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1.4.1角平分线的性质练习题
一、选择题
1. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（ ）21教育网
A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定
2.如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（ ）21·cn·jy·com
A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm
3．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（ ）www.21-cn-jy.com
A．10 B．20 C．15 D．25
4. 下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）21*cnjy*com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
6．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：
①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
7.如图所示在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB=6厘米，则△DEB的周长是 厘米．【来源：21·世纪·教育·网】
8.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO = ．21·世纪*教育网
如图所示，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于O点，OF⊥AD，OG⊥AE，垂足分别为F、G，则OF________OG.(填“＞”“＜”或“＝”)21cnjy.com【版权所有：21教育】
10.如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝ ．
11.如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为 ．【出处：21教育名师】
三、解答题
12．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：21教育名师原创作品
（1）DE=DC；
（2）BD=DF．
13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．21cnjy.com
14.已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．21*cnjy*com
15．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．
答案：
1.C
分析：根据三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．21世纪教育网版权所有
解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，
∴AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD=OE．
故选C．
2.解：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=DC=1.5cm，
∵BD=3cm，
∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，
故选D．
3.解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为6，
∴DE=6，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴DC=DE=6，
∵BD：DC=3：2，
∴BD=×3=9，
∴BC=BD+DE=9+6=15．
故选C．
4. B
5. A
6. B
解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
故选B．
7. 12. 分析：根据角平分线的性质即可证得AC=AE，CD=DE，据此即可证得△DEB的周长等于AB的长．2·1·c·n·j·y
解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°，
∴CD=DE，DA平分∠EDC．
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE
又∵BC=AC
∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米．
故答案是：6．
8.分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．www-2-1-cnjy-com
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB OD）：（BC OF）：（AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．2-1-c-n-j-y
故答案为：4：5：6．
9.＝
10. 35°
11.30cm2
12. 证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC；
（2）在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC（SAS），
∴BD=DF．
13.证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
∴PE=PF．
14. 证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°；
又∵PD=PD（公共边），
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．
15.解：
连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，
∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，
∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，
即O在∠ACB角平分线上，
设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，
则
x=3，y=5，z=4，
∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）
过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠NOM=120°，
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，
∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，
在△FON和△EOM中
∴△FON≌△EOM，
∴OE=OF．
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湘教版数学八年级下册1.4.1角平分线的性质 教学设计
课题 角平分线的性质 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；2.在探讨角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
能力目标 1.在探究角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
知识目标 1. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．2．掌握角平分线性质的逆定理的探究方法
重点 探究角平分线的性质定理及其应用。
难点 归纳、猜想出角平分线的性质与逆定理的结论
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。尺规作角的平分线作法：1、以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2、分别以_____为圆心，大于__________的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3、作射线_____； _____就是所求作∠AOB的平分线。 学生解答问题 体验角平分线的作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。
讲授新课 猜想：角平分线的性质折一折将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论 角平分线上的点到角的两边的距离相等 探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？你能证明这个结论吗？结论：角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：∵ OC是∠AOB的平分线PD ⊥OA， PE⊥ OB∴ PD = PE定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上(3)垂直距离定理的作用：证明线段相等练习如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.思考：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别在点D，E.若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上结论：角平分线的性质逆定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言：∵ PD⊥OA， PE⊥OB PD = PE∴OC是∠AOB的平分线练习已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF例1 如图，∠BAD=∠BCD=90 °， ∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ABC的平分线上。（2）求证：BD是∠ABC的角平分线。如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发学生实验学生分组讨论,教师引导得出结论学生分析已知条件,利用(AAS)证明.学生自主解答，教师适时的进行提示由学生自己独立完成，教师巡视学生的结果学生自主解答，教师适时的进行提示学生自主解答例题让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路 通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．从实验探索中发现角的平分线的性质。培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.让学生体验成功通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。增强学生解决问题以及总结归纳的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高进一步理解和掌握角平分线性质定理与逆定理，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。
巩固提升 1 .如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ） A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD答案：D2.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（ ）A．10 B．20 C．15 D．25答案：C3、如图 ，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．答案：34、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分 线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB 于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．答案：45、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．求证：AC=AE答案：证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△ AED中 ∴△ACD≌△AED，∴AC=AE6.要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？(比例1:20000)答案：解：设距离交点Oxm，
则：=，
解得：x=0.025，
0.025m=2.5cm．
OP=2.5cm．
点P即为所求． 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书
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1.4.1角平分线的性质
数学湘教版 八年级下
导入新知
角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
作法：1、以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、
N两点；
2、分别以_____ 为圆心，大于__________的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；
3、作射线_____；
_____就是所求作∠AOB的平分线。
点O
任意
M、N
P
OP
OP
A
Ｂ
N
M
P
Ｏ
导入新知
尺规作角的平分线
猜想：
角平分线的性质
折一折
新知讲解
将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么猜想
角平分线上的点到角的两边的距离相等
新知讲解
新知讲解
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？
探究
PD=PE
你能证明这个结论吗？
新知讲解
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠DOP= ∠EOP
∵ PD ⊥OA， PE⊥ OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在△PDO 和△PEO 中，
∵ ∠PDO = ∠PEO，
∠DOP= ∠EOP，
OP= OP，
∴ △PDO≌△PEO.(AAS)
∴ PD = PE.
证明：
新知讲解
结论：
角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：
∵ OC是∠AOB的平分线
PD ⊥OA， PE⊥ OB
∴ PD = PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上
(3)垂直距离
定理的作用：
证明线段相等
新知讲解
学以致用
如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D.
求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB ，
∴ ED =EC.
∴ △EDC 是个等腰三角形.
∴ ∠ECD=∠EDC.
学以致用
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵ OE= OE， ED = EC，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ OD=OC.
新知讲解
思考：
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？
如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别在点D，E.若PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°.
在 Rt△PDO和 Rt△PEO中，
∵ OP=OP，PD=PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴ ∠AOC =∠BOC.
∴ OC 是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上.
新知讲解
如图 ， 过点 Ｏ， Ｐ 作射线 ＯＣ.
证明：
新知讲解
结论：
角平分线的性质逆定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB
PD = PE
∴OC是∠AOB的平分线
已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF
学以致用
证明：连接AD
在△ACD和△ABD中，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
新知讲解
例1 如图，∠BAD=∠BCD=90 °， ∠1=∠2.
（1）求证：点B在∠ABC的平分线上。
（2）求证：BD是∠ABC的角平分线。
A
B
C
D
1
2
证明（1）在△ABC中，
∵ ∠ 1=∠2
∴BA=BC
又BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ABC的平分线上。
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵BA=BC，BD=BD
∴Rt△BAD≌Rt△BCD
∴ ∠ABD=∠CBD
∴BD是∠ABC的平分线。
新知讲解
学以致用
如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.
求证：AB=AD+BE.
M
证明 作CM⊥AB于点M.
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM.
在Rt△ACD 和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC，
∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，∴AB=AD+BE
学以致用
巩固提升
1 .如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE
C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
2.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（ ）
A．10 B．20 C．15 D．25
D
C
巩固提升
3、如图 ，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．
3
4、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分 线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB 于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
4
巩固提升
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
求证：AC=AE
巩固提升
证明：∵在△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△ AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE
拓展提升
6.要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？(比例1:20000)
巩固提升
解：
设距离交点Oxm，
则：=，
解得：x=0.025，
0.025m=2.5cm．
OP=2.5cm．
点P即为所求．
课堂小结
角平分线的性质
的点
到角的两边距离相等
在角平分线上
提供了两个角相等的依据
提供了两条线段相等的依据
(性质定理)
(判定定理)
谢谢
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