1．1 二次函数
知识要点 二次函数的概念及表达式
二次函数
概念
注意点
概念及一
般形式
如果函数的表达式是自变量的________多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是________________(a，b，c为常数，a________)，其中x是自变量，________，________，________分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
判断二次函数需注意：①先化简再判断，若化简后原二次项抵消就不属于二次函数；②若二次项系数含有字母，则该字母可能为0，不一定属于二次函数；③y＝ax2＋bx和y＝ax2＋c(其中a≠0)同样是二次函数.
取值范围
二次函数的自变量的取值范围是________．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有所限制，需要符合实际意义．如长度、面积、数量等首先需为非负数.
列二次函
数的表达
式
建立二次函数模型的步骤：
→→→
解题策略
(1)利用二次函数的定义求字母的值的方法：先根据最高项指数为2得出字母系数的值，若二次项系数前含有字母，则选取使二次项系数不为________的值．
(2)列二次函数的表达式时要根据实际情况确定自变量的取值范围.
(教材P4习题T1变式)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3(x＋1)2－3x2 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
分析：根据二次函数含x项的最高次数为2，且前面的系数不为0的定义来判断．对于A选项要注意化简后再判断，对于B选项应考虑二次项系数是否为0.
方法点拨：满足二次函数的三个条件：(1)最高次幂为二次；(2)最高次项的系数不为0；(3)属于整式函数，分母不含未知数．另外需注意要判断化简后的表达式．
如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k＝________.
分析：紧扣二次函数的定义求解，易错点为忽视k＋2≠0.
方法点拨：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2.
(教材P4习题T3变式)姥姥有一张长2米、宽1米的十字绣，她在十字绣的四周加上花边做成了挂毯，上下花边宽度为x米，左右花边宽度为y米，若十字绣与挂毯是相似的长方形．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若姥姥准备挂在客厅墙上，墙长为4米，高为2.8米，挂毯的面积为S，求S与x的函数表达式．
分析：(1)根据题意，利用相似图形对应边成比例得出y与x的函数表达式；(2)利用长方形的面积，代入求得S与x的函数表达式．
方法点拨：根据实际问题确定二次函数关系式后，应注意自变量的取值范围．
1．若y＝mxm－1＋4x是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．2
2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
3．(教材P2“动脑筋”变式)某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产量y与x的函数表达式是( )
A．y＝20(1－x)2 B．y＝20＋2x
C．y＝20(1＋x)2 D．y＝20＋20x2＋20x
4．周长为16的矩形的面积y与它的一条边长x之间的函数表达式为y＝________(不要求写出自变量的取值范围).
5．某校为绿化校园，在一块长为15米，宽为10米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于15米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为x米，花圃面积为y平方米，求y关于x的函数表达式，并写出函数自变量的范围．
参考答案:
要点归纳
知识要点：二次 y＝ax2＋bx＋c ≠0 a b c 全体实数 0
典例导学
例1 C
例2 2
例3 解：(1)挂毯的长为(2＋2y)米，宽为(1＋2x)米，由题意得：＝，则y＝2x；(2)由题意可知x2＋2y≤4①；1＋2x<2.8②.由①得2＋4x≤4，x≤0.5.由②得x≤0.9，∴0
当堂检测
1．A 2.D 3.C 4.8x－x2
5．解：设小路的宽为x米，那么长方形花圃的长为(15－2x)，宽为(10－x)，根据题意得：y＝(15－2x)(10－x)＝2x2－35x＋150，由解得0＜x＜7.5.
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
知识要点 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
知识点
基本内容
图例
作图
步骤
(1)列表：采用7点作图法，以O为对称中心左右按顺序各选取对称3点；
(2)________：将所取的点在平面直角坐标系中描出；
(3)________：将所描点用光滑的________线连接.
图象
性质
(1)开口方向：________；
(2)对称性：关于________轴对称；
(3)对称轴与x轴的交点：________；
(4)增减性：函数图象“左降”(y随x的增大而________)，“右升”(y随x的增大而________)；
(5)最值：当x＝________时，函数有最________值________.
解题策略
(1)比较函数值大小的方法：①代入法：直接将自变量的值代入到表达式中，利用得出的函数值直接比较；②性质法：适合所给自变量在对称轴的同一侧，直接根据性质比较；③图象法：先画出函数的草图，在图象上描出要比较的点，再观察比较，适合给出字母系数或给出多个点，所给点在对称轴异侧等．
(2)利用图象求函数最值时要注意：当给出自变量的取值范围求最值时，应先确定对称轴是否在所给范围内，若在，则________就是最值点；若不在，则根据函数图象的高低，求其最值.
(教材P7练习T2变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2和y＝2x2的图象，并比较它们的异同．
分析：首先画出二次函数的图象，然后根据抛物线的开口方向和大小、对称轴、顶点坐标等特征找出相同点和不同点即可．
方法点拨：注意作函数图象中列表、描点、连线三步基本方法，作y＝ax2最简单的方法是采用七点法，即找出距原点距离相等的三点，结合原点，共七点通过对称法作图即可．
已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．
方法点拨：二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
1．抛物线y＝x2的顶点坐标是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(0，1)
2．二次函数y＝ax2的图象如下，则( )
A．a<0
B．对称轴为y轴
C．在对称轴的左边y随x的增大而增加
D．在对称轴的右边y随x的增大而减小
3．二次函数y＝x2图象的对称轴是 ________．当x<0时，y随x的增大而________；当x>0时，y随x的增大而________．
4．二次函数y＝ax2的图象经过点A(－3，12)和点B(3，m)，则m＝________．
参考答案：
要点归纳
知识要点：描点 连线 曲 向上 y (0，0) 减小 增大 0 小 0 顶点
典例导学
例1 解：函数图象如图所示：
相同点：①开口都是向上；②都经过坐标原点；③对称轴都是y轴；
不同点：开口的大小不同．
例2 解：(1)<
(2)∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
当堂检测
1．A 2.B 3.y轴 减小 增大 4.12
第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
知识要点 二次函数y＝ax2的图象与性质(含a＞0和a＜0)
y＝ax2(a≠0)
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，0)(有最低点)
(0，0)(有最高点)
对称轴
y轴(直线x＝0)
y轴(直线x＝0)
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝0时，y最小＝0
当x＝0时，y最大＝0
草图
解题策略
(1)二次函数开口大小的判断：|a|越大，开口越小．
(2)二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象的关系：关于x轴对称，在两个函数同时出现时，注意运用其对称性解题，尤其是在求阴影部分面积时.
(教材P10练习T2变式)画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象，并比较它们的共同点和不同点．
分析：在同一坐标系中，根据描点法，可作出函数图象，再根据图象找共同点和不同点．
方法点拨：(1)列表应以0为中心，选取x>0的几个点求出对应的y值；(2)描点要准；(3)画出y轴右边的部分，利用对称性，可画出y轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．
当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是( )
分析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.
方法点拨：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．
抛物线y＝－4x2不具有的性质是( )
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．最高点是原点
分析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.
方法点拨：抛物线y＝ax2(a<0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y有最大值0.
(教材P10练习T1变式)抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点P(1，b)．
(1)求a的值；
(2)求这条抛物线的对称轴，顶点坐标；
(3)当x取什么值时，y随x的增大而减少？
分析：用待定系数法把点P(1，b)分别代入抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3，列出方程组，即可求出a的值，再根据函数图象的性质解答．
方法点拨：函数图象的交点坐标满足两函数的表达式，通过代定系数法可求出a的值．
1．函数y＝－2x2的图象是( )
A．直线 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
2．下列二次函数的图象符合在对称轴的左边y随x的增大而增大的表达式是( )
A．y＝2017x2 B．y＝－2017x2
C．y＝x2 D．y＝x2
3．抛物线y＝－5x2的顶点坐标是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(0，1)
4．若二次函数y＝(2018－a)x2图象的开口向下，则a的取值范围是________．
5．关于二次函数y＝－x2的描述：①顶点为；②对称轴是y轴；③有最小值；④x>0时，y随x的增大而减小．其中正确的是____________．
6．已知抛物线y＝ax2经过点(2，－2)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求出这个二次函数的最大值或最小值；
(3)试说明当x<0时，函数值的变化情况．
参考答案：
要点归纳
上 下 (0，0) 底 (0，0) 高 减小 增大 增大 减小 0 0
典例导学
例1 解：函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象如图．
相同点：开口方向、顶点坐标、对称轴都相同；
不同点：开口大小不同．
抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
例2 D
例3 A
例4 解：(1)∵直线y＝2x－3过点P(1，b)，∴b＝2×1－3＝－1，即点P的坐标为(1，－1)．将P(1，－1)代入y＝ax2中，得a＝
－1；
∵a＝－1，∴这条抛物线的表达式y＝
－x2，∴对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)；
(3)由于抛物线的表达式为y＝－x2的a<0，故开口向下，在对称轴的左边函数图象是上升的，故y随x的增大而增大，对称轴的右边y随x的增大而减少，即答案为x>0.
