专题01 运动学图像问题（x-t图与v-t图）
【专题概述】
用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。图像是一种直观且形象的语言和工具，它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图像解题的能力可以归纳为以下两个方面：
1.读图
2、作图和用图
依据物体的状态和物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图像来研究和处理问题。
x-t图像
v-t图像
物理意义
表示位移随时间的变化规律，可直接判定各时刻物体的位置或相对参考点的位移
表示速度随时间的变化
规律，可直接判定各时刻
物体的速度
图像
斜率
表示物体运动的速度，其值为正说明物体沿与规定的正方向相同的方向运动，如图线①；其值为负则说明物体沿与规定的正方向相反的方向运动，如图线③
表示物体的加速度，其值 为正说明物体的加速度方向与规定的正方向相同，如图线①；其值为负则说明加速度方向与规定的正方向相反，如图线③
图线
1.倾斜直线表示物体做匀速直线运动，如图线①和③ 2.与时间轴平行的直线表示物体处于静止状态，如图线② 3.图线为曲线表示物体做变速直线运动，如图线④，图线上两点连线的斜率表示这段时间内的平均速度，图线上某点切线的斜率表示该点的瞬时速度
1.倾斜直线表示物体做匀变速直线运动，如图线①和③ 2.与时间轴平行的直线表示物体处于匀速直线运动状态，如图线② 3.图线为曲线表示物体做变加速直线运动，如图④，图线上某点切线的斜率表示该点的瞬时加速度
截距
1.纵轴上的截距表示开始计时时物体的位移
2.横轴上的截距表示相应时刻物体在x=0处
1.纵轴上的截距表示物体运动的初速度 2.横轴上的截距表示相应时刻物体速度为零
面积
无意义
图线与t轴所围面积表示物体在相应时间内发生的位移，t轴上方面积表示物体的位移为正，t轴下方面积表示物体的位移为负
交点
两图线相交说明两物体相遇
两图线相交说明两物体在此时速度相等
【典例精讲】
1. 对x-t图像的认识：
典例1 如图，折线是表示物体甲从A地向B地运动的x－t图象，直线表示物体乙从B地向A地运动的x－t图象，则下列说法正确的是( )
A． 在2～6 s内甲做匀速直线运动
B． 乙做匀速直线运动，其速度大小为5 m/s
C． 从计时开始至甲、乙相遇的过程中，乙的位移大小为60 m
D． 在t＝8 s时，甲、乙两物体的速度大小相等
【答案】B
典例2 如图所示为甲、乙两物体运动的x－t图象，下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是( )
A． 甲、乙两个物体同时出发
B． 甲、乙两个物体在同一位置出发
C． 甲的速度比乙的速度小
D． t2时刻两个物体速度相同
【答案】C
2、与s-t有关的追赶问题;
典例3 如图是在同一条直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
A．t＝0时，A在B后面
B．B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面
C．在0～t1时间内B的运动速度比A大
D．A质点在0～t1做加速运动，之后做匀速运动
【答案】B
【解析】由图象可知，t＝0时，B在A后面，故A错误；B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A，故B的运动速度比A小，C错误；A质点在0～t1时间内做匀速运动，之后处于静止状态，故D错误
典例4 甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移－时间图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．t1时刻两车相距
B．t1时刻乙车追上甲车
C．t1时刻两车的速度刚好相等
D．0到t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度
【答案】B
【解析】由图知，0到t1时间内，乙车在甲车后面追赶，t1时刻追上甲车，A错误，B正确；x－t图象的斜率表示速度，t1时刻乙车速度大于甲车速度，C错误；0到t1时间内，两车位移相等，时间相等，根据＝知，两车平均速度相等，D错误．
3 变速运动的x-t图像;
典例5 物体沿直线运动的位移—时间图象如图所示，则在0～4 s内物体通过的路程s为 ( )
A．s＝2 m B．s＝4 m
C．s＝10 m D．s>10 m
【答案】C
【解析】由图可知：物体在前2 s内位移是4 m，后2 s内位移是－6 m，所以在0～4 s内物体通过的路程s为10 m，故选C
典例6 如图所示为甲、乙、丙三个物体相对于同一位置的x－t图象，它们向同一方向开始运动，则在时间t0内，下列说法正确的是( )
A．它们的平均速度相等
B．甲的平均速度最大
C．乙的位移最小
D．图象表示甲、乙、丙三个物体各自的运动轨迹
【答案】A
4 利用v-t图像求位移
典例7 (多选) 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v －t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
【答案】BD
【解析】在t＝3 s时，两车并排，由图可得在1～3 s内两车发生的位移大小相等，说明在t＝1 s时，两车并排，由图象可得前1 s乙车位移大于甲车位移，且位移差Δx＝x2－x1＝7.5 m，在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m处，选项A、C错误，选项B正确；在1～3 s内两车位移相同，由图象甲可求位移x＝×(10＋30)×2 m＝40 m，选项D正确
典例8 如图是直升机由地面起飞的速度图象，试计算直升机能到达的最大高度及25 s时直升机所在的高度是多少？
【答案】600 m 500 m
5 v-t图像的综合运用
典例9 图所示是A、B两物体从同一地点出发，沿相同的方向做直线运动的v－t图象，由图象可知( )
A．A比B早出发5 s
B．第15 s末A、B速度相等
C．前15 s内A的位移比B的位移大50 m
D．第10 s末A、B位移之差为75 m
【答案】D
6 利用图像求追击相遇问题：
典例10 在水平轨道上有两列火车A和B,相距s,A车在后面做初速度为、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度满足什么条件。
【答案】v0<
【解析】：利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图乙所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则
对A车有vA=v=v0-2at
对B车有vB=v=at
以上两式联立解得t=?
经t时间两车发生的位移大小之差,即为原来两车间的距离s,它可用图中
的阴影面积表示,由图像可知
s==?=?
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0<。
【总结提升】
利用图像解题的关键是要灵活的运用图像的斜率，交点、以及面积所代表的物理意义来分析问题、在追击相遇中利用图像解题更是能达到事半功倍的效果，对于追击相遇问题，可总结如下:
速度小者追速度大者
图像
说明
匀加速追匀速
①以前,后面物体与前面物体间距离增大
②时,两物体相距最远,为
③以后,后面物体与前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
速度大者追速度小者
图像
说明
匀减速追匀速
开始追赶时,后面物体与前面物体间的距离在 减小,当两物体速度相等时,即时刻:
①若,则恰能追上,两物体只能相遇一次, 这也是避免相撞的临界条件
②若,则不能追上,此时两物体最小距离 为
③若,则相遇两次,设时刻,两物体 第一次相遇,则时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
【专练提升】
1、(多选)一遥控玩具小车在平直路上运动的位移—时间图象如图所示，则( )
A． 15 s内汽车的位移为30 m
B． 20 s末汽车的速度大小为1 m/s
C． 前10 s内汽车的速度为3 m/s
D． 前25 s内汽车做单方向直线运动
【答案】ABC
2、(多选)如图所示是A、B两运动物体的位移图象，下述说法中正确的是( )
A．A、B两物体开始时相距100 m，运动方向相同
B．B物体做匀速直线运动，速度大小为5 m/s
C．A、B两物体运动8 s时，在距A的出发点60 m处相遇
D．A物体在运动中停了6 s
【答案】BC
3、 (多选)甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移－时间图象，即x－t图象如图所示，甲图象过O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，则下列说法中正确的是( )
A． 在两车相遇前，t1时刻两车相距最远
B． 0～t2时间内甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度
C． 甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度
D．t3时刻甲车在乙车的前方
【答案】AC
【解析】图象的纵坐标表示物体所在的位置，图象斜率表示速度，由图可知，0～t1时间甲的斜率大于乙，之后甲的斜率小于乙，A正确，B错误；由题知，甲图象过O点的切线与AB平行，则甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度，C正确；t3时刻两车的位置坐标相同，两车处在同一位置，D错误
4、(多选)质点做直线运动，其x－t关系如图所示．关于质点的运动情况，下列说法正确的是( )
A．质点在0～20 s内的平均速度为0.8 m/s
B．质点在0～20 s内的平均速度为1 m/s
C．质点做单向直线运动
D．质点做匀变速直线运动
【答案】AC
专题02 追击相遇问题
【专题概述】
1. 当两个物体在同一条直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,两物体间距越来越大或越来越小时,就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2. 追及问题的两类情况
(1) 若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度。
(2) 若后者追不上前者,则当后者的速度与前者速度相等时,两者相距最近。
3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的两物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
4.追及相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到。
(2)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
5.追及相遇问题常见的情况
物体A追物体B,开始时,两个物体相距s。
(1)A追上B时,必有s=且;
(2)要使两物体恰好不相撞,必有s=且;
(3)若使物体肯定不相撞,则由时,且之后。
【典例精讲】
1. 基本追赶问题
【典例1】在水平轨道上有两列火车A和B,相距s,A车在后面做初速度为、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度满足什么条件。
【答案】v0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度应满足的条件是解法三:(图像法)利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图乙所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则
对A车有vA=v=v0-2at
对B车有vB=v=at
以上两式联立解得t=?
经t时间两车发生的位移大小之差,即为原来两车间的距离s,它可用图中
的阴影面积表示,由图像可知
s==?=?
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v02：是否相碰及相碰问题
【典例 2】越来越多的私家车变成了人们出行的工具，但交通安全将引起人们的高度重视，超速是引起交通事故的重要原因之一，规定私家车在高速公路上最高时速是120 km/h，为了安全一般在110～60 km/h之间行驶；
(1)在高速公路上行驶一定要与前车保持一个安全距离s0，即前车突然停止，后车作出反应进行减速，不会碰到前车的最小距离．如果某人驾车以108 km/h的速度行驶，看到前车由于故障停止，0.5 s后作出减速动作，设汽车刹车加速度是5 m/s2，安全距离是多少？
(2)如果该人驾车以108 km/h的速度行驶，同车道前方x0＝40 m处有一货车以72 km/h的速度行驶，在不能改变车道的情况下采取刹车方式避让(加速度仍为5 m/s2)，通过计算说明是否会与前车相碰．
【答案】(1)s0＝105 m (2)不会相碰
车的位移为x1，运动时间为t2，货车的位移为x2，则速度相等经历的时间为：
t2＝＝ s＝2 s，
则私家车的位移为：
x1＝＝ m＝50 m，
对货车：位移为：x2＝v1t2＝20×2 m＝40 m，
因为x2＋x0＞x1，所以不会相碰
【典例3】2014年11月22日16时55分，四川省康定县境内发生6.3级地震并引发一处泥石流．一汽车停在小山坡底，突然司机发现山坡上距坡底240 m处的泥石流以8 m/s的初速度，0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动，司机的反应时间为1 s，汽车启动后以恒定的加速度一直做匀加速直线运动．其过程简化为图所示，求：
(1)泥石流到达坡底的时间和速度大小？
(2)试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险？(结果保留三位有效数字)
【答案】（1）t1＝20 s，v1＝16 m/s (2)a′＝0.421 m/s2
3. 能否追上及最大值的问题
【典例4】甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动．乙车落后2 s在同一地点由静止开始，以6 m/s2的加速度做匀加速直线运动．两车的运动方向相同．求：
(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？
【答案】(1)12 m (2)x1＝x2≈70 m
【解析】
两车距离最大时速度相等，设此时乙车已开动的时间为t，则甲、乙两车的速度分别是多少？
v1＝3×(t＋2)＝3t＋6
【典例5】一列火车从车站出发做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2，此时恰好有一辆自行车(可视为质点)从火车头旁边驶过，自行车速度v0＝8 m/s，火车长l＝336 m.
