90° AB=A’B’ AC=A’C’∴ Rt△ABD≌Rt△ A’B’C’强调：(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法(2)注意分别相等总结：直角三角形全等的判定方法：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.例1 如图，BD、CE分别是△ABC的高，且BE=CD。求证： Rt△BEC≌Rt△DCB。练习已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC=DF，连接AC、DF.求证：∠A=∠D.例2 已知一直角边和斜边，求作直角三角形。已知：线段a,c(c＞a)求作：Rt△ABC,使AB=c，BC=a练习：用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30° 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发学生自主解答，教师适时的进行提示由学生自己独立完成，教师巡视学生的结果学生自主解答，教师适时的进行提示学生自己动手画出直角三角形 由特殊到一般，归纳出直角三角形全等的判定的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．培养学生运用直角三角形全等的判定，解决实际 问题，激发学生的学习兴趣 ，让学生获得成 功的体验，培养学生合作交流意识和大胆猜想，乐于探究的良好品质以及解决问题的能力通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。增强学生动手操作以及解答问题的能力。进一步理解和掌握勾股定理的逆定理，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．
巩固提升 1、在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一个锐角和它所对的直角边对应相等 D.一条斜边和一条直角边对应相等答案：A2.如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )A.1对 B.2对 C.3对 D.4对答案：C3、已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.答案： 30°4、如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.答案： AB=AC5、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.答案：解：BE与AC垂直. 理由：∵AD是△ABC的高， ∴∠BDF=∠ADC=90°.∴在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD.∴Rt△BDF≌△Rt△ADC(HL).∴∠DBF=∠DAC.∵∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°.∴∠DBF+∠ACD=90°.∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.6、 已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF.求证：AB∥CD.答案：证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,DE=BF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠ACD=∠CAB.∴AB∥CD. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 直角三角形全等的判定灵活运用各种方法证明直角三角形全等
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