1.1 变化率与导数
1．平均变化率
设函数，我们把式子___________称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的___________．
注意：是一个整体符号，而不是与相乘．
2．瞬时速度
物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体的运动规律为，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，___________无限趋近的常数．
3．导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作___________，即．
注意：不可以是0．
4．导数的几何意义
函数在处的导数，就是曲线在处的切线的___________，即．
5．导函数
对于函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，___________便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作___________，即．
注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值．
K知识参考答案：
1． 斜率 2． 3．或 4．斜率 5．
K—重点
平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数
K—难点
导数的几何意义
K—易错
（1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；
（2）求切线方程时，错把所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”
求平均变化率
求函数从到的平均变化率的三个步骤：
（1）求出或者设出自变量的改变量：；
（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；
（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即．
求函数在附近的平均变化率，取都为，在哪一点附近的平均变化率最大？
【答案】在附近的平均变化率最大．
【解析】在附近的平均变化率为；
在附近的平均变化率为；
在附近的平均变化率为．
若，则，，，
由于，所以在附近的平均变化率最大．
【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．
求函数在某点处的导数
（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限．
（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：
①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．
②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．
（1）求函数在处的导数；
（2）有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度．
【答案】（1）函数在处的导数为；（2）此物体在时的瞬时速度为．
【解析】（1）∵，
∴．
由，得．
【名师点睛】（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限．
（2）求瞬时速度应先求平均速度，再用公式求得瞬时速度．如果物体的运动方程是，那么函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度．
求曲线的切线
（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程．
（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
已知曲线．
（1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【答案】（1）；（2）切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由得，解得，．
从而求得公共点为，．
即切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．
【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解．同时应注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．
忽略增量的一致性而致错
设函数在处可导，则
A． B． C． D．
【错解】，故选A．
【错因分析】本题分子中的增量是，而分母中的增量是，两者的增量不一致．
【正解】函数在处可导，所以，所以．故选B．
【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．
求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错
求过点，且与曲线相切的直线方程．
【错解】因为，
所以，则切线方程为，即．
【错因分析】点不在曲线上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错．
【正解】点不在曲线上，设切点坐标为．
因为，所以切线斜率为．
又，所以或．
当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即；
当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．
【名师点睛】求关于曲线的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．
1．已知函数，那么下列说法错误的是
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在到之间的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
2．设，则曲线在点处的切线
A．不存在 B．与轴平行或重合
C．与轴垂直 D．与轴相交但不垂直
3．设函数在处可导，则
A． B．
C． D．
4．若曲线在点处的切线方程为，则
A． B．
C． D．不确定
5．在曲线的图象上取一点及附近一点，则
A． B．
C． D．
6．若，则
A． B．
C． D．
7．已知的图象如图所示，则与的大小关系是
A． B．
C． D．与大小不能确定
8．已知曲线上一点，则点处的切线斜率等于
A． B．
C． D．
9．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
10．质点运动规律为，则从到时间段内运动距离对时间的变化率为______________．
11．已知函数，则在区间上的平均变化率为______________．
12．已知函数的图象在点处的切线方程为，则____________．
13．求函数在处的导数．
14．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度等于，枪弹从枪口射出时所用时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度（位移公式：）．
15．求双曲线在点处的切线的斜率，并求出切线方程．
16．已知曲线在点处的切线与直线平行，则
A． B．
C． D．
17．若函数在内可导，且，若=4，则
A． B．
C． D．
18．已知是可导函数，且，则
A． B．
C． D．
19．曲线在点处的切线的倾斜角为
A． B．
C． D．
20．若，则
A． B．
C． D．
21．已知函数在处可导，为常数，则
A． B．
C． D．
22．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为
A． B．或
C．或 D．以上均不对
23．若，则______________．
24．设曲线在其上一点处的切线斜率为，则点的坐标为______________．
25．已知，则______________．
26．已知曲线上一点，求点处的切线的斜率及切线方程．
27．某一运动物体，在(单位：)时离出发点的距离(单位：)是．
（1）求在第内的平均速度；
（2）求在末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到?