(1)火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是多少？
(2)火车用多少时间可追上自行车？
(3)再过多长时间可超过自行车？
【答案】(1)xm＝v0t1－at＝8×16－×0.5×162＝64 m
(2)t2＝＝ s＝32 s
(3)t3＝24 s
代入数据解得：t2＝＝ s＝32 s
(3)追上时火车的速度：v＝at2＝0.5×32 m/s＝16 m/s
设再过t3时间超过自行车，则
vt3＋at－v0t3＝l
代入数据解得t3＝24 s
注意 ①在解决追及、相遇类问题时,要紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式。最后还要注意对结果的讨论分析。
②分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如 “刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。
三 总结提升
速度小者追速度大者
图像
说明
匀加速追匀速
①以前,后面物体与前面物体间距离增大
②时,两物体相距最远,为
③以后,后面物体与前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
速度大者追速度小者
图像
说明
匀减速追匀速
开始追赶时,后面物体与前面物体间的距离在 减小,当两物体速度相等时,即时刻:
①若,则恰能追上,两物体只能相遇一次, 这也是避免相撞的临界条件
②若,则不能追上,此时两物体最小距离 为
③若,则相遇两次,设时刻,两物体 第一次相遇,则时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
说明： (1)表中的Δx是开始追赶以后,后面物体因速度大而比前面物体
多运动的位移;
(2)是开始追赶以前两物体之间的距离;
(3)
(4)是前面物体的速度,是后面物体的速度。
【提升专练】
1.(多选)甲、乙两车某时刻由同一地点,沿同一方向开始做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两车的位移-时间图像,即x-t图像如图所示,甲图像过O点的切线与AB平行,过C点的切线与OA平行,则下列说法中正确的是( )
A.在两车相遇前,t1时刻两车相距最远
B.t3时刻甲车在乙车的前方
C.0~t2时间内甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度
D.甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度
【答案】AD
【解析】 图像的纵坐标表示物体所在的位置,由图可知t1时刻两车相距最远,故A正确;t3时刻两车的位移相同,两车处在同一位置,故B错误;图线(或图线切线)的斜率表示速度,由图可知,t1时刻以后甲车瞬时速度小于乙车瞬时速度,甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度,故C错误,D正确。
2.甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动,两车在某一时刻刚好经过同一位置,此时甲的速度为5 m/s,乙的速度为10 m/s,甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2。以此时作为计时起点,它们的速度随时间变化的关系如图所示,根据以上条件可知( )
A.乙车做加速度先增大后减小的变加速运动
B.在前4 s的时间内,甲车运动位移为29.6 m
C.在t=4 s时,甲车追上乙车
D.在t=10 s时,乙车又回到起始位置
【答案】B
【解析】v-t图线的斜率表示物体的加速度,由图可知,乙的加速度先减小后反向增大,再减小,故A错误;在前4 s的时间内,甲车运动位移为x=v0t+at2=5×4 m+×1.2×16 m=29.6 m,故B正确;在t=4 s时,两车的速度相同,但0~4 s内两车的位移不同,则两车没有相遇,故C错误;在前10 s内,乙车一直做变加速直线运动,速度一直沿同一方向,故t=10 s时乙车没有回到起始位置,故D错误。
3.如图所示为甲、乙两物体从同一位置出发沿同一方向做直线运动的v-t图像,其中t2=2t1,则下列判断正确的是( )
A.甲的加速度比乙的大
B.t1时刻甲、乙两物体相遇
C.t2时刻甲、乙两物体相遇
D.0~t1时间内,甲、乙两物体之间的距离逐渐减小
【答案】C
4.如图所示为甲、乙两个物体在同一条直线上运动的v-t 图像,t=0时两物体相距3s0,在t=1 s时两物体相遇,则下列说法正确的是 ( )
A.t=0时,甲物体在前,乙物体在后
B.t=2 s时,两物体相距最远
C.t=3 s时,两物体再次相遇
D.t=4 s时,甲物体在乙物体后2s0处
【答案】C
【解析】因t=1 s时两物体相遇,且0~1 s内甲的速度始终比乙大,则可知t=0时,甲物体在后,乙物体在前,A错误;1 s 末两物体相遇,由对称性可知1~3 s内甲、乙的位移相同,因此3 s末两物体再次相遇,C正确;由对称性可知4 s末,甲物体在乙物体后3s0处,此后甲、乙间距离不断增大,因此两者间距最大值无法获得,B、D错误。
5.A、B两质点同时、同地沿同一直线运动,其v-t图像分别如图中a、b所示,t1时刻图线b的切线与图线a平行,在0~t2时间内,下列说法正确的是( )
A.质点A一直做匀加速直线运动
B.t1时刻两质点的加速度相等,相距最远
C.t2时刻两质点速度相等,相距最远
D.t2时刻两质点速度相等,A恰好追上B
【答案】C
6.甲、乙两车在某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两车的位移-时间图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.甲做匀加速直线运动,乙做变加速直线运动
B.t1时刻乙车从后面追上甲车
C.t1时刻两车的速度刚好相等
D.0到t1时间内,乙车的平均速度小于甲车的平均速度
【答案】B
【解析】因位移图线的斜率表示速度,故甲车做匀速直线运动,乙车做变速直线运动,A项错;两图线有交点,表明两车在同一时刻到达同一位置,即相遇,则由图可知t1时刻乙从后面追上甲,B项正确;在t1时刻,乙图线切线斜率(速度)大于甲图线斜率(速度),C项错;0~t1时间内,两车初、末位置相同,即位移相同,故两车平均速度相同,D项错。
7.甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动,在t=0时刻,乙车在甲车前方50 m处,它们的v-t图像如图所示,下列对两车运动情况的描述正确的是 ( )
A.在第30 s末,甲、乙两车相距100 m
B.甲车先做匀速运动再做反向匀减速运动
C.在第20 s末,甲、乙两车的加速度大小相等
D.在整个运动过程中,甲、乙两车可以相遇两次
【答案】D
8.两个质点A、B放在同一水平面上,由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动,其运动的v-t图像如图所示。对A、B运动情况的分析,下列结论正确的是( )
A.A、B加速时的加速度大小之比为2∶1,A、B减速时的加速度大小之比为1∶1
B.在t=3t0时刻,A、B相距最远
C.在t=5t0时刻,A、B相距最远
D.在t=6t0时刻,A、B相遇
【答案】D
【解析】由v-t图像可知,加速时A、B的加速度大小之比为10∶1,减速时A、B的加速度大小之比为1∶1,选项A错误;由A、B的运动关系可知,当A、B速度相同时,A、B间的距离最大,故选项B、C错误;由题意可知A、B是从同一位置同时开始运动的,由速度-时间图像可以算出运动位移,可知6t0时刻,A、B的位移xA=xB=3v0t0,因此在此时刻A、B相遇,选项D正确。
9.A、B两物体在同一直线上运动,当它们相距7 m时,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以4 m/s的速度向右做匀速运动,而物体B此时速度为10 m/s,方向向右,它在摩擦力作用下做匀减速运动,加速度大小为2 m/s2。求:
(1)A追上B之前两者之间的最大距离;
(2)A追上B所用的时间。
【答案】(1)16 m (2)8 s
10.某物体A静止于水平地面上,它与地面间的动摩擦因数μ=0.2,若给物体A一个水平向右的初速度v0=10 m/s,g=10 m/s2。求:
(1)物体A向右滑行的最大距离;
(2)若物体A右方x0=12 m处有一辆汽车B,在物体A获得初速度v0的同时,汽车B从静止开始以a=2 m/s2的加速度向右运动,通过计算说明物体A能否撞上汽车B。
【答案】(1)25 m (2)见解析
【解析】(1)由牛顿第二定律得
μmg=ma0
a0=2 m/s2
根据v2-=-2a0x
解得x=25 m
(2)假设二者不相撞,设经过时间t二者有共同速度v共
则对物体A:v共=v0-a0t
对汽车B:v共=at
解得:v共=5 m/s,t=2.5 s
该过程中物体A的位移:xA=t=18.75 m
该过程中汽车B的位移:xB=t=6.25 m
因为xA>xB+x0
所以物体A能撞上汽车B。
专题03 处理平衡问题的常用方法
【专题概述】
1 处理平衡问题的常用方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
2．一般解题步骤
(1)选取研究对象：根据题目要求，选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象．
(2)画受力示意图：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(3)正交分解：选取合适的方向建立直角坐标系，将所受各力正交分解．
(4)列方程求解：根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论．
3．应注意的两个问题
(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单．
(2)解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少．物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法
【典例精讲】
方法1 直角三角形法
用直角三角法解答平衡问题是常用的数学方法，在直角三角形中可以利用勾股定理、正弦函数、余弦函数等数学知识求解某一个力，若力的合成的平行四边形为菱形，可利用菱形的对角线互相垂直平分的特点进行求解．
【典例1】如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为
A. B.
C.mgtan α D.mgcot α
【答案】 A
直角三角形，且∠OCD为α，则由mg＝FNsin α可得FN＝，故A正确．
方法2 相似三角形法
物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向．
【典例2】 如图所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一个劲度系数为k，自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ.
【答案】arccos
【解析】对小球B受力分析如图所示，由几何关系有△AOB∽△CDB，
【典例3】如图所示，不计重力的轻杆OP能以O点为圆心在竖直平面内自由转动，P端用轻绳PB挂一重物，而另一根轻绳通过滑轮系住P端．在力F的作用下，当杆OP和竖直方向的夹角α(0＜α＜π)缓慢增大时，力F的大小应( )
A．恒定不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【答案】B
【解析】
由三角形相似得：＝，F＝mg，α逐渐增大，即PQ增大，由上式知F逐渐增大，B正确．
方法3：正弦定理法
三力平衡时，三力合力为零．三个力可构成一个封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可由正弦定理列式求解．
【典例4】一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示．
现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？
【答案】30°
【解析】对电灯受力分析如图所示，据三力平衡特点可知：OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向，即T＝G①
【名师点评】 相似三角形法和正弦定理法都属于数学解斜三角形法，只是已知条件不同而已．若已知三角形的边关系选用相似三角形法，已知三角形的角关系，选用正弦定理法．
【典例5】如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力必为共点力．
【典例6】 如图所示，重为G的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求：
(1) 链条两端的张力大小；
(2) 链条最低处的张力大小．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)整个链条受三个力作用而处于静止，这三个力必为共点力，由对称性可知，链条两端受力必大小相等，受力分析如图甲．
由平衡条件得：2Fsin θ＝G
F＝.
(2)在求链条最低处张力时，可将链条一分为二，取一半链条为研究对象．受力分析如图乙所示，由平衡条件得水平方向所受力为
F′＝Fcos θ＝cos θ＝cot θ.
方法5：图解法
【典例7】如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止，对小球施加的最小的力是 ( )．
A．mg B．mg
C．mg D．mg
【答案】C
【典例8】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是 ( )．
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
【答案】D
【总结提升】
1直角三角形分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中三个力的方向都没有发生变化，并且所构成的三角形是一个直角三角形，此时就可以用直角三角形解平衡了。
2 图解法的适用情况
图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化。
(3)用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律:
①若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向,则另一分力F2的最小值的条件为F1⊥F2;
②若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向,则另一分力F2的最小值的条件为F2⊥F合。
动态平衡类问题的特征:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
3相似三角形分析动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另外两个力的方向都在发生变化，此时就适合选择形式三角形来解题 了
4 正弦定理分析物体的平衡时，基本上会出现物体旋转的问题这时候就可以用正弦定理来解题了
【专练提升】
1．如图所示，水平地面上处于伸直状态的轻绳一端拴在质量为m的物块上，另一端拴在固定于B点的木桩上．用弹簧测力计的光滑挂钩缓慢拉绳，弹簧测力计始终与地面平行．物块在水平拉力作用下缓慢滑动．当物块滑动至A位置，∠AOB＝120°时，弹簧测力计的示数为F.则 ( )．
A．物块与地面间的动摩擦因数为
B．木桩受到绳的拉力始终大于F
C．弹簧测力计的拉力保持不变
D．弹簧测力计的拉力一直增大
【答案】AD
2、如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且OA之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为( )
A．F1>F2 B．F1＝F2
C．F1【答案】 A
【解析】由图知棒受重力G，上端绳拉力T，水平绳拉力F三力作用而平衡，知此三力为共点力，则将T和F反向延长与重力G交于O′点，因棒的重心在棒的中点，则由几何关系知l1＝l2，tan α＝，tan β＝，联立解得：tan α＝2tan β，所以A项正确
3.(多选) 气象研究小组用图示简易装置测定水平风速，在水平地面上竖直固定一直杆，质量为m的薄空心塑料球用细线悬于杆顶端O，当水平风吹来时，球在水平风力的作用下飘起来．已知风力大小正比于风速，当风速v0＝3m/s时，测得球平衡时细线与竖直方向的夹角θ＝30°.则( )
A． 细线拉力的大小为
B． 若风速增大到某一值时，θ可能等于90°
C． 细线拉力与风力的合力大于mg
D． θ＝30°时，风力的大小F＝mgtan 30°
【答案】AD
4如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时( )
A．绳OA的拉力逐渐增大
B．绳OA的拉力逐渐减小
C．绳OA的拉力先增大后减小
D．绳OA的拉力先减小后增大
【答案】D
【解析】对O点受力分析，如图所示，利用图解法可知绳OA的拉力先变小后变大，故A、B、C错误，D正确．
5如图，运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械，在手臂OA沿由水平方向缓慢移到A′位置过程中，若手臂OA、OB的拉力分别为FA和FB，下列表述正确的是( )
A．FA一定小于运动员的重力G
B．FA与FB的合力始终大小不变
C．FA的大小保持不变
D．FB的大小保持不变
【答案】B
【解析】以人为研究对象，分析受力情况如图：
由图看出，FA不一定小于重力G，故A错误．人保持静止状态，则知FA与FB的合力与重力G大小相等、方向相反，保持不变，故B正确．由图看出FA的大小在减小，FB的大小也在减小，故C、D均错误．故选B
6如图所示，用AO、BO两根细线吊着一个重物P，AO与天花板的夹角θ保持不变，用手拉着BO线由水平逆时针的方向逐渐转向竖直向上的方向，在此过程中，BO和AO中张力的大小变化情况是( )
A．都逐渐变大
B．都逐渐变小
C．BO中张力逐渐变大，AO中张力逐渐变小
D．BO中张力先变小后变大，AO中张力逐渐减小到零
【答案】D
7如图所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中
①小球对薄板的正压力增大 ②小球对墙的正压力减小
③小球对墙的压力先减小，后增大 ④小球对木板的压力不可能小于球的重力
A.①② B．②④ C．①③ D．③④
【答案】B
8.如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1，半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是( )
A．F1增大，F2减小 B．F1减小，F2减小
C．F1增大，F2增大 D．F1减小，F2增大
【答案】C
【解析】据题意，当小球在竖直挡板作用下缓慢向右移动，受力变化情况如图所示，所以移动过程中挡板对小球作用力增加；球面对小球作用力也增大，故选项C正确．
9如图所示，用一根细线系住重力为G、半径为R的球，其与倾角为α的光滑斜面接触，处于静止状态，球与斜面的接触面非常小，当细线悬点O固定不动，斜面缓慢水平向左移动直至绳子与斜面平行的过程中，下述正确的是( ).
