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湘教版数学八年级下册1.2.2课时教学设计
课题 直角三角形的性质与判定 单元 1 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。
能力目标 发展有条理思考和有条理表达的能力，通过实际问题的解决让学生体会数学的应用价值
知识目标 运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题
重点 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题
难点 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1m为2步）这种做法不可取 学生解答问题 培养学生爱护环境的意识。
讲授新课 例1、如图，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装 电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？分析：如图， 在 Rt△ABC 中， 计算出 AB； 再在 Rt△A′BC′中， 计算出 A′B， 则可 得出梯子往上移动的距离为 （A′B- AB）m. 解：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，由勾股定理得： 在Rt△A’BC’中，A’C’=4，BC’=1， 故，从而 A′A=3.87-3.71=0.16.即梯子顶端A只向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.练习：一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？ 例2、“引葭(jia)赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？” 题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？练习：如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁，它想从点A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π取3)勾股定理的应用应用要诀：一要画出示意图；二要明辨已知和未知之间的关系；三要适当地设元，学会用代数法解决几何问题。利用勾股定理构造直角三角形模型解决实际问题对于实际问题，要善于利用已知条件构造直角三角形.对于一些非直角三角形问题，要学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题。 学生思考，将实际问题转化为几何问题，并进行解答学生解答练习题进行巩固先将题目进行简化，然后试着进行解答学生自主解答，老师进行订正学生自主解答，教师适时的进行提示师生共同总结勾股定理的应用 增强学生自己解决问题的能力。通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。培养学生解决问题的能力。通过此题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高
巩固提升 1.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）．A．12米 B．13 米 C．14米 D．15米答案：A2.一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组． A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4答案： C3、如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．答案： 204.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米. 答案：85、如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处的宽度．答案：解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以AB2+1402=5002，解得AB=480．答：该河AB处的宽度为480米。6.为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？答案：解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．因为点E到点CD的距离，所以CE=DE．所以CE2=DE2．即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10．因此，阅览室E应建在距A10km处． 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 谈一谈本节的主要内容，畅所欲言聊收获。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 勾股定理的应用将实际问题转化为数学问题，建立数学模型运用勾股定理解决生活中的一些实际问题
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1.2.2直角三角形的性质与判定练习题
一、选择题
1. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )
A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
2. 如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )21cnjy.com
A.90米 B.100米 C.120米 D.150米
3. 在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )21教育网
A.5 cm B.12 cm C.13 cm D. cm
4. 如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.4米
5. 如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15
6. 为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
7. 一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有 米．
A．23米 B．15米 C．25米 D．22米
8. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（ ）尺．【来源：21cnj*y.co*m】
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
二、填空题
9. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.21*cnjy*com
10. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.21*cnjy*com
11. 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过 米。
12.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，则图书室E应该建在距点A km处，才能使它到两所学校的距离相等。
三、解答题
13. 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
14. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．2·1·c·n·j·y
15. 如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．
答案：
1. A
分析：由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度。21·世纪*教育网
解：，故选A。
2. B
解：如图，构造Rt△ABC，根据勾股定理得
AC2=(40+40)2+(70-10)2=10000=1002，
即AC=100(米).故选B
3. C
分析：要判断能否放进去，关键是求得该木箱中的最长线段的长度，即AD的长，通过比较它们的大小作出判断．www.21-cn-jy.com
解：解：如图，连接AC、AD．
在Rt△ABC中，有AC2=AB2+BC2=160，
在Rt△ACD中，有AD2=AC2+CD2=169，
∵AD= ，
∴能放进去的木棒的最大长度为13．故选：C．
4.B
分析：利用勾股定理解答即可。
解：这条木板的长为=3.9（米）．
5.C
分析：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．www-2-1-cnjy-com
解：当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，
此时a就是圆柱形的高，
即a=12；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，AB= ==13，
∴此时a=13，
所以12≤a≤13．
故答案为：12≤a≤13．故选C。
6. A
分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【版权所有：21教育】
解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故选A．
7. C
根据题意，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．
【解答】解：∵52+122=169，
∴=13（m），
∴13+12=25（米）．
∴旗杆折断之前有25米．
故答案为：25．
8. C
分析：仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．
解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h尺，由题意得：
Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，
即（h+3）2=h2+62，
解得：h=4.5．
故选：C．
9.
