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湘教版数学九年级1.2二次函数的图象与性质（3）教学设计
课题 1.2二次函数的图象与性质（3） 单元 第一章二次函数 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、经历用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的过程，并通过图象认识函数的性质．2、经历函数y=a(x-h)2+k与y=ax2（a≠0）图象平移规律的探究过程．3、会运用二次函数的知识解决简单的问题.
重点 会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质．
难点 理解二次函数y=a(x-h)2+k的图象与抛物线y=ax2的图象的关系．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系2、二次函数y=a(x-h)2的性质抛物线y=a(x-h)2的对称轴 ，顶点坐标 ，开口方向 ，最大值（最小值）___． 学生凭借已有的知识经验对提出的问题以个别回答的方式一一作答，教师给予评价． 从学生已经研究过的问题出发，一方面对前面所学的知识起到复习巩固的作用，另一方面为探究新问题提供研究方式和方法，激发学生探究的欲望．
讲授新课 一、探究y=a(x-h)2+k的图象与性质1、画出二次函数， ，的图象，并探究它们的图象特征和性质．列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分． 观察上表，对于每一个给定的x值，函数 的值与函数的值有何关系？从上表看出：对于每一个给定的x值，函数 的值都要比函数 的值大3．由此你可以得到什么结论？请与同桌交流你发现的结论．函数的图象可由二次函数的图象向上平移3个单位而得到．因此，二次函数的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x=1（与抛物线 的对称轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物的顶点（1，0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上．2、问题：1、的图象经过怎样的平移得到的图像？ 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到的图象．3、若将抛物线向下平移2个单位，得到的函数解析式是什么？将抛物线向下平移2个单位，得到的函数解析式是．二、二次函数y=a(x-h)2+k的性质二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它具有下述性质：三、二次函数y=a(x-h)2+k的画法1、画y=a(x-h)2+k的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．2、例4 画二次函数的图象．四、用顶点式求二次函数的表达式例5 已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式． 学生在教师指导下填写表格中相应的函数值并画图，然后画函数图象，让学生对比分析．学生独立完成再小组合作交流．完成例4、例5． 让学生亲身经历列表、描点画图的过程，从列表过程中体会二次函数数量间的关系，从画图中体会位置关系 ．让学生从大量实例中，总结得出一般规律，进一步体会特殊到一般的解决数学问题的方法，提高学生抽象概括能力．培养学生应用数学知识解决问题的能力．
1、对抛物线y=2（x-2）2-3与y=-2（x-2）2+4的说法不正确的是（ ）A．抛物线的形状相同 B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同 D．抛物线的开口方向相反2 、将抛物线y=3x2+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线___________________，它的开口向_______，对称轴是______，顶点坐标是 ______ ，当x= ______时，y有最______值是_____． 3、写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点．（1）y=2（x+3）2+5； （2）y=-3（x-1）2-20；（3）y=4（x-3）2+7； （4）y=-5（x+2）2-6．4、将二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的图象解析式为y=a（x-h）2+k．（1）求出a，h，k的值．（2）对于函数y=a（x-h）2+k，当x取何值时，y随x的增大而减小？该函数的顶点是什么？5、已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），它与直线y=x+1的一个交点的横坐标为2，求此二次函数的解析式． 学生当堂完成，小组互评，教师点评． 通过练习，及时反馈学生的学习情况，培养学生分析问题和解决问题的能力．
课堂小结 1、二次函数的关系 2、结论：一般地抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同． 教师引导学生通过小组合作交流的方式，共同总结． 梳理学习的内容、方法形成知识体系，养成良好的学习习惯，及时总结稳步提高学生的学习能力．
板书 二次函数y=a(x-h)2+k的性质：例4例5
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1.2 二次函数的图象与性质（3）
湘教版 九年级下
导入新知
1、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
当h<0时，向右平移
y=ax2
y=a(x-h)2
当h>0时，向左平移
2、二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线y=a(x-h)2的对称轴 ，顶点坐标 ，
开口方向 ，
最大值（最小值）___ ．
x=h
（h，0）
a>0时开口向上，a<0时开口向下
a>0时有最小值0，a<0时有最大值0
新知讲解
探究二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
画出二次函数
，
，
，
的图象，并探究它们的图象特征和性质．
新知讲解