28．已知在曲线上过点的切线为．
（1）若切线平行于直线，求点的坐标；
（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；
（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．
29．（2015新课标全国I）已知函数的图象在点处的切线过点，则______________．
30．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为______________．
1．【答案】C
【解析】由导数的定义可知C错误．故选C．
2．【答案】B
【解析】曲线在点处的切线斜率为，切线与轴平行或重合．故选B．
4．【答案】B
【解析】由，得，由导数的几何意义知，．故选B．
5．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
6．【答案】A
【解析】根据导数的定义可知，
所以．故选A．
7．【答案】A
【解析】由的图象可知，，根据导数的几何意义有．故选A．
8．【答案】D
【解析】因为，所以
，所以，所以点处的切线斜率为．故选D．
9．【答案】B
【解析】由题可得，所以，所以，所以切线的斜率，故所求切线方程为，即．故选B．
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】2【解析】由平均变化率的定义得．
12．【答案】
【解析】由导数的几何意义可知，又，所以．
14．【答案】．
【解析】由题可得，
所以，所以，
因为，，所以．
故枪弹射出枪口时的瞬时速度为．
15．【答案】切线的斜率为，切线的方程为．
【解析】因为，所以．
当时，，所以切线的斜率．切线的方程为，即．
16．【答案】A
【解析】因为，
所以，即．故选A．
18．【答案】B
【解析】因为，
所以，故选B．
19．【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以曲线在点处切线的斜率是，
故该切线的倾斜角为．故选B．
20．【答案】D
【解析】由题可得
，
所以，所以．故选D．
21．【答案】B
【解析】．故选B．
22．【答案】C
【解析】由题可得，点在曲线上，所以切线的斜率，故切线方程为，即，设，由题意可得，解得或，故选C．
23．【答案】
【解析】因为，所以．
24．【答案】
【解析】由导数的定义可得，设，则，
解得，所以，故点的坐标为．
26．【答案】切线斜率为，切线方程为．
【解析】由题可得
，
所以，故点处的切线的斜率为．
所以点处的切线方程为，即．
27．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）物体在第内的平均变化率(即平均速度)为．
（2）．
当时，，所以物体在末的瞬时速度为．
（3）
．当时，，令，解得，
即经过，该物体的运动速度达到．
28．【答案】（1）；（2）；（3）．
（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故．
29．【答案】1
【解析】因为
，所以，即曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，解得．
30．【答案】
【解析】因为，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即．
1.2 导数的计算
1．几个常用函数的导数
几个常用函数的导数如下表：
函数
导数
（为常数）
2．基本初等函数的导数公式
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则；
（7）若，则；
（8）若，则．
3．导数运算法则
（1）；
（2）；
（3）．
4．复合函数的导数
（1）复合函数的定义
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite fun_ction)，记作．
（2）复合函数的求导法则
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
K知识参考答案：
1．
2．
3．
4．
K—重点
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
K—难点
导数的四则运算法则、复合函数的求导法则
K—易错
求导公式及求导法则记忆错误
求函数的导数
（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．
（2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：
①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．
②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．
③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．
（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导．
求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方法1：．
（3）．
【名师点睛】要注意区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．
复合函数求导
对于复合函数的求导，一般步骤为：
（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；
（2）利用求导法则分层求导；
（3）最终结果要将中间变量换成自变量．
求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】见解析．
【解析】（1）设，，
则．
（2）设，，，
则．
（3）设，，，
则．
（4）设，，
则．
【名师点睛】复合函数的求导，关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导．
导数几何意义的应用
利用导数的几何意义解题时需注意：
（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；
（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．
过函数的图象上一点的切线方程是
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由易知，所给点不一定是切点，
设切点为，则切线方程为，
已知点在切线上，所以将点的坐标代入切线方程，解得或．
当时，，则过点的切线方程为；
当时，则点是切点，切线的斜率为，
则切线方程为，即．
综上，所求切线方程为或．故选D．
【名师点睛】求切线方程时，首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
已知曲线，直线，且直线l与曲线C相切于点，求直线l的方程及切点坐标．
【答案】直线l的方程为，切点坐标为．
【解析】∵直线l过原点，∴直线l的斜率为，
又，∴，
整理得．
∵，∴，此时，．
因此直线l的方程为，切点坐标为．
【名师点睛】求解时，注意根据题目条件舍去不合适的解，如本题需舍去．
因公式记忆不准确而致误
求函数的导数．
【错解】．
【错因分析】，错解中因漏掉负号致误．
【正解】．
【名师点睛】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．
1．已知，则
A． B．
C． D．
2．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
3．若曲线在点处的切线方程是，则
A． B．
C． D．
4．已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则实数的值为
A． B．
C． D．
5．设函数的导函数为，且，则
A． B．
C． D．
6．已知函数的图象在点处的切线过点，则实数______________．
7．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数______________．
8．求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
9．已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线的方程．
10．若曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为
A． B．
C． D．
11．函数在点处的切线的斜率的最小值为
A． B．
C． D．
12．已知点在曲线上，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的纵坐标为
A． B．
C． D．
13．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A． B．
C． D．
14．若直线与曲线相切于点，则实数的值为______________．
15．已知直线与曲线相切，则实数的值为______________．
16．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）求满足斜率为的曲线的切线方程；
（3）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程．
17．（2016四川）设直线l1，l2分别是函数图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是
A． B．
C． D．
18．（2017新课标全国I）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