A．细绳对球的拉力先减小后增大
B．细绳对球的拉力先增大后减小
C．细绳对球的拉力一直减小
D．细绳对球的拉力最小值等于G
【答案】C
10.如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动．用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在以O点为圆心的圆弧形墙壁上的C点．当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与地面夹角θ不变)，OC绳所受拉力的大小变化情况是( )
A. 逐渐减小 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【解析】据题意，当细绳OC的C段向B点移动过程中，系统处于平衡状态，由图知拉力的大小也是先减小后增加，故选项C正确．
11半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是( )
A．FN不变，FT变小 B．FN不变， FT先变大后变小
C．FN变小，FT先变小后变大 D．FN变大，FT变小
【答案】A
【解析】以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G，细线的拉力FT和半球面的支持力FN，作出
12.如图所示，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端挂一重物，另用一根轻绳通过滑轮系住P端，当OP和竖直方向的夹角α缓慢增大时(0＜α＜π)，OP杆所受作用力的大小( )
A. 恒定不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【答案】A
【解析】在OP杆和竖直方向夹角α缓慢增大时(0＜α＜π)，结点P在一系列不同位置处于静态平衡，以结点P为研究对象，如图甲所示，
13. 如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线，一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环、滑轮、细线的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，细线又不可伸长，若平衡时弦AB所对应的圆心角为α，则两物块的质量之比应为
A. cos B．sin C．2sin D．2sin α
【答案】C
【解析】因小圆环A受拉力m2g，细线BA的拉力FT及大圆环的弹力FN作用而处于平衡状态，则此三个力一定可以组成一封闭的矢量三角形，此力的三角形一定与几何三角形OAB相似，即有＝，而FT＝m1g，AB＝2Rsin，所以＝＝2sin
14. (多选)如下图所示， 在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )
A．A对B的支持力减小 B．A对B的支持力增大
C．墙对B的弹力减小 D．墙对B的弹力增大
【答案】AC
专题04 整体、隔离法在平衡问题中的应用
【专题概述】
1. 方法: 整体法和隔离法
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法．
方法
整体法
隔离法
概念
将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行分析的方法
将所研究的对象从周围的物体中分离出来进行分析的方法
选用原则
研究系统外的物体对系统整体的作用力或系统整体的加速度
研究系统内部各物体之间的相互作用力
注意问题
受力分析时不考虑系统内各物体之间的相互作用力
一般情况下隔离受力较少的物体
应注意的四个问题．
①不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆，分清施力物体，受力物体．
②对于分析出的物体受到的每一个力，都必须明确其来源，即每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有
③区分合力与分力．研究对象的受力图，通常只画出物体实际受到的力，不要把按效果命名的分力或合力分析进去，受力图完成后再进行力的合成或分解．
④区分内力与外力：对几个物体的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，内力变成外力，要在受力分析图中画出．
2. 受力分析的一般步骤
【典例精讲】
第一类题：两个物体，其中一个处于静止状态，另外一个处于运动状态，那么我们在做题的过程中既可以用整体法也可以用隔离法
【典例1】 如图所示，放置在水平地面上的质量为M的直角劈上有一个质量为m的物体，若物体在直角劈上匀速下滑，直角劈仍保持静止，那么下列说法正确的是
A．直角劈对地面的压力等于(M＋m)g
B．直角劈对地面的压力大于(M＋m)g
C．地面对直角劈没有摩擦力
D．地面对直角劈有向左的摩擦力
【答案】AC
【解析】解法一 隔离法
【典例2】如下图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA＝10 kg，mB＝20 kg，A与B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5.一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)
【答案】160 N
【解析】分析A、B的受力如图所示，建立直角坐标系．
第二类题：两个物体，都处于静止状态，在解题的过程中可以用整体隔离法
【典例3】 如图所示，位于竖直侧面的物体A的质量mA＝0.2 kg，放在水平面上的物体B的质量mB＝1.0 kg，绳和滑轮间的摩擦不计，且绳的OB部分水平，OA部分竖直，A和B恰好一起匀速运动，取g＝10 m/s2.
(1) 求物体B与水平面间的动摩擦因数；
(2) 如果用水平力F向左拉物体B，使物体A和B做匀速运动需多大的拉力？
审题突破：(1)请分别画出物体A、B的受力分析图．
(2)用力F向左匀速拉B时，B受到的绳的拉力和摩擦力如何变化？
提示：因用力F向左匀速拉B，故A、B仍受力平衡，绳拉力大小不变，摩擦力大小也不变，但方向由水平向左变成水平向右．
【答案】(1)0.2 (2)4 N
均不变，对物体B由平衡条件得：F－T－μFN＝0.
解得：F＝4 N.
【典例4】如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量m＝1 kg，斜面倾角α＝30°，细绳与竖直方向夹角θ＝30°，光滑斜面体的质量M＝3 kg，置于粗糙水平面上(g取10 m/s2).求：
(1)细绳对小球拉力的大小；
(2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
【答案】(1)5.77 N (2)2.89 N 方向水平向左
【解析】(1)以小球为研究对象受力分析如图甲所示．
FN＝T，Tcos 30°＝mg
得T＝＝3 N＝ N＝5.77 N.
(2)以小球和斜面整体为研究对象受力分析如图乙所示，
因为系统静止，所以f＝Tsin 30°＝× N＝ N＝2.89 N，方向水平向左．
第三类：两个物体都是匀速状态，可以采用整体、隔离法解题
【典例5】如图所示，质量为m的木块A放在斜面体B上，现用水平向右的恒力F作用在斜面体B上，若A和B沿水平方向以相同的速度一起向右做匀速直线运动，则A和B之间的相互作用力的大小与木块A对斜面体B的摩擦力大小分别为( )
A．mg，mgsin θ B．mg，mgcos θ
C．mgcos θ，mgsin θ D．mgtan θ，0
【答案】A
【典例6】如图所示，A、B两个物体叠放在一起，放于斜面C上，物体B的上表面水平，现三者在水平外力F的作用下一起向左做匀速直线运动，下列说法正确的是( )
A．物体A可能受到3个力的作用
B．物体B可能受到3个力的作用
C．物体C对物体B的作用力竖直向上
D．物体C和物体B之间可能没有摩擦力
【答案】C
【总结提升】
方法点窍
当我们做题时，发现对象不止一个的时候，就要考虑应该用什么方法解题，可以用先整体，在隔离，也可以用隔离在隔离、也可以用先隔离在整体、具体采用什么方法解题，就要看怎么样解题比较方便了、并且在运用整体法时，可以去除系统的内力，只对系统的外力进行受力分析，这样可以避免多力，使问题简单化．
强调注意：
在受力分析时，若不能确定某力是否存在，可先对其作出存在的假设，然后分析该力存在对物体运动状态的影响来判断该力是否存在．
【专练提升】
1、如图所示，位于倾角为θ的斜面上的物块B由跨过定滑轮的轻绳与物块A相连．从滑轮到A与B的两段绳都与斜面平行．已知A与B之间及B与斜面之间均不光滑，若用一沿斜面向下的力F拉B并使它做匀速直线运动，则B受力的个数为( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
【答案】D
【解析】对B进行受力分析，它受重力、斜面的支持力、拉力F、细绳沿斜面向上的拉力、物块A对B的压力、物块A与B之间的滑动摩擦力、B与斜面间的滑动摩擦力，因此B共受7个力作用
2．如图所示，倾斜天花板平面与竖直方向夹角为θ，推力垂直天花板平面作用在木块上，使其处于静止状态，则( )
A．木块一定受到三个力的作用
B．天花板对木块的弹力FN>F
C．木块受到的静摩擦力等于mgcos θ
D．木块受到的静摩擦力等于mg/cos θ
【答案】C
3、如图所示，水平固定且倾角为30°的光滑斜面上有两个质量均为m的小球A、B，它们用劲度系数为k的轻质弹簧连接，现对B施加一水平向左的推力F使A、B均静止在斜面上，此时弹簧的长度为l，则弹簧原长和推力F的大小分别为( )
A．l＋，mg B．l－，mg
C．l＋，2mg D．l－，2mg
【答案】 B.
【解析】以A、B整体为研究对象，则Fcos 30°＝2mgsin 30°，得F＝mg；隔离A有kx＝mgsin 30 °，得弹簧原长为l－x＝l－.故B正确．
4．四个半径为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形，如图所示．下面的三个球A、B、C用绳缚住，绳与三个球心在同一水平面内，D球放在三球上方处于静止状态，如果四个球的质量均为m，则D球对A、B、C三球的压力均为( )
A．mg B.mg
C.mg D.mg
【答案】D.
5、如图所示放在水平地面上的物体P的重量为GP＝10 N，与P相连的细线通过光滑的滑轮挂了一个重物Q拉住物体P，重物Q的重量为GQ＝2 N，此时两物体保持静止状态，线与水平方向成30°角，则物体P受到地面对它的摩擦力Ff与地面对它的支持力FN多大？
【答案】 N，方向水平向右 9 N，方向竖直向上
专题05 平衡中的临界问题
【专题概述】
1.临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。
2.临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。
3. 解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程,找出临界状态。
（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。
（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题
4.三类临界问题的临界条件
（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。
（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零
（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值
临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.
解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
【典例精讲】
典例1：倾角为θ=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。现给A施加一水平力F，如图所示。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin37°=0.6，cos37°=0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是（）
A.3 B.2 C.1 D.0.5
思路点拨：若物体刚好不下滑，此时静摩擦力沿斜面向上，达到最大值，根据平衡条件和摩擦力公式求出F与G的比值最小值；
同理，物体刚好不上滑时求出F与G的比值最大值，得到F与G的比值范围。
【答案】A；
典例2：如图所示，物体A的质量为2 kg，两轻绳AB和AC(LAB＝2LAC)的一端连接在竖直墙上，另一端系在物体A上．现在物体A上施加一个与水平方向成60°角的拉力F，要使两绳都能伸直，试求拉力F大小的取值范围．(g取10 m/s2)
【答案】 N≤F≤ N
典例3：一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g=10m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是（）
A.μ=，θ=0 B.μ=，tanθ=
C.μ=，tanθ= D.μ=，tanθ=
【答案】B。
【解析】拉力斜向上比较省力，设夹角为θ；此时，对物体受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根据平衡条件，有：
典例4：拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图).设拖把头的质量为m,拖杆质量可以忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数,重力加速度为g,某同学用该拖把在水平地板上拖地时,沿拖杆方向推拖把,拖杆与竖直方向的夹角为.
(1)若拖把头在地板上匀速移动,求推拖把的力的大小.
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为.已知存在一临界角,若,则不管沿拖杆方向的推力多大,都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切.
【答案】（1） （2）
【解析】(1)拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡,设该同学沿拖杆方向用大小为F的力
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动,应有
这时(1)式仍满足.联立(1)(5)式得 (6)
现考察使上式成立的角的取值范围.
注意到上式右边总是大于零,且当F无限大时极限为零,
有
使上式成立的角满足,这里是题中所定义的临界角,即当时,不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把.
临界角的正切为
典例5：如图所示,质量为m的物体,放在一固定斜面上,当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F的水平向右恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求:
(1)物体与斜面间的动摩擦因数;
(2)这一临界角的大小.
【答案】（1） （2）
角
典例6 如图所示,两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上,两根长度均为l的轻绳一端系在小环上,另一端系在质量为M的木块上,两个小环之间的距离也为l,小环保持静止.
试求:
(1)小环对杆的压力;
(2)小环与杆之间的动摩擦因数至少为多大?
【答案】(1) (2).