当堂检测
1．C 2.B 3.A 4.a>2018 5.②④
6．解：(1)将点(2，－2)代入y＝ax2中，得－2＝4a，∴a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－x2；
(2)函数的最大值为0；
(3)当x<0时，y随x的增大而增大．
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
知识要点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
a>0
a<0
开口方向
向________
向________
对称轴
x＝________
x＝________
顶点坐标
________
________
增减性
当x当x>h时，y随x的增大而________.
当x当x>h时，y随x的增大而________.
最值
当x＝h时，y最小＝________.
当x＝h时，y最大＝________.
图例
解题策略
二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系：当a值相同时，它们图象的形状(含开口大小)、开口方向完全相同，只是位置发生了变化，顶点坐标由(0，0)变成了(h，0).
知识要点2 抛物线的平移
函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象左右平移得到，规律如下：
y＝ax2y＝a(x－h)2
口诀：左加右减
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
分析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．
分析：根据二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标公式，先直接由定义求出h的值，再将图象上经过点的坐标代入该式，求得未知数a的值．
方法点拨：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)．
(教材P10探究变式)抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
分析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
方法点拨：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
分析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．
方法点拨：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2017)2的图象可能是( )
2．将二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，得到二次函数的表达式是( )
A．y＝2(x＋2)2 B．y＝2(x－2)2
C．y＝2x2＋2 D．y＝2x2－2
3．(教材P12练习T1变式)二次函数y＝－2(x－1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )
A．向上，直线x＝－1，(－1，0)
B．向上，直线x＝1，(1，0)
C．向下，直线x＝－1，(－1，0)
D．向下，直线x＝1，(1，0)
4．关于二次函数y＝－(x－1)2，下列说法正确的是( )
A．当x＞1时，y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C．图象的开口向上
D．图象的顶点坐标是(－1，2)
5．已知二次函数y＝－(x－a)2(a≠0)的图象过点(1，－)．
(1)求出函数的表达式并确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
参考答案:
要点归纳
知识要点1：上 下 h h (h，0) (h，0) 减小 增大 增大 减小 0 0
典例导学
例1 D
例2 解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2，∴a＝.
例3 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.
例4 解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，OC＝4.解方程组得或∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝×4×8－×4×2＝12.
当堂检测
1．D 2.A 3.D 4.A
5．解：(1)将点(1，－)代入二次函数y＝
－(x－a)2中，解得a＝0(舍去)或a＝2，
∴二次函数的表达式为y＝－(x－2)2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，0)；
(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小.
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
知识要点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
y＝a(x－h)2＋k
(a≠0)
a＞0(k>0，h＞0)
a＜0(k<0，h＞0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(h，k)
(h，k)
对称轴
直线____________
直线____________
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝h时，y最小＝k.
当x＝h时，y最大＝k.
草图
解题策略
已知抛物线的顶点坐标求表达式：常设二次函数的模型为y＝________，通过代入顶点及一点坐标再求解.
知识要点2 抛物线的平移
内容
图例
平移
解题
策略
二次函数平移的实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.
(教材P13探究变式)在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的表达式是______________．
分析：先求出原抛物线的顶点坐标为(0，1)，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后抛物线的顶点坐标．
方法点拨：二次函数图象的几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．
关于x的二次函数y＝－(x－1)2＋2，下列说法正确的是A
A．当x＞1时，y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C．图象的开口向上
D．图象的顶点坐标是(－1，2)
分析：参照上述“知识要点1”中“a＜0”的情况画出函数y＝－(x－1)2＋2的大致图象，然后利用图形进行判断．
方法点拨：熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等性质是解题的关键．
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．
分析：(1)把点(3，0)的坐标代入函数表达式计算即可得解；(2)方法一：根据y1＝y2列出关于m、n的方程，然后开方整理即可得解；方法二：根据二次函数的对称性列出关于m、n的方程，然后整理即可得解．
方法点拨：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )
2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m>1 B．m>0
C．m>－1 D．－13．关于二次函数y＝－(x－3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是( )
A．抛物线开口方向向下
B．当x＝3时，函数有最大值－2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．抛物线可由y＝x2经过平移得到
4．抛物线y＝(x－1)2＋2的对称轴是________．
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位得到二次函数的表达式是____________，再将所得的二次函数图象向上平移2个单位得到二次函数的表达式是____________．
6．已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象上，若x1＞x2＞2，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
7．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)判断点P(3，5)是否在这条抛物线的图象上．
参考答案:
要点归纳
知识要点1：上 下 (h，k) (h，k) x＝h x＝h 减小 增大 增大 减小 k k a(x－h)2＋k
典例导学
例1 y＝(x＋1)2＋4.
例2 A
例3 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.
当堂检测
1.D 2.B 3.D 4.x＝1
5．y＝(x＋1)2 y＝(x＋1)2＋2 6.<
7．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－2，将点(0，0)代入得a－2＝0，解得a＝2，∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－2；
(2)当x＝3时，y＝2×(3－1)2－2＝6，∴点P(3，5)不在这条抛物线的图象上．
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
知识要点 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
向________
向________
对称轴
直线________
顶点坐标
________
增减性
当x<________，y随x的增大而减小；
当x>________，y随x的增大而增大.
当x<______，y随x的增大而增大；
当x>______，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y最小＝________
当x＝－，y最大＝________
与系数相关的解题策略
①a决定开口________：a＞0?开口向上；a＜0?开口向下；
②a、b同号对称轴在y轴的________侧；a、b异号对称轴在y轴的_______侧；
③c＝0?经过原点；c>0?与y轴的交点位于x轴的________方；c<0?与y轴的交点位于x轴的________方；
④当x＝1时，y的值为________，当x＝－1时，y的值为________．当x＝2时，y的值为________；当x＝－2时，y的值为________；…
⑤当对称轴x＝1时，x＝－＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝________；当对称轴x＝－1时，－＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝________．因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝－与________的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则－________1，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与________的大小.
把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
分析：先将y＝x2－3x＋5化为顶点式，再将其向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，然后将所得顶点式的表达式化简为一般式，即为y＝x2＋bx＋c.
方法点拨：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．
在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
分析：此类可先假定y＝mx＋m中m的正负．据此判断y＝mx2＋2x＋2的大致图象．
方法点拨：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
(教材P17例6变式)函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值，并求出最值．
分析：先将函数的表达式化成一般形式，再利用配方法，根据a的正负性确定函数的最值．
方法点拨：求二次函数的最值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，在求最值时要注意自变量的取值范围．
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有( )
A．最小值－2 B．最大值－2
C．最小值3 D．最大值3
二次函数y＝－x2＋2x的图象可能是 ( )
3．二次函数y＝x2－4x＋1的顶点坐标为( )
A．(2，5) B．(－2，5)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
4．抛物线y＝－2x2＋4x－1的对称轴是直线________．
5．已知二次函数y＝－2x2＋8x－6.
(1)将函数表达式用配方法化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；
(2)它的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边），顶点为C，求S△ABC.
参考答案:
要点归纳
知识要点：上 下 x＝－ － － － － 方向 左 右 上 下 a＋b＋c a－b＋c 4a＋2b＋c 4a－2b＋c 0 0 1 ＜ －1
典例导学
例1 A
例2 D
例3 解：∵y＝x(2－3x)＝－3(x－)2＋，∴该抛物线的顶点坐标是(，)．∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，函数有最大值，最大值是.
例4 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6；
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.
当堂检测
1．A 2.B 3.C 4.x＝1
5．解：(1)y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∴顶点坐标为(2，2)，对称轴为直线x＝2.
(2)令－2(x－2)2＋2＝0，解得x1＝3，x2＝1，∴A(3，0)，B(1，0)，∴AB＝3－1＝2.∵C(2，2)，∴S△ABC＝×2×2＝2.
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
知识要点 求二次函数的表达式
待定系数法
基本内容
适合条件
利用一般式
求二次函数
的表达式
(1)设：设二次函数表达式为____________；
(2)代：分别将三点代入表达式中，得________元一次方程组；
(3)解：解方程组，得________，________，________的值；
(4)返代：将a，b，c的值代入到所设的模型__________________中，得函数表达式.
已知在这个函数图象上的任意三点的坐标.
顶点式
设表达式为____________，其中(h，k)为顶点，对称轴为直线x＝h.
已知抛物线的顶点或对称轴或最值时，通常设顶点式
交点式
已知函数图象与x轴的两交点坐标(x1，0)，(x2，0)，设表达式为____________
已知抛物线与x轴的两交点坐标，通常设交点式
解题策略
求二次函数表达式的技巧：当抛物线的顶点是原点时，h＝0，k＝0，可设函数表达式为y＝ax2；当已知抛物线与y轴的交点设表达式时，可直接写出c值；当抛物线的对称轴为y轴时，可设表达式为y＝ax2＋k等.
