【新课标】2018届高三数学总复习：配套练习90练（Word版，含答案解析）

第10练 二次函数与幂函数
训练目标
(1)二次函数的概念；(2)二次函数的性质；(3)幂函数的定义及简单应用．
训练题型
(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数的单调性、对称性的判定；(3)求二次函数的最值；(4)幂函数的简单应用．
解题策略
(1)二次函数解析式的三种形式要灵活运用；(2)结合二次函数的图象讨论性质；(3)二次函数的最值问题的关键是理清对称轴与区间的关系.
一、选择题
1．给出下列函数：①f(x)＝()x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝log2x.其中满足条件f()>(0A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2016·河北衡水故城高中开学检测)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3．(2016·湖北孝感中学调研)函数f(x)＝(m2－m－1)·是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值(　　)
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
5．若关于x的不等式x2＋ax－a－2>0和2x2＋2(2a＋1)x＋4a2＋1>0的解集依次为A和B，那么使得A＝R和B＝R至少有一个成立的实数a(　　)
A．可以是R中任何一个数
B．有有限个
C．有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足
D．不存在
6．(2016·广东佛山顺德一中等六校联考)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)满足f(m)<0，则f(m＋1)的符号是(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
7．若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
8．已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋3(m∈R)，若关于x的方程f(x)＝0有实数根，且两根分别为x1，x2，则(x1＋x2)·x1x2的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是__________．
10．(2017·惠州调研)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是____________．
11．(2016·重庆部分中学一联)已知f(x)＝x2＋kx＋5，g(x)＝4x，设当x≤1时，函数y＝4x－
2x＋1＋2的值域为D，且当x∈D时，恒有f(x)≤g(x)，则实数k的取值范围是____________．
12．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________.

答案精析
1．B　[①f(x)＝()x为底数小于1且大于0的指数函数，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；②f(x)＝x2是开口向上的抛物线，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；③f(x)＝x3是幂函数，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；④f(x)＝x是幂函数，在第一象限是上凸图象，故满足条件；⑤f(x)＝log2x是底数大于1的对数函数，在第一象限是上凸图象，故满足条件．故选B.]
2．D　[当a＝0时，函数为一次函数f(x)＝2x－3，为递增函数；当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，对称轴为直线x＝－<0，函数在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴为直线x＝－≥4，
解得a≥－，又a<0，故－≤a<0.综上，－≤a≤0，故选D.]
3．A　[函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x2 015；当m＝－1时，f(x)＝x－4.又因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足>0，所以函数f(x)是增函数，所以函数的解析式为f(x)＝x2 015，函数f(x)＝x2 015是奇函数且是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，则a，b异号且正数的绝对值较大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故选A.]
4．C　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立．
当a－2≠0时，解得－2所以a的取值范围是(－2,2]．故选C.]
5．C　[若A＝R，则Δ＝a2－4(－a－2)<0，即a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4<0，不成立，故a为空集；若B＝R，则Δ＝4(2a＋1)2－4×2(4a2＋1)<0，即4a2－4a＋1＝(2a－1)2>0，则a≠.综上知C正确．]
6．C　[∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，
∴f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－10，∴f(m＋1)>f(0)>0.]
7．A　[方法一　由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，令f(x)＝x2＋ax－2，
∵f(0)＝－2<0，f(x)的图象开口向上，
∴只需f(5)>0，即25＋5a－2>0，解得a>－.
方法二　由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，可得a>＝－x在x∈[1,5]上有解．
又f(x)＝－x在x∈[1,5]上是减函数，∴min＝－，只需a>－.]
8．B　[∵x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m＋3，
∴(x1＋x2)·x1x2＝－2m(2m＋3)＝－42＋.
又Δ＝4m2－4(2m＋3)≥0，
∴m≤－1或m≥3.
∵t＝－42＋在m∈(－∞，－1]上单调递增，m＝－1时最大值为2；
t＝－42＋在m∈[3，＋∞)上单调递减，m＝3时最大值为－54，
∴(x1＋x2)·x1x2的最大值为2，故选B.]
9．(0，＋∞)
解析　因为0<0.71.3<1,1.30.7>1，所以0.71.3<1.30.7，又因为(0.71.3)m<(1.30.7)m，
所以幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m>0.
10.
解析　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，
由题意知即
解得11．(－∞，－2]
解析　令t＝2x，由于x≤1，则t∈(0,2]，则y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1∈[1,2]，即D＝[1,2]．
由题意f(x)＝x2＋kx＋5≤4x在x∈D时恒成立．
方法一　∵x2＋(k－4)x＋5≤0在x∈D时恒成立，
∴
∴∴k≤－2.
方法二　k≤－＋4在x∈D时恒成立，故k≤min＝－2.
12．(－，－2]
解析　由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．
在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的大致图象如图所示，
结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈[－，－2]，
故当m∈(－，－2]时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．
即当m∈(－，－2]时，函数y＝f(x)－g(x)在[0,3]上有两个不同的零点．
第11练 指数函数
训练目标
(1)分数指数幂；(2)指数函数．
训练题型
(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质；(3)与指数函数有关的复合函数问题．
解题策略
(1)指数幂运算时，先把根式化成分数指数幂；(2)底数含参数时，应对底数进行讨论；(3)与指数有关的复合函数问题，可先换元，弄清复合函数的构成.
一、选择题
1．根式÷的化简结果为(　　)
A． B．
C． D．a
2．(2016·台州五校联考)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
3．三个数P＝，Q＝，R＝的大小顺序是(　　)
A．QC．Q4．函数f(x)＝ax(0A. B.
C. D.
5．若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
6．(2016·济宁模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
7．已知实数a，b满足等式a＝b，则下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是(　　)
A．x－y>0 B．x＋y<0
C．x－y<0 D．x＋y>0
二、填空题
9．已知函数f(x)＝a2x－4＋n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m＋n＝________.
10．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
11．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a＝________.
12．(2016·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)
①函数f(x)的图象关于原点对称；
②函数f(x)在R上不具有单调性；
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；
④当0⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.
答案精析
1．B　[原式＝÷
＝÷＝÷＝.故选B.]
2．B　[由f(1)＝，得a2＝，∴a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
∴f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.]
3．B　[函数y＝x为R上的增函数，故<<0＝1.又函数y＝x为R上的减函数，所以>0＝1，所以P>Q>R.]
4．A　[∵函数f(x)＝ax(0∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝a2，
∵最大值比最小值大，
∴1－a2＝，解得a＝.故选A.]
5．C　[在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．]
6．D　[作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a且f(a)>f(c)>f(b)，
结合图象知，00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.]
7．B　[作出函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．
由a＝b，得a故①②⑤可能成立，③④不可能成立．故选B.]
8．D　[因为2x＋3y>2－y＋3－x，所以2x－3－x>2－y－3y.f(x)＝2x－3－x＝2x－为单调递增函数，f(x)>f(－y)，所以x>－y，即x＋y>0.]
9．3
解析　当2x－4＝0，即x＝2时，y＝1＋n，即函数图象恒过点(2,1＋n)，又函数图象恒过定点P(m,2)，所以m＝2,1＋n＝2，即m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
10．4　2
解析　由3|x|＝1，得x＝0，由3|x|＝9，得x＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m](0≤m≤2)或[n,2](－2≤n≤0)，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.
11．3
解析　y＝a2x＋2ax－1(a>1)，令ax＝t，则y＝t2＋2t－1，
对称轴为t＝－1，因为a>1，所以当t＝a，即x＝1时取最大值，解得a＝3(a＝－5舍去)．
12．①③④
解析　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)取最小值为0，⑤假．综上，真命题是①③④.
第12练 对数函数
训练目标
(1)对数的运算性质；(2)对数函数．
训练题型
(1)对数的运算；(2)对数的图象与性质；
(3)和对数函数有关的复合函数问题．
解题策略
(1)对数运算时，要将对数式变形，尽量化成同底数形式；(2)注意在函数定义域内讨论函数性质，底数若含参要进行讨论；(3)复合函数问题求解要弄清复合的层次.
一、选择题
1．lg25＋lg 2·lg 50＋等于(　　)
A．1 B．log53
C．4 D．3
2．(2017·福州月考)函数y＝lg|x－1|的图象是(　　)
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B．10
C．20 D．100
4．(2016·山东淄博六中期中)设a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b5．(2016·福建厦门双十中学期中)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A．0C．f(b)6．若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|0C．{a|a>1} D.
7．(2016·广东佛山禅城期中)设a，b，c均为正数，且2a＝a，b＝b，c＝log2c，则(　　)
A．aC．c8．(2016·山东聊城一中期中)已知函数f(x)＝ex－ (x<0)与g(x)＝ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，)
C. D.
二、填空题
9．若函数f(x)＝loga(ax－3)(a>0且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是__________．
10．(2016·河北冀州中学检测)已知函数f(x)＝g(x)＝x2－2x.设a为实数，若存在实数m，使f(m)－2g(a)＝0，则实数a的取值范围为________．
11．(2016·安阳模拟)已知函数f(x)＝
若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________________．
12．(2016·河北衡水中学一调)若不等式lg≥(x－1)lg 3对任意x∈(－∞，1)恒成立，则a的取值范围是________.

答案精析
1．C　[因为lg25＋lg 2·lg 50＝lg25＋lg 2(1＋lg 5)＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1，又因为5log53＝3，所以原式＝4.]
2．A　[因为y＝lg|x－1|＝
当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.
又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．]
3．A　[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m＝.]
4．B　[∵y＝3x是定义域上的增函数，
∴a＝30.3>30＝1.
∵y＝logπx是定义域上的增函数，
∴0＝logπ1∵y＝log0.3x是定义域上的减函数，
∴c＝log0.3e5．D　[显然f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e＋1－2>0，由函数零点存在性定理知，0又g(x)＝lnx＋x2－3在定义域(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，则b>1.
故f(b)>f(1)>0，g(a)6．B　[由x2－logax<0，得x2当a>1时，显然不成立；
当0需f1≤f2.所以有2≤loga，
解得a≥，所以≤a<1.]
7．A　[分别作出四个函数y＝x，y＝x，y＝2x，y＝log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知a8．B　[函数f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点，就是说f(－x)＝g(x)有解，也就是函数y＝f(－x)与函数y＝g(x)有交点，在同一坐标系内画出函数y＝f(－x)＝e－x－＝x－(x<0)与函数y＝g(x)＝ln(x＋a)的图象．
∴函数y＝g(x)＝ln(x＋a)的图象是把函数y＝lnx的图象向左平移且平移到过点后开始，两函数的图象有交点，把点代入y＝ln(x＋a)，得＝lna，
∴a＝e＝，∴a<，故选B.]
9．(3，＋∞)
解析　由于a>0且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，
则f(x)＝logau必为增函数，
因此a>1.
又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，
∴a－3>0，即a>3.
10．[－1,3]
解析　因为g(x)＝x2－2x，a为实数，2g(a)＝2a2－4a＝2(a－1)2－2，所以当a＝1时，2g(a)取得最小值－2，f(－7)＝6，f(e－2)＝－2，所以f(x)的值域为[－2,6]．因为存在实数m，使得f(m)－2g(a)＝0，所以－2≤2a2－4a≤6，解得－1≤a≤3.
11．(＋2e,2＋e2)
解析　画出函数f(x)的图象，如图．
不妨令a0∵－lna＝lnb，∴ab＝1.
∵lnb＝2－lnc，
∴bc＝e2，∴a＋b＋c＝b＋(1∵(b＋)′＝1－<0，
故b＋在(1，e)上为减函数，
∴2e＋∴a＋b＋c的取值范围是(＋2e,2＋e2)．
12．(－∞，1]
解析　lg≥(x－1)lg 3?lg
≥lg 3x－1?≥3x－1，整理可得a≤，
∵y＝＝x＋x在x∈(－∞，1)上单调递减，
则当x∈(－∞，1)时，y＝x＋x>＋＝1，∴a≤1.
第13练 函数与方程
训练目标
(1)函数的零点概念；(2)数形结合思想．
训练题型
(1)函数零点所在区间的判定；(2)函数零点个数的判断；(3)函数零点的应用．
解题策略
(1)判断零点所在区间常用零点存在性定理；(2)判断零点个数方法：直接解方程f(x)＝0；利用函数的单调性；利用图象交点；(3)根据零点个数求参数范围可将参数分离.
一、选择题
1．(2017·长沙调研)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点可能落在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝若函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.∪(1，＋∞)
C.∪[1，＋∞) D.
6．已知函数f(x)＝x＋sin x＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－1,2) D．(－1,2)
7．(2016·太原期中)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0)时，f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(1,4)
C．(1,8) D．(8，＋∞)
8．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．(2015·湖北)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
10．(2016·南宁模拟)已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.
11．定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝2f(x)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|.则函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上的零点个数为________．
12．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：
①方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]＝0有且仅有3个根；
③方程f[f(x)]＝0有且仅有7个根；④方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．
其中正确命题的序号为________.

答案精析
1．C　[∵函数f(x)＝|x－2|－lnx，定义域为(0，＋∞)，
∴f(1)＝1>0，f(2)＝－ln 2<0，f(3)＝1－ln 3<0，
f(4)＝2－ln 4>0，f(5)＝3－ln 5>0，
∴f(1)·f(2)<0，f(3)·f(4)<0.
∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.]
2．C　[方程f(x)＝log3|x|的零点个数，即函数y＝f(x)与函数y＝log3|x|图象的交点个数，作函数y＝f(x)与函数y＝log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]
3．C　[因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点，
当x>0时，f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3，
分别画出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，
所以函数f(x)有一个零点，
又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.]
4．D　[当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．
当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)<0或
②或③
解①得－解②得m∈?，解③得m＝.
综上可知－5．A　[令f(x)－mx＋2＝0，则f(x)＝mx－2，设g(x)＝mx－2，可知函数f(x)＝与函数g(x)的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A(0，－2)，B(3,1)，C(4,0)，可知直线g(x)＝mx－2应介于直线AB与直线AC之间，其中kAB＝1，kAC＝，故m∈.故选A.]
6．B　[由于f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称．由于(x＋sin x)′＝1＋cosx≥0，且＝1－为增函数．故f(x)为R上的增函数，且f(0)＝0.所以|f(x)|－a＝0，即|f(x)|＝a有两个不同的实数根，|f(x)|的图象是由f(x)图象的将x<0的部分关于x轴对称翻折上来，x>0部分保持不变所得，所以a∈(0，＋∞)．]
7．D　[由f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，即为f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，则f(x)是周期为4的函数．当x∈[－2,0)时，f(x)＝x－1，可得x∈(0,2]时，f(x)＝f(－x)＝()x－1.在同一坐标系内作出f(x)与g(x)＝loga(x＋2)在区间(－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则08，故选D.]
8．B　[令sgn(lnx)－ln2x＝0，得
当lnx>0，即x>1时，1－ln2x＝0，解得x＝e；
当lnx<0，即0当lnx＝0，即x＝1时，成立．
故方程sgn(lnx)－ln2x＝0有两个根，即函数f(x)有2个零点．]
9．2
解析　函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数等价于方程2sin x·sin－x2＝0的根的个数，即函数g(x)＝2sin xsin＝2sin xcosx＝sin 2x与h(x)＝x2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．故函数f(x)有2个零点．
10．5
解析　∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，
且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，
∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3.
∴a＋b＝5.
11．4
解析　∵定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝2f(x)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|，
∴函数f(x)在区间[1,28]上的图象如图所示：
函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f(x)在区间[1,28]上的图象与直线y＝2交点的个数，由图可得函数f(x)在区间[1,28]上的图象与直线y＝2有4个交点，故函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上有4个零点．
12．①④
解析　①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，则t1＝0或－2②设t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．
③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2综上，命题①④正确．
第14练 函数模型及其应用
训练目标
(1)函数模型应用；(2)审题及建模能力培养．
训练题型
函数应用题．
解题策略
(1)抓住变量间的关系，准确建立函数模型；(2)常见函数模型：一次函数、二次函数模型；指数、对数函数模型；y＝ax＋型函数模型.
1.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：
y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
3．(2016·潍坊检测)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
4.某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
5．(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

答案精析
1．解　设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
2．解　(1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48≥2 －48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴当年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低为32万元．
(2)设当年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
3．解　设该店月利润余额为L，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．
4．解　(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，
得f(t)＝
图②是一个二次函数的部分图象，
故g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝
故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为
F(t)＝
当0≤t≤20时，F(t)＝3t＝－t3＋24t2，
∴F′(t)＝－t2＋48t＝t≥0，
∴F(t)在[0,20]上是增函数，
∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6 000<6 300.
当20由F(t)＝6 300，得3t2－160t＋2 100＝0，
解得t＝(舍去)或t＝30.
当30由F(t)在(30,40]上是减函数，
得F(t)故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．
5．解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．
将其分别代入y＝，
得解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，
y轴分别于A，B点，y′＝－，
则l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝＝，t∈[5,20]．
②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5,10)时，g′(t)<0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
答　当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
第15练 函数中的易错题
训练目标
(1)函数概念、性质、图象知识的巩固深化；(2)解题过程的严谨性、规范化训练．
训练题型
函数中的易错题．
解题策略
(1)讨论函数性质要注意定义域；(2)函数性质和图象相结合；(3)条件转化要等价.
一、选择题
1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A. B.
C. D．(0，＋∞)
2．函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是(　　)
3．(2016·湖北浠水实验高中期中)设f(x)＝1－(x－a)(x－b)(aA．aC．a4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将该函数在区间[－T，T]上的零点个数记为n，则n可能为(　　)
A．0 B．1
C．3 D．5
5．(2016·广东汕头澄海凤翔中学段考)已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2,3]
C．(－∞，3] D．(2,3)
6．(2016·湖南娄底高中名校联考)对于函数f(x)，使f(x)≤n成立的所有常数n中，我们把n的最小值G叫做函数f(x)的上确界．则函数f(x)＝的上确界是(　　)
A．0 B.
C．1 D．2
7．(2016·青海西宁第四高级中学月考)已知函数f(x)＝若对于任意x∈R，不等式f(x)≤－t＋1恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[1,3] D．(－∞，2]∪[3，＋∞)
8．(2016·湖北重点中学月考)设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，函数f(x)＝(x＋p)·(x＋q)＋2，则(　　)
A．f(2)＝f(0)C．f(3)二、填空题
9．已知y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是____________．(用“<”连接)
10．若关于x的不等式ax2＋x－2a<0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为________．
11．(2016·四川成都新都一中月考)已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且有f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点有________个．
12．已知f(x)＝|loga|x－1||(a>0，a≠1)，若x1
答案精析
1．A　[由题意，可知(2x＋1)>0，
又因为2x＋1>0，所以可得0<2x＋1<1，解得－2．D　[原式＝对照图象知选D.]
3．B　[因为函数f(x)＝1－(x－a)(x－b)的图象开口向下，且f(a)＝f(b)＝1>0，所以在区间[a，b]上，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)＝1－(x－a)(x－b)的两个零点在区间[a，b]的两侧，即m4．D　[因为奇函数f(x)在x＝0处有意义，所以f(0)＝0，即x＝0为函数f(x)的一个零点；再由周期函数的定义，可知f(T)＝f(－T)＝f(0＋T)＝f(0－T)＝f(0)＝0，所以x＝T，x＝－T也是函数f(x)的零点；又f(－)＝f(－＋T)＝f()，而由奇函数的定义，知f(－)＝－f()，所以f()＝－f()，即f()＝0.所以f(－)＝0.所以x＝，x＝－也是函数f(x)的零点．故选D.]
5．B　[若f(x)在R上单调递增，则有解得2综上，实数a的取值范围是(2,3]．故选B.]
6．C　[f(x)在(－∞，0)上是单调递增的，f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，
∴f(x)在R上的最大值是f(0)＝1，
∴n≥1，∴G＝1，故选C.]
7．B　[由题意可知f(x)＝的最大值为，若对于任意x∈R，不等式f(x)≤－t＋1恒成立，则≤－t＋1，解得t∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．故选B.]
8．A　[方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0可以看作方程2x＝－x－2和方程log2x＝
－x－2.因为方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2的根分别为p和q，即函数y＝2x与函数y＝－x－2的交点B的横坐标为p；函数y＝log2x与函数y＝－x－2的交点C的横坐标为q.因为y＝2x与y＝log2x互为反函数且关于y＝x对称，所以BC的中点A一定在直线y＝x上，联立方程得解得A点坐标为(－1，－1)．根据中点坐标公式得到＝－1即p＋q＝－2，则函数f(x)＝(x＋p)(x＋q)＋2为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－＝1，得到f(0)＝f(2)，且当x>1时，函数为增函数，所以f(3)>f(2)．综上所述，f(3)>f(2)＝f(0)．故选A.]
9．f()解析　因为y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，
所以f()10．[，)
解析　设f(x)＝ax2＋x－2a，由题中不等式ax2＋x－2a<0的解集中仅有4个整数解，易知抛物线的开口向上，即a>0.又f(0)＝－2a<0，知解集中有0；f(－1)＝－1－a<0，知解集中有－1；而f(1)＝1－a与f(－2)＝2a－2＝2(a－1)异号，又f()＝>0，则可推出解集中四个整数为：－3，－2，－1,0，故有即
解得a∈[，)．
11．2
解析　由f(0)＝1，且有f(0)＋2f(－1)＝0，得c＝1，b＝，g(x)＝f(x)＋x＝当x>0时，函数g(x)有一个零点x＝1；当x≤0时，函数g(x)是开口向下的抛物线，且与y轴交于点(0,1)，故在x轴的负半轴有且只有一个零点．故函数g(x)有2个零点．
12．2
解析　如图所示，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，即|loga|x1－1||＝|loga|x2－1||＝|loga|x3－1||＝|loga|x4－1||，因为x1<0,01,0<1－x2<1，所以loga|x1－1|＋loga|x2－1|＝0，
即loga(1－x1)＋loga(1－x2)＝0，即(1－x1)(1－x2)＝1，x1x2－(x1＋x2)＝0，所以＋＝1.
同理可得＋＝1，所以＋＋＋＝2.
第16练 函数
训练目标
(1)函数概念、性质、图象知识的巩固深化；(2)解题过程的严谨性、规范化训练．
训练题型
(1)函数中的易错题；(2)函数中的创新题；(3)函数中的综合题．
解题策略
(1)讨论函数性质要注意定义域；(2)函数性质和图象相结合；(3)条件转化要等价.
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
2．设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(2016·福建四地六校联考)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)等于(　　)
A．2 B．0
C．1 D．－1
4．(2016·湖北襄阳枣阳二中期中)
已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致为(　　)
5．已知函数f(x)＝＋满足条件f(loga(＋1))＝1，其中a>1，则f(loga(－1))等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(3)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b8．(2017·南昌质检)对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是(　　)
A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R) B．f(x)＝2－|x－1|
C．f(x)＝2x－x2 D．f(x)＝x－sin x
二、填空题
9．(2016·北京东城区二模)已知f是有序数对集合M＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的像为实数z，记作f(x，y)＝z.对于任意的正整数m，n(m>n)，映射f由下表给出：
(x，y)
(n，n)
(m，n)
(n，m)
f(x，y)
n
m－n
m＋n
则f(3,5)＝________，使不等式f(2x，x)≤4成立的x的集合是__________．
10．某商品在最近100天内的单价f(t)与时间t的函数关系是f(t)＝日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－＋(0≤t≤100，t∈N)，则这种商品的日销售额的最大值为________．
11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：
①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．
其中正确命题的序号是____________．(请把正确命题的序号全部写出来)
12．(2016·山东聊城一中期中)设定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时称f(x)为“友谊函数”：
(1)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
(2)f(1)＝1；
(3)若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．
则下列判断正确的序号为________．
①f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；
②函数g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”；
③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1
答案精析
1．C　[函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．]
2．C　[f(f(3))＝f(lg 10)＝f(1)＝2，故选C.]
3．A　[令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②
联立①②得f(1)＝2.]
4．A　[由二次方程的解法易得(x－a)(x－b)＝0的两根为a，b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f(x)＝(x－a)(x－b)的零点就是a，b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f(x)＝(x－a)(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，又由a>b，可得b<－1,05．B　[由函数f(x)＝＋，得
f(－x)＝＋＝＋，
所以f(x)＋f(－x)＝＋＋＋＝3，
由于loga(＋1)＋loga(－1)＝0，
所以loga(－1)＝－loga(＋1)，
所以由f(loga(＋1))＝1得
f(loga(－1))＝2，故选B.]
6．C　[当x＝1时，loga1＝0，若f(x)为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立，令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则必有即?≤a<.
此时，logax是减函数，符合题意．]
7．B　[∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵a＝f(log47)＝f(log2)，b＝f(3)＝f(－3)＝f(log23)．
又050.5>40.5＝2，即0b>c.]
8．D　[因为f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，又Δ＝b2＋4>0，所以方程x2＋bx－1＝0有一正一负两个不同的根，f(x)＝x2＋bx－1是“含界点函数”；因为f(x)＝2－|x－1|有两个零点x＝3和x＝－1，故f(x)＝2－|x－1|是“含界点函数”；f(x)＝2x－x2的零点即为y＝2x与y＝x2的图象的交点的横坐标，作出函数y＝2x与y＝x2的图象如图所示，故f(x)＝2x－x2为“含界点函数”；因为f(x)＝x－sin x在R上是增函数，且f(0)＝0，所以f(x)＝x－sin x不是“含界点函数”．故选D.]
9．8　{1,2}
解析　由表可知f(3,5)＝5＋3＝8.
∵?x∈N*，都有2x>x，
∴f(2x，x)＝2x－x，
则f(2x，x)≤4?2x－x≤4(x∈N*)?2x≤x＋4(x∈N*)，
当x＝1时，2x＝2，x＋4＝5,2x≤x＋4成立；
当x＝2时，2x＝4，x＋4＝6,2x≤x＋4成立；
当x≥3(x∈N*)时，2x>x＋4.
故满足条件的x的集合是{1,2}．
10．808.5
解析　由题意知日销售额s(t)＝f(t)g(t)，
当0≤t<40时，
s(t)＝＝－＋＋，
此函数的对称轴为x＝，
又t∈N*，所以最大值为s(10)＝s(11)＝＝808.5；
当40≤t≤100时，
s(t)＝＝－＋，
此时函数的对称轴为x＝>100，
最大值为s(40)＝736.
综上，这种商品日销售额s(t)的最大值为808.5
11．①②④
解析　由f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，命题①正确；由于函数是偶函数，故f(x＋2)＝f(－x)，函数图象关于直线x＝＝1对称，故命题②正确；由于函数是偶函数，故函数在区间[0,1]上递减，根据对称性，函数在[1,2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题③不正确；根据周期性，f(2)＝f(0)，命题④正确．
12．①②③
解析　①∵f(x)为“友谊函数”，则取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，又由f(0)≥0，得f(0)＝0，故①正确；
②g(x)＝x在[0,1]上满足：(1)g(x)≥0；(2)g(1)＝1；若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，
则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，
即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足(3)．故g(x)＝x满足条件(1)(2)(3)，∴g(x)＝x为友谊函数，故②正确；
③∵0≤x1∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)，故有f(x1)≤f(x2)，故③正确．
故答案为①②③.
第17练 导数的概念及其运算
训练目标
(1)导数的概念；(2)导数的运算．
训练题型
(1)导数的四则运算；(2)曲线的切线问题；(3)复合函数求导．
解题策略
(1)求导数技巧：乘积可展开化为多项式，根式化为分数指数幂，绝对值化为分段函数；(2)求切线方程首先要确定切点坐标；(3)复合函数求导的关键是确定复合的结构，然后由外向内，逐层求导.
一、选择题
1．若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为A，则li为(　　)
A．A B．2A
C. D．0
2．(2016·云南统一检测)函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0
C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
3．曲线y＝axcosx＋16在x＝处的切线与直线y＝x＋1平行，则实数a的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
4．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(　　)
A. B．－
C. D．－或
5．(2016·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则P点处切线倾斜角α的取值范围为(　　)
A.∪ B.
C.∪ D.
6．(2016·昆明模拟)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 015(x)等于(　　)
A．sin x B．－sin x
C．cosx D．－cosx
7．(2017·长沙调研)曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)
A. B.
C. D.
8．若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　)
A．f＝f B．f>f
C．f二、填空题
9．(2016·太原一模)函数f(x)＝xex的图象在点(1，f(1))处的切线方程是____________．
10．已知函数f(x)＝－f′(0)ex＋2x，点P为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线l上的一点，点Q在曲线y＝ex上，则|PQ|的最小值为________．
11．(2016·黄冈模拟)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·…·x2 015＝________.

答案精析
1．B　[由于Δy＝f(a＋Δx)－f(a－Δx)，
其改变量对应2Δx，
所以
＝
＝2f′(a)＝2A，故选B.]
2．C　[f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.]
3．A　[设y＝f(x)＝axcosx＋16，则f′(x)＝acosx－axsinx，又因为曲线y＝axcosx＋16在x＝处的切线与直线y＝x＋1平行，所以f′()＝－＝1?a＝－，故选A.]
4．D　[∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，
∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．
若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；
若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，
∴a＝－1，∴f(－1)＝－.]
5．C　[因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，
所以切线倾斜角α的取值范围是∪.]
6．D　[∵f0(x)＝sin x，f1(x)＝cosx，
f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sin x，…，
∴fn(x)＝fn＋4(x)，故f2 012(x)＝f0(x)＝sin x，
∴f2 015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.]
7．B　[y′＝f′(x)＝x2＋1，在点处的切线斜率k＝f′(1)＝2，
所以切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，与坐标轴的交点坐标为，，所以三角形的面积为××＝，故选B.]
8．C　[依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，
∴f′＝－sin＋2f′，f′＝，f′(x)＝－sin x＋1，
∵当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)＝cosx＋x在上是增函数，
又－<－<<，∴f9．y＝2ex－e
解析　∵f(x)＝xex，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，
∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.
10.
解析　由f′(x)＝－f′(0)ex＋2，令x＝0可得f′(0)＝－f′(0)e0＋2，即f′(0)＝1，所以f(x)＝－ex＋2x，所以切线的斜率k＝f′(0)＝1，又f(0)＝－1，故切线方程为y＋1＝x－0，即x－y－1＝0.由题意可知与直线x－y－1＝0平行且与曲线y＝ex相切的切点到直线x－y－1＝0的距离即为所求．设切点为Q(t，et)，则k1＝et＝1，故t＝0，即Q(0,1)，该点到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，故答案为.
11．－120
解析　f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)·(x－4)(x－5)]′，
∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
12.
解析　y′＝(n＋1)xn，y′|x＝1＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得xn＝，则x1·x2·x3·…·x2 015＝×××…×＝.
第18练 用导数研究函数的单调性
训练目标
(1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用．
训练题型
(1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小．
解题策略
(1)函数的单调性可通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0判断；(2)若f(x)在区间D上是增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知条件中含f(x)的不等式，可构造函数，利用单调性求解.
一、选择题
1．函数f(x)＝lnx－x2的单调减区间是(　　)
A．(－∞，] B．(0，]
C．[1，＋∞) D．[，＋∞)
2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
3．“a>1”是“函数f(x)＝ax＋cosx在R上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．(2016·临沂月考)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
二、填空题
6．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为____________；
(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是____________．
7．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________________．
8．(2016·兰州一模)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______________________．
9．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax，若g(x)＝，对任意x1∈[，2]，存在x2∈[，2]，使f′(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6ln x，其中a∈R.
(1)当a＝1时，判断函数f(x)的单调性；
(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围．

答案精析
1．D　[由题意知，函数f(x)＝lnx－x2的定义域为(0，＋∞)，求导可得f′(x)＝－2x＝，令f′(x)＝≤0，可得x≥.故选D.]
2．B　[在(－1,0)上，f′(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f′(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势，故选B.]
3．A　[若函数f(x)＝ax＋cosx在R上单调递增，则f′(x)＝a－sin x≥0在R上恒成立，
∴a≥sinx，∵－1≤sin x≤1，∴a≥1，则“a>1”是“函数f(x)＝ax＋cosx在R上单调递增”的充分不必要条件，故选A.]
4．C　[f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意知当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有
即
解得a≥.]
5．A　[因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，
则函数在(0，＋∞)上单调递减．由于06．(1)　(2)
解析　(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.
(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)≤0，解得k≤.又k>0，故07．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，所以Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，所以－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.
8．(－∞，2ln 2－2]
解析　因为f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a，
因为函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，
所以f′(x)＝2x－ex－a≥0，
即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，
解得x＝ln 2，则当x0，g(x)单调递增，
当x>ln 2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x＝ln 2时，g(x)取得最大值，g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，
所以a≤2ln 2－2.
9．(－∞，－8]
解析　求导可得f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1?f′(x)在[，2]上是增函数?f′(x)max＝f′(2)＝8＋a，由g(x)＝在[，2]上是减函数?g(x)max＝g()＝，又原命题等价于f′(x)max≤g(x)max?8＋a≤?a∈(－∞，－8]．
10．解　(1)由f(x)＝lnx－得定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
当a＝1时，f′(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由已知得，g′(x)＝，
因为g(x)在其定义域内为增函数，
所以?x∈(0，＋∞)，g′(x)≥0，
即ax2－5x＋a≥0，即a≥，
而≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a≥.
第19练 导数的极值与最值
训练目标
(1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用．
训练题型
(1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立问题；(4)零点问题．
解题策略
(1)f′(x)＝0是函数f(x)存在极值点的必要条件，f(x)的极值可用列表法求解；
(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.
一、选择题
1．设函数f(x)＝x3－x＋m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为(　　)
A．－ B．－1
C. D．1
2．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
4．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④⑤ D．③
5．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(x)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
6．(2016·河北保定一中模拟)已知f(x)＝ax3，g(x)＝9x2＋3x－1，当x∈[1,2]时，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．a≥11 B．a≤11
C．a≥ D．a≤
7．(2016·唐山一模)直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．3 B．2
C. D.
8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，)
C．(0,1) D．(0，＋∞)
二、填空题
9．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________________．
10．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________________．
11．(2017·郑州调研)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
12．(2015·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)

答案精析
1．A　[求导可得f′(x)＝x2－1，由f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1，
又因为函数在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m＝，函数f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝×13－1＋＝－，故选A.]
2．D　[因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)·(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，又因为x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，
所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]
3．A　[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
f′(1)＝0，f(1)＝10，
即
解得或
经检验满足题意，故＝－.]
4．D　[当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，③正确；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.]
5．B　[∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b>0.
由题意知，∴ac≥，∴c>0，
∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c时“＝”成立．]
6．A　[f(x)≥g(x)恒成立，即ax3≥9x2＋3x－1.
∵x∈[1,2]，∴a≥＋－.
令＝t，则当t∈[，1]时，a≥9t＋3t2－t3.
令h(t)＝9t＋3t2－t3，
则h′(t)＝9＋6t－3t2＝－3(t－1)2＋12.
∴h′(t)在[，1]上是增函数．
∴h′(x)min＝h′()＝－＋12>0.
∴h(t)在[，1]上是增函数．
∴a≥h(1)＝11，故选A.]
7．D　[令2(x＋1)＝a，解得x＝－1.设方程x＋lnx＝a的根为t(x>0，t>0)，即t＋lnt＝a，则|AB|＝|t－＋1|＝|t－＋1|＝|－＋1|.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.]
8．B　[函数f(x)＝x(lnx－ax)(x>0)，则f′(x)＝lnx－ax＋x(－a)＝lnx－2ax＋1.令f′(x)＝lnx－2ax＋1＝0，得lnx＝2ax－1.函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，等价于f′(x)＝lnx－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．
当a＝时，直线y＝2ax－1与y＝lnx的图象相切，
由图可知，当0则实数a的取值范围是(0，)．]
9．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根．
所以Δ＝4a2－4(a＋2)>0，
所以a>2或a<－1.
10．(0,1)∪(2,3)
解析　由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，
由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<111．－13
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知＝2，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.
根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.
[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
12．①④
解析　设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB>0恒成立，故①正确；
对于②直线CD的斜率可为负，即n<0，故②不正确；
对于③由m＝n，
得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，
即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，
令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，
则h′(x)＝2xln 2－2x－a，
由h′(x)＝0，得2xln 2＝2x＋a，结合图象知，当a很小时，该方程无解，
∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2，使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，
即不一定存在x1，x2使得m＝n，故③不正确；
对于④由m＝－n，
得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，
即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，
令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln 2＋2x＋a，
由F′(x)＝0，得2xln 2＝－2x－a，
结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故④正确．综上可知①④正确．
第1练 集合的关系与运算
训练目标
(1)元素与集合的概念；(2)集合的基本关系；(3)集合的运算．
训练题型
(1)判断元素与集合、集合之间的关系；(2)求两个集合的交集、并集、补集；
(3)根据两集合间的关系或运算求参数范围．
解题策略
(1)判断集合的关系或进行集合的运算，要先对集合进行化简；(2)利用Venn图或数轴表示集合，从图形中寻求关系；(3)可利用排除法解决集合中的选择题.
一、选择题
1．(2016·山东乳山一中月考)设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是(　　)
A．A?B B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1,2,3,4,5} D．A∩(?UB)＝{1}
2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xA．4 B．15
C．8 D．16
3.设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．[－1,0] B．(－1,0)
C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)
4．(2016·厦门模拟)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4

5．已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，则?(A∪B)(A∩B)等于(　　)
A．(－∞，0) B.
C．(－∞，0)∪ D.
6．设集合P＝{m|－1A．PQ B．PQ
C．P＝Q D．P∩Q＝?
7．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．[，)
C．[，＋∞) D．(1，＋∞)
8．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　)
A．1 B．3
C．5 D．7
二、填空题
9．(2017·成都月考)已知集合M＝{x|x>x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝__________________.
10．若集合A＝{x|－111．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|312．设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

答案精析
1．D　[因为1∈A但1?B，所以A不对；因为A∩B＝{2,3}，所以B不对；因为A∪B＝{1,2,3,4}，所以C不对；经检验，D是正确的，故选D.]
2．D　[当x＝1时，y＝2或3或4，当x＝2时，y＝3.故集合B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)}，因此集合B中有4个元素，其子集个数为16.故选D.]
3．D　[因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，
A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，
故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.]
4．D　[由于函数y＝3x的图象经过点(0,1)，且(0,1)在椭圆＋＝1内，所以函数y＝3x的图象与椭圆＋＝1有两个交点，从而A∩B中有2个元素，故A∩B的子集的个数是4，故选D.]
5．C　[∵集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝{x|1－2x>0}＝{x|x<}，
B＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，
∴A∪B＝{x|x≤1}，A∩B＝{x|0≤x<}，
∴?(A∪B)(A∩B)＝(－∞，0)∪，故选C.]
6．C　[Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立}，对m分类：
①为m＝0时，－4<0恒成立；
②当m<0时，需Δ＝(4m)2－4×m×(－4)<0，解得－1综合①②知－17．B　[A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以
即≤a<.]
8．B　[因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，
得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±2时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－2或a>2时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－29．{x|解析　对于集合M，由x>x2，
解得0∵0∴N＝{y|10．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析　化简B＝{x|x≥a或x≤a－1}，
又A∩B＝A，所以A?B.
由数轴知a≤－1或a－1≥2，
即a≤－1或a≥3.
所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
11．－7
解析　由已知得A＝{x|x<－1或x>3}，
∵A∪B＝R，A∩B＝{x|3即方程x2＋ax＋b＝0的两根为x1＝－1，x2＝4.
∴a＝－3，b＝－4，∴a＋b＝－7.
12．①②
解析　①正确，任取x，y∈S，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，b1，a2，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z.即x＋y∈S.同理x－y∈S，xy∈S.②正确，当x＝y时，0∈S.③错误，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集．④错误，设S＝{0}?T＝{0,1}，显然T不是封闭集．因此正确命题为①②.
第20练 导数中的易错题
训练目标
(1)导数知识的细化、深化、巩固提高；(2)解题过程的细节训练．
训练题型
(1)导数和函数的极值；(2)利用导数求参数范围；(3)导数的综合应用．
解题策略
(1)注意f′(x0)＝0是x＝x0为极值点的必要不充分条件；(2)已知单调性求参数范围要注意验证f′(x)＝0的情况.
一、选择题
1．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，)
C．(，] D．[，π)
2．(2016·福建福州三中月考)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：
y＝f(x)的切线方程是(　　)
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0 D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0
3．(2016·兰州诊断)在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x>0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则以下结论正确的是(　　)
A．△OAB的面积为定值2
B．△OAB的面积有最小值3
C．△OAB的面积有最大值4
D．△OAB的面积的取值范围是[3,4]
4．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[1，)
C．[1,2) D．[，2)
5．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．1C．24或a<1
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2 (a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2] B．(0,2)
C．[，2) D．(，2)
7．如果函数f(x)＝x3－x满足：对于任意的x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．[－，]
B．[－，]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
8．(2017·景德镇质检)已知f(x)＝ax＋＋2－2a(a>0)，若f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
二、填空题
9．若函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________________．
10．函数f(x)＝ax－cosx，x∈[，]，若?x1，x2∈[，]，x1≠x2，<0，则实数a的取值范围是________．
11．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
12．已知函数f(x)＝(a>0)，若f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是________.

答案精析
1．B　[根据已知可得f′(x)≥，即曲线y＝f(x)上任意一点的切线的斜率k＝tan α≥，结合正切函数的图象，可知α∈[，)，故选B.]
2．D　[由于点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若点A为切点，则切线斜率为6，若点A不是切点，设切点坐标为(m,2m3)，则切线的斜率为k＝6m2.由两点的斜率公式，得＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0，
解得m＝1(舍去)或m＝－.综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×＝，
则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程为y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，
即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选D.]
3．A　[由题意，得y＝.设点P(x0，y0)(x0>0)，y0＝，y′＝－，因此切线的斜率k＝－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)．当x＝0时，y＝y0＋＝；当y＝0时，x＝xy0＋x0＝2x0，因此S△OAB＝xy＝2为定值．故选A.]
4．B　[∵f(x)＝2x2－lnx(x>0)，
∴f′(x)＝4x－＝(x>0)，
由f′(x)＝0，得x＝，
当x∈(0，)时，f′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，
据题意，
解得1≤k<.]
5．B　[y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，
函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0时，y′＝3x2－3a＝0?x＝±，不难分析，当1<<2，即16．D　[由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得
又a>0，
解得7．D　[∵f′(x)＝x2－1，∴当0f′(x)<0，当10，
∴f(x)＝x3－x在x＝1时取到极小值，也是x∈[0,2]上的最小值，
∴f(x)极小值＝f(1)＝－＝f(x)最小值，
又∵f(0)＝0，f(2)＝，
∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝，∵对于任意的x1，x2∈[0,2]，
∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，
∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝－(－)＝即可，
∴a≥或a≤－.故选D.]
8．B　[f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，即f(x)－2ln x≥0在[1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝f(x)－2ln x＝ax＋＋2－2a－2ln x，则g′(x)＝a－－＝.
令g′(x)＝0，则x＝1或x＝.由于g(1)＝0，a>0，因此≤1(否则是g(x)的极小值点，即g()9．(－∞，2－)∪(2－，2)
解析　f′(x)＝＋a(x>0)．∵函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴方程＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a＝2－在区间(0，＋∞)上有解，
∴a<2.若直线2x－y＝0与曲线f(x)＝lnx＋ax相切，设切点为(x0,2x0)，则
解得x0＝e，a＝2－.
综上，实数a的取值范围是(－∞，2－)∪(2－，2)．
10．(－∞，－]
解析　由<0知，函数f(x)在[，]上是减函数．又f′(x)＝a＋sin x，所以f′(x)≤0在[，]上恒成立，即a≤－sin x在[，]上恒成立．当≤x≤时，－≤－sin x≤－，
故－sin x的最小值为－，所以a≤－.
11．(－∞，0)
解析　由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a<0，由f′(x)>0得－，即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－，)，单调递减区间为(－∞，－), ( ，＋∞)，满足题意．
12．(0,1]
解析　f′(x)＝＝，由题意f(x)为R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．又a>0，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0第21练 利用导数研究不等式问题
训练目标
(1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练．
训练题型
(1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题；
(3)利用导数证明与数列有关的不等式．
解题策略
(1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离.
1.已知函数f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－＋－4x＋.
2．(2016·烟台模拟)已知函数f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx，h(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)若函数y＝h(x)的单调减区间是，求实数a的值；
(2)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围．
3．(2016·山西四校联考)已知f(x)＝lnx－x＋a＋1.
(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；
(2)求证：在(1)的条件下，当x>1时，x2＋ax－a>xlnx＋成立．
4.已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.
(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；
(2)若对任意的a∈(－3，－2)，x1，x2∈[1,3]，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
5．(2017·福州质检)设函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a>0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0；
(2)求证：对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.