【解析】因为作用在M的两根轻绳长度均为l,且两个小环之间的距离也为l,两个小环的质量均为m,故两个小环对杆的压力大小相等,设每个小环对杆的压力大小为,
【总结提升】
所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。
物理方法包括
（1）利用临界条件求极值；
（2）利用问题的边界条件求极值；
（3）利用矢量图求极值。
数学方法包括
（1）用三角函数关系求极值；
（2）用二次方程的判别式求极值；
（3）用不等式的性质求极值。
一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。
在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。
对于不确定的临界状况、可以采用假设的方法来处理
运用假设法解题的基本步骤是：
1．明确研究对象；
2．画受力图；
3．假设可发生的临界现象；
4．列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．
【专练提升】
1、如图所示，木块A放在水平桌面上，木块左端用轻绳与轻质弹簧相连，弹簧的左端固定，用一轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接木块右端，另一端连接一砝码盘(装有砝码)，轻绳和弹簧都与水平桌面平行，当砝码和砝码盘的总质量为0.5 kg时，整个装置静止，弹簧处于伸长状态，弹力大小为3 N，若轻轻取走盘中的部分砝码，使砝码和砝码盘的总质量减小到0.1 kg，取g＝10 m/s2，此时装置将会出现的情况是( )
A． 弹簧伸长的长度减小 B． 桌面对木块的摩擦力大小不变
C． 木块向右移动 D． 木块所受合力将变大
【答案】B
2、(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
A． 绳OO′的张力也在一定范围内变化
B． 物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C． 连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D． 物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
3、质量为m＝0.8 kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角37°，PB沿水平方向，质量为M＝10 kg的木块与PB相连，静止于倾角为37°的斜面上，如图所示．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6)求：
(1)轻绳PB拉力的大小；
(2)木块所受斜面的摩擦力和弹力大小．
【答案】(1)6 N (2)64.8 N 76.4 N
【解析】(1)对点P受力分析如图所示
根据共点力作用下物体的平衡条件得：
FB－FAsin 37°＝0
FAcos 37°－mg＝0
联立解得：FB＝＝ N＝6 N
故轻绳PB拉力的大小为6 N
(2)对木块受力分析如图所示
4. 如下图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°，两小球的质量比为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由FN与FT水平方向合力为零可知，FN＝FT；竖直方向有2FTcos 30°＝m1g，又FT＝m2g，从而2m2g×＝m1g，解得＝
5.某同学设计了一个验证平行四边形定则的实验，装置如下图所示．系着小物体m1、m2的细线绕过光滑小滑轮与系着小物体m3的细线连接在O点，当系统达到平衡时绕过滑轮的两细线与竖直方向夹角分别为37°和53°，则三个小物体的质量之比m1∶m2∶m3为(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8)( )
A． 3∶4∶5 B． 4∶3∶5
C． 4∶5∶3 D． 3∶5∶4
【答案】B
6．有三个质量相等、半径为r的圆柱体，同置于一块光滑圆弧曲面上，为了使下面两圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？
【答案】(2＋1)r
【解析】设下面圆柱对上面圆柱的支持力为F，圆弧曲面对下面圆柱的支持力为FN，对上面圆柱受力分析，有2Fcos 30°＝mg①
对整体受力分析有
2FNcos θ＝3mg②
下面两圆柱恰好不分开时，对下面右侧圆柱受力分析，如图所示，
专题06 三力动态平衡问题的处理技巧
【专题概述】
在分析力的合成与分解问题的动态变化时，用公式法讨论有时很繁琐，而用作图法解决就比较直观、简单，但学生往往没有领会作图法的实质和技巧，或平时对作图法不够重视，导致解题时存在诸多问题.用图解法和相似三角形来探究力的合成与分解问题的动态变化有时可起到事半功倍的效果
动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一时刻均可视为平衡状态，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：化“动”为“静”，“静”中求“动”，
【典例精讲】
1. 图解法解三力平衡
图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变,第三个力大小、方向均变化
典例1如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
典例2 、如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态．为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是( )
A． 90° B． 45° C． 15° D． 0°
【答案】C
2 . 相似三角形解动态
一般物体只受三个力作用,且其中一个力大小、方向均不变,另外两个力的方向都在发生变化，此时就适合选择相似三角形来解题了，
物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向
典例3 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是( )
A． FN不变，FT变小
B． FN不变， FT先变大后变小
C． FN变小，FT先变小后变大
D． FN变大，FT变小
【答案】A
【解析】以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G，细线的拉力FT和半球面的支持力FN，作出FN、FT的合力F，
典例4 如图所示，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端挂一重物，另用一根轻绳通过滑轮系住P端，当OP和竖直方向的夹角α缓慢增大时(0＜α＜π)，OP杆所受作用力的大小( )
A． 恒定不变
B． 逐渐增大
C． 逐渐减小
D． 先增大后减小
【答案】A
【解析】在OP杆和竖直方向夹角α缓慢增大时(0＜α＜π)，结点P在一系列不同位置处于静态平衡，以结点P为研究对象，如图甲所示，
3. 辅助圆图解法
典例5 如图所示的装置,用两根细绳拉住一个小球,两细绳间的夹角为θ,细绳AC呈水平状态.现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动,共转过90°.在转动的过程中,CA绳中的拉力F1和CB绳中的拉力F2的大小发生变化,即 ( )
A．F1先变小后变大 B．F1先变大后变小
C．F2逐渐减小 D．F2最后减小到零
【答案】BCD
【解析】从上述图中可以正确【答案】是：BCD
【提升总结】
用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律
（1）若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向,则另一分力F2的最小值的条件为F1⊥F2;
（2）若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向,则另一分力F2的最小值的条件为F2⊥F合。
动态平衡类问题的特征:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述
做诸如此类问题时，应该注意题中条件，看具体应该用哪个方法来做，使得我们解问题更加简洁化。
【专练提升】
1. 如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时( )
A． 绳OA的拉力逐渐增大
B． 绳OA的拉力逐渐减小
C． 绳OA的拉力先增大后减小
D． 绳OA的拉力先减小后增大
【答案】D
2 、如图所示，用两个弹簧秤A和B，互成角度地拉橡皮条，使结点O达到图中所示位置，在保持O点位置和B弹簧秤拉力方向不变的情况下，将弹簧秤A缓慢地沿顺时针方向转动，那么在此过程中，A与B的示数将分别( )
A． 变大；变小
B． 变小；变小
C． 先变小再变大；变小
D． 先变大再变小；变大
【答案】C
【解析】据题意，合力只能沿DO方向，其中一个分力只能沿OB方向，利用力的三角形定则可以知道，当OA沿着如图所示的方向变化，A的示数先变小后变大，同理OB边对应的力一直都在变小，所以C选项正确．
3 、如图所示，用AO、BO两根细线吊着一个重物P，AO与天花板的夹角θ保持不变，用手拉着BO线由水平逆时针的方向逐渐转向竖直向上的方向，在此过程中，BO和AO中张力的大小变化情况是( )
A． 都逐渐变大
B． 都逐渐变小
C． BO中张力逐渐变大，AO中张力逐渐变小
D． BO中张力先变小后变大，AO中张力逐渐减小到零
【答案】D
4 . 如图所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中
①小球对薄板的正压力增大 ②小球对墙的正压力减小
③小球对墙的压力先减小，后增大 ④小球对木板的压力不可能小于球的重力
A． ①② B． ②④ C． ①③ D． ③④
【答案】B
【解析】根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和使球压墙的力F2，作出平行四边形如右图所示，
当θ增大时如图中虚线所示，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1变为最小值，等于G，所以②、④均正确．
5 . 如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1，半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是( )
A． F1增大，F2减小
B． F1减小，F2减小
C． F1增大，F2增大
D． F1减小，F2增大
【答案】C
【解析】据题意，当小球在竖直挡板作用下缓慢向右移动，受力变化情况如图所示，
所以移动过程中挡板对小球作用力增加；球面对小球作用力也增大，故选项C正确．
6 . 如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动．用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在以O点为圆心的圆弧形墙壁上的C点．当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与地面夹角θ不变)，OC绳所受拉力的大小变化情况是( )
A． 逐渐减小
B． 逐渐增大
C． 先减小后增大
D． 先增大后减小
【答案】C
7 . 如图所示，小球C用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于绷紧状态，当小球上升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是
A． FN保持不变，FT不断增大
B． FN不断增大，FT不断减小
C． FN保持不变，FT先增大后减小
D． FN不断增大，FT先减小后增大
【答案】D
【解析】据题意，当斜面体向左缓慢运动时，小球将逐渐上升，此过程对小球受力分析，受到重力G、支持力FN和拉力FT，如图所示，
在此过程中OC绳以O点为圆心逆时针转动，在力的平行四边形定则中力FT的对应边先减小后增大，而FN的对应边一直变大，而力的大小变化与对应边长度变化一致，则D选项正确．
8 . 如图所示，轻杆BC的一端用铰链接于C，另一端悬挂重物G，并用细绳绕过定滑轮用力拉住，开始时，∠BCA＞90°，现用拉力F使∠BCA缓慢减小，直线BC接近竖直位置的过程中，杆BC所受的压力( )
A． 保持不变 B． 逐渐增大
C． 逐渐减小 D． 先增大后减小
【答案】A
9 . 如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线，一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环、滑轮、细线的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，细线又不可伸长，若平衡时弦AB所对应的圆心角为α，则两物块的质量之比应为
A． cos B． sin
C． 2sin D． 2sin α
【答案】C
10 . 如图所示，绳与杆均不计重力，承受力的最大值一定．A端用绞链固定，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可忽略)，B端吊一重物P，现施加拉力FT将B缓慢上拉(均未断)，在杆达到竖直前( )
A． 绳子越来越容易断
B． 绳子越来越不容易断
C． 杆越来越容易断
D． 杆越来越不容易断
【答案】B
【解析】以B点为研究对象，它受三个力的作用而处于动态平衡状态，其中一个是轻杆的弹力FN，一个是绳子斜向上的拉力FT，一个是绳子竖直向下的拉力，大小等于物体的重力mg，根据相似三角形法，可得＝＝，由于OA和AB不变，OB逐渐减小，因此轻杆上的弹力大小不变，而绳子上的拉力越来越小，选项B正确，其余选项均错误．
专题07 牛顿第二定律的瞬时性问题
【专题概述】
牛顿第二定律是高中物理学重要的组成部分，同时也是力学问题中的基石，它具有矢量性、瞬时性等特性，其中瞬时性是同学们理解的难点。
所谓瞬时性，就是物体的加速度与其所受的合外力有瞬时对应的关系，每一瞬时的加速度只取决于这一瞬时的合外力。也就是物体一旦受到不为零的合外力的作用，物体立即产生加速度；当合外力的方向、大小改变时，物体的加速度方向、大小也立即发生相应的改变；当物体的合外力为零时，物体的加速度也立即为零。由此可知，力和加速度之间是瞬时对应的。以两个相对比的情形来说明一下
如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3质量为m，物块2、4质量为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4。重力加速度大小为g，则有( )
A．a1＝a2＝a3＝a4＝0 B．a1＝a2＝a3＝a4＝g
C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝g D．a1＝g，a2＝g，a3＝0，a4＝g
【答案】C
如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2 的两根细线上，l1 的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2 水平拉直，物体处于平衡状态。现将l2 线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。
（1）下面是某同学对该题的一种解法：
解：设l1线上拉力为T1，l2线上拉力为T2，物体重力为mg，物体在三力作用下保持平衡T1cosθ＝mg，T1sinθ＝T2，T2＝mgtanθ
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。
因为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向。
你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。
（2）若将图a中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图b所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（l）完全相同，即 a＝g tanθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。
【答案】（1）不正确，a=gsinθ；（2）正确。
【典例精析】
解这类问题要明确两种基本模型的特点：
一、弹簧连接物
中学物理中的“弹簧”是理想模型，主要有两个特性：
(1) 轻：即忽略弹簧的质量和重力，因此，同一弹簧的两端及中间各点的弹力大小相等
（2）发生形变需要一段时间，故弹簧的弹力不能突变但当弹簧被剪断或解除束缚时弹方立即消失。
1、剪断前处于平衡的
典例1 如图所示，A、B 两个质量均为m 的小球之间用一根轻弹簧（即不计其质量）连接，并用细绳悬挂在天花板上，两小球均保持静止。若用火将细绳烧断，则在绳刚断的这一瞬间，A、B 两球的加速度大小分别是
A. aA=g； aB=g B. aA=2g ；aB=g
C. aA=2g ；aB=0 D. aA=0 ； aB=g
【答案】C
【解析】分别以A、B为研究对象，做剪断前和剪断时瞬间的受力分析。剪断前A、B静止，A球受三
2、剪断前有加速度的
典例2 如图所示，质量为4 kg的小球 A和质量为1 kg的物体 B用弹簧相连后，再用细线悬挂在升降机顶端，当升降机以加速度 a="2" m/s 2，加速上升过程中，剪断细线的瞬间，两小球的加速度正确的是（重力加速度为 g="10" m/s 2）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】剪断细线前，对B，根据牛顿第二定律得：F-mBg=mBa．解得弹簧的弹力 F=12N 剪断细线的瞬间，弹簧的弹力不变，根据牛顿第二定律，对A有：F+mAg=mAaA．
解得：aA=13m/s2
此瞬间B的受力情况不变，加速度不变，则aB=a=2m/s2．故B正确，ACD错误；故选B.
二、 轻绳连接物
轻绳不需要形变恢复时间，在瞬时问题中，其弹力可以突变，成为零或者别的值。
1. 剪断前平衡的
典例3如图所示，用长为L且不可伸长的细线连结质量为m的小球，绳的O端固定，另用细线AB将小球拉起使之与水平方向成30°角.现将AB线从A处剪断，则剪断细线AB的瞬间小球的加速度大小为____________，方向____________，剪断细线AB后小球落到最低点时细线L中的张力为____________.
【答案】g 竖直向下 1.5mg
2. 剪断前 有加速度的 .
典例4 在静止的车厢内，用细绳a和b系住一个小球，绳a斜向上拉，绳b水平拉，如图所示，现让车从静止开始向右做匀加速运动，小球相对于车厢的位置不变，与小车静止时相比，绳a、b的拉力Fa、Fb的变化情况是( )
A． Fa变大，Fb不变
B． Fa变大，Fb变小
C． Fa不变， Fb变小
D． Fa不变，Fb变大
【答案】C
【总结提升】
牛顿第二定律中的瞬间问题
牛顿第二定律的瞬时性指当物体所受到的合外力发生变化时，它的加速度随即也要发生变化，两者同时产生、同时变化、同时消失．处理这类问题的关键是掌握不同力学模型的特点，准确判断哪些量瞬时不变，哪些量瞬时改变．
【专题提升】
1、两个质量均为m的小球，用两条轻绳连接，处于平衡状态，如图所示。现突然迅速剪断轻绳OA，让小球下落，在剪断轻绳的瞬间，设小球A、B的加速度分别用a1和a2表示，则( )
A.a1＝g，a2＝g
B.a1＝0，a2＝2g
C.a1＝g，a2＝0
D.a1＝2g，a2＝0
【答案】 A
【解析】 由于绳子张力可以突变，故剪断OA后小球A、B只受重力，其加速度a1＝a2＝g。故选项A正确。
2. 如图所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端连一质量M＝2 kg的秤盘，盘内放一个质量m＝1 kg的物体，秤盘在竖直向下的拉力F作用下保持静止，F＝30 N，当突然撤去外力F的瞬时，物体对秤盘的压力大小为(g＝10 m/s2)
A．10 N B．15 N
C．20 N D．40 N
【答案】C
3. 如图所示，质量为m的球与弹簧Ⅰ和水平细线Ⅱ相连，Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q.球静止时，Ⅰ中拉力大小为F1，Ⅱ中拉力大小为F2，当仅剪断Ⅰ、Ⅱ中的一根的瞬间时，球的加速度a应是( )
A．若剪断Ⅰ，则a＝g，方向竖直向下
B．若剪断Ⅱ，则a＝，方向水平向右
C．若剪断Ⅰ，则a＝，方向沿I的延长线
D．若剪断Ⅱ，则a＝g，方向竖直向上
【答案】：A
4. 如图所示，吊篮P悬挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P和物体Q的加速度大小是 ( )
A．aP＝aQ＝g
B．aP＝2g，aQ＝g
C．aP＝g，aQ＝2g
D． aP＝2g，aQ＝0
【答案】D
【解析】细绳烧断的瞬间，物体Q受力未改变，aQ＝0；吊篮所受细绳拉力(大小为2mg)突然消失，则aP＝2g.本题正确选项为D.