19．（2016新课标全国III）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________．
20．（2015天津）已知函数，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为______________．
21．（2015新课标全国II）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则______________．
1．【答案】D
【解析】常函数的导数为，所以时，．故选D．
2．【答案】A
【解析】，所以，切线方程为，故选A．
4．【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，故选B．
5．【答案】D
【解析】因为，所以，解得，故选D．
6．【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以，解得．
7．【答案】
【解析】由已知得，则，所以，解得．
8．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
（2）因为，所以．
9．【答案】或
【解析】设直线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，
则直线的方程为，
因为，所以，
又点在切线上，所以，
解得或，则或．
所以直线的方程为或，
即或．
10．【答案】A
【解析】因为，所以，
又曲线在处的切线与直线平行，所以，
故选A．
12．【答案】D
【解析】设，因为，所以，所以．
故点处切线的斜率，由导数的几何意义可得，即，
解得，所以．故选D．
13．【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，
所以曲线在点处切线的斜率为．故选A．
14．【答案】3
【解析】由题意得，所以 ①．
因为切点为，所以 ②， ③，由①②③解得，．
15．【答案】
【解析】设切点，则，，
又，所以，所以，所以，所以．
16．【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】（1）由已知得，
因为切点为，所以切线的斜率，
则切线方程为，即．
（3）设切点坐标为，
由已知得直线的斜率为，且，
则切线方程为，即，
将代入得，，则直线的方程为，即．
17．【答案】A
【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程为，切线的方程为，即．分别令得与的交点为．
，故选A．
18．【答案】
【解析】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
20．【答案】3
【解析】因为，所以．
21．【答案】8
【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线方程为，即．又切线与曲线相切，当时，，显然与平行，故，由，得，则，解得．
1.3.1 函数的单调性与导数
1．函数的单调性与其导数的关系
在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减．
注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
2．函数图象与之间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．
K知识参考答案：
1． 2．大
K—重点
利用导数判断函数的单调性
K—难点
导数在解决单调性问题中的应用
K—易错
（1）由函数的单调性确定参数的取值范围时，不要忽略的情况；（2）求函数的单调区间时，一定要在定义域范围内求解
利用导数判断函数的单调性
（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：
①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．
（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．
（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．
求下列函数的单调区间：
（1）；（2）．
【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
令，解得．
当时，函数为减函数．
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）函数的定义域为．．
令，解得；令，解得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【名师点睛】由于在某区间上，个别点使导数为零不影响函数的单调性，故单调区间也可以写为闭区间的形式．
已知函数其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间．
【答案】（1）；（2）的单调递增区间是，，单调递减区间是．
①若，则．当变化时，，的变化情况如下表：
+
–
+
所以的单调递增区间是，;的单调递减区间是．
②若，则．当变化时，，的变化情况如下表：
+
–
+
所以的单调递增区间是，；的单调递减区间是．
【名师点睛】对于含有参数的函数的单调性，要注意分类讨论的标准及函数的定义域．
函数与导函数图象之间的关系
判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为
A B C D
【答案】D
【解析】本题主要考查导数图象的判定．根据题意，已知函数的图象，结合函数的单调性可知，在y轴左侧为增函数，导数恒大于等于零，排除A，C，然后在y轴右侧，函数先增后减再增，导数值先正后负再正，故可知排除B，满足题意的为D．
【名师点睛】常见的函数值变化快慢与导数的关系为：
对于①，函数值增加得越来越快，且越来越大；
对于②，函数值增加得越来越慢，且越来越小；
对于③，函数值减少得越来越快，且越来越小，绝对值越来越大；
对于④，函数值减少得越来越慢，且越来越大，绝对值越来越小．
已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
【答案】D
【解析】当时，在上的函数值非负在上，故函数在上单调递增；当时，在上的函数值非负在上，故在上单调递减，观察各选项可知选D．
导数在解决单调性问题中的应用
（1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题．
（2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．
已知函数，．若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围．
【答案】．
当时，，当且仅当，即时，取等号．
∴，即，∴的取值范围为．
方法2：函数的定义域为，
，∴．
方程的根的判别式为．
①当，即时，，
此时，对都成立，
故函数在定义域上是增函数．
②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，
只需对都成立．
设，则，得．故．
综合①②得的取值范围为．
【名师点睛】函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．求解时一定要注意．
（2016北京）设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
（2）当时，，所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，
存在，，，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
故c的取值范围为．
（3）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同零点，
所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【名师点睛】此题综合了导数、零点、充要条件等知识，这就要求同学们在学习时，要注意与前面的知识综合，做到知识的灵活运用．第（3）问在证明必要而不充分条件时，一定分清谁是条件，谁是结论．
求函数单调区间时忽略函数的定义域
函数的单调递增区间为_______________．
【错解】由得，
令，得或，
则或．
故函数的单调递增区间为，．
【错因分析】错解中忽略了函数的定义域为．
【正解】由得，且，
令，得，则．
故函数的单调递增区间为．
【名师点睛】讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，一定要在函数的定义域范围内求解，即要遵循定义域优先的原则．
1．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
2．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
3．函数的图象如图，则导函数的图象可能是
4．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
5．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．函数为上的减函数，则实数的取值范围为______________．
7．函数的单调递增区间为______________．
8．已知函数，求函数的单调区间．
9．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
10．函数为上增函数的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