答案精析
1．(1)解　f′(x)＝2x－a－，由题意可得f′(1)＝0，解得a＝1.经检验，a＝1时f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝1.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝x2－x－lnx，
令g(x)＝f(x)－
＝－＋3x－lnx－，
由g′(x)＝x2－3x＋3－＝－3(x－1)＝(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，
在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－＋－4x＋成立．
2．解　(1)由题意可知，h(x)＝x2－ax＋lnx(x>0)，
由h′(x)＝(x>0)，
若h(x)的单调减区间是，
由h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，
而当a＝3时，h′(x)＝＝(x>0)．
由h′(x)<0，解得x∈，
即h(x)的单调减区间是，
∴a＝3.
(2)由题意知x2－ax≥lnx(x>0)，
∴a≤x－(x>0)．
令φ(x)＝x－(x>0)，
则φ′(x)＝，
∵y＝x2＋lnx－1在(0，＋∞)上是增函数，且x＝1时，y＝0.
∴当x∈(0,1)时，φ′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
即φ(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴φ(x)min＝φ(1)＝1，故a≤1.
即实数a的取值范围为(－∞，1]．
3．(1)解　原题即为存在x>0，
使得lnx－x＋a＋1≥0，
∴a≥－lnx＋x－1，
令g(x)＝－lnx＋x－1，
则g′(x)＝－＋1＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
∵当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.
故a的取值范围是[0，＋∞)．
(2)证明　原不等式可化为x2＋ax－xlnx－a－>0(x>1，a≥0)．
令G(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，则G(1)＝0.
由(1)可知x－lnx－1>0，
则G′(x)＝x＋a－lnx－1≥x－lnx－1>0，
∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴G(x)>G(1)＝0成立，
∴x2＋ax－xlnx－a－>0成立，
即x2＋ax－a>xlnx＋成立．
4．解　(1)求导可得f′(x)＝－＋2a＝，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，
当a＝－2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递减；
当－20，f(x)单调递增；
当a<－2时，在区间(0，－)，(，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(－，)上f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)由(1)知当a∈(－3，－2)时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，
所以当x∈[1,3]时，f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋＋6a.
问题等价于：对任意的a∈(－3，－2)，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>1＋2a－(2－a)ln 3－－6a成立，即am>－4a，
因为a<0，所以m<－4，
因为a∈(－3，－2)，
所以只需m≤(－4)min，
所以实数m的取值范围为(－∞，－]．
5．证明　(1)由a>0及f′(x)＝ex－a可得，函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，
在(lna，＋∞)上单调递增，
故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，则g′(a)＝－lna，
故当a∈(0,1)时，g′(a)>0；
当a∈(1，＋∞)时，g′(a)<0，
从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，故g(a)≤0.
(2)由(1)可知，当a＝1时，总有f(x)＝ex－x－1≥0，
当且仅当x＝0时等号成立，即当x>0时，总有ex>x＋1.
于是，可得(x＋1)n＋1<(ex)n＋1＝e(n＋1)x.
令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1…
令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1对以上各式求和可得：
n＋1＋n＋1＋n＋1＋…＋n＋1＝＝＝<<1.
故对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.
第22练 利用导数研究函数零点问题
训练目标
(1)利用导数处理与函数零点有关的题型；(2)解题步骤的规范训练．
训练题型
(1)利用导数讨论零点的个数；(2)利用导数证明零点的唯一性；(3)根据零点个数借助导数求参数范围．
解题策略
(1)注重数形结合；(2)借助零点存在性定理处理零点的存在性问题；结合单调性处理零点的唯一性问题；(3)注意参变量分离.
1.设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
2．函数f(x)＝x3－kx，其中实数k为常数．
(1)当k＝4时，求函数的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝k只有一个交点，求实数k的取值范围．
3．(2017·贵阳调研)已知函数f(x)＝(a<0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
4.设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝. 已知曲线y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．
5．已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．

答案精析
1．(1)解　f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex
＝(x＋1)2ex，?x∈R，f′(x)≥0恒成立．
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)证明　∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，
∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，
∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一个零点，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上递增，
∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
2．解　(1)因为f′(x)＝x2－k，
当k＝4时，f′(x)＝x2－4，
令f′(x)＝x2－4＝0，
所以x1＝2，x2＝－2.
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
(
极大值
(
极小值
(
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－2,2)．
(2)令g(x)＝f(x)－k，由题意知，g(x)只有一个零点．
因为g′(x)＝f′(x)＝x2－k.
当k＝0时，g(x)＝x3，
所以g(x)只有一个零点0.
当k<0时，g′(x)＝x2－k>0对x∈R恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)只有一个零点．
当k>0时，令g′(x)＝f′(x)＝x2－k＝0，解得x1＝或x2＝－.
g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：

x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
(
极大值
(
极小值
(
g(x)有且仅有一个零点等价于g(－)<0，即k－k<0，解得0综上所述，k的取值范围是k<.
3．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.
由f′(x)＝0，得x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
(
极小值
(
所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－，函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.
当a<0时，F′(x)，F(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
(
极小值
(
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e2故实数a的取值范围为(－e2,0)．
4．解　(1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，
又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.
(2)当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的根．
设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
当x∈(0,1]时，h(x)<0.
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－>1－1＝0，
所以存在x0∈(1,2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以当x∈(1,2)时，h′(x)>1－>0，
当x∈[2，＋∞)时，h′(x)>0，
所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增，
所以当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．
5．解　(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－a－1.
当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－a－1)
－a－1
(－a－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
(
极小值
(
故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．
(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．
理由如下：
由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，
显然x＝0为此方程的一个实数解，
所以x＝0是函数g(x)的一个零点．
当x≠0时，方程可化简为ex－a＝x.
设函数F(x)＝ex－a－x，则F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.
当x变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，a)
a
(a，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
(
极小值
(
即F(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，a)．
所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因为a<1，
所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0，
所以对于任意x∈R，F(x)>0，
因此方程ex－a＝x无实数解．
所以当x≠0时，函数g(x)不存在零点．
综上，函数g(x)有且仅有一个零点．
第23练 定积分与微积分基本定理
训练目标
(1)定积分的概念；(2)微积分基本定理．
训练题型
(1)定积分的计算；(2)利用定积分求面积；(3)定积分的物理意义．
解题策略
(1)计算定积分的依据是微积分基本定理；(2)利用定积分求面积时可根据草图确定被积函数和积分上、下限.
一、选择题
1．(2016·安徽示范高中联考)dx等于(　　)
A．e2－2 B．e－1
C．e2 D．e＋1
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)
A.g B．g
C.g D．2g
3．(2016·江西师大附中期末)若(x－a)dx＝∫0cos 2xdx，则a等于(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)
A.|x2－1|dx B.
C.(x2－1)dx D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
5．(2016·天津蓟县期中)由直线y＝x和曲线y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)
A. B.
C．1 D．2
6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分dx的值为(　　)
A. B.
C．π D．2π
7．(2016·山西四校联考)定积分|x2－2x|dx等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
8．若函数f(x)，g(x)满足－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
9．(2016·江西高安二中段考)已知－a(sin x＋3x2)dx＝16，则正实数a的值为________．
10．(2017·德州月考)如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝________.
11．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________ J(x的单位：m；力的单位：N)．
12．(2016·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，}，那么由函数y＝f(x)的图象、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________.
答案精析
1．C　[dx＝(lnx＋x2)
＝lne－ln 1＋e2－1＝e2.]
2．C　[由题意知电视塔高为gtdt＝gt2|＝2g－g＝g.]
3．B　[∵(x－a)dx＝cos2xdx，
∴＝sin 2x，
∴－a＝，解得a＝1.故选B.]
4．A　[由曲线y＝|x2－1|的对称性，知所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，
即|x2－1|dx.]
5．B　[∵曲线y＝x3和曲线y＝x的交点为A(1,1)、原点O和B(－1，－1)，
∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积
S＝2(x－x3)dx＝2＝2＝.故选B.]
6．A　[∵y＝，∴(x－1)2＋y2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，
∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，
∴定积分dx＝，故选A.]
7．D　[|x2－2x|＝
|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx
＝＋＝8.]
8．C　[①f(x)g(x)dx＝sinxcosxdx
＝sinxdx＝(－cosx)＝0，
故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；
②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝(－x)＝－≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；
③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝x3dx＝＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．
综上，满足条件的共有两组．]
9．2
解析　根据题意可得(sinx＋3x2)dx＝(－cosx＋x3)＝2a3＝16，
解得a＝2.
10.
解析　∵点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，∴y0＝x，
则△OAP的面积S＝|OA||x0|＝×x0＝x0，
阴影部分的面积为
dx＝x3＝x，
∵阴影部分面积与△OAP的面积相等，
∴x＝x0，即x＝，
又x0>0，∴x0＝＝.
11．342
解析　变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为
W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J)．
12.
解析　如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积
S＝
第24练 导数
训练目标
(1)利用导数研究函数的常见题型；(2)解题步骤的规范训练．
训练题型
(1)利用导数求切线问题；(2)导数与单调性；(3)导数与极值、最值．
解题策略
(1)求曲线切线的关键是确定切点；(2)讨论函数的单调性、极值、最值可通过研究导数的符号用列表法解决；(3)证明不等式、不等式恒成立或有解、函数零点问题都可以转化为函数极值、最值问题.
一、选择题
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
2．(2016·新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是(　　)
A. B．(1,2)
C. D．(2,3)
3．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)
4．(2016·福建“四地六校”联考)已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B.
C. D．(0,3)
5．(2017·沈阳质检)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝ln·f(ln)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a二、填空题
6．函数y＝的极小值为________．
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．
8．对任意实数x均有e2x－(a－3)ex＋4－3a>0，则实数a的取值范围为________．
9．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为________________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ln.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)>2；
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值．

答案精析
1．B　[∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝[x3＋2xf(x)dx]＝＋2f(x)dx，
∴f(x)dx＝-.]
2．C　[由函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，得0从而－2因为g(x)＝ln x＋f′(x)在其定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a<0，
g(1)＝ln 1＋2＋a＝2＋a>0，
所以函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是.故选C.]
3．A　[因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sin x，
其为奇函数，且f′<0.故选A.]
4．B　[f(x)＝x3－x2＋ax－1的导数为f′(x)＝2x2－2x＋a.由题意可得2x2－2x＋a＝3，
即2x2－2x＋a－3＝0有两个不相等的正实数根，
则Δ＝4－8(a－3)>0，x1＋x2＝1>0，x1x2＝(a－3)>0，解得35．A　[设h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋xf′(x)．
∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴h(x)是定义在R上的偶函数．
当x>0时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵a＝f＝h，
b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，
c＝ln·f＝h＝h(－ln 2)＝h(ln 2)．
又∵2>ln 2>，∴b>c>a.故选A.]
6．0
解析　函数的定义域为(0，＋∞)．
令y＝f(x)，f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝e2.
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e2)
e2
(e2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
(
0
(
(
故当x＝1时，函数y＝取到极小值0.
7．30
解析　由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，
设该商品的毛利润为L(p)，则
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0.
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
8．(－∞，]
解析　e2x－(a－3)ex＋4－3a>0?(ex＋3)a令t＝ex，则a0)，
令h(t)＝＝t＋(t>0)，
h′(t)＝1－，
因为t>0，所以h′(t)>0，
即当t>0时，h(t)>h(0)＝，
所以a≤，
即实数a的取值范围为(－∞，]．
9.∪
解析　由y＝(2x－x2)ex(x≤0)求导，得y′＝(2－x2)ex，故y＝(2x－x2)ex(x≤0)在(－，0]上单调递增，在(－∞，－)上单调递减，且当x<0时，恒有y＝(2x－x2)ex<0.
又y＝－x2＋4x＋3(x>0)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以可作出函数y＝f(x)的图象，如图．
由图可知，要使函数g(x)恰有两个不同的零点，需－2k＝0或－2k＝或3<－2k<7，即实数k的取值范围为∪.
10．(1)解　因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，
所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2.
又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)证明　令g(x)＝f(x)－2，
则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝.
因为g′(x)>0(0所以g(x)在区间(0,1)上单调递增．
所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0,1)，
即当x∈(0,1)时，f(x)>2.
(3)解　由(2)知，当k≤2时，f(x)>k对x∈(0,1)恒成立．
当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，
则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝.
所以当0因此h(x)在区间上单调递减．
当0即f(x)所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立．
综上可知，k的最大值为2.
第25练 高考大题突破练——导数
训练目标
(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破．
训练题型
(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围．
解题策略
(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.
1.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．
2．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－lnx.
(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；
(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．
3．已知函数f(x)＝(x＋1)e－x(e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．
4.(2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．
5．已知函数f(x)＝xlnx和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．
(1)m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；
(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求m的取值范围；
(3)求证：＋＋…＋>ln(2n＋1) (n∈N*)．
答案精析
1．(1)证明　f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增．
(2)解　由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是
即①
设函数g(t)＝et－t－e＋1，
则g′(t)＝et－1.
当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0.
故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故当t∈[－1,1]时，g(t)≤0.
当m∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；
当m>1时，g(m)>0，即em－m>e－1；
当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.
综上，m的取值范围是[－1,1]．
2．解　(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)＝0，f′(x0)＝0，
即解得x0＝，a＝－.
因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－lnx<0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，
故h(x)在(1，＋∞)上无零点．
当x＝1时，若a≥－，则f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，
故1是h(x)的一个零点；若a<－，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，
故1不是h(x)的零点．
当x∈(0,1)时，g(x)＝－lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数．
(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调．而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0,1)上没有零点．
(ⅱ)若－3①若f( )>0，即－②若f( )＝0，即a＝－，
则f(x)在(0,1)上有唯一零点；
③若f( )<0，即－3所以当－综上，当a>－或a<－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝－时，h(x)有两个零点；当－3．解　(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，
∴当x<0时，f′(x)>0；
当x>0时，f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，
在(0，＋∞)上单调递减．
(2)假设存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，
∴φ′(x)＝＝－.
对于x∈[0,1]，
①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，
∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1.
②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，
∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0.
③当0则φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减；
若x∈(t,1]，则φ′(x)>0，φ(x)在(t,1]上单调递增，
∴2φ(t)即2·由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，
故≤2·≤2，而≤≤，
∴不等式(*)无解．
综上所述，t的取值范围为
(－∞，3－2e)∪.
4．(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a－－＋＝.
当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
当a>0时，f′(x)＝.
①当01，
当x∈(0,1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
②当a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．
③当a>2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；
当0在内单调递增；
当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；
当a>2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
(2)证明　由(1)知，a＝1时，
f(x)－f′(x)＝x－lnx＋－
＝x－lnx＋＋－－1，x∈[1,2]．
设g(x)＝x－lnx，h(x)＝＋－－1，x∈[1,2]，则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)．
由g′(x)＝≥0，
可得g(x)≥g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得等号．又h′(x)＝，
设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在x∈[1,2]上单调递减．
因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，
所以?x0∈(1,2)，使得x∈(1，x0)时，φ(x)>0，x∈(x0,2)时，φ(x)<0.
所以h(x)在(1，x0)内单调递增，
在(x0,2)内单调递减．
由h(1)＝1，h(2)＝，可得h(x)≥h(2)＝，
当且仅当x＝2时取得等号．
所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝，
即f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．
5．(1)解　m＝1时，f(x)＝g(x)，即xlnx＝x2－1，
而x>0，所以方程即为lnx－x＋＝0.
令h(x)＝lnx－x＋，
则h′(x)＝－1－＝
＝<0，
而h(1)＝0，故方程f(x)＝g(x)有唯一的实根x＝1.
(2)解　对于任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，
即?x∈(1，＋∞)，f(x)设F(x)＝lnx－m(x－)，即?x∈(1，＋∞)，F(x)<0，
F′(x)＝－m(1＋)＝.
①若m≤0，则F′(x)>0，F(x)>F(1)＝0，这与题设F(x)<0矛盾．
②若m>0，方程－mx2＋x－m＝0的判别式Δ＝1－4m2，
当Δ≤0，即m≥时，F′(x)≤0，
∴F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴F(x)当Δ>0，即0∴方程有两个正实根且0当x∈(1，x2)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，F(x)>F(1)＝0与题设矛盾．
综上所述，实数m的取值范围是.
(3)证明　由(2)知，当x>1时，m＝时，lnx<(x－)成立．
不妨令x＝>1(k∈N*)，
∴ln<＝，
ln(2k＋1)－ln(2k－1)<(k∈N*)，
累加可得＋＋…＋>ln(2n＋1)(n∈N*)．
第26练 同角三角函数关系式和诱导公式
训练目标
(1)同角三角函数基本关系式的应用；
(2)诱导公式的应用．
训练题型
(1)利用公式进行三角函数式的求值；
(2)化简三角函数式．
解题策略
(1)寻找角和式子之间的联系，结合公式转化；(2)诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
一、选择题
1．(2016·鹤岗期末)已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－4
2．(2016·黑龙江哈三十二中期中)已知α是第二象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A. B．－
C. D．－
3．(2017·铜川月考)化简的结果是(　　)
A．sin 3－cos 3 B．cos 3－sin 3
C．±(sin 3－cos 3) D．以上都不对
4．(2016·安徽太和中学月考)已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
5．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
6．若sin x·cosx＝且A．± B.
C．－ D．±
7．(2016·宜昌测试)已知A＝＋(k∈Z)，则A构成的集合是(　　)
A．{－1,1，－2,2} B．{1，－1}
C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2}
8．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
二、填空题
9．(2016·安庆期中)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝________.
10．(2016·大理模拟)已知α为第二象限角，则cosα·＋sin α＝________.
11．若cos＝，则cos－sin2＝____________.
12．化简：sin·cos(k∈Z)＝____________.

答案精析
1．A　[∵点P在角α的终边上，
则tan α＝3，
∴＝
＝＝－，故选A.]
2．C　[∵tan α＝＝－，
∴cosα＝－sin α.
∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.
又α是第二象限角，∴sin α>0，
∴sin α＝，故选C.]
3．A　[因为sin(π－3)＝sin 3，cos(π＋3)＝－cos 3，
所以原式＝＝＝|sin 3－cos 3|.
又因为<3<π，
所以sin 3>0，cos 3<0，
所以原式＝sin 3－cos 3.]
4．C　[由－α＝π－，
知sin＝sin＝sin＝.]
5．C　[∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝，
又0b>a.]
6．C　[∵∴(cosx－sin x)2＝1－2sin xcosx＝1－2×＝，
∴cosx－sin x＝－.故选C.]
7．C　[当k为偶数时，sin(kπ＋α)＝sin α，cos(kπ＋α)＝cosα，原式的值为2；当k为奇数时，sin(kπ＋α)＝－sin α，cos(kπ＋α)＝－cosα，原式的值为－2.故选C.]
8．B　[∵tan α＝，则sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α
＝＝＝＝－.]
9.
解析　∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，可得tan θ＝3.
∴＝＝＝＝.
10．0
解析　原式＝
cosα＋sin α
＝cosα＋sin α
＝cosα·＋sin α·＝0.
11．－
解析　因为cos＝cos＝－cos＝－，
sin2＝2
＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
12.
解析　当k为奇数时，
原式＝sin ·
＝sin(π－)·
＝sin ·cos＝×＝.
当k为偶数时，
原式＝sin ·cos
＝sin·cos
＝sin ·
＝×＝－.
第27练 三角函数的图象与性质
训练目标
(1)三角函数图象的简图；(2)三角函数的性质；(3)数形结合思想和整体代换思想．
训练题型
(1)求三角函数的定义域和值域；(2)求三角函数的周期性和对称性；(3)求三角函数的单调性．
解题策略
求定义域可借助三角函数线或三角函数的图象求解；(2)求值域注意利用
sin x、cosx的值域；(3)求单调性注意整体代换.
一、选择题
1．(2016·韶关调研)函数y＝1－2sin2是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
2．(2016·三明月考)y＝cos(－π≤x≤π)的值域为(　　)
A. B．[－1,1]
C. D.
3．(2017·临川月考)若f(x)＝tan，则(　　)
A．f(0)>f(－1)>f(1) B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(1)>f(0)>f(－1) D．f(－1)>f(0)>f(1)
4．已知函数f(x)＝3cos(2x－)，则下列结论正确的是(　　)
A．导函数为f′(x)＝－3sin(2x－)
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数f(x)在区间(－，)上是增函数
D．函数f(x)的图象可由函数y＝3cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称且f()＝1，f(x)在区间[－，－]上单调，则ω可取数值的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin |x|
7．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x关于点(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0等于(　　)
A. B.
C. D.
8．函数y＝sin(－x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)
A．[－，] B．[－2π，－]
C．[，2π] D．[－2π，－]和[，2π]
二、填空题
9．比较大小：sin________sin.
10．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
11．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．
12．函数y＝sin2x＋2cos x在区间上的最小值为－，则θ的取值范围是____________.

答案精析
1．A　[y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，
所以f(x)是最小正周期为π的奇函数，故选A.]
2．C　[由－π≤x≤π，可知－≤≤，－≤－≤，函数y＝cosx在区间内单调递增，在区间内单调递减，且cos＝－，cos＝，cos 0＝1，因此所求值域为，故选C.]
3．A　[由－因此f(0)>f(－1)，又函数f(x)＝tan的周期为π，因此f(1)＝f(1－π)，又1－π<－1<0，知f(1)4．B　[对于A，函数f′(x)＝－3sin(2x－)·2＝－6sin(2x－)，A错误；
对于B，当x＝时，f()＝3cos(2×－)＝－3取得最小值，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，B正确；
对于C，当x∈(－，)时，2x－∈(－，)，函数f(x)＝3cos(2x－)不是单调函数，C错误；
对于D，函数y＝3cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3cos[2(x－)]＝3cos(2x－)的图象，这不是函数f(x)的图象，D错误．故选B.]
5．B　[由题设可知ω＋φ＝＋2kπ，ω＋φ＝＋2mπ，k，m∈Z，或ω＋φ＝＋2kπ，
ω＋φ＝＋2mπ，k，m∈Z，由此可得ω＝或ω＝，解得ω＝2或ω＝6，经验证均符合题意，故应选B.]
6．B　[注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②.]
7．C　[由题意可知f(x)＝2sin，其对称中心为(x0,0)，故2x0＋＝kπ(k∈Z)，
∴x0＝－＋(k∈Z)，又x0∈，∴k＝1，x0＝，故选C.]
8．D　[由题意得y＝－sin(x－)，要求其单调递增区间，则＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.当k＝0时，递增区间为[，]；当k＝－1时，递增区间为[－，－]．因为x∈[－2π，2π]，所以递增区间为[－2π，－]和[，2π]，故选D.]
9．>
解析　因为y＝sin x在上为增函数，且－>－，
所以sin>sin.
10.(k∈Z)
解析　由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是(k∈Z)．
11．[－1,1]　
解析　∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，∴0≤sin≤1，
∴－1≤2sin－1≤1，即值域为[－1,1]，且当sin＝1，即x＝时，y取最大值．
12.
解析　由题意知y＝sin2x＋2cos x＝－cos2x＋2cos x＋1，设t＝cosx，
则函数y＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，
令－(t－1)2＋2＝－，解得t＝－或t＝，
∵cosx≤1，∴t＝－，即cosx＝－，则要使函数y在上的最小值为－，
则需cosθ≥－，根据余弦函数的图象可知θ∈.
第28练 函数y=Asin（ωx＋φ）的图象与性质
训练目标
(1)三角函数图象的简图；(2)三角函数图象的变换．
训练题型
(1)“五点法”作简图；(2)已知函数图象求解析式；(3)三角函数图象变换；(4)三角函数图象的应用．
解题策略
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的基本画法“五点法”作图；(2)求函数解析式时φ可采用“代点法”；(3)三角函数图象每一次变换只针对“x”而言；(4)利用图象可解决方程解的个数、不等式问题等.
一、选择题
1．已知f(x)＝sin 2x＋cos 2x，在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是(　　)
A．0，，π，，2π
B．－，0，，，π
C．－，－，，，，
D．－，0，，π，，
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x＋)
C．f(x)＝2sin(2x＋) D．f(x)＝2sin(2x＋)
3．已知f(x)＝cos(ω>0)的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sin ωx的图象(　　)
A．向左平移π个单位 B．向右平移π个单位
C．向左平移π个单位 D．向右平移π个单位
4．(2016·长春三调)函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
5.(2016·南阳期中)如图所示，M，N是函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN的面积最大时·＝0，则ω等于(　　)
A. B.
C. D．8
6.(2017·郑州质检)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(1,0)，∠PQR＝，M(2，－2)为线段QR的中点，则A的值为(　　)
A．2 B.
C. D．4
7．(2016·开封第一次摸底)已知函数f(x)＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ(x∈R)，其中φ为实数，且f(x)≤f对任意实数R恒成立，记p＝f，q＝f，r＝f，则p、q、r的大小关系是(　　)
A．rC．p二、填空题
8．(2016·辽源联考)若0≤x≤π，则函数y＝sin·cos的单调递增区间为__________．
9．(2016·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
10．关于x的方程sin 2x＋cos 2x＝k＋1在内有两相异实根，则k的取值范围是__________．
11．(2016·皖北协作区联考)已知函数f(x)＝sin x＋cosx，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)
①f(x)的最大值为2；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)在区间上单调递增；④若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝；⑤f(x)的图象与g(x)＝2sin的图象关于x轴对称.

答案精析
1．C　[f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝－，0，，π，，时，x的值分别为－，－，，，，，故选C.]
2．D　[当x＝0时，f(x)＝1，代入验证，排除A，B，C选项，故选D.]
3．A　[由题意得ω＝2，所以y＝cos＝sin＝sin 2，只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位即可得到函数y＝cos的图象．]
4．A　[函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位得
y＝sin＝sin的图象．
又其为奇函数，则＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－.
又|φ|<，令k＝0，得φ＝－，
∴f(x)＝sin.
又∵x∈，
∴sin∈，
即当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.]
5．A　[由图象可知，当P位于M、N之间函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)图象的最高点时，△MPN的面积最大．又此时·＝0，∴△MPN为等腰直角三角形，
过P作PQ⊥x轴于Q，∴PQ＝2，
则MN＝2PQ＝4，∴周期T＝2MN＝8.
∴ω＝＝＝.故选A.]
6．C　[依题意得，点Q的横坐标是4，R的纵坐标是－4，T＝＝2PQ＝6，ω＝，
Asinφ＝－4，f＝Asin＝A>0，
即sin＝1.又|φ|≤，≤＋φ≤，因此＋φ＝，φ＝－，Asin＝－4，A＝.]
7．C　[f(x)＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ＝sin(2x＋φ)，
∴f(x)的最小正周期T＝π.
∵f(x)≤f，∴f是最大值．
∴f(x)＝sin，
∴p＝sin ，q＝sin ，r＝sin ，
∴p8.
解析　y＝sincos＝·(－sin x)＝－sin－，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又0≤x≤π，则函数的单调递增区间为.
9．8
解析　由图象知ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.
10．[0,1)
解析　sin 2x＋cos 2x＝2sin，x∈，
令t＝2x＋∈，
作出函数y＝2sin t，t∈和y＝k＋1的大致图象如图所示，
由图象易知当1≤k＋1<2，即0≤k<1时，方程有两相异实根．
11．①③④⑤
解析　f(x)＝sin x＋cosx＝2＝2sin，
所以①正确；
因为将x＝－代入f(x)，
得f＝2sin(－＋)＝1≠0，所以②不正确；
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以f(x)在区间上单调递增，所以③正确；
若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f(x)＝2sin及y＝m的图象可知，必有x＝0，x＝2π，此时f(x)＝2sin＝，另一解为x＝，即x1，x2，x3满足x1＋x2＋x3＝，所以④正确；
因为f(x)＝2sin＝2sin＝－2sin＝－g(x)，
所以⑤正确．
第29练 正弦定理、余弦定理
训练目标
(1)正弦定理、余弦定理；(2)解三角形．
训练题型
(1)正弦定理、余弦定理及其应用；(2)三角形面积；(3)三角形形状判断；(4)解三角形的综合应用．
解题策略
(1)解三角形时可利用正弦、余弦定理列方程(组)；(2)对已知两边和其中一边的对角解三角形时要根据图形和“大边对大角”判断解的情况；(3)判断三角形形状可通过三角变换或因式分解寻求边角关系.
一、选择题
1．(2016·隆化期中)在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cosC等于(　　)
A. B．－
C．－ D．－
2．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为(　　)
A.(米/秒) B.(米/秒)
C.(米/秒) D.(米/秒)
3．(2016·安庆检测)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－c2＝bc，sin B＝2sin C，则A等于(　　)
A.π B.π
C. D.
4．(2017·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C等于(　　)
A. B.
C. D.或
5．(2016·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)
A．(，) B．(1，)
C．(，2) D．(0,2)
6．(2016·东营期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则B等于(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
7．(2016·山西大学附中期中)已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，其中a、b、c、A、B、C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y，使得＝x＋y，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．△ABC中，A、B、C是其内角，若sin 2A＋sin(A－C)－sin B＝0，则△ABC的形状是__________________．
10．(2016·惠州二调)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且∠C＝60°，c＝，则＝________.
11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.
12．(2016·吉安期中)在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝4，则△ADC的面积的最大值为________.

答案精析
1．D　[由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，由余弦定理可得cosC＝＝＝－.]
2．A　[由条件得△ABD中，∠DAB＝45°，∠ABD＝105°，∠ADB＝30°，AB＝10，由正弦定理得BD＝·AB＝20，则在Rt△BCD中，CD＝20×sin 60°＝30，所以速度v＝＝(米/秒)，故选A.]
3．D　[已知sin B＝2sin C，利用正弦定理化简得b＝2c，代入a2－c2＝bc，
得a2－c2＝6c2，即a＝c，∴cosA＝＝＝.
∵A为三角形内角，∴A＝，故选D.]
4．B　[在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，所以c＝(－1)b所以cosC＝＝，所以C＝.]
5．A　[∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A，
∴sin B＝2sin AcosA，∴b＝2acos A，
又∵a＝1，∴b＝2cos A.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0即0∴∴<2cos A<，∴b∈(，)．]
6．C　[由正弦定理可知acosB＋bcosA＝2Rsin AcosB＋2Rsin BcosA＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝2Rsin C·sinC，∴sin C＝1，C＝90°.∴S＝ab＝(b2＋c2－a2)，解得a＝b，因此B＝45°.
故选C.]
7．B　[∵m＝与n＝共线，∴acos＝bcos，
由正弦定理，得sin Acos＝sin Bcos，
∵sin A＝2sin cos，sin B＝2sin cos，
∴2sin coscos＝2sin coscos，
化简，得sin ＝sin .
又0<<，0<<，
∴＝，可得A＝B.
同理，由n＝与p＝共线得到B＝C，
∴A＝B＝C，可得△ABC是等边三角形．]
8．A　[设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC.
因为＝x＋y，所以＝x＋2y.
又x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，
即点B在线段AC的中垂线上，则AB＝BC＝3.
在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝.故选A.]
9．等腰或直角三角形
解析　因为sin 2A＋sin(A－C)－sin B
＝sin 2A＋sin(A－C)－sin(A＋C)
＝2sin AcosA－2sin CcosA
＝2cos A(sin A－sin C)＝0，
所以cosA＝0或sin A＝sin C，
所以A＝或A＝C.
故△ABC为等腰或直角三角形．
10．4
解析　由正弦定理知＝＝2，所以a＝2sin A，
代入得原式＝＝4·＝4.
11．30
解析　依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，
在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30.
12．4
解析　在△ACD中，cos∠ADC＝＝＝－，
整理得AD2＋DC2＝48－AD·DC≥2AD·DC，
∴AD·DC≤16，当且仅当AD＝CD时等号成立，
∴△ADC的面积S＝AD·DC·
sin∠ADC＝AD·DC≤4.
第2练 命题及充要条件
训练目标
(1)命题的概念；(2)充要条件及应用．
训练题型
(1)命题的真假判断；(2)四种命题的关系；(3)充要条件的判断；(4)根据命题的真假和充要条件求参数范围．
解题策略
(1)可以利用互为逆否命题的等价性判断命题真假；(2)涉及参数范围的充要条件问题，常利用集合的包含、相等关系解决.
一、选择题
1．(2016·衡阳五校联考)命题“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”的逆命题是(　　)
A．若xC．若x<2ab，则x2．下列结论错误的是(　　)
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题是“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
C．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
3．(2016·淄博期中)“x(x－5)<0成立”是“|x－1|<4成立”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0相交的一个充分不必要条件是(　　)
A．－3C．05．(2016·广东阳东广雅中学期中)设p：f(x)＝x3－2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q：m>，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．以上都不对
6．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则(　　)
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
7．设命题p：≤1，命题q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0，]
C．[－2,0] D．(－2,0)
8．(2016·大庆期中)给出下列命题：
①若等比数列{an}的公比为q，则“q>1”是“an＋1>an(n∈N*)”的既不充分也不必要条件；
②“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；
③若函数y＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是－2④“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充要条件．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
10．(2017·益阳联考)命题p：“若a≥b，则a＋b>2 015且a>－b”的逆否命题是
________________________________________________________________________．
11．若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．
12．已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0成立”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．

答案精析
1．D
2．B　[逆否命题，条件、结论均否定，并交换，所以命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，故A正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，由Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－，是假命题，故B错误；x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件，故C正确；命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选B.]
3．A　[∵x(x－5)<0?0∴“x(x－5)<0成立”?“|x－1|<4成立”，反之，则不一定成立，
∴“x(x－5)<0成立”是“|x－1|<4成立”的充分而不必要条件．故选A.]
4．C　[圆方程化为(x－1)2＋y2＝2，
圆心(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离d＝，
当直线与圆相交时，<，
即－3所以05．C　[∵f(x)＝x3－2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝3x2－4x＋m，
即3x2－4x＋m≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，即m≥.
∵p：f(x)＝x3－2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上单调递增，q：m>，
∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，故选C.]
6．B　[“甲?乙”的逆否命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”显然不正确，而“乙?甲”的逆否命题为“若x＝2且y＝3，则x＋y＝5”是真命题，因此甲是乙的必要不充分条件．]
7．B　[解不等式≤1，得≤x≤1，故满足命题p的集合P＝[，1]．解不等式(x－a)[x－(a＋1)]≤0，得a≤x≤a＋1，故满足命题q的集合Q＝[a，a＋1]．又q是p的必要不充分条件，则P是Q的真子集，即a≤且a＋1≥1，解得0≤a≤，故实数a的取值范围是[0，]．]
8．B　[若首项为负，则公比q>1时，数列为递减数列，an＋1an(n∈N*)时，包含首项为正，公比q>1和首项为负，公比09．①③
解析　①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
10．若a＋b≤2 015或a≤－b，则a11．m>9
解析　方程x2－mx＋2m＝0对应二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f(3)<0，解得m>9，即方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.
12．{m|m≥1或m≤－7}
解析　由命题p中的不等式(x－m)2>3(x－m)变形，得(x－m)(x－m－3)>0，解得x>m＋3或x第30练 三角函数中的易错题
训练目标
(1)三角函数知识的深化及提高；(2)数学知识的规范应用和思维严谨性训练．
训练题型
(1)三角函数的求值与化简；(2)三角函数图象及变换；(3)三角函数性质；(4)正弦、余弦定理的应用．
解题策略
(1)三角变换中公式要准确应用，角的范围、式子的符号等要严格界定；(2)讨论性质要和图象结合，在定义域内进行；(3)解三角形问题可结合“大边对大角”，充分考虑边角条件.
一、选择题
1．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．0
2．(2016·河北衡水冀州中学月考)将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为(　　)
A．y＝2sin2x B．y＝2cos2x
C．y＝sin(2x－) D．y＝－cos 2x
3．在△ABC中，锐角A满足sin4A－cos4A≤sin A－cosA，则(　　)
A．0C.≤A≤ D.≤A≤
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝60°，若三角形有两解，则b的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(1，)
C．(1,2) D．(，2)
5．将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间[，]上单调递减
B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[－，]上单调递减
D．在区间[－，]上单调递增
二、填空题
6．已知函数f(x)＝cosx＋|cosx|，x∈(－，)，若集合A＝{x|f(x)＝k}中至少有两个元素，则实数k的取值范围是________．
7．已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α的值为________．
8．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，△ABC的面积等于，则b的取值范围为________．
9．(2017·辽宁三校联考)已知函数f(x)＝|cosx|sinx，给出下列五个说法：
①f()＝－；
②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；
③f(x)在区间[－，]上单调递增；
④函数f(x)的周期为π；
⑤f(x)的图象关于点(－，0)成中心对称．
其中正确说法的序号是________．
三、解答题
10．(2016·临沂月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,f(x)＝2sin(x－A)cosx＋sin(B＋C)(x∈R)，函数f(x)的图象关于点(，0)对称．
(1)当x∈(0，)时，求f(x)的值域；
(2)若a＝7且sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．

答案精析
1．D　[＋＝＋，
因为α的终边在直线x＋y＝0上，所以α是第二或第四象限角，sin α与cosα异号，所以原式＝0.]
2．A　[将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin 2(x－)＝sin(2x－)＝－cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为y＝－cos 2x＋1＝2sin2x，所以选A.]
3．B　[∵sin4A－cos4A＝(sin2A－cos2A)·(sin2A＋cos2A)＝sin2A－cos2A，
∴原不等式转化为：sin2A－cos2A＝(sin A－cosA)(sin A＋cosA)≤sin A－cosA，
∴(sin A－cosA)(sin A＋cosA－1)≤0.
又A∈(0，)，A＋∈(，π)，
∴sin A＋cosA＝sin(A＋)∈(1，]，
∴sin A＋cosA－1>0，
∴sin A－cosA≤0，
∴04．B　[∵△ABC中，a＝1，A＝60°，
∴由正弦定理得，＝＝＝，∴b＝sin B，B＋C＝120°.
∵三角形有两解，∴A∴60°即∴b的取值范围为(1，)．]
5．B　[将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－)的图象．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．令k＝0，得函数的一个单调递增区间为[，]，故选B.]
6．[0,2)
解析　函数化为f(x)＝
画出f(x)的图象可以看出，要使方程f(x)＝k至少有两个根，k应满足0≤k<2.
7.
解析　∵<α<π，∴π<2α<2π.
∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<，而sin(2α－β)＝>0，
∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.
又－<β<0且sin β＝－，
∴cosβ＝，
∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]
＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sin β
＝×－×＝.
又cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.
又α∈，∴sin α＝.
8．[2，)
解析　由正弦定理＝＝，
得ac＝·sin AsinC
?4＝b2sin Asin(120°－A)，
即b2＝
＝
＝
＝
＝，
因为30°所以30°<2A－30°<150°，1所以≤b2<，即4≤b2<6，
所以2≤b<.
9．①③
解析　①f()＝f(671π＋)
＝|cos(671π＋)|·sin(671π＋)＝cos(－sin)＝－，正确．
②令x1＝－，x2＝，
则|f(x1)|＝|f(x2)|，
但x1－x2＝－＝－，
不满足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，不正确．
③f(x)＝
∴f(x)在[－，]上单调递增，正确．
④f(x)的周期为2π，不正确．
⑤∵f(－π＋x)＝－|cosx|sinx，f(－x)＝－|cosx|sinx，
∴f(－π＋x)＋f(－x)≠0，
∴f(x)的图象不关于点(－，0)成中心对称，∴不正确．
综上可知，正确说法的序号是①③.
10．解　(1)∵f(x)＝2sin(x－A)cosx＋sin(B＋C)，
∴f(x)＝2(sin xcosA－cosxsinA)cosx＋sin A
＝2sinxcosxcosA－2cos2xsin A＋sin A
＝sin 2xcos A－cos 2xsin A＝sin(2x－A)．
∵函数f(x)的图象关于点(，0)对称，∴f()＝0，即sin(2×－A)＝0.
又A∈(0，π)，∴A＝.
∴f(x)＝sin(2x－)．
∵x∈(0，)，
∴2x－∈(－，)，
∴－即函数f(x)的值域为(－，1]．
(2)由正弦定理＝＝，
得sin B＋sin C＝＋，
又∵a＝7，A＝，
∴sin B＋sin C＝(b＋c)．
∵sin B＋sin C＝，∴b＋c＝13.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得49＝b2＋c2－bc，
即49＝(b＋c)2－3bc＝169－3bc，
∴bc＝40.∴S△ABC＝bcsinA＝10.
第31练 三角函数综合练
训练目标
(1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合．
训练题型
(1)讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的结合；(3)三角函数与解三角形．
解题策略
(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系.
一、选择题
1．若tan α＝2tan ，则等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
3.已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
4．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin AsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为(　　)
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
5．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
二、填空题
6．已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
7．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
8．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈，α＋β∈，则β＝________.
9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH＝________ m．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
三、解答题
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A－sin C(cosB＋sin B)＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b的值．
答案精析
1．C　[＝＝
＝＝＝＝3.]
2．C　[∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin α·cosα＋4cos2α＝.
用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.故选C.]
3．A　[因为A，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，
所以T＝4×＝π，所以ω＝2.
因为A，所以0＝sin，
所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又因为0<φ<，所以φ＝.故选A.]
4．B　[由正弦定理，得2sin AcosB＝sin C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin AcosB＝sin AcosB＋cosAsinB，
整理得sin AcosB＝cosAsinB，
∴tan A＝tan B.
又∵A，B∈(0，π)，∴A＝B.
∵sin AsinB(2－cosC)＝sin2＋，
∴sin AsinB＝sin2＋，
∴sin AsinB＝，
∴sin AsinB＝.
∵A＝B，∴sin A＝sin B＝.
∵A，B∈(0，π)，∴A＝B＝.
∵A＋B＋C＝π，∴C＝，
∴△ABC是等腰直角三角形．]
5．B　[因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，
即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，
所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]
6．1　2　1
解析　设扇形的圆心角为α，半径为r cm，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2，
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
7.　2
解析　∵x∈，∴sin x∈.
又∵y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－
2(1－sin2x)＝22＋，
∴当sin x＝时，ymin＝；
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
8.
解析　∵cosα＝，α∈，
∴sin α＝.
又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈，
∴sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sin α＝.
又∵α∈，α＋β∈，
∴β∈(0，π)，∴β＝.
9．140
解析　由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40) m．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝140(m)．
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
10．解　(1)由题意得，∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)，
∴sin BcosC＋sin CcosB－sin CcosB－sin BsinC＝0，
即sin B(cosC－sin C)＝0，
∵0又0(2)∵S△ABC＝ab×＝，∴ab＝4，
又c＝2，由余弦定理得a2＋b2－2ab×()＝4，
∴a2＋b2＝8.
则
解得a＝2，b＝2.
第32练 平面向量的线性运算及平面向量基本定理
训练目标
(1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理．
训练题型
(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用．
解题策略
(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：＋＝，－＝联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.
一、选择题
1．(2016·佛山期中)已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则点P是(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8,1)
2．(2017·深圳调研)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b且方向相同
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的值为(　　)
A．－ B.
C．－3 D．3
4．(2016·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足＋λ＋(1＋λ)＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．3
5.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　)
A．－3 B．3
C．2 D．－2
6.(2016·辽源联考)如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B．－a＋b
C．－a＋b D.a＋b
7．(2016·河北衡水中学调研)已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．(2016·南安期中)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)
A．m＋n是定值，定值为2
B．2m＋n是定值，定值为3
C.＋是定值，定值为2
D.＋是定值，定值为3
二、填空题
9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝______________.
10．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是__________．
11．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC中，·＝0，＝3，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________．
12.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是______________.

答案精析
1．B　[设P(x，y)，点M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，
可得x－3＝(－5－3)，解得x＝－1；
y＋2＝(－1＋2)，解得y＝－.∴P.故选B.]
2．B　[非零向量a、b使＝成立?a＝b?a与b共线且方向相同，故选B.]
3．A　[由a＝(1,2)，b＝(－3,2)，得ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)，得(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－.
故选A.]
4．A　[设AC、BC边的中点为E、F，则由＋λ＋(1＋λ)＝0，得＋λ＝0，
∴点O在中位线EF上．
∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝.]
5．B　[∵＝＋，＝
＝(－)＝－
＝×－＝－，
∴＝＋－＝＋.
又＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴＝×＝3.
故选B.]
6．B　[作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝，
∵＝－＝b－a，
∴＝＋＝a＋
＝a＋(b－a)
＝－a＋b，故选B.]
7．B　[为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同，而＝＋λ，∴点P在上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.]
8．D　[方法一　过点C作CE平行于MN交AB于点E.
由＝n可得＝，
∴＝＝，
由BD＝DC可得＝，
∴＝＝，
∵＝m，∴m＝，
整理可得＋＝3.
方法二　∵M，D，N三点共线，
∴＝λ＋(1－λ).
又＝m，＝n，
∴＝λm＋(1－λ)n.①
又＝，
∴－＝－，
∴＝＋.②
由①②知λm＝，(1－λ)n＝.
∴＋＝3，故选D.]
9．{(－13，－23)}
解析　P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，
Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．
则解得
此时a＝b＝(－13，－23)．
10．k＝1
解析　若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
11.
解析　＝＋＝＋(－)＝＋.
设＝x＋y(x＋y＝1)，
则＝xλ＋yμ，
则即
故λ＋2μ＝＝≥＝.
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
12．[－1,1]
解析　建立如图所示的直角坐标系，设∠PAE＝α，则

A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(cosα，sin α)(0°≤α≤90°)．
∵＝λ＋μ，
∴(cosα，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)，
∴cosα＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ，
∴λ＝(3sin α－cosα)，μ＝(cosα＋sin α)，
∴2λ－μ＝sin α－cosα＝sin(α－45°)．
∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，
∴－≤sin(α－45°)≤，
∴－1≤sin(α－45°)≤1.
∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．
第33练 平面向量的数量积
训练目标
(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．
训练题型
(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．
解题策略
(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cos θ>0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.
一、选择题
1．(2016·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
2．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·等于(　　)
A．1 B．－1
C. D．2
3．已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，若(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
5．已知向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(c－b)＝0，则|b－c|的最小值是(　　)
A．2－ B．2＋
C．1 D．2
6．(2016·太原五中模拟)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，则向量在方向上的投影为(　　)
A．6 B．－6
C．2 D．－2
7．(2016·延边期中)点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：①＋＋＝0；
②·＝·＝·；③·＝·；④(＋)·＝(＋)·＝0.则点O依次为△ABC的(　　)
A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心
8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．(2016·高安段考)已知向量a，b满足a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，则b在a方向上的投影为________．
10．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．
11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
12．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t>0)时，|x＋y|≥t恒成立，则△ABC的面积为______，在上述条件下，对于△ABC内一点P，·(＋)的最小值是________.