(教材P21例1变式)已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是D
A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
分析：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把(1，0)、(2，0)和(0，2)分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c即可得二次函数的表达式．
方法点拨：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．
已知一条抛物线过点(3，2)和(0，1)，且它的对称轴为直线x＝3，试求这条抛物线的表达式．
分析：根据对称轴可设抛物线的顶点式，将(3，2)和(0，1)代入可得方程组，解方程组即可得抛物线的表达式．
方法点拨：用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条件，设出恰当的函数表达式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表达式为交点式来求解．
1．二次函数的图象如图，则它的表达式正确的是( )
A．y＝2x2－4x
B．y＝－x(x－2)
C．y＝－(x－1)2＋2
D．y＝－2x2＋4x
2．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则此二次函数的表达式为( )
A．y＝－6x2＋3x＋4
B．y＝－2x2＋3x－4
C．y＝x2＋2x－4
D．y＝2x2＋3x－4
3．已知抛物线的对称轴为x＝1，且经过点(0，2)和(4，0)，则抛物线的表达式为____________．
4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B，且S△OAB＝3，求点B的坐标．
参考答案:
要点归纳
y＝ax2＋bx＋c 三 a b c y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2)
典例导学
例1 D
例2 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋k.由抛物线过点(3，2)和(0，1)可得解得故抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋2.
当堂检测
1．D 2.D
3．y＝－(x－1)2＋
4．解：(1)∵y＝x2＋bx＋c过原点，可得c＝0，又∵y＝x2＋bx过点A(2，0)，可得b＝－2，∴y＝x2－2x；
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1；
(3)∵OA＝2，S△OAB＝3，∴|yB|＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴yB＝3，∴3＝x2－2x，即x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.故B点坐标为(－1，3)或(3，3)．
1．4 二次函数与一元二次方程的联系
知识要点 二次函数与一元二次方程的联系
基本内容
图示
抛物线
y＝ax2＋bx＋c
与x轴的交点
(1)有两个交点?方程ax2＋bx＋c＝0有两个________的实数根?ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac________.
(2)有一个交点?方程ax2＋bx＋c＝0有两个________的实数根?方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac________.
(3)没有交点?方程ax2＋bx＋c＝0________实数根?ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac________.
已知二次函数的函数值求解自变量
已知函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝M，求对应自变量x的值，可转化为求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝M.
(教材P28习题T4变式)已知二次函数y＝2x2＋bx－1.
(1)求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2＋bx－1的图象与x轴必有两个交点；
(2)若两点P(－3，m)和Q(1，m)在该函数的图象上．
①求b、m的值；
②将二次函数的图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个
公共点？
分析：(1)由Δ＝b2－4ac的正负即可判定函数图象与x贺的交点情况；(2)由抛物线的对称性可求得b、m的值；由平移后Δ＝0即可求得平移的距离．
方法点拨：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点Δ＝b2－4ac的正负性决定：Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
(教材P28习题T5变式)如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A．6m B．12m C．8m D．10m
分析：依题意，该二次函数与x轴的交点即为所求．令y＝0，求x的正数值．
方法点拨：已知函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝M，求对应自变量x的值，只需要求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝M的结果，取适合的x的值即可．
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
2．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴有( )
A．两个交点 B．一个交点
C．无交点 D．三个交点
3．方程x2－3x＋2＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，那么抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的交点的坐标为________________．
4．关于x的一元二次方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第________象限．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答问题．
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)直接写出y随x增大而减小的x的取值范围．
参考答案:
要点归纳
知识要点：不相等 >0 相等 ＝0 没有 <0
典例导学
例1 (1)证明：∵Δ＝b2－4×2×(－1)＝b2＋8＞0，∴无论b取何值，二次函数y＝2x2＋bx－1的图象与x轴必有两个交点；
(2)解：①∵点P、Q是二次函数y＝2x2＋bx－1图象上的两点，且两点纵坐标都为m，∴点P、Q关于抛物线对称轴对称，∴抛物线对称轴是直线x＝－1，∴－＝－1，解得b＝4，∴抛物线表达式为y＝2x2＋4x－1，当x＝1时，m＝2×12＋4×1－1＝5；
②设平移后抛物线的表达式为y＝2x2＋4x－1＋k，∵平移后的图象与x轴仅有一个交点，∴Δ＝16＋8－8 k＝0，解得k＝3，即将二次函数图象向上平移3个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．
例2 D
当堂检测
1．A 2.A 3.(1，0)，(2，0) 4.一
5．解：(1)x1＝1，x2＝3；
(2)1(3)x>2.
1．5 二次函数的应用
第1课时 抛物线形二次函数
知识要点 抛物线形二次函数
知识点
步骤
关键点
根据抛物线的实际问题建模(如拱桥、运动的物体构成的抛物线等)
(1)审题；
(2)建立合适的______________；
(3)结合坐标系，利用二次函数的图象与性质求解；
(4)通过函数值、对称轴、________坐标等方面知识转化方程，达到解决实际问题的目的.
若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当(如在x轴、y轴、原点、抛物线上等)，方便求二次函数、表达式和之后的计算求解.
某桥洞是呈抛物线形状，它的截面在平面直角坐标系中如图所示，现测得水面宽AB＝16m，桥洞顶点O到水面距离为16m，当水面上升7m时，水面宽为12m.
分析：设这条抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)．由已知抛物线经过点B(8，－16)，可求出抛物线的解析式．当水面上升7m时到达CD处，则点C的纵坐标为－9，即可设点C的坐标为(x，－9)(x＞0)，将C点坐标代入抛物线解析式，可求出x，即可得水面宽CD＝2|x|m.
方法点拨：先用待定系数法求解抛物线解析式，设出相应点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题．
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球抛出 3 秒后达到最高点．
分析：在关系式h＝30t－5t2中，通过配方法，求出h的最大值，使h取得最大值的t值即为所求．
方法点拨：解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，注意利用配方法解决问题．
1．如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，则会以顶点为原点建立直角坐标系，并可求得其解析式为_____________.
2．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－x2＋x＋，则羽毛球飞出的水平距离为5米．
参考答案:
要点归纳
知识要点：平面直角坐标 顶点
典例导学
例1 12
例2 3
当堂检测
1．顶点 y＝－x2 2.5
第2课时 二次函数实际应用中的最值问题
知识要点 二次函数与最值问题
步骤
商品利润
最大问题
①运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式；
②求出这个函数的________式；
③结合自变量的取值范围，确定最大利润.
几何面积
最值问题
①利用题目中的已知条件和学过的有关公式列出关系式；
②把关系式转化为二次函数解析式；
③结合实际意义，确定自变量的________；
④把二次函数解析式转化为________式，结合自变量的取值范围，确定最值.
解题策略
解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大(最小)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点(横、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.
(教材P50探究2变式)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件降价的钱数为5元．
分析：设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则y＝(135－x－100)(100＋4x)，化为顶点式，求出满足y的值最大时，x的取值范围得到答案．
方法点拨：根据“每天的利润＝一件的利润×每天的销售件数”，建立函数关系式．
用长为8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 m2(铝合金条遮光部分忽略不计)．
分析：设窗的高度为xm，则宽为m，故窗户的透光面积S＝＝－x2＋x，再根据二次函数求出最大值．
方法点拨：根据面积公式列出面积关于其中一边长的二次函数关系式是解决这类问题的关键，通常在求最值的过程中还要注意自变量的取值范围．
1．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(02．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
3．如图，用10m长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形养殖场，则养殖场的最大面积为12.5m2.
4．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．
参考答案:
要点归纳
知识要点：顶点 取值范围 顶点
典例导学
例1 5
例2
当堂检测
1．144m2 2.3 3.12.5 4.10
2．1 圆的对称性
知识要点1 圆的定义
知识要点2 点与圆的位置关系
知识要点3 圆的有关概念
易错
提醒
(1)直径是圆中最长的弦，但弦_______是直径；
(2)长度相等的弧_______是等弧，还要弧度相等，即必须重合.
知识要点4 圆的对称性
圆的中心对称性：圆是________图形，________是它的对称中心；
圆的轴对称性：圆是________图形，任意一条________所在的直线都是圆的对称轴．圆有________条对称轴．
(教材P46习题T3变式)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外？
(2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
分析：(1)若点A、B在⊙C外，则AC＞r即可；(2)点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC即可．
方法点拨：点与圆的位置关系的判断，要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
(教材P46习题T4变式)如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
分析：取AB的中点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OA＝OB＝OC＝OD后即可求证A、B、C、D四点在同一个圆上．
方法点拨：求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到定点的距离相等．
1．半径为4的圆的一条弦长不可能是( )
A．3 B．5 C．8 D．10
2．下列说法正确的是( )
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．半圆是弧
D．过圆心的线段是直径
3．如图，线段AB过圆心O，点A、B、C均在⊙O上，则图中的直径是________，劣弧是________，优弧是________．
4．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心，2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A________；点C在⊙A________；点D在⊙A________．
参考答案:
要点归纳
知识要点1：一周 图形 定点 圆心 定长 半径 所有点
知识要点2：＝ < >
知识要点3：线段 圆心 圆弧 圆弧 弧 优弧 劣弧 完全重合 同圆或等圆 不一定 不一定
知识要点4：中心对称 圆心 轴对称 直径 无数
典例导学
例1 解：(1)若点A、B在⊙C外，则AC＞r，∵AC＝3，∴r＜3；
(2)若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC，∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4.