11．函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
12．若，则
A． B．
C． D．
13．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
14．已知，若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是______________．
15．已知函数．
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．
16．（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是
17．（2017新课标全国II）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
18．（2017新课标全国I）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
19．（2017山东）若函数(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是
A． B．
C． D．
20．（2017新课标全国I节选）已知函数，讨论的单调性．
21．（2017新课标全国II节选）设函数，讨论的单调性．
22．（2017新课标全国III节选）已知函数，讨论的单调性．
1．【答案】C
【解析】因为，所以，令，解得．故选C．
2．【答案】D
【解析】因为，所以，解得，故选D．
4．【答案】D
【解析】，由，可得，所以函数的单调递增区间为．故选D．
5．【答案】B
【解析】函数的定义域为，，由，得．根据题意，可得且，解得，故实数的取值范围是．故选B．
6．【答案】
【解析】，因为函数为上的减函数，所以在上恒成立，即恒成立．因为，所以，故实数的取值范围为．
7．【答案】
【解析】函数的定义域为，令，
解得或（舍去），所以函数的单调递增区间为．
8．【答案】单调增区间为，，单调减区间为．
【解析】由题可得，
令，即，解得，，
当或时，；
当时，，
故的单调增区间为，，单调减区间为．
9．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
则，所以．
又，所以所求切线方程为，即．
所以曲线在点处的切线方程为．
当时，函数的单调递减区间是，
若在区间上是减函数，则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
10．【答案】B
【解析】函数为上增函数的充分必要条件是在上恒成立，
所以恒成立，因为，所以，
观察各选项可知函数为上增函数的一个充分不必要条件是，故选B．
11．【答案】D
【解析】若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
又，所以．故选D．
13．【答案】B
【解析】因为，所以，
因为函数在区间内是增函数，
所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．
14．【答案】
【解析】由题意可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为且，所以，故实数的取值范围是．
15．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，
所以，，，
所以函数的图象在点处的切线方程为．
（2）易知函数的定义域为，
，
令，解得，，
①当时，恒成立，则函数的单调递增区间是．
②当，即时，在区间和上，在区间上，
故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当，即时，在区间和上，；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
④当，即时，在区间上，在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
综上，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
16．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
17．【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
18．【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
19．【答案】A
【解析】对于A，令，，则在R上单调递增，故具有M性质，故选A．
20．【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【思路分析】分，，分别讨论函数的单调性即可．
③若，则由得．
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【名师点睛】本题主要考查函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间．
21．【答案】在和上单调递减，在上单调递增．
【思路分析】先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间即可．
【解析】由题可得，令得．
当时，；
当时，；
当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
22．【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
【思路分析】先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
1.3.2 函数的极值与导数
1．函数极值的概念
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件
必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________．
充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号．
3．函数极值的求法
一般地，求函数的极值的方法是：
解方程．当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是________；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是_________．
K知识参考答案：
1．
2．
3．极大值 极小值
K—重点
利用导数求函数极值的方法
K—难点
函数极值的应用
K—易错
对函数取得极值的充要条件理解不到位
求函数的极值
（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）．
已知函数（且），求函数的极大值与极小值．
【答案】见解析．
【解析】由题设知，．
令得或．
当时，随的变化，与的变化如下：
0
+
0
–
0
+
极大值
极小值
则，．
当时，随的变化，与的变化如下：
0
–
0
+
0
–
极小值
极大值
则，．
故，．
【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．
函数极值的应用
解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
已知函数在，处取得极值．
（1）求，的值；
（2）求在点处的切线方程．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题可得，
令，
（2），则，得．
又由，得．
从而，得所求切线方程为，即．
1．函数在处取得极值，则实数的值为
A． B．
C． D．
2．函数的极值点的个数是
A．0 B．1
C．2 D．无数个
3．如图是的导函数的图象，现有四种说法：
①在上是增函数；
②是的极小值点；
③在上是减函数，在上是增函数；
④是的极小值点．
以上说法正确的序号为
A．①② B．②③
C．③④ D．④
4．函数在上的极小值点为
A．0 B．
C． D．
5．设，若函数有大于零的极值点，则
A． B．
C． D．
6．函数的极小值为______________．
7．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是______________．
8．已知函数，求函数的极值．
9．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
10．设，若函数有大于的极值点，则
A． B．
C． D．
11．已知函数存在极小值，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
12．设函数满足，，则当时函数
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
13．已知函数，当时，函数的极值为，则______________．
14．已知函数在处有极值．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性并求出单调区间．
15．已知函数（e为自然对数的底数，，）．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
16．（2017新课标全国II理）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B．
C． D．1
17．（2017山东）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
18．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．
1．【答案】B
【解析】，函数在处取得极值，则，可得．故选B．
2．【答案】A
【解析】，由可得，该方程无解，因此函数无极值点．故选A．