分析：利用勾股定理解答即可。
解：解：根据题意可知BC=200米，AC=520米，
由勾股定理得，
则，AB2= AC2 -BC2
解得AB=480．
答：该河的宽度BA为480米．故答案为：480．
10. 解：如图所示，
因为PA=2×(4+2)=12cm，
AQ=5cm，
所以PQ2=PA2+AQ2
=122+52=132，
所以PQ=13cm.答案：13
11.分析：为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．21世纪教育网版权所有
解：解：连接OA，交⊙O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA= =10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA-OE=4．
因此选用的绳子应该不＞4，
12.
解：设AE=x km，则BE=(25-x)km.
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.
同理可得：DE2=(25-x)2+102.
若CE=DE，则
x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.
答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.
13. 分析：首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．21·cn·jy·com
解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米，
根据题意，得：
（30-x）2-（x+10）2=202，
解得x=5．
即树的高度是10+5=15米．
14.
分析：根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．2-1-c-n-j-y
解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
∴x2+52=（x+1）2
解得x=12
∴AB=12
∴旗杆的高12m．
15.
分析：在△RtAOB中依据勾股定理可知AB2=40，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．【出处：21教育名师】
解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2．21教育名师原创作品
∵AB=A′B′，
∴A′O2+OB′2=40．
∴OB′==．
∴BB′=6﹣．
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1.2.2直角三角形的性质和判定
数学湘教版 八年级下
导入新知
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1m为2步）
3m
4m
“路”
A
B
C
5m
4
这种行为不可取！
新知讲解
例1、如图，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装 电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？
分析：如图， 在 Rt△ABC 中， 计算出 AB； 再在 Rt△A′BC′中， 计算出 A′B， 则可 得出梯子往上移动的距离为 （A′B- AB）m.
新知讲解
解：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，
由勾股定理得：
在Rt△A’BC’中，A’C’=4，BC’=1，
故，
从而 A′A=3.87-3.71=0.16.
即梯子顶端A只向上移动了0.16m，
而不是移动0.5m.
学以致用
一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
2m
1 m
解：AC= ≈2.24>2.2
可以通过
新知讲解
例2、“引葭(jia)赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”
新知讲解
题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
5
新知讲解
解：如图，AC为芦苇长，BC为水深，BA 为池中心点距岸边的距离．
设BC =x尺，则AC =(x+1)尺，
根据勾股定理得：x2＋52＝(x＋1)2，
解得：x＝12，
答：水深为12尺，芦苇长为13尺．
5
所以芦苇长为12＋1＝13（尺），
如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
学以致用
解：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，
∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，
∴10+x=12（米）
答：树高12米
拓展提升
有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁，它想从点A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π取3)
分析：因为两点之间线段最短，所以可以将圆柱的侧面展开，再求出线段AB的长即为蚂蚁的最短路。
解：∵
∴
答：蚂蚁爬行的最短路程是15厘米
拓展提升
勾股定理的应用
应用要诀：一要画出示意图；二要明辨已知和未知之间的关系；三要适当地设元，学会用代数法解决几何问题。
利用勾股定理构造直角三角形模型解决实际问题
对于实际问题，要善于利用已知条件构造直角三角形.对于一些非直角三角形问题，要学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题。
新知讲解
巩固提升
1.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）．
A．12米 B．13 米 C．14米 D．15米
2.一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
A
C
巩固提升
3、如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．
20
巩固提升
4、如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
8
巩固提升
5、如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处的宽度．
解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
所以AB2+1402=5002，
解得AB=480．
答：该河AB处的宽度为480米。
巩固提升
6、为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？
巩固提升
解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．
在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，
DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．
因为点E到点CD的距离，
所以CE=DE．所以CE2=DE2．
即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10．
因此，阅览室E应建在距A10km处．
课堂小结
直角三角形的性质与判定
(1)将实际问题转化为数学问题，建立数学模型
(2)运用勾股定理解决生活中的一些实际问题.
勾股定理的应用
谢谢
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