例2 证明：取AB的中点O，连接OC，OD，∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°，∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．
当堂检测
1．D 2.C
3．AB 、
4．上 外 上
2．2 圆心角、圆周角
2．2.1 圆心角
知识要点 圆心角的概念及圆心角、弧、弦之间的关系
文字叙述
几何语言
图例
定理
在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的________相等，所对的________也相等.
如图，如果∠AOB＝∠COD，那么＝________，AB＝________；
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________．可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等?弧相等?弦相等.
如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠________，＝________；
(2)如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠________.
解题
策略
圆心角、弧、弦之间关系的结论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”；
(2)同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系是证明圆中线段相等、角相等、弧相等的主要依据.
如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
分析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．
方法点拨：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
(教材P56习题T2变式)如图，M为⊙O上一点，＝，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME.
分析：连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.
方法点拨：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，但不要忘记“在同圆或等圆中”这一个条件．
如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.
分析：如图，连接OC，根据平行线的性质得到∠1＝∠B，∠2＝∠3，而∠B＝∠3，所以∠1＝∠2，再根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
方法点拨：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( )
A．相等的弦所对的圆心角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
2．(教材P49练习T2变式)如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是( )
A．51° B．56° C．68° D．78°
第2题图
第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆弧AB的中点，D是上(异于B.C)的任意一点，则∠CDB等于( )
A．100° B．120° C．150° D．135°
4．在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为________cm.
5．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥DE，AC＝3，求AE的长．
参考答案:
要点归纳
知识要点：弧 弦 CD 相等 COD CD COD
典例导学
例1 B
例2 证明：连接MO，∵＝，∴∠MOD＝∠MOE.又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴∠MDO＝∠MEO＝90°，∵MO＝MO, ∴△MDO≌△MEO(AAS)，∴MD＝ME.
例3 证明：连结OC，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.
当堂检测
1．C 2.D 3.D 4.4
5．解：∵AB∥DE，∴＝.∵AB、CD是⊙O的直径，∠BOD＝∠AOC，∴＝，∴＝，∴AE＝AC＝3.
2．2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理与推论1
知识要点 圆周角定理与推论1
内容
几何语言
图例
圆周角
的概念
顶点在圆上，角的两边都与圆相交，像这样的角叫作圆周角.
∠________是圆周角
圆周角
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
∠ACB＝______∠AOB
圆周角
定理的
推论1
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
∵＝，∴∠1＝________；＝?∠1＝________＝________
易错
提示
(1)同一条弧所对的圆周角有________个，且它们是________的；
(2)在推论1中，如果将“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”后，结论就不一定成立，即同弦或等弦所对的圆周角________或________．
(3)同一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况，无图时，注意分类讨论，一类是顶点在劣弧上的圆周角，另一类是顶点在优弧上的圆周角，这两种情况下的圆周角________．(下一课时将得证)
(教材P56习题T4变式)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，则∠D＝________°.
分析：AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，根据邻补角的定义，即可求得∠BOC的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠D的度数．
方法点拨：圆周角和圆心角的转化：①可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化；②可利用“桥梁”—圆心角转化．
如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE.
分析：欲证明AD＝CE，只需证明＝即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C＝∠CAD，所以＝，则＋＝＋，故＝.
方法点拨：在同一个圆中，能将一个角从一个地方转移到另一个地方的方法有：(1)利用平行线的同位角及内错角；(2)同弧所对的圆周角；(3)等弧所对的圆周角；(4)等量加(减)等量和(差)相等．
1．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，则图中圆周角有A
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2016·重庆中考)如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝________度．
3．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠OAB＝20°，则∠C的度数为______.
4．如图，点E是的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.
求证：BE2＝AE·DE.
参考答案:
要点归纳
知识要点：圆上 相交 ACB 一半 相等 相等 ∠2 ∠2 ∠3 无数 相等 相等 互补 互补
典例导学
例1 25
例2 证明：∵AB∥CE，∴∠ACE＝∠BAC.又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠C＝∠CAD，∴AE＝，∴＋＝＋，∴＝，∴AD＝CE.
当堂检测
1．A 2.60 3.70°
4．证明：∵点E是的中点，即＝，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.
第2课时 圆周角定理的推论2与圆内接四边形
知识要点 圆周角定理推论2与圆内接四边形
内容
几何语言
图例
圆周角定理推论2
直径所对的圆周角是________；________的圆周角所对的弦是直径.
AB是直径?∠C＝________.
圆内接四边形、四边形的外接圆的概念
一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作________四边形，这个圆叫作这个四边形的________
四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形性质
圆内接四边形的对角________
∠A＋∠C＝________°，∠B＋∠D＝________°.
解题策略
(1)利用圆周角的推论2作辅助线：有直径通常作直径所对的________角；有90°的圆周角，通常过圆周角的一个端点作________，以构造________三角形．
(2)圆内接四边形的一个________角等于它的内对角．如图，∠DCE＝________.
(教材P57习题T9变式)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
分析：(1)根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得．由OD∥BC可知∠AOD＝∠B＝70°.在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，可求得DE的长．
方法点拨：根据直径所对的圆周角是直角及由圆的半径构成的等腰三角形，得到角之间的关系，在求圆中的角度时，这两点经常被用到．
(教材P57习题T10变式)如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F，若CD∥EF.求证：
四边形EFDC是平行四边形；
(2)CE＝.
分析：(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB.由圆内接四边形的性质可得∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝180°，可证得∠E＋∠F＝180°，即CE∥DF，由此得证；(2)由四边形CEFD是平行四边形得CE＝DF.再由⊙O1和⊙O2是两个等圆即可得证．
方法点拨：由“圆内接四边形对角互补”可以得出：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，从而实现圆内的角转移到圆外，使等角从位置上发生变化．
1．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是( )
A．80° B．100° C．60° D．40°
3．如图，△ABC中，∠C＝25°，∠B＝85°，过点A，B的圆与边AC、BC分别交于点E、D，则∠EDC＝________°.
4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE.求证：BD＝DE＝DC.
参考答案:
要点归纳
直角 90° 90° 90° 圆内接 外接圆 互补 180 180 圆周 直径 直角 外 ∠BAD
典例导学
例1 解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，∠CAB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°，∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝55°－20°＝35°；
(2)在Rt△ABC中，BC＝＝＝.∵OE⊥AC，∴AE＝EC.∵OA＝OB，∴OE＝BC＝.又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD－OE＝2－.
例2 证明：(1)连接AB，∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠E＋∠CAB＝180°.又∵∠CAB＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＝∠E.∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD＋∠F＝180°，∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形；
(2)由(1)得：四边形EFDC是平行四边形，∴CE＝DF，又∵⊙O1和⊙O2是等圆，∴＝.
当堂检测
1．D 2.A 3.70
4．证明：连接AD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE＝DC.
*2.3 垂径定理
知识要点 垂径定理
内容
几何语言
图例
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图，∵MN是直径，OD⊥AB，∴AD＝________；＝________；＝________.
解题策略
(1)涉及弦、弦到圆心的距离求长度：弦长a，弦到圆心的距离为d，半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦的距离)，它们之间的关系是r2＝d2＋，r＝d＋h.注意有时还需作辅助线解决，一般是过圆点向弦作垂线或连接半径(如图中连接OB或OA)构造直角三角形．
(2)圆的两条平行弦所夹的弧________.
(教材P60习题T1变式)如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝______.
分析：由垂径定理得AC＝AB＝12cm.连接OA，由半径相等，得OA＝OD＝13cm.在Rt△AOC中，利用勾股定理可求OC的长，最后用CD＝OD－OC即可求出CD的长．
方法点拨：解题的方法是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理、垂径定理解答．
如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝9米，则此圆的半径OA为 ( )
A．6米 B.米 C．7米 D.米
分析：设⊙O的半径为r米，则OA＝r米，OD＝(9－r)米．∵AB＝12米，CD⊥AB，∴AD＝AB＝×12＝6(米)．在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝AD2＋OD2，即可得到关于r的方程，解出方程即可求出⊙O的半径长．
方法点拨：构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理，可以解决计算弦长、半径、弦到圆心的距离、同心圆的相关线段等问题．
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC、BD，则下列结论错误的是( )
A．AF＝BF B．OF＝CF
C.＝ D．∠DBC＝90°
2．如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若AO＝5cm，OC＝3cm，则弦AB的长为______cm.
3．如图所示，是一根水平放置的圆柱形输水管道的横截面，其中有水部分水面宽0.8m，最深处水深0.2m，则此输水管道的直径是________m.
