1.2直角三角形的性质与判定(3) 同步练习

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1.2.3直角三角形的性质与判定练习题
一、选择题
1.若△ABC三边长a，b，c满足+||+（）2=0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2. 有五根木棒他们的长度分别是2cm，6cm，8cm，10cm，12cm，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为 （ ）21教育网
A．2cm，6cm，8cm B．6cm，8cm，10cm
C．6cm，8cm，12cm D．2cm，8cm，12cm
3. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）
A．90°　　 B．60°　 C．45°　 D．30°
4. 长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（　　）21·世纪*教育网
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 下列说法正确的有（　　）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．www-2-1-cnjy-com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（　　）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B．如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C．如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D．如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
7. 下列结沦中，错误的有（　　）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
8.如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.21世纪教育网版权所有
9.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________2-1-c-n-j-y
.
10．观察以下几组勾股数,并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41，…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:　　　　　　　.
11.已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 三角形．
三、解答题
12. 一如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？21*cnjy*com
13.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.
14. 某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲轮船每小时航行24海里，乙轮船每小时航行18海里，它们离开港口一个半小时后相距45海里，如果知道甲轮船沿东北方向航行，那么请你判断乙轮船沿哪个方向航行，并说明理由。
15. （1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：
1.C
解答：∵△ABC三边长a，b，c满足+||+（）2=0=0，且≥0，||≥0，（）2≥0【出处：21教育名师】
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故选C．
2. B
根据勾股定理逆定理进行计算即可得出
故选C．
3. D
解答：根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=
∵
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
故选D．
4. B
解答：根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有
9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；
根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有
9、12、15和15、36、39．
故选B．
5. D
解答：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；21cnjy.com
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
6. C
解答：A、∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B、∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C、∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D、∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故选C．
7.C
解答：①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故选C．
8. 解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.
根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.
∴AB= cm.
9. 思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以AB=.21·cn·jy·com
答案：
10. 解答：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2，解得x=60，则得第⑤组勾股数是11，60，61．www.21-cn-jy.com
答案：11，60，61．
11. 解答：根据题意得，m﹣=0，n﹣2=0，p﹣=0，
解得m=，n=2，p=，
∴m=p，
又∵2+2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
12.
解答：△ABC是等腰三角形，
理由是：∵BC=18cm，BC边上的中线为AD，
∴BD=CD=9cm
∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm
∴AB2=1681，
BD2+AD2=1681，
∴AB2=BD2+AD2，
∴AD⊥BC
∵BD=CD，
∴AC=AB
∴△ABC是等腰三角形．
13. 思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.2·1·c·n·j·y
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S△BDA=×3×4=6;S△DBC=×6×4=12.
∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
14. 解：根据题意 PQ = 24 X 1.5 = 36 ,
PR = 18X 1.5 = 27 ,
QR = 45．
因为362+272=452 ，即 PQ2+PR2 = QR2 ,
所以 ∠QPR = 90°．
由甲轮船沿东北方向航行，可知∠QPA = 45°，
所以 ∠RPA = 90°．
即 乙轮船沿西北方向航行．
15. 解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）PA2+2PB2=PC2
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