答案精析
1．C　[由题意，得a·(a＋b)＝0，
即a2＋a·b＝0，∴1＋cos〈a，b〉＝0，
解得cos〈a，b〉＝－.
再由〈a，b〉∈[0，π]，可得〈a，b〉＝.]
2．A　[方法一　如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，C(，1)，D(0,1)，∴＝(，1)，＝(，－1)，
则·＝2－1＝1.
方法二　记＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，
∴·＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝2－1＝1.故选A.]
3．A　[(－)·(＋)＝0?·(＋)＝0?⊥(＋)，所以△ABC是等腰三角形，故选A.]
4．D　[如图，在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.
又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.]
5．A　[由题意得，〈a，b〉＝，故如图所示建立平面直角坐标系，设a＝(1，)，b＝(3,0)，c＝(x，y)，∴(c－2a)·(c－b)＝0?(x－2)2＋y(y－2)＝0?(x－2)2＋(y－)2＝3，其几何意义为以点(2，)为圆心，为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－，故选A.]
6．B　[由＋＋＝0得，＝＋.∴DO经过边EF的中点，
∴DO⊥EF.连接OF，∵||＝||＝||＝4，
∴△DOF为等边三角形，
∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4.
∴向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝4cos 150°＝－6，故选B.]
7．C　[由三角形“五心”的定义，我们可得：①当＋＋＝0时，O为△ABC的重心；②当·＝·＝·时，O为△ABC的垂心；③当·＝·
时，O为△ABC的内心；④当(＋)·＝(＋)·＝0时，O为△ABC的外心．故选C.]
8．C　[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝λ，得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得
即点E(λ，(λ－1))．由＝μ，得(x2，y2－)＝μ(1，－)，
解得即点F(μ，(1－μ))．
又·＝(λ＋1，(λ－1))·(μ＋1，(1－μ))＝1，①
·＝(λ－1，(λ－1))·(μ－1，(1－μ))＝－，②
由①－②，得λ＋μ＝.]
9．2
解析　根据a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，求得a＝(4，－2)，b＝(1，－8)，根据投影公式可得b在a方向上的投影为＝＝2.
10．4
解析　由题意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos，
则|2a－b|＝＝
＝∈[0,4]，
所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.
11．－
解析　由于＝－＝－＋，＝－＝－，
故·＝·＝－2－2＋·
＝－×22－×22＋×2×2×cos 60°＝－.
12．1　－
解析　因为|x＋y|＝
＝≥t恒成立，则由两边平方，
得x22＋y22＋2xy·≥t2，又t＝2x＋y，
则4x2＋y2＋4xy(2cos A－1)≥0，
则Δ＝16y2(2cos A－1)2－16y2≤0，
则cos A(cos A－1)≤0，则cos A≥0，A的最大值为.
当cos A＝0时，|x＋y|＝≥(2x＋y)满足题意，所以此时S△ABC＝·AB·AC＝1；
在Rt△ABC中，取BC的中点D，连接PD，
则＋＝2，即·(＋)＝2·，
当A，P，D三点共线时，·<0，又此时AD＝BC＝，
即有2·＝－2||||≥－2×2＝－，即有最小值为－.
第34练 平面向量综合练
训练目标
(1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合．
训练题型
(1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平面向量有关的新定义问题．
解题策略
(1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.
一、选择题
1．(2016·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则·的值为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知向量a＝，b＝(sin，cos)，θ∈(0，π)，并且满足a∥b，则θ的值为(　　)
A. B.
C.π D.π
5.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点，＝，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若＝m，＝n(m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(1,0)，P是x轴上任意一点，平面上点M满足：·≥·对任意P恒成立，则点M的轨迹方程为______．
7．在△ABC中，已知·＝tan A，则当A＝时，△ABC的面积为________．
8．已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足：－[y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)＝0.则函数y＝f(x)的表达式为________________．
9．定义一种向量运算“?”：a?b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a?b＝b?a；
②λ(a?b)＝(λa)?b(λ∈R)；
③(a＋b)?c＝a?c＋b?c；
④若e是单位向量，则|a?e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
三、解答题
10．已知点C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2.
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，直线l与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤时，求k的取值范围．

答案精析
1．B　[因为2＝2＋，
所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.]
2．B　[∵D为AB的中点，则＝(＋)，
又＋＋2＝0，
∴＝－，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，
则＝4.]
3．D　[由∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝1＋4＋2×1×2×＝7，即AB＝，S△OAB＝×1×2×＝，则OD＝＝，
故·＝·(－)＝－·＝＝
＝＝×＝，故选D.]
4．B　[因为a∥b，
所以sin cos－sin·cos
＝－sin
＝(sin θ－cosθ)
＝×2sin
＝sin＝0，
所以θ－＝kπ(k∈Z)，θ＝kπ＋(k∈Z)，又θ∈(0，π)，所以θ＝，故选B.]
5．C　[＝?＝＋，
设＝x＋y，则x＋y＝1，
又＝mx＋yn，
所以mx＝，ny＝?＋＝1，
因此2m＋3n＝(2m＋3n)(＋)
＝(12＋＋)
≥(12＋2)＝，
当且仅当2m＝3n时取等号，故选C.]
6．x＝0
解析　设P(x0,0)，M(x，y)，则由·≥·可得(x－x0)(2－x0)≥x－1，x0∈R恒成立，即x－(x＋2)x0＋x＋1≥0，x0∈R恒成立，所以Δ＝(x＋2)2－4(x＋1)≤0，化简得x2≤0，
则x＝0，即x＝0为点M的轨迹方程．
7.
解析　已知A＝，
由题意得||||cos＝tan ，||||＝，
所以△ABC的面积S＝||||sin ＝××＝.
8．f(x)＝ln(x＋1)
解析　由向量共线的充要条件及－[y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)＝0可得y＋2f′(1)－ln(x＋1)＝1，即y＝1－2f′(1)＋ln(x＋1)，则y′＝f′(x)＝，
则f′(1)＝，所以y＝1－2×＋ln(x＋1)＝ln(x＋1)．
故f(x)＝ln(x＋1)．
9．①④
解析　当a，b共线时，a?b＝|a－b|＝|b－a|＝b?a，
当a，b不共线时，a?b＝a·b＝b·a＝b?a，故①是正确的；
当λ＝0，b≠0时，λ(a?b)＝0，(λa)?b＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)?c＝|a＋b－c|，a?c＋b?c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；
当e与a不共线时，|a?e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，
当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a?e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．
综上，结论一定正确的是①④.
10．解　(1)由题意知，MQ为线段AP的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为2的椭圆，设椭圆方程为＋＝1，则b＝＝1，故点Q的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋b，F(x1，y1)，H(x2，y2)，
直线l与圆x2＋y2＝1相切?＝1?b2＝k2＋1.
联立?(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0，
则Δ＝16k2b2－4(1＋2k2)×2(b2－1)＝8(2k2－b2＋1)＝8k2>0?k≠0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝＋kb＋b2
＝－＋k2＋1＝，
所以≤≤?≤k2≤?≤|k|≤?－≤k≤－或≤k≤.
所以k的取值范围为[－，－]∪[，]．
第35练 高考大题突破练——三角函数与平面向量
训练目标
(1)平面向量与三角函数解三角形的综合训练；(2)数形结合转化与化归的数学思想．
训练题型
(1)三角函数化简，求值问题；(2)三角函数图象及性质；(3)解三角形；(4)向量与三角形的综合．
解题策略
(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式或复合函数；(2)以向量为载体的综合问题，要利用向量的运算及性质进行转化，脱去向量外衣.
1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若2bcos A＝(ccosA＋acosC)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
3．(2016·贵阳第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．
4.(2016·天津一中月考)已知函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2·＝ab，c＝2，f(A)＝－，求△ABC的面积S.
5．“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱距地面1万米的P点的时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
(1)求B，C两救援中心间的距离；
(2)D救援中心与着陆点A间的距离．

答案精析
1．解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，
从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z.
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－.
(2)由(1)，得f(x)＝sin(2x－)，
所以f()＝sin(2·－)＝，即sin(α－)＝.
由<α<，得0<α－<，
所以cos(α－)＝
＝＝.
因此cos(α＋)＝sin α
＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin
＝×＋×＝.
2．解　(1)由余弦定理，得cosB＝＝＝.
因为B是三角形的内角，所以B＝.
(2)由正弦定理，得＝＝，
代入2bcos A＝(ccosA＋acosC)，
可得2sin BcosA＝(sin CcosA＋sin AcosC)，
即2sin BcosA＝sin B.
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cosA＝，
所以A＝，则C＝π－A－B＝.
设AC＝m(m>0)，则BC＝m，
所以CM＝m.
在△AMC中，由余弦定理，得
AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos，
即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)，整理得m2＝4，解得m＝2.
所以S△ABC＝CA·CBsin＝×2×2×＝.
3．解　(1)因为m∥n，
所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0.
由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理，得cosB＝＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，
由B＝，可知θ∈(0，)．
由正弦定理及AD＝，得＝＝＝2，
所以BD＝2sin θ，AB＝2sin(－θ)＝cosθ＋sin θ.
所以a＝2BD＝4sin θ，c＝AB＝cosθ＋sin θ.
从而a＋2c＝2cos θ＋6sin θ＝4sin(θ＋)．
由θ∈(0，)，可知θ＋∈(，)，
所以当θ＋＝，即θ＝时，a＋2c取得最大值4.
此时a＝2，c＝，
所以S△ABC＝acsinB＝.
4．解　(1)∵函数f(x)＝cos＋sin2x＝cos 2x－sin 2x＋＝－sin 2x，
∴最小正周期T＝＝π，
值域为.
(2)∵2·＝ab，
∴2ab·cos(π－C)＝ab，cosC＝－，∴C＝.
又f(A)＝－，
∴－sin 2A＝－，sin 2A＝，
∴A＝，∴B＝.
由正弦定理，得＝＝，
即＝＝，解得a＝－，b＝2.
∴S＝ab·sinC＝－1.
5．解　(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，
则△PAC，△PAB均为直角三角形，
在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，
解得AC＝，
在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，
解得AB＝，又∠CAB＝90°，
BC＝＝万米．
(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－，
又∠CAD＝30°，
所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，
在△ADC中，由正弦定理，得＝，AD＝＝万米．
第36练 等差数列
训练目标
(1)等差数列的概念；(2)等差数列的通项公式和前n项和公式；(3)等差数列的性质．
训练题型
(1)等差数列基本量的运算；(2)等差数列性质的应用；(3)等差数列的前n项和及其最值．
解题策略
(1)等差数列中的五个基本量知三求二；(2)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(3)等差数列前n项和Sn的最值求法：找正负转折项或根据二次函数的性质.
一、选择题
1．(2016·遵义联考一)已知数列{an}是公差为d的等差数列，a2＝2，a1·a2·a3＝6，则d等于(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．2
2．(2016·辽宁师大附中期中)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　)
A．20 B．22
C．24 D．28
3．(2016·辽宁沈阳二中期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＝9a3，则等于(　　)
A．9 B．5
C. D.
4．已知{an}满足a1＝a2＝1，－＝1，则a6－a5的值为(　　)
A．48 B．96
C．120 D．130
5．(2016·东营期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
6．(2017·邯郸月考)等差数列{an}的前n项和记为Sn，三个不同的点A，B，C在直线l上，点O在直线l外，且满足＝a2＋(a7＋a12)，那么S13的值为(　　)
A. B.
C. D.
7．(2016·四川眉山中学期中改编)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 017的值等于(　　)
A．2 016 B．－2 016
C．2 017 D．－2 017
8．(2016·云南玉溪一中月考)已知函数f(x)＝把函数g(x)＝f(x)－x＋1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和为Sn，则S10等于(　　)
A．45 B．55
C．210－1 D．29－1
二、填空题
9．(2016·铁岭模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________________.
10．(2016·安庆一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
11．(2016·山东临沂一中期中)设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．
12．在圆x2＋y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈，那么n的取值集合为________.

答案精析
C　[因为{an}是公差为d的等差数列，由a1·a2·a3＝6，得(a2－d)·a2·(a2＋d)＝6，
则2(2－d)(2＋d)＝6，解得d＝±1，故选C.]
C　[由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，
解得a8＝24，且a8＋a12＝2a10，则2a10－a12＝a8＝24.故选C.]
3．A　[∵等差数列{an}中，a7＝9a3.
∴a1＋6d＝9(a1＋2d)，∴a1＝－d，
∴＝＝9，故选A.]
4．B　[由－＝1可知是等差数列，公差为1，首项为＝1，∴＝n，累乘得an＝(n－1)(n－2)×…×3×2×1(n≥2)，∴a6－a5＝120－24＝96.]
5．A　[设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，所以Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以当n＝6时，Sn取最小值．故选A.]
6．D　[由三个不同的点A，B，C在直线l上，点O在直线l外，且满足＝a2＋(a7＋a12)，得a2＋a7＋a12＝1.因为{an}为等差数列，所以由等差中项公式，得3a7＝1，a7＝，所以S13＝13a7＝.故选D.]
7．C　[设等差数列前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，∴成等差数列．
∵＝＝－2 015，
∴是以－2 015为首项，以1为公差的等差数列．
∴＝－2 015＋2 016×1＝1，
∴S2 017＝2 017.故选C.]
8．A　[当x≤0时，g(x)＝f(x)－x＋1＝x，故a1＝0；
当0则f(x)＝f(x－1)＋1＝2(x－1)－1＋1＝2x－2，
g(x)＝f(x)－x＋1＝x－1，故a2＝1；
当1则f(x)＝f(x－1)＋1＝2(x－1)－2＋1＝2x－3，
g(x)＝f(x)－x＋1＝x－2，故a3＝2；
当2则f(x)＝f(x－1)＋1＝2(x－1)－3＋1＝2x－4，
g(x)＝f(x)－x＋1＝x－3，故a4＝3，…，以此类推，
当n故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列．
故S10＝＝45，故选A.]
9.
解析　由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2，
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
∴当n≤3时，an<0；
当n≥4时，an>0，
∴Tn＝
10.
解析　设S3＝m，∵＝，
∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，∴S6＝3m，S12＝10m，∴＝.
11．3
解析　∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝，
∴由倒序相加求和法可知f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3.
12．{4,5,6}
解析　由已知2＋y2＝，
圆心为，半径为，得
a1＝2×＝2×2＝4，
an＝2×＝5，
由an＝a1＋(n－1)d?n＝＋1＝＋1＝＋1，
又所以4≤n<7，
则n的取值集合为{4,5,6}．
第37练 等比数列
训练目标
(1)等比数列的概念；(2)等比数列的通项公式和前n项和公式；(3)等比数列的性质．
训练题型
(1)等比数列基本量的运算；(2)等比数列性质的应用；(3)等比数列前n项和及其应用．
解题策略
(1)等比数列的五个量a1，n，q，an，Sn中知三求二；(2)等比数列前n项和公式要分q＝1和q≠1讨论；(3)等比数列中的项不能含0，在解题中不能忽略.
一、选择题
1．(2016·肇庆二统)在等比数列{an}中，已知a6a13＝，则a6a7a8a9a10a11a12a13等于(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
2．(2016·北京昌平区期末)在等比数列{an}中，a1＝1，则“a2＝4”是“a3＝16”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2016·安庆一模)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)
A．7 B．5
C．－5 D．－7
4．等比数列{an}中，a3＝1，q>0，满足2an＋2－an＋1＝6an，则S5的值为(　　)
A．31 B．121
C. D.
5．(2016·河北衡水中学四调)在正数组成的等比数列{an}中，若a1a20＝100，则a7＋a14的最小值为(　　)
A．20 B．25
C．50 D．不存在
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 015等于(　　)
A．22 015－1 B．21 009－3
C．3×21 007－3 D．21 008－3
7．已知{an}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n－1}是等比数列；②{an＋an＋1}是等比数列；③{an·an＋1}是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．(2016·邯郸模拟)已知函数y＝的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．(2016·聊城期中)在等比数列{an}中，a1＝9，a5＝4，则a3＝________.
10．(2016·衡阳期中)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
11．(2016·南平期中)已知等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a2a5＝32，公比q>1，则S5＝________.
12．(2017·兰州调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为______.

答案精析
1．A　[由等比数列的性质可得a6a13＝a7a12＝a8a11＝a9a10＝，a6a7a8a9a10a11a12a13＝()4＝4，故选A.]
2．A　[在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝4，则a3＝16成立，反过来若a1＝1，a3＝16，
则a2＝±4，故不成立，所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．]
3．D　[由a4＋a7＝2且a5a6＝－8可得a5a6＝a4a7＝－8?a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝＝－，此时a1＝＝－8，a10＝a7q3＝－2×＝1，
∴a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，q3＝＝－2，此时a1＝＝1，a10＝a7q3＝4×(－2)＝－8，∴a1＋a10＝－7.]
4．C　[∵等比数列{an}中，a3＝1，q>0，∴a1q2＝1，
∵2an＋2－an＋1＝6an，令n＝1，
则2a3－a2＝6a1，可得2q2－q－6＝0，
解得q＝2，q＝－(舍去)，
∵a1q2＝1，∴a1＝，
∴S5＝＝，故选C.]
5．A　[∵{an}为正数组成的等比数列，a1a20＝100，
∴a1a20＝a7a14＝100，
∴a7＋a14≥2＝2＝20，
当且仅当a7＝a14时，a7＋a14取最小值20.故选A.]
6．B　[设a1＝1，an＋1·an＝2n，∴a2＝2，
∴当n≥2时，an·an－1＝2n－1，
∴＝＝2，
∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴S2 015＝＋＝21 009－3，故选B.]
7．C　[由{an}是等比数列可得＝q(q是定值)，＝q3是定值，故①正确；＝q是定值，故②正确；＝q2是定值，故③正确；不一定为常数，故④错误，故选C.]
8．B　[由题可知数列各项均为正数，不妨设等比数列为递增数列，则首项的最小值为半圆(x－5)2＋y2＝16(y≥0)上的点到原点的最小距离，易知最小距离为圆心到原点的距离减半径，即(a1)min＝5－4＝1，同理第三项的最大值为(a3)max＝5＋4＝9，故等比数列的公比最大满足q＝＝9，∴qmax＝3<，因此只有B项不满足条件，故选B.]
9．6
解析　因为在等比数列{an}中，a1＝9，a5＝4，又a3>0，所以a3＝＝6.
10．5
解析　log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2a1a2a3a4a5＝log2a＝5log2a3.又正项等比数列{an}中，a1a5＝4，所以a3＝2.故5log2a3＝5log22＝5.
11．31
解析　∵a1＋a6＝33，a2a5＝32，公比q>1，∴
解得a1＝1，q＝2，则S5＝＝31.
12．54
解析　设等比数列{an}的公比为q，由2a4＋a3－2a2－a1＝8，得(2a2＋a1)·q2－(2a2＋a1)＝8，∴(2a2＋a1)(q2－1)＝8，显然q2>1,2a8＋a7＝(2a2＋a1)q6＝，令t＝q2，则2a8＋a7＝，设函数f(t)＝(t>1)，f′(t)＝，易知当t∈时，f(t)为减函数，当t∈时，f(t)为增函数，∴f(t)的最小值为f＝54，故2a8＋a7的最小值为54.
第38练 数列的通项
训练目标
(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用．
训练题型
(1)由数列的递推公式求数列的通项；
(2)由数列的前n项和求通项．
解题策略
求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n B．an＝
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an等于(　　)
A．(－2)n－1＋1 B．2n－1＋1
C．(－2)n－1 D．(－2)n＋1－1
4．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是(　　)
A．若?n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若?n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
5．(2016·宝鸡二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an等于(　　)
A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(2n＋1)2－1
二、填空题
6．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 015＝________.
7．定义：称为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”，若正项数列{cn}的前n项的“平均倒数”为，则数列{cn}的通项公式cn＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝
n＝2,3,4，…，设bn＝a＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项公式是________．
9．数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在实数λ，使得数列为等差数列，则λ＝________.
三、解答题
10．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.
(1)若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；
(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

答案精析
1．A　[因为an＋1＝an＋ln，
所以an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn.
又a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln 1＝2＋lnn．]
2．B　[由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝故选B.]
3．A　[an＋1＝－2an＋3，
即为an＋1－1＝－2(an－1)，又a1－1＝1，
所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，
故an－1＝(－2)n－1，
即an＝(－2)n－1＋1.故选A.]
4．A　[若cn∥bn，可得(n＋1)an＝nan＋1，＝.
即···…··＝···…··.所以an＝na1，
所以数列{an}是等差数列．易判断当cn⊥bn时，数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，故选A.]
5．A　[当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，两式相减，得4an＝－，
即＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3，
经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)3.]
6．－
解析　由an＋1＝，
得a2＝＝－，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝0，
所以数列{an}的循环周期为3.
故a2 015＝a3×671＋2＝a2＝－.
7．4n－1
解析　由已知可得，数列{cn}的前n项和Sn＝n(2n＋1)，所以数列{cn}为等差数列，首项c1＝S1＝3，c2＝S2－S1＝10－3＝7，故公差d＝c2－c1＝7－3＝4，得数列的通项公式为cn＝c1＋(n－1)×4＝4n－1.
8．bn＝2n
解析　由题意得，对于任意的正整数n，bn＝a＋1，
所以bn＋1＝a＋1，
又a＋1＝2(a＋1)＝2bn，
所以bn＋1＝2bn，又b1＝a1＋1＝2，
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2n.
9．2
解析　设bn＝，得an＝3nbn－λ，代入已知得3nbn－λ＝3(3n－1bn－1－λ)＋3n＋4，变形为3n(bn－bn－1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n都成立．由于{bn}是等差数列，bn－bn－1是常数，所以bn－bn－1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.
10．解　(1)因为{an}是递增数列，
所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.
而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.
又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，
因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.
当p＝0时，an＋1＝an，
这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.
(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，
于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①
因为<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②
由①②知，a2n－a2n－1>0，
因此a2n－a2n－1＝()2n－1＝.③
因为{a2n}是递减数列，
同理可得，a2n＋1－a2n<0，
故a2n＋1－a2n＝－()2n＝.④
由③④可知，an＋1－an＝.
于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋－＋…＋
＝1＋·
＝＋·.
故数列{an}的通项公式为an＝＋·.
第39练 数列的前n项和
训练目标
(1)求数列前n项和的常用方法；(2)数列通项求和的综合应用．
训练题型
(1)一般数列求和；(2)数列知识的综合应用．
解题策略
数列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)并项法；(4)倒序相加法；
(5)裂项相消法；(6)错位相减法.
一、选择题
1．(2016·东营期中)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)
A．15 B．12
C．－12 D．－15
2．(2016·山西晋中联考)已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于(　　)
A．13 B．10
C．9 D．6
3．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S20的值为(　　)
A. B.
C. D.
4．(2016·衡水期中)1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋)的值为(　　)
A．18＋ B．20＋
C．22＋ D．18＋
5．数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
6．(2017·合肥质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝________.
7．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________________．
8．数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 012＝________.
9．(2016·云南师大附中月考)设S＝＋＋＋…＋，则不大于S的最大整数[S]＝________.
三、解答题
10．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

答案精析
1．A　[依题意可知a1＋a2＝3，a3＋a4＝3，…，a9＋a10＝3，
∴a1＋a2＋…＋a10＝5×3＝15.
故选A.]
2．D　[∵数列{an}的通项公式是an＝＝1－，
∴Sn＝(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)
＝n－(＋＋＋…＋)
＝n－
＝n－1＋.
由Sn＝＝n－1＋，可得n＝6.故选D.]
3．A　[因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，
又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，
所以f′(0)＝a＝2，
所以f(x)＝x2＋2x，
所以＝＝
＝(－)，
所以S20＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＝.
故选A.]
4．B　[设an＝1＋＋＋…＋
＝＝2(1－)
＝2－，
∴Sn＝2n－
＝2n－2(1－)＝2n－2＋，
∴S11＝20＋，故选B.]
5．B　[因为an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，
所以an＋1－an＝n＋1.
用累加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，
所以＝＝2.
所以＋＋…＋
＝2(1－＋－＋－＋…＋－)
＝2＝，故选B.]
6．n·2n
解析　∵Sn＝2an－2n＝2(Sn－Sn－1)－2n，
即Sn＝2Sn－1＋2n(n≥2)，
∴＝＋1＝＋1，
∴－＝1，且S1＝a1＝2，∴＝1，
∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝n，∴Sn＝n·2n.
7．[，1)
解析　由已知可得a1＝f(1)＝，
a2＝f(2)＝[f(1)]2＝()2，
a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝()3，…，
an＝f(n)＝[f(1)]n＝()n，
所以Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n＝＝1－()n，
因为n∈N*，所以≤Sn<1.
8．3 018
解析　由于f(n)＝cos的值具有周期性，所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决．
当n＝4k＋1(k∈N)时，an＝(4k＋1)cosπ＋1＝1，
当n＝4k＋2(k∈N)时，
an＝(4k＋2)cosπ＋1＝－(4k＋2)＋1＝－4k－1，
当n＝4k＋3(k∈N)时，an＝(4k＋3)cosπ＋1＝1，
当n＝4k＋4(k∈N)时，an＝(4k＋4)cosπ＋1＝(4k＋4)＋1＝4k＋5，
∴a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝1－4k－1＋1＋4k＋5＝6.
∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2 012
＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)
＝6×503＝3 018.
9．2 014
解析　∵
＝
＝＝1＋(－)，
∴S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2 015－，故[S]＝2 014.
10．(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，
由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0.
所以Sn＝n2＋n(n∈N*)．
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)证明　由an＝2n(n∈N*)，
得bn＝＝
＝，
Tn＝[＋＋＋…＋
＋]
＝
<＝(n∈N*)．
即对于任意的n∈N*，都有Tn<.
第3练 逻辑联结词、量词
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　训练目标
(1)逻辑联结词的含义及应用；(2)量词及全称命题、特称命题的概念．
训练题型
(1)含逻辑联结词的命题的真假判断；(2)全称命题、特称命题的真假判断与否定；(3)和命题有关的求参数范围问题．
解题策略
(1)判断含逻辑联结词命题的真假，要先判断每个简单命题的真假；(2)含一个量词的命题的否定规律：改量词，否判断词；(3)和命题有关的参数范围问题，应先求出每个简单命题为真时参数的范围，再根据每个命题的真假情况求解.
一、选择题
1．(2015·浙江)命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
2．(2016·肇庆统测)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，则a⊥b；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中假命题是(　　)
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∨q D．(綈p)∨(綈q)
3．若“?x∈[，2]，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为(　　)
A．(－∞，2] B．[2，3]
C．[－2，3] D．λ＝3
4．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则(　　)
A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
5．已知命题p：?x0∈R，使sin x0＝；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的命题是(　　)
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
6．(2016·临夏期中)下列结论错误的是(　　)
A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题
B．命题p：?x∈[0,1]，ex≥1，命题q：?x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真
C．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若am27．(2016·葫芦岛期中)已知命题P：不等式lg[x(1－x)＋1]>0的解集为{x|0B”是“cos2A．P真Q假 B．P∧Q为真
C．P∨Q为假 D．P假Q真
8．(2016·怀仁期中)已知命题p：?x∈[－1,2]，函数f(x)＝x2－x的值大于0.若p∨q是真命题，则命题q可以是(　　)
A．?x∈(－1,1)，使得cos x<
B．“－3C．直线x＝是曲线f(x)＝sin 2x＋cos 2x的一条对称轴
D．若x∈(0,2)，则在曲线f(x)＝ex(x－2)上任意一点处的切线的斜率不小于－1
二、填空题
9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________________________．
10．给出以下命题：①?x∈R，|x|>x；②?α∈R，sin 3α＝3sin α；③?x∈R，x>sin x；
④?x∈(0，＋∞)，()x<()x，其中正确命题的序号有________．
11．(2017·石家庄质检)已知命题p：x2－3x－4≤0，命题q：x2－6x＋9－m2≤0，若?綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．
12．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为__________.

答案精析
1．D　[由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]
2．D　[对于命题p，由平面向量数量积a·b＝0易得a⊥b，则命题p为真命题；对于命题q，∵a，b，c为非零向量，则q为真命题，
故(綈p)∨(綈q)为假命题，故选D.]
3．A　[设命题p：?x∈[，2]，使得2x2－λx＋1<0，由于命题p为假命题，所以綈p为真命题，即?x∈[，2]，2x2－λx＋1≥0为真命题，即λ≤＝2x＋在区间[，2]上恒成立，所以只需满足λ≤(2x＋)min(x∈[，2])即可，2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝∈[，2]时等号成立，所以λ≤2，故选A.]
4．A　[命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.
命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0真，
则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，
又p且q为真命题，
所以a＝1或a≤－2.故选A.]
5．A　[∵>1，∴命题p是假命题，又∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥>0，∴命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确．]
6．D　[命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题，故A正确；命题p：?x∈[0,1]，ex≥1，为真命题，命题q：?x∈R，x2＋x＋1<0，为假命题，则p∨q为真，故B正确；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故C正确；“若am27．A　[由命题P：不等式lg[x(1－x)＋1]>0，可知x(1－x)＋1>1，
∴0由命题Q知，若cos2即sin A>sin B，∴A>B；
反之，在三角形中，若A>B，
则必有sin A>sin B，
即cos28．C　[对于命题p：函数f(x)＝x2－x＝2－，则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴当x＝时，取得最小值，f＝－<0，因此命题p是假命题．
若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．?x∈(－1,1)，cos x∈(cos 1,1]，而cos 1>cos ＝，因此A是假命题；函数f(x)＝x＋log2x＋m在区间上单调递增，若函数f(x)在此区间上有零点，则f·f(2)＝(2＋1＋m)<0，解得－3f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
当x＝时，sin＝sin ＝1，因此直线x＝是曲线f(x)的一条对称轴，是真命题；曲线f(x)＝ex(x－2)，f′(x)＝ex＋ex(x－2)＝ex(x－1)，当x∈(0,2)时，f′(x)>f′(0)＝－1，因此D是假命题．]
9．?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
解析　因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
10．②
解析　当x≥0时，|x|＝x，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x＝－时，x()x，④错．故正确命题的序号只有②.
11．{m|m≤－4或m≥4}
解析　∵綈q是綈p的充分不必要条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴{x|x2－3x－4≤0}?{x|x2－6x＋9－m2≤0}，
∴{x|－1≤x≤4}?{x|(x＋m－3)(x－m－3)≤0}．
当－m＋3＝m＋3，即m＝0时，不合题意．
当－m＋3>m＋3，即m<0时，有
{x|－1≤x≤4}?{x|m＋3≤x≤－m＋3}，
此时(两等号不能同时取得)
解得m≤－4.
当－m＋30时，有
{x|－1≤x≤4}?{x|－m＋3≤x≤m＋3}，
此时(两等号不能同时取得)
解得m≥4.
综上，实数m的取值范围是{m|m≤－4或m≥4}．
12．[1,2]
解析　对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－＋1为增函数，所以2x－＋1<1，故a≥1，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假．故1≤a≤2.
第40练 数列中的易错题
训练目标
(1)数列知识的深化应用；(2)易错题目矫正练．
训练题型
数列中的易错题．
解题策略
(1)通过Sn求an，要对n＝1时单独考虑；(2)等比数列求和公式应用时要对q＝1，q≠1讨论；(3)使用累加、累乘法及相消求和时，要正确辨别剩余项，以免出错.
一、选择题
1．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　)
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
2．已知等差数列：1，a1，a2,9；等比数列：－9，b1，b2，b3，－1.则b2(a2－a1)的值为(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D.
3．已知函数y＝f(x)，x∈R，数列{an}的通项公式是an＝f(n)，n∈N*，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2017·抚州月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)SnA．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
5．(2016·湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是(　　)
A．若a3>0，则a2 013<0 B．若a4>0，则a2 014<0
C．若a3>0，则S2 013>0 D．若a4>0，则S2 014>0
6．已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)
A．(，3) B．[，3)
C．(1,3) D．(2,3)
7．(2016·江南十校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3(n∈N*)，则使Sn<－4成立的最小自然数n为(　　)
A．83 B．82
C．81 D．80
8．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则数列{an}的通项公式为________________．
10．(2016·辽宁五校联考)已知数列{an}满足an＝，则数列{}的前n项和为________．
11．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
12．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{anan＋1}是公比为q (q>0)的等比数列，则数列{an}的前2n项和S2n＝____________.

答案精析
C　[∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)为常数．
∴a1＋6d为常数．∴S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)也为常数．]
2．B　[a2－a1＝d＝＝，
又b＝b1b3＝(－9)×(－1)＝9，
因为b2与－9，－1同号，所以b2＝－3.
所以b2(a2－a1)＝－8.]
3．A　[由题意，函数y＝f(x)，x∈R，
数列{an}的通项公式是an＝f(n)，n∈N*.
若“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”，
则“数列{an}是递增数列”一定成立；
若“数列{an}是递增数列”，
则“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”不一定成立，
现举例说明，如函数在[1,2]上先减后增，且在1处的函数值小．综上，“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件，故选A.]
4．D　[由(n＋1)Sn得(n＋1)·整理得an所以等差数列{an}是递增数列，
又<－1，
所以a8>0，a7<0，
所以数列{an}的前7项为负值，
即Sn的最小值是S7.]
5．C　[设an＝a1qn－1，
因为q2 010>0，
所以A，B不成立．
对于C，当a3>0时，a1>0，
因为1－q与1－q2 013同号，
所以S2 013>0，选项C正确，
对于D，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论，
D不成立，故选C.]
6．D　[根据题意，an＝f(n)＝n∈N*，要使{an}是递增数列，必有解得27．C　[∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)，
∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4，
解得n>34－1＝80.故最小自然数n的值为81.]
8．A　[当r＝1时，易知数列{an}为等差数列；
由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{an}是等差数列时，a2－a1＝a3－a2，
即2r－1＝2r2－r.解得r＝或r＝1，
故“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件．]
9．an＝
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，
所以数列{an}的通项公式为an＝
10.
解析　an＝＝，
则＝＝4(－)，
所以所求的前n项和为4[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4(－)＝.
11．(－3，＋∞)
解析　因为数列{an}是单调递增数列，
所以an＋1－an>0 (n∈N*)恒成立．
又an＝n2＋λn (n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0.
所以λ>－(2n＋1) (n∈N*)恒成立．
而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．
12.
解析　∵数列{anan＋1}是公比为q (q>0)的等比数列，
∴＝q，即＝q，
这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，
所有偶数项成等比数列，且公比都是q，
又a1＝1，a2＝2，
∴当q≠1时，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)
＝＋＝；
当q＝1时，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)
综上所述：S2n＝
第41练 数列综合练
训练目标
(1)数列知识的综合应用；(2)学生解题能力的培养．
训练题型
(1)等差数列、等比数列的综合；(2)一般数列的通项与求和；(3)数列与其他知识的综合应用．
解题策略
(1)用方程(组)思想可解决等差、等比数列的综合问题；(2)一般数列的解法思想是转化为等差或等比数列；(3)数列和其他知识的综合主要是从条件中寻找数列的通项公式或递推公式.
一、选择题
1．(2016·山西大学附中期中)已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)等于(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D.
2．(2016·甘肃天水月考)数列1，，，，…，的前n项和为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,
23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn等于(　　)
A．n·2n B．(n－1)·2n－1－1
C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1
4．若在数列{an}中，对任意正整数n，都有a＋a＝p(p为常数)，则称数列{an}为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列{an}为“等方和数列”，其前n项和为Sn，且“公方和”为1，首项a1＝1，则S2 014的最大值与最小值之和为(　　)
A．2 014 B．1 007
C．－1 D．2
5．(2016·郑州期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016·(a2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是(　　)
A．S2 016＝－2 016，a2 013>a4
B．S2 016＝2 016，a2 013>a4
C．S2 016＝－2 016，a2 013D．S2 016＝2 016，a2 013二、填空题
6．(2017·武汉联考)已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式bn＝________.
7．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.
8．(2016·辽宁师大附中期中)已知数列an－1＝－n2＋n＋5λ2－2λ＋1为单调递减数列，则λ的取值范围是__________________．
9．(2016·辽宁沈阳期中)设首项不为零的等差数列{an}的前n项和是Sn，若不等式a＋≥λa对任意an和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为________．
三、解答题
10．已知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＋1＝()anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值．

答案精析
1．B　[由题意，得a2－a1＝d＝＝，b＝9，
又因为b2是等比数列中的第三项，
所以与第一项同号，即b2＝－3，所以b2(a2－a1)＝－8.故选B.]
2．B　[∵＝＝2(－)，
∴数列1，，，，…，的前n项和为
2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝，
故选B.]
3．C　[∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，
∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，②
∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]
4．D　[由题意可知，a＋a＝1，
首项a1＝1，∴a2＝0，a3＝±1，a4＝0，a5＝±1，…，
∴从第2项起，数列的奇数项为1或－1，偶数项为0，
∴S2 014的最大值为1 007，最小值为－1 005，
∴S2 014的最大值与最小值之和为2.]
5．D　[∵(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝－1，
∴(a4－1)3＋2 016(a4－1)＋(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝0，
设a4－1＝m，a2 013－1＝n，
则m3＋2 016m＋n3＋2 016n＝0，
化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，
∵m2＋n2－mn＋2 016>0，
∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，
∴a4＋a2 013＝2，
∴S2 016＝＝＝2 016.
又a4－1>0，a2 013－1<0，
∴a4>1>a2 013，故选D.]
6．2n＋1
解析　根据题意，在等差数列{an}中，
a2＝3，a5＝9，则公差d＝2，
则an＝2n－1，
对于{bn}，由bn＋1＝2bn－1，
可得bn＋1－1＝2(bn－1)，
即{bn－1}是公比为2的等比数列，
且首项b1－1＝3－1＝2，
则bn－1＝2n，bn＝2n＋1.
7．－
解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
8．(0，＋∞)
解析　∵数列an－1＝－n2＋n＋5λ2－2λ＋1为单调递减数列，
∴当n≥2时，an－1>an，
∴－n2＋n＋5λ2－2λ＋1>－(n＋1)2＋(n＋1)＋5λ2－2λ＋1，
即<2n＋1，
由于数列{2n＋1}在n≥2时单调递增，
因此其最小值为5，
∴<5，∴2λ>1，∴λ>0.
9.
解析　在等差数列{an}中，首项不为零，
即a1≠0，则数列的前n项和为Sn＝.
由不等式a＋≥λa，
得a＋≥λa，
∴a＋a1an＋a≥λa，
即()2＋＋≥λ.
设t＝，则y＝t2＋t＋＝(t＋)2＋≥，
∴λ≤，即λ的最大值为.
10．解　(1)方法一　由题意可知
2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，
∴S3－S1＋S3－S2＝a1＋a2－2a3，
即4a3＝a1，
于是＝q2＝，∵q>0，∴q＝.
∵a1＝1，∴an＝()n－1.
方法二　由题意可知
2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，
当q＝1时，不符合题意；
当q≠1时，2(＋q2)
＝1＋1＋＋q，
∴2(1＋q＋q2＋q2)＝2＋1＋q＋q，
∴4q2＝1，∴q2＝，
∵q>0，∴q＝.
∵a1＝1，∴an＝()n－1.
(2)∵an＋1＝()anbn，
∴()n＝()anbn，∴bn＝n·2n－1，
∴Tn＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①
∴2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②
∴①－②得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Tn＝1＋(n－1)2n.
要使Tn≥m恒成立，
只需(Tn)min≥m.
∵Tn＋1－Tn＝n·2n＋1－(n－1)·2n＝(n＋1)·2n>0，
∴{Tn}为递增数列，
∴当n＝1时，(Tn)min＝1，
∴m≤1，∴m的最大值为1.
第42练 高考大题突破练——数列
训练目标
(1)数列知识的综合应用；(2)中档大题的规范练．
训练题型
(1)等差、等比数列的综合；(2)数列与不等式的综合；(3)数列与函数的综合；
(4)一般数列的通项与求和．
解题策略
(1)将一般数列转化为等差或等比数列；
(2)用方程(组)思想解决等差、等比数列的综合问题.
1.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
3．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝a＋2an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn＝2n，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值．
4.在数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且Sn＝an＋1－(n∈N*)．
(1)求an，Sn；
(2)设bn＝log2(2Sn＋1)－2，数列{cn}满足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值．
5．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；
(3)设bn＝(9－n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．

答案精析
1．解　(1)因为2Sn＝3n＋3，
所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即an＝3n－1，
显然a1不满足an＝3n－1，
所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n，
所以T1＝b1＝.
当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n－1)×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n－1)×32－n]，
两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n
＝－，
所以Tn＝－.
经检验，n＝1时也适合．
综上可得Tn＝－.
2．解　(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)Sn＝＝2n－1，
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋＝－
＝1－.
3．解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－.
解得a1＝3.又∵4Sn＝a＋2an－3，①
当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1－3.②
①－②，得4an＝a－a＋2(an－an－1)，
即a－a－2(an＋an－1)＝0.
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2 (n≥2)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)Tn＝3×21＋5×22＋…＋(2n＋1)·2n，③
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)2n＋1，④
④－③，得
Tn＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n)＋(2n＋1)2n＋1
＝－6＋8－2·2n＋1＋(2n＋1)·2n＋1
＝(2n－1)2n＋1＋2.
4．解　(1)由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－(n≥2)，
两式作差得an＝an＋1－an，即2an＝an＋1(n≥2)，∴＝2(n≥2)，
由a1＝S1＝a2－＝，得a2＝1，∴＝2，
∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．
则an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.
(2)bn＝log2(2Sn＋1)－2＝log22n－2＝n－2，
∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，
即cn(n＋1)(n＋2)＝1＋(n＋1)(n＋2)·2n－2，
∴cn＝＋2n－2
＝－＋2n－2，
∴Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＋(2－1＋20＋…＋2n－2)
＝－＋
＝－－＋2n－1
＝2n－1－.
由4Tn>2n＋1－，
得4(2n－1－)>2n＋1－.
即<，n>2 014.
∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2 015.
5．(1)解　令x＝n，y＝1，
得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，
∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，
∴f(n)＝()n.
(2)证明　设Tn为{an}的前n项和，
∵an＝n·f(n)＝n·()n，
∴Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，
Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，
两式相减得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1，
＝1－()n－n×()n＋1，
∴Tn＝2－()n－1－n×()n<2.
(3)解　∵f(n)＝()n，
∴bn＝(9－n)
＝(9－n)＝.
∴当n≤8时，bn>0；
当n＝9时，bn＝0；
当n>9时，bn<0.
∴当n＝8或n＝9时，Sn取得最大值．
第43练 不等式的概念与性质
训练目标
(1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力．
训练题型
(1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系．
解题策略
(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小.
一、选择题
1．(2017·昆明质检)已知a，b，c满足cA.< B.>0
C.< D.<0
2．设实数x，y满足0A．x>2且y>2 B．x<2且y<2
C．02且03．(2016·济南模拟)已知实数x，y满足axA.> B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
4．(2017·南昌月考)已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则(　　)
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
5．(2016·北京西城区模拟)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝
a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
6．若存在x使不等式>成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－) B．(－，e)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
7．(2016·内江检测)若6A．9≤c≤18 B．15C．9≤c≤30 D．98．已知x，y∈R，且x>y>0，则下式一定成立的是(　　)
A.－>0 B．2x－3y>0
C．()x－()y－x<0 D．lnx＋lny>0
二、填空题
9．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
10．(2017·辽宁五校联考)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是________．
11．(2016·长沙模拟)已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，cn与an＋bn的大小关系为______________．(用“>”连接)
12．已知－”连接)

答案精析
1．C　[因为c0，所以<，>0，<0，但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立．]
2．C　[由题意得?由2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0，
得或又xy<4，可得故选C.]
3．D　[因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不成立；B中，当x＝0，y＝－1时，ln 14．B　[方法一　取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
方法二　由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，∴T<0，故选B.]
5．C　[不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c.若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.
若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.故选C.]
6．C　[由>得－m>ex×－x(x>0)，
令f(x)＝ex×－x(x>0)，则－m>f(x)min，
f′(x)＝ex×＋ex×－1≥×ex－1>0(x>0)，
所以f(x)为(0，＋∞)上的增函数，
所以f(x)≥f(0)＝0，－m>0，m<0，故选C.]
7．D　[≤c≤3a，又68．C　[由题意得，对于A选项，
当x＝2，y＝1时，－＝0，不成立；
对于B选项，当x＝3，y＝2时，23<32，不成立；
对于C选项，0<()x<1，()y－x>1，成立；
对于D选项，当09．27
解析　由4≤≤9，得16≤≤81.
又3≤xy2≤8，∴≤≤，
∴2≤≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时＝27.
∴的最大值是27.
10．[，]
11．cn>an＋bn
解析　∵a，b，c∈{正实数}，
∴an>0，bn>0，cn>0.
而＝n＋n.
∵a2＋b2＝c2，则2＋2＝1，
∴0<<1,0<<1.
∵n∈N，n>2，
∴()n<()2，()n<()2.
∴＝()n＋()n<＝1.
∴an＋bn12．C>A>B>D
解析　由已知得－这时A＝，B＝，C＝，D＝.
由此猜测：C>A>B>D.
∵C－A＝－(1＋a2)＝＝.
又∵1＋a>0，－a>0，(a＋)2＋>0，∴C>A.
∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，∴A>B.
∵B－D＝1－a2－＝＝.
又∵－0.
又∵(a－)2－<(－－)2－<0，∴B>D.
综上所述，C>A>B>D.
第44练 不等式的解法
训练目标
(1)掌握一元二次不等式的解法；(2)会用“三个二次关系”解决有关不等式的问题．
训练题型
(1)解一元二次不等式；(2)与不等式有关的集合问题；(3)参数个数、范围问题；(4)不等式恒成立问题．
解题策略
(1)利用“三个二次关系”给出不等式解集；(2)利用转化思想将参数问题、恒成立问题转化为不等式求解问题；(3)利用根与系数的关系解决有关二次方根的问题.
一、选择题
1．设f(x)＝则不等式f(x)A．(2，＋∞)∪(－∞，0] B．R
C．[0,2) D．(－∞，0)
2．不等式－x2－x＋2<0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|－2C．{x|x<－1或x>2} D．{x|－13．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－1,3) B．(1,3)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
4．设a>0，不等式－cA．1∶2∶3 B．2∶1∶3
C．3∶1∶2 D．3∶2∶1
5．(2016·许昌模拟)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于(　　)
A．－28 B．－26
C．28 D．26
6．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]
7．(2017·南宁调研)已知当a∈[－1,1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)
8．设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：
①对任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0；
②对任意的x1，x2∈[－1,1]，都有>0，且f(－1)＝－1.
若f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．(－∞，－]∪{0}∪[，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)
二、填空题
9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为________________．
10．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[，＋∞)，f()－4m2·f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________________．
11．设关于x的不等式|x2－2x＋3m－1|≤2x＋3的解集为A，且－1?A,1∈A，则实数m的取值范围是________．
12．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，若对于任意x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，则t的取值范围为____________．

答案精析
1．A　[当x>0时，x＋20，解得x>2或x<－1，∴x>2.
当x≤0时，x－2即x2－x＋2>0，恒成立．
∴x∈(－∞，0]∪(2，＋∞)．]
2．A　[不等式变形为x2＋x－2>0，
∴(x＋2)(x－1)>0，∴x>1或x<－2，∴不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．]
3．D　[由题意得，关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，可得＝1且a>0，
又(ax＋b)(x－3)>0可化为(x－3)(x＋)>0，即(x－3)(x＋1)>0，所以x<－1或x>3，故选D.]
4．B　[∵－c0，∴－∵不等式的解集为{x|－2∴∴
∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.]
5．C　[由题意知－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，且a>0，
∴解得∴ab＝28.]
6．A　[由题意得，不等式x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，又关于x的不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4，故选A.]
7．C　[把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，
且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，
联立方程解得x<1或x>3.]
8．D　[由题设条件知f(x)是奇函数，
在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，
所以在[－1,1]上，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1.
f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，即t2－2at≥0恒成立．
设g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，
则　即
解得t≤－2或t＝0或t≥2.故选D.]
9．{x|x<－lg 2}
解析　由已知条件得0<10x<，解得x10．{m|m≤－或m≥}
解析　依据题意得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈[，＋∞)上恒成立，
即－4m2≤－－＋1在x∈[，＋∞)上恒成立．
当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，
即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
11．{m|－解析　由－1?A，
得|(－1)2－2×(－1)＋3m－1|>2×(－1)＋3，即|3m＋2|>1，
解得m<－1或m>－.①
由1∈A，得|12－2×1＋3m－1|≤2×1＋3，
即|3m－2|≤5，解得－1≤m≤.②
故由①②得实数m的取值范围是{m|－12．t≤－10
解析　2x2＋bx＋c＝0的两个实根是x1＝0，x2＝5，所以c＝0，b＝－10，
不等式2x2－10x＋t≤2对任意x∈[－1，1]恒成立，即2x2－10x＋t－2≤0，
又f(x)＝2x2－10x在(－∞，)上为单调函数，
当x∈[－1,1]时，有
解得t≤－10.
第45练 简单的线性规划问题
训练目标
(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用．
训练题型
(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题．
解题策略
(1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注意目标函数的变形应用.
一、选择题
1．下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是(　　)
A．(0,0) B．(－1,3)
C．(－1,1) D．(2，－3)
2．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为(　　)
A．4和3 B．4和2
C．3和2 D．2和0
3．设正数x，y满足－1A．(0,2) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(2，＋∞)
4．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则其最大值为(　　)
A．10 B．12
C．14 D．15
5．设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝x＋ky(k>0)的最小值为13，则实数k等于(　　)
A．7 B．5或13
C．5或 D．13
6．(2016·贵州七校联考)一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z＝2x－5y的最大值是(　　)
A．16 B．18
C．20 D．36
7．若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值为(　　)
A. B.
C．－ D.
8．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4
C. D．2
二、填空题
9．已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最大值为________．
10．(2016·辽宁五校联考)已知A，B是平面区域内的两个动点，向量n＝(3，－2)，则·n的最大值是________．
11．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
12．已知函数f(x)＝x2－2x，点集M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤2}，N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，则M∩N所构成平面区域的面积为______.