4．【答案】C
【解析】因为，所以，令，得或，由可得；由可得或，所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为．故选C．
5．【答案】A
【解析】因为，所以，由题意知，有大于0的实根，可得，因为，所以，所以，故选A．
6．【答案】
【解析】，令，得，当或时，，当时，，所以当时，函数取极小值，且极小值是．
7．【答案】
【解析】因为，所以，
又因为函数有两个极值，所以有两个不等的实数根，所以，
即，解得或．故实数的取值范围是．
9．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）由题意可得，故．
又，故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由可得或，
，随的变化情况如下表所示，
↗
极大值
↘
极小值
↗
，．
10．【答案】C
【解析】函数的导数为，函数有大于的极值点，即有大于的实根，所以函数与函数的图象在y轴右侧有交点，所以，故选C．
11．【答案】A
【解析】，因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根，设为，．故，所以实数的取值范围为，故选A．
12．【答案】D
【解析】由题意得，令，
则，
因此当时，；当时，，
故，
因此当时，恒成立，所以当时函数既无极大值也无极小值，故选D．
14．【答案】（1）；（2）的递减区间是，递增区间是．
【解析】（1）由题可得，则，所以．
（2）由（1）可知，则函数的定义域为，
，
令，即，解得或（舍去），
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
15．【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；当时，的单调递减区间是，单调递増区间是，极小值为，无极大值；（2）．
（2）由，可得，
因为，所以，即对任意恒成立，
记，则，
因为，所以，即在上单调递增，
故，所以实数的取值范围为．
16．【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
17．【答案】（1）；（2）见解析．
【思路分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由，通过讨论确定的单调性，再由单调性确定极值．
（2）因为，
所以，
令，则，所以在上单调递增，
因为，所以当时，；当时，．
①当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以当时取到极大值，极大值是，
当时取到极小值，极小值是．
②当时，，
当时，，单调递增；
所以在上单调递增，无极大值也无极小值．
③当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以当时取到极大值，极大值是；
当时取到极小值，极小值是．
综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是．
【名师点睛】（1）求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．（2）若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
18．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【思路分析】（1）先求导函数的极值：，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得；（2）由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即；（3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性，在上单调递减．而，故可得的取值范围．
因为有极值，故有实根，从而，即．
当时，，故在R上是增函数，没有极值；
当时，有两个相异的实根，．
列表如下：
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是．从而．因此，定义域为．
（2）由（1）知，．设，则．
当时，，从而在上单调递增．
因为，所以，故，即．因此．
记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，．
因为，于是在上单调递减．
因为，于是，故．因此a的取值范围为．
1.3.3 函数的最大（小）值与导数
1．函数的最值与导数
一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数最值的步骤
求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的________；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
K知识参考答案：
1．连续不断 2．极值
K—重点
利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用
K—难点
函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题
K—易错
求最值时，易忽略函数的定义域
求函数的最值
求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．
已知函数，其中，为自然对数的底数．设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值．
【答案】见解析．
【解析】由，有，所以．
因此，当时，．
当时，，所以在区间上单调递增．
因此在上的最小值是；
当时，令，得．
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
于是，在上的最小值是．
综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是．
【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个．
函数最值的应用
由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．
已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）当时，的最小值是，求实数的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），，
当时，在上恒成立，
则的单调递减区间为；
当时，令，得，则的单调递减区间为．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，舍去．
综上，得．
【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论．
恒成立问题
利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立．
已知函数．
（1）求的极小值；
（2）对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值为；（2）．
【解析】（1），令，得．
当变化时，与的变化情况如下表：
则的极小值为．
（2）当时，恒成立．
令，则，令，得．
当变化时，与的变化情况如下表：
则，故实数的取值范围是．
【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围．
因未验根而致误
已知在时有极值0，求常数a，b的值．
【错解】因为在时有极值0且，
所以，即，解得或．
【错因分析】解出a，b的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根．
【正解】因为在时有极值0，且．
所以，即，
解得或．
当，时，，
所以在上为增函数，无极值，故舍去．
当，时，．
当时，为增函数；
当时，为减函数；
当时，为增函数．
所以在时取得极小值，
因此，．
【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错．
1．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是
A．函数f(x)有最小值f(x0) B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)
C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0) D．函数f(x)不一定有最小值
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
4．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1，1]，则其导函数是
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的奇函数
5．已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为
A． B．
C． D．
6．函数在上的最小值是______________．
7．函数在[0，1]上的最大值为______________．
8．函数在上的最小值为______________．
9．已知函数，．若的图象在处与直线相切．
（1）求的值；
（2）求在上的最大值．
10．函数
（1）若函数在内没有极值点，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
11．已知函数，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A．20 B．18