参考答案:
要点归纳
知识要点：平分 平分 DB
相等
典例导学
例1 8
例2 B
当堂检测
1．B 2.8 3.1
2．4 过不共线三点作圆
知识要点1 圆的确定
(1)经过不在同一直线上的三个点确定________个圆．
(2)经过不在同一直线上的三个点作圆的方法：①连接各点，作出两条所连线段的垂直平分线，其交点即为圆心；②以圆心到任意一点的长为半径画圆即可．
知识要点2 三角形的外接圆
文字叙述
几何语言
图例
三角形的
外接圆
经过三角形各________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的________.
如图，⊙O是△ABC的________.
圆的内接
三角形
一个三角形的三个顶点都在一个圆上，这个三角形叫作这个圆的________三角形.
如图，△ABC是⊙O的________.
外心的
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离________．即三角形的外心是它的三条边的________的交点.
如图，OA＝______＝______.
解题策略
直角三角形的外心在斜边的________，直角三角形的外接圆的半径等于斜边的________.
(教材P63习题T2变式)如图，已知等腰三角形ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
分析：(1)作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点的长度为半径画圆可得△ABC的外接圆；(2)作出劣弧BC所对的圆周角，易得该圆周角的度数，则∠BAC是该圆周角的补角．
方法点拨：作任意两条边的垂直平分线，找出三角形外心作出三角形的外接圆．善于利用圆的内接四边形进行对角的转换及计算．
(教材P63习题T4变式)如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
(1)△ABC的形状；
(2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O，并证明你的结论．
分析：(1)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；(2)根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD＝CD，可知AD过圆心O，故可得出结论．
方法点拨：根据等腰三角形三线合一的性质，结合三角形的外接圆与外心的知识综合解题．
1．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在( )
A．△ABC的三边高线的交点P处
B．△ABC的三条角平分线的交点P处
C．△ABC的三边中线的交点P处
D．△ABC的三边中垂线的交点P处
2．Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆的半径为________．
3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
4．如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
参考答案:
要点归纳
知识要点1 一
知识要点2 顶点 外心 外接圆 内接 内接三角形 相等 垂直平分线 OB OC 中点 一半
典例导学
例1 解：(1)如图①所示．
(2)如图②，在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.
例2 解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是角平分线，∴DE＝DF.又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.在Rt△BDE与Rt△CDF中，∴△BDE≌△CDF(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
(2)AD过△ABC外接圆的圆心O.理由如下：∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC.又∵BD＝CD，∴AD过圆心O.
当堂检测
1．D 2.5cm 3.
4.连接OB，过点O作OD⊥BC于D，则OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13(cm)．即△ABC的外接圆的半径为13cm.
2．5 直线与圆的位置关系
2．5.1 直线与圆的位置关系
知识要点 直线与圆的位置关系
位置关系
相交
相切
相离
定义
如果直线与圆有________个不同的公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的________线.
如果直线与圆只有________个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的________线，这个公共点叫做________.
如果直线与圆________公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离.
图形
公共点个数
________个
________个
________个
数量关系
d________r
d________r
d________r
易错提醒
直线与圆的位置关系判定：①从直线与圆的交点________去判定；②从__________与________的大小关系判定.
分类讨论思想在圆中的运用：由于圆是轴对称图形和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．如将直线l从圆外向圆平移，则圆心O到直线l的距离等于某个固定数值的有两种情形(l2和l3)，同样与圆相切也有两种情形(l1和l4).
(教材P75习题T1变式)已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为D
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相切或相交
分析：∵垂线段最短，∴圆心O到直线AB的距离小于等于3，∴直线AB与⊙O的关系不是唯一确定的．
方法点拨：判断直线与圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离．
(教材P65例1变式)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB是怎样的位置关系？
(1)r＝4cm；(2)r＝4.8cm；(3)r＝6cm.
分析：求出Rt△ABC斜边上的高，与半径r比较，得到⊙C与AB的位置关系．
方法点拨：比较圆心到直线的距离与半径的大小是确定直线与圆的位置关系常用的方法．
1．若⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
2．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意一点，如果以P为圆心的圆与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定
3．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为________．
4．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．
5．如图，两个同心圆，大圆半径为5，小圆半径为3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是____________．
6．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．
参考答案:
要点归纳
知识要点：两 割 一 切 切点 没有 2 1 0 < ＝ > 个数 d r
典例导学
例1 D
例2 解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AB＝＝10cm.利用面积法，BC·AC＝·AB·CD，可得CD＝4.8cm.
(1)当r＝4cm时，CD>r，此时⊙O与AB相离；
(2)当r＝4.8cm时，CD＝r，此时⊙O与AB相切；
(3)当r＝6cm时，CD当堂检测
1．A 2.A 3.2 4.4 5.86．解：⊙A与直线BC相交．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.∵AB＝AC，BC＝16，∴BD＝BC＝×16＝8.在Rt△ABC中，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝＝6.∵⊙O的半径为7，∴AD＜r，∴⊙A与直线BC相交．
2．5.2 圆的切线
第1课时 切线的判定
知识要点 切线的判定
内容
几何语言
图例
切线的判
定定理
经过半径________并且________于这条半径的直线是圆的切线.
∵OA是半径，l⊥OA于点A，∴直线l是⊙O的切线.
切线判定
的方法
定义法：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
解题
策略
切线判定中作辅助线的方法：证明切线时，一般分两种情况：①切点已知，连半径，证________；②切点未知，作垂直，证________.
(教材P67例2变式)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BC＝6，tan∠CDA＝，求CD的长．
分析：(1)连接OD，证明∠CDO＝90°即可；(2)证明△CAD∽△CDB，由对应边成比例可求得CD的长．
方法点拨：当直线与圆的交点已知时，要证明直线与圆相切，只要连接这点与半径，证明连线与已知直线垂直即可．
如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
分析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．
方法点拨：要证明直线与圆相切，如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．
1．下列说法中，不正确的是( )
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的 直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
2．如图，点A、B、D在⊙O上，OD的延长线交直线BC于点C，且∠A＝25°，∠OCB＝40°，则∠DOB＝50°，所以∠OBC＝90°，所以直线BC与⊙O的位置关系为相切．
如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝OB，则AB________(填“是”或“不是”)⊙O的切线．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．
参考答案:
要点归纳
知识要点：外端 垂直 垂直 半径
典例导学
例1 (1)证明：连接OD, ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.又∵CD经过半径的外端，∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CDA＝∠OBD，∴tan∠CDA＝tan∠ABD＝.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝.∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴＝＝，∴CD＝×6＝4.
例2 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．
当堂检测
1．D 2.50° 90° 相切 3.是
4．证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.又DE⊥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，即DE⊥OD.∴DE是⊙O的切线．
第2课时 切线的性质
知识要点 切线的性质
内容
几何语言
图例
切线的
性质
圆的切线________于过切点的半径.
由直线l与⊙O相切于点A，可知l________OA.
解题
策略
由切线的性质可以得到：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
题目中若给出圆的切线，常连接过切点的半径，则半径垂直于切线.
(3)经过直径两端点的切线互相________.
如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于E，过点C的切线CF交AB的延长线于F，连接CO并延长交AD于G，且CG⊥AD.求证：△CEF≌△DEA.
分析：由CF是⊙O的切线，易得CG⊥CF，证得CF∥AD，得出∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A，根据垂径定理得出CE＝DE，然后根据AAS即可证得△CEF≌△DEA.
方法点拨：运用切线的性质进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．
(教材P75习题T2变式)如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB＝∠APB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)当OB＝3，PA＝PB＝6时，求MB，MC的长．
分析：(1)根据切线的性质，可得∠MAP＝90°，根据直角三角形的性质，可得∠P＋M＝90°，根据∠COB＝∠APB，可得∠M＋∠MOB＝90°，即∠MBO＝90°.根据切线的判定，可得答案；(2)根据相似三角形的判定与性质，可得＝＝，通过解方程组，可得答案．
方法点拨：本题考查了切线的判定与性质，(1)利用切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；(2)利用相似三角形的判定与性质，解方程组．
1.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，则AB____BP.若AB＝3cm，PB＝4cm，则PA＝______.
2．如图所示，AO是△ABC的中线，AB切⊙O于D，要使⊙O与AC边相切，应增加的条件是___________.
3．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )
A．120° B．110° C．90° D．55°
4．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O的周长为C
A．18πcm B．16πcm
C．20πcm D．24πcm
如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD 的长．
参考答案:
要点归纳
知识要点：垂直 垂直 平行
典例导学
例1 证明：∵CF是⊙O的切线，∴CG⊥CF.又∵CG⊥AD，∴CF∥AD，∴∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A.又∵AB⊥CD，∴CE＝DE.在△CEF和△DEA中，∴△CEF≌△DEA．
例2 (1)证明：∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP＝90°，∴∠P＋∠M＝90°.∵∠COB＝∠APB，∴∠M＋∠MOB＝90°，∴∠MBO＝90°，即OB⊥PB.∵PB经过半径的外端，∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵∠COB＝∠APB，∠OBM＝∠PAM，∴△OBM∽△PAM，∴＝＝.∵AM＝MC＋AC＝MC＋2OB＝MC＋6，OM＝MC＋OC＝MC＋OB＝MC＋3，PM＝MB＋BP＝MB＋6，∴＝＝＝①，＝＝②，联立①②得解得
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1．⊥ 5cm
2．AB＝AC(答案不唯一) 3.B 4.C
5．(1)证明：连接OB，如图所示．∵E是弦BD的中点，∴BE＝DE，OE⊥BD，＝＝，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝＝10.∵△OBC的面积＝OC·BE＝OB·BC，∴BE＝＝＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6.