答案精析
1．B　[由x＋y－1＝0，将点(1,2)代入得1＋2－1>0，故所选的点代入直线方程大于零在同侧，将点(－1,3)代入得，－1＋3－1>0成立．]
2．B　[在平面直角坐标系中，作出变量x，y的约束条件的区域，如图阴影部分所示，
由图可知，当z＝2x＋y过点A(1,0)时，z最小，zmin＝2，当z＝2x＋y过点B(2,0)时，z最大，zmax＝4，所以z＝2x＋y的最大值和最小值分别为4和2.故选B.]
3．B　[作出x，y所满足的条件所对应的可行域，如图所示，当目标函数z＝x－2y经过点(2,0)时，z＝x－2y取得最大值(不能取到)2，所以z∈(－∞，2)，故选B.]
4．A　[画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l：y＝－3x，平移l，从而可知当x＝2，y＝4－c时，z取得最小值，zmin＝3×2＋4－c＝10－c＝5，所以c＝5，当x＝＝3，y＝＝1时，z取得最大值，zmax＝3×3＋1＝10.]
5．C　[作出不等式组表示的平面区域，如图所示，可知z＝x＋ky(k>0)过点A(，)或B(，)时取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或.]
6．C　[平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC为对角线时，由中点坐标公式得AC的中点为(，0)，也是BD的中点，可知顶点D1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC为对角线时，得D2的坐标为(8,0)，当以AB为对角线时，得D3的坐标为(－2,8)，由此作出(x，y)所在的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知当目标函数z＝2x－5y经过点D1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.]
7.C　[画出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可得A(m，)，B(m，m)，C(2,2)?S＝××(2－m)＝＝?m＝－，故选C.]
8．B　[线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示．
由解得
所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2，
a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.]
9．8
解析　作出不等式组对应的平面区域如图所示．
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.
平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点C时，在y轴上的截距最大，此时z最大．
由解得即C(3,2)，此时z＝2×3＋2＝8.
10．10
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，则·n＝3(x2－x1)－2(y2－y1)＝3x2－2y2－(3x1－2y1)．令z＝3x－2y，画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，可知zmax＝6，zmin＝－4，则·n的最大值为zmax－zmin＝10.
11．216 000
解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，z在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
12．2π
解析　由f(x)＋f(y)＝x2－2x＋y2－2y≤2，得(x－1)2＋(y－1)2≤4，
于是点集M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤2}
表示的平面区域是以(1,1)为圆心，半径r＝2的圆面．
同理，由f(x)－f(y)＝x2－2x－y2＋2y≥0，
可得(x－y)(x＋y－2)≥0，
即或
于是点集N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}表示的平面区域就是不等式组所表示的平面区域．所以M∩N所构成的平面区域如图所示，
所以S＝·π·r2＝2π.
第46练 基本不等式
训练目标
(1)熟练掌握基本不等式及应用方法；(2)会用基本不等式解决最值问题；(3)能将基本不等式与函数、数列、三角函数等知识结合，解决综合问题．
训练题型
(1)比较两数(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代数式、函数式值域；(4)求参数范围；(5)与其他知识交汇综合应用．
解题策略
(1)直接利用基本不等式(注意应用条件)；(2)将已知条件变形，以“和”或“积”为定值为目标，构造基本不等式“模型”(注意积累变形技巧，总结变形突破点).
一、选择题
1．(2016·青岛模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若正实数x，y满足x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
3．(2016·泰安模拟)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B.＋>
C.＋≥2 D．a2＋b2>2ab
4．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
5．若a>b>0，则a2＋的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D．不存在
7．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin πx(0A.＋1 B．4
C．3＋2 D．6
8．(2017·郑州质检)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且a·c＝b·c＝1，则对任意的正实数t，|c＋ta＋b|的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
二、填空题
9．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
10．(2016·长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
11．函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．
12．已知正实数x，y满足等式x＋y＋8＝xy，若对任意满足条件的x，y，不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.

答案精析
1．B　[当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件．]
2．C　[因为xy≤，x>0，y>0，所以≥，≥，
所以x＋y＋≤5.设x＋y＝t，即t＋≤5，得到t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4，所以x＋y的最大值是4.]
3．C　[因为ab>0，所以>0，>0，即＋≥2 ＝2(当且仅当a＝b时等号成立)，所以选C.]
4．D　[设f(x)＝x＋，因为x>1，所以x－1>0，则f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)min＝3，因此要使不等式x＋≥a恒成立，则a≤3，所以实数a的取值范围是(－∞，3]，故选D.]
5．C　[原式＝[(a－b)＋b]2＋
≥[2]2＋
＝4(a－b)b＋
≥2＝4(当且仅当a＝，b＝时取等号)．]
6．A　[∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，
又∵{an}是正项等比数列，
∴a5≠0，且q>0，∴q2－q－2＝0，
∴q＝2或q＝－1(舍去)．
又＝4a1，
∴am·an＝16a，aqm＋n－2＝16a，
又a≠0，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，
＋＝(＋)(m＋n)
＝(5＋＋)
≥(5＋2 )＝.
当且仅当＝，
即m＝2，n＝4时取等号．]
7．C　[画出y＝1＋sin πx(0知此曲线的对称中心为(1,1)，
则直线ax＋by－1＝0过点(1,1)，
所以a＋b＝1，
又a>0，b>0，
所以＋＝(＋)(a＋b)
＝1＋＋＋2≥3＋2，
当且仅当＝时取等号．
即(＋)min＝3＋2.故选C.]
8．B　[∵a，b是互相垂直的单位向量，
设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．
由a·c＝b·c＝1，得x＝y＝1，
即c＝(1,1)，
∴c＋ta＋b＝(1,1)＋(t,0)＋(0，)
＝(1＋t,1＋)，
∴|c＋ta＋b|
＝2
＝，
∵t>0，∴t＋≥2，t2＋≥2，
当且仅当t＝1时取等号，
∴|c＋ta＋b|≥＝2，
故|c＋ta＋b|的最小值为2.]
9．3＋2
解析　(＋)(x＋y)＝1＋2＋＋≥3＋2.
10．(－4,2)
解析　x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即x＝2y＝4时等号成立．
由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－411．1＋2
解析　∵x<0，
∴y＝1－2x－
＝1＋(－2x)＋(－)
≥1＋2
＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.
12．(－∞，]
解析　因为x＋y＋8＝xy≤()2，
即4(x＋y)＋32≤(x＋y)2，
解得x＋y≥8或x＋y≤－4(舍去)．
不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立可等价转化为a≤恒成立，令x＋y＝t(t≥8)，
且f(t)＝＝t＋.
函数f(t)在[8，＋∞)上单调递增，
所以f(t)min＝f(8)＝8＋＝.
所以实数a的取值范围为(－∞，]．
第47练 不等式中的易错题
训练目标
对不等式部分的易错题型强化训练，降低出错率．
训练题型
不等式中的易错题．
解题策略
规范运算过程及解题步骤，养成思维缜密的良好习惯，总结出易错类型及易错点.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是(　　)
A．{x|－1≤x≤－1} B．{x|x≤1}
C．{x|x≤－1} D．{x|－－1≤x≤－1}
2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
3．已知a，b都是正实数，且满足log4(2a＋b)＝log2，则2a＋b的最小值为(　　)
A．12 B．10
C．8 D．6
4．若a，b是常数，a>0，b>0，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋(0A．5 B．15
C．25 D．2
5．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是(　　)
A．80 B．85
C．90 D．100
6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
7．函数y＝(x>－1)的最小值为(　　)
A．2 B．7
C．9 D．10
8．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)
A.－1 B.＋1
C．2＋2 D．2－2
二、填空题
9．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．
10．对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．
11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
12．某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元，B型卡车504元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元.

答案精析
1．C　[由题意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于
①
或②
解不等式组①得x<－1；
解不等式组②得－1≤x≤－1.
故原不等式的解集是{x|x≤－1}，故选C.]
2．C　[因为x∈，且x2＋ax＋1≥0，所以a≥－，
所以a≥－max.
又y＝x＋在内是单调递减的，
所以a≥－max＝－(＋)＝－.]
3．C　[由题意log4(2a＋b)＝log4ab，
可得2a＋b＝ab，a>0，b>0，
所以2a＋b＝·2a·b≤·，
所以2a＋b≥8，当且仅当2a＝b时取等号，
所以2a＋b的最小值为8，故选C.]
4．C　[由题意可得f(x)＝＋＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时取等号，故最小值为25.]
5．C　[如图，作出可行域，
由z＝10x＋10y?y＝－x＋，它表示斜率为－1，纵截距为的平行直线系，
要使z＝10x＋10y取得最大值，
当直线z＝10x＋10y通过A(，)时z取得最大值．
因为x，y∈N*，故A点不是最优整数解．
于是考虑可行域内A点附近的整点(5,4)，(4,4)，
经检验直线经过点(5,4)时，zmax＝90.]
6．B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，所以≥2或≤－4(舍去)．所以正实数a的最小值为4.]
7．C　[y＝
＝
＝(x＋1)＋＋5，
当x>－1，即x＋1>0时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取“＝”)．故选C.]
8．D　[由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，
得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.
∵a、b、c>0.
∴(a＋c)·(a＋b)≤2(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，
∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.]
9．4
解析　由x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
得lg 2x8y＝lg 2，即2x＋3y＝2，
所以x＋3y＝1，
故＋＝(＋)(x＋3y)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，
所以＋的最小值为4.
10．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．
令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.
则?
?
即x<－1或x>3.
11．1
解析　由x2－3xy＋4y2－z＝0，
得z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝＝
≤＝1，
当且仅当x＝2y时取等号．
此时z＝2y2，
∴＋－＝＋－
＝－()2＋＝－(－1)2＋1≤1.
12．2 560
解析　设每天调出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司所花的费用为z元，则目标函数z＝320x＋504y(x，y∈N)．
由题意可得，
作出上述不等式组所确定的平面区域即可行域，如图中阴影部分所示．
结合图形可知，z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2 560.
故每天调出A型卡车8辆，公司所花费用最低为2 560元．
第48练 不等式综合练
训练目标
巩固不等式的基础知识，提高不等式在解决函数、三角函数、数列、向量、几何等方面的应用能力，训练解题步骤的规范性．
训练题型
(1)求函数值域、最值；(2)解决与数列有关的不等式问题、最值问题；(3)解决恒成立问题、求参数范围问题；(4)不等式证明．
解题策略
将问题中的条件进行综合分析、变形转化，形成不等式“模型”，从而利用不等式性质或基本不等式解决.
一、选择题
1．已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(?RP)∩Q等于(　　)
A．[2,3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．(2,3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，由点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
4．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是(　　)
A．(，) B．[2,8]
C．[2,8) D．[2,7)
5．(2016·潍坊联考)已知不等式<0的解集为{x|a0，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．9 D．12
二、填空题
6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值为________．
7．(2017·宁德质检)设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)．若＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则μ的最大值为________．
8．(2015·山东)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x>0，y>0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
三、解答题
9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
10．(2016·海口一模)已知函数f(x)＝x＋＋2(m为实常数)．
(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为，求实数m的值；
(2)若函数y＝f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
(3)设m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]时有解，求k的取值范围．
答案精析
1．C　[依题意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|12．D　[由||＝||＝·＝2知〈，〉＝.
设＝(2,0)，＝(1，)，
＝(x，y)，则
解得
由|λ|＋|μ|≤1得|x－y|＋|2y|≤2.
作出可行域，如图所示．
则所求面积S＝2××4×＝4.]
3．C　[∵x<0，∴f(x)＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
4．C　[由4[x]2－36[x]＋45<0得<[x]<，又因为[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.故选C.]
5．C　[易知不等式<0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当m＝n＝时取等号)，所以＋的最小值为9.]
6．2
解析　由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，
f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，则＝
＝a－＋≥2(当且仅当a－＝，即a＝时，等号成立)．
7．3
解析　设P的坐标为(x，y)，因为＝λm＋μn，
所以
解得μ＝x－y.题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，
由图可知，当目标函数μ＝x－y过点G(3,0)时，μ取得最大值3－0＝3.
8.
解析　由题意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，
当且仅当x＝y时取等号．
9．解　(1)当0L(x)＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；
当x≥80，x∈N*时，
L(x)＝－51x－＋1 450－250＝1 200－(x＋)，
∴L(x)＝
(2)当0∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.
当x≥80，x∈N*时，
L(x)＝1 200－(x＋)
≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950.
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
10．解　(1)设P(x，y)，则y＝x＋＋2，
PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2
＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2，
当m>0时，解得m＝－1；
当m<0时，解得m＝－－1.
所以m＝－1或m＝－－1.
(2)由题意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.
因为x2－x1>0，x1x2>0，
所以x1x2－m>0，即m由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.
所以m的取值范围是(－∞，4]．
(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.
因为x∈[，1]，所以k≥＋＋1.
令t＝，则t∈[1,2]，
所以k≥mt2＋2t＋1.
令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，
于是，要使原不等式在x∈[，1]时有解，当且仅当k≥[g(t)]min(t∈[1,2])．
因为m<0，
所以g(t)＝m(t＋)2＋1－的图象开口向下，
对称轴为直线t＝－>0.
因为t∈[1,2]，所以当0<－≤，
即m≤－时，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；
当－>，即－g(t)min＝g(1)＝m＋3.
综上，当m≤－时，k∈[4m＋5，＋∞)；
当－第49练 三视图与直观图
训练目标
(1)会识别三视图、由三视图可还原几何体，能应用三视图求几何体面积、体积；(2)掌握直观图画法规则、能利用画法规则解决有关问题．
训练题型
(1)判断、识别三视图；(2)由三视图求几何体面积、体积；(3)求直观图中线段长度、图形面积．
解题策略
由几何体轮廓线定型，由三视图长度特征定量，确定几何体顶点在投影面上的投影位置是关键．可见棱画为实线、被遮棱画为虚线．反之利用实虚线可判断几何体中棱的位置.
一、选择题
1．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(　　)
A. B.
C．6 D．7
2．(2017·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)
A．2 B.
C. D．3
3．(2017·太原调研)一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(　　)
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
4．(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)
A. B.
C. D．1
5．如图，某直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则该直观图所表示的平面图形是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
6．(2016·郑州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为(　　)
A．32 B．32
C．64 D．64
7．某几何体的直观图如图所示，则该几何体的正视图和侧视图可能正确的是(　　)
8．(2017·郑州月考)如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为(　　)
A．15＋3 B．9
C．30＋6 D．18
二、填空题
9．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．
10．(2016·河北衡水中学四调)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④四边形；⑤扇形；⑥圆．
11．如图，△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图，其中O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积是________．
12．下列说法正确的是________．
①相等的线段在直观图中仍然相等；
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行；
③两个全等三角形的直观图一定也全等；
④两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形．

答案精析
1．A　[该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V＝2×2×2－2×××1×1×1＝.]
2．D　[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积S＝×(1＋2)×2＝3，高h＝x，所以其体积V＝Sh＝×3x＝3，解得x＝3，故选D.]
3．C　[根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是两个长方体和一个圆柱的组合体，∴所求几何体的体积V＝4×4×2＋π×2×1＋3×3×1＝cm3.]
4．A　[由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h＝1，
又底面积S＝×1×1＝.
所以体积V＝Sh＝.]
5．D　[由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图是直角三角形．故选D.]
6．C　[依题意，题中的几何体是三棱锥P－ABC(如图所示)，
其中△ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，
BC＝2，PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2，
因此xy＝x＝x≤＝64，当且仅当x2＝128－x2，
即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.]
7．A　[由几何体的直观图，可知该几何体可以看作由正方体ABCD－A1B1C1D1割掉四个角后所得的几何体ABCD－MNPQ，如图所示，该几何体的正视图就是其在正方体的平面CDD1C1上的投影，显然为正方形CDD1C1与△CDQ的组合；该几何体的侧视图就是其在平面BCC1B1上的投影，显然为正方形BCC1B1和△BCP的组合．综上，只有A选项正确．]
8．C　[题图中所示的三视图对应的直观图是四棱柱，其底面边长为2＋＝3，侧视图的高为，其表面积为2×3×3＋2×3×2＋2×3×＝30＋6.]
9．24
解析　因为矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，所以根据画直观图的基本原理知原图形是底边长为6的平行四边形，其高是2×＝4，因此面积是6×4＝24，故答案为24.
10．②
解析　若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为1的正方形，即几何体是棱长为1的正方体，其体积为1，不合题意；若俯视图是扇形或圆，则体积值中含π，所以俯视图不会是扇形或圆；若俯视图是锐角三角形或钝角三角形，则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线，所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形；若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则此几何体体积为×1×1×1＝，且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形．故这个几何体的俯视图可能是②.
11．4
解析　在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，△OAB的面积是S＝×2×4＝4.
12．②
解析　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，原图中的平行线在直观图中仍是平行线．
第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题
训练目标
解题步骤的严谨性，转化过程的等价性．
训练题型
集合与常用逻辑用语中的易错题．
解题策略
(1)集合中元素含参数，要验证集合中元素的互异性；(2)子集关系转化时先考虑空集；(3)参数范围问题求解时可用数轴分析，端点处可单独验证.
一、选择题
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)
A．4 B．2
C．0 D．0或4
2．已知集合A＝{－1，}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m组成的集合是(　　)
A．{－1,0,2} B．{－，0,1}
C．{－1,2} D．{－1,0，}
3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
4．(2017·烟台质检)已知命题p：?x∈R，mx2＋2≤0；q：?x∈R，x2－2mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
5．下列说法不正确的是(　　)
A．命题“?x0∈R，x－x0－1<0”的否定是“?x∈R，x2－x－1≥0”
B．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题
C．命题“?a∈R，使方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1log2(ax－1)在[1,2]上单调递增”都为真
D．△ABC中，A是最大角，则sin2B＋sin2C6．满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是(　　)
A．3 B．6
C．7 D．8
7．下列有关命题的说法中错误的是(　　)
A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题
B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件
C．“cosx＝”的必要不充分条件是“x＝”
D．若命题p：“?x0∈R，x≥0”，则命题綈p为“?x∈R，x2<0”
8．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p且綈q为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1,2] D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
二、填空题
9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是________．
10．已知命题p：关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]上有解；命题q：f(x)＝log2(x2－2mx＋)在x∈[1，＋∞)上单调递增．若“綈p”为真命题，“p∨q”为真命题，则实数m的取值范围为____________．
11．已知全集为U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若M∩(?UN)＝{x|x＝1或x≥3}，则a的取值范围是________．
12．(2016·安阳月考)已知两个命题r(x)：sin x＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对?x∈R，r(x)∧s(x)为假，r(x)∨s(x)为真，那么实数m的取值范围为________________.

答案精析
1．A　[①当a＝0时，1＝0显然不成立；②当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4或a＝0(舍)．综上可知a＝4.选A.]
2．A　[由A∩B＝B，得B?A.若B＝?，则m＝0.若B＝{－1}，得－m－1＝0，
解得m＝－1.若B＝{}，则m－1＝0，解得m＝2.
综上，m的取值集合是{－1,0,2}．]
3．C　[由P∪M＝P，得M?P.又∵P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1.故选C.]
4．A　[∵p∨q为假，∴p，q都是假命题．由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假命题，
得?x∈R，mx2＋2>0，∴m≥0.
由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0为假，
得?x∈R，x2－2mx＋1≤0.
∴Δ＝(－2m)2－4≥0，得m2≥1，
∴m≤－1或m≥1.∴m≥1.]
5．C　[因为2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<16．C　[M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]
7．C　[对于A，根据真值表知正确；对于B，由于x＝1可以推出x≥1，但x≥1不一定能推出x＝1，故正确；对于D，由特称命题的否定形式知正确；对于C，“x＝”应为“cosx＝”的充分不必要条件．]
8．C　[若命题p为真，
则
得a>1.
若命题q为真，则2－a<0，得a>2，
故由p且綈q为真命题，得19．－1
解析　因为集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，M∩N＝N，又a2≥0，所以当a2＝0时，a＝0，此时N＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a≠0；当a2＝1时，a＝±1，a＝1时，N＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a≠1，a＝－1时，此时N＝{－1，1}，符合题意．故a＝－1.
10．(－1，)
解析　根据题意，关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]上有解，可得1－m－2≥0，从而求得m≤－1；f(x)＝log2(x2－2mx＋)在x∈[1，＋∞)上单调递增，可得
解得m<.根据“綈p”为真命题，“p∨q”为真命题，可知p假q真，
所以实数m的取值范围为(－1，)．
11．{－1}
解析　因为x＋a≥0，
所以M＝{x|x≥－a}．
又log2(x－1)<1，所以0所以1所以N＝{x|1所以?UN＝{x|x≤1或x≥3}．
又因为M∩(?UN)＝{x|x＝1或x≥3}，所以a＝－1.
12．(－∞，－2]∪[－，2)
解析　∵sin x＋cosx＝sin(x＋)≥－，∴当r(x)是真命题时，m<－.
当s(x)为真命题时，x2＋mx＋1>0恒成立，有Δ＝m2－4<0，∴－2∵r(x)∧s(x)为假，r(x)∨s(x)为真，
∴r(x)与s(x)一真一假，
∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－，且－2综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.
第50练 表面积与体积
训练目标
(1)会利用几何体的表面积、体积公式求几何体的表面积、体积；(2)能通过几何体的三视图还原几何体，求面积、体积．
训练题型
(1)求简单几何体的表面积、体积；(2)求简单的组合体的表面积、体积；(3)通过三视图还原几何体求几何体的面积、体积．
解题策略
由三视图求面积、体积关键在于还原几何体，球的问题关键在确定球半径，不规则几何体可通过分割、补形转化为规则几何体求面积、体积.
一、选择题
1．在体积为的三棱锥S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是(　　)
A. B.
C. D．12π
2．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是(　　)
A．(8＋2)π B．(9＋2)π
C．(10＋2)π D．(8＋2)π
3．(2016·山西四校联考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是(　　)
A．5＋ B．5＋2
C．4＋2 D．4＋2
4．(2016·唐山模拟)若正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为(　　)
A．64π B．32π
C．16π D．8π
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
6.如图，已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是(　　)
A.π B．2π
C.π D．3π
7．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．72 cm3 B．98 cm3
C．108 cm3 D．138 cm3
8．如图，在棱长为1的正四面体S－ABC中，O是四面体的中心，平面PQR∥平面ABC，设SP＝x(0≤x≤1)，三棱锥O－PQR的体积为V＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象大致为(　　)
二、填空题
9．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
10．(2016·九江模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E－ABCD的体积为________．
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________ cm3.
12．已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P－ABC的体积为________．
答案精析
1．B　[如图，设球心为O，半径为R，取AC中点为M，连接SM，依据图形的对称性，点O必在SM上，由题设可知××2×2×SM＝，解得SM＝2，连接OC，则在Rt△OMC中，R2＝(2－R)2＋2，解得R＝，则V＝×()3＝，故应选B.]
2．A　[从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体．圆柱的底面面积为π，侧面积为2π×1×2＝4π，圆锥的底面积为4π，由于其母线长为，因此其侧面面积为×2π×2×＝2π，故该几何体的表面积S＝2π＋4π＋4π－π＋π＝(2＋8)π，故选A.]
3.A　[该几何体的直观图如图．表面积S＝1×1＋×1×1×2＋2××(1＋2)×1＋××＝5＋，所以选A.]
4．A　[如图，作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM＝6，连接AM，AO，则OP＝OA＝R(R为外接球半径)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC为等边三角形，故AM＝＝2，则R2－(6－R)2＝(2)2，解得R＝4，则球的表面积S＝4πR2＝64π.]
5．A　[由三视图可知，该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积V＝2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π.]
6．C　[所作的截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，设正三角形ABC的高为3a，
则4a2＋1＝4，即a＝，
此时OE2＝12＋＝.截面圆半径r2＝22－＝，故截面面积为.]
7．B　[该几何体的体积V＝V长方体－V三棱柱＝6×6×3－××3×4×5＝98 (cm3)．]
8．A　[设O点到底面PQR的距离为h，即三棱锥O－PQR的高为h，设底面PQR的面积为S，∴三棱锥O－PQR的体积为V＝f(x)＝Sh，点P从S到A的过程中，底面积S一直在增大，高h先减小再增大，当底面经过点O时，高为0，∴体积先增大，后减小，再增大，故选A.]
9．1∶24
解析　设三棱锥F－ADE的高为h，则＝＝.
10．2
解析　如图所示，BE过球心O，∴DE＝＝2，
∴VE－ABCD＝×3××2＝2.
11．3
解析　×B1A1＝××AD×D1D×B1A1
＝××3×2×3＝3.
12.
解析　如图，设球心为M，△ABC截面所截小圆的圆心为O.
∵△ABC是等边三角形，∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，
∴P在平面ABC上的投影是△ABC的中心O.
设AB的中点为H，
∵PQ是直径，∴∠PCQ＝90°，
∴PC＝4cos 30°＝2，
∴PO＝2cos 30°＝3，OC＝2sin 30°＝.
∵O是△ABC的中心，∴OC＝CH，
∴△ABC的高CH＝，AC＝＝3，
∴V三棱锥P－ABC＝PO·S△ABC＝×3×××3＝.
第51练 空间点、线、面的位置关系
训练目标
(1)掌握平面的性质，能应用这些性质判断线面、面面的位置关系；(2)会利用定义判断线线、线面、面面的位置关系．
训练题型
判断点、线、面的位置关系．
解题策略
(1)借助几何体，将抽象问题形象化；(2)巧用反证法、排除法、特殊位置法化难为易.
一、选择题
1．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
2．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．异面
3．(2017·蚌埠质检)已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2∥l3
B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
C．若l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面
D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
4．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的投影分别是m1和n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1?m⊥n；②m⊥n?m1⊥n1；③m1与n1相交?m与n相交或重合；④m1与n1平行?m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2016·江门模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点．下列结论中，正确的是(　　)
A．EF⊥BB1 B．EF∥平面ACC1A1
C．EF⊥BD D．EF⊥平面BCC1B1
6.(2016·青岛平度三校上学期期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
7．有下列命题：
①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一直线平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一直线都没有公共点．
其中正确命题的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2016·上饶一模)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1的中点，且FD⊥AC1，有下述结论：
①AC1⊥BC；
②＝1；
③平面FAC1⊥平面ACC1A1；
④三棱锥D－ACF的体积为.
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．
10．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：
①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．
11．设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：
①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．
其中真命题的个数是________．
12.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0＝l，现有下列结论：
①l∥平面ABCD；
②l⊥AC；
③直线l与平面BCC1B1不垂直；
④当x变化时，l不是定直线．
其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)

答案精析
1．D
2．C　[当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l?平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．]
3．B　[两条直线都和第三条直线垂直，这两条直线不一定平行，故选项A不正确；一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它也垂直于另一条，故B正确；三条直线相互平行，这三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱所在的直线，故C不正确；三条直线相交于一点，这三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱所在的直线，故D不正确．]
4．D　[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1，AB1，B1C，A1B在底面A1B1C1D1上的投影分别是A1D1，A1B1，B1C1，A1B1.因为A1D1⊥A1B1，而AD1不垂直于AB1，故①不正确；因为AD1⊥B1C，而A1D1∥B1C1，故②不正确；因为A1D1与A1B1相交，而AD1与A1B异面，故③不正确；因为A1D1∥B1C1，而AD1与B1C异面，故④不正确．]
5．B　[如图所示，取BB1的中点M，连接ME，MF，延长ME交AA1于P，延长MF交CC1于Q，
∵E，F分别是AB1，BC1的中点，
∴P是AA1的中点，Q是CC1的中点，
从而可得E是MP的中点，F是MQ的中点，∴EF∥PQ.
又PQ?平面ACC1A1，EF?平面ACC1A1，
∴EF∥平面ACC1A1.故选B.]
6．D　[因为AC⊥平面BDD1B1，
BE?平面BDD1B1，
所以AC⊥BE，故A正确；
根据线面平行的判定定理，故B正确；
因为三棱锥的底面△BEF的面积是定值，且点A到平面BDD1B1的距离是定值，所以其体积为定值，故C正确；
很显然，点A和点B到EF的距离不一定是相等的，故D错误．]
7．A　[①正确；②有可能相交，故错误；③有可能异面，故错误；④有可能线在面内，故错误；⑤正确，因此正确命题的个数为2，故选A.]
8．C　[BC⊥CC1，但BC不垂直于AC，故BC不垂直于平面ACC1A1，所以AC1与BC不垂直，故①错误；
连接AF，C1F，可得AF＝C1F＝.
因为FD⊥AC1，
所以可得D为线段AC1的中点，
故②正确；
取AC的中点为H，连接BH，DH，
因为该三棱柱是正三棱柱，
所以CC1⊥底面ABC，
因为BH?底面ABC，所以CC1⊥BH，
因为底面ABC为正三角形，
可得BH⊥AC，
又AC∩CC1＝C，
所以BH⊥侧面ACC1A1.
因为D和H分别为AC1，AC的中点，
所以DH∥CC1∥BF，
DH＝BF＝CC1，
可得四边形BFDH为平行四边形，所以FD∥BH，
所以可得FD⊥平面ACC1A1，
因为FD?平面FAC1，
所以平面FAC1⊥平面ACC1A1，
故③正确；
VD－ACF＝VF－ADC＝·FD·S△ACD＝××(×1×2)＝，故④正确．故选C.]
9．30°
解析　∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC?平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.又AO?平面ABO，
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角的度数为30°.
10．①③
解析　由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，
①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，
又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，
∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等无法得到EF⊥AC，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确；
④中，仿照②的分析过程可知④错误，故答案为①③.
11．0
解析　因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交，平行，异面，故①错．
因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面，相交，平行，故②错．
由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面，相交，平行，故③错．
12．④
解析　连接BD，B1D1，
∵A1P＝A1Q＝x，
∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，
易证PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，
∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．
第52练 平行的判定与性质
训练目标
会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行．
训练题型
证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行．
解题策略
(1)熟练掌握平行的有关定理、性质；(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的做法.
1.(2016·成都第三次诊断)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，CE＝2EC1.
(1)若F是AB的中点，求证：
C1F∥平面BDE；
(2)求三棱锥D－BEB1的体积．
2．已知两正方形ABCD与ABEF内的点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM∶MC＝FN∶NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.
(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；
(2)若AM∶MC＝2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
3．(2016·辽宁五校协作体上学期期中)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝，AA1＝2.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．
4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC.设D，E分别为PA，AC的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：BC⊥平面PAB；
(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．

答案精析
1．(1)证明　连接CF交BD于点M，连接ME，如图所示．
易知△BMF∽△DMC.
∵F是AB的中点，∴＝＝.
∵CE＝2EC1，∴＝.
于是在△CFC1中，有＝，∴EM∥C1F.
又EM?平面BDE，C1F?平面BDE，
∴C1F∥平面BDE.
(2)解　∵V三棱锥D－BEB1＝·DC·S△BEB1＝×3××3×3＝，
∴三棱锥D－BEB1的体积为.
2.(1)证明　如图，设直线AN与直线BE交于点H，连接CH，
因为△ANF∽△HNB，
所以＝.
又＝，
所以＝，
所以MN∥CH.
又MN?平面CBE，CH?平面CBE，
所以MN∥平面CBE.
(2)解　存在，过M作MG⊥AB于点G，连接GN，则MG∥BC，
因为MG?平面CBE，
所以MG∥平面CBE，
又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，
所以平面MGN∥平面CBE.
所以点G在线段AB上，且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.
3．(1)证明　∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵A1O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A1O⊥BD.
∵A1O∩AC＝O，A1O?平面A1AC，AC?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC.
∵AA1?平面A1AC，∴AA1⊥BD.
(2)证明　∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.
∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C，同理A1B∥D1C，
∵A1B?平面A1BD，A1D?平面A1BD，CD1?平面CD1B1，B1C?平面CD1B1，
且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(3)解　∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
在正方形ABCD中，AB＝，可得AC＝2.
在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，
∴A1O＝，
∴＝S△ABD·A1O＝×()2×＝.
∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为.
4．(1)证明　因为点E是AC的中点，点D为PA的中点，
所以DE∥PC.
又因为DE?平面PBC，PC?平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
(2)证明　因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
又PA?平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，
PA?平面PAB，AB?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
(3)解　当点F是线段AB的中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．
取AB的中点F，连接EF，DF.
由(1)可知DE∥平面PBC.
因为点E是AC的中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.
又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC.
又因为DE∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
第53练 垂直的判定与性质
训练目标
会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系．
训练题型
(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直．
解题策略
证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.
1.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：
(1)AE⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面PBC；
(3)PB⊥EF.
2．(2016·福州质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，O为底面正方形对角线B1D1与A1C1的交点．
(1)求证：AC1⊥平面B1D1C；
(2)过E构造一条线段与平面B1D1C垂直，并证明你的结论．
3.(2016·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．
(1)求证：直线AB1∥平面BC1D；
(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
(3)求三棱锥C－BC1D的体积．
4．(2016·山东省实验中学质检)如图所示，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0<λ<1)．
(1)证明：PQ∥A1B1；
(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

答案精析
1．证明　(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，
即AC⊥BC.
因为PA垂直于圆O所在平面，
即PA⊥平面ABC，而BC?平面ABC，
所以BC⊥PA.
又因为AC∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为AE?平面PAC，所以BC⊥AE.
又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，
PC?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)知AE⊥平面PBC，
且AE?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)因为AE⊥平面PBC，
且PB?平面PBC，
所以AE⊥PB.
又AF⊥PB于F，
且AF∩AE＝A，AF?平面AEF，
AE?平面AEF，所以PB⊥平面AEF.
又因为EF?平面AEF，所以PB⊥EF.
2．(1)证明　∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，
∵A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，
AA1?平面AA1C1，A1C1?平面AA1C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，
∵AC1?平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1.
同理AC1⊥B1C，∵B1D1∩B1C＝B1，B1D1?平面B1D1C，B1C?平面B1D1C，
∴AC1⊥平面B1D1C.
(2)解　连接EO，则线段EO与平面B1D1C垂直．证明如下：
∵E是AA1的中点，O是A1C1的中点，∴EO∥AC1.
∵AC1⊥平面B1D1C，
∴EO⊥平面B1D1C.
3.(1)证明　连接B1C交BC1于点O，连接OD，如图，
则点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴AB1∥OD.
∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D.
(2)证明　∵AA1⊥底面ABC，
BD?底面ABC，∴AA1⊥BD.
∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.
∵AA1∩AC＝A，AA1?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
∵BD?平面BC1D，
∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.
(3)解　由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin 60°＝3，
∴S△BCD＝×3×3＝，
∴＝××6＝9.
4．(1)证明　由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1∥平面ABC，
又因为平面APQB∩平面A1B1C1＝PQ，平面APQB∩平面ABC＝AB，所以PQ∥AB.
又因为AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1.
(2)解　假设存在这样的λ满足题意，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接CE，DE，CD.由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，所以CE⊥PQ，DE⊥PQ，
所以∠CED为二面角A－PQ－C的平面角．连接C1E并延长交A1B1于点F，连接DF.
因为＝＝λ，C1A1＝2，C1F＝，
所以C1E＝λ，EF＝(1－λ)．
在Rt△CC1E中可求得CE2＝＋3λ2，
在Rt△DFE中可求得DE2＝＋3(1－λ)2.
若平面CPQ⊥截面APQB，则∠CED＝90°，
所以CE2＋DE2＝CD2，代入数据整理得3λ2－3λ＋＝0，解得λ＝，即存在满足题意的λ，λ＝.
第54练 平行与垂直综合练
训练目标
能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题．
训练题型
(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件．
解题策略
用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.
1.(2016·天津模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．
求证：(1)EF∥平面C1BD；
(2)A1C⊥平面C1BD.
2．如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，如图②所示，设点F是AB的中点．
(1)求证：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G为AC上一点，求三棱锥B－DEG的体积．
3.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.
4．(2016·北京海淀区下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.
(1)求证：BE1⊥DC；
(2)求证：DM∥平面BCE1；
(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．

答案精析
1．证明　(1)如图，连接AD1，
∵E，F分别是AD和DD1的中点，
∴EF∥AD1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，
即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.
又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD，
∴EF∥平面C1BD.
(2)如图，连接AC，则AC⊥BD.
∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA1⊥BD.
又AA1∩AC＝A，AA1?平面AA1C，AC?平面AA1C，
∴BD⊥平面AA1C，A1C?平面AA1C，
∴A1C⊥BD.
同理可证A1C⊥BC1.
又BD∩BC1＝B，BD?平面C1BD，BC1?平面C1BD，
∴A1C⊥平面C1BD.
2．(1)证明　取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，
所以∠A＝30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP＝，∠DCP＝30°，∠PDC＝60°.
又点E在线段AC上，CE＝4，
所以AE＝2，EP＝1，所以∠EDP＝30°，
所以∠EDC＝90°，所以ED⊥DC.
因为平面BCD⊥平面ACD，且平面BCD∩平面ACD＝DC，所以DE⊥平面BCD.
(2)解　若EF∥平面BDG，其中G为AC上一点，
则易知G为EC的中点，此时AE＝EG＝GC＝2.
因为在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，
所以BD＝，DC＝＝2，
所以B到DC的距离h＝＝＝.
因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝DC，
所以B到DC的距离h就是三棱锥B－DEG的高，
所以三棱锥B－DEG的体积V＝·S△DEG·h＝××＝.
3．证明　(1)如图，取PD中点G，连接AG，FG，
因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD.
又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD.
所以AE∥FG，AE＝FG.
所以四边形AEFG为平行四边形．
所以EF∥AG，又EF?平面PAD，
AG?平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点，得＝＝，
又因为AB＝，BC＝1，
所以AC＝，AH＝AC＝.
所以＝＝，又∠BAC为公共角，所以△HAE∽△BAC.
所以∠AHE＝∠ABC＝90°，
即DE⊥AC.
又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以DE⊥平面PAC.
又DE?平面PDE，
所以平面PAC⊥平面PDE.
4．(1)证明　因为四边形ABE1F1为矩形，
所以BE1⊥AB.
因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，
且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，
BE1?平面ABE1F1，
所以BE1⊥平面ABCD.
因为DC?平面ABCD，
所以BE1⊥DC.
(2)证明　因为四边形ABE1F1为矩形，
所以AM∥BE1.
因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，
AD?平面ADM，AM?平面ADM，
BC?平面BCE1，BE1?平面BCE1，
所以平面ADM∥平面BCE1.
因为DM?平面ADM，
所以DM∥平面BCE1.
(3)解　直线CD与ME1相交，理由如下：
取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，
所以PQ∥BE1，且PQ＝BE1.
在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，
所以AM∥BE1，且AM＝BE1，
所以PQ∥AM，且PQ＝AM.
所以四边形APQM为平行四边形，
所以MQ∥AP，MQ＝AP.
因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC＝2AD，
所以AD∥PC，AD＝PC，
所以四边形ADCP为平行四边形．
所以CD∥AP且CD＝AP.
所以CD∥MQ且CD＝MQ.
所以四边形CDMQ是平行四边形．
所以DM∥CQ，即DM∥CE1.
因为DM≠CE1，
所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，
所以直线CD与ME1相交．
第55练 空间角与距离
训练目标
(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题．
训练题型
(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离．
解题策略
利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为，底面是边长为的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A. B.
C. D.π
3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
4.如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．
5.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为________．
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：
①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；
②二面角P－BC1－D的大小为定值；
③三棱锥D－BPC1的体积为定值；
④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．
其中真命题的个数为________．
三、解答题
7.(2016·潍坊模拟)如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．
8.(2016·辽宁沈阳二中月考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.
(1)求证：PB∥平面COD；
(2)求二面角O－CD－A的余弦值．
9.如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
(1)求证：EP⊥AC；
(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．

答案精析
D　[连接A1B，易知∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，
设AB＝a，易求得AD＝a，A1D＝，
则A1B＝＝a，故cos∠A1AB＝＝.]
2．B　[因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成的角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为，底面三角形的边长为，所以S△ABC·AA1＝，可得AA1＝.
又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝＝，
又直线与平面所成的角属于[0，]，所以∠APA1＝.]
3．A　[作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示．
∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，
∴BC⊥平面SAD，又BC?平面SBC，
∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．
在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin 60°＝a.由＝，
得AH＝＝＝，即点A到平面SBC的距离为.]
4．45°
解析　取BD的中点F，连接EF，AF(图略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝CD＝BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°.
5．60°
6．4
解析　对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，
在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，
所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；
对于②，因为二面角P－BC1－D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，
而这两个平面为固定不变的平面，
所以夹角也为定值，故②正确；
对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，
而△DBC1面积一定，
又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，
所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，故③正确；
对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，
平面BCC1B1中，且这两个平面平行，
由异面直线间的距离定义及求法，
知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，
所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．
综上知，真命题的个数为4.
7．(1)证明　如图，过点F作FH∥EA交AB于点H，连接HC.
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EA∥DC.
又FH∥EA，
∴FH∥DC.
∵F是EB的中点，
∴FH＝AE＝DC.
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴DF∥CH.
又CH?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
(2)解　∵△ABC为正三角形，H为AB的中点，∴CH⊥AB.
∵EA⊥平面ABC，CH?平面ABC，
∴CH⊥EA.
又EA∩AB＝A，EA?平面AEB，
AB?平面AEB，
∴CH⊥平面AEB.
∵DF∥CH，
∴DF⊥平面AEB，
∴AF为DA在平面AEB上的投影，
∴∠DAF为直线AD与平面AEB所成的角．
在Rt△AFD中，AD＝a，DF＝a，sin∠DAF＝＝，
∴直线AD与平面AEB所成角的正弦值为.
8．(1)证明　因为PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB?平面ABC，
所以PO⊥AB，DA⊥AB.
又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45°.
因为OB＝AB，
所以OA＝AB，所以OA＝OB，
又AO＝PO，所以OB＝OP，
所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.
又PB?平面COD，OD?平面COD，
所以PB∥平面COD.
(2)解　如图，过A作AM⊥DO，垂足为M，
过M作MN⊥CD于N，连接AN，
则∠ANM为二面角O－CD－A的平面角．设AD＝a，
在等腰直角三角形AOD中，得AM＝a，
在直角三角形COD中，得MN＝a，
在直角三角形AMN中，得AN＝a，
所以cos∠ANM＝.
9．(1)证明　设AC交BD于O点，
∵S－ABCD为正四棱锥，
∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，
又AC?平面ABCD，
∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，
BD?平面SBD，SO?平面SBD，
∴AC⊥平面SBD，
∵E，F，G分别为BC，SC，CD的中点，
∴FG∥SD，BD∥EG.
又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，
FG?平面EFG，EG?平面EFG，
SD?BSD，BD?平面BSD，
∴平面EFG∥平面BSD，
∴AC⊥平面GEF.
又∵PE?平面GEF，∴PE⊥AC.
(2)解　过B作BH⊥GE于H，连接PH，
∵BD⊥AC，BD∥GH，
∴BH∥AC，
由(1)知AC⊥平面GEF，
则BH⊥平面GEF.
∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．
在Rt△BHP中，BH＝，PH＝，PB＝，
故cos∠BPH＝＝.
第56练 向量法求解立体几何问题
训练目标
会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题．
训练题型
(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离．
解题策略
(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；
(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.
1.(2016·吉林实验中学质检)如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.
(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD；
(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
2．(2017·上饶月考)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
3.(2017·南昌月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
4．(2017·太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是.