C．3 D．0
12．若函数，则
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，无最小值
C．最小值为，无最大值 D．既无最大值也无最小值
13．函数在上的最大值为2，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
14．已知在[1，5]上有最小值为0，则函数在[1，5]上的最大值为______________．
15．函数的最大值为______________．
16．已知，若，使得成立，则实数的取值范围是______________．
17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值．
18．（2017新课标全国III理）已知函数有唯一零点，则
A． B．
C． D．1
19．（2017新课标全国III节选）已知函数，当a﹤0时，证明．
20．（2017新课标全国I）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
21．（2017北京）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
22．（2017新课标全国II理）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
1．【答案】A
【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值，又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．故选A．
3．【答案】A
【解析】y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时，y＝1；当x＝－1时，y＝12；当x＝1时，y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A．
4．【答案】D
【解析】求导可得f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，
则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx，当x∈[－1，1]时，h′(x)>0，
所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．
所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D．
5．【答案】D
【解析】令，得或，当时，，当时，，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为．故选D．
6．【答案】
【解析】，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而函数在上的最小值是．
7．【答案】
【解析】由题知，则，可得在区间上，，为增函数，在上，，为减函数，故在处取得最大值．
8．【答案】
【解析】，
令，得或或．列表如下：
0
(0，1)
1
(1，2)
2
0
+
0
0
+
增
减
增
3
由表可知，函数的最小值为．
9．【答案】（1）（2）最大值为．
（2）由（1）得，其定义域为，所以，
令，解得，令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为．
10．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，，
当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；
当时，因为，所以，解得或．
综上，实数的取值范围为．
（2）由题可得，
因为，所以函数的递增区间为，递减区间为．
当时，，，
所以在上的最大值等于中最大的一个，
而，所以，
因为在上恒成立，所以，
即在上恒成立，所以．
故实数的取值范围为．
12．【答案】D
【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D．
13．【答案】D
【解析】当时，，令得，令，得，则在上的最大值为．欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D．
14．【答案】
【解析】令，得或，当时，，当时，，所以在处取得最小值，即，所以，又，，所以函数在[1，5]上的最大值为．
15．【答案】
【解析】，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，．
16．【答案】
【解析】易知的最大值为，，当时，，减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为．，使得成立，只需．故实数的取值范围是．
17．【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为；（2）当时，；当时，．
（2）由得，
令得，令得，
在上单调递增，在上单调递减．
①当，即时，函数在区间[1，2]上是减函数，
∴的最小值是．
②当，即时，函数在区间[1，2]上是增函数，
∴的最小值是．
③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．
又，∴当时，最小值是；
当时，最小值为．
综上，当时，；当时，．
18．【答案】C
当时，函数取得最小值，为．
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数与函数有一个交点，
即，解得．故选C．
19．【答案】见解析．
【思路分析】证明，即证，而，所以需证，设，利用导数易得，即得证．
【解析】函数的定义域为，故．
若，则当时，；当时，．
故函数在上单调递增，在上单调递减．
所以在处取得最大值，最大值为．
所以等价于，即．
设g（x）=lnx-x+1，则．当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，，
所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减．
故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0，所以当x＞0时，g（x）≤0．
从而当a＜0时，，即．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【思路分析】（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分别解，从而确定a的取值范围．
③若，则由得．
当时，；当时，，
故在单调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．
从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．
从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．
21．【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为．
【思路分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值．
（2）设，则．
当时，，所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果．
22．【答案】（1）；（2）见解析．
【思路分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．
【解析】（1）的定义域为．
当时，，单调递增，所以是的极小值点，故．
综上，．
（2）由（1）知 ，．
设，则．当 时， ；当 时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，
且当时，；当时，，当时，．
因为，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由可得．
因为是在（0，1）的最大值点，
由，得，所以．
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
1.4 生活中的优化问题举例
1．利用导数解决优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．__________是求函数最值问题的有力工具．
解决优化问题的基本思路是：
K知识参考答案：
1．导数
K—重点
利用导数解决生活中的优化问题
K—难点
利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题
K—易错
求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义
最大值问题
实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值．
如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
【答案】箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3．
【解析】设箱子的底边长为xcm，则箱子高cm，
箱子容积，
得，令，解得（不合题意，舍去），．
当x在内变化时，的正负如下表：
因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．
将代入，得最大容积为．
所以，箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3．
【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍．
