第25章
投影与视图
课题：平行投影与中心投影
【学习目标】
1．经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念．
2．了解平行投影和中心投影的区别．
【学习重点】
理解平行投影和中心投影的特征．
【学习难点】
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
你看过皮影戏吗？皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术．皮影戏以投影而得名，那什么是投影呢？一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
自学互研 生成能力
阅读教材P73～P74，完成以下问题：
什么是平行投影？平行投影的光线是怎样的？
答：由平行光线形成的投影为平行投影，平行投影的光线是平行的．
范例1：小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是( A )
仿例1：一天上午，小明在操场上练习双杠，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子( B )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法确定
仿例2：(北京中考)在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m.
仿例3：根据图中小树的影子和图中的方位填空：图中反映的这一时刻大约是这一天的上午．(选填“上午”“中午”或“下午”)
(仿例3图)
(仿例4图)
仿例4：地面上直立一根标杆AB，如图，杆长为2cm.
(1)当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
知识链接：中心投影的特点：等高物体垂直于地面时，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．
(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图．
解：(1)点；(2)以A点为顶点，以AB为一边作∠BAC，使∠BAC＝30°，AC与地面相交于点C，则线段BC即为标杆在地面上的投影，且BC＝AB·tan30°＝(cm)．即标杆在地面上的投影是长为cm的线段，如图所示．
什么是中心投影？
答：由一点发出的光线所形成的投影为中心投影，中心投影的光线是不平行的．
范例2：在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙上的影子是( B )
A．平行四边形 B．椭圆形
C．圆形 D．没有规则的图形
仿例1：下面的四幅图中，灯光与影子的位置最合理的是( C )
仿例2：如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角尺的对应边长为( B )
A．8cm B．20cm
C．3.2cm D．10cm
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 平行投影
知识模块二 中心投影
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：正投影
【学习目标】
1．了解正投影的概念和性质．
2．能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影．
【学习重点】
正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
【学习难点】
归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
行为提示：物体的正投影的形状，大小与它相对于投影面的位置有关．线段正投影的规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点．平面图形正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．情景导入 生成问题
旧知回顾：
什么是平行投影？什么是中心投影？举例说明．
答：由平行光线所形成的投影为平行投影，如在阳光下，房屋的影子是房屋在地面上的投影，地面是投影面，光线是投影线．由一点(点光源)发出的光线所形成的投影为中心投影．在灯光前，双手交叉握紧，墙面上会出现影子，墙面是投影面，光线是投影线．
自学互研 生成能力
阅读教材P75～P78，完成以下问题：
什么是正投影？线段和平面图形的正投影规律是什么？
答：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影．
(1)线段正投影的规律是：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点；
(2)平面图形正投影的规律是：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段；
(3)一个几何体在同一平面上的正投影是一个平面图形，叫做这个几何体的视图．
范例1：三角形的正投影是( D )
A．三角形 B．线段
C．直线或三角形 D．线段或三角形
仿例1：下列投影中，正投影是③④⑤．(填序号)
仿例2：一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( D )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB>CD D．AB≥CD
仿例3：正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是( B )
A．正方形 B．平行四边形或线段
C．矩形 D．菱形
仿例4：一个物体的正投影是圆，则这个物体不可能是( B )
A．圆锥体 B．正方体 C．圆柱体 D．球
仿例5：物体到投影面距离越远，所得正投影( B )
A．越大 B．大小不变
C．越小 D．视物体的形状而定
方法指导：在具体观察物体某个面的正投影时，以自己的视线当投影线，从而抽象出这个面的正投影主要的轮廓线，于是得到它在投影面上的正投影．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决.
