(共26张PPT)
2.2.2圆周角（1）
湘教版 九年级下
导入新知
1．圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角．
2．圆心角、弧、弦三个量之间关系的是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等．
导入新知
3、若圆心角的顶点位置发生改变，可能出现哪些情形？
·
·
·
·
·
新知讲解
顶点在圆上，它的两边都与圆相交．像这样的角叫作圆周角．
观察图中的∠ABC ，它的顶点和边有什么特点？
（2）角的两边分别和圆相交．
注意：（1）顶点在圆上，
∠BAC叫作 所对的圆周角， 叫作圆周角∠BAC所对的弧．
新知讲解
1、下列各图中的角，其中为圆周角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
2、图中有（ ）个圆周角．
A．2 B．3
C． 4 D．5
C
新知讲解
圆周角在我们的生活中处处可见，比如，我们共青团团旗上的图案抽象出如下图所示的图形，该图形中就有许多圆周角．
新知讲解
量出∠BAC与∠BOC的度数，它们有什么关系？
每位同学画一个圆，然后任意画一个圆周角，以及相应的圆心角（它所对的弧也是圆周角所对的弧），量出它们的度数，看它们之间有什么关系？
新知讲解
小组同学之间交流，猜测一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？
你能证明这个猜测吗？
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
已知：在⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．
求证： ∠BAC＝ ∠BOC．
新知讲解
画出图形，在画图过程中，发出并归纳出圆心Ｏ与圆周角的位置关系有几种情形？
（1）圆周角的一边通过圆心；
（2）圆心在圆周角的内部；
（3）圆心在圆周角的外部．
三种情形
新知讲解
情形一：圆周角的一边通过圆心．
如图，⊙O中，圆心O 在∠BAC的一边上．
∵OA=OC，
∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，
即∠BAC= ∠BOC．
∴∠C=∠BAC，
新知讲解
情形二：圆心在圆心角的内部．
如图，圆心O在∠BAC的内部．
能否转化为情形一的情况
作直径AD．
根据情形一的结果得： ， ．
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC
．
新知讲解
情形三：圆心在圆周角的外部．
如图，圆心O在∠BAC的外部．
你能证明∠BAC= ∠BOC吗？
证明：作直径AD ．
∵∠BAD= ∠BOD，∠CAD= ∠COD，
∴∠BAD－CAD= （∠BOD-∠COD），
∴∠BAC= ∠BOC．
新知讲解
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
即 ．
新知讲解
如图，∠C1，∠C2，∠C3都是 所对的圆周角，那么∠C1=∠C2=∠C3吗？为什么？
则∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角均为∠AOB．由圆周角定理，可知∠C1=∠C2=∠C3 ．
连接AO，BO．
新知讲解
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
例2 如图OA，OB，OC都是⊙O的半径，已知∠AOB=50°∠BOC=70°．求∠ACB和∠BAC度数．
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角
∠ACB所对的弧为 ．
∴∠ACB= ∠AOB=25°．
同理∠BAC= ∠BOC=35° ．
新知讲解
巩固提升
1、如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）
A．26° B．30°
C．32° D．64°
C
巩固提升
2、如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50°
C．45° D．30°
C
巩固提升
3、如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50°
C．60° D．80°
B
巩固提升
4、如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB的度数．
解：∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
而∠BAC=50°，∠ABC=47°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-50°-47°=83°，
又∵∠ACB= ∠AOB，
∴∠AOB=2∠ACB=2×83°=166°．
即∠AOB的度数为166°．
巩固提升
5、如图，已知E是⊙O上任意一点，CD平分∠ACB，求证：ED平分∠AEB．
解：∵CD平分∠ACB，
∴ ，
∴∠AED=∠BED，
∴ED平分∠AEB．
巩固提升
6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻．当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？（不考虑其他因素）
解：迅速回传乙，让乙射门较好．因为在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图所示，则∠A＜∠MCN=∠B，即∠B＞∠A，从而B处对MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些．
巩固提升
课堂小结
1、圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
3、在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
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湘教版数学九年级2.2.2圆周角教学设计
课题 2.2.2圆周角（1） 单元 第二章圆 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2、经历探索圆周角与圆心角的关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解．3、能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理．