2.5.3 切线长定理
知识要点 切线长定理
文字叙述
几何表示
图形
切线长
概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.
线段______、______的长度是点P到⊙O的切线长.
切线长
定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角.
PA＝________,∠APO＝________＝∠APB
解题
策略
由切线长定理可得到的结论：如图，从该图上还可以得到很多结论：
如①PO⊥AB；②AC＝BC；③PA⊥OA，PB⊥OB；④∠AOP＝________等.
(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、线段垂直等的重要依据，并且常与直角三角形、等腰三角形的相联系.
如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( )
A．10 B．12 C．5 D．10
分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A.
方法点拨：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到．
(教材P76习题T11变式)如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：
(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径．
分析：(1)根据切线长定理得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，再根据平行线的性质得∠GCF＋∠EBF＝180°，则有∠OBC＋∠OCB＝90°，进而可求得∠BOC；(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE＋CG的长；(3)连接OF，由切线的性质可知OF⊥BC，再由三角形面积公式即可求得OF的长．
方法点拨：过圆外一点所引的两条切线的长度相等，在解题时常结合角平分线的性质、三角形全等、解直角三角形等．
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OA＝1，PA＝，则∠AOB的度数为( )
A．60° B．90°
C．120° D．无法确定
2．(教材P72练习T1变式)如图，圆外切四边形ABCD中AB＝8，CD＝5，则四边形的周长为________．
参考答案:
要点归纳
知识要点：切点 AP BP 相等 平分 PB ∠BPO ∠BOP
典例导学
例1 A
例2 解：(1)根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBE＋∠OCF＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°，∴∠BOC＝90°；
(2)∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得BC＝＝10cm，∴BE＋CG＝BF＋FC＝BC＝10cm.
(3)连接OF，∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm，即⊙O的半径为4.8cm.
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1．C 2.26
2．5.4 三角形的内切圆
知识要点1 三角形的内切圆及作法
文字叙述
图例
有关
概念
三角形的内切圆：与三角形各边都________的圆.
(2)圆的外切三角形：三角形的三边都与一个圆相切，这个三角形叫作圆的外切三角形.
作法
作△ABC的∠ABC、∠ACB的________，设交点为I，以点I为圆心，点I到三角形任一条边的________为半径作圆，则⊙I就是该三角形的内切圆.
知识要点2 三角形内心的定义及性质
内容
定义
三角形的内心；三角形内切圆的圆心.
(2)三角形的内心是这个三角形的三条____________的交点.
性质
三角形的内心到三角形三边的距离________．如上图，ID＝IE＝IF.
(2)三角形的内心与三角形顶点的连线________这个角．如上图，BE为∠ABC的平分线.
解题
策略
内切圆半径与三角形边的关系：
(1)任意三角形的内切圆(如图①)，设三角形的周长为C，则S△ABC＝Cr.
(2)直角三角形的内切圆(如图②)
①*切线长定理推导：由图可得四边形ODCE为正方形，∴OD＝OE＝CD＝CE＝r，∴BD＝a－r，AE＝b－r，又BF＝BD＝a－r，∴AF＝AB－BF＝c－(a－r)＝c－a＋r.所以由AF＝AE，有c－a＋r＝b－r，可得r＝(a＋b－c)；②面积推导：S△ABC＝ab＝(a＋b＋c)r，可得r＝.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为( )
A．r B.r C．2r D.r
分析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C.
(教材P74例6变式)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
分析：连接OE，OF.由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知∠OFA＝90°，∠OEA＝90°.根据四边形内角和为360°得到∠A＋∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°.由圆周角定理可求∠EDF.
方法点拨：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF的度数．
如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
分析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；
(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．
方法点拨：(1)充分利用内心的定义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，O是△ABC的内心，∠BOC＝___度．
2.如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
3．已知，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.
(1)若∠A＝60°，求∠FDE的度数；
(2)若∠A＝130°，求∠FDE的度数；
(3)你能猜想出∠FDE与∠A有什么数量关系吗？
参考答案:
要点归纳
知识要点1：相切 角平分线 距离
知识要点2：角平分线 相等 平分
典例导学
例1 C
例2 解：连接OE，OF.∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝180°－60°－70°＝50°.∵AB是⊙O的切线，∴∠OFA＝90°.同理∠OEA＝90°，∴∠A＋∠EOF＝180°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF＝65°.
例3 (1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴＝.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16(cm2)，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.
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1．115 2.
3．解：(1)∠FDE＝60°；(2)∠FDE＝25°；
(3)∠A＋2∠FDE＝180°.
2．6 弧长与扇形的面积
第1课时 弧 长
知识要点 弧长
文字叙述
图例
弧长公式
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为l＝________.
解题策略
在弧长公式中，已知l，n，r中的任意两个量，就可以求出第三个量.
(2)如果没有明确说明，弧的长度一般用含有π的代数式表示.
如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB＝60°，⊙O的半径是3，则劣弧的长为_________.
分析：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.在四边形APBO中，求出∠AOB的度数，然后直接利用公式l＝即可求出的长．
方法点拨：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，要求出弧长,关键要弄清公式中各项字母的含义．
(教材P78例2变式)如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落
在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
分析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，利用弧长公式即可求得点A所经过的路线长．
方法点拨：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动路径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
1．在半径为6的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是( )
A．π B．2π
C．4π D．6π
2．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的度数是________．
3.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1.则的长是________．
4．如图，一根绳子与半径为30cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°的角．请你测算一下接触部分的长．
参考答案:
要点归纳
知识要点：
典例导学
例1 2π
例2 (4＋)π
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1．B 2.20° 3.π
4．解：连接OC、OD，由题可知OC⊥AC，BD⊥OD.又AC、BD夹角为30°， 所以∠COD＝150°，所以的长＝＝25π(cm)．
第2课时 扇形面积
知识要点 扇形面积
文字叙述
图例
扇形
(1)定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形．如图，阴影部分为扇形，记作扇形OAB.
(2)面积：S扇形＝________(扇形圆心角为n°，半径为r)或S扇形＝________(扇形弧长为l，半径为r).
解题
策略
如果把扇形的弧长看成一个三角形的“底”，把扇形的半径看成“高”，那么扇形的面积公式与三角形的面积公式相似.
2.求阴影面积常用的方法：①公式法(扇形或三角形)；②等积法；③和差法；④割补法.
几种常见
阴影部分
面积的
求法
(AB∥DE）
S阴影＝S扇形AOB－S△AOB S阴影＝S扇形AOB＋S△AOB S阴影＝S扇形DOE
(教材P80例4变式)如图，扇形AOB的圆心角为45°，半径长为，BC⊥OA于点C，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
分析：先求出扇形AOB的面积，再求出△OBC的面积，两者相减即为阴影部分的面积．
方法点拨：关键是从图中看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，OC＝2，求阴影部分图形的面积(结果保留π)．
分析：根据垂径定理可得CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°，然后根据∠CDB＝30°，得出∠COB＝60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可．
方法点拨：不规则图形面积的求法，通过图形转化为规则图形(三角形、直角三角形、扇形、圆、半圆)面积的和、差、倍、分计算．
如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为π－2(结果保留π)．
2．已知扇形的圆心角为40°，这个扇形的弧长是π，那么此扇形的面积是________．
参考答案:
要点归纳
知识要点： lr
典例导学
例1 解：∵∠AOB＝45°，BC⊥OA，∴△OCB为等腰直角三角形，OC＝CB.∵半径长为，∴OC＝BC＝1，∴S△OCB＝×1×1＝，S扇形OAB＝＝，∴S阴影部分＝S扇形OAB－S△OCB＝－.
例2 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°.∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∠OCE＝30°＝∠CDB.在△OCE和△BDE中，∵∠OCE＝∠BDE，CE＝DE，∠OEC＝∠BED，∴△OCE≌△BDE，∴S阴影＝S扇形OCB＝＝π.
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1．π－2 2.4π
2．7 正多边形与圆
知识要点 正多边形与圆
文字叙述
图例
概念
各边________，各角也________的多边形叫做正多边形.
正多边
形与圆
将一个圆n(n≥3)等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的________正多边形；这个圆是这个正多边形的________，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．如图，正六边形ABCDEF是⊙O的________正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的________.
正多边
形的性
质
正多边形都是________图形，一个正n边形共有________条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的________；当边数n为偶数时，正n边形也是________对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的________.
解题
策略
正n边形的各顶点到其中心的距离R和其中心到各边的距离r和边长a之间的关系：如图，在Rt△OAM中，OA2＝OM2＋AM2，即R2＝r2＋()2.