5. 如图所示，A、B两球质量相等，光滑斜面的倾角为θ，图甲中，A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻质杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，则在突然撤去挡板的瞬间有 ( )
A．两图中两球加速度均为gsin θ
B．两图中A球的加速度均为零
C．图乙中轻杆的作用力一定不为零
D．图甲中B球的加速度是图乙中B球加速度的2倍
【答案】D
【解析】撤去挡板前，挡板对B球的弹力大小为2mgsin θ，因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去挡板瞬间，图甲中A球所受合力为零，加速度为零，B球所受合力为2mgsin θ，加速度为2gsin θ；图乙中杆的弹力突变为零，A、B球所受合力均为mgsin θ，加速度均为gsin θ，可知只有D对．
6. 如图所示，质量为m的小球用水平轻弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态。当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度大小为 ( )。
A. 0 B. g C. g D. g
【答案】B
7. 如图所示，质量满足mA＝2mB＝3mC的三个物块A、B、C，A与天花板之间，B与C之间均用轻弹簧相连，A与B之间用细绳相连，当系统静止后，突然剪断AB间的细绳，则此瞬间A、B、C的加速度分别为(取向下为正) ( )。
A. －g、2g、0 B. －2g、2g、0 C. －g、g、0 D. －2g、g、g
【答案】C
【解析】系统静止时，A物块受重力GA＝mAg、弹簧向上的拉力F＝(mA＋mB＋mC)g 以及A、B 间细绳的拉力FAB＝(mB＋mC)g；BC 间弹簧的弹力FBC＝mCg；剪断细绳瞬间，弹簧形变来不及恢复，即弹力不变，由牛顿第二定律，对物块A有：F－GA＝mAaA，解得：aA＝g，方向竖直向上；对B有：FBC＋GB＝mBaB，解得：aB＝g，方向竖直向下；剪断细绳的瞬间C的受力不变，其加速度为零。C选项正确。
8. 如图所示，A、B 两小球分别连在轻线两端，B 球另一端与弹簧相连，弹簧固定在倾角为30°的光滑斜面顶端。A、B 两小球的质量分别为mA、mB，重力加速度为g ，若不计弹簧质量，在线被剪断瞬间，A、B两球的加速度大小分别为 ( )。
A. 都等于 B. 和0
C. 和 · D. · 和
【答案】C
专题08 整体法和隔离法在连接体与叠加体模型中的应用
【专题概述】
整体法和隔离法是牛顿第二定律应用中极为普遍的方法.隔离法是根本，但有时较烦琐；整体法较简便，但无法求解系统内物体间相互作用力.所以只有两种方法配合使用，才能有效解题.故二者不可取其轻重.
连接体问题对在解题过程中选取研究对象很重要.有时以整体为研究对象，有时以单个物体为研究对象.整体作为研究对象可以将不知道的相互作用力去掉，单个物体作研究对象主要解决相互作用力.对于有共同加速度的连接体问题，一般先用整体法由牛顿第二定律求出加速度，再根据题目要求，将其中的某个物体进行隔离分析和求解．由整体法求解加速度时，F=ma，要注意质量m与研究对象对应．
一、整体法、隔离法的选用
1．整体法的选取原则
若在已知与待求量中一涉及系统内部的相互作用时，可取整体为研究对象，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律列方程。当系统内物体的加速度相同时：；否则。
2．隔离法的选取原则
若在已知量或待求量中涉及到系统内物体之间的作用时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解．
3．整体法、隔离法的交替运用
若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力．即“先整体求加速度，后隔离求内力”．
二、运用隔离法解题的基本步骤
1.明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象.
2.将研究对象从系统中隔离出来，或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来.
3.对隔离出的研究对象进行受力分析，注意只分析其它物体对研究对象的作用力.
4.寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解.
【典例精析】
【典例1】如图所示,一夹子夹住木块,在力 F 作用下向上提升.夹子和木块的质量分别为m、M,夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f.若木块不滑动,力F的最大值是( )
A B
C D
【答案】A
【解析】对木块分析得,,计算得出木块的最大加速度.对整体分析得,,计算得出.所以A选项是正确的,B、C、D错误.所以A选项是正确的.
【典例2】如图所示,质量为M的框架放在水平地面上,一轻质弹簧上端固定在框架上,下端固定一个质量为m的小球,小球上下振动时,框架始终没有跳起,当框架对地面压力为零的瞬间,小球的加速度大小为
【答案】
名师点睛：
当连体中各物体的加速度不同或涉及到各物体之间的相互作用力，要用隔离法解题，用隔离法对研究对象受力分析时，只分析它受到的力，而它对其它物体的反作用力不考虑，然后利用牛顿第二定律求解.
【典例3】如图所示，猴子的质量为m，开始时停在用绳悬吊的质量为M的木杆下端，当绳子断开瞬时，猴子沿木杠以加速度a（相对地面）向上爬行，则此时木杆相对地面的加速度为（ ）
A．g B．
C． D．
【答案】C
【典例4】倾角,质量的粗糙斜面位于水平地面上,质量的木块置于斜面顶端,从静止开始匀加速下滑,经到达底端,运动路程,在此过程中斜面保持静止取,求:
(1)斜面对木块的摩擦力大小.
(2)地面对斜面的支持力大小.
【答案】（1）8N （2）67.6N
【解析】(1)设木块下滑的加速度为a,由可得:
木块受力如图1所示,由牛顿第二定律有:
所以:
(2)斜面受力如图2所示,由竖直方向受力平衡可得地面对鞋面的支持力为:
【典例5】 如图, m和M保持相对静止,一起沿倾角为的光滑斜面下滑,则M和m间的摩擦力大小是多少?
【答案】
【解析】A、B整体具有沿斜面向下的加速度,设为a,由牛顿第二定律可以知道:
得:
将a正交分解为竖直方向分量,水平分量,如图所示,因为具有水平分量,故必受水平向摩擦力f,A受力如图所示;
【总结提升】
1.整体法的选取原则 若连接体内各物体具有相同的加速度，且不需要求物体之间的作用力，则可以把它们看成一个整体，分析整体受到的合外力，应用牛顿第二定律求出加速度（或其他未知量）.
2.隔离法的选取原则 若连接体内各物体的加速度不相同，或者需要求出系统内各物体之间的作用力，则需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解。
3.整体法、隔离法的交替运用
若连接体内各物体具有相同的加速度，且需要求物体之间的作用力，则可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力.即“先整体求加速度，后隔离求内力”.
【专练提升】
1. 如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行。在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则( )
A．b对c的摩擦力一定减小
B．b对c的摩擦力方向可能平行斜面向上
C．地面对c的摩擦力方向一定向右
D．地面对c的摩擦力一定减小
【答案】BD
2．（多选）如图所示，质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上，通过最高点处的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B。则( )
A．A对地面的压力等于(M＋m)g
B．A对地面的摩擦力方向向左
C．B对A的压力大小为 mg
D．细线对小球的拉力大小为 mg
【答案】AC
【解析】A、B叠放一起静止于水平面上，可以看做一个整体，受力分析只有他们的重力和地面的支持力，所以二力平衡，支持力等于重力等于(M＋m)g，地面对整体没有摩擦力，如果有摩擦力，则不能平衡，A正确，B错误；对B球受力分析如图所示，
重力和拉力的合力与支持力等大反向，绳子拉力水平说明B的球心和A的顶端等高，即B的球心到地面高度为R，B的球心到A的球心的连线长度为R＋r， 那么cos α＝，在重力和水平拉力的合力矢量四边形中，FN＝，解得FN＝mg，C正确；细绳拉力FT＝mgtan α＝mg，D错误。
3. 如图所示，倾角为θ的足够长的粗糙斜面固定在水平地面上，质量为M的木块上固定一轻直角支架，在支架末端用轻绳悬挂一质量为m的小球。由静止释放木块，木块沿斜面下滑，稳定后轻绳与竖直方向夹角为α，则木块与斜面间的动摩擦因数为( )
A．μ＝tan θ B．μ＝tan α
C．μ＝tan (θ－α) D．μ＝tan (θ＋α)
【答案】C
4．如图所示，在光滑水平桌面上有一链条，共有(P＋Q)个环，每一个环的质量均为m，链条右端受到一水平拉力F。则从右向左数，第P个环对第(P＋1)个环的拉力是( )
A．F B．(P＋1)F
C. D.
【答案】C
【解析】对整体受力分析，由牛顿第二定律得F＝(P＋Q)ma，解得a＝，对左边的Q个环受力分析，由牛顿第二定律得FT＝Qma＝，C项正确。
5．[多选] 如图所示，粗糙的水平地面上有三块材料完全相同的木块A、B、C，质量均为m，B、C之间用轻质细绳连接。现用一水平恒力F作用在C上，三者开始一起做匀加速运动，运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面，系统仍加速运动，且始终没有相对滑动。则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是( )
A．无论粘在哪个木块上面，系统加速度都将减小
B．若粘在A木块上面，绳的拉力减小，A、B间摩擦力不变
C．若粘在B木块上面，绳的拉力增大，A、B间摩擦力增大
D．若粘在C木块上面，绳的拉力和A、B间摩擦力都减小
【答案】AD
6. 如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，细线与水平杆的夹角θ＝53°，定滑轮离水平杆的高度为h＝0.2 m，当由静止释放两物体后，A所能获得的最大速度为(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．0.707 m/s B．1 m/s
C．1.414 m/s D．2 m/s
【答案】B
【解析】释放两物体后，分析A的受力情况可知它向右先做加速运动、后做减速运动，当绳竖直时，速度达到最大值vm。此时B到达最低点，速度为零。A、B和绳构成的系统在整个相互作用过程中，只有重力和内力中的弹力做功，由机械能守恒定律得，mv＝mgh，解得vm＝1 m/s，B项正确。
8.如图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在此杆上的带有同种正电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球上，使两球均处于静止状态。现将A球向竖直杆NO方向缓慢移动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡，则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法中正确的是( )
A．A、B两小球间的库仑力变小
B．A、B两小球间的库仑力变大
C．A球对MO杆的压力变小
D．B球对NO杆的压力变大
【答案】A
9. 如图所示，光滑金属球的重力G＝40 N。它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角θ＝37°的斜面体上。已知斜面体处于水平地面上保持静止状态，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1) 墙壁对金属球的弹力大小；
(2) 水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向。
【答案】(1)30 N (2)30 N，方向水平向左
专题09 牛顿运动定律的应用之临界极值问题
【专题概述】
临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变.
临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。
(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
绳、轻杆、接触面形成的临界与极值情况
1. 轻绳形成的临界与极值
由轻绳形成的临界状态通常有两种,一种是轻绳松弛与绷紧之间的临界状态,其力学特征是绳仍绷直但绳中张力为零;另一种是轻绳断裂之前的临界状态,其力学特征是绳中张力达到能够承受的最大值.
2. 轻杆形成的临界与极值
与由轻绳形成的临界状态类似,一种杆对物体产生拉力与推力之间的临界状态,力学特征是该状态下杆对物体的作用力为零;另一种是轻杆能承受的最大拉力或最大压力所形成的临界状态.
3. 接触面形成的临界与极值
由接触面形成的临界状态相对较多:
①接触面间分离形成的临界,力学特征是接触面间弹力为零
②接触面间滑动形成的临界.力学特征是接触面间静摩擦力达到最大值
③接触面间翻转、滚动形成的状态，力学特征是接触面间弹力的等效作用点与瞬时转轴重合．或说是接触面间弹力的作用线通过瞬时转轴．
处理临界问题的三种方法
极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
解决临界问题的基本思路
(1) 认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)；
(2) 寻找过程中变化的物理量；
(3) 探索物理量的变化规律；
(4) 确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
挖掘临界条件是解题的关键。如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a。
【典例精讲】
【典例1】如图所示，在水平向右运动的小车上，有一倾角为α的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变化时，为使球相对于车仍保持静止，小车加速度的允许范围为多大？
【答案】
【解析】如图,对小车受力分析有:
名师点睛
解决临界问题，关键在于找到物体处于临界状态时的受力情况和运动情况，看临界状态时哪个力会为零，物体的加速度方向如何，然后应用牛顿第二定律求解.
【典例2】如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板， 其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F=kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变化的图线中正确的是
诱导启思：?临界状态前后两物体受力有何变化？?临界状态前后两物体受力有何特点？
【答案】A
【解析】当F比较小时，两个物体相对静止，加速度相同，根据牛顿第二定律得：
a==，a∝t；
当F比较大时，m2相对于m1运动，根据牛顿第二定律得：
对m1：a1=，μ、m1、m2都一定，则a1一定．
对m2：a2===t﹣μg，a2是t的线性函数，t增大，a2增大．
由于，则两木板相对滑动后a2图象大于两者相对静止时图象的斜率．故A正确．
【典例3】一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度．如图所示．现让木板由静止开始以加速度a(a＜g)匀加速向下移动．求经过多长时间木板开始与物体分离．
【答案】
本题关键分析物体刚分离时临界条件：弹力为零．牛顿第二定律研究某一状态时物体的合力与加速度的关系，加速度是联系合力和运动的桥梁.
【总结提升】：
当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件、用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。临界或极值条件的标志：一般题目中会出现刚好、正好、恰好、取值范围、最大、最小、至多、至少、出现这些词语表示存在临界情况 【专练提升】
1. 如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为v。
(1)求箱子加速阶段的加速度大小a′；
(2)若a＞gtan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。
【答案】(1) (2)0 m(－g)
【解析】(1)由匀变速直线运动的公式有v2＝2a′x1，v2＝2ax2，且x1＋x2＝s
解得：a′＝
2. 如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以V0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角θ=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数。重力加速度g取10 m/s2.
