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湘教版数学九年级2.2.2圆周角（2）教学设计
课题 2.2.2圆周角（2） 单元 第二章圆 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、巩固圆周角概念及圆周角定理．2、掌握圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3、掌握圆内接四边形的对角互补．4、在探索圆周角定理的推论中,培养学生观察、比较、归纳、概括的能力．
重点 对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解．
难点 对圆周角定理推论的灵活运用是难点．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、什么是圆周角？圆周角有何特征？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．① 角的顶点在圆上．② 角的两边都与圆相交．2、圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．即．3、圆周角定理的推论在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 回顾圆周角定义、圆周角定理及推论一． 通过回顾圆周角定义、圆周角定理及推论一为本节课的探究奠定基础．
讲授新课 探究点一 直径所对的圆周角的性质．1、半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？探究活动一如图，AB是⊙O的直径，那么∠C1，∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB =180°．故∠C1=∠C2=∠C3=×180°=90 °．结论：直径所对的圆周角是直角．探究活动二如图，A，B，C为圆周上三点，若已知∠C=90°，它所对的弦AB是不是直径？要求：1、先猜想，再证明； 2、同桌之间合作探究； 3、总结做题的方法规律．因为圆周角∠BAC所对弧上的圆心角是∠BOC， ∠BAC =90 ，利用圆周角定理，求可以求出∠BOC =180 ．所以弦BC经过圆心O ．结论：90°的圆周角所对的弦是直径．3、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形． 根据下图， 你能判断哪个是半圆形吗 为什么 4、例3 如图，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°，点D在⊙ O上，求∠ADB的度数．探究点一 圆内接四边形的性质1、圆内接四边形：如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD．若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做这个四边形的外接圆．2、圆内接四边形的性质探究四边形ABCD中两组对角∠A与∠C，∠B与∠D有什么关系？结论：圆内接四边形的对角互补．几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°．3、拓展探究：如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？猜想并且证明猜想：∵∠DCE+∠BDC=180°，又∠A+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE．我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．归纳：圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDE． 观察图形，发现并推导圆周角定理的推论二．完成判断并说明理由．完成例3．观察图形理解圆内接四边形的定义．同学之间交流、讨论、归纳，探究圆内接四边形的性质． 通过简单推导，培养激发学生的学习兴趣． 进一步认识圆周角定义．培养学生应用数学解决实际问题的能力．通过例题的解决，进一步理解和掌握圆周角定理的推论二．了解圆内接四边形的定义．培养学生探究的能力，掌握圆内接四边形的对角互补．
1、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______，∠B+∠ADC= ______；若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______．2、四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000．则∠B=______，∠D= ______ ；若∠A:∠C=1:3，则∠A= ______．3、如图所示，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=22°，则∠B=________度．4、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是____．5、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=98°，求∠A和∠C的度数．6、如图，⊙O的直径AB=10 cm，C是⊙O上的一点，∠ABC =30°．求AC的长． 学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果． 通过练习加深对圆周角定理及推论和圆内接四边形的性质的理解，培养应用所学知识解决问题的能力．
课堂小结 1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角；2、90°的圆周角所对的弦是直径；3、圆内接四边形和四边形的外接圆；4、圆的内接四边形的对角互补． 回顾本节课所学知识． 通过小结，再次让学生认识圆周角定量及其推论，圆内接四边形的性质．
板书 推论二：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．圆的内接四边形的对角互补．例3例4
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2.2.2圆周角（2）
湘教版 九年级下
导入新知
① 角的顶点在圆上．
② 角的两边都与圆相交．
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
1、什么是圆周角？圆周角有何特征？
导入新知
2、圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
即 ．
3、圆周角定理的推论
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
新知讲解
探究点一 直径所对的圆周角的性质．
1、半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？
新知讲解
探究活动一
如图，AB是⊙O的直径，那么∠C1，∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？
直径所对的圆周角是直角．
因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB =180°．故∠C1=∠C2=∠C3= ×180°=90 °．
新知讲解
探究活动二
如图，A，B，C为圆周上三点，若已知∠C=90°，它所对的弦AB是不是直径？
要求：1、先猜想，再证明；
2、同桌之间合作探究；
3、总结做题的方法规律．
新知讲解
因为圆周角∠ACB所对弧上的圆心角是∠AOB， ∠ACB =90 ，利用圆周角定理，求可以求出∠AOB =180 ．所以弦AB经过圆心O ．
90°的圆周角所对的弦是直径．
新知讲解
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形． 根据下图， 你能判断哪个是半圆形吗 为什么
90°的圆周角所对的弦是直径．
新知讲解
例3 如图，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°，点D在⊙ O上，求∠ADB的度数．
解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
又 ∠ABC=60°，
∴∠C=30°．
又∵∠ADB与∠C都是 所对的圆周角，
∴∠ADB=∠C=30°．
新知讲解
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD．
若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做这个四边形的外接圆．
新知讲解
四边形ABCD中两组对角∠A与∠C，∠B与∠D有什么关系？
连接OB，OD．
∵∠A所对的弧为 ，
∠C所对的弧为 ．
又 与 所对的圆心角之和是周角，
∴ ．
新知讲解
由四边形内角和定理可知，∠ABC+ ∠ ADC=180°．
由此可得到以下结论：
圆内接四边形的对角互补．
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°．
新知讲解
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？
证明猜想：
∵∠DCE+∠BDC=180°，
又∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE．
我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角．
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
新知讲解
圆内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDE．
新知讲解
例4 如图，四边形ABCD为⊙O圆的内接四边形，
已知∠BOD=100°．求∠BAD及∠BCD的度数．
解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为
，∠BOD=100°，
新知讲解
∴∠BAD= ∠BOD= ×100°=50°．
∵∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD= 130° ．
巩固提升
1、四边形ABCD内接于⊙O，
则∠A+∠C=______，∠B+∠ADC= ______；
若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______．
180°
180°
100°
80°
巩固提升
2、四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000．
则∠B=______，∠D= ______ ；若∠A:∠C=1:3，则∠A= ______．
50°
130°
45°
巩固提升
4、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是____．
32°
3、如图所示，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=22°，则∠B=________度．
68
巩固提升
5、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=98°，求∠A和∠C的度数．
解：∵∠BOD和∠A是 所对的圆心角和圆周角，
∴∠A= ∠BOD=49°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C=180°-∠A=131°．
6、如图，⊙O的直径AB=10 cm，C是⊙O上的一点，∠ABC =30°．求AC的长．
巩固提升
解：∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB= 90 ．
∵ ∠ABC =30°，
∴AC= AB= ×10=5 cm ．
课堂小结
1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
2、90°的圆周角所对的弦是直径；
3、圆内接四边形和四边形的外接圆；
4、圆的内接四边形的对角互补．
谢谢
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