若正六边形的边长为a，则其外接圆半径与内切圆半径的比为（ ）
A．2∶1 B．2∶
C.∶1 D．3∶
分析：如图，∵正六边形的边长为a，∴正六边形的半径为a，则外接圆的半径为a，内切圆的半径是正六边形的中心到各边的距离．在等边△AOB中，OG⊥AB，则AG
＝AO.在Rt△AOG中，可求出OG的长，OA∶OG的值为所求．
方法点拨：常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等于外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，正方形的边长等于其外接圆半径的倍．
(教材P86习题T2变式)已知正六边形ABCDEF的外接圆半径是R，求正六边形的边长a和面积S.
分析：连接OA、OB，过O作OH⊥AB，再由正六边形的性质得AH＝R，据此可求出a及OH，从而可求S.
方法点拨：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
参考答案:
要点归纳
知识要点：相等 相等 内接 外接圆
内接 外接圆 轴对称 n 中心 中心 中心
典例导学
例1 B
例2 解：连接OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝×＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得OH2＝R2－(R)2，∴OH＝R，∴S＝·AB·OH×6＝·R·R·6＝R2.
3．1 投 影
知识要点 投影
(1)投影：光线照射物体，会在平面上留下它的影子，把物体映成它的影子叫作________，照射的光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面．物体在投影下的像简称为物体的________．
(2)投影一般分为________投影与________投影.
平行投影
中心投影
概念
由________光线所形成的投影为平行投影；在平行投影中，如果投射线与投影面互相________，那么这种投影称为正投影.
从________(点光源)发出的光线所形成的投影为中心投影.
识别
两条光线平行
两条光线相交
解题
策略
(1)一般地，太阳光、月光、探照灯的光形成的投影是平行投影，灯光形成的投影为中心投影．
(2)分别从两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两条直线平行，则为平行投影；若两条直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置.
(3)在正投影下，图形的投影规律如下：
线段的正投影
平面图形的正投影
几何体的正投影
规
律
AB平行于投影面：AB________A′B′；AB倾斜于投影面：AB________A′B′；AB垂直于投影面：A′与B′________.
平行：正投影与原物体形状和大小________；倾斜：正投影比原物体形状和大小________；垂直：平面图形的正投影是________.
一个几何体在一个平面上的正投影是一个________.
图
示
小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是( )
分析：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析，矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合．
方法点拨：太阳光线照射物体的角度不同，物体的平行投影也就不同，要从多角度去思考．
(教材P99习题T3变式)如图所示，分别是两棵树及其影子的情形：
(1)哪个图反映了在阳光下的情形？哪个图反映了在路灯下的情形；
(2)请画出图中表示小丽影长的线段；
(3)阳光下小丽影长为1.20m，树的影长为2.40m，小丽身高1.88m，求树高．
分析：(1)利用太阳光线是平行光线与路灯的光线是从一个点发出进而得出答案；(2)结合光线的照射不同得出小丽影长的线段；(3)利用同一时刻太阳照射影长与实际长度比值相等进而得出答案．
方法点拨：太阳光下的投影是平行投影，平行投影有时会改变图形的形状与大小，所得到的投影图形与原图形成相似图形．在同一时刻下，物体的影长与实际长度的比值相等，而中心投影物体的影长与离点光源的远近有关，离点光源近的影长短，离点光源远的影长长．
1．观察如图所示的物体，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是下列选项中的( )
2．同学们在多媒体教室上课，投影仪前的屏幕上的投影是________投影．
参考答案:
要点归纳
知识要点：投影 投影 平行 中心 平行 垂直 一点 ＝ > 重合 相等 缩小 一条线段 平面
典例导学
例1 A
例2 解：(1)如图所示：图甲反映了阳光下的情形，图乙反映了路灯下的情形；
(2)如图所示：AB，CD是表示小丽影长的线段；
(3)∵阳光下小丽影长为1.20m，树的影长为2.40m，小丽身高1.88m，设树高为xm，∴＝，解得x＝3.76.
答：树的高度为3.76m.
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1．C 2.中心
3．2 直棱柱、圆锥的侧面展开图
知识要点 直棱柱、圆锥的侧面展开图
知识
内容
图例
直棱柱
特征：①有两个面互相________，称它们为底面；②其余各个面均为________，称它们为侧面；③侧棱________于底面.
直棱柱
的侧面
展开图
直棱柱的侧面展开图是一个________形，这个矩形的长是直棱柱的____________，宽是直棱柱的________.
圆锥
在几何中，我们把如右图的立体图形称为圆锥，圆锥是由一个________和一个________围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的________，圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫做圆锥的母线，母线的长度均________．如图，PO是圆锥的高，PA是母线.
圆锥的侧
面展开图
圆锥的侧面展开图是一个________形，这个扇形的半径是圆锥的________，弧长是圆锥底面圆的________．底面半径为r，母线为l的圆锥的侧面积、表面积：S侧＝________，S表＝S侧＋S底＝____________.
如图是一个食品包装盒的侧面展开图．
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称________；
(2)根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．
分析：(1)根据图示可知由三个长方形和二个三角形组成；(2)这个多面体的侧面积是三个长方形的面积和．
方法点拨：三棱柱的展开图包括侧面图和底面图，侧面图是矩形，底面图是三角形．
(教材P104习题T4变式)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h.
分析：根据题意，运用弧长公式求出AB的长度，即可解决问题．
方法点拨：根据对应图形的半径或弧长及所构成的直角三角形充分依据图形中的数据，合理采用公式进行计算．
1．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2 B．540πcm2
C．135πcm2 D．216πcm2
2．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
3．某长方体包装盒的展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，高2cm，求这个包装盒的体积．
参考答案:
要点归纳
知识要点：平行 矩形 垂直 矩 底面周长 侧棱长 底面 侧面 高 相等 扇 母线长 周长 πrl πrl＋πr2
典例导学
例1 解：(1)三棱柱；
(2)∵AB＝＝5，AD＝3，BE＝4，DF＝6，∴侧面积为3×6＋5×6＋4×6＝18＋30＋24＝72.
例2 解：如图，由题意得2πr＝，而r＝2cm，∴AB＝6cm，∴由勾股定理得AO2＝AB2－OB2，而AB＝6cm，OB＝2cm，∴AO＝4cm，即该圆锥的高为4cm.
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1．A 2.A
3．解：宽：(14－2×2)÷2＝5(cm)，长：5＋4＝9(cm)，体积为9×5×2＝90(cm3)．
答：这个包装盒的体积是90cm
3．3 三视图
第1课时 画几何体的三视图
知识要点 画几何体的三视图
知识
内容
图例
三视
图
我们把________、________、________统称为“三视图”．
(1)从前往后看，立于几何体的后面的竖直平面上的正投影叫作__________；
(2)从左往右看，立于几何体的右边的竖直平面上的正投影叫作__________；
(3)从上往下看，置于几何体的下方的水平面上的正投影叫作__________.
三视
图的
画法
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“________对正”；
(3)在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“________平齐”，与俯视图“________相等”.
易错
提示
画三视图要注意：视线与投影面________；用________线表示看得见的部分，________线表示看不见的部分.
在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是( )
分析：分别确定出所给物体的左视图与主视图，再找出符合条件的结果即可．
方法点拨：对一些特殊几何体的三视图要熟记，在确定三视图时，要注意主视方向对三视图的影响．
(教材P111习题T1变式)作出下面物体的三视图．
分析：此物体下面是一个六棱柱，上面是一个圆柱体．
方法点拨：三视图中，主视图与俯视图等长，主视图与左视图等高，俯视图与左视图等宽．
1．将两个大小完全相同的杯子(如图甲)叠放在一起(如图乙)，则图乙中实物的俯视图是( )
参考答案:
要点归纳
知识要点：主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 长 高 宽 垂直 实 虚
典例导学
例1 B
例2 解：如图：
当堂检测
1．C
第2课时 由三视图还原几何体
知识要点 由三视图还原几何体
知识
内容
由三视
图还原
几何体
由三视图还原几何体的方法：由三视图想象立体图形，要先根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的________、________和________，然后再综合起来考虑整体图形.
解题
策略
①根据三视图确定小正方体的个数问题：先由俯视图确定物体在平面上的形状，再根据主视图和左视图确定各行各列的高度．较方便的做法是在俯视图的相应位置标出小正方形的个数，如：图中表示几何体共由4个小正方体组成，当只给出两种视图时，往往个数不确定.
②由三视图确定几何体的形状，求几何体的侧面积或体积：先借助三视图确定几何体的形状，再明确相应的线段长，最后根据数据运用相应公式进行计算.