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
【答案】（1）3m/s2 8m/s (2)
平行斜面方向:
垂直斜面方向:
其中:
联立计算得出:
故当时,拉力F有最小值,为;
3. 如图，质量的物体静止于水平地面的A处，A、B间距L=20m。用大小为30N，沿水平方向的外力拉此物体，经拉至B处。(已知，。取)
(1)求物体与地面间的动摩擦因数μ；
(2)用大小为30N，与水平方向成37°的力斜向上拉此物体，使物体从A处由静止开始运动并能到达B处，求该力作用的最短时间t。
【答案】⑴0.5 ⑵1.03s
【解析】(1)物体做匀加速运动
由 可得
由牛顿第二定律有
故
∴
设F作用的最短时间为t，小车先以大小为a的加速度匀加速t秒，撤去外力后，以大小为a'的加速度匀减速t'秒到达B处，速度恰为0，由牛顿定律
由牛顿定律
∴
∵
4. 如图所示，将质量m＝1.24 kg的圆环套在固定的水平直杆上，环的直径略大于杆的截面直径，环与杆的动摩擦因数为μ＝0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角θ＝53°的恒定拉力F，使圆环从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内前进了2 m。(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1) 圆环加速度a的大小；
(2) 拉力F的大小。
【答案】(1)4 m/s2 (2)12 N或124 N
计算得出:
5如图所示,小车内有一光滑的斜面,当小车在水平轨道上向左做匀变速直线运动时,质量为m小物块恰好能与斜面保持静止,斜面的倾角为 ,重力加速度为g,则下列说法正确的( )
A 小车的加速度
B小车的加速度
C 斜面对物块的支持力
D斜面对物块的支持力
【答案】AD
6、如图所示，小车内有一质量为的物块，一轻弹簧与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内。弹簧的劲度系数为，形变量为，物块和车之间动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力、运动过程中，物块和小车始终保持相对静止。下列说法正确的是（ ）。
A: 若小于，则车的加速度方向一定向左
B: 若小于，则车的加速度的最小值为，且车只能向左加速运动
C: 若大于，则车的加速度方向可以向左也可以向右
D: 若大于，则加速度的最大值为，加速度的最小值为
【答案】AC
【解析】: A项，若小于，对物块受力分析可知，无论物块所受的摩擦力向左、向右或是为零，
7 倾角的光滑斜面上并排放着质量分别是和的A、B两物块,劲度系数的轻弹簧一端与物块B相连,另一端与固定挡板相连,整个系统处于静止状态,现对A施加一沿斜面向上的力F,使物块A沿斜面向上作匀加速运动,已知力F在前内为变力,后为恒力,g取,求F的最大值和最小值.
【答案】F的最大值为,最小值为
【解析】设刚开始时弹簧压缩量为,则①
因为在前时间内,F为变力,以后,F为恒力,所以在时,B对A的作用力为0,
由牛顿第二定律知:②
专题10 超重与失重现象
【专题概述】
1 . 几个概念的了解：
视重：
定义：当物体挂在弹簧测力计下或放在水平台秤上时，弹簧测力计或台秤的读数称为视重。
视重大小等于弹簧测力计所受物体的拉力大小或台秤所受物体的压力。
超重：
定义：物体对支持我的压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受重力的现象。
产生的条件：物体具有向上的加速度
失重：
定义：物体对支持我的压力（或对悬挂物的拉力）小于物体所受重力的现象。
产生的条件：物体具有向下的加速度
完全失重：
定义：物体对支持我的压力（或对悬挂物的拉力）等于零的现象
产生的条件：物体的加速度a=g，且加速度方向向下。
2 、对超重、视重的理解
（1）不论超重、失重或完全失重，物体的重力都不变，只是“视重“改变
（2）物体是否处于超重或失重状态，不在于物体向上运动还是向下运动，而在于物体具
有向上的加速度还是向下的加速度，这也是判断物体超重或失重的根本所在。
加速度情况
超重或失重
视重F
a=0
不超重、不失重
F=mg
a 的方向向上
超重
F=m(g+a)
a 的方向向下
失重
F=m(g-a)
a=g,竖直向下
完全?失重
F=0
【典例精讲】
通过运动分析物体处于超重还是失重，并判断压力或拉力的大小
典例1 一质量为m的人站在电梯中，电梯减速上升，加速大小为g，g为重力加速度．人对电梯底部的压力为( )
A． mg B． 2mg C． mg D． mg
【答案】A
【解析】由于电梯减速上升，故加速度向下，对人受力分析，受到重力mg，地板支持力FN，
由牛顿第二定律：mg－FN＝ma，即：mg－FN＝mg，解得：FN＝mg，根据牛顿第三定律，则人对电梯底部的压力为mg，A正确．
典例2 一种巨型娱乐器械由升降机送到离地面75 m的高处，然后让座舱自由落下．落到离地面30 m高时，制动系统开始启动，座舱均匀减速，到地面时刚好停下．若座舱中某人用手托着m＝5 kg的铅球，g取10 m/s2，试求：
(1)从开始下落到最后着地经历的总时间．
(2)当座舱落到离地面35 m的位置时，手对球的支持力是多大？
(3)当座舱落到离地面15 m的位置时，球对手的压力是多大？
【答案】(1)5 s (2)0 (3)125 N
典例3 一个质量是50 kg的人站在升降机的地板上，升降机的顶部悬挂了一个弹簧测力计，弹簧测力计下面挂着一个质量为mA＝5 kg的物体A，当升降机向上运动时，人看到弹簧测力计的示数为40 N，如下图所示，g取10 m/s2，求此时人对地板的压力．
【答案】400 N，方向竖直向下
典例4 某同学设计了一个测量长距离电动扶梯加速度的实验，实验装置如图甲所示．将一电子健康秤置于水平的扶梯台阶上，实验员站在健康秤上相对健康秤静止．使电动扶梯由静止开始斜向上运动，整个运动过程可分为三个阶段，先加速、再匀速、最终减速停下．已知电动扶梯与水平方向夹角为37°.重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.某次测量的三个阶段中电子健康秤的示数F随时间t的变化关系，如图乙所示．
(1)画出加速过程中实验员的受力示意图；
(2)求该次测量中实验员的质量m；
(3)求该次测量中电动扶梯加速过程的加速度大小a1和减速过程的加速度大小a2.
【答案】(1)
(2)60 kg (3)0.56 m/s2 0.42 m/s2
【解析】(1) 加速过程，加速度斜向右上方，分解后，既有水平向右的加速度，所以水平方向要有水平
a′＝ m/s2≈0.42 m/s2
典例5 在电梯中，把一重物置于台秤上，台秤与力的传感器相连，当电梯从静止起加速上升，然后又匀速运动一段时间，最后停止运动时，传感器的荧屏上显示出其受的压力与时间的关系图象如图所示．试由此图回答问题：(g取10 m/s2)
(1) 该物体的重力是多少？电梯在超重和失重时物体的重力是否变化？
(2) 算出电梯在超重和失重时的最大加速度分别是多大？
【答案】(1)30 N 不变 (2)6.67 m/s2 6.67 m/s2
【总结提升】
1 、尽管物体的加速度不是竖直方向，但只要其加速度在竖直方向上有分量，物体就会出现超重或失重状态.当方向竖直向上有分量时，物体处于超重状态；当竖直方向向下有时，物体处于失重状态。
2 、尽管整体没有竖直方向的加速度，但只要物体的一部分具有竖直方向的分加速度，整体也会出现超重或失重状态。
3 、超重并不是说重力增加了，失重并不是说重力减小了，完全失重也不是说重力完全消失了。在发生这些现象时，物体的重力依然存在，且不发生变化，只是物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）发生变化
4 、在完全失重的状态下，平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失，如天平失效、浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生向下的压强等
【专练提升】
1 . 质量是60 kg的人站在升降机中的体重计上，如下图所示．重力加速度g取10 m/s2，当升降机做下列各种运动时，求体重计的示数
(1)匀速上升．
(2)以4 m/s2的加速度加速上升．
(3)以5 m/s2的加速度加速下降．
【答案】(1)600 N (2)840 N (3)300 N
2 质量为50 kg的人站在升降机内的体重计上．若升降机由静止上升的过程中，体重计的示数F随时间t的变化关系如图所示，g取10 m/s2.
(1)求0－10 s内升降机的加速度大小；
(2)求20 s时间内人上升的高度大小．
【答案】(1)4 m/s2 (2)600 m
3 小星家住十八楼，每天上学放学均要乘垂直升降电梯上下楼．上学时，在电梯里，开始他总觉得有种“飘飘然”的感觉，背的书包也感觉变“轻”了．快到楼底时，他总觉得自己有种“脚踏实地”的感觉，背的书包也似乎变“重”了．为了研究这种现象，小星在电梯里放了一台台秤如图所示．设小星的质量为50 kg，g取10 m/s2.求下列情况中台秤的示数．
(1)当电梯以a＝2 m/s2的加速度匀加速上升；
(2)当电梯以a＝2 m/s2的加速度匀减速上升；
(3)当电梯以a＝2 m/s2的加速度匀加速下降；
(4)当电梯以a＝2 m/s2的加速度匀减速下降；
【答案】(1)600 N (2)400 N (3)400 N (4)600 N
【解析】(1)匀加速上升时，以人为研究对象，受力情况、加速度方向、速度方向如图所示．选向上为正方向．根据牛顿第二定律：
FN1－mg＝ma
得：FN1＝mg＋ma＝50×(10＋2) N＝600 N
由牛顿第三定律得，台秤的示数为600 N.
(2)匀减速上升时，以人为研究对象，人的受力情况、加速度方向、速度方向如图所示．选向下为正方向
根据牛顿第二定律：
mg－FN2＝ma
得：FN2＝mg－ma＝50×(10－2) N＝400 N
由牛顿第三定律得，台秤的示数为400 N
(3)匀加速下降时，以人为研究对象，人的受力情况、加速度方向、速度方向如图所示，选向下为正方
4 小明用台秤研究人在升降电梯中的超重与失重现象．他在地面上用台秤称得其体重为500 N，再将台秤移至电梯内称其体重，电梯从t＝0时由静止开始运动到t＝11 s时停止，得到台秤的示数F随时间t变化的图象如图所示，g取10 m/s2.求：
(1)小明在0～2 s内加速度a1的大小，并判断在这段时间内他处于超重还是失重状态；
(2)在10～11 s内，台秤的示数F3；
(3)小明运动的总位移x.
【答案】(1)1 m/s2 失重 (2)600 N (3)19 m
5 如图所示，一细绳跨过装在天花板上的滑轮，细绳的一端悬挂一质量为M的物体，另一端悬挂一载人的梯子，人的质量为m，系统处于平衡状态．不计摩擦及滑轮与细绳的质量，要使天花板受滑轮的作用力为零，人应如何运动？
【答案】人应以a＝g的加速度向下加速运动
【解析】要使天花板受力为零，须使细绳中的拉力为零，物体M应做自由落体运动，故梯子应以加速度g向上匀加速运动，人对梯子的作用力向上，人应向下加速运动．
最初人梯系统处于平衡状态，即Mg＝mg＋m梯g
设人与梯子之间的相互作用力为F，人向下的加速度为a，对梯子运用牛顿第二定律
F－m梯g＝m梯g
对人运用牛顿第二定律F＋mg＝ma
解得：a＝g
故人应以a＝g的加速度向下加速运动，才能使天花板受力为零
6 在一种体验强烈失重、超重感觉的娱乐设施中，用电梯把乘有十多人的座舱，送到76 m高的地方，让座舱自由落下，当落到离地面28 m时制动系统开始启动，座舱匀减速运动到地面时刚好停止．若某人手中托着质量为5 kg的铅球进行这个游戏，g取10 m/s2，问：
(1)当座舱落到离地面高度为40 m的位置时，铅球对手的作用力多大？
(2)当座舱落到离地面高度为15 m的位置时，手要用多大的力才能把铅球托住？
【答案】(1)0 (2)135.7 N
专题11 牛顿运动定律的应用之传送带模型
【专题概述】
1. 一个物体以速度v0(v0≥0)在另一个匀速运动的物体上开始运动的力学系统可看做“传送带”模型，如图(a)、(b)、(c)所示．
2．特点
物体在传送带上运动时，往往会牵涉到摩擦力的突变和相对运动问题．当物体与传送带相对静止时，物体与传送带间可能存在静摩擦力也可能不存在摩擦力．当物体与传送带相对滑动时，物体与传送带间有滑动摩擦力，这时物体与传送带间会有相对滑动的位移．摩擦生热问题
【典例精讲】
1滑块在水平传送带上运动常见的三个情景
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景一
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情景二
(1)v0>v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速
(2)v0情景三
(1)传送带较短时，滑块一直减速到达左端
(2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端．其中v0>v返回时速度为v，当v0 [典例1] (多选)如图所示，水平传送带以速度v1匀速运动，小物体P、Q由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连，t＝0时刻P在传送带左端具有速度v2，P与定滑轮间的绳水平，t＝t0时刻P离开传送带．不计定滑轮质量和摩擦，绳足够长．正确描述小物体P速度随时间变化的图象可能是( )
【答案】BC
[典例2] 如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行．初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示．已知v2>v1，则( )
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离最大
C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
【答案】B
【解析】物块滑上传送带后将做匀减速运动，t1时刻速度为零，此时小物块离A处的距离达到最大，选项A错误；然后在传送带滑动摩擦力的作用下向右做匀加速运动，t2时刻与传送带达到共同速度，此时小物块相对传送带滑动的距离最大，选项B正确；0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向始终向右，选项C错误；t2～t3时间内小物块不受摩擦力，选项D错误．
2 滑块在倾斜传送带上运动常见的四个情景
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景一
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
情景二
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
③可能先以a1加速后以a2加速
情景三
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
③可能一直匀速
④可能先以a1加速后以a2加速
情景四
①可能一直加速
②可能一直匀速
③可能先减速后反向加速
[典例3] 如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s，在传送带顶端A处无初速度的释放一个质量为m＝0.5 kg的物体，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．
【答案】（1）4s （2） 2s
【解析】(1)传送带顺时针转动时，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，相对传送带向下匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mg(sin 37°－μcos 37°)＝ma
则a＝gsin 37°－μgcos 37°＝2 m/s2，
根据l＝at2得t＝4 s.