列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．
x 0 1 2 3 4
0
2
8
x 1 2 3 4 5
0
2
8
x 1 2 3 4 5
3
5
11
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
新知讲解
开口向上的抛物线
对称轴为直线x=1
顶点为（1，3）
新知讲解
二次函数 图象上的点 横坐标x 纵坐标y
a
a
a
观察三个图像，它们在横坐标横纵坐标有什么联系？
新知讲解
问题1：观察上表，对于每一个给定的x值，函数 的值与函数 的值有何关系？
从上表看出：对于每一个给定的x值，函数 的值都要比函数 的值大3．
新知讲解
问题2： 的图象经过怎样的平移得到 的图像？
的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到 的图象．
新知讲解
2、若将抛物线 向下平移2个单位，得到的函数解析式是什么？
将抛物线 向下平移2个单位，得到的函数解析式是 ．
新知讲解
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它具有下述性质：
抛物线y=a(x-h)2+k 对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 在对称轴的左边 在对称轴的右边
a>0
a<0
x=h
x=h
（h，k）
（h，k）
向上
向下
y随x的增大而减小
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
y随x的增大而增大
｜a｜越大开口越小，反之开口越大
新知讲解
画y=a(x-h)2+k的图象的步骤如下：
第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步：列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；
第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
新知讲解
例4 画二次函数 的图象．
解：对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3)．
列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值．
x -1 0 1 2 3
-3
-2.5
-1
1.5
5
新知讲解
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
这样我们得到了函数
的图象．
新知讲解
例5 已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y轴相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式．
解：由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a（x+2）2+1．
由函数图象过点（4，0），可得4=a（0+2）2+1．
解得 ．
因此，所示的二次函数的表达式为
．
巩固提升
1、对抛物线y=2（x-2）2-3与y=-2（x-2）2+4的说法不正确的是（ ）
A．抛物线的形状相同
B．抛物线的顶点相同
C．抛物线对称轴相同
D．抛物线的开口方向相反
B
巩固提升
2 、将抛物线y=3x2+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线___________________，它的开口向_______，对称轴是______，顶点坐标是 ______ ，当x= ______时，y有最______值是_____．
y=3(x+2)2+4
上
x=-2
(-2，4)
-2
小
4
巩固提升
3、写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点．
（1）y=2（x+3）2+5；
（2）y=-3（x-1）2-20；
（3）y=4（x-3）2+7；
（4）y=-5（x+2）2-6．
巩固提升
解：（1）y=2（x+3）2+5开口向上，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，5）；
（2）y=-3（x-1）2-20，开口向，下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-20）；
（3）y=4（x-3）2+7开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，7）；
（4）y=-5（x+2）2-6开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，-6）．
巩固提升
4、将二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的图象解析式为y=a（x-h）2+k．
（1）求出a，h，k的值．
（2）对于函数y=a（x-h）2+k，当x取何值时，y随x的增大而减小？该函数的顶点是什么？
巩固提升
解：（1）因为二次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到二次函数y=2（x+2）2-3，
所以a=2，h=2，k=-3；
（2）对于y=2（x+2）2-3，
抛物线的对称轴为直线x=-2，
因为a=2＞0，所以当x＜-2时，y随x的增大而减小；
抛物线的顶点坐标为（-2，3）．
巩固提升
5、已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），它与直线y=x+1的一个交点的横坐标为2，求此二次函数的解析式．
解：设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4 ．
又∵该图象过点（2，3），
∴3=a（2-1）2+4， ∴a=-1 ．
∴二次函数的解析式为y=-（x-1）2+4 ．
课堂小结
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
1、各种形式的二次函数的关系
结论：一般地抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同．
谢谢
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