答案精析
1．(1)证明　因为平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直．以B为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正
方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，
所以＝.
易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,1,0)，
所以·n＝·(0,1,0)＝0，所以⊥n.
又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD.
(2)解　当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
理由如下：因为＝(2，－2,1)，＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
取y1＝1，得平面PCD的一个法向量为n1＝(0,1,2)．
假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值为.
设＝λ(0≤λ≤1)，
则＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)，
＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．
所以sin α＝|cos〈，n1〉|＝＝＝＝.
所以9λ2－8λ＋4＝5，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．
因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
2．证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为(，，0)，(0,0,1)．
所以＝(－，－，1)．
又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)，
所以＝(－，－，1)．
所以＝，且NE与AM不共线．
所以NE∥AM.又因为NE?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝(－，－，1)，
因为D(，0,0)，F(，，1)，
所以＝(0，，1)．
所以·＝0，所以⊥，
所以AM⊥DF，同理AM⊥BF，
又DF∩BF＝F，DF?平面BDF，
BF?平面BDF，
所以AM⊥平面BDF.
3．(1)证明　取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.
又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1?平面B1OD，B1D?平面B1OD，
所以AB⊥平面B1OD，
因为OD?平面B1OD，所以AB⊥OD.
由已知条件知，BC⊥BB1，
又OD∥BC，所以OD⊥BB1.
因为AB∩BB1＝B，AB?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，
所以OD⊥平面ABB1A1.
因为OD?平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.
(2)解　由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系，连接B1C.
由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，
∴＝(0,1，－)，＝(1,0，－)，＝(－1,0，)，
＝(1,2，－)，设＝λ(0<λ<1)，
由＝＋＝(1－λ，2，(λ－1))，设平面BB1D的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则得
令z1＝1，则x1＝y1＝，
所以平面BB1D的法向量为m＝(，，1)．
设平面B1DE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则
得
令z2＝1，则x2＝，y2＝，
所以平面B1DE的一个法向量n＝(，，1)．
设二面角E－B1D－B的大小为θ，
则cosθ＝＝＝－.
解得λ＝.
所以在线段CC1上存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－，此时＝.
4．(1)证明　在直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，AD?平面ADE，所以AB⊥AD.
又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AD∩AF＝A，AB?平面ABFE，AF?平面ABFE，
所以AD⊥平面ABFE.
因为AD?平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)解　由(1)知AD⊥平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设h为点P到平面ABCD的距离．
则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h,1)，＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(1，－h,1)．
设平面AFC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
取x1＝1，则y1＝z1＝－1，
所以m＝(1，－1，－1)．
设平面AFP的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝－1－h，
所以n＝(1，－1，－1－h)．
因为二面角C－AF－P的余弦值为，
所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，
解得h＝1.
第57练 高考大题突破练——立体几何
1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；
(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值．
2.如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝DC
＝AB＝1，M为PC的中点，N点在AB上且AN＝NB.
(1)证明：MN∥平面PAD；
(2)求直线MN与平面PCB所成的角．
3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
(2)证明：C1F∥平面ABE；
(3)设P是BE的中点，求三棱锥P－B1C1F的体积．
4．(2016·浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求二面角BADF的平面角的余弦值．

答案精析
1．解　(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD＝6，故所求体积是V＝×62×6＝72.
(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D1－ABCD，D1－BB1C1C，D1－BB1A1A组成．其拼法如图2所示.
(3)因为△AB1E的边长AB1＝6，B1E＝3，AE＝9，所以S△AB1E＝27，而S△ABC＝18，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为＝.
2．证明　方法一　(1)过点M作ME∥CD交PD于E点，连接AE，
∵AN＝NB，∴AN＝AB＝DC＝EM，
又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，
∴四边形AEMN为平行四边形，
∴MN∥AE，
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)过N点作NQ∥AP交BP于点Q，
NF⊥CB于点F，连接QF，过N点作NH⊥QF于点H，
连接MH，易知QN⊥平面ABCD，
∴QN⊥BC，又NF⊥BC，NF∩QN＝N，NF?平面QNF，QN?平面QNF，
∴BC⊥平面QNF，∴BC⊥NH，
∵NH⊥QF，BC∩QF＝F，
BC?平面PBC，QF?平面PBC，
∴NH⊥平面PBC，
∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成角，
通过计算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，
∴NH＝＝＝，
∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°，
∴直线MN与平面PCB所成角为60°.
方法二　(1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，
过点作ME∥CD，ME交PD于点E，连接AE，
由已知可得A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，
M(，，)，E(，0，)，N(0，，0)．
∵＝(，0，)，＝(，0，)，
∴MN∥AE，∵MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)不妨设a＝(1，y，z)，且a⊥平面PCB，
则a⊥，a⊥，
而＝(1，－1,0)，＝(0，－2,1)，
∴?
∴a＝(1,1,2)．
∴cos〈a，〉＝＝＝.
即向量a与的夹角为30°，
∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.
3．(1)证明　在△ABC中，
∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，
∴AB＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
由已知得AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，
又∵BC?平面BB1C1C，
BB1?平面BB1C1C，
∴AB⊥平面BB1C1C，
又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BB1C1C.
(2)证明　取AC的中点M，连接C1M，FM，
在△ABC中，FM∥AB，
而FM?平面ABE，
AB?平面ABE，
∴直线FM∥平面ABE，
在矩形ACC1A1中，E，M分别是A1C1，AC的中点，∴C1M∥AE，
而C1M?平面ABE，AE?平面ABE，
∴C1M∥平面ABE，
∵C1M∩FM＝M，C1M?平面FMC1，FM?平面FMC1，
∴平面ABE∥平面FMC1，
又C1F?平面FMC1，
故C1F∥平面ABE.
(3)解　取B1C1的中点H，连接EH，
则EH∥AB，且EH＝AB＝，
又AB⊥平面BB1C1C，
∴EH⊥平面BB1C1C，
∵P是BE的中点，
∴
＝×·EH
＝××2×＝.
4．(1)证明　延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，CK，AC都在平面ACFD内，
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解　方法一　过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.
因为BF⊥平面ACFD，AK在平面ACFD内，所以BF⊥AK，
则AK⊥平面BQF，BQ在平面BQF内，所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角BADF的平面角．
在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.
在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，
得cos∠BQF＝.
所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.
方法二　因为△BCK为等边三角形，取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，
又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.
以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得B(1,0,0)，C(－1,0,0)，K(0,0，)，A(－1，－3，0)，E，
F.
因此，＝(0,3,0)，＝(1,3，)，＝(2,3,0)．
设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
由得
取m＝(，0，－1)；
由得
取n＝(3，－2，)．
于是，cos〈m，n〉＝＝.
所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.
第58练 直线的斜率与倾斜角
训练目标
理解斜率、倾斜角的几何意义，会求直线的斜率和倾斜角．
训练题型
(1)求直线的斜率；(2)求直线的倾斜角；(3)求倾斜角、斜率的范围．
解题策略
(1)理解斜率和倾斜角的几何意义，熟练掌握计算公式；(2)利用正切函数单调性确定斜率和倾斜角的范围.
一、选择题
1．与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
2．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角α是(　　)
A．－ B.
C. D.
3．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是(　　)
A．0 B.
C. D．－
4．直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
5．(2016·济南一模)曲线y＝|x|与y＝kx－1有且只有一个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．－1≤k≤1 B．－1≤k≤0
C．0≤k≤1 D．k<－1或k>1
6．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，的取值范围是(　　)
A．[－，2] B．[0，]
C．[－，] D．[2,4]
7．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0≤α<π B．0≤α≤或<α<π
C．0≤α≤ D.≤α<或<α<π
8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
二、填空题
9．(2016·广州模拟)已知直线l的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，则直线l的斜率的取值范围是________．
10．已知A(－1,2)，B(2，m)，且直线AB的倾斜角α是钝角，则m的取值范围是________．
11．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．
12．(2016·黄山一模)已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为________.

答案精析
1．B　[直线的方程化为y＝－x＋，与该直线垂直的直线的斜率为，又因为倾斜角范围为[0，π)，所以所求倾斜角为.]
2．D　[∵tan α＝－＝－tan ＝tan ，∵α∈[0，π)，∴α＝.]
3．C　[斜率为－，倾斜角为120°，P顺时针旋转60°，倾斜角为60°，斜率为.]
4．B　[设直线的倾斜角为θ，
依题意知，k＝－cosα，
∵cosα∈[－1,1]，∴k∈，
即tan θ∈.
又θ∈[0，π)，∴θ∈∪，故选B.]
5．D　[y＝|x|的图象如图所示，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k≤1时，没有交点；当k<－1或k>1时，仅有一个交点．]
6．C　[的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]，设该线段为AB，且A(2,4)，B(5，－2)．
因为kNA＝，kNB＝－?－≤≤，故选C.]
7．B　[直线l的斜率为k＝＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以<α<π或0≤α≤，故选B.]
8．A　[由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，
所以由中点坐标公式得k＝－.]
9．(－1,1]
解析　由直线l的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，可得0≤k≤1或－110．(－∞，2)
解析　k＝＝<0，m<2.
11．[0,1]
解析　y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝＝1.
∴k的取值范围是[0,1]．
12．(－，－)
解析　因为直线x＋2y－1＝0与直线x＋2y＋3＝0平行，
所以＝，
可得x0＋2y0＋1＝0.
因为y0>x0＋2，
所以－(1＋x0)>x0＋2，
解得x0<－.
设＝k，所以k＝＝－－，
因为x0<－，所以0<－<，
所以－<<－.
第59练 直线的方程
训练目标
熟练掌握直线方程的五种形式，会求各种条件的直线方程．
训练题型
(1)由点斜式求直线方程；(2)利用截距式求直线方程；(3)与距离、面积有关的直线方程问题；(4)与对称有关的直线方程问题．
解题策略
(1)根据已知条件确定所求直线方程的形式，用待定系数法求方程；(2)利用直线系方程求解.
一、选择题
1．经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－1＝0
C．x＝1或y＝1 D．x＋y－2＝0或x－y＝0
2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
3．光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上被反射后光线所在的直线方程是(　　)
A．y＝－ B．y＝2x＋
C．y＝＋ D．y＝＋1
4．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和第二、四象限，则(　　)
A．C＝0，且B>0 B．C＝0，B>0，A>0
C．C＝0，AB<0 D．C＝0，AB>0
5．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x－y＋(a＋b)＝0 D．x＋y＋(a＋b)＝0
6．(2016·合肥模拟)将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为(　　)
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
7．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.ab B.|ab|
C. D.
8．(2017·福州月考)若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
二、填空题
9．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是________．
10．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈[－3,4]时，恰好y∈[－8,13]，则此直线方程为________．
11．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为______________．
12．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________；
(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为________________.

答案精析
1．D　[由题意得，当直线过原点时，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入M(1,1)，解得a＝2，即＋＝1，所以直线的方程为x＋y－2＝0，综上所述，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x－y＝0.]
2．C　[由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，故选C.]
3．A　[在直线y＝2x＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y＝x的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点的直线为＝，即y＝－.故选A.]
4．D　[直线过原点，则C＝0，又过第二、四象限，∴斜率为负值，即k＝－<0，
∴AB>0，故选D.]
5．A　[由题意知，kPQ＝－1，故直线l的斜率k＝1，又直线l过线段PQ的中点M(，)，故直线l的方程为y－＝x－，即x－y＝0.]
6．A　[将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.]
7．D　[令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，SΔ＝||||＝.]
8．C　[∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.]
9．2x＋y＋1＝0
解析　∵点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0.
由此可知，点P1(a1，b1)的坐标满足2x＋y＋1＝0.
∵点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，
∴2a2＋b2＋1＝0.
由此可知，点P2(a2，b2)的坐标也满足2x＋y＋1＝0.
∴过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
10．y＝3x＋1或y＝－3x＋4
解析　方程y＝kx＋b，即一次函数y＝kx＋b，由一次函数单调性可知：
当k>0时，函数为增函数，
∴解得
当k<0时，函数为减函数，
∴
解得
11．3x－2y＋5＝0
12．(1)x－y＝0或x＋y－2＝0
(2)x＋y－2＝0
解析　(1)当直线l经过坐标原点时，
由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a＋2＝0，解得a＝－2.
此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；
当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
(2)由直线方程可得M(，0)，N(0,2＋a)，因为a>－1，
所以S△OMN＝××(2＋a)＝×
＝[(a＋1)＋＋2]
≥[2 ＋2]＝2.
当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
第5练 集合与常用逻辑用语
训练目标
(1)集合与常用逻辑用语概念的再深化；(2)解题步骤的严谨性，转化过程的等价性．
训练题型
(1)集合的基本运算；(2)四种命题及真假判断；(3)充要条件的判断；(4)量词．
解题策略
(1)根据集合运算的定义进行，同时注意数形结合思想的应用；(2)了解相关概念，注意逻辑推理的严谨性.
一、选择题
1.全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x≤1} D．{x|0≤x≤1}
2．(2016·石家庄模拟)定义A×B＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，若A＝{x|－1A．{x|－1C．{x|－23．“sin α＝”是“α＝30°”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2016·郑州模拟)已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
5．(2017·广东七校联考)下列有关命题的说法正确的是(　　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．命题“?x0∈R使得x＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”
6．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的必要不充分条件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<2
7．设集合A＝，B＝{x||x－1|A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知命题p：?x0∈R，mx＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]，[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)
二、填空题
9．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|110．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是____________．
11．已知下列命题：
①命题“?x0∈R，x＋1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1＜3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
12．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若满足?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是________________.
答案精析
1．D　[阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|－1≤y≤1}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D.]
2．D　[∵A＝{x|－1∴A×B＝{x|－23．B　[若α＝30°，可得sin α＝；若sin α＝，可以举特殊例子，α＝150°时，sin 150°＝，∴“sin α＝”是“α＝30°”的必要不充分条件，故选B.]
4．B　[因为当x＝－1时，2－1>3－1，所以命题p：?x∈R,2x<3x为假命题，则綈p为真命题．令f(x)＝x3＋x2－1，因为f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0.所以函数f(x)＝x3＋x2－1在(0,1)上存在零点，即命题q：?x0∈R，x＝1－x为真命题，则(綈p)∧q为真命题，故选B.]
5．C　[命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“?x0∈R使得x＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．综上可得只有C正确．]
6．D　[“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根”的等价条件是所以a<0.
当a<0时，必有a<2，故选D.]
7．A　[由题意得A＝{x|－1①当a＝1时，B＝{x|0则A∩B＝{x|0②若a＝，则A∩B＝{x|－1综合得“a＝1”是“A∩B≠?”的充分不必要条件，故选A.]
8．D　[由p：?x0∈R，mx＋1≤0，可得m<0，由q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－29．{a|a≤0或a≥6}
解析　|x－a|<1?－1故a＋1≤1或a－1≥5，即a≤0或a≥6.
10．[0，]
解析　由p：|4x－3|≤1，得≤x≤1，
由q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
得a≤x≤a＋1.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
即由命题p成立能推出命题q成立，
但由命题q成立不能推出命题p成立．
∴[，1]?[a，a＋1]且[，1]≠[a，a＋1]．
∴a≤且a＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤.
∴实数a的取值范围是[0，]．
11．②
解析　命题“?x0∈R，x＋1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(綈p)∧(綈q)为真命题，故②正确；a＞5?a＞2，但a＞2?/ a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
12．(－4,0)
解析　f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)为二次函数．
若?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则必须有抛物线开口向下，即m<0.
又∵当x≥1时，g(x)≥0；
当x<1时，g(x)<0.
∴当x≥1时，f(x)<0.
f(x)＝0有两根x1＝2m，x2＝－m－3.
当x1>x2，即m>－1时，则x1<1，
即m<，∴－1当x1即m>－4，∴－4当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1.
综上可知，m的取值范围为－4第60练 两直线的位置关系
训练目标
会判断两直线的位置关系，能利用直线的平行、垂直、相交关系求直线方程或求参数值．
训练题型
(1)判断两直线的位置关系；(2)两直线位置关系的应用；(3)直线过定点问题．
解题策略
(1)判断两直线位置关系有两种方法：①斜率关系，②系数关系；(2)在平行、垂直关系的应用中，要注意结合几何性质，利用几何性质，数形结合寻求最简解法.
一、选择题
1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于(　　)
A. B．2
C．－1 D．2或－1
2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2
C．0 D．8
3．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．2
5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A. B.
C．8 D．2
6．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)
A．－2 B．－7
C．3 D．1
8．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0
二、填空题
9．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________．
10．定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：
①若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行；
②若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行；
③若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直；
④若d1·d2<0，则直线P1P2与直线l相交．
其中正确命题的序号是________．
11．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－，若直线x＋y－3an＝0和直线2x－y＋2an－1＝0的交点M在第四象限，则满足条件的an的值为________．
12．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________.

答案精析
1．D　[由题意得a(a－1)－2×1＝0(a≠1)，即a2－a－2＝0，所以a＝2或－1.故选D.]
2．A　[∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]
3．C　[当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.]
4．B　[由已知两直线垂直得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1.两边同除以b，得ab＝＝b＋.由基本不等式，得b＋≥2 ＝2，当且仅当b＝1时等号成立．故选B.]
5．D　[∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.故选D.]
6．C　[由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.]
7．C　[由已知kAB＝2，即＝2，解得m＝3.]
8．D　[由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3,4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，
∴直线PB的方程为x＋y－7＝0.]
9．x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
10．④
解析　当d1＝d2＝0时，命题①②③均不正确；当d1·d2<0时，P1，P2在直线的异侧，故命题④正确．
11．0或－
解析　联立方程解得
即两直线交点为M(，)，
由于交点在第四象限，
故
解得－1由于an＝a1＋(n－1)d＝－＋，
所以－1<－＋<，
即所以n＝3,4，则a3＝0，a4＝－.
12．25
解析　由两直线互相平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1，
又a，b为正数，
所以2a＋3b＝(2a＋3b)·(＋)
＝13＋＋≥13＋2 ＝25，
当且仅当a＝b＝5时等号成立，
故2a＋3b的最小值为25.
第61练 直线与圆、圆与圆的位置关系
训练目标
(1)会求圆的方程；(2)会判断直线与圆的位置关系；(3)会判断两圆的位置关系；(4)能应用直线与圆、圆与圆的位置关系解决相关问题．
训练题型
(1)求圆的方程；(2)判断直线与圆、圆与圆的位置关系；(3)直线与圆的位置关系的应用．
解题策略
(1)代数法：联立直线与圆，圆与圆的方程，解方程组；(2)几何法：圆心到直线的距离与半径比较，两圆圆心距与半径之和、半径之差比较.
一、选择题
1．(2016·洛阳统考)在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
4．(2016·惠州三调)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　)
A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
5．(2017·大庆月考)能够把圆O：x2＋y2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为圆O的“亲和函数”，下列函数不是圆O的“亲和函数”的是(　　)
A．f(x)＝4x3＋x2 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ D．f(x)＝tan
6．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6y＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x＋y－3＝0 D．4x－3y＋7＝0
7．已知集合A＝{(x，y)|x(x－1)＋y(y－1)≤r}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2}，若A?B，则实数r可以取的一个值是(　　)
A.＋1 B.
C．2 D．1＋
8．(2016·揭阳一模)已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|＋|≥||，则k的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
二、填空题
9．以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为__________________．
10．(2016·济南模拟)已知P是直线3x＋4y－10＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．
11．(2016·甘肃天水一中一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．
12．已知P(2,0)为圆C：x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若△ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为________.

答案精析
1．A　[圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，
由题意知]
2．A　[设圆心为(a,1)(a>0)，∴＝1，∴a＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
3．B　[设P(x，y)，由题意知有(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π.]
4．A　[由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d5．C　[若函数f(x)是圆O的“亲和函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称．
圆O：x2＋y2＝9的圆心为坐标原点，
A中f(x)＝4x3＋x2，B中f(x)＝ln，D中f(x)＝tan 的图象均过圆心O(0,0)，
在C中，f(x)＝的图象不过圆心，不满足要求，故选C.]
6．C　[由平面几何知识知，AB的垂直平分线就是连心线．由于两圆的圆心分别为(2，－3)和(0,3)．连心线的斜率为＝－3，直线方程为y－3＝－3x，整理得3x＋y－3＝0，
故选C.]
7．A　[A＝.B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2}．
根据选项分析，A、B分别表示两个圆及其内部，要满足A?B，即两圆内切或内含．
故圆心距|O1O2|＝≤|r1－r2|，即
≤?r2－2·r·＋r＋≥?r≥0
?r－2＋1≥0?r＋1≥2?r2－2r－1≥0?r≥1＋.
显然，r≥1＋>2，故只有A项正确．]
8．B　[由已知得圆心到直线的距离小于半径，即<2，又k>0，故0如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，由|＋|≥||，
得||≥||，即∠MBO≥，
因为|OB|＝2，所以|OM|≥1，故≥1，k≥.②
综合①②得，≤k<2，故选B.]
9．x2＋y2－4x＋4y－17＝0
解析　方法一　将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
由解得两交点坐标A(－1,2)，B(5，－6)．
∵所求圆以AB为直径，
∴所求圆的圆心是AB的中点M(2，－2)，圆的半径为r＝|AB|＝5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
方法二　求得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
设所求圆x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，
则圆心为.
∵圆心在公共弦所在直线上，
∴4×＋3－2＝0，解得λ＝.
故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
10．2
解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C(1，－2)，半径为1，且直线与圆相离，
如图所示，
四边形PACB的面积等于2S△PAC，
而S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，
又 |PC|min＝＝3，
所以(S△PAC)min＝＝，
故四边形PACB面积的最小值为2.
11．[0，]
解析　设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，知＝2.
化简得x2＋(y＋1)2＝4，
∴点M的轨迹为以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.
又∵点M在圆C上，
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3.
∵圆C的圆心在直线y＝2x－4上，∴设C(a,2a－4)，
∴|CD|＝，∴1≤≤3，
解得0≤a≤.
12．[，)
解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋m)2＝8，
则圆心坐标为(1，－m)，半径r＝2，
S△ABC＝r2sin∠ACB＝4sin∠ACB，
当∠ACB＝90°时，△ABC的面积取得最大值4，
此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝r＝4，
则点C到直线AB的距离等于2，
故2≤PC<2，即2≤<2，
所以4≤1＋m2<8，即3≤m2<7，因为m>0，所以≤m<.
第62练 直线与圆综合练
训练目标
(1)直线与圆的位置关系的判断与应用；(2)训练解题步骤的规范性．
训练题型
(1)求圆的方程；(2)切线问题、弦长问题；(3)直线与圆的位置关系的应用．
解题策略
利用直线与圆的位置关系的几何意义、弦长公式及弦心距、半径、弦长的一半之间的关系，列方程或不等式.
一、选择题
1．过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为(　　)
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
2．已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为(　　)
A．9 B．3
C．2 D．2
3．已知圆x2＋y2＝4，过点P(0，)的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最大值是(　　)
A. B．2
C．2 D．4
4．已知直线l：x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则在x轴正方向上投影的绝对值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
6．已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r>0)上存在点P(不同于M，N)，使得PM⊥PN，则实数r的取值范围是(　　)
A．(1,5) B．[1,5]
C．(1,3] D．[1,3]
7．(2016·西安西北工业大学附中训练)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
8．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是________________．
10．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
三、解答题
11．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y＝x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切．
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

答案精析
1．B　[以PO为直径的圆(x－1)2＋2＝与圆x2＋y2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x＋3y－1＝0.]
2．B　[由题意知，圆心在直线2x＋y＝0上，∴2－m＝0，解得m＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为3.]
3．B　[当直线l的斜率不存在时，不符合题意，当直线l的斜率存在时，|AB|＝2＝2，所以S△OAB＝|AB|·d＝·d＝≤＝2，当且仅当4－d2＝d2，即d＝时等号成立，所以△OAB面积的最大值是2.]
4．C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，在x轴正方向上投影的绝对值为|x2－x1|.联立直线和圆的方程消去y得x2＋x－2＝0，解得两根为－2，1，故|x2－x1|＝3.]
5．B　[圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3)，故EF＝.
∴BD＝2＝2，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝10.]
6．A　[依题意得以AB为直径的圆和圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r>0)有交点，圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0化为标准方程得(x－3)2＋y2＝r2.两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，两圆的圆心距为3，故|r－2|<37．B　[圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9，
表示以C(1，－1)为圆心、3为半径的圆．
圆心到直线的距离d＝＝.
9－d2＝9－＝，
而方程7a2－4a＋7＝0的判别式
Δ＝16－196＝－180<0，
故有9>d2，即d<3，故直线和圆相交．]
8．B　[由x2＋y2－4x－4y－10＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝18，
所以r＝3.
如图，若圆O′上至少有三个不同的点到直线l的距离为2，则需要直线l在如图中的l1和l2之间(包括l1和l2)，l1和l2为临界位置，此时圆心O′(2,2)到直线l：ax＋by＝0的距离为d＝，从而易求l1的倾斜角为，l2的倾斜角为，所以直线l的倾斜角的取值范围为.]
9．x－y＋3＝0
解析　易知点P在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB|最小，则AB⊥CP，因为圆心C(0,1)，所以kCP＝＝－1，kl＝1，因此直线l的方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.
10．±1
解析　因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离
d＝rsin 45°＝，即d＝＝，所以a＝±1.
11．解　(1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(2，2)，
因为直线l的斜率为，
所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，所以k2＝，
所以反射光线l2所在的直线方程为y－2＝(x－2)，
即x－y－4＝0.
由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，
因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，所以b＝－a＋8，①
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，所以a＝3，②
由①②得a＝3，b＝－1，
故圆C的半径r＝3，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9.
综上，l2所在直线的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9.
(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为B′(x0，y0)，
即＝·，且＝－，
解得x0＝－2，y0＝2，故B′(－2，2)．
由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，|PB|＋|PQ|最小，
故|PB|＋|PQ|的最小值为|B′C|－3＝－3＝2－3，
由
得P(，)，
故|PB|＋|PQ|的最小值为2－3，
此时点P的坐标为(，)．
第63练 椭圆的定义与标准方程
训练目标
(1)理解椭圆的定义，能利用定义求方程；(2)会依据椭圆标准方程用待定系数法求椭圆方程．
训练题型
(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆定义的应用；(3)求参数值．
解题策略
(1)定义法求方程；(2)待定系数法求方程；(3)根据椭圆定义及a、b、c之间的关系列方程求参数值.
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
2．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为，则椭圆C的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．(2017·兰州质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O为坐标原点，若|OP|＝|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
4．(2016·衡水模拟)已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P的坐标为(　　)
A．(－2,0) B．(0,1)
C．(2,0) D．(0,1)或(0，－1)
5．(2016·三明模拟)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为(　　)
A．30 B．25
C．24 D．40
6．(2017·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为 (　　)
A. B.
C．2 D.
8．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
二、填空题
9．(2016·池州模拟)已知M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________．
10．(2016·豫北六校联考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．
11．(教材改编)已知点P(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上，则x2＋2y的最大值f(b)＝__________________.(用含b的代数式表示)
12．(2016·合肥一模)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.

答案精析
1．A　[由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，
∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]
2．C　[由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝＝，解得a＝2，
故b＝＝2，因为焦点在y轴上，故选C.]
3．C　[由|OP|＝|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，可得点P是椭圆的短轴端点，
即P(0，±b)，故b＝×2c＝c，
故a＝c，即离心率e＝＝，故选C.]
4．D　[由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，
即P(0，－1)或P(0,1)时，取“＝”．]
5．C　[∵|PF1|＋|PF2|＝14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.]
6．A　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，
联立得a2＝8，b2＝6.]
7．A　[由e＝＝，得a＝2c，所以b＝＝c，
则方程ax2＋2bx＋c＝0为2x2＋2x＋1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
则点P(x1，x2)到原点的距离为
d＝＝＝＝，故选A.]
8．D　[圆F的方程转化为标准方程得，(x－1)2＋y2＝12?F(1,0)，半径r＝2，由已知可得|FB|＝|PF|＋|PB|＝|PF|＋|PA|＝2>2＝|AF|?动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆?a＝，c＝1?b2＝a2－c2＝2?动点P的轨迹方程是＋＝1，故选D.]
9．8
解析　依题意得，a＝2，M(，0)与F(－，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆的左焦点F(－,0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.
10.＋＝1
解析　设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，
C，F(，0)，
依题意，得＝，所以M，
由于O，C，M三点共线，所以＝，
即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2，所以所求的椭圆的方程为＋＝1.
11.
解析　由＋＝1，得x2＝4，令T＝x2＋2y，将其代入得T＝4－＋2y.
即T＝－2＋＋4(－b≤y≤b)．当≤b，即0当>b，即b>4，y＝b时，f(b)＝2b.
所以f(b)＝
12.＋＝1
解析　由题意可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，
即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，
所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A(，)，
易知另一切点为B(1,0)，
则直线AB的方程为y＝－2x＋2.
令y＝0得右焦点为(1,0)，即c＝1，
令x＝0得上顶点为(0,2)，即b＝2，
所以a2＝b2＋c2＝5，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
第64练 椭圆的几何性质
训练目标
熟练掌握椭圆的几何性质并会应用．
训练题型
(1)求离心率的值或范围；(2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何性质综合应用．
解题策略
(1)利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a找等量关系；(2)利用a2＝b2＋c2及离心率e＝找等量关系；(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.
一、选择题
1．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2．(2017·衡水调研)已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1，F2，M是椭圆C上的一点，且满足||＝2||＝2||，则椭圆C的离心率e等于(　　)
A. B.
C. D.
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左，右焦点分别是F1，F2，B是短轴的一个端点，若3＝＋2，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5．(2016·潍坊模拟)设F是椭圆＋y2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于(M＋m)的点的坐标是(　　)
A．(0，±2) B．(0，±1)
C. D.
6．(2016·济南模拟)在椭圆＋＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
7．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，离心率为，M是椭圆上一点且MF2与x轴垂直，则直线MF1的斜率为(　　)
A．± B．±
C．± D．±
8．(2016·北京海淀区期末)若椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；
②>；
③a－a＝b－b；
④a1－a2其中，所有正确结论的序号是(　　)
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
二、填空题
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.
10．(2017·广州联考)已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
11．(2016·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．
12．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________.

答案精析
1．D　[根据椭圆的定义以及三角知识求解．
由题意知sin 30°＝＝，∴|PF1|＝2|PF2|.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.
∴tan 30°＝＝＝.
∴＝，故选D.]
2．D　[不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆定义，得||＋||＝2a，再结合条件可知||＝||＝.如图，过M作MN⊥OF2于N，
则||＝，||2＝||2－.
设||＝x，则||＝2x.
在Rt△MF1N中，4x2＝c2＋x2－，
即3x2＝2c2，而x2＝，
所以a2＝2c2，即e2＝＝，
所以e＝，故选D.]
3．D　[不妨设B(0，b)，则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，
由条件可得－3c＝－a＋2c，∴a＝5c，故e＝.]
4．A　[设C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，－b)，则＋＝1.故x＝a2×(1－)＝a2×，
又kAC·kBC＝×＝＝－，故a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2，
因此e＝＝＝，故选A.]
5．B　[由题意可知椭圆上的点到右焦点F的最大距离为椭圆长轴的左端点到F的距离．
故M＝a＋c＝2＋，最小距离为椭圆长轴的右端点到F的距离，即m＝a－c＝2－.
故(M＋m)＝·(2＋＋2－)＝2.易知点(0，±1)满足要求，故选B.]
6．C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]
7．C　[由离心率为可得＝，可得＝，即b＝a，因为MF2与x轴垂直，故点M的横坐标为c，故＋＝1，解得y＝±＝±a，则M(c，±a)，直线MF1的斜率为
＝±＝±×2＝±，故选C.]
8．B　[由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1>a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，>不正确，即②不正确；又由a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，即③正确；∵a1>b1>0，a2>b2>0，∴a1＋a2>b1＋b2>0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a29.
解析　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
10．(0，－1)
解析　设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2.
当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，
此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，
即点P的坐标为(0，－1)．
11．(－1,1)
解析　由＝，得＝.
又由正弦定理得＝，所以＝，
即|PF1|＝|PF2|.
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为|PF2|是△PF1F2的一边，
所以有2c－<<2c＋，
即c2＋2ac－a2>0，
所以e2＋2e－1>0(0解得椭圆离心率的取值范围为(－1,1)．
12．[，]
解析　由题意可得，A1(－2,0)，A2(2,0)，
当PA2的斜率为－2时，直线PA2的方程为y＝－2(x－2)，
代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，
解得x＝2或x＝.
由PA2的斜率存在可得点P，
此时直线PA1的斜率k＝.
同理，当直线PA2的斜率为－1时，
直线PA2的方程为y＝－(x－2)，
代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝.
由PA2的斜率存在可得点P，
此时直线PA1的斜率k＝.
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是.
第65练 双曲线
训练目标
(1)理解双曲线定义并会灵活应用；(2)会求双曲线标准方程；(3)理解双曲线的几何性质并能利用几何性质解决有关问题．
训练题型
(1)求双曲线的标准方程；(2)求离心率；(3)求渐近线方程；(4)几何性质的综合应用．
解题策略
(1)熟记相关公式；(2)要善于利用几何图形，数形结合解决离心率范围问题、渐近线夹角问题.
一、选择题
1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
3．(2017·江南十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左，右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(　　)
A. B.
C．2 D.
4．(2016·宜宾一模)已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A. B.
C. D．2
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．设双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A. B．11
C．12 D．16
7．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
8．过双曲线－＝1(b>a>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是2，则的最小值是________．
10．(2016·安徽江南十校联考)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左，右焦点分别是F1，F2，已知点M的坐标为(2,1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则S△PMF1－S△PMF2＝________.
11．圆x2＋y2＝4与y轴交于点A，B，以A，B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的交点分别为C，D，当梯形ABCD的周长最大时，此双曲线的方程为________________．
12.(2016·淮北一模)称离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)为黄金双曲线，如图是双曲线－＝1(a>0，b>0，c＝)的图象，给出以下几个说法：
①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左，右焦点，A1，A2为左，右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为________.

答案精析
1．B　[由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为
－＝1.]
2．D　[双曲线C1的半焦距c1＝＝1，又双曲线C2的半焦距c2＝＝1，故选D.]
3．C　[由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，
由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，
故点P到x轴的距离为|x0|＝2.故选C.]
4．A　[由已知可得动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，且c＝，a＝1，
∴b＝1，∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入上式，可得点P的横坐标为x＝－，
∴点P到原点的距离为＝.]
5．A　[由题意可知c＝＝5，
∴a2＋b2＝c2＝25，①
又点(4,3)在y＝x上，故＝，②
由①②解得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为－＝1，故选A.]
6．B　[由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.]
7．C　[双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.
据题意和双曲线的定义知，2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，
∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.]
8．C　[由题意可知，经过右顶点A的直线方程为y＝－x＋a，
联立解得x＝.联立解得x＝.因为b>a>0，所以<0，且>0，又点B的横坐标为等比中项，所以点B的横坐标为，则a·＝()2，解得b＝3a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.]
9.
解析　＝2?＝4?a2＋b2＝4a2?3a2＝b2，则＝＝a＋
≥2 ＝，当且仅当a＝，即a＝时，取得最小值.
10．2
解析　双曲线方程－＝1，
|PF1|－|PF2|＝4，
由＝可得
＝，
得F1M平分∠PF1F2.
又结合平面几何知识可得，
△F1PF2的内心在直线x＝2上，
所以点M(2,1)就是△F1PF2的内心，
故＝(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
11.－＝1
解析　设双曲线的方程为－＝1 (a>0，b>0)，
C(x′，y′)(x′<0，y′>0)，
|BC|＝t(0如图，连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
作CE⊥AB于E，
则|BC|2＝|BE|·|BA|，
∴t2＝4(2－y′)，
即y′＝2－t2.
∴梯形的周长l＝4＋2t＋2y′
＝－t2＋2t＋8
＝－(t－2)2＋10，
∴当t＝2时，l最大．
此时，|BC|＝2，|AC|＝2，又点C在双曲线的上支上，且A，B为焦点，
∴|AC|－|BC|＝2a，即2a＝2－2，
∴a＝－1，
∴b2＝2，
∴所求方程为－＝1.
12．①②③④
解析　①双曲线x2－＝1，
a2＝1，c2＝1＋＝，
∴e＝＝＝，
∴命题①正确；
②若b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e＝，
∴命题②正确；
③|B1F1|2＝b2＋c2，|B1A2|＝c，
由∠F1B1A2＝90°，
得b2＋c2＋c2＝(a＋c)2，
即b2＝ac，e＝，
∴命题③正确；
④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则c＝，
即b2＝ac，e＝，
∴命题④正确．
综上，正确命题的序号为①②③④.
第66练 抛物线
训练目标
熟练掌握抛物线的定义及几何性质，能利用定义、几何性质解决有关问题．
训练题型
(1)求抛物线方程；(2)利用定义、几何性质求最值、参数范围、弦长等．
解题策略
(1)利用定义进行转化；(2)掌握关于弦长、焦半径的重要结论；(3)恰当运用函数与方程思想、数形结合思想.
一、选择题
1．(2016·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
2．(2016·九江第一次统考)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于(　　)
A．1∶ B．1∶
C．1∶2 D．1∶3
3．已知抛物线C：y2＝4x，顶点为O，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，则·的值为(　　)
A．5 B．－5
C．4 D．－4
4．(2016·长春一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)
A. B.
C. D.
5．(2016·武昌调研)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
6．已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为(　　)
A．(2,1) B．(1,1)
C. D.
7．抛物线x2＝ay(a>0)的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B.
C．1 D．2
二、填空题
9．(2017·福州质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若|PQ|＝2，则四边形PP1Q1Q的面积是________．
10．已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，|AF|＝2，则|BF|＝______，△OAB的面积是________．
11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
12．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝8，|AF|<|BF|，则|BF|＝________.

