湖南省六县一中2017-2018学年高二优生1月联考数学（理）试题 Word版含答案

2017年下学期高二优生2018年1月联考试题
数学（理科）
考试范围：高考全部内容 考试时间：120分钟； 总分：150分
★预祝考生考试顺利★
一．选择题：每小题5分，共60分每小题给中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B等于( )
A． {1} B． {1,2} C． {0,1,2,3} D． {－1,0,1,2,3}
2.设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　）
A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x
4.阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为（　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.下列说法中正确命题的个数是（ ）
①命题p:“”的否定形式为：“”；
② 若，则是的充要条件；
③的展开式中第3项的二项式系数为；
④设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ=2。
A．1 B．2 C．3 D．4
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（　）
A．12 B．4 C． D．
7.曲线y=ex，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（　　）
A．e+﹣2 B．e﹣+2 C．e+ D．e﹣﹣2
8.已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（　　）
A． B． C． D．
已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则的离心率为（ ）
A． B． C. D．
已知P是ABC内部一点，且=，在ABC内部随机取点M，则点M取自BCP内的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）
A． B． C． D．
12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二．填空题：每小题5分，共20分
13.若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为　 　．
14.若，则　 　．
15.,则____
16.如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
①； ②；③ ； ④
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出过程或演算步骤.
17.（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．
（1）求角A的值；
（2）若a=，则求b+c的取值范围．
18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点， CD=PD=AD=AB．
（1）求证：CE⊥平面PAB；
（2）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的正弦值．
（12分）在某校一次考试中，共有500人参考，其中语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如下图，成绩大于135的为特别优秀，
（1）如果成绩大于135的为特别优秀，本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从特别优秀中的同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．
（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
①若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．
②k2=；
③
P（k2≥k0） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828
20.（12分）如图所示， 是抛物线C：的焦点，在x轴上,(其中i=1,2,3,…n),的坐标为（,0）且,在抛物线C上，且在第一象
限是正三角形.
（Ⅰ）求点P1的坐标，及三角形P1F1F2的面积
（II）证明：数列是等差数列；
(Ⅲ)记的面积为, 证明: + + +…+
21（12分）.已知函数， ．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，
求的值；
（Ⅱ）若恒成立，求的最大值．
请考生在22,23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题记分。
22. （10分）
已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（II）设直线与曲线相交于两点，求的最小值.
23. （10分）
已知，不等式的解集是.
（Ⅰ）求的值；
（II）若存在实数解，求实数的取值范围.
数学（理科）参考答案
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C B A B A D C D D B
填空题
___4_______．14.__________．15.___21_______．16.__ ________．
解答题
17题（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a ，
利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），--------------2分
即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=． --------------------6分
（2）若a=，则由正弦定理可得 ==2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．
由于，求得 ＜B＜，∴＜B+＜．-------10分
∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．------------------------12分
18．证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF．∵PD=AD，∴DF⊥AP．
∵AB⊥平面PAD，DF 平面PAD，∴AB⊥DF．又∵AP 平面PAB，AB 平面PAB，AP∩AB=A，∴DF⊥平面PAB． ∵E是PB的中点，F是PA的中点，∴EF∥AB，EF=AB．
又AB∥CD，CD=AB，∴EF∥CD，EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF，
∴CE⊥平面PAB．---------------------------------------5分
（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则OG∥AB，
∵AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，∴AB⊥AD，∴OG⊥AD．
∵BC=，由（Ⅰ）知，DF=，
又AB=4，∴AD=2，∴AP=2AF=2=2，
∴△APD为正三角形，∴PO⊥AD，
∵AB⊥平面PAD，PO 平面PAD，∴AB⊥PO．∴PO⊥平面ABCD．---------------------6分
以点O为原点，分别以OA，OG，OP为x轴，y轴，z轴建立图示空间直角坐标系O﹣xyz，．
则P（0，0，），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），E（，2，），
∴=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（﹣，0，﹣），
设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，∴，
取z=1，则=（﹣，0，1），----9∴cos＜＞===----------11分
设EC与平面PDC所成的角为α，则sinα=cos＜＞=，--------------------------12分
19.解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（100，17.52），
∴语文成绩特别优秀的概率为p1=P（X≥135）=（1﹣0.96）×=0.02，
数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016×20×=0.024，∴语文特别优秀的500×0.02=10人，
数学特别优秀的同学有500×0.024=12人．------------------------------------3分
（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）==， P（X=1）==，
P（X=2）==， P（X=3）==，-------------------------------6分
∴X的分布列为：
x 0 1 2 3
P
E（X）=0×+1×+2×+3×=．-------------------------------8分
（3）2×2列联：
语文特别优秀 语文不特别优秀 合计
数学特别优秀 6 6 12
数学不特别优秀 4 484 488
合计 10 490 500
∴k2=≈144.5＞6.635 ∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． -----------12分
20.解：(1)由题意可知：F1(1,0),直线P1F1的方程为：
代入抛物线可得3x2-10x+3=0 则
-----------------3分
(2)
----------------9分
-------------12分
21.解：（Ⅰ）因为，所以，所以的方程为.
依题意， ， . ………2分
于是与抛物线切于点，
由得.
所以 ………5分
（Ⅱ）设,则恒成立.
易得
（1）当时，，∴在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时；
②若，在上单调递增，知h(x)
所以不恒成立．不满足题意； ………7分
（2）当时，
令，得，当；
当，
∴
∴.则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时， 从而，当时， 的最大值为.
综上， 的最大值为. ………12分
22. 解：（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为 ............4分
（2）将直线的参数方程代入，得.
设两点对应的参数分别为，则，………6分
∴
当时，的最小值为4. ……………………………..10分
23. 解：（Ⅰ）由, 得，即.
当时，. ………2分
因为不等式的解集是 所以 解得 当时，. …………4分
因为不等式的解集是 所以 无解. 所以 ………5分
（II）因为
所以要使存在实数解，只需. ……8分
解得或.
所以实数的取值范围是. ……10分
Fn
Fn-1
F3 …
F2
F1
P1
P2
Pn-1
y
x
O
Fn
Fn-1
F3 …
F2
F1
P1
P2
Pn-1
y
x
O
…….7分