最小值问题
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
【答案】速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小．
【解析】设速度为海里/小时时的燃料费是每小时元，
那么由题设的比例关系得，其中k为比例系数，
又时，p＝6，则，于是有．
又设当船的速度为每小时海里时，航行1海里所需的总费用为q元，
因为每小时所需的总费用是(元)，而航行1海里所需的时间为小时，
所以，航行1海里的总费用为，
所以，
令，解得．
当时，；当时，，
故当时，q取得最小值，
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小．
【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值．
1．某箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为
A．30 B．40
C．50 D．35
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
3．路灯距地平面8 m，一个身高为1.6m的人以2m/s的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v为
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
4．现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是
A．1 m B．1.5 m
C．0.75 m D．0.5 m
5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是
A．150 B．175
C．200 D．225
6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______________ cm，宽为______________ cm，高为______________ cm时，可使表面积最小．
7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大，每件定价为______________元．
8．已知某厂生产件产品的成本为（元），问：
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
9．为了美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．
10．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的最大容积为
A．120000 cm3 B．128000 cm3
C．150000 cm3 D．158000 cm3
11．某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数为y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
12．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，堆料场的长和宽分别为
A．16 m，16 m B．32 m，16 m
C．32 m，8 m D．16 m，8 m
13．已知某厂生产（百件）某种商品的总成本为（万元），总收益为（万元），则生产这种商品所获利润的最大值为______________万元，此时生产这种商品______________百件．
14．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．
（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
15．某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人．某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系．
（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；
（2）若=，试确定，的值，并说明该函数是否符合上述两点预测；
（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．
16．（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
1．【答案】B
【解析】由题可得，．令，解得，所以当时，箱子的容积有最大值．故选B．
3．【答案】D
【解析】如图，设人从C点运动到B处路程为x m，时间为t s，AB为人影长度，AB长为y m．由于DC∥BE，则，即，∴y=x=t，∴v=y′= m/s．故选D．
4．【答案】A
【解析】设长方体底面较短边的长为x m，则较长边的长为2x m，高为 m，它的体积为（其中0＜x＜）．对V求导，并令V′=0，得18x?18x2=0，解得x=0，或x=1．当0＜x＜1时，函数V单调递增，当1＜x＜时，函数V单调递减，所以当x=1时，函数V有最大值．因此底面的较短边长是1m，故选A．
5．【答案】B
【解析】设x表示订购的件数，R表示公司的收益，则R等于每件的售价×订购的件数x，当x≤150时，R＝200x，最大收益为200×150=30000元；当x>150时，R＝[200－(x－150)]x＝350x－x2，R′＝350－2x，令R′＝0，得x＝175，当时，，当时，，则当x＝175时，R有最大值，最大收益为350×175－1752＝30625元，故选B．
6．【答案】6 3 4
【解析】设底面相邻两边长分别为x cm、2x cm，高为y cm．
则V＝2x2y＝72，y＝＝，S＝2(2x2＋2xy＋xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋．
S′＝8x－，令S′＝0，解得x＝3，则长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时，表面积最小．
8．【答案】（1）1000件；（2）6000件．
【解析】（1）设平均每件的成本为元，
则，∴．
令，得或（舍去），可知当时，函数取得极小值且为最小值，
所以要使平均成本最小，应生产1000件产品．
（2）设利润为元，则，
所以，
令，解得，可知当时取得极大值且为最大值，
因此要使利润最大，应生产6000件产品．
9．【答案】（1）（单位：米）；（2）|AN|＝6米，|AM|＝4．5米，最小面积为27平方米．
【解析】设AN的长为x米(x>2)，易得，∴，
∴．
（1）由得，∵，∴，
即，∴或，
即AN长的取值范围是（单位：米）．
（2）令，则，
∴当时，，即函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，
∴当x＝6时，取得最小值，即取得最小值，为27（平方米）．
此时|AN|＝6米，|AM|＝4.5米．
故当AM，AN的长度分别是4.5米、6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米．
11．【答案】A
【解析】设利润为y万元，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得06，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，应生产6千台．故选A．
12．【答案】B
【解析】如图所示，设场地垂直于墙的一边长为x m，则其邻边长为 m．
因此新墙总长度，．令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．可知当x＝16时，L取得最小值，当x＝16时，．故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．故选B．
13．【答案】66 9
【解析】设利润为（万元），则
，∴，由得，∴时，单调递增，时，单调递减，∴时，有最大值
14．【答案】（1）；（2）商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．
（2）易得，
由得，由得或，
可知函数在上递减，在递增，在上递减，
从而函数取得最大值的可能位置为或，
，，当时，．
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．
15．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）根据题中两点预测可知在上单调递增，对恒成立．
（2）将（1，100），（2，120）代入中，得，解得．
所以，所以，
故在上单调递增，符合预测①；
又当时，，所以此时不符合预测②．
（3）由，解得，，要想符合预测①，则有，
即，从而或，当时，，此时符合预测①．
由，解得，即当时，，
所以此时不符合预测②；
当，，此时符合预测①，
又由，知，所以，从而．
欲使也符合预测②，则，即，又，解得．
综上所述，的取值范围是．
16．【答案】（1），；（2）①，②当时，公路的长度最短，为千米．
（2）①由（1）知，，则点P的坐标为，
设在点P处的切线交轴分别于点，，
则的方程为，由此得．
故．
②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；当时，，是增函数．
从而，当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，此时．
故当时，公路的长度最短，为千米．
1.5 定积分的概念
1.6 微积分基本定理
1.7 定积分的简单应用
1．定积分的概念
一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作________，即．