答案精析
1．B　[依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则－(－3)＝5，
∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.]
2．C　[由题意知直线l的方程为y＝2，
联立方程
得N(，－p)．
所以|NF|＝＋＝p，|MF|＝p＋＝p，
所以|NF|∶|FM|＝1∶2，故选C.]
3．A　[设A，B，由已知得直线l过定点E(－1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2＝y1，即(y1－y2)＝y1－y2，因为y1≠y2，所以y1y2＝4，
所以·＝＋y1y2＝5.]
4．A　[设抛物线的准线为l：x＝－，设|FB|＝m，|FA|＝n，
过A，B两点向准线l作垂线AC，BD，
由抛物线定义知：|AC|＝|FA|＝n，|BD|＝|FB|＝m，
过B作BE⊥AC，E为垂足，
|AE|＝|CE|－|AC|＝|BD|－|AC|＝m－n，
|AB|＝|FA|＋|FB|＝n＋m.
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，
cos 60°＝＝＝，即m＝3n.
故＝＝＝.]
5．C　[抛物线C的方程为x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心，|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心，|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4∴y0>2.]
6．D　[由抛物线定义知，|PF|等于P到准线x＝－1的距离，当PA与准线垂直时|PA|＋|PF|最小，∴P点的纵坐标为1，代入方程得x＝.]
7．C　[由x2＝ay可得＝，故P(0，－)．设l：y＝kx－，将其与x2＝ay联立，消去y可得－kx＋＝0，即4x2－4akx＋a2＝0，由题设知Δ＝16k2a2－16a2＝0，解得k＝±1，当k＝－1时，与逆时针旋转不合，故k＝1，则直线的倾斜角α＝，又点的角速度为每秒弧度，故第一次与抛物线相切时，所用时间t＝＝3，故选C.]
8．D　[由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l于点M1，
则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.]
9．1
解析　由题意得四边形PP1Q1Q为直角梯形，|PP1|＋|QQ1|＝|PQ|＝2，
|P1Q1|＝|PQ|sin 30°＝1，
∴S＝·|P1Q1|＝1.
10．2　2
解析　设A(x0，y0)，
由抛物线定义知x0＋1＝2，
∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，
∴|BF|＝|AF|＝2，|AB|＝4.
故△OAB的面积S＝|AB||OF|＝×4×1＝2.
11．2
解析　如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，
得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，
故水面宽为2米．
12．4＋2
解析　由y2＝4x，得焦点F(1,0)．
又|AB|＝8，故AB的斜率存在(否则|AB|＝4)．设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，故x1＋x2＝2＋，
由|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝2＋＝6，即k2＝1，则x2－6x＋1＝0，又|AF|<|BF|，所以x1＝3－2，x2＝3＋2，故|BF|＝x2＋1＝3＋2＋1＝4＋2.
第67练 直线与圆锥曲线综合练
训练目标
会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题．
训练题型
(1)求曲线方程；(2)求参数范围；(3)长度、面积问题；(4)与向量知识交汇应用问题．
解题策略
联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题.
一、选择题
1．(2017·郑州质检)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
2．设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若＝2，则|k|等于(　　)
A．2 B.
C. D.
二、填空题
4．已知直线kx－y＋1＝0与双曲线－y2＝1相交于两个不同的点A，B，若x轴上的点M(3,0)到A，B两点的距离相等，则k的值为________．
5．(2016·唐山一模)F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2＝，则C的离心率是________．
6．设F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2的公共的左，右焦点，椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|＝2，若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率的取值范围是________．
三、解答题
7．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B，
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．
8.(2016·山东实验中学第三次诊断)已知点A(－2,0)，B(2，0)，曲线C上的动点P满足A·B＝－3.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过定点M(0，－2)的直线l与曲线C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)若动点Q(x，y)在曲线C上，求u＝的取值范围．
9．(2016·重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左，右焦点F1，F2构成的三角形的周长为2＋2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：·＝－，求实数m的取值范围．

答案精析
1．D　[由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，又直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2.代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长应为x1＋x2＋4＝12＋4＝16.]
2．A　[由根与系数的关系，得a＋b＝－tan θ，ab＝0，则a，b中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A(0,0)，B(－tan θ，tan2θ)，则直线AB的方程为y＝－xtan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtan θ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以过A，B两点的直线与双曲线没有公共点．]
3．A　[根据抛物线过焦点弦的结论＋＝，得＋＝1，又因为|AF|＝2|BF|，
所以|BF|＝，|AF|＝3，则弦长|AB|＝，又弦长|AB|＝(α为直线AB的倾斜角)，
所以sin2α＝，则cos2α＝，tan2α＝8，即k2＝8，所以|k|＝2，故选A.]
4.
解析　联立直线与双曲线方程
得(1－2k2)x2－4kx－4＝0，
∵直线与双曲线相交于两个不同的点，
∴
解得－1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
设P为AB的中点，
则P(，＋1)，
即P(，)．
∵M(3,0)到A，B两点距离相等，
∴MP⊥AB，
∴kMP·kAB＝－1，即k·＝－1，得k＝或k＝－1(舍)，∴k＝.
5.
解析　由已知得渐近线为l1：y＝x，l2：y＝－x，由条件得，F到渐近线的距离|FA|＝b，则|FB|＝2b，
在Rt△AOF中，|OF|＝c，则|OA|＝＝a.设l1的倾斜角为θ，即∠AOF＝θ，则∠AOB＝2θ.
在Rt△AOF中，tan θ＝，在Rt△AOB中，tan 2θ＝，而tan 2θ＝，
即＝，即a2＝3b2，
所以a2＝3(c2－a2)，
所以e2＝＝，又e>1，
所以e＝.
6.
解析　设双曲线C2的方程为－＝1(a2>0，b2>0)，由题意知|MF1|＝2，|F1F2|＝|MF2|＝2c，其中c2＝a＋b＝a－b，又根据椭圆与双曲线的定义得
??a1－a2＝2c，其中2a1,2a2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．
因为椭圆的离心率e∈，所以≤≤，所以c≤a1≤c，而a2＝a1－2c，所以c≤a2≤c，所以≤≤4，即双曲线C2的离心率的取值范围是.
7．解　(1)由椭圆的离心率为，
得a＝c，∵直线l与x轴交于A点，
∴A(2,0)，∴a＝2，c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由e＝，可设椭圆E的方程为＋＝1，
联立
得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是≤a≤2.
8．解　(1)设P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，
得P点轨迹(曲线C)方程为x2＋y2＝1，
即曲线C是圆．
(2)可设直线l的方程为y＝kx－2，
其一般方程为kx－y－2＝0，
由直线l与曲线C有交点，得≤1，得k≤－或k≥，
即所求k的取值范围是(－∞，－ ]∪[，＋∞)．
(3)由动点Q(x，y)，设定点N(1，－2)，
则直线QN的斜率kQN＝＝u，
又点Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点，
设直线QN的方程为y＋2＝u(x－1)，
即ux－y－u－2＝0.
当直线与圆相切时，＝1，
解得u＝－，
当u不存在时，直线与圆相切，
所以u∈(－∞，－]．
9．解　(1)依题意得
即
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得方程组
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
则
设△AOB的重心为G(x，y)，
由·＝－，
可得x2＋y2＝.②
由重心公式可得G(，)，
代入②式，整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4?(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③
将①式代入③式并整理，
得m2＝，
代入(*)得k≠0，
则m2＝＝1＋＝1＋.
∵k≠0，∴t＝>0，∴t2＋4t>0，
∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
第68练 高考大题突破练——圆锥曲线
1．已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，若椭圆C1：＋＝1(m>n>0)，椭圆C2：＋＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．
2．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
3.(2016·山东)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
4．已知曲线C1上任意一点M到直线l：y＝4的距离是它到点F(0,1)距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点，F为焦点的抛物线．
(1)求C1，C2的方程；
(2)设过点F的直线与曲线C2相交于A，B两点，分别以A，B为切点引曲线C2的两条切线l1，l2，设l1，l2相交于点P，连接PF的直线交曲线C1于C，D两点，求·的最小值．

答案精析
1．解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
∴直线AB的方程为＋＝1.
∴F1(－1,0)到直线AB距离d＝＝b，
整理得a2＋b2＝7(a－1)2，
又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，
①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2；
②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋p，
将y＝kx＋p代入椭圆C的方程，
得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0，
∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0，
即p2＝4k2＋3.(*)
记M、N两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
将y＝kx＋p代入椭圆C2的方程，
得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0，
此时x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝，
∴|MN|＝·
＝4＝2，
∵3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，
即2<2≤4，
结合①②，得弦长|MN|的取值范围为[2，4]．
2．解　(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知O1A＝O1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴O1M＝.
又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64＞0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
所以(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③并化简得8(b＋k)＝0，
所以k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．
3．(1)解　由题意知＝，
可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点为F，所以b＝，a＝1，
所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.
(2)①证明　设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，
即y＝mx－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
联立方程
得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
由Δ>0，得0且x1＋x2＝，因此x0＝，将其代入y＝mx－，
得y0＝，因为＝－.
所以直线OD的方程为y＝－x，
联立方程
得点M的纵坐标yM＝－，
所以点M在定直线y＝－上．
②解　由①知直线l的方程为y＝mx－，令x＝0，得y＝－，
所以G，
又P，F，D，
所以S1＝·|GF|·m＝，
S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝，
所以＝.
设t＝2m2＋1，则＝
＝＝－＋＋2，
当＝，即t＝2时，取到最大值，
此时m＝，满足(*)式，所以P点坐标为.
因此的最大值为，此时点P的坐标为.
4．解　(1)设M(x，y)，则＝2，
∴曲线C1的方程为＋＝1，
设曲线C2的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，
∴p＝2，∴曲线C2的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝kx＋1，
代入曲线C2的方程得x2－4kx－4＝0，
∴
由y＝，∴y′＝，
∴l1：y＝x－，l2：y＝x－，
∴P(，)，∴P(2k，－1)，
∴kPF＝，∴CD⊥AB，
CD：y＝－x＋1，
代入曲线C1的方程得(4k2＋3)y2－8k2y＋4k2－12＝0，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
∴
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＝||||＋||||
＝(y1＋1)(y2＋1)＋|y3－4|·|y4|
＝(kx1＋2)(kx2＋2)＋
＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋－(y1＋y2)＋8
＝4(k2＋1)＋＝＋(t＋)
(其中t＝4k2＋3≥3)
设f(t)＝t＋(t≥3)，
则f′(t)＝1－＝>0，
故f(t)在[3，＋∞)单调递增，
因此·＝＋(t＋)
≥＋3＋＝7，
当且仅当t＝3即k＝0等号成立，
故·的最小值为7.
第69练 计数原理、排列、组合
训练目标
(1)熟练掌握两个计数原理并能灵活应用；
(2)会应用排列、组合的计算公式解决与排列组合有关的实际问题．
训练题型
(1)两个计数原理的应用；(2)排列问题；(3)组合问题；(4)排列与组合的综合问题．
解题策略
(1)理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的原则，正确把握分类标准；(2)将常见的排列组合问题分成不同类型，并掌握各种类型的解法，弄清问题实质，做到融会贯通.
一、选择题
1．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0 (m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为(　　)
A．13 B．15
C．17 D．19
2．(2016·汉口一模)某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有(　　)
A．16种 B．18种
C．24种 D．32种
3．(2017·西安调研)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有(　　)
A．10种 B．20种
C．36种 D．52种
4．(2016·德阳诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有(　　)
A．36种 B．30种
C．24种 D．6种
5．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有(　　)
A．60种 B．42种
C．36种 D．24种
6．“2 012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为(　　)
A．18 B．24
C．27 D．36
7．(2016·衡水二模)已知数列{an}共有5项，a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,3,4，则满足条件的数列{an}的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
8．某亲子节目的热播引发了一阵热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是(　　)
A．216 B．420
C．720 D．1 080
二、填空题
9．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．
10．从甲、乙等6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛．如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法共有________种．
11．现有12种商品摆放在货架上，摆成上层4件、下层8件的形式，现要从下层的8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为________．
12．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和1、2、3、4、5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的不同的方法种数为________.

答案精析
1．C　[当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程；
当m＝1时，取n＝0,2,6，方程为合格方程；
当m＝2时，取n＝0,3，方程为合格方程；
当m＝3时，取n＝0,4，方程为合格方程；
当m＝4时，取n＝0,5，方程为合格方程；
当m＝5时，取n＝0,6，方程为合格方程；
当m＝6时，取n＝0,7，方程为合格方程；
当m＝7时，取n＝0，方程为合格方程．
综上可得，合格方程的个数为17，
故选C.]
2．C　[将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体，则所求即4个不同元素的全排列，有A＝24(种)不同的停放方法，故选C.]
3．A　[1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有CC＋CC＝10(种)．]
4．B　[由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共CA种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共A种方法，故总的方法种数为CA－A＝36－6＝30.]
5．A　[两种情况，第一种情况安排3个场地，每个场地安排1项比赛，安排方案有A＝24(种)；第二种情况，一个场地安排两场，第二个场地安排一场，安排方案有CA＝36(种)．
综上所述，一共有60种方案．]
6．B　[依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0, 则满足题意的四位数的个数为CA＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为C·C·C＝18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24.]
7．C　[方法一　因为|ai＋1－ai|＝1，所以ai＋1－ai＝1或ai＋1－ai＝－1，即数列{an}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a1＝0，a5＝2，所以从a1到a5有3次增加1，有1次减少1，故数列{an}的个数为C＝4.
方法二　设bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，因为|ai＋1－ai|＝1，所以|bi|＝1，即bi＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故bi(i＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数列{an}的个数为C＝4.]
8．D　[先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A＝1 080(种)不同的分配方案．]
9．18
解析　先在A，B，C三个区域种植3个不同的植物，共有A＝6(种)种法，若E与A种植的植物相同，最后种D，有1种种法；若E与C种植的植物相同，最后种D，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6×(1＋2)＝18(种)不同的种法．
10．240
解析　方法一　(从元素考虑)从6名运动员中，选出4人有三种情况：(1)甲、乙都被选出，有C种选法；(2)甲、乙恰有1人被选出，有CC种选法；(3)甲、乙都未被选出，有C种选法．再将4人按要求安排位置：甲、乙都参加，有AA种排法；甲、乙中有一人参加，有AA种排法；甲、乙都不参加，有A种排法．故不同的参赛方法共有CAA＋CCAA＋CA＝240(种)．
方法二　(从位置考虑)第一棒从甲、乙以外的4人中选取，再排其他各棒，有AA＝240(种)不同的参赛方法．
方法三　(间接法)从总数中减去甲、乙跑第一棒的情况，有A－AA＝240(种)不同的参赛方法．
11．840
解析　首先从下层中抽取2件商品，共有C＝28(种)不同的结果，把抽出的2件商品放到上层有两种情况：一种是2件商品相邻，放在上层4件商品形成的5个空中，有5A＝10(种)不同的调整方法；另一种是2件商品不相邻，把抽出的2件商品插入上层4件商品形成的5个空中，有A＝20(种)不同的调整方法，所以共有28×(10＋20)＝840(种)不同的调整方法．
12．3 600
解析　三个数字相邻，则共有A种情况，在A、B、C、D、E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况．综上所述，此人选择号牌的不同的方法种数为AAC＝60×20×3＝3 600.
第6练 函数的概念及表示
训练目标
(1)函数的概念；(2)函数的“三要素”；(3)函数的表示法．
训练题型
(1)函数的三种表示方法；(2)函数定义域的求法；(3)函数值域的简单求法；
(4)分段函数．
解题策略
(1)函数的核心是对应关系，任一自变量都对应唯一一个函数值；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b解出；(3)分段函数是一个函数，解决分段函数的关键是根据定义域中的不同区间分类讨论.
一、选择题
1．(2016·四川成都七中期末)下列对应f：A→B是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝{x|x>0}，B＝{y|y≥0}，f：y＝
B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y>0}，f：y＝x2
C．A＝{x|x是三角形}，B＝{y|y是圆}，f：每一个三角形对应它的外切圆
D．A＝{x|x是圆}，B＝{y|y是三角形}，f：每一个圆对应它的外切三角形
2．函数f(x)＝＋log4(x＋1)的定义域是(　　)
A．(0,1)∪(1,4] B．[－1,1)∪(1,4]
C．(－1,4) D．(－1,1)∪(1,4]
3．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(－x)的定义域是(　　)
A．[－2,4] B．[－3,2)
C．[－3,2] D．[－4,3]
4．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A．－ B.
C. D．－
5．已知函数f(x)＝则f等于(　　)
A．3 B．8
C．9 D．12
6．若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)的值为(　　)
A．1 B．－1
C．－ D.
7．(2016·福建泉州南安三中期中)已知函数f(x)＝的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，]
C．[1,2] D．[，2]
8．设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”，若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论不成立的是(　　)
A．fp[f(0)]＝f[fp(0)] B．fp[f(1)]＝f[fp(1)]
C．fp[fp(2)]＝f[f(2)] D．fp[fp(3)]＝f[f(3)]
二、填空题
9．定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当1≤x≤2时，f(x)＝________________.
10．如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，则此框架围成的面积y与x的关系式的定义域是____________．
11．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>0的解集为________．
12．已知函数f(x)＝1－x2，函数g(x)＝2acos x－3a＋2(a>0)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是________.

答案精析
1．A　[选项A中对于集合A中的任意一个大于零的数，取倒数之后在集合B中都有唯一的元素与之相对应，故A正确；选项B中，集合A的元素0在集合B中没有对应元素；选项C中两个集合不是数集，不能构成函数，只能构成从集合A到集合B的映射，故C错误；选项D中的集合也不是数集，故不能构成从集合A到集合B的函数．]
2．D　[要使函数有意义须满足
解得x∈(－1,1)∪(1,4]，故选D.]
3．C　[由已知可得
解得即－3≤x≤2，故选C.]
4．B　[令t＝x－1，则x＝2t＋2，
f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.]
5．B　[f＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝23＝8.故选B.]
6．B　[令x＝2，得f(2)＋2f＝6，①
令x＝，得f＋2f(2)＝，②
由①②得f(2)＝－1.]
7．B　[∵函数f(x)＝的图象如图所示．
∵函数f(x)的值域是[0,2]，∴1∈[0，a]，即a≥1.
又由当y＝2时，x3－3x＝0，x＝(0，－舍去)，∴a≤，∴a的取值范围是[1，]．
故选B.]
8．B　[给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，
则f(1)＝－2，fp(1)＝－2，
所以f[fp(1)]＝f(－2)＝7，fp[f(1)]＝fp(－2)＝2，
所以fp[f(1)]≠f[fp(1)]，故选B.]
9.(x－1)(2－x)
解析　∵f(x－1)＝2f(x)，∴f(x)＝f(x－1)．
∵1≤x≤2，∴0≤x－1≤1.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，
∴f(x－1)＝(x－1)[1－(x－1)]＝(x－1)(2－x)，
∴f(x)＝f(x－1)＝(x－1)(2－x)．
10.
解析　由题意知AB＝2x，＝πx，
因此AD＝.
框架面积y＝2x×＋＝－x2＋x.
因为所以011．(－1,1)
解析　当x>0时，－log2x>0＝log21，解得0当x≤0时，1－x2>0，解得－1所以不等式f(x)>0的解集为(－1,1)．
12．[，2]
解析　当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x2的值域是[0,1]，
g(x)＝2acos x－3a＋2(a>0)的值域是[2－2a,2－a]，为使存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，需[0,1]∩[2－2a,2－a]≠?.由[0,1]∩[2－2a,2－a]＝?，得1<－2a＋2或2－a<0，解得a<或a>2.所以，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是≤a≤2.
第70练 二项式定理
训练目标
掌握二项式展开式及通项，会求展开式指定项，掌握展开式系数的性质，会应用其性质解决有关系数问题．
训练题型
(1)求展开式指定项或系数；(2)求参数；(3)求系数和；(4)二项式定理的应用．
解题策略
(1)熟练掌握二项式展开式及通项的表示公式；(2)掌握二项式展开式系数性质，分清二项式系数与项的系数的区别，恰当运用赋值法求系数和.
一、选择题
1．(2016·丹东一模)(x2－)6的展开式中的常数项为(　　)
A．20 B．－20
C．15 D．－15
2．(2016·成都二诊)若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a0和a1的值分别为(　　)
A．32　80 B．32　40
C．16　20 D．16　10
3．(2016·贵阳一模)设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则a8＋a7＋…＋a1等于(　　)
A．366 B．255
C．144 D．122
4．(2016·湖北八校第二次联考)若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数的大致图象为(　　)
5．(2016·枣庄二模)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，－] D．(1，＋∞)
6．(2017·银川质检)若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则a0＋＋＋…＋等于(　　)
A．0 B．1
C. D．12
7．(2016·杭州质检)(x2－2)(1＋)5的展开式中x－1的系数为(　　)
A．60 B．50
C．40 D．20
8．(2016·郑州质量预测)(ax＋)6的二项展开式的第二项的系数为－，则dx的值为(　　)
A．3 B.
C．3或 D．3或－
二、填空题
9．(2017·广州五校联考)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.
10．(2016·北京东城区期末)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．
11．设x6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a1＋a2＋…＋a6＝________.
12．(2016·成都高新区一诊)设a＝(sin x－1＋2cos2)dx，则(a－)6·(x2＋2)的展开式中常数项是________.

答案精析
1．C　[(x2－)6的展开式的通项Tk＋1＝Cx2(6－k)·(－1)kx－k＝(－1)kCx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，所以T5＝(－1)4C＝15.]
2．A　[令x＝1，则25＝a0，即a0＝32，
又(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5的展开式的通项Tk＋1＝C(x－1)5－k·2k，令5－k＝1，得k＝4，
∴a1＝C·24＝80，故选A.]
3．B　[令x＝0，得a0＝1.令x＝1，得(3－1)8＝28＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，
∴a8＋a7＋…＋a1＝28－1＝256－1＝255.]
4．D　[(＋)5的展开式的通项为Tk＋1＝，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，
由题意知x≥0，故y＝(x>0)，结合选项可知选D.]
5．D　[二项式(x＋y)9按x的降幂排列的展开式的通项是Tk＋1＝C·x9－k·yk，
依题意，有
由此得
解得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．]
6．A　[令t＝x＋1，则x＝t－1，从而(2t－1)11＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a11t11，即[]′＝(a0t＋t2＋t3＋…＋t12＋c)′，即＝a0t＋t2＋t3＋…＋t12＋c，令t＝0，得c＝，令t＝1，得a0＋＋＋…＋＝0.]
7．A　[由通项公式得展开式中x－1的系数为23C－22C＝60.]
8．B　[该二项展开式的第二项的系数为
Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此dx＝x2dx＝
＝－＋＝.]
9．0
解析　(ax2＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ca6－k·bkx12－3k，令12－3k＝3，得k＝3，
∴(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，
∴log2a＋log2b＝log2ab＝log21＝0.
10．6
解析　由二项式定理可知an＝C(n＝1,2,3，…，11)，由C为C中的最大值知，an的最大值为a6，即k的最大值为6.
11．－1
解析　令x＝－1，可得a0＝1，
再令x＝0可得1＋a1＋a2＋…＋a6＝0，
所以a1＋a2＋…＋a6＝－1.
12．－332
解析　∵a＝(sin x－1＋2cos2)dx
＝(－cosx＋sinx)＝2，
∴(a－)6·(x2＋2)＝(2－)6·(x2＋2),
∵(2－)6的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2)6－k(－)k＝C26－k(－1)kx3－k，
∴常数项为C·2·(－1)5＋2C·23·(－1)3＝－332.
第71练 抽样方法
训练目标
掌握抽样方法的应用，会解决与抽样方法有关的问题．
训练题型
(1)抽样方法的选择；(2)利用系统抽样、分层抽样求样本数据；(3)抽样方法的应用．
解题策略
(1)熟记各类抽样方法的定义，弄清各类抽样方法的区别与联系，特别是系统抽样与分层抽样；(2)保持抽样的“等可能性”是解决问题的关键.
一、选择题
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为(　　)
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
2．为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是(　　)
A．5,10,15,20,25 B．2,4,6,8,10
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬菜类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
4．2015年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，某购物网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198 000人；家居用品94 000人；化妆品116 000人；家用电器92 000人．为了解消费者对商品的满意度，该网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116份，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为(　　)
A．92 B．94
C．116 D．118
5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A．100 B．150
C．200 D．250
6．(2017·海口调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为(　　)
A．15 B．18
C．21 D．22
7．从2 015名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 015人中剔除15人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率(　　)
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
8．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A．101 B．808
C．1 212 D．2 015
二、填空题
9．为了实现素质教育，某校开展“新课改”动员大会，参会的有100名教师，1 500名学生，1 000名家长，为了解大家对推行“新课改”的认可程度，现采用恰当的方法抽样调查，抽取了n个样本，其中教师与家长共抽取了22名，则n＝________.
10．(2016·潍坊模拟)某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．
11．利用简单随机抽样的方法，从样本的n(n>13)个数据中抽取13个，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个数据被抽取的概率为，则在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概率为________．
12.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样法，则40岁的以下的年龄段应抽取__________人．

答案精析
1．B　[①为了调查社会购买力的某项指标，应按人数比例在高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭中抽取样本，故应采用分层抽样法；②从15名艺术特长生中选出3名应采用随机抽样法．]
2．D　[利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10.]
3．C　[由已知得抽样比为＝，
所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为×(10＋20)＝6.]
4．B　[在购买“化妆品”这一类中抽取了116份，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，则＝，解得x＝94.]
5．A　[方法一　由题意可得＝，解得n＝100.
方法二　由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，
故n＝5 000×＝100.]
6．C　[由已知得间隔数k＝＝6，则抽取的最大编号为3＋(4－1)×6＝21.]
7．C　[从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于.]
8．B　[＝?N＝808.]
9．52
解析　根据题意可知采用分层抽样的方法最为合适，参会人数为100＋1 500＋1 000＝2 600，设抽取教师x名，家长y名，则x＋y＝22，又＝＝，
即＝，故n＝52.
10．760
解析　设样本中女生有x人，则男生有(x＋10)人，
所以x＋x＋10＝200，得x＝95，
设该校高三年级的女生有y人，
则根据分层抽样的定义可知＝，解得y＝760.
11.
解析　由题意知＝，解得n＝398，
所以在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概率为.
12．37　20
解析　方法一　由系统抽样法知，第1组抽出的号码为2，则第8组抽出的号码为2＋5×7＝37；若用分层抽样法抽取，则40岁以下的年龄段应抽取×40＝20(人)．
方法二　由系统抽样法知，第5组抽出的号码为22，而分段间隔为5，则第6组抽取的号码应为27，第7组抽取的号码应为32，第8组抽取的号码应为37.由图知40岁以下的人数为100，抽取的比例为＝，所以100×＝20为应抽取的人数．
第72练 用样本估计总体
训练目标
掌握用样本估计总体的常用方法，会求样本数据的数字特征，会利用样本的数字特征估计总体．
训练题型
(1)求样本数据的数字特征；(2)频率分布直方图、茎叶图的应用；(3)用样本数字特征估计总体数字特征．
解题策略
(1)熟记数字特征的计算公式；(2)掌握频率分布直方图、茎叶图的画法与应用方法；(3)掌握常用的一些关于数字特征的重要结论.
一、选择题
1．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是(　　)
A．平均数与方差均不变
B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变
D．平均数与方差均发生变化
2．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列判断正确的是(　　)
A.甲>乙；甲比乙成绩稳定
B.甲>乙；乙比甲成绩稳定
C.甲<乙；甲比乙成绩稳定
D.甲<乙；乙比甲成绩稳定
3．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是(　　)
A．14和0.14 B．0.14和14
C.和0.14 D.和
4．(2016·全国丙卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
5．某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为(　　)
分组
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
人数
5
15
20
10
频率
0.1
0.3
0.4
0.2
A.80 B．81
C．82 D．83
6．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．18
7．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据，下列结论错误的是(　　)
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的约有320人
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的约有32人
8．(2016·揭阳一模)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
二、填空题
9．某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．
10．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
11．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m＋n＝________.
12．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2.
则肯定进入夏季的地区有________个．
答案精析
1．B　[由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选B.]
2．D　[甲＝＝25，
乙＝＝26，
甲<乙，
s＝[(16－25)2＋(17－25)2＋(28－25)2＋(30－25)2＋(34－25)2]＝52，
s＝[(15－26)2＋(28－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2]＝35.6，
s>s，所以乙稳定，故选D.]
3．A　[x＝100－10－13－14－15－13－12－9＝14，
所以频数为14，频率为＝0.14.]
4．D　[由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有七月，八月，故选D.]
5．C　[平均分＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，故选C.]
6．C　[依据频率分布直方图及频率公式求解．
志愿者的总人数为＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.]
7．D　[频率分布直方图中，中位数是频率为0.5的分界点的横坐标，由频率分布直方图可知，前2组的频率和为(0.02＋0.06)×5＝0.4，因此中位数出现在第3组．设中位数为x，则(x－25)×0.08＝0.1，x＝26.25，所以A正确；众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布直方图中通常取纵坐标最高的一组区间的中点，所以众数为＝27.5，所以B正确；仰卧起坐次数超过30次的频率为0.04×5＝0.2，所以频数为1 600×0.2＝320，所以C正确；仰卧起坐的次数少于20次的人数约有0.02×5×1 600＝160，所以D错误，故选D.]
8．B　[不妨设样本数据x1，x2，x3，x4，x5，且x19．10
解析　依题意，注意到9时至10时与11时至12时相应的频率之比为0.10∶0.40＝1∶4，因此11时至12时的销售额为2.5×4＝10(万元)．
10．54
解析　前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，
则a＝22＋0.32×100＝54.
11．9
解析　根据茎叶图，可得甲组数据的中位数为＝21，根据甲、乙两组数据的中位数相等，得乙组数据的中位数为21＝20＋n，解得n＝1.又甲组数据的平均数为＝，乙组数据的平均数为＝22，所以＝22，解得m＝8，所以m＋n＝9.
12．2
解析　甲地肯定进入夏季，因为众数为22，所以22 ℃至少出现两次，若有一天低于22 ℃，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，10.2×5－(32－26)2≥(26－x)2，
∴15≥(26－x)2，若x≤22不成立；乙地不一定进入，
如13,23,27,28,29，故答案为2.
第73练 变量间的相关关系及统计案例
　　　　　　　　　　　　　训练目标
(1)会判断相关关系；(2)会求线性回归方程；(3)掌握独立性检验的解题方法．
训练题型
(1)判断相关关系；(2)回归方程的求解与应用；(3)独立性检验的应用．
解题策略
熟练掌握基础知识与基本的应用方法，会解基础性常见问题，对基础习题多做多练.
一、选择题
1．(2016·山西四校联考)已知x、y的取值如下表所示，从散点图分析，y与x线性相关，
且＝0.8x＋，则等于(　　)
x
0
1
3
4
y
0.9
1.9
3.2
4.4
A.0.8 B．1
C．1.2 D．1.5
2．通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝，得K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
3．已知数组(x1，y1)，(x1，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2016·辽宁五校联考)某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：
零件数x(个)
10
20
30
加工时间y(分钟)
21
30
39
现已求得上表数据的线性回归方程＝＋中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为(　　)
A．84分钟 B．94分钟
C．102分钟 D．112分钟
5．以下四个命题中：
①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断拟合的效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；
③若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1,2x2,2x3，…，2xn的方差为2；
④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得的线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.7．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程＝x＋必过(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99%以上的把握认为这两个变量间有关系．
其中错误的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
8.有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则认为多看电视与人冷漠有关系的把握大约为(　　)
A．99% B．97.5%
C．95% D．90%
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
二、填空题
9．(2017·宜昌调研)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，某机构调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)的情况．调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程为＝0.15x＋0.2.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出约增加________万元．
10．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了200位30～40岁之间的公务员，得到的情况如下表：
男公务员
女公务员
生二胎
80
40
不生二胎
40
40
则________(填“有”或“没有”)99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
11.某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．
12．随着经济的发展，某城市的市民收入逐年增长，表1是该城市某银行连续五年的储蓄存款额(年底余额)：
表1
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款额y(千亿元)
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将表1的数据进行了处理，令t＝x－2 010，z＝y－5，得到表2：
表2
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)z关于t的线性回归方程是________；y关于x的线性回归方程是________；
(2)用所求回归方程预测到2020年年底，该银行储蓄存款额可达________千亿元．
(附：线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－)

答案精析
1．B　[由题意，＝＝2，＝＝2.6，而样本点的中心(，)必在回归直线上，代入得2.6＝0.8×2＋，从而得＝1.]
2．A　[因为7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．]
3．B　[x0，y0为这10组数据的平均值，根据公式计算线性回归方程＝x＋的以后，再根据＝－(，为样本平均值)，求得.因此(，)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(，)外，可能还有其他样本点．]
4．C　[由表中数据得＝20，＝30，又＝0.9，则30＝0.9×20＋，解得＝12，所以＝0.9x＋12.将x＝100代入线性回归方程，得＝0.9×100＋12＝102，所以加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟．]
5．B　[由题意得，若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1,2x2,2x3，…，2xn的方差为4，所以③不正确；对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越小，所以④不正确．其中①、②是正确的，故选B.]
6．C　[由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得＝＝＝，
＝－＝－×＝－，所以a′.]
7．B　[一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程＝x＋必过点(，)，③正确；因为K2＝13.079>6.635，故有99%以上的把握认为这两个变量间有关系，④正确．故选B.]
8．A　[由公式可计算得K2≈11.377>6.635.故选A.]
9．0.15
解析　回归直线的斜率为0.15，所以家庭收入每增加1万元，年教育支出约增加0.15万元．
10．没有
解析　由于K2＝＝＝
<6.635，故没有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．
11.
解析　由已知得＝6.5，＝80，将(，)代入＝－4x＋，解得＝106.将表格中的(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)，依次代入线性回归方程＝－4x＋106，得在回归直线左下方的点为(5,84)，(9,68)，共2个．故在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为.
12.＝1.2t－1.4　＝1.2x－2 408.4　15.6
解析　(1)＝3，＝2.2，tizi＝45，
t＝55，＝＝1.2，
＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，
∴＝1.2t－1.4.
将t＝x－2 010，z＝y－5代入z＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2 010)－1.4，故＝1.2x－2 408.4.
(2)∵当x＝2 020时，＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6，
∴预测到2020年年底，该银行储蓄存款额可达15.6千亿元．
第74练 随机事件的频率与概率
训练目标
(1)了解事件间的关系，随机事件的频率与概率的区别与联系，并会计算；
(2)理解互斥事件与对立事件的区别与联系，并会利用公式进行计算．
训练题型
(1)利用频率估计概率；(2)求互斥事件，对立事件的概率．
解题策略
(1)根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率；(2)根据互斥、对立事件的定义分析所给的两个事件的关系，再选择相应的公式求解.
一、选择题
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则根据样本数据估计落在区间[10,40)的概率为(　　)
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
2．(2016·山西四校联考)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个，则取出的两个数之和为偶数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么(　　)
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是(　　)
A．A与B为互斥事件 B．A与B为对立事件
C．A与C为对立事件 D．A与C为互斥事件
5．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
6．(2017·沈阳四校联考)任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是(　　)
A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝ D．P(M)＝，P(N)＝
8．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示．从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为________．
10．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为________．
11．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m，n，则点P(m，n)落在区域|x－2|＋|y－2|≤2内的概率是________．
12．设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则向量a，b的夹角为锐角的概率是________.

答案精析
1．B　[数据落在[10,40)的频率为＝＝0.45.故选B.]
2．B　[由题意知所有的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，和为偶数的基本事件有(1,3)，(2,4)，共2个，故所求概率为＝.]
3．B　[互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件．]
4．A　[事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件，显然A与C不是互斥事件，更不是对立事件．]
5．A　[从口袋内一次取出2个球，则这个试验所有可能发生的基本事件为(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，共6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]
6．C　[三位正整数共有900个，使log2N为正整数，N为29,28,27共三个，概率为＝.]
7．D　[掷一枚均匀的硬币两次，则所有可能发生的基本事件为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，
故P(M)＝，P(N)＝.]
8．B　[如图为正六边形ABCDEF，从6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF，共6种选法，故构成的四边形是梯形的概率为P＝＝，故选B.]
9.
解析　从得分超过10分的队员中任取2名，一共有以下10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率P＝.
10.
解析　能使log2x为整数的x有1,2,4,8，所以P＝.
11.
解析　由题意可得所有可能的基本事件共36个．
当m＝1时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；
当m＝2时，1≤n≤4，故符合条件的基本事件有4个；
当m＝3时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；
当m＝4时，n＝2，故符合条件的基本事件有1个．故共有11个符合条件的基本事件，即所求概率为.
12.
解析　向量a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，所以m－n>0，即m>n.
所以P＝＝＝.
第75练 古典概型与几何概型
训练目标
(1)理解古典概型的概念、会求古典概型的概率；(2)会利用几何概型的计算公式求几何概型的概率．
训练题型
(1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率及古典概型的应用；(3)长度型、面积型、体积型几何概型；(4)几何概型的应用．
解题策略
对于古典概型：读懂题目，抓住解决问题的实质，即确定基本事件个数及所求事件包含基本事件的个数．对于几何概型：(1)理解并会应用计算公式；(2)利用图形的几何性质求面积、体积，复杂图形可利用分割法、补形法.
一、选择题
1．(2017·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2．(2016·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3.(2017·长沙调研)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为，则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作A1A2的垂线交椭圆的于点P，则使得·<0的点M的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线＋＝1的斜率k≥－的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
8．(2016·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
10．正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．
11．已知平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在区域D1内随机选取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且012.如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则点P到原点O的距离小于1的概率是__________.

答案精析
1．C　[易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的情况无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为＝.]
2．A　[易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.]
3．B　[由题意知，阴影部分的面积为
sin xdx＝(－cosx)＝－cosa＋cos 0＝1－cosa，根据几何概型的概率计算公式知
＝，即cosa＝－，而a∈(0，π)，故a＝，故选B.]
4．D　[设P(x，y)，则·<0?(－－x，－y)·(－x，－y)<0?x2－3＋y2<0?x2－3＋1－<0?|x|<，故所求的概率为＝.]
5．D　[记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能的取值有36种．由直线＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为＝.]
6．A　[用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B，“选出的2名全都是女性”为事件C，则事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个基本事件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个基本事件，事件C包含(b1，b2)，共1个基本事件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率为＝.]
7．B　[依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.]
8．B　[语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48(种)摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24(种)摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120(种)摆放方法．故所求概率为1－＝.故选B.]
9.
解析　十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝.
10.
解析　设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，∴全部基本事件构成的区域为
符合题意的区域为
如图所示，由几何概型可知，所求概率为P＝1－＝.
11．[－1,0)∪(0,1]
解析　如图所示，平面区域D1是由边长等于4的正方形内部的点构成的，其面积为16，直线kx－y＋2＝0恒过定点P(0,2)．由于原点必在区域D2外，且图中每个阴影三角形的面积与大正方形的面积之比均为，故当k>0时，k∈(0,1]；当k<0时，k∈[－1,0)．从而k的取值范围为[－1,0)∪(0,1]．
12.
解析　若点P到原点的距离小于1，则，所以符合条件的点P构成的区域如图中阴影部分所示，所以点P到原点的距离小于1的概率为＝.
第76练 事件的独立性与条件概率
训练目标
(1)会求相互独立事件发生的概率；
(2)会求简单的条件概率．
训练题型
(1)求相互独立事件的概率；(2)求条件概率．
解题策略
(1)正确判断事件的独立性，理解并能灵活应用相互独立事件的概率性质；(2)准确理解P(B|A)、P(AB)的含义是解决条件概率问题的关键.
一、选择题
1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　　)
A．0.31 B．0.32
C．0.33 D．0.36
2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．(2017·济南质检)2016年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙，丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6．(2017·合肥月考)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为(　　)
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)(　　)
A. B.
C. D.
8．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
10．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为________．
11．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
12．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是________.

答案精析
1．B　[∵摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，
∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]
2．C　[第一次抽到文科题，则总共剩下4道题，所以抽到理科题的概率为.]
3．D　[P甲＝，P乙＝，甲、乙独立，∴P(甲乙)＝×＝.]
4．B　[设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，
则P(AB)＝×，P(A)＝，所以P(B|A)＝＝.]
5．B　[用A，B，C分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P()＝P()·P()·P()＝××＝，故至少有一人去北京旅游的概率为1－＝.]
6．B　[设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，
由已知得P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，P(A2|A1)＝＝0.75.故选B.]
7．B　[设体型合格为事件A，视力合格为事件B，其他几项合格为事件C，
依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
∴所求概率为P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.]
8．C　[设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝，而P(A)＝＝，
AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，
故P(AB)＝＝，于是P(B|A)＝＝.]
9.
解析　设该队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，p2＝.又010.
解析　记事件A为“第一次摸到黑球”，事件B为“第二次摸到白球”，则事件AB为“第一次摸到黑球、第二次摸到白球”，依题意知P(A)＝，P(AB)＝×＝，∴在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为P(B|A)＝＝.
11.
解析　甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为×＝，故由互斥事件的概率公式，得甲队获得冠军的概率为＋＝.
12.
解析　由题意知，两个人都不去此地的概率是×＝，
∴至少有一人去此地的概率是1－＝.
第77练 独立重复试验与二项分布、正态分布
训练目标
(1)对独立重复试验及二项分布正确判断，并能求出相关概率；(2)能解决简单的正态分布问题．
训练题型
(1)利用二项分布求概率；(2)利用正态曲线的性质求概率．
解题策略
(1)熟悉独立重复试验及二项分布的特征，理解并熟记二项分布的概率计算公式；(2)掌握正态曲线的性质，利用3σ原则解决正态分布下的概率问题.
一、选择题
1．(2017·天津调研)抛一枚均匀硬币，正反两面出现的概率都是，重复这样的投掷，数列{an}的定义如下：an＝1，第n次投掷出现正面；an＝－1，第n次投掷出现反面．若Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则事件“S8＝2”发生的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2．(2016·重庆二诊)已知随机变量ξ～B(n，p)，且其均值和方差分别为2.4和1.44，则参数n，p的值分别为(　　)
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
3．(2017·大连月考)甲、乙两人进行象棋比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为(　　)
A. B.
C．5 D．3
5.(2016·广东中山一中等七校联考)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则(　　)
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
6．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的均值E(ξ)的值为(　　)
A. B.
C．1 D.
7．(2017·西安调研)下列随机变量X服从二项分布的是(　　)
①重复抛掷一枚骰子n次，出现点数是3的倍数的次数X；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X；
③一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回的抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数(M④一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回的抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数(MA．②③ B．①④
C．③④ D．①③
8．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在每次试验中出现的概率是________．
10．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第三次击中目标的概率为0.9；
②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.
其中正确结论的序号为________．
11．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
12．已知X～N(μ，σ2)，P(μ－σ
答案精析
1．D　[事件S8＝2表示反复抛掷8次硬币，其中出现正面的次数是5，其概率
P＝C5·3＝.]
2．B　[∵ξ～B(n，p)，故解得p＝0.4，n＝6.]
3．A　[甲以3∶1的比分获胜，即前三局甲胜二局，第四局甲胜，所求的概率为
P＝C2××＝.故选A.]
4．A　[因为ξ服从正态分布N(3,4)，
且P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以＝3，解得a＝.]
5．D　[当σ一定时，曲线的位置由μ确定；当μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，结合图象知，故选D.]
6．A　[由题意可知，ξ服从二项分布B，所以E(ξ)＝2×＝.]
7．D　[①由于每抛掷一枚骰子出现点数是3的倍数的概率都是相等的，且相互独立，故X服从二项分布；②对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数X，每次试验与前面各次试验的结果有关，故X不服从二项分布；③由于采用有放回的抽取方法，所以每次抽取出现次品的概率都是相等的，且相互独立，故X服从二项分布；④由于采用不放回的抽取方法，所以每次抽取出现次品的概率不相等，故X不服从二项分布．故选D.]
8．D　[已知X～B，P(X＝k)＝Cpk·(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝时，
有P(X＝2)＝C×2×6－2＝C×2×4＝.]
9.
解析　设事件A在每次试验中出现的概率为p，依题意1－(1－p)4＝，
∴p＝.
10．①③
解析　在n次独立重复试验中，每次事件发生的概率都相等，①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以正确的概率应为C0.93×0.1，②错误；利用对立事件，③正确．
11.
解析　每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区房源的概率为C·2·2＝.
12．500
解析　依题意可知μ＝100，σ＝10.
由于P(μ－2σ因此本次考试120分以上的学生约有20 000×＝500(人)．
第78练 离散型随机变量及其分布列
训练目标
理解离散型随机变量的意义，会求离散型随机变量的分布列．
训练题型
(1)求离散型随机变量的分布列；(2)利用分布列性质求参数．
解题策略
(1)正确确定随机变量的取值；(2)弄清事件的概率模型，求出随机变量对应的概率；(3)列出分布列.
一、选择题
1．已知随机变量ξ～B(9，)，则使P(ξ＝k)取得最大值的k的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA．x≤2 B．1C．1≤x≤2 D．13．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　)
A．5 B．9
C．10 D．25
4．(2017·合肥质检)随机变量X的分布列规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B.
C. D.
5．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P等于(　　)
A. B.
C. D.
6．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件则抽到1件次品的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7．下列表达式中是离散型随机变量X的分布列的是(　　)
A．P(X＝i)＝0.1，i＝0,1,2,3,4
B．P(X＝i)＝，i＝1,2,3,4,5
C．P(X＝i)＝，i＝1,2,3,4,5
D．P(X＝i)＝0.2，i＝1,2,3,4,5
8．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
9．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤7)＝________.(用分数表示结果)
10．(2016·长沙模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X＝k)，则P(X＝5)的值为________．
11．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人数X的分布列为________．
12．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取到正品时所需次数X的分布列为P(X＝k)＝________.