(2)传送带逆时针转动，当物体下滑速度小于传送带转动速度时，物体相对传送带向上运动，则物体所
[典例4] 如图所示，A、B两个皮带轮被紧绷的传送皮带包裹，传送皮带与水平面的夹角为θ，在电动机的带动下，可利用传送皮带传送货物．已知皮带轮与皮带之间无相对滑动，皮带轮不转动时，某物体从皮带顶端由静止开始下滑到皮带底端所用的时间是t，则( )
A．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定大于t
B．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
C．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间可能等于t
D．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
【答案】D
【总结提升】
传送带问题为高中动力学问题中的难点，主要表现在两方面：其一，传送带问题往往存在多种可能结论的判定，即需要分析确定到底哪一种可能情况会发生；其二，决定因素多，包括滑块与传送带间的动摩擦因数大小、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小及方向等，这就需要考生对传送带问题能做出准确的动力学过程分析。
在处理传送带问题中应该掌握的方法：在确定研究对象并进行受力分析之后，首先判定摩擦力突变（含大小和方向）点，给运动分段。传送带传送的物体所受的摩擦力，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻，物体在传送带上运动时的极值问题，不论是极大值，还是极小值，也都发生在物体速度与传送带速度相等的时刻，所以两者速度相等的时刻是运动分段的关键点，也是解题的突破口。
对于传送带问题，一定要全面掌握上面提到的几类传送带模型，要注意根据具体情况适时进行讨论，看一看有没有转折点、突变点，做好运动阶段的划分及相应动力学分析.尤其要特别注意四点：
对物体在初态时所受滑动摩擦力的方向分析；
对物体在达到与传送带具有相同的速度时其所受摩擦力的情况分析；
（3）对物体和传送带各自对地位移及相对位移情况分析；
（4）要提高可能性分析的意识.
【专练提升】
1．(多选)如图所示是某工厂所采用的小型生产流水线示意图，机器生产出的物体源源不断地从出口处以水平速度v0滑向一粗糙的水平传送带，最后从传送带上落下装箱打包．假设传送带静止不动时，物体滑到传送带右端的速度为v，最后物体落在P处的箱包中．下列说法正确的是( )
A．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度小于v，物体仍落在P点
B．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v0，物体仍落在P点
C．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v，物体仍落在P点
D．若由于操作不慎，传送带随皮带轮逆时针方向转动起来，物体仍落在P点
【答案】AD
2．如图甲所示，足够长的水平传送带以v0＝2 m/s的速度匀速运行．t＝0时，在最左端轻放一个小滑块，t＝2 s时传送带突然制动停下. 已知滑块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2, g＝10 m/s2.在图乙中，关于滑块相对地面运动的v－t图象正确的是( )
【答案】D
【解析】滑块放在传送带上受到滑动摩擦力作用做匀加速运动，a＝μg＝2 m/s2，滑块运动到与传送带速度相同时需要的时间t1＝＝1 s，然后随传送带一起匀速运动的时间t2＝t－t1＝1 s，当传送带突然制动停下时，滑块在传送带摩擦力作用下做匀减速运动直到静止，a′＝－a＝－2 m/s2，运动的时间t3＝1 s，所以速度—时间图象对应D选项．
3．(多选) 如图所示为粮袋的传送装置，已知AB间长度为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时其运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A点将粮袋放到运行中的传送带上，关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A．粮袋到达B点的速度与v比较，可能大，也可能相等或小
B．粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcos θ)，若L足够大，则以后将一定以速度v做匀速运动
C．若μD．不论μ大小如何，粮袋从A到B一直做匀加速运动，且 a>gsin θ
【答案】AC
4． (多选) 如图所示，质量为m的物体用细绳拴住放在粗糙的水平传送带上，物体距传送带左端的距离为L.当传送带分别以v1、v2的速度逆时针转动(v1＜v2)，稳定时绳与水平方向的夹角为θ，绳中的拉力分别为F1，F2；若剪断细绳时，物体到达左端的时间分别为t1、t2，则下列说法正确的是( )
A．F1＜F2 B．F1＝F2
C．t1一定大于t2 D．t1可能等于t2
【答案】BD
【解析】绳剪断前物体的受力情况如图所示，
由平衡条件得FN＋Fsin θ＝mg，Ff＝μFN＝Fcos θ，解得F＝，F的大小与传送带的速度无关，选项A错误，B正确；绳剪断后m在两速度的传送带上的加速度相同，若L≤1，则两次都是匀加速到达左端，t1＝t2，若L＞1，则物体在传送带上先加速再匀速到达左端，在速度小的传送带上需要的时间更长，t1＞t2，选项C错误，D正确．
5．一小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞行的子弹击中并从物块中穿过，如图甲所示．固定在传送带右端的位移传感器记录了小物块被击中后的位移x随时间的变化关系如图乙所示(图象前3 s内为二次函数，3 s～4.5 s内为一次函数，取向左运动的方向为正方向)．已知传送带的速度v1保持不变，g取10 m/s2.
(1)求传送带速度v1的大小；
(2)求零时刻物块速度v0的大小；
(3)在图丙中画出物块对应的v－t图象．
【答案】(1)2 m/s (2)4 m/s (3)见解析图
6 如图所示,皮带传动装置的两轮间距,轮半径,皮带呈水平方向,离地面高度,一物体以初速度从平台上冲上皮带,物体与皮带间动摩擦因数,求:
(1)皮带静止时,物体平抛的水平位移多大?
(2)若皮带逆时针转动,轮子角速度为,物体平抛的水平位移多大?
(3)若皮带顺时针转动,轮子角速度为,物体平抛的水平位移多大?
【答案】(1).(2) (3) .
水平位移:
7. 如图所示为某种弹射装置的示意图,光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接,传送带长度,皮带轮沿顺时针方向转动,带动皮带以恒定速率匀速传动.三个质量均为的滑块A、B、C置于水平导轨上,开始时滑块B、C之间用细绳相连,中间有一压缩的轻弹簧,处于静止状态,滑块A以初速度沿B、C连线方向向B运动,A与B碰撞后粘合在一起,碰撞时间极短,可认为A与B碰撞过程中滑块C的速度仍为零.因碰撞使连接B、C的细绳受扰动而突然断开,弹簧伸展,从而使C与A、B分离.滑块C脱离弹簧后以速度 滑上传送带,并从右端滑出落至地面上的P点,已知滑块C与传送带之间的动摩擦因数,重力加速度g取.求:
(1)滑块C从传送带右端滑出时的速度大小;
(2)滑块B、C用细绳相连时弹簧的弹性势能;
(3)若每次实验开始时弹簧的压缩情况相同,要使滑块C总能落至P点,则滑块A与滑块B撞前速度的最大值是多少?
【答案】(1);(2)1.0J (3) .
8 如图所示为上、下两端相距 L＝5 m、倾角α＝30°、始终以v＝3 m/s的速率顺时针转动的传送带(传送带始终绷紧)．将一物体放在传送带的上端由静止释放滑下，经过t＝2 s到达下端，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)传送带与物体间的动摩擦因数多大？
(2)如果将传送带逆时针转动，速率至少多大时，物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端？
【答案】（1）0.29 （2）8.66m/s
【解析】(1)物体在传送带上受力如图所示，
物体沿传送带向下匀加速运动，设加速度为a.
送带向下的最大加速度即所受摩擦力沿传送带向下，设此时传送带速度为vm，物体加速度为a′.
由牛顿第二定律得mgsin α＋Ff＝ma′
又v＝2La′
故vm＝＝8.66 m/s.
9 . 如图甲所示，水平传送带长L＝6 m，两个传送皮带轮的半径都是R＝0.25 m．现有一可视为质点的小物体以水平速度v0滑上传送带．设皮带轮沿顺时针方向匀速转动，当转动的角速度为ω时，物体离开传送带B端后在空中运动的水平距离为s.若皮带轮以不同角速度重复上述转动，而小物体滑上传送带的初速度v0始终保持不变，则可得到一些对应的ω值和s值．把这些对应的值在平面直角坐标系中标出并连接起来，就得到了图乙中实线所示的s－ω图象．(g取10 m/s2)
(1)小明同学在研究了图甲的装置和图乙的图象后作出了以下判断：当ω<4 rad/s时，小物体从皮带轮的A端运动到B端过程中一直在做匀减速运动．他的判断正确吗？请你再指出当ω>28 rad/s时，小物体从皮带轮的A端运动到B端的过程中做什么运动．(只写结论，不需要分析原因)
(2)求小物体的初速度v0及它与传送带间的动摩擦因数μ.
(3)求B端距地面的高度h.
【答案】：(1)正确 匀加速运动 (2)5 m/s 0.2(3)1.25 m
【解析】(1)小明的判断正确
当ω>28 rad/s时，小物体从A端运动到B端的过程中一直在做匀加速运动
专题12 牛顿运动定律与图象综合问题的求解方法
【专题概述】
用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法.是一种直观且形象的语言和工具.它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律.
1 . 常见的动力学图像
v – t 图像、 a – t 图像、 F – t 图像、F – a 图像
2 . 各图像的意义和理解
（1）v – t 图像
在v – t图像中，要理解图像所表达的意义：
①图像与纵坐标的交点表示t = 0时刻的速度，即初速度
②图像的斜率表示加速度的大小
③图像与坐标轴包围的面积表示物体运动的位移的大小
（2）a – t 图像
①图像与纵坐标的交点表示t = 0时刻的加速度，
②图像与坐标轴包围的面积表示物体运动中速度变化的大小
3 、动力学图像问题的常见类型
由v – t 图像分析物体的受力情况
根据已知条件确定某物理量的变化图像
由F – t 图像分析物体的运动情况
【典例精讲】
一、关于v – t 图像的分析
典例1 如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动．若以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下建立一坐标轴Ox，小球的速度v随时间t变化的图象如图乙所示．其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的曲线，BC是平滑的曲线，则关于A、B、C三点对应的x坐标及加速度大小，下列说法正确的是( )
A． xA＝h，aA＝0
B． xA＝h，aA＝g
C． xB＝h＋，aB＝0
D． xC＝h＋，aC＝0
【答案】BC
二、关于a – t 图像的分析
典例2 、=如图甲所示，用一水平外力F推着一个静止在倾角为θ的光滑斜面上的物体，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图象如图乙所示，若重力加速度g取10 m/s2.根据图乙中所提供的信息不能计算出( )
A． 物体的质量
B． 斜面的倾角
C． 物体能静止在斜面上所施加的最小外力
D． 加速度为6 m/s2时物体的速度
【答案】D
算出．
典例3 如图a所示，在光滑水平面上叠放着甲、乙两物体．现对甲施加水平向右的拉力F，通过传感器可测得甲的加速度a随拉力F变化的关系如图b所示．已知重力加速度g＝10 m/s2，由图线可知( )
A． 甲的质量是2 kg
B． 甲的质量是6 kg
C． 甲、乙之间的动摩擦因数是0.2
D． 甲、乙之间的动摩擦因数是0.6
【答案】BC
三 关于F – t 图像的分析
典例4 利用传感器和计算机可以研究快速变化的力的大小，实验时让质量为M的某消防员从一平台上自由下落，落地过程中先双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了段距离，最后停止，用这种方法获得消防员受到地面冲击力随时间变化的图线如图所示．根据图线所提供的信息，以下判断正确的是( )
A． t1时刻消防员的速度最大
B． t2时刻消防员的速度最大
C． t3时刻消防员的速度最大
D． t4时刻消防员的速度最大
【答案】B
【解析】t1时刻双脚触地，在t1至t2时间内消防员受到的合力向下，其加速度向下，他做加速度减小的加速下落运动；而t2至t3时间内，人所受合力向上，人应做向下的减速运动，t2时刻消防员所受的弹力与重力大小相等、方向相反，合力为零，消防员的速度最大，在t2至t4时间内他所受的合力向上，则加速度向上，故消防员做向下的减速运动，t4时刻消防员的速度最小，故A、C、D错误，B正确．
典例5 如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体先静止后又做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图象如图乙所示．根据图乙中所标出的数据可计算出( )
A． 物体的质量
B． 物体与水平面间的滑动摩擦力
C． 物体与水平面间的最大静摩擦力
D． 在F为14 N时，物体的速度最小
【答案】ABC
【提升总结】
运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：
1.读图
即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，通常情况下，需要关注的特征量有三个层面： 第一层：关注横坐标、纵坐标
（1）确认横坐标、纵坐标对应的物理量各是什么.
（2）注意横坐标、纵坐标是否从零刻度开始。
（3）坐标轴物理量的单位也不能忽视
第二层：理解斜率、面积、截距的物理意义
（l）图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况
（2）面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如v--t图象中的面积表示位移，但要注意时间轴下方的面积为负，说明这段位移与正方向相反。
（3）截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距
第三层：分析交点、转折点、渐近线
（1）交点：往往是解决问题的切入点。
（2）转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用。
（3）渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势。
2.作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。应用物理规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确“图像与公式”、“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题作出准确判断.