重点 解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算．
难点 分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1．圆心角的定义 顶点在圆心的角叫圆心角．2．圆心角、弧、弦三个量之间关系的是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等．3、若圆心角的顶点位置发生改变，可能出现哪些情形？ 回顾圆心角定义及圆心角、弧、弦三个量之间关系．改变圆心角的项点位置，观察角的变化． 通过回顾圆心角定义及圆心角、弧、弦三个量之间关系为本节课的探究奠定基础．通过变形从感性上认识圆周角的特点．
讲授新课 一、圆周角的定义1、观察图中的∠ABC ，它的顶点和边有什么特点？顶点在圆上，它的两边都与圆相交．像这样的角叫作圆周角．注意：（1）顶点在圆上，（2）角的两边分别和圆相交．∠BAC叫作所对的圆周角，叫作圆周角∠BAC所对的弧．针对练习：1、下列各图中的角，其中为圆周角的是（ ） A．B．C．D．2、图中有（ ）个圆周角．A．2 B．3 C． 4 D．5你还能举例说明生活中哪些物体是圆形吗？圆周角在我们的生活中处处可见，比如，我们共青团团旗上的图案抽象出如下图所示的图形，该图形中就有许多圆周角． 二、圆周角定理1、量出∠BAC与∠BOC的度数，它们有什么关系？每位同学画一个圆，然后任意画一个圆周角，以及相应的圆心角（它所对的弧也是圆周角所对的弧），量出它们的度数，看它们之间有什么关系？2、小组同学之间交流，猜测一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？你能证明这个猜测吗？已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．求证： ∠BAC＝∠BOC．3、画出图形，在画图过程中，发出并归纳出圆心Ｏ与圆周角的位置关系有几种情形？三种情形（1）圆周角的一边通过圆心；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部．情形一：圆周角的一边通过圆心．如图，⊙O中，圆心O 在∠BAC的一边上．∵OA=OC，∴∠C=∠BAC，∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，即∠BAC=∠BOC．情形二：圆心在圆心角的内部．如图，圆心O在∠BAC的内部．能否转化为情形一的情况 作直径AD．根据情形一的结果得：，．∴∠BAC=∠BAD+∠DAC．情形三：圆心在圆周角的外部．如图，圆心O在∠BAC的外部．你能证明∠BAC= ∠BOC吗？证明：作直径AD ．∵∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD，∴∠BAD－CAD=（∠BOD-∠COD），∴∠BAC=∠BOC．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．即∠BAC=∠BOC．4、如图，∠C1，∠C2，∠C3都是所对的圆周角，那么∠C1=∠C2=∠C3吗？为什么？连接AO，BO．则∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角均为∠AOB．由圆周角定理，可知∠C1=∠C2=∠C3 ．在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．5、例2 如图OA，OB，OC都是⊙O的半径，已知∠AOB=50°∠BOC=70°．求∠ACB和∠BAC度数．解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为．∴∠ACB=∠AOB=25°．同理∠BAC= ∠BOC=35° ． 观察图形，发现归纳圆周角的定义．完成针对练习．观察图片体会圆周角在生活中的应用．测量、猜测一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系．探究圆周角和圆心角之间的关系．同学之间交流、讨论、归纳．完成例题． 理解圆周角的定义．进一步认识圆周角定义．体会数学来源于生活，生活中处处有数学．培养学生操作、观察发现问题的能力．培养学生探究的能力，体会分类讨论的思想及由特殊到一般的转化思想的应用．通过交流活动使学生认识在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．在证明或计算中熟练运用圆周角的定理．
1、如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）A．26° B．30° C．32° D．64°2、如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）A．90° B．50°C．45° D．30°3、如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）A．25° B．50°C．60° D．80°4、如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB的度数．5、如图，已知E是⊙O上任意一点，CD平分∠ACB，求证：ED平分∠AEB．6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻．当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？（不考虑其他因素） 学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果． 通过练习加深对圆的理解．
课堂小结 1、圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．3、在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．4、定理的证明思路：我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类转化成特殊问题． 回顾本节课所学知识． 通过小结，再次让学生认识圆周角的概念，圆周角定理及定理的证明思路．
板书 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．情形一：圆周角的一边通过圆心．情形二：圆心在圆心角的内部．情形三：圆心在圆周角的外部．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．例2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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