答案精析
1．A　[因为ξ～B(9，)，那么P(ξ＝k)＝C()k·()9－k求出各个概率值，则取得最大值的时候k＝2，因此选A.]
2．D　[由题给出的分布列，可知相应的频率值，则P(η3．B　[X的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个．]
4．D　[由×a＝1，得a＝1，∴a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.]
5．C　[由已知，随机变量ξ的分布列为
ξ
1
P
a
2a
3a
4a
5a
由分布列的性质可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，∴a＝，
∴P＝＋＋＝.]
6．A　[50件产品中，次品有50×4%＝2(件)，设抽到的次品数为X，则抽到1件次品的概率是P(X＝1)＝.]
7．D　[由离散型随机变量的分布列的性质可知，分布列的概率和为1，故选D.]
8．D　[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.]
9.
解析　分析题意可知，若得分不大于7，则四个球都是红球或三个红球一个黑球，若四个球都是红球，P＝＝，此时得分为4分，若四个球有三个红球一个黑球，P＝＝，此时得分为6分，故P(ξ≤7)＝.
10.
解析　∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝5，即旧球的个数增加了2个，∴取出的3个球必为1个旧球，2个新球，
故P(X＝5)＝＝.
11.
X
0
1
2
3
P
解析　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
12.()k－1，k＝1,2,3，…
解析　由于每次取出的产品仍放回，所以每件产品被取到的概率完全相同，
则X的可能取值是1,2，…，k，…，
相应的取值概率为
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
…
P(X＝k)＝()k－1.
第79练 离散型随机变量的均值与方差
训练目标
熟练掌握随机变量的均值与方差的求法．
训练题型
(1)求随机变量的均值；(2)求随机变量的方差；(3)统计知识与均值、方差的综合应用．
解题策略
(1)熟练掌握均值、方差的计算公式及其性质；(2)此类问题的关键是分析概率模型，正确求出概率.
1.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列，均值和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．
2．(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是，乙、丙两人同时闯关成功的概率是，甲、丙两人同时闯关失败的概率是，且三人各自能否闯关成功相互独立．
(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率；
(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数，求ξ的分布列和均值．

3.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下：
方式
实施地点
大雨
中雨
小雨
模拟实验总次数
A
甲
4次
6次
2次
12次
B
乙
3次
6次
3次
12次
C
丙
2次
2次
8次
12次
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
(2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ)．
4．(2016·郑州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.
对阵队员
A队队员胜
A队队员负
A1对B1
A2对B2
A3对B3
(1)求A队最后所得总分为1的概率；
(2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．

答案精析
1．解　(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，
D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.
(2)由题意可知D(η)＝a2D(ξ)＝a2×＝11，∴a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，
∴当a＝2时，1＝2×＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，1＝－2×＋b，得b＝4.
∴或
2．解　(1)记甲，乙，丙各自闯关成功的事件分别为A1，A2，A3，
由已知A1，A2，A3相互独立，且满足
解得P(A2)＝，P(A3)＝.
所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为，.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝××＝＝，
P(ξ＝1)＝＋＋＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝3)＝××＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
3．解　(1)由人工降雨模拟实验的统计数据，用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：
方式
实施地点
大雨
中雨
小雨
A
甲
P(A1)＝
P(A2)＝
P(A3)＝
B
乙
P(B1)＝
P(B2)＝
P(B3)＝
C
丙
P(C1)＝
P(C2)＝
P(C3)＝
记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，则P(E)＝P(A2)P(B2)P(C2)＝××＝.
(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1、p2、p3，
则p1＝P(A2)＝，p2＝P(B1)＝，p3＝P(C2)＋P(C3)＝，ξ的可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝××＝；
P(ξ＝1)＝p1(1－p2)(1－p3)＋(1－p1)p2(1－p3)＋(1－p1)(1－p2)p3
＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝2)＝p1p2(1－p3)＋(1－p1)p2p3＋p1(1－p2)p3＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝3)＝p1p2p3＝××＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.
4．解　(1)记“A队最后所得总分为1”为事件A0，
∴P(A0)＝××＋××＋××＝.
(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，
P(ξ＝3)＝××＝＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝0)＝××＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝.
由于E(η)>E(ξ)，故B队的实力较强．
第7练 函数的单调性与最值
训练目标
(1)函数单调性的概念；(2)函数的最值及其几何意义．
训练题型
(1)判断函数的单调性；(2)利用函数单调性比较大小、解不等式；(3)利用函数单调性求最值．
解题策略
(1)判断函数单调性常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；(2)分段函数单调性要注意分界点处函数值的大小；(3)可利用图象直观研究函数单调性.
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为(　　)
A．y＝－x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝2x
2．(2016·黑龙江牡丹江一中期中)函数y＝3x2－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是(　　)
A．R B.
C．[9,243] D．[3，＋∞)
3．(2016·铁岭月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则(　　)
A．fC．f4．(2016·广东佛山顺德一中等六校联考)函数y＝x2－x＋2在[a，＋∞)上单调递增是函数y＝ax为单调递增函数的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2016·陕西西藏民族学院附中期末)若函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．[1,2)
C．[1,2] D．(1，＋∞)
6．(2016·天津河西区一模)函数f(x)＝ln(x2－2x－3)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(3，＋∞)
7．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
8．(2015·湖北)已知符号函数sgnx＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)
A．sgn[g(x)]＝sgnx B．sgn[g(x)]＝－sgnx
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
二、填空题
9．y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________________．
10．(2017·日照调研)函数f(x)＝的最大值为________．
11．已知f(x)＝当x∈[－2,2]时不等式f(x＋a)≥f(2a－x)恒成立，则实数a的最小值是________．
12．对于函数f(x)，若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同域区间”．给出下列四个函数：
①f(x)＝cosx；②f(x)＝x2－1；③f(x)＝|2x－1|；④f(x)＝log2(x－1)．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________．(请写出所有正确结论的序号)

答案精析
1．C　[y＝－x2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y＝x在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y＝－在区间(0,1]上是增函数，最大值为y＝－1，满足条件；y＝2x在区间(0,1]上是增函数，最大值为y＝2，不满足条件，故选C.]
2．B　[令t＝x2－3x＋2，∵x∈[－1,2]，
∴t＝x2－3x＋2＝2－∈.
又y＝3t在上单调递增，
则y＝3t∈.
∴函数y＝3x2－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是.]
3．B　[由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f＝f＝f＝f，
又<<<1，
∴f>f>f，
即f>f>f.]
4．B　[函数y＝x2－x＋2图象的对称轴为直线x＝，且开口向上，在上单调递增，由已知y＝x2－x＋2在[a，＋∞)上单调递增，则a≥，推不出y＝ax是递增函数．反之，y＝ax单调递增，则a>1，显然y＝x2－x＋2在[a，＋∞)上单调递增，故选B.]
5．A　[由f(x)＝x2＋ax－2在(0,1]上递增，则有－≤0，即a≥0，再由f(x)＝ax－a在(1，
＋∞)上递增，则a>1，再由增函数的定义，得1＋a－2≤a1－a，解得a≤2，则有1故选A.]
6．C　[要使函数有意义，则x2－2x－3>0，即x>3或x<－1.设t＝x2－2x－3，则当x>3时，函数t＝x2－2x－3单调递增；当x<－1时，函数t＝x2－2x－3单调递减．
∵函数y＝lnt在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知：
当x>3时，函数f(x)单调递增，即函数f(x)的递增区间为(3，＋∞)；
当x<－1时，函数f(x)单调递减，即函数f(x)的递减区间为(－∞，－1)．故选C.]
7．C　[f(x)＝
由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－28．B　[因为a>1，所以当x>0时，x0，sgn[g(x)]＝1＝－sgnx；当x＝0时，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgnx也成立．故B正确．]
9．(－∞，－1]，[0,1]
解析　由题意知，
当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；
当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函数的图象如图．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．
10．2
解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
11．4
解析　当x≤0时，f(x)＝x2－4x＋3，
对称轴为直线x＝2，故在区间内递减，f(x)≥f(0)＝3；
当x>0时，f(x)＝－x2－2x＋3，
对称轴为直线x＝－1，故在区间内递减，f(x)可知函数f(x)在整个区间内递减．
∴当x∈[－2,2]时不等式f(x＋a)≥f(2a－x)恒成立，
∴x＋a≤2a－x，∴2x≤a，∴a≥4.
12．①②③
解析　当x∈[0,1]时，cosx∈[0,1]，①正确；当x∈[－1,0]时，x2－1∈[－1,0]，②正确；当x∈[0,1]时，|2x－1|∈[0,1]，③正确；因为y＝log2(x－1)为单调递增函数，所以要为“同域区间”，需满足方程log2(x－1)＝x有两个根，由图象可知y＝x与y＝log2(x－1)没有交点，④错误．
第80练 高考大题突破练——概率
1．(2016·天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．
2．(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
3.2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量(单位：毫克)．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及均值．
4．某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目，假定张某通过项目A的概率为，通过项目B、C的概率均为a(0(1)用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的分布列和均值E(X)(用a表示)；
(2)若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．
答案精析
1．解　(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
2．解　(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率为.
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
3．解　(1)乙厂生产的产品总数为98×＝35.
(2)样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为35×＝14.
(3)ξ＝0,1,2.
P(ξ＝i)＝(i＝0,1,2)，
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
4．解　(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝(1－)C(1－a)2＝(1－a)2；
P(X＝1)＝C(1－a)2＋(1－)Ca(1－a)＝(1－a2)；
P(X＝2)＝Ca(1－a)＋(1－)Ca2＝(2a－a2)；
P(X＝3)＝Ca2＝a2，
从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(1－a)2
(1－a2)
(2a－a2)
X的均值为
E(X)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.
(2)P(X＝1)－P(X＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，
P(X＝1)－P(X＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝，
P(X＝1)－P(X＝3)＝[(1－a2)－a2]＝，
由和0得0第81练 程序框图
训练目标
能正确运用三种结构的程序框图进行算法运算，会简单应用基本算法语句．
训练题型
(1)推算输出结果；(2)在判断框补充所缺条件；(3)以框图为运算工具解决其他知识方面的问题．
解题策略
(1)准确确定初始值；(2)弄清如何赋值及赋值后的结果；(3)判断程序运算的次数；(4)确定输出结果.
一、选择题
1．(2016·全国乙卷)执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
2．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)
A．8 B．9
C．27 D．36
3．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出S值的取值范围为(　　)
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)
A．s≤？ B．s≤？
C．s≤？ D．s≤？
6．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
7．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为16，则输入n(n∈N)的最小值为(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
8．(2016·张掖一诊)已知图象不间断的函数f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且在区间(a，b)上存在零点．如图所示是用二分法求方程f(x)＝0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f(a)f(m)<0？②f(a)f(m)>0？③f(b)f(m)<0？④f(b)f(m)>0？其中能够正确求出近似解的是(　　)
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
二、填空题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是________．(填序号)
n≤2 015? ②n≤2 016?
③n<2 014? ④n<2 016?
10．(2017·郑州质检)执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．
11．(2015·山东)执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________.
12．当输入的实数x∈[2,30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．

答案精析
1．C　[执行题中的程序框图，知
第一次执行循环体：x＝0＋＝0，y＝1×1＝1，x2＋y2<36；
第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋＝，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；
第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝＋＝，y＝3×2＝6，x2＋y2>36，满足x2＋y2≥36，故退出循环，输出x＝，y＝6，满足y＝4x，故选C.]
2．B　[k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；s＝1，k＝2，满足k≤2；s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.]
3．B　[k＝0，b＝a＝1，
第一次循环：a＝＝－≠1，k＝0＋1＝1；
第二次循环：a＝＝－2≠1，k＝1＋1＝2；
第三次循环：a＝＝1，满足a＝b，退出循环，输出k＝2.]
4．D　[由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后15．C　[根据程序框图表示的算法求解．
由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，
s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填“s≤？”．]
6．C　[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据程序框图所示的顺序，可知该程序的作用是计算并输出的分段函数y＝的值．
又∵输入的x值与输出的y值相等，
当x≤2时，x＝x2，
解得x＝0或x＝1；
当2解得x＝3；
当x>5时，x＝，
解得x＝±1(舍去)．
故满足条件的x的值共有3个，故选C.]
7．D　[由程序框图知，第一次循环s＝1×2＝2，i＝2＋2＝4，k＝1＋1＝2；第二次循环s＝×2×4＝4，i＝4＋2＝6，k＝2＋1＝3；第三次循环s＝×4×6＝8，i＝6＋2＝8，k＝3＋1＝4；第四次循环s＝×8×8＝16，i＝8＋2＝10，k＝4＋1＝5，退出循环，此时i＝10.所以，判断框中，8≤n<10，输入n(n∈N)的最小值为8，故选D.]
8．A　[因为函数f(x)在区间[a，b]上单调，且函数f(x)在区间(a，b)上存在零点，所以f(a)f(b)<0，所以当f(a)f(m)<0或f(b)f(m)>0，符合程序框图的流程，故选A.]
9．②
解析　第1次循环，s＝1＋1＝2，n＝1＋1＝2，第2次循环，s＝2＋2＝4，n＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n≤2 016？”．
10．－1－
解析　由程序框图可知，n＝1，S＝0，
S＝cos，n＝2；
S＝cos＋cos，n＝3；…；
S＝cos＋cos＋cos＋…
＋cos＝251(cos＋cos＋…＋cos)＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋(－)＋(－1)＋(－)＋0＝－1－，n＝2 015，此时结束循环，输出S＝－1－.
11.
解析　当n＝1时，T＝1＋x1dx
＝1＋x2|＝1＋＝；
当n＝2时，T＝＋x2dx＝＋x3|＝＋＝；
当n＝3时，结束循环，输出T＝.
12.
解析　设输入的实数为x0，
第一次循环为x＝2x0＋1，n＝2；
第二次循环为x＝4x0＋3，n＝3；
第三次循环为x＝8x0＋7，n＝4.
输出8x0＋7.
∵x0∈[2,30]，∴8x0＋7∈[23,247]．
输出的x不小于103的概率是＝.
第82练 复数
　训练目标
(1)熟记复数的有关概念；(2)掌握复数代数形式的四则运算；(3)理解并能简单应用复数的几何意义．
训练题型
(1)复数及其相关概念的应用；(2)复数的计算；(3)复数的模与共轭复数的求解与应用；(4)复数的几何意义的应用．
解题策略
(1)正确理解复数的有关概念，会利用复数相等列方程；(2)复数除法的运算是难点，应重点掌握；(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系.
一、选择题
1．复数－的实部与虚部的和为(　　)
A．－ B．1
C. D.
2．(2016·全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
3．i为虚数单位，若(＋i)z＝－i，则|z|等于(　　)
A．1 B.
C. D.
4．若复数z＝2－i，则＋等于(　　)
A．2－i B．2＋i
C．4＋2i D．6＋3i
5．(2016·长沙模拟)已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
6．满足＝i(i为虚数单位)的复数z等于(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
7．(2016·郑州调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D．[，7]
8．(2016·贵州遵义模拟)复数z＝4i2 016－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
9．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为________．
10．(2016·山东省实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．
11．设f(n)＝()n＋()n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________．
12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①|z－|＝2y； ②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x； ④|z|≤|x|＋|y|.

答案精析
1．D　2.A　3.A　4.D　5.B　6.B
7．C　[由复数相等的充要条件可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝4(sin θ－)2－，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈[－，7]．]
8．D　9.2
10.
解析　＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝.
11．3
解析　因为f(n)＝()n＋()n＝in＋(－i)n，所以f(1)＝0，f(2)＝－2，
f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0＝f(1)，…，故集合{f(n)}中共有3个元素．
12．④
解析　对于①，∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；
对于③，∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，
故④正确．
第83练 推理与证明
训练目标
(1)会应用合情推理、演绎推理进行判断推理；(2)会用综合法、分析法、反证法进行推理证明．
训练题型
(1)推理过程的判定；(2)合情推理、演绎推理的应用；(3)证明方法的应用．
解题策略
(1)应用合情推理时，找准变化规律及问题实质，借助定义、性质、公式进行类比归纳；(2)用分析法证明时，要注意书写格式，执果索因逐步递推；(3)用反证法证明时，对所要证明的结论的否定性假设要具有全面性，防止片面性.
一、选择题
1．有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中(　　)
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
2．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n等于(　　)
A. B.
C. D.
3．(2016·湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋等于(　　)
A. B.
C. D.
4．(2016·银川二模)将正整数排列如下图：
1
2　3　4
5　6　7　8　9
10　11　12　13　14　15　16
…
则图中数2 016出现在(　　)
A．第44行第81列 B．第45行第81列
C．第44行第80列 D．第45行第80列
5．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个是偶数
D．假设a，b，c至多有两个是偶数
6．(2016·湖南六校联考)对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．
思考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，则关于x的不等式＋<0的解集为(　　)
A．(－3，－1)∪(1,2) B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－3,2)
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若存在正整数m，n(mA．0 B．1
C．m＋n D．mn
8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)
A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋
二、填空题
9．设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，则满足<<的所有n的和为________．
10．(2016·武昌调研)如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则
(1)在圆内画5条线段，将圆最多分割成________部分；
(2)在圆内画n条线段，将圆最多分割成________部分．
11．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2<∫a＋1ax2dx<(a＋1)2.运用类比推理，若对?n∈N*，＋＋…＋12．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：
(1)第6件首饰上应有________颗珠宝；
(2)前n(n∈N*)件首饰所用珠宝总颗数为________．(结果用n表示)
答案精析
1．B　[大前提：如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，错误．]
2．C　[观察{an}的性质：am＋n＝，则联想nb－ma对应等比数列{bn}中的，
而{an}中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方，故bm＋n＝.]
3．C　[每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，
即＋＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，故选C.]
4．D　[由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016<2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列．故选D.]
5．B　[至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数．]
6．A　[由关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，得＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．]
7．B　[因为Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1，
从而bm＋1bn＝1，
Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1·bn＋m
＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)·(bm＋1bn)…＝1.]
8．A　[如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(BC·AD)2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝(OB·OA)2＋(OC·OA)2＋(BC·OD)2＝S＋S＋S.]
9．7
解析　由2an＋1＋Sn＝3，得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，两式相减，得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2an＋1＝an(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]，
代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.
10．(1)16　(2)1＋
解析　(1)设在圆内画n条线段将圆最多可分成an部分，则a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，所以a5＝a4＋5＝11＋5＝16，即在圆内画5条线段，将圆最多分割成16部分．
(2)因为an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，所以将上述式子累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，则an＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋，n≥2，显然当n＝1时上式也成立，故在圆内画n条线段将圆最多可分割成1＋部分．
11．ln 2
解析　令依据类比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln 2.
12．(1)66　(2)，n∈N*
解析　(1)设第n件首饰上的珠宝颗数为an，则a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，
∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，
a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1，
∴猜想an－an－1＝4(n－1)＋1＝4n－3，
∴推断a6＝a5＋4×5＋1＝66.
(2)由(1)知an－an－1＝4n－3，
则an－1－an－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝4×2－3，
以上各式相加得an－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1)
＝－3(n－1)
＝2n2－n－1，
∴an＝2n2－n，
则a1＋a2＋…＋an＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n)
＝2×－
＝，
∴前n件首饰所用珠宝总颗数为，n∈N*.
第84练 极坐标与参数方程
训练目标
(1)了解坐标系的作用及与直角坐标的互化；(2)了解参数方程，并能写出直线、圆及圆锥曲线的参数方程．
训练题型
(1)曲线的极坐标方程及与直角坐标的互化；(2)参数方程与普通方程的互化及其简单应用．
解题策略
(1)理解极坐标系的作用；(2)了解参数方程，了解参数的意义.
一、选择题
1．(2016·安庆一模)在极坐标系中，点(2，)与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为(　　)
A．2 B.
C. D.
2．(2016·马鞍山二模)直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sin θ)＝6，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为(　　)
A．3＋1 B．3
C．3－1 D．3＋2
3．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是(　　)
A. B.
C. D.
4．极坐标方程ρcosθ＝2sin 2θ表示的图象为(　　)
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
5．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为(　　)
A. B.
C. D.
6．(2017·黄山质检)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为(　　)
A．4 B．5
C．4 D．5
7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(　　)
A．ρcosθ＝2 B．ρsinθ＝2
C．ρ＝4sin(θ＋) D．ρ＝4sin(θ－)
8．(2016·皖南八校联考)若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m为(　　)
A．－4或6 B．－6或4
C．－1或9 D．－9或1
二、填空题
9．已知两曲线的参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，则它们的交点坐标为________．
10．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
11．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．若曲线C1上的点P对应的参数为t＝，Q为曲线C2上的动点，则线段PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值为________．
12．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为
直线l与曲线C分别交于M，N两点．若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则a的值为________.

答案精析
1．D　[由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心(1,0)与点(1，)之间的距离为.]
2．A　[由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y＝6，圆C的普通方程为x2＋y2＝1，则圆心到直线的距离d＝＝3，所以圆C上的点到直线l的距离的最大值为3＋1.]
3．D　[由xy＝1，知x取非零实数即可，而选项A，B，C中的x的范围有各自的限制．]
4．C　[由ρcosθ＝4sin θcosθ，得cosθ＝0或ρ＝4sin θ.即θ＝kπ＋或x2＋y2＝4y，所以方程表示的是一条直线和一个圆．]
5．B　[由可得
把直线代入x2＋y2＝9，
得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，5t2＋8t－4＝0，
|t1－t2|＝＝＝，
弦长为|t1－t2|＝.]
6．A　[直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，圆心坐标为(0,0)，则圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，所以直线被圆截得的弦长为2＝4.]
7．A　[圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．]
8．A　[由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.]
9．(1，)
解析　由(0≤θ<π)得＋y2＝1(y≥0)，由(t∈R)得x＝y2，联立方程则5y4＋16y2－16＝0，解得y2＝或y2＝－4(舍去)，则x＝y2＝1，又y≥0，所以其交点坐标为(1，)．
10．1
解析　消掉参数θ，得到曲线C1的普通方程为(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2表示的是单位圆，所以|AB|的最小值为3－1－1＝1.
11.
解析　曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2的普通方程为＋＝1，曲线C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．当t＝时，点P的坐标为(－4,4)．Q为曲线C2上的动点，
设Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)，
直线C3的参数方程化为普通方程为x－2y－7＝0，
点M到直线C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，
从而cosθ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.
12．1
解析　将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为y2＝2ax，将直线l的参数方程(t为参数)代入y2＝2ax，得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
设直线上的M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)．因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，解得a＝1.
第85练 不等式选讲
训练目标
理解不等式的解法及证明方法．
训练题型
(1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)柯西不等式的应用．
解题策略
(1)掌握不等式的基本性质；(2)理解绝对值的几何意义；(3)了解柯西不等式的几种形式.
一、选择题
1．(2016·潍坊模拟)不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为(　　)
A．(－∞，) B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．(－，＋∞)
2．(2016·皖南八校联考)若不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[－2,5] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
3．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，当a＝－3时，不等式f(x)≥3的解集为(　　)
A．[－1,4] B．(－∞，1]
C．[1,4] D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
5．(2016·长沙一模)设f(x)＝|x－a|，a∈R.若对任意x∈R，f(x－a)＋f(x＋a)≥1－2a都成立，则实数a的最小值是(　　)
A．0 B.
C. D．1
6．对于实数x，y，若|2x＋1|≤lg 4，|2y－1|≤lg 5，则|x－2y＋2|的最大值是(　　)
A. B．1
C. D．2
二、填空题
7．设f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)，当函数f(x)的定义域为R时，实数a的取值范围是________．
8．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集为________．
9．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是________．
10．已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立，则a的取值范围是________．
三、解答题
11．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，试确定e的最大值．
12．已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.

答案精析
1．A　[原不等式等价于|x－2|>|x－1|，则(x－2)2>(x－1)2，解得x<.]
2．A　[由绝对值的几何意义知，|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.]
3．C　[|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.]
4．D　[当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得x≤1；当25．B　[f(x－a)＋f(x＋a)＝|x－2a|＋|x|≥|(x－2a)－x|＝2|a|，当且仅当(x－2a)x≤0时取等号．
解不等式2|a|≥1－2a，得a≥.故实数a的最小值为.]
6．C　[|x－2y＋2|＝|2x－4y＋4|＝|2x＋1－4y＋2＋1|≤(|2x＋1|＋2|2y－1|＋1)
≤×(lg 4＋2lg 5＋1)＝，故选C.]
7．(－∞，4)
解析　由题意知函数f(x)的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|>a恒成立．
设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，则g(x)＝所以g(x)min＝4.
由|x－1|＋|x－5|－a>0恒成立，得a<4，故实数a的取值范围是(－∞，4)．
8．{x|0解析　由对数函数的定义得x>0，又由绝对值不等式的性质知，|x＋log3x|≤|x|＋|log3x|，当且仅当x与log3x异号时等号不成立，∵x>0，∴log3x<0，
即09．(5,7)
10．[－1,2]
解析　设y＝，x∈[2,6]，则y′＝－<0，
则y＝在区间[2,6]上单调递减，则ymin＝＝，故不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立等价于|a2－a|≤恒成立，
化简得解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1,2]．
11．解　由已知得
由柯西不等式知(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2，
故4(16－e2)≥(8－e)2，解得0≤e≤，
当且仅当a＝b＝c＝d＝时，e取得最大值.
12．证明　因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，
所以|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1，
即|x＋5y|≤1.
第8练 函数的奇偶性和周期性
训练目标
(1)函数奇偶性的概念；(2)函数周期性．
训练题型
(1)判定函数的奇偶性；(2)函数奇偶性的应用(求函数值，求参数)；(3)函数周期性的应用．
解题策略
(1)判断函数的奇偶性首先要考虑函数定义域是否关于原点对称；(2)根据奇偶性求参数，可先用特殊值法求出参数，然后验证；(3)理解并应用关于周期函数的重要结论：如f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2|a|.
一、选择题
1．(2016·江西赣州于都实验中学大考三)若奇函数f(x)＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，
则a＋b＋c等于(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．无法计算
2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 014)＋f(2 015)等于(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
3．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)等于(　　)
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
5．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)等于(　　)
A．－1 B .
C．1 D．－
6．(2016·开封二模)已知函数f(x)定义在R上，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，f(－1)＝2，则f(2 015)等于(　　)
A．－2＋2 B．2＋2
C．2－2 D．2
7．已知函数f(x)＝则该函数是(　　)
A．偶函数且单调递增 B．偶函数且单调递减
C．奇函数且单调递增 D．奇函数且单调递减
8．对任意实数a、b，定义两种运算：a(b＝，a?b＝，则函数f(x)＝(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
二、填空题
9．(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 015)＝________.
11．若函数f(x)＝是奇函数，则实数a的值为________．
12．(2016·山东乳山一中月考)定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在
[－1,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)的图象关于点P对称；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(2)＝f(0)．
其中正确的是________．(把你认为正确的判断序号都填上)

答案精析
1．C　[因为函数f(x)＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，并且是奇函数，所以f(0)＝0，
即3sin 0＋c＝0，得c＝0，而奇函数的定义域关于原点对称，所以a＋b＝0，
所以a＋b＋c＝0.故选C.]
2．A　[因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.]
3．C　[f(x)的图象如图．
当x∈(－1,0)时，xf(x)>0；
当x∈(0,1)时，xf(x)<0；
当x∈(1,3)时，xf(x)>0.
所以x∈(－1,0)∪(1,3)．]
4．D　[由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
因为f(x)＋g(x)＝ex，
所以f(－x)＋g(－x)＝e－x，
即f(x)－g(x)＝e－x，
所以g(x)＝(ex－e－x)．故选D.]
5．A　[因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当x∈(0,1)时，－x∈(－1,0)，
则f(x)＝－f(－x)＝－2－x－.
因为f(x－2)＝f(x＋2)，
所以f(x)＝f(x＋4)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
而4故选A.]
6．D　[依题意得f(－1)＝2，f(x＋4)＋f(x)＝2，f(x＋8)＋f(x＋4)＝2，因此f(x＋8)＝f(x)．
注意到2 015＝8×251＋7，因此f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝2，故选D.]
7．C　[当x>0时，f(x)＝1－2－x，这时－x<0，所以f(－x)＝2－x－1，
于是f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝2x－1，这时－x>0，
所以f(－x)＝1－2x，于是也有f(－x)＝－f(x)．
又f(0)＝0，故函数f(x)是一个奇函数．
又因为当x>0时，f(x)＝1－2－x单调递增，
当x<0时，f(x)＝2x－1也单调递增，
所以f(x)单调递增．故选C.]
8．A　[由题意可得
f(x)＝＝，
则
??－2≤x≤2且x≠0.
即此函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
所以－4≤x－2<－2或－2所以＝|x－2|＝2－x，
所以f(x)＝＝＝.
因为f(－x)＝
＝－＝－f(x)≠f(x)，
所以函数f(x)＝是奇函数，但不是偶函数．]
9．1
解析　f(x)为偶函数，
则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，所以a＝1.
10．1
解析　由f(x＋2)＝，
得f(－1＋2)＝，
即f(1)f(－1)＝1，
而f(1)＝1，故f(－1)＝1，
又因为f(x＋4)＝＝f(x)，
所以f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)＝1.
11．－2
解析　因为f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，
当x>0时，－x<0，
由f(－x)＝－f(x)，
得－(－x)2＋a(－x)＝－(x2－2x)，
则a＝－2；
当x<0时，－x>0，
由f(－x)＝－f(x)，
得(－x)2－2(－x)＝－(－x2＋ax)，
得x2＋2x＝x2－ax，则a＝－2.
所以a＝－2.
12．①②④
解析　根据题意有f＝－f，结合偶函数的条件，可知f＝－f，所以函数图象关于点对称，故①正确；式子还可以变形为f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，故②正确；根据对称性，可知函数在[0,1]上是减函数，故③错；由②可知f(2)＝f(0)，故④正确．所以答案为①②④.
第9练 函数性质的应用
训练目标
函数的单调性、最值、奇偶性、周期性．
训练题型
(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题．
解题策略
(1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.
一、选择题
1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是(　　)
A．y＝log3x B．y＝3|x|
C．y＝x D．y＝x3
2．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．±2
3．(2017·西安质检)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝
lnx，则有(　　)
A．fC．f4．已知函数f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C. D.
5．(2016·威海模拟)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则
f(2－x)>0的解集为(　　)
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2C．{x|x<0或x>4} D．{x|06．设函数f(x)是奇函数，对任意的实数x，y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)在区间[a，b]上(　　)
A．有最小值f(a) B．有最大值f(a)
C．有最大值f() D．有最小值f()
7．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．可能为0 B．恒大于0
C．恒小于0 D．可正可负
8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：
①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期为T＝2；②若函数y＝f(x)满足
f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＝.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．(2016·孝感模拟)已知y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f(x)＝________________.
10．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若关于x的方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
其中所有正确命题的序号为________．
11．(2016·济宁期中)已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2}，且y＝f(x＋2)是偶函数，当x<2时，f(x)＝|2x－1|，那么当x>2时，函数f(x)的递减区间是__________．
12．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列命题：
①F(x)＝|f(x)|；
②函数F(x)是奇函数；
③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F(x1)＋F(x2)>0成立；
④当a<0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．
其中所有正确命题的序号是________.

答案精析
1．D　[根据对数函数的图象知y＝log3x是非奇非偶函数；y＝3|x|是偶函数；y＝是非奇非偶函数；y＝x3是奇函数，且在定义域R上是单调函数，所以D正确．]
2．A　[∵g(－x)＝f(－x－1)，
∴－g(x)＝f(x＋1)．
又g(x)＝f(x－1)，
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 014)＝f(2)＝2.]
3．C　[由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f＝f，f＝f，又当x≥1时，f(x)＝lnx，单调递增，
所以f4．D　[令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝t在其定义域上单调递减，要使f(x)＝(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，
且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即
所以即－5．C　[由题意可知f(－x)＝f(x)，
则(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，
即(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，
即b＝2a.则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．
又函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a>0.
f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，
解得x<0或x>4.故选C.]
6．B　[不妨设a≤x10?f(x1)>f(x2)?f(x)在区间[a，b]上为减函数?f(x)在区间[a，b]上有最大值f(a)，故选B.]
7．C　[由x1x2<0，不妨设x1<0，x2>0.
∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.
由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数，
又由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得
f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.故选C.]
8．C　[在f(x＋1)＝f(3＋x)中，以x－1代换x，得f(x)＝f(2＋x)，所以①正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是y＝f(x)上的两点，且x1＝x＋1，x2＝3－x，有＝2，由f(x1)＝f(x2)，得y1＝y2，即P，Q关于直线x＝2对称，所以②正确；函数y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(3－x)的图象由y＝f(x)的图象关于y轴对称得y＝f(－x)，再向右平移3个单位得到，即y＝f[－(x－3)]＝f(3－x)，于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝＝1对称，所以③错误；设P(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)必在y＝的图象上，有－y＝，即y＝，于是f(x)＝，所以④正确．]
9．－x2＋22x－120
解析　∵f(x)在R上是周期为4的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．由f(x＋4)＝f(x)，可得f(x－12)＝f(x)．设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－(x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.
10．①②④
解析　对于①，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，∴当x＝－2时，f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函数，∴f(2)＝0，∴①正确；对于②，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，f(2)＝0，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期T＝4，又直线x＝0是函数y＝f(x)图象的对称轴，
∴直线x＝－4也为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，
∴②正确；对于③，∵函数f(x)的周期是4，
∴y＝f(x)在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y＝f(x)在[8,10]上单调递减，
∴③错误；对于④，∵直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的对称轴，∴＝－4，x1＋x2＝－8，∴④正确．
11．(2,4]
解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，则函数f(x)关于直线x＝2对称，则f(x)＝f(4－x)．若x>2，则4－x<2，∵当x<2时，f(x)＝|2x－1|，
∴当x>2时，f(x)＝f(4－x)＝|24－x－1|，则当x≥4时，4－x≤0,24－x－1≤0，此时f(x)＝|24－x－1|＝1－24－x＝1－16·x，此时函数递增，当20,24－x－1>0，
此时f(x)＝|24－x－1|＝24－x－1＝16·x－1，此时函数递减，∴函数的递减区间为(2,4]．
12．②③
解析　①因为|f(x)|＝而F(x)＝这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1，－x<0，F(－x)＝－f(－x)＝－(alog2|－x|＋1)＝－(alog2|x|＋1)＝－F(x)；当x<0时，F(x)＝－f(x)＝－(alog2|x|＋1)，－x>0，F(－x)＝f(－x)＝alog2|－x|＋1＝alog2|x|＋1＝－F(x)，所以函数F(x)是奇函数，②正确．③当a>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x1x2<0，x1＋x2>0，不妨设x1>0，则x2<0，x1>－x2>0，所以F(x1)>F(－x2)>0，又因为函数F(x)是奇函数，－F(x2)＝F(－x2)，所以F(x1)＋F(x2)>0，③正确．④函数y＝F(x2－2x－3)＝
当x>3或x<－1时，因为a<0，
所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．
阶段滚动检测（一）
一、选择题
1．如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是(　　)
A．A∩B B．?U(A∩B)
C．A∩(?UB) D．(?UA)∩B
2．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)
A．“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”
B．“若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0”
C．“若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0”
D．“若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0”
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(?RN)等于(　　)
A．{x|x<1} B．{x|x≥－1}
C．{x|－15．下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x2与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
6．若a＝2－3.1，b＝0.53，c＝log3.14，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a7．设函数f(x)＝且f(2)＝1，则f(1)等于(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
8．给出下列四个函数：
①y＝x·sin x；②y＝x·cos x；③y＝x·|cos x|；④y＝x·2x.
这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)
A．①④②③ B．①④③②
C．④①②③ D．③④②①
9．已知函数f(x)是偶函数且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－2，－1)∪(0,1)
10．已知命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0.命题q：?m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧q；④(綈p)∨(綈q)中为真命题的是(　　)
A．②③ B．②④
C．③④ D．①④
11．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若函数g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有2个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
12．已知定义域为A的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈A，都有f(x1＋x2)－f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为“定义域上的M函数”，给出以下五个函数：
①f(x)＝2x＋3，x∈R；②f(x)＝x2，x∈；③f(x)＝x2＋1，x∈；④f(x)＝sin x，x∈；⑤f(x)＝log2x，x∈[2，＋∞)．
其中是“定义域上的M函数”的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题
13．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝|x|，x∈R}，则A∩B中元素的个数为________．
14．已知p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是错误的，则实数a的取值范围是__________．(用区间表示)
15．已知函数f(x)＝若f(4)>1，则实数a的取值范围是____________．
16．若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；
②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______________．
三、解答题
17．设p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；q：若x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，则不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]恒成立．若p不正确，q正确，求实数m的取值范围．
18．已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1(1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
19．已知函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，x∈[，9]．
(1)若t＝log3x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值及取得最值时对应的x的值．
20．已知p：“?x0∈(－1,1)，x－x0－m＝0(m∈R)”是正确的，设实数m的取值集合为M.
(1)求集合M；
(2)设关于x的不等式(x－a)(x＋a－2)<0(a∈R)的解集为N，若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数a的取值范围．
21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案精析
1．C　[根据题图可知，阴影部分是由属于A且不属于B(属于?UB)的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]
2．A　[逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]
3．A　[A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
4．A　[M＝{x|1－x2>0}＝{x|－10}＝{x|x>－1}，
所以M∪(?RN)＝{x|－15．C　[①中，f(x)＝＝－x，故f(x)，g(x)不是同一个函数；②中，g(x)＝＝|x|，故f(x)，g(x)不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]
6．D　[因为a＝2－3.1，b＝0.53＝2－3，函数y＝2x在R上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y＝log3.1x在(0，＋∞)上单调递增，所以c＝log3.14>log3.13.1＝1，所以a7．B　[因为f(2)＝1，所以logt(22－1)＝logt3＝1，解得t＝3，所以f(1)＝2×31＝6.]
8．A　[本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y＝f(x)，∵f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝x·sin x＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C和D；对于③，当x>0时，y≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]
9．C　[若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，此时f(－x)＝－x－1.
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，
即f(x)＝－x－1，x∈[－2,0]．
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
若x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，
∴f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝3－x，
∴f(x)＝
作出函数f(x)在[－2,4]上的图象，如图所示，
若00等价于f(x)>0，此时1若－1≤x<0，则不等式xf(x)>0等价于f(x)<0，此时－1若x＝0，显然不等式xf(x)>0的解集为?.
综上，不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]
10．D　[函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数?f(－x)＝f(x)?a＝0?p为真命题；关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解?Δ＝4－4m≥0?m≤1?q为假命题．故①④为真，故选D.]
11．A　[根据题意知，当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，则f(x)＝－1＝－1，故函数f(x)在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f(x)的图象与直线y＝m(x＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m＝，结合函数的图象(图略)，可知m的取值范围是(0，]，故选A.]
12．C　[对于①，?x1，x2∈R，f(x1＋x2)＝2(x1＋x2)＋3<2(x1＋x2)＋6＝f(x1)＋f(x2)，故①满足条件；
对于②，?x1，x2∈，f(x1＋x2)＝x＋x＋2x1x2，f(x1)＋f(x2)＝x＋x，
当x1x2>0时，不满足f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，故②不是“定义域上的M函数”；
对于③，?x1，x2∈，f(x1＋x2)＝x＋x＋2x1x2＋1，f(x1)＋f(x2)＝x＋x＋2，
因为x1，x2∈，所以2x1x2≤<1，
故f(x1＋x2)对于④，?x1，x2∈[0，]，f(x1＋x2)＝sin x1cos x2＋sin x2cos x1≤sin x1＋sin x2＝f(x1)＋f(x2)，故④满足条件；
对于⑤，?x1，x2∈[2，＋∞)，f(x1＋x2)＝log2(x1＋x2)，f(x1)＋f(x2)＝log2(x1x2)，因为x1，x2∈[2，＋∞)，所以＋≤1，可得x1＋x2≤x1x2，即f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M函数”的有①③④⑤，共4个．]
13．3
解析　由题意联立方程得消去y得x2＝|x|，两边平方，解得x＝0或x＝－1或x＝1，相应的y值分别为0,1,1，故A∩B中元素的个数为3.
14．(1，＋∞)
解析　由题意知?x∈R，x2＋2x＋a>0恒成立，∴关于x的方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a<0，∴a>1.
∴实数a的取值范围是(1，＋∞)．
15.
解析　由题意知f(4)＝f(log4)＝f(－2)＝(3a－1)×(－2)＋4a>1，解得a<.故实数a的取值范围是(－∞，)．
16．(2＋2，＋∞)
解析　设点(m，n)(m>0)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，故
消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.若函数f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，
得
解得k>2＋2.故实数k的取值范围是(2＋2，＋∞)．
17．解　若p正确，即f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数，则m≤1.
若q正确，∵x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，a∈[－1,1]，
∴|x1－x2|＝＝≤3.
∵不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]恒成立，
∴m2＋5m－3≥3，∴m2＋5m－6≥0，
解得m≥1或m≤－6.
又p不正确，q正确，
∴∴m>1.
故实数m的取值范围是{m|m>1}．
18．解　(1)若a＝，则A＝{x|－∴A∩B＝{x|0(2)当A＝?时，a－1≥2a＋1，
∴a≤－2，此时满足A∩B＝?；
当A≠?时，则由A∩B＝?，B＝{x|0易得或
∴a≥2或－2综上可知，实数a的取值范围为.
19．解　(1)由t＝log3x，x∈[，9]，解得－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log3x)2＋3log3x＋2，
令t＝log3x，则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，t∈[－2,2]．
当t＝－，即log3x＝－，
即x＝时，f(x)min＝－；
当t＝2，即log3x＝2，
即x＝9时，f(x)max＝12.
20．解　(1)由题意知，方程x2－x－m＝0在x∈(－1,1)上有解，
故m的取值集合就是函数y＝x2－x在(－1,1)上的值域，易得M＝{m|－≤m<2}．
(2)因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件，所以M?N.
当a＝1时，集合N为空集，不满足题意；
当a>1时，a>2－a，
此时集合N＝{x|2－a则解得a>；
当a<1时，a<2－a，
此时集合N＝{x|a则解得a<－.
综上可知，实数a的取值范围为{a|a>或a<－}．
21．解　(1)由题中所给出的函数图象可知，当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，
∴s＝×4×12＝24(km)．
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2；
当10当20综上可知，s＝
(3)∵当t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，
当t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650，
解得t1＝30，t2＝40.
∵20∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
22．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋(x－1)·|x＋1|，
则f(x)＝
当x≥－1时，由f(x)＝1，得2x2－1＝1，解得x＝1或x＝－1；
当x<－1时，f(x)＝1恒成立．
∴方程的解集为{x|x≤－1或x＝1}．
(2)由题意知f(x)＝
若f(x)在R上单调递增，
则解得a≥.
∴实数a的取值范围为{a|a≥}．
(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，
则g(x)＝
不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立，等价于不等式g(x)≥0对任意x∈R恒成立．
①若a>1，则1－a<0，即<0，
取x0＝，此时x0∴g(x0)＝g＝(a－1)·－a＋3＝1－a<0，
即对任意的a>1，总能找到x0＝，使得g(x0)<0，
∴不存在a>1，使得g(x)≥0恒成立．
②若a＝1，则g(x)＝
∴g(x)的值域为[2，＋∞)，∴g(x)≥0恒成立．
③若a<1，当x∈(－∞，a)时，g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)．
由于a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，所以g(x)≥0恒成立．
当x∈[a，＋∞)时，由a<1，知a<，
g(x)在x＝处取得最小值．
令g＝a＋3－≥0，得－3≤a≤5，又a<1，∴－3≤a<1.
综上，a∈[－3,1]．
阶段滚动检测（三）
一、选择题
1．(2016·福建“四地六校”联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B等于(　　)
A．(2,3] B．(2,3)
C．(－3，－2) D．[－3，－2)
2．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2016·福州质检)已知命题p：“?x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为(　　)
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
4．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
5．设a≠0，函数f(x)＝若f[f(－)]＝4，则f(a)等于(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
6．已知a>0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
7．(2017·福州质检)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(0,1] D．(－1,0)
8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若＝x·＋y·，x>0，y>0，则x，y的值分别为(　　)
A.，1 B．1＋，
C．2， D.，1＋
9．已知sin(x－2 017π)＝，x∈，则tan 2x等于(　　)
A. B．－
C. D．4
10．已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cos A等于(　　)
A. B．－
C．－ D．－
11．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
12．已知O是锐角△ABC的外心，tan A＝，若＋＝2m，则m等于(　　)
A. B.
C．3 D.
二、填空题
13．若f(x)＝x＋2f(t)dt，则f(1)＝________.
14．若tan α＝3，则＝________.
15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－14，则·＝________.
16．关于函数f(x)＝cos 2x－2sinxcosx，有下列命题：
①对任意x1，x2∈R，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；
②f(x)在区间上单调递增；
③函数f(x)的图象关于点(，0)对称；
④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin 2x的图象重合．
其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)
三、解答题
17．已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意x∈R恒成立，q：函数y＝(m2－1)x是增函数，若p正确，q错误，求实数m的取值范围．
18．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋(1－t)b，且b·c＝0，求t及|c|.
19．设向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，记f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)试用“五点法”画出函数f(x)在区间上的简图，并指出该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；
(3)若函数g(x)＝f(x)＋m，x∈的最小值为2，试求出函数g(x)的最大值．
20.已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
21．在△ABC中，＝(－sin x，sin x)，＝(sin x，cos x)．
(1)设f(x)＝·，若f(A)＝0，求角A的值；
(2)若对任意的实数t，恒有|－t|≥||，求△ABC面积的最大值．
22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及AC的长；
(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD的面积最大，并求出最大值．