这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的__________．这就是定积分的几何意义．
3．定积分的性质
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
①为常数）；
②；
③（其中）．
4．微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
为了方便，我们常常把记成，即．
微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出．
5．定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．
6．定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．
②变力做功：一物体在恒力(单位：)的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了（单位：），则力所做的功为．
已知某物体在变力的作用下做直线运动，并且该物体沿着与相同的方向从移动到，求变力所做的功，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到．
K知识参考答案：
1． 2．曲边梯形的面积 3． 4．
6．① ②
K—重点
定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用
K—难点
运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积
K—易错
运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限
利用定积分的几何意义计算定积分
利用定积分所表示的意义求的值的关键是确定由曲线，直线，直线及轴所围成的平面图形的形状．
利用定积分的几何意义求，其中．
【答案】．
【解析】．
∵为奇函数，∴．
利用定积分的几何意义，如下图：
∴，，
故．
【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
（2）设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则．
利用微积分基本定理计算定积分
求函数在某个区间上的定积分时，要注意：
（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差．
（2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
计算下列定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）．
（2）．
（3）
．
（4）．
【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．
定积分在几何中的应用
对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，
（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．
求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）．
【答案】图形见解析，平面图形的面积为．
【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．
解方程组，可得．
故平面图形的面积为
，所以所求图形的面积为1．
【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．
（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
定积分在物理中的应用
（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．
（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．
设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
【答案】将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为．
【解析】设表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得，且当时，，即，
解得，则．
故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为．
【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm换算为m．
1．定积分的大小
A．与和积分区间有关，与的取法无关
B．与有关，与区间以及的取法无关
C．与以及的取法有关，与区间无关
D．与、区间和的取法都有关
2．在求由抛物线与直线，，所围成的平面图形的面积时，把区间等分成个小区间，则第个区间为
A． B．
C． D．
3．已知，则
A． B．
C． D．
4．计算：
A． B．
C． D．
5．定积分与的大小关系是
A． B．
C． D．无法确定
6．计算：
A． B．
C． D．
7．下列等式不成立的是
A．
B．
C．
D．
8．由直线，，及曲线所围成的封闭图形的面积
A． B．
C． D．
9．定积分
A． B．
C． D．
10．已知函数，则
A． B．
C． D．
11．已知，，则________________．
12．计算：________________．
13．计算________________．
14．若，则实数________________．
15．已知函数，若成立，则实数________________．
16．已知函数，求的值．
17．已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且．
（1）求的解析式；
（2）求曲线与曲线所围成的图形的面积．
18．如图，抛物线的方程为，则图中阴影部分的面积可表示为
A． B．||
C． D．
19．设，，，则a，b，c的大小关系是
A． B．
C． D．
20．下列命题不正确的是
A．若是连续的奇函数，则
B．若是连续的偶函数，则
C．若在上连续且恒正，则
D．若在上连续且，则在上恒正
21．如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是
A． B．
C． D．
22．若，其中，则
A． B．
C． D．
23．已知是一次函数，若，，则函数的解析式为
A． B．
C． D．
24．已知分段函数，则
A． B．
C． D．
25．已知，则________________．
26．如图，由曲线，与直线，围成的阴影部分的面积为________________．
27．（2014陕西理）定积分的值为
A． B．
C． D．
28．（2014山东理）直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A． B．
C．2 D．4
29．（2013湖北理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是
A． B．
C． D．
1．【答案】A
【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分的大小与和积分区间有关，与的取法无关，故选A．
2．【答案】B
【解析】在区间上等间隔地插入个点，将它等分成个小区间[1，]，[，]，…，，…，[，2]，所以第个区间为．故选B．
4．【答案】C
【解析】由题可得．故选C．
5．【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出与的图象如下图所示，由图可知当时，的图象在的图象上方，由定积分的几何意义可知．故选C．
6．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
7．【答案】C
【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．例如，，，但．故选C．
8．【答案】B
【解析】由题可得，故选B．
9．【答案】D
【解析】
，故选D．
11．【答案】
【解析】根据定积分的性质可得．
12．【答案】
【解析】．
13．【答案】
【解析】．
14．【答案】
【解析】，解得．
15．【答案】或
【解析】取，则，，所以，
所以，所以，即，解得或．
16．【答案】．
【解析】如图，可得，
所以．
17．【答案】（1）；（2）．
（2）由或，
所以．
18．【答案】C
【解析】由图形可知阴影部分的面积为，而
，故选C．
19．【答案】B
【解析】由题可得，，，因为，所以．故选B．
20．【答案】D
【解析】对于A，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，所以轴上方的面积和轴下方的面积相等，故积分是0，A正确；
对于B，因为是偶函数，所以图象关于轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等， B正确；C显然正确；
对于D，可以小于0，但必须有大于0的部分，且的曲线围成的面积比的曲线围成的面积大，D不正确．故选D．
21．【答案】B
【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，故阴影部分的面积，故选B．
23．【答案】A
【解析】由题可设，则，
，所以且，解得，，所以．故选A．
24．【答案】C
【解析】，，
根据定积分性质可知
．故选C．
25．【答案】
【解析】由题可得
，两边同时平方可得，所以．
27．【答案】C
【解析】，故选C．
28．【答案】D
【解析】由已知得，故选D．
29．【答案】C
【解析】令，解得或（舍去）．故所求距离是
，故选C．