一个几何体的正投影有何规律？
答：一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图．
范例2：某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是①②③④．
①矩形；②线段；③平行四边形；④圆；⑤球．
仿例：如图，把一根木棒AB的一个端点放在平面上，木棒AB在平面上的正投影为A1B，若AB＝15cm，影长A1B为9cm，则AA1的长为12cm．
(仿例图)
(范例3图)
范例3：如图是一个圆锥在某平面上的正投影，该圆锥的侧面积是3.75π．
仿例：画出下列物体在如箭头所示平行光下的正投影．
解：
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 正投影及其性质
知识模块二 几何体的正投影
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：三视图
【学习目标】
1．理解视图的概念，会画简单几何体的三视图．
2．通过观察探究使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系和大小关系．
【学习重点】
从投影角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图．
【学习难点】
对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
什么是正投影，线段、平面图形、几何体的正投影各有什么规律？
答：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影．线段正投影的规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点．平面图形正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图．
自学互研 生成能力
阅读教材P80～P81，完成以下问题：
什么是几何体的三视图？
答：自几何体的前方向后投影，在投影面上得到的视图称为主视图，自几何体的上方向下投影，在水平投影面上得到的视图称为俯视图，自几何体的左侧向右投影，右侧面投影面上得到的视图称为左视图．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图．
范例1：(台州中考)下列四个几何体中，左视图为圆的是( D )
仿例1：(十堰中考)在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( B )
仿例2：如图，几何体对应的三视图是( B )
仿例3：(抚顺中考)如图放置的几何体的左视图是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
方法指导：由几何体确定对应的三视图．画三视图时要注意：长对正、高平齐、宽相等，同时看得见的线画实线，看不见的线画虚线．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决． 仿例4：一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
三视图的画法有何规律？
答：(1)主视图的长与俯视图的长对正；
(2)主视图的高与左视图的高平齐；
(3)俯视图的宽与左视图的宽相等．
以上规律简述为：长对正，高平齐，宽相等．
范例2：由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的三视图．
解：
仿例1：一个机器上有一个进行转动的零件叫燕尾槽(如图)，为了准确做出这个零件，请画出它的三视图．
解：
仿例2：如图所示的四个物体中，主视图是右图所示的图形的个数是__3__个．
仿例3：画出下面立体图的三视图．
解：
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 几何体的三视图
知识模块二 画三视图
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：由三视图确定几何体及计算
【学习目标】
1．学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2．经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力．
【学习重点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型．
【学习难点】
注重立体图形的构成．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．
方法指导：由物体的三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图、左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合想象出整体形状．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
什么是几何体的三视图？
答：自几何体的前方向后投射，在正投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在侧投影面上得到的视图称为左视图．上述三种视图统称为一个物体的三视图．
自学互研 生成能力
阅读教材P82～P83，完成以下问题：
1．主视图、俯视图、左视图，分别反映几何体的什么？
答：主视图反映的是几何体的长和高；俯视图反映的是几何体的长和宽；左视图反映的是几何体的宽和高．
2．什么是棱柱？正棱柱？
答：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
范例1：(云南中考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( D )
A．圆柱 B．正方体 C．球 D．圆锥
仿例1：如图，三视图所表示的物体是正五棱锥．
仿例2：(广州中考)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的展开图可以是( A )
方法指导：首先由三视图确定对应的几何体，然后由视图提供的信息转化至几何体中进行相关的计算．
行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每一步运算都要有理有据，避免出现知识上的混淆及符号等错误.
范例2：(眉山中考)一个立体图形的三视图如图，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为( B )
A．12π B．15π C．18π D．24π
仿例1：(呼和浩特中考)如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( B )
A．236π B．136π C．132π D．120π
仿例2：如图，是一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积．
解：由三视图可知，这是一个正三棱柱，上下底面为边长为2cm的正三角形，侧面为3个长为2cm，宽为3cm的矩形，S表＝×2××2＋2×3×3＝(2＋18)(cm2)．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 由三视图确定几何体
知识模块二 根据三视图进行相关计算
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：小结与复习
【学习目标】
1．进一步体会投影中的平行投影、中心投影和正投影间的相互关系．
2．加深体会立体图形或实物原型与三视图的相互转化，进一步拓宽学生的空间想象力．
【学习重点】
巩固所学知识，正确画出物体的三视图．
【学习难点】
正确画物体的三视图或由三视图还原物体形状．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．情景导入 生成问题
知识结构我能建：
自学互研 生成能力
范例1：在一天当中，在________时树的影子最短( B )
A．6点 B．12点 C．15点 D．18点
仿例：如图，快下降到地面的某伞兵在灯光下的影子为AB.试确定光源P的位置，并画出竖立在地面上木桩的影子EF.(保留作图痕迹，不要求写作法)
解：如图：
范例2：已知：CD为一幢3m高的温室，其南面窗户的底框G距地面1m，CD在地面上留下的最大影长CF为2m，现欲在距C点7m的正南方A点处建一幢12m高的楼房AB(设A，C，F在同一水平线上)．
(1)按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；
(2)若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．
解：(1)如图；(2)易得AE＝8m，由AC＝7m，可得CE＝1m，由＝得＝，∴CH＝1.5m>1m，∴影响采光．
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展开任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分.
范例3：(晋江中考)如图，是由一个长方体和一个圆锥体组成的立体图形，请画出其三视图．
解：
仿例1：如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝( B )
A．2 B. C．2 D．1
仿例2：如图，已知圆锥的母线长OA＝8，底面圆的半径r＝2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是8．(结果保留根式)
仿例3：如图所示的是一个食品包装盒的平面展开图．
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积(侧面积与两个底面积之和)．
解：(1)这个多面体是六棱柱；
(2)侧面积为6ab，全面积为6ab＋3b2.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 平行投影与中心投影
知识模块二 投影的有关计算
知识模块三 三视图与有关计算
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