答案精析
1．A　[因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x－3)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤3}＝[－1,3]，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A∩B＝(2,3]．
故选A.]
2．D　[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立．所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]
3．C　[已知全称命题p：?x∈M，p(x)，则否定为綈p：?x0∈M，綈p(x0)，故选C.]
4．D　[∵当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.]
5．A　[由f(－)＝4log2＝2，f(2)＝|4＋2a|＝4，解得a＝－4，所以f(a)＝f(－4)＝4log24＝8，故选A.]
6．C　[∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称，
∴选项B的图象不正确；当01时，y＝logax与y＝ax都随x的增大而增大，y＝x＋a的图象与y轴的交点在y＝1的上方，没有选项符合要求．]
7．B　[根据题意作出函数f(x)＝的图象，如图．
关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根等价于函数f(x)＝的图象与直线y＝k有两个不同的公共点，则由图象可知当k∈(0,1)时，满足题意．故选B.]
8．B　[设AD＝DC＝1，则AC＝，AB＝2，BC＝.在△BCD中，由余弦定理，得DB2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos(45°＋90°)＝7＋2.以D为原点，DA为x轴，DC为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则D(0,0)，A(1,0)，C(0,1)，由＝x·＋y·，得B(y，x)，∴＝(y，x－1)，＝(y，x)，∴6＝(x－1)2＋y2，x2＋y2＝7＋2，∴x＝1＋，y＝.]
9．C　[因为sin(x－2 017π)＝，所以sin x＝－，
又x∈，所以cos x＝－，
所以tan x＝，
所以tan 2x＝＝.]
10．C　[设△ABC面积为S?a＝4S，b＝2S，c＝2S?cos A＝＝－，
故选C.]
11．D　[由已知函数关系式，先找到满足f(x0)<0的整数x0，由x0的唯一性列不等式组求解．
∵f(0)＝－1＋a<0，∴x0＝0.
又∵x0＝0是唯一的使f(x)<0的整数，∴
即
解得a≥.
又∵a<1，∴≤a<1，
经检验a＝，符合题意，故选D.]
12．A　[取AB的中点D，连接OD，
则OD⊥AB，
∴·＝0，
∵＝＋，
∴＋＝2m
＝2m(＋)，
∴2＋·
＝2m·＋2m·，
∴||2＋||||cos A＝2m·||2＝m||2，
由正弦定理可得sin2C＋sin Bsin Ccos A＝msin2C，
即cos B＋cos Ccos A＝msin C，
又cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C，
∴sin Asin C＝msin C，∴m＝sin A，
又tan A＝，∴m＝sin A＝.]
13．0
解析　记a＝f(t)dt，则f(x)＝x＋2a，故f(x)dx＝(x＋2a)dx＝＋2a，
所以a＝＋2a，a＝－，故f(x)＝x－1，f(1)＝0.
14．－
解析　由题意知cos α≠0，
∵
＝
＝，
∴＝＝－，
即＝－.
15．－2
解析　∵·＝(＋)·(＋)＝·＋(－－)·
＝·＋(＋＋)·＝·＋·，
∴·－6×2＝－14?·＝－2.
16．①③
解析　f(x)＝cos 2x－2sin xcos x
＝cos 2x－sin 2x＝2cos.
因为f(x1)＝2cos＝2cos
＝2cos＝f(x2)，故①正确；
当x∈时，2x＋∈[0，π]，所以函数f(x)在区间上单调递减，故②错误；
f＝2cos＝2cos ＝0，故③正确；
函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为y＝2cos＝－2cos，易知该图象与函数y＝2sin 2x的图象不重合，故④错误．
17．解　(1)作出函数f(x)的图象，如图所示．
可知函数f(x)在x＝－2处取得最小值1.
(2)若p正确，则由(1)得m2＋2m－2≤1，即m2＋2m－3≤0，
所以－3≤m≤1.
若q正确，则函数y＝(m2－1)x是增函数，
则m2－1>1，解得m<－或m>.
又p正确q错误，则解得－≤m≤1.
即实数m的取值范围是[－，1]．
18．解　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)∵b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝－15t＋9＝0，∴t＝，
∴|c|2＝2＝，
∴|c|＝.
19．解　(1)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋
＝sin(2x＋)＋，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)列表如下：
x
－
2x＋
0
π
2π
sin(2x＋)
0
1
0
－1
0
y
－
描点，连线得函数f(x)在区间上的简图如图所示：
y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin(x＋)的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后得到y＝sin(2x＋)的图象，最后将y＝sin(2x＋)的图象向上平移个单位长度后得到y＝sin(2x＋)＋的图象．
(3)g(x)＝f(x)＋m＝sin(2x＋)＋＋m.
∵x∈，
∴2x＋∈，∴sin(2x＋)∈，
∴g(x)的值域为.
又函数g(x)的最小值为2，
∴m＝2，∴g(x)max＝＋m＝.
20．解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}．f′(x)＝.
①当a＝0时，f′(x)＝1，
则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
②当a>0时，由f′(x)>0，得x>2a或x<0，
此时0则f(x)的单调递增区间为(2a，＋∞)，(－∞，0)，
单调递减区间为(0，a)，(a,2a)．
③当a<0时，由f′(x)>0，得x>0或x<2a，此时2a则函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a，a)，(a,0)．
(2)①当a≤0时，由(1)可知，f(x)在(1,2)上单调递增，满足题意；
②当0<2a≤1，即0③当1<2a<2，即④当2a＝2，即a＝1时，由(1)可知，f(x)在(a,2a)上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意；
⑤当1⑥当a≥2时，由(1)可知，f(x)在(0，a)上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意．
综上所述，a≤或a＝1或a≥2.
21．解　(1)f(x)＝·＝－sin2x＋sin xcos x＝－×＋＝sin－.
∵f(A)＝0，∴sin＝，
又2A＋∈，
∴2A＋＝，∴A＝.
(2)由|－t|≥||，
得|＋(1－t)|≥||，
则||2＋2(1－t)·＋
(1－t)2||2≥||2，
故对任意的实数t，恒有2(1－t)·＋(1－t)2||2≥0，故·＝0，即BC⊥AC.
∵||＝≤2，||＝1，
∴BC＝≤，
∴△ABC的面积S＝BC·AC≤，
∴△ABC面积的最大值为.
22．解　(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.
在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，
即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.
又cos∠ABC＝－cos∠ADC，
∴cos∠ABC＝，AC2＝28，
即AC＝2万米，
又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin ＋×2×4×sin ＝8(平方万米)．
(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，
且S△ADC＝AD·CD·sin ＝2(平方万米)．
设AP＝x，CP＝y，则
S△APC＝xysin ＝xy.
在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos ＝x2＋y2－xy＝28，
又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，
当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28.
∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9(平方万米)，
故所求面积的最大值为9平方万米，
此时点P为的中点．
阶段滚动检测（二）
一、选择题
1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2．下列命题正确的是(　　)
A．?x0∈R，x＋2x0＋3＝0
B．?x∈N，x3>x2
C．x>1是x2>1的充分不必要条件
D．若a>b，则a2>b2
3．定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)4．已知函数f(x)＝则f(f())等于(　　)
A．4 B．－2
C．2 D．1
5．函数f(x)＝2|x|－x2的图象为(　　)
6.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－2
7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．0或1
8．若函数f(x)＝1＋＋tan x在区间[－1,1]上的值域为[m，n]，则m＋n等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
9．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　)
A．g(a)<0C．010．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上，f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的根，则a的取值范围为(　　)
A．(2,4) B．(2,2)
C．(，2) D．(，)
11．若曲线C1：y＝ax2(x>0)与曲线C2：y＝ex存在公共点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
12．定义全集U的子集P的特征函数fP(x)＝已知P?U，Q?U，给出下列命题：
①若P?Q，则对于任意x∈U，都有fP(x)≤fQ(x)；
②对于任意x∈U，都有f?UP(x)＝1－fP(x)；
③对于任意x∈U，都有fP∩Q(x)＝fP(x)·fQ(x)；
④对于任意x∈U，都有fP∪Q(x)＝fP(x)＋fQ(x)．
其中正确的命题是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
二、填空题
13．设全集为R，集合M＝{x|x2≤4}，N＝{x|log2x≥1}，则(?RM)∩N＝________.
14．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
15．设a，b∈Z，已知函数f(x)＝log2(4－|x|)的定义域为[a，b]，其值域为[0,2]，若方程|x|＋a＋1＝0恰有一个解，则b－a＝________.
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e－x(x－1)．给出以下命题：
①当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)；
②函数f(x)有五个零点；
③若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f(2)；
④对?x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|<2恒成立．
其中，正确命题的序号是________．
三、解答题
17．已知集合A是函数y＝lg(20＋8x－x2)的定义域，集合B是不等式x2－2x＋1－a2≥0(a>0)的解集，p：x∈A，q：x∈B.
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若綈p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
18．设命题p：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax对?x∈(－∞，－1)恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，
命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
19．已知函数f(x)＝aln x(a>0)，求证f(x)≥a(1－)．
20．定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)＝，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
21.为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．
(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值．
22．已知函数f(x)＝ex－ax2(x∈R)，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；
(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求实数a的取值范围．

答案精析
1．C　[由题意知x2－x>0，解得x>1或x<0，所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．]
2．C　[对于A，因为Δ＝22－12<0，所以不存在x0∈R，使x＋2x0＋3＝0，所以选项A错误；对于B，当x＝1时，13＝12，所以选项B错误；对于C，x>1可推出x2>1，x2>1可推出x>1或x<－1，所以x>1是x2>1的充分不必要条件，所以选项C正确；对于D，当a＝0，b＝－1时，a23．A　[因为函数是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又函数在[0，＋∞)上是增函数，所以f(2)4．B　[f()＝2＋＝2＋2＝4，
则f(f())＝f(4)＝4＝()－2＝－2.]
5．D　[由f(－x)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项A、C；当x＝0时，f(x)＝1，排除选项B.]
6．A　[因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图象与x轴相切于原点，
所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)，因为函数f(x)的图象与x轴所围成区域的面积为，
所以(－x3＋ax2)dx＝－，所以＝－，
所以a＝－1或a＝1(舍去)．]
7．C　[因为f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，则f(x)在R上是增函数，所以不存在极值点．]
8．C　[因为f(x)＝1＋＋tan x，
所以f(－x)＝1＋＋tan(－x)＝1＋－tan x，
则f(x)＋f(－x)＝2＋＋＝4.
又f(x)＝1＋＋tan x在区间[－1,1]上是一个增函数，其值域为[m，n]，
所以m＋n＝f(－1)＋f(1)＝4.故选C.]
9．A　[依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即00，且函数g(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1f(1)>0，g(a)10．D　[由f(x－4)＝f(x)，知f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，作出函数y＝f(x)与y＝logax的图象如图所示，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则解得11．C　[根据题意，函数y＝ax2与y＝ex的图象在(0，＋∞)上有公共点，
令ax2＝ex，得a＝(x>0)．
设f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝2.
当0当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上是增函数．
所以当x＝2时，函数f(x)＝在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝，所以a≥.故选C.]
12．A　[令U＝{1,2,3}，P＝{1}，Q＝{1,2}．
对于①，fP(1)＝1＝fQ(1)，fP(2)＝0fP(3)＝fQ(3)＝0，可知①正确；
对于②，有fP(1)＝1，fP(2)＝0，fP(3)＝0，f?UP(1)＝0，
f?UP(2)＝1，f?UP(3)＝1，可知②正确；
对于③，有fP(1)＝1，fP(2)＝0，fP(3)＝0，fQ(1)＝1，fQ(2)＝1，fQ(3)＝0，fP∩Q(1)＝1，fP∩Q(2)＝0，fP∩Q(3)＝0，可知③正确；
对于④，有fP(1)＝1，fP(2)＝0，fP(3)＝0，fQ(1)＝1，fQ(2)＝1，fQ(3)＝0，fP∪Q(1)＝1，fP∪Q(2)＝1，fP∪Q(3)＝0，可知④不正确．]
13．(2，＋∞)
解析　由M＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}＝[－2,2]，可得?RM＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，又N＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}＝[2，＋∞)，则(?RM)∩N＝(2，＋∞)．
14．2＋ln 2
解析　显然m>0，由ex＝m，得x＝ln m，
由ln ＋＝m，得x＝2，
则|AB|＝2－ln m.
令h(m)＝2－ln m，
由h′(m)＝2－＝0，求得m＝.
当0函数h(m)在上单调递减；
当m>时，h′(m)>0，
函数h(m)在上单调递增．
所以h(m)min＝h＝2＋ln 2，因此|AB|的最小值为2＋ln 2.
15．5
解析　由方程|x|＋a＋1＝0恰有一个解，得a＝－2.
又解得－3≤x≤3，所以b＝3.
所以b－a＝3－(－2)＝5.
16．①④
解析　当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝ex(－x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝ex(x＋1)，故①正确；当x<0时，f′(x)＝ex(x＋1)＋ex，令f′(x)＝0，所以x＝－2，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，而在(－∞，－1)上，f(x)<0，在(－1,0)上，f(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上仅有一个零点，由对称性可知，f(x)在(0，＋∞)上也有一个零点，又f(0)＝0，故该函数有三个零点，故②错误；因为当x<0时，f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，且当x<－1时，f(x)<0，当－10，所以当x<0时，f(－2)≤f(x)<1，即－≤f(x)<1，由对称性可知，当x>0时，－117．解　(1)由题意得A＝{x|－2若A∩B＝?，则必须满足
∴a的取值范围为a≥9.
(2)易得綈p：x≥10或x≤－2.∵綈p是q的充分不必要条件，
∴{x|x≥10或x≤－2}是{x|x≥1＋a或x≤1－a}的真子集，则
其中两个等号不能同时成立，解得0∴a的取值范围为018．解　令f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a－2.
∵二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，
∴f(0)<0，即a－2<0，∴a<2.
∴命题p为真时，有a<2.
∵x∈(－∞，－1)，
∴由不等式2x2＋x>2＋ax，可得a>2x－＋1.
令g(x)＝2x－＋1，
∴g′(x)＝2＋>0，
∴g(x)在x∈(－∞，－1)单调递增，且g(－1)＝1，
∴g(x)∈(－∞，1)．
又不等式2x2＋x>2＋ax对?x∈(－∞，－1)恒成立，
∴命题q为真时，有a≥1.
依题意，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则有
①若p真q假，得a<1；
②若p假q真，得a≥2.
综上可得，所求实数a的取值范围为(－∞，1)∪[2，＋∞)．
19．证明　要证f(x)≥a(x>0)，
只需证f(x)－a≥0(x>0)，
即证a≥0(x>0)．
∵a>0，
∴只需证ln x＋－1≥0(x>0)．
令g(x)＝ln x＋－1(x>0)，
即证g(x)min≥0(x>0)．
∴g′(x)＝－＝(x>0)．
令g′(x)＝0，得x＝1.
∴当0当x>1时，g′(x)>0，此时g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴[g(x)]min＝g(1)＝0≥0，即ln x＋－1≥0成立，
故有f(x)≥a成立．
20．(1)证明　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①
令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，
则有0＝f(x)＋f(－x)．
即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，
所以f(x)是奇函数．
(2)解　f(2)＝>0，即f(2)>f(0)，
又f(x)在R上是单调函数，
所以f(x)在R上是增函数．
又由(1)知f(x)是奇函数，
f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，
所以k·3x<－3x＋9x＋2,32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R恒成立．
令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．
令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴t＝.
当<0，即k<－1时，g(0)＝2>0，符合题意；
当≥0时，对任意t>0，g(t)>0恒成立?
解得－1≤k<－1＋2.
综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立．
21．解　(1)设需要新建n(n∈N*)个桥墩，则(n＋1)x＝m，
∴n＝－1(n∈N*)．
∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256(0(2)由(1)得，f′(x)＝－＋m＝(－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，∴x＝64.
当0当64≤x<640时，f′(x)>0，此时，
f(x)在区间[64,640)内为增函数．
∴函数f(x)在x＝64处取得极小值，也是其最小值．
∵m＝640，∴n＝－1＝－1＝9.
此时，ymin＝8 704(万元)．
故需新建9个桥墩才能使工程费用y取得最小值，且最少费用为8 704万元．
22．解　(1)由题设，得f′(x)＝ex－2ax，∴f′(0)＝1，
∴f(x)在点P(0,1)处的切线方程为
y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x＋1.
(2)依题意，知f′(x)＝ex－2ax≥0(x∈R)恒成立，
①当x＝0时，有f′(x)≥0恒成立，此时a∈R.
②当x>0时，有2a≤，令g(x)＝，则g′(x)＝，
由g′(x)＝0，得x＝1且当x>1时，g′(x)>0；
当0∴g(x)min＝g(1)＝e，则有2a≤g(x)min＝e，∴a≤.
③当x<0时，有2a≥，
∵<0，则有2a≥0，∴a≥0.
又a＝0时，f′(x)＝ex≥0恒成立．
综上，若函数f(x)为R上的单调递增函数，所求a∈.
阶段滚动检测（五）
1．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x－k≤0}，若M?N，则k的取值范围是______________．
2．(2016·吉林吉大附中第一次摸底)若命题“?x0∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是______________．
3．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝()x在x∈[0,4]上解的个数是________．
4．已知等比数列{an}满足a4＋a8＝2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2A－sin2B＝sinBsinC，c＝2b，则A＝________.
6．(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝______.
7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤f(x)＝.
8．(2016·无锡模拟)已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.若g(x)＝f(x)－mx－2m在区间(－1,1]上有两个零点，则实数m的取值范围是________________．
9．(2016·常锡联考)已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．
10．设F1，F2分别为椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(a1＞0，b1＞0)的公共左，右焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率e1的取值范围是________________．
11．若曲线y＝x2上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的取值范围是____________．
12．已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为m，若函数g(x)＝则不等式g(x)≤1的解集为________________．
13．已知函数f(x)＝log2，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
14．数列{an}满足a1＝1，＝2，＝3(k≥1)，则其前100项和S100的值为________．(填写式子)
15．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足＝2，＝，则·＝________.
16．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：
①若－2≤x≤2，则函数y＝f(x)是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；
③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；
④函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数．
其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
17．已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω＞0)，经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
①
f(x)
0
1
0
－1
0
(1)请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间上的值域；
(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f(A＋)＝1，b＋c＝4，a＝，求△ABC的面积．
18.(2016·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N.
(1)证明：MN⊥平面ADD1A1；
(2)求二面角A－A1M－N的余弦值．
19．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0.且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2016的值．
20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左，右焦点分别为F1，F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kOD·kAB＝－，△AOB的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
21．(2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
22．(2016·山西四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
答案精析
1．[2，＋∞)　2.[2,6]　3.4　4.4　5.30°
6.
解析　设＝4a，＝3b，其中|a|＝|b|＝1，则＝2a，＝2b.
由·＝－3，得(3b＋2a)·(2b－4a)＝－3，化简得a·b＝，
所以·＝12a·b＝.
7．①③⑤
解析　①若f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，这个方程显然有解，故①符合要求；②若f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，此方程无解，故②不符合要求；③若f(x)＝f′(x)，则lnx＝，数形结合可知，这个方程存在实数解，故③符合要求；④中，f′(x)＝＝，若f(x)＝f′(x)，则＝tanx，化简得sinxcosx＝1，即sin2x＝2，方程无解，故④不符合要求；⑤中，f′(x)＝－，
若f(x)＝f′(x)，则－＝，可得x＝－1，故⑤符合要求．
8．(0，]
解析　
当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1，由f(x)＋1＝，可得f(x)＝－1，则y＝f(x)在区间
(－1,1]上的图象如图所示．若g(x)＝f(x)－mx－2m在(－1,1]上有两个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝mx＋2m在(－1,1]上有两个交点．从图象分析可知，直线y＝mx＋2m恒过定点(－2,0)，且与y轴的交点(0,2m)应位于y轴的正半轴，可知m＞0，即直线y＝mx＋2m的斜率大于0，而此时应使直线y＝mx＋2m上的点(1,3m)位于点(1,1)或其下方，则可得3m≤1，即m≤.综上所述，0＜m≤.
9．－3
解析　不等式组对应的平面区域是以点(－1,0)，(1,4)和(5,0)为顶点的三角形及其内部，目标函数y＝x－z经过点(1,4)时，z取得最小值－3.
10.
解析　由已知得MF1＋MF2＝2a，MF1－MF2＝2a1，所以MF1＝a＋a1，MF2＝a－a1，又因为∠F1MF2＝90°，所以MF＋MF＝4c2，即(a＋a1)2＋(a－a1)2＝4c2，即a2＋a＝2c2，所以＋＝2，所以e＝，因为e∈[，]，所以≤e2≤，
即≤≤，≤2－≤，
所以≤e≤，所以e1∈.
11．(－∞，1]
解析　作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线y＝x2，
解方程组得或
即直线x＋y－2＝0与抛物线y＝x2的交点坐标为(1,1)和(－2,4)．
若曲线y＝x2上存在点(x，y)在平面区域内，则m≤1.
12.
解析　∵x∈，∴tanx＞0，
∴f(x)＝＝
≥
＝，当且仅当tanx＝，即x＝时取等号，因此m＝.不等式g(x)≤1?①＜x＜或②
解②得≤x≤.因此，不等式g(x)≤1的解集为∪＝.
13．－
解析　由已知得，函数的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝log2
＝－log2＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－.
14.×(650－1)
解析　由＝2，＝3，得＝6，所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为6的等比数列．由＝2，得＝2，结合＝3，得＝6.又a2＝2，所以数列{an}的偶数项构成首项为2，公比为6的等比数列，
所以S100＝＋＝×(650－1)．
15．－6
解析　依题意得＝＋
＝＋，
＝－＝－，
·＝(＋)·(－)
＝2－2－·
＝×32－×42－×3×4cos60°＝－6.
16．①②④
解析　当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，
当2≤x≤3时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
∴函数的周期是4，因此最终构成的图象如下：
①根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，
∴①正确；
②由图象可知函数的周期是4，∴②正确；
③由图象可判断函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递增，∴③错误；
④由图象可判断函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数，∴④正确．
故答案为①②④.
17．解　(1)①处应填入.
f(x)＝sin2ωx－＋
＝sin2ωx－cos2ωx
＝sin.
因为T＝2×＝2π，
所以＝2π，所以ω＝，
即f(x)＝sin.
因为x∈，
所以－≤x－≤，
所以－1≤sin≤，
故f(x)的值域为.
(2)f(A＋)＝sin＝1，
因为0＜A＜π，
所以＜A＋＜，
所以A＋＝，所以A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
＝(b＋c)2－2bc－2bccos
＝(b＋c)2－3bc，
即()2＝42－3bc，所以bc＝3，
所以△ABC的面积S＝bcsinA
＝×3×＝.
18．(1)证明　因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以BC⊥AD.
由题可知MN∥BC，
所以MN⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC，MN?平面ABC，
所以AA1⊥MN.
又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交于点A，
所以MN⊥平面ADD1A1.
(2)解　如图，连结A1P，过点A作AE⊥A1P于点E，过点E作EF⊥A1M于点F，连结AF.
由(1)知，MN⊥平面AEA1，
所以平面AEA1⊥平面A1MN.
因为平面AEA1∩平面A1MN＝A1P，AE⊥A1P，AE?平面AEA1，
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE，又AE∩EF＝E，
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF，
故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．
设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，
D为BC的中点，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
又P为AD的中点，M为AB的中点，
所以AP＝，AM＝1.
在Rt△AA1P中，A1P＝，
在Rt△A1AM中，A1M＝，
从而AE＝＝，
AF＝＝，
所以sinθ＝＝.
因为∠AFE为锐角，
所以cosθ＝＝＝.
故二面角A－A1M－N的余弦值为.
19．解　(1)∵a2＝1＋d，a5＝1＋4d，
a14＝1＋13d，且a2，a5，a14成等比数列，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，
解得d＝2，d＝0(舍去)．
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
又∵b2＝a2＝3，b3＝a5＝9.
∴等比数列{bn}的公比q＝3，b1＝1，bn＝3n－1.
(2)∵＋＋…＋＝an＋1，①
∴＝a2，即c1＝b1a2＝3.
又＋＋…＋＝an (n≥2)，②
①－②得，＝an＋1－an＝2，
∴cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)，
∴cn＝
则c1＋c2＋c3＋…＋c2016
＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32016－1
＝3＋2×(31＋32＋…＋32015)
＝3＋＝32016.
20．解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知得A(a,0)，B(0，b)，D，
所以kOD·kAB＝·＝－，
即a2＝2b2，①
又S△AOB＝ab＝2，所以ab＝4，②
由①②解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当直线l⊥x轴时，易得M(－2，)，N(－2，－)，△MF2N的面积为4，不合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程得
(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.
显然有Δ＞0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以MN＝
＝，
化简得MN＝.
又圆的半径r＝，
所以S△MF2N＝MN·r
＝×·
＝＝，
化简得k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，
所以r＝2，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
21．解　(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a.
可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当0＜a＜时，＞1，
由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意.
综上可知，实数a的取值范围为a＞.
22．解　(1)由e＝，得＝，
即c＝a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，
所以a＝＝，代入①得c＝2，
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，
则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，
要使上式为定值，即与k无关，只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，
此时，2＋·＝m2－6＝－，
所以在x轴上存在定点E(，0)，使得2＋·为定值，且定值为－.
阶段滚动检测（六）
一、选择题
阶段滚动检测(六)1.若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋3)，x∈A}，则集合A∩(?UB)等于(　　)
A．{x|－2≤x<0} B．{x|0≤x≤1}
C．{x|－32．(2016·重庆第一次诊断)已知实数a，b满足(a＋i)(1－i)＝3＋bi，则复数a＋bi的模为(　　)
A. B．2
C. D．5
3．给出下列两个命题，命题p1：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题p2：函数y＝ln 是奇函数，则下列命题为假命题的是(　　)
A．p1∧p2 B．p1∨(綈p2)
C．p1∨p2 D．p1∧(綈p2)
4．x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋y，则z的取值范围是(　　)
A．[－3,3] B．[－3,2]
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
5．将函数f(x)＝2sin的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
6．(2016·河南实验中学质检)已知数列{an}的通项为an＝log(n＋1)(n＋2) (n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 (　　)
A．1 024 B．2 012
C．2 026 D．2 036
7．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是(　　)
A. B.
C. D.
8．设随机变量X～B(6，)，则P(X＝3)等于(　　)
A. B.
C. D.
9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是(　　)
A．m，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．m?α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
10.如图，设F1，F2分别为等轴双曲线x2－y2＝a2的左，右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，则cos∠MAN等于(　　)
A.　　　 B．－
C.　　　 D．－
11．设a＝?(sin x＋cos x)dx，则6的展开式中的常数项是(　　)
A．160 B．－160
C．26 D．－26
12．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝5，则输入的整数p的最大值为(　　)
A．7 B．15
C．31 D．63
二、填空题
13．已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f＝f，函数f(x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－在区间[－3,5]内的所有零点之和为________．
14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00～8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________．
15．已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆＋＝1 (a>b>0)上，且AB⊥x轴，AC∥x轴，则的最大值为________．
16．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，则方程f(x)－f′(x)＝2的解所在的区间是________．(填序号)
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．
三、解答题
17．(2016·乌鲁木齐三诊)若函数f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax－ (a>0)的图象与直线y＝b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．
(1)求a，b的值；
(2)若x0∈，且x0是y＝f(x)的零点，试写出函数y＝f(x)在上的单调增区间．
18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．
19．(2016·内江期末)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.
(1)证明：EM⊥BF；
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
20.(2016·晋江第四次联考)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋1－an＋an－1＝0 (n≥2，且n∈N*)，若数列{an＋1＋λan}是等比数列．
(1)求实数λ；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设Sn＝，求证：Sn<.
21．(2016·郑州二检)已知函数f(x)＝ax＋ln(x－1)，其中a为常数．
(1)试讨论f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，求b的取值范围．
22．(2016·滕州第三中学期末)如图，直线l：y＝x＋b (b>0)，抛物线C：y2＝2px(p>0)，已知点P(2，2)在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为.
(1)求直线l及抛物线C的方程；
(2)过点Q(2,1)的任一直线(不经过点P)与抛物线C交于A，B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

答案精析
A　[A＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{y|y＝log2(x＋3)，x∈A}＝{x|0≤x≤2}，
所以?UB＝{x|x<0或x>2}，所以A∩(?UB)＝{x|－2≤x<0}，故选A.]
2．C　
3．D　[函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]的定义域是(－1,1)且是偶函数，命题p1为真命题；函数y＝ln 的定义域是(－1,1)且是奇函数，命题p2是真命题．故命题p1∧p2、p1∨(綈p2)、p1∨p2均为真命题，只有命题p1∧(綈p2)为假命题．]
4．C　[画出满足约束条约的平面区域，如图所示：
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，显然直线y＝－2x＋z过(0,2)时，z最小，最小值为2，无最大值．故选C.]
5．D　[将函数f(x)＝2sin的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数y＝2sin的图象，再向右平移φ个单位，得到y＝2sin的图象，此图象关于直线x＝对称，故2×－2φ＋＝＋kπ (k∈Z)，解得φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φmin＝，故选D.]
6．C　[因为a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，则07．C　[屋子的体积为5×4×3＝60立方米，
捕蝇器能捕捉到的空间体积为×π×13×3＝立方米．
故苍蝇被捕捉的概率是＝.]
8．A　[∵X～B(6，)，∴P(X＝3)＝C()3·(1－)3＝.]
9．B　[对于A，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m与n相交”，故A不正确；对于B，若α∥β，则α，β无交点，又m?α，所以m，β无交点，即m∥β，故B正确；对于C，若α⊥β，n∥β，则n可以垂直于α，又m⊥α，所以m可以平行于n，故C不正确；对于D，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D不正确．]
10．D　[等轴双曲线x2－y2＝a2的两条渐近线方程为y＝±x，
所以M(－a，－a)，N(a，a)，则|AN|2＝(a＋a)2＋a2＝5a2，|AM|2＝a2，|MN|2＝8a2，则
cos∠MAN＝＝－.]
11．B　[a＝?(sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋sin x)|＝2，则6＝6，它的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x3－r，令3－r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项是－C·26－3＝－160，选B.]
12．B　[由程序框图可知；①S＝0，k＝1；②S＝1，k＝2；③S＝3，k＝3；④S＝7，k＝4；⑤S＝15，k＝5.第⑤步后输出k，此时S＝15≥p，则p的最大值为15，故选B.]
13．4
解析　因为函数f(x＋1)是奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
可得－f＝f，又因为f＝f，
所以－f＝f，再令x取x＋1可得－f＝f，
所以有f＝f，
可得f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的周期为2，图象如图所示，故方程f(x)＝－在区间[－3,5]内的所有零点之和为×2×4＝4.
14.
解析　设牛奶送达的时间为x，我离开家的时间为y，则样本空间Ω＝{(x，y)|
在离开家前能得到牛奶的事件A＝{(x，y)|
作图如下，可得所求概率P＝1－＝.
15.
解析　不妨设椭圆上的点A(m，n) (m>0，n>0)，由题意得B(m，－n)，C(－m，n)，则|AC|＝2m，|AB|＝2n，|BC|＝2，则＝＝≤＝(当且仅当m＝n，即△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)．
16．②
解析　根据题意，f(x)－log2x>0且是唯一的值，设t＝f(x)－log2x，则f(x)＝t＋log2x，
又f(t)＝3，所以3＝t＋log2t，此方程有唯一解t＝2，所以f(x)＝2＋log2x.方程f(x)－f′(x)＝2，即方程log2x－＝0.设h(x)＝log2x－，则该函数为(0，＋∞)上的增函数．
又h(1)＝－<0，h(2)＝1－>0，
所以方程f(x)－f′(x)＝2的解在区间(1,2)内．
17．解　(1)f(x)＝sin2ax－sin ax·cos ax－＝－sin 2ax－＝－sin，
∵y＝f(x)的图象与直线y＝b相切，
∴b为f(x)的最大值或最小值，
即b＝－1或b＝1.
∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，
∴f(x)的最小正周期为，
即T＝＝，a>0，
∴a＝2，即f(x)＝－sin.
(2)由题意知sin＝0，
则4x0＋＝kπ (k∈Z)，
∴x0＝－ (k∈Z)，
由0≤－≤ (k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此x0＝或x0＝.
当x0＝时，y＝f(x)的单调递增区间为和；
当x0＝时，y＝f(x)的单调递增区间为.
18．解　记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，
P(Ci)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P＝3！·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，
由已知，η～B，且ξ＝3－η.
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2×＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
19．(1)证明　∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A，∴BM⊥平面ACFE，而EM?平面ACFE，
∴BM⊥EM.
∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°.
又∵∠BAC＝30°，AC＝4，
∴AB＝2，BC＝2，AM＝3，CM＝1.
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，＝，
∴FC⊥平面ABC，
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形，∴∠EMA＝∠FMC＝45°，
∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF.
∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF.
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF.
(2)解　如图，延长EF交AC的延长线于G，连接BG，过C作CH⊥BG，连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG.
而FC∩CH＝C，∴BG⊥平面FCH.
∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BM＝AB·sin 30°＝，
由＝＝，得GC＝2.
∴BG＝＝2.
又∵△GCH∽△GBM，
∴＝，
则CH＝＝＝1.
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC＝45°，
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.
20．(1)解　由数列{an＋1＋λan}是等比数列，可设an＋1＋λan＝μ(an＋λan－1) (n≥2)．
∴an＋1＋(λ－μ)an－λμan－1＝0，
∵an＋1－an＋an－1＝0，
∴∴λ＝－或λ＝－3.
(2)解　由(1)知，n≥2，λ＝－时，
an－an－1＝3n－1，①
n≥2，λ＝－3时，an－3an－1＝.②
由①②可得an＝(n≥2)，当n＝1时，也符合．
∴an＝(3n－)，n∈N*.
(3)证明　由(2)知，
an＝>0，
∵an－3an－1＝，∴an>3an－1，
∴<· (n≥2)．
∴Sn<＋＝＋－<＋Sn.
∴Sn<.
21．解　(1)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}，f′(x)＝a＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0在定义域内恒成立，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，
当a<0时，由f′(x)＝0得x＝1－>1，
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1,1－)，单调递减区间为(1－，＋∞)．
(2)由(1)知当a＝时，f(x)的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
所以f(x)max＝f(e)＝＋ln(e－1)<0，
所以|f(x)|≥－f(e)＝－ln(e－1)恒成立，当且仅当x＝e时取等号．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当10；
当x>e时，g′(x)<0，
从而g(x)在(1，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(e)＝＋，
所以存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，
只需－ln(e－1)－≤＋，
即b≥－－2ln(e－1)．
22．解　(1)∵点P(2,2)在抛物线C上，∴p＝1.
设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′的方程为y＝x＋m，
由
得x2＋(2m－2)x＋m2＝0，Δ＝(2m－2)2－4m2＝4－8m，
由Δ＝0，得m＝，
则直线l′的方程为y＝x＋.
两直线l，l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，
有＝，
解得b＝2或b＝－1(舍去)．
∴直线l的方程为y＝x＋2，抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)∵直线AB的斜率存在，且k≠0，
∴设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，
即y＝kx－2k＋1.
联立
得ky2－2y－4k＋2＝0(k≠0)，
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝(k≠0)，y1y2＝(k≠0)．
∵k1＝＝＝，k2＝，
∴k1＋k2＝＋
＝
＝＝(k≠0)．
联立
得xM＝，yM＝，
∴k3＝＝，
∴k1＋k2＝2k3.
∴存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，且λ＝2.
阶段滚动检测（四）
一、选择题
阶段滚动检测(四)1.已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a等于(　　)
A．0 B.
C．0， D．－，0
2．已知f(x)为偶函数，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)等于(　　)
A．－＋2 B．1
C．3 D.＋2
3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
4．(2016·原创预测卷)给出下列命题，正确命题的个数是(　　)
①若a>b，则2a>2b；
②若a>b>0，则<；
③若a>0，b>0，c>0，则＋＋≥3；
④若a>0，b>0，则不等式≥恒成立．
A．1 B．2
C．3 D．4
5．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＝8，且Sn＋1＝pSn＋1，则实数p的值为(　　)
A．1 B．2
C. D．4
7．(2017·广州调研)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A．[，2] B．[0，]
C．[，] D．[0,1]
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝2A，cos A＝，b＝5，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
9．(2016·长沙模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(0,3)
10．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0A．f(x1)C．f(x1)>f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
11．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是(　　)
A．[－，3] B．[，6]
C．[3,12] D．[－，12]
12．(2016·北京朝阳区模拟)若函数f(x)＝2sin (－2A．－32 B．－16
C．16 D．32
二、填空题
13．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
14．已知函数f(x)＝若对任意的x∈[1－2a，2a－1]，不等式f[a(x＋1)－x]≥[f(x)]a恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．设n是正整数，由数列1,2,3，…，n分别求相邻两项的和，得到一个有n－1项的新数列：1＋2,2＋3,3＋4，…，(n－1)＋n，即3,5,7，…，2n－1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．
16．若不等式组表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围是________________．
三、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2A＋＝2cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
18．已知函数f(x)＝aln x－x＋.
(1)若a＝4，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在定义域内无极值，求实数a的取值范围．
19．已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}满足：a1＝2，an≠1，且(an－an＋1)g(an)＝f(an)
(n∈N*)．
(1)证明：数列{an－1}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c (b，c∈R)．
(1)若f(－1)＝f(2)，且不等式x≤f(x)≤2|x－1|＋1对x∈[0,2]恒成立，求函数f(x)的解析式；
(2)若c<0，且函数f(x)在[－1,1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．
21.已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}的前n项和Sn＝n2＋5n，且满足a4＝b14，a6＝b126，令cn＝logan (n∈N*)．
(1)求数列{bn}及{cn}的通项公式；
(2)设Pn＝cb1＋cb2＋…＋cbn，Qn＝cc1＋cc2＋…＋ccn，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由．
22．已知函数f(x)＝ln(ex＋a＋3)(a为常数)是实数集R上的奇函数．
(1)若关于x的方程＝x2－2ex＋m有且只有一个实数根，求m的值；
(2)若函数g(x)＝λf(x)＋sin x在区间[－1,1]上是减函数，且g(x)≤λt－1在x∈[－1,1]上恒成立，求实数t的最大值．

答案精析
1．C　[由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，有
或解得或
故a＝0或.]
2．D　[因为f＝f＝2sin＝，
f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2，故选D.]
3．D　[y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，
y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得T＝π.]
4．D
5．C　[当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点A(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.]
6．B　[因为数列{an}是等比数列，由Sn＋1＝pSn＋1，得Sn＋2＝pSn＋1＋1，两式相减得＝p，所以公比q＝p，
由Sn＋1＝pSn＋1，得a1＋a2＝pa1＋1，
所以a1＋pa1＝pa1＋1，即a1＝1，
由a4＝8＝a1p3，得p3＝8，所以p＝2.故选B.]
7．C　[将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.
又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是[，]．]
8．A　[cos A＝，cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝，sin C＝，tan C＝3，
如图，设AD＝3x，AB＝4x，CD＝5－3x，BD＝x.
在Rt△DBC中，tan C＝＝＝3，
解得BD＝x＝，S△ABC＝BD·AC＝.]
9．A　[设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a.
如图，作出函数f(x)的图象，
由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，
故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，
则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0所以a的取值范围是(0,1)．]
10．A　[f(x)的对称轴为直线x＝－1，
又∵x1＋x2＝1－a，∴＝，0∴>－1.∵x1∴x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离．
又∵a>0，∴f(x1)11．C　[方法一　由于f′(x)＝3x2＋4bx＋c，依题意知，方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，令g(x)＝3x2＋4bx＋c，
结合二次函数图象可得只需
此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应的平面区域，f(－1)＝2b－c，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(－1)＝2b－c的最值问题，由线性规划易知
3≤f(－1)≤12，故选C.
方法二　方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]的条件也可以通过二分法处理，即只需g(－2)g(－1)≤0，g(2)g(1)≤0即可，利用同样的方法也可解答．]
12．D　[由f(x)＝2sin＝0可得＋＝kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.
∵－2即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∵过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，∴B，C两点关于A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0，则(＋)·＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.故选D.]
13．2n
解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴2an＋2an·q2＝5an·q，
即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝(舍去)．
又∵a＝a10＝a5·q5，
∴a5＝q5＝25＝32.
∴32＝a1·q4，解得a1＝2.
∴an＝2×2n－1＝2n，故an＝2n.
14．(，1]
解析　由题设知，f(x)＝
因为1－2a<2a－1，所以a>，当x≥0时，ax≥0，当x<0时，ax<0，可得[f(x)]a＝f(ax)，因此，原不等式等价于f[a(x＋1)－x]≥f(ax)，因为f(x)在R上是增函数，所以a(x＋1)－x≥ax，
即x≤a恒成立，又x∈[1－2a,2a－1]，所以2a－1≤a，解得a≤1，又a>，故a∈(，1]．
15．2n－2(n＋1)
解析　设数列{an}为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得an＝2an－1＋
2n－2(n≥2)?－＝?即数列{}是首项为，公差为的等差数列?＝＋(n－1)＝?an＝2n－2(n＋1)，即最后一个数列的项是an＝2n－2(n＋1)．
16．(－∞，－2)∪
解析　如图，只有直线y＋2＝k(x＋1)从直线m到直线n移动，或者从直线a到直线b移动时，不等式组表示的平面区域才是三角形．故实数k的取值范围是017．解　(1)根据二倍角公式得2cos2A＋＝2cos A，
即4cos2A－4cos A＋1＝0，
所以(2cos A－1)2＝0，所以cos A＝.
因为0(2)根据正弦定理：＝＝，又a＝1，
得b＝ sin B，c＝ sin C，
所以l＝1＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)．
因为A＝，所以B＋C＝，
所以l＝1＋＝1＋2sin.
因为018．解　(1)当a＝4时，f(x)＝4ln x－x＋(x>0)，
f′(x)＝－1－＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3.
当03时，f′(x)<0，
当10，
f(1)＝2，f(3)＝4ln 3－2，
所以f(x)的极小值为2，
极大值为4ln 3－2.
(2)f(x)＝aln x－x＋(x>0)，
f′(x)＝－1－＝，
f(x)在定义域内无极值，即f′(x)≥0或f′(x)≤0在定义域上恒成立．
即方程f′(x)＝0在(0，＋∞)上无变号零点．设g(x)＝－x2＋ax－(a－1)，
则Δ≤0或解得a＝2，
所以实数a的取值范围为{2}．
19．(1)证明　由(an－an＋1)g(an)＝f(an)(n∈N*)得，4(an－an＋1)(an－1)＝(an－1)2(n∈N*)．
由题意知an≠1，
所以4(an－an＋1)＝an－1(n∈N*)，
即3(an－1)＝4(an＋1－1)(n∈N*)，
所以＝.
又a1＝2，所以a1－1＝1，
所以数列{an－1}是以1为首项，为公比的等比数列．
(2)解　由(1)得an－1＝()n－1，
bn＝＝.
则Tn＝＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝1＋×－
＝2－－＝2－.
所以Tn＝3－.
20．解　(1)因为f(－1)＝f(2)，所以b＝－1，因为当x∈[0,2]时，都有x≤f(x)≤2|x－1|＋1，
所以有f(1)＝1，即c＝1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为f(x)在[－1,1]上有两个零点，且c<0，
所以有?
通过线性规划知识可得－2<2b＋c<2.
21．解　(1)bn＝=＝2n＋4 (n∈N*)．
设等比数列{an}的公比为q，
由a4＝b14＝32，a6＝b126＝256，
得q2＝＝8，即q＝2(负值舍去)．
所以an＝a4·qn－4＝32·()3n－12＝()3n－2，
所以cn＝logan＝3n－2(n∈N*)．
(2)由(1)知，cbn＝3(2n＋4)－2＝6n＋10，所以{cbn}是以16为首项，6为公差的等差数列．
同理，ccn＝3(3n－2)－2＝9n－8，所以{ccn}是以1为首项，9为公差的等差数列．
所以Pn＝cb1＋cb2＋…＋cbn
＝＝3n2＋13n，
Qn＝cc1＋cc2＋…＋ccn＝＝n2－n.
所以Pn－Qn＝－n(n－11)．
故当1≤n≤10时，Pn>Qn；当n＝11时，Pn＝Qn；
当n≥12时，Pn22．解　(1)∵f(x)＝ln(ex＋a＋3)是实数集R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即ln(e0＋a＋3)＝0，
∴4＋a＝1，a＝－3.
将a＝－3代入f(x)得f(x)＝ln ex＝x，显然为奇函数．
方程＝x2－2ex＋m，
即为＝x2－2ex＋m，
令f1(x)＝，f2(x)＝x2－2ex＋m.
∵f′1(x)＝，
故当x∈(0，e]时，f′1(x)≥0，
∴f1(x)在(0，e]上为增函数；
当x∈[e，＋∞)时，f′1(x)≤0，
∴f1(x)在[e，＋∞)上为减函数；
当x＝e时，f1(x)max＝.
而f2(x)＝x2－2ex＋m＝(x－e)2＋m－e2，
则当x∈(0，e]时，f2(x)是减函数，当x∈[e，＋∞)时，f2(x)是增函数，
∴当x＝e时，f2(x)min＝m－e2，
只有当m－e2＝，即m＝e2＋时，方程有且只有一个实数根．
(2)由(1)知f(x)＝x，
∵g(x)＝λf(x)＋sin x＝λx＋sin x，
∴g′(x)＝λ＋cos x，x∈[－1,1]，
∴要使g(x)是区间[－1,1]上的减函数，则有g′(x)≤0在[－1,1]上恒成立，
∴λ≤(－cos x)min，则λ≤－1.
要使g(x)≤λt－1在[－1,1]上恒成立，只需g(x)max＝g(－1)＝－λ－sin 1≤λt－1在λ≤－1时恒成立即可，
即(t＋1)λ＋sin 1－1≥0(其中λ≤－1)恒成立即可．
令h(λ)＝(t＋1)λ＋sin 1－1(λ≤－1)，
则即
∴t≤sin 1－2，
∴实数t的最大值为sin 1－2.