【专练提升】
1 . (多选) 如图所示，一个m＝3 kg的物体放在粗糙水平地面上，从t＝0时刻起，物体在水平力F作用下由静止开始做直线运动，在0～3 s时间内物体的加速度a随时间t的变化规律如图所示．已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等．则( )
A． 在0～3 s时间内，物体的速度先增大后减小
B． 3 s末物体的速度最大，最大速度为10 m/s
C． 2 s末F最大，F的最大值为12 N
D． 前2 s内物体做匀变速直线运动，力F大小保持不变
【答案】BD
2 . 一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示．设运动过程中不计空气阻力，g取10 m/s2.结合图象，试求：
(1)运动员的质量；
(2)运动过程中，运动员的最大加速度；
(3)运动员离开蹦床上升的最大高度．
【答案】(1)50 kg (2)40 m/s2 (3)3.2 m
3 . 一物块质量m＝1 kg，静置于光滑水平面上，受到一个如图所示的力F的作用后在水平面内运动，力F是一个周期性变化的力，规定向东为力F的正方向，求：
(1)第1 s内和第2 s内的加速度大小；
(2)t＝8.5 s时物块离开出发点的位移大小．
【答案】(1)2 m/s2 1 m/s2 (2)24.25 m
【解析】(1)由图象知：a1＝＝2 m/s2，a2＝＝－1 m/s2
(2)1 s末速度v1＝a1t1＝2 m/s,
2 s末速度v2＝v1＋a2t2＝1 m/s,
3 s末速度v3＝v2＋a1t3＝3 m/s
4 s末速度v4＝v3＋a2t4＝2 m/s，
画出v－t图如图：
由图计算每秒内的位移：
x1＝1 m x2＝1.5 m x3＝2 m x4＝2.5 m x5＝3 m x6＝3.5 m x7＝4 m x8＝4.5 m
8－8.5 s内的位移：Δx＝＝2.25 m.
所以x＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋Δx＝24.25 m
4 . 如图所示，固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的拉力F作用下向上运动，拉力F与小环速度v随时间的变化规律如图甲、乙所示，g取10 m/s2，求：
(1)小环的质量m；
(2)细杆与地面间的倾角α.
【答案】(1)1 kg (2)30°
5 . 质量为4 kg的物体在一恒定水平外力F作用下，沿水平面做直线运动，其速度与时间关系图象如图所示．g＝10 m/s2，试求：
(1)恒力F的大小；
(2)物体与水平面间的动摩擦因数μ.
【答案】(1)12 N (2)0.2
【解析】由图象可知物体0～2 s做匀减速直线运动，设加速度为a1,2～4 s做反向匀加速直线运动，设加速度为a2.且恒力F与初速度方向相反．
6 . 如图甲所示，有一足够长的粗糙斜面，倾角θ＝37°，一滑块以初速度v0＝16 m/s从底端A点滑上斜面，滑至B点后又返回到A点．滑块运动的图象如图乙所示，(已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2)．求：
(1)AB之间的距离；
(2)滑块再次回到A点时的速度；
(3)滑块在整个运动过程中所用的时间．
【答案】(1)16 m (2)8 m/s (3)2s
【解析】(1)由图知 s＝ m＝16 m
(2)滑块由A到B：a1＝＝ m/s2＝8 m/s2；
上滑过程受重力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律，有：
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1；
解得a1＝g(sin θ＋μcos θ)①
7 . 某运动员体能训练过程中的情节可简化成如图模型：如图甲所示，运动员通过滑轮用轻绳将质量m＝60 kg的物块，从静止竖直向上拉高h＝7.5 m，用时t＝6 s，物块的速度－时间图象如图乙所示．不计轻绳、滑轮的质量和滑轮与轴之间的摩擦力(g＝10 m/s2)．求：
(1)物块上升过程中的最大速度；
(2)匀加速上升过程中轻绳对物块的拉力大小？
【答案】(1)2.5 m/s (2)630 N
【解析】(1)由速度－时间图象得：
h＝vt
v＝＝2.5 m/s
(2)由速度－时间图象得：
物体加速过程的加速度：a＝＝0.5 m/s2
由牛顿第二定律得：F－mg＝ma
解得：F＝630 N.
专题13 牛顿运动定律的应用之滑块模型
【专题概述】
在物理中经常会出现一类题就是滑块在滑板上运动类型的题目，这类题目一般会牵涉到牛顿第二定律，也会用到动能定理及能量守恒或者能量转换之间的关系，考试范围广，也成为近年来高考的重点，那么我们在处理此类问题时，我们着重从以下几个方面来分析问题
1 . 滑块能不能从滑板上脱落的问题，所以在这个专题中就存在临界问题。
2 . 始运动时时滑块和滑板一起运动，还是分开各走各的，那么这儿就存在一个判断问题，如果出现这类情况我们就可以采取假设的方法，假设两个物体一起运动然后通过他们之间的摩擦力是否超过最大静摩擦力来判断是否一起运动。
3. 解这类题很多时候我们采用的是用运动学公式来求解，所以一般解此类题会导致我们的计算量比较大，也是考察学生的计算能力和数学方法归类的能力
【典例精讲】
1. 滑块和滑板的动力学问题.
典例1如图所示，质量为m1的足够长木板静止在水平面上，其上放一质量为m2的物块．物块与木板的接触面是光滑的．从t＝0时刻起，给物块施加一水平恒力F.分别用a1、a2和v1、v2表示木板、物块的加速度和速度大小，下列图象符合运动情况的是( )
A B． C． D．
【答案】D
典例2 如图所示，一长木板在水平地面上运动，初速度为v0，在某时刻(t＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，己知物块与木板的质量相等，设物块与木板间及木板与地面间均有摩擦且摩擦因数为μ，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．在物块放到木板上之后，木板运动的速度－时间图象可能是选项中的( )
A. B． C． D．
【答案】A
【解析】在未达到相同速度之前，木板的加速度为－μmg－μ×2mg＝ma1，得a1＝－3μg
达到相同速度之后，木板的加速度为－μ×2mg＝ma2，得a2＝－2μg
由加速度可知，图象A正确．
典例3 (多选)如图所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦．现用水平力向右拉木板，当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为( )
A． 物块先向左运动，再向右运动
B． 物块向右运动，速度逐渐增大，直到做匀速运动
C． 木板向右运动，速度逐渐变小，直到做匀速运动
D． 木板和物块的速度都逐渐变小，直到为零
【答案】BC
2 滑块、滑板中的临界问题
典例4 (多选)如图所示，A，B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上，A，B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现对A施加一水平拉力F，则( )
A．当F＜2μmg时，A，B都相对地面静止
B．当F＝μmg时，A的加速度为μg
C．当F＞3μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg
【答案】BCD
典例5 如图所示，质量m1＝0.5 kg的长木板在水平恒力F＝6 N的作用下在光滑的水平面上运动，当木板速度为v0＝2 m/s时，在木板右端无初速轻放一质量为m2＝1.5 kg的小木块，此时木板距前方障碍物s＝4.5 m，已知木块与木板间动摩擦因数μ＝0.4，在木板撞到障碍物前木块未滑离木板．g取10 m/s2.
(1)木块运动多长时间与木板达到相对静止；
(2)求木板撞到障碍物时木块的速度．
【答案】(1)0.5 s (2)5 m/s
【解析】(1)当木块无初速轻放到木板上时，它受到向右的摩擦力，开始做匀加速运动，设加速度为a1.
对木块由牛顿第二定律有：μm2g＝m2a1
所以，a1＝μg＝4 m/s2①
此时木板受力F合＝F－μm2g＝(6－0.4×1.5×10) N＝0②
所以木板开始做匀速运动．
假设木块与木板相对静止前，木板没有撞到障碍物，设二者经过t1时间达到相对静止，由运动学方程有：
v0＝a1t1③
【总结提升】
牛顿运动定律在滑块一木板类问题中的应用问题实质是牛顿运动定律与运动学等知识的综合问题，着重考查学生分析问题、运用知识的能力。
求解时应先仔细审题，清楚题目的含义、分析清楚每一个物体的受力情况、运动情况。因题目所给的情境中至少涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各运动过程的加速度（注意两过程的连接处加速度可能突变），找出物体之间的位移（路程）关系或速度关系是解题的突破口.
求解中更应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。
【专练提升】
1 . 如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但长木板保持静止不动．已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是( )
A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg
B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g
C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动
D．无论拉力F增加到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动
【答案】D
【解析】对M分析，在水平方向受到m对M的摩擦力和地面对M的摩擦力，两个力平衡，则地面对木板的摩擦力Ff＝μ1mg，选项A、B错误；无论F大小如何，m在M上滑动时，m对M的摩擦力大小不变，M在水平方向上仍然受到两个摩擦力处于平衡，不可能运动，选项C错误，D正确
2 . 如图甲所示，静止在光滑水平面上的长木板B(长木板足够长)的左端放着小物块A.某时刻，A受到水平向右的外力F作用，F随时间t的变化规律如图乙所示，即F＝kt，其中k为已知常数．若物体之间的滑动摩擦力Ff的大小等于最大静摩擦力，且A，B的质量相等，则下列图中可以定性地描述长木板B运动的v－t图象的是( )．
A.B．C．D．
【答案】B
3 （多选）如图所示，在光滑的水平面上放着质量为M的木板，在木板的左端有一个质量为m的木块，在木块上施加一个水平向右的恒力F，木块与木板由静止开始运动，经过时间t分离．下列说法正确的是( )
A． 若仅增大木板的质量M，则时间t增大
B． 若仅增大木块的质量m，则时间t增大
C． 若仅增大恒力F，则时间t增大
D． 若仅增大木块与木板间的动摩擦因数，则时间t增大
【答案】BD
【解析】设木块与木板间的动摩擦因数为μ，则木块的加速度a1＝＝－μg，木板的加速度a2＝，两者恰好分离的条件为(a1－a2)t2＝L，时间t＝.由此可知，仅增大M或F，时间t减小，仅增大m或μ，时间t增大，选项B、D正确．
4 . (多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现对B施加一水平拉力F，则( )
A．当F<3μmg时，A、B都相对地面静止
B．当F＝μmg时，A的加速度为
C．当F>6μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，A的加速度不会超过μg
【答案】BCD
5 . (多选)如图所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置质量为m的小滑块. 木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出其加速度a，得到如图所示的a－F图象．取 g＝10 m/s2，则( )
A．滑块的质量m＝4 kg
B．木板的质量M＝6 kg
C．当F＝8 N时滑块加速度为2 m/s2
D．滑块与木板间动摩擦因数为0.1
【答案】AD
6 . 如图所示，在光滑的水平面上有一个长为0.64 m、质量为4 kg的木块B，在B的左端有一个质量为2 kg、可视为质点的铁块A，A与B之间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．当对A施加水平向右的拉力F＝10 N时，求经过多长时间可将A从B的左端拉到右端．(g取10 m/s2)
【答案】0.8 s
【解析】A、B间的最大静摩擦力Fmax＝μm1g＝4 N，F>Fmax，所以A、B发生相对滑动．由分析知A向右加速，加速度为a1，则F－μm1g＝m1a1，a1＝3 m/s2；B也向右加速，加速度为a2，则μm1g＝m2a2，a2＝1 m/s2.A从B的左端运动到右端，则有xA－xB＝L，即a1t2－a2t2＝L，代入数据，解得t＝0.8 s.
7 . 质量为2 kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物块A从木板的左侧沿木板上表面水平冲上木板，如图甲所示．A和B经过1 s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v－t图象如图乙所示，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)A与B上表面之间的动摩擦因数μ1；
(2)B与水平面间的动摩擦因数μ2；
(3)A的质量．
【答案】(1)0.2 (2)0.1 (3)6 kg
8 . 如图所示，质量为M＝1 kg的长木板静止在光滑水平面上，现有一质量为m＝0.5 kg的小滑块(可视为质点)以v0＝3 m/s的初速度从左端沿木板上表面冲上木板，带动木板向前滑动．已知滑块与木板上表面间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g取10 m/s2，木板足够长．求：
(1)滑块在木板上滑动过程中，长木板受到的摩擦力大小和方向；
(2)滑块在木板上滑动过程中，滑块相对于地面的加速度a的大小；
(3)滑块与木板达到的共同速度v的大小．
【答案】(1)0.5 N 向右 (2)1 m/s2 (3)1 m/s
【解析】(1)滑块所受摩擦力为滑动摩擦力
Ff＝μmg＝0.5 N，方向向左
根据牛顿第三定律，滑块对木板的摩擦力方向向右，大小为0.5 N
(2)由牛顿第二定律得：μmg＝ma
得出a＝μg＝1 m/s2
(3)木板的加速度a′＝μg＝0.5 m/s2
设经过时间t，滑块和长木板达到共同速度v，则满足：
对滑块：v＝v0－at
对长木板：v＝a′t
由以上两式得：滑块和长木板达到的共同速度v＝1 m/s.
9 . 质量M＝3 kg的长木板放在水平光滑的平面上，在水平恒力F＝11 N作用下由静止开始向右运动，如图所示，当速度达到1 m/s时，将质量m＝4 kg的物体轻轻放到木板的右端，已知物块与木板间摩擦因数μ＝0.2，(g＝10 m/s2)，求：
(1)物体经多长时间才与木板保持相对静止；
(2)物体与木板相对静止后，物体受到的摩擦力多大？
【答案】(1)1 s (2)6.28 N
10 . 如图1，质量为M的长木板，静止放在粗糙的水平地面上，有一个质量为m、可视为质点的物块，以某一水平初速度从左端冲上木板．从物块冲上木板到物块和木板都静止的过程中，物块和木板的图象分别如图2中的折线所示，根据图2，(g＝10 m/s2)求：
图1 图2
(1)m与M 间动摩擦因数μ1及M与地面间动摩擦因数μ2；
(2)m与M的质量之比；
(3)从物块冲上木板到物块和木板都静止的过程中，物块m、长木板M各自对地的位移．
【答案】(1)0.15 0.05 (2)3∶2 (3)44 m 24 m
11 . 如图所示，有一长度x＝1 m、质量M＝10 kg的平板小车，静止在光滑的水平面上，在小车一端放置一质量m＝4 kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.25，要使物块在2 s内运动到小车的另一端，求作用在物块上的水平力F是多少？(g取10 m/s2)
【答案】16 N
【解析】由下图中的受力分析，根据牛顿第二定律有