(教材P109例4变式)一物体的三视图如图所示，画出该物体形状．
分析：根据此几何体的俯视图是圆环，主视图和左视图均是等腰梯形可知该几何体为实心圆台，然后作出图形即可．
方法点拨：由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，在复原图形时要仔细分析．
一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图所示，要摆成这样的图形，最少需用________个小正方体．
分析：根据主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，结合本题进行分析即可．根据三视图可得第二层有2个小正方体，根据主视图和左视图可得第一层最少有5个小正方体．
方法点拨：由三视图判断几何体由多少个立方体组成时，先由俯视图判断底面的行列组成；再从主视图判断每列的高度(有几个立方体)，并在俯视图中按照左、中、右的顺序用数字标出来；然后由左视图判断行的高度，在俯视图中按照上、中、下的顺序用数字标出来；最后把俯视图中的数字加起来．
如图是某工件的三视图，其中圆的半径是10cm，等腰三角形的高是30cm，则此工件的体积是( )
A．1500πcm3 B．500πcm3
C．1000πcm3 D．2000πcm3
分析：由三视图可知该几何体是圆锥，底面半径和高已知．
方法点拨：依据三视图“长对正，高平齐，宽相等”的原则，正确识别几何体，再进行有关计算．
参考答案:
要点归纳
知识要点：前面 上面 左侧面
典例导学
例1 解：如图所示．
例2 7
例3 C
4．1 随机事件与可能性
知识要点 随机事件与可能性
内容
确定事件
在一定条件下，必然发生的事件称为____________；一定不发生的事件称为______________．必然事件与不可能事件统称为______________.
随机事件
在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随“机遇”而定，带有偶然性，这类现象称为__________．在随机现象中，如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么称这件事情是__________.
易错提示
在叙述必然事件、不可能事件、随机事件中不能忘掉“________”的条件.
(教材P122习题T1变式)下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边落山；
(2)某人的体温是100℃；
(3)a2＋b2＝－1(其中a、b都是实数)；
(4)水往低处流；
(5)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
方法点拨：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
(教材P122练习T1变式)如图，质地均匀的转盘被分成三个区域，自由转动转盘，当转盘停下时：
(1)指针指向的区域有几种可能？
(2)指针指向哪个区域的可能性最大？指向哪个区域的可能性最小？
分析：因为转盘均匀，自由转动转盘，指针指的区域是随机的，应有三种可能．由于扇形的圆心角大小不同，指针指向圆心角最大的扇形的可能性最大．
方法点拨：理解不同“事件”的概念是判断和识别的前提，随机事件发生的可能性有大有小．
1．下列事件为必然事件的是( )
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．明天一定会下雨
C．抛出的篮球会下落
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
2．一只不透明的袋子中装有3个白球，4个黄球，6个红球，每个球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，下列说法正确的是( )
A．摸到红球的可能性最大
B．摸到黄球的可能性最大
C．摸到白球的可能性最大
D．摸到三种颜色的球的可能性一样大
参考答案:
要点归纳
知识要点：必然事件 不可能事件 确定性事件 随机现象 随机事件 在一定条件下
典例导学
例1 解：(1)必然事件；(2)不可能事件；
(3)不可能事件；(4)必然事件；
(5)随机事件．
例2 解：(1)转盘指向的区域有3种可能；
(2)由扇形中圆心角的大小可知指向黄色区域的可能性最大，指向黑色区域的可能性最小．
当堂检测
1．C 2.A
4．2 概率及其计算
4．2.1 概率的概念
知识要点 概率的概念
知识
内容
概率的
定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的________，记为________.
概率的公
式及计算
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，其中每一种结果发生的可能性相等，那么出现每一种结果的概率都是________．如果事件A包含其中的m种可能的结果，那么事件A发生的概率P(A)＝________．特别地，当A为必然事件时，P(A)＝________；当A为不可能事件时，P(A)＝________.
解题策略
1.概率的范围：________≤P(A)≤________；
2．面积法求概率：如果所有可能发生的区域面积为S，所求的事件A发生的区域面积为S′，那么P(A)＝________.
小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是( )
A. B. C. D.
分析：∵20道题中有5道数学题，∴从中随机抽取1道具为数学题的概率为数学题与总题数的比值．
方法点拨：等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝，其中n是总的结果数，m是该事件成立包含的结果数．
小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 .
分析：由几何概率的公式P＝即可求出．
方法点拨：本题考查的是几何概率的求法．几何概率＝.
1．某同学遇到一道不会做的选择题，在四个选项中有且只有一个是正确的，则他选对的概率是________．
2．如图，正六边形卡片被分成六个全等的正三角形，若向该六边形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为________．
3．五张分别写有－1，2，0，－4，5的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是________．
4．小李手里有红桃1、2、3、4、5、6，从中任取一张牌，观察其牌上的数字，求下列事件的概率．
(1)牌上的数字为3；
(2)牌上的数字为奇数；
(3)牌上的数字大于3且小于6.
参考答案:
要点归纳
知识要点：概率 P(A) 1 0 0 1
典例导学
例1 C
例2
当堂检测
1. 2. 3.
4．解：任取一张牌，其出现数字可能为1、2、3、4、5、6共6种，这些数字出现的可能性相同．
(1)P(点数为3)＝；
(2)牌上数字为奇数的有1，3，5三种，∴P(点数为奇数)＝＝；
(3)牌上的数字为大于3且小于6的有4，5两种，∴P(点数大于3且小于6)＝＝.
4．2.2 用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率
知识要点 用列表法求概率
知识
内容
用列表法
求概率
当某次事件要涉及________个因素，并且可能出现的结果数目较________，为了不重不漏地列举所有可能的结果，通常采用列表法．先列举出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数，利用____________即可求出该次事件的概率.
解题策略
适用列表法求概率的特点：①一次实验中，可能出现的结果是有限多个；②一次实验涉及两个因素，且各种结果发生的可能性相等.
(教材P133习题T6变式)一个不透明的袋子中有3个分别标有数字3，1，－2的球，这些球除所标的数字不同外其他都相同．若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之和为负数的概率是 .
分析：列表如下：
3
1
－2
3
——
4
1
1
4
——
－1
－2
1
－1
——
所有等可能的情况有6种，然后求出两数的和，看和是负数的情况有几种，最后求比值即得到结果．
方法点拨：当事件中存在两个因素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是( )
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95
分析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表表示所有可能的结果如下：
灯泡1发光
灯泡1不发光
灯泡2发光
(发光，发光)
(不发光，发光)
灯泡2不发光
(发光，不发光)
(不发光，不发光)
根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，∴P(至少有一个灯泡发光)＝.故选择C.
方法点拨：求事件A的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A包含的可能结果，再根据概率公式计算．
(教材P129动脑筋变式)小明和小慧玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的四张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的三张牌中也抽出一张．
小慧说：若抽出的两张牌的数字之和是偶数，你获胜；否则，我获胜．
(1)请用列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
(2)若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
分析：因为题目中的操作属于二次操作，且属于无放回抽取的情况，所以可以用列表法解决．
方法点拨：用列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．最后还要用到：概率＝所求情况数与总情况数之比．
1．有三辆车按1，2，3编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车，则两人同坐3号车的概率为________．
2．纸箱里有两双拖鞋，除颜色不同外，其他都相同，从中随机取一只(不放回)，再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为________．
3．两个正四面体骰子各面上分别标有数字1、2、3、4，若同时掷这两个正四面体骰子，则着地面的点数之和为5的概率为A
A. B. C. D.
4．一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球的号码之积为偶数的概率．
参考答案:
要点归纳
知识要点：两 多 概率公式
典例导学
例1
例2 C
例3 解：(1)列表为：
3
6
10
12
3
9
13
15
6
9
16
18
10
13
16
22
12
15
18
22
共有12种等可能结果．
(2)游戏公平．∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果，∴ 小明获胜的概率P＝＝ ，小慧获胜的概率也为，∴ 游戏公平．
当堂检测
1. 2. 3.A
4．解：列表如下：
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(1，2)
(2，2)
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(1，2)，(2，2)，∴P＝.
第2课时 用画树状图法求概率
知识要点 用画树状图法求概率
内容
运用策略
用树状
图求概率
当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便了，为了不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，通常采用树状图求概率.
画树状图求概率是一种比较简洁的方法，它适用的范围是：(1)实验涉及三个或三个以上因素；(2)事件可能出现的结果数目较多.
袋子里有4个球，标有数字2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D
分析：画树状图如下：
数出总情况数m和大于6的情况数n，则P＝.
方法点拨：树状图法适合三步或三步以上完成的事件，画树状图求概率时，先用树状图列出所有等可能出现的结果，然后分析所关注的结果，注意不要重复和遗漏．
一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
分析：用画树状图的方法列举出所有可能的结果．
方法点拨：在一个实验中只有两步时通常用列表法求概率．如实验在三步或三步以上通常用画树状图法求概率．
如图，有5张背面相同的纸牌A，B，C，D，E，其正面分别画有五个不同的几何图形，将这5张纸牌背面朝上洗匀后，小明随机摸出一张，记下图形后放回洗匀，小亮随机再摸出一张．
(1)用画树状图法求解表示两次摸牌的所有可能结果(纸牌用A，B，C，D，E表示)；
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：若摸出两张牌正面图形都是轴对称图形小明赢，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形小亮赢，这个游戏公平吗？请说明理由．
分析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
(2)首先根据(1)求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有16种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
方法点拨：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
1．从甲、乙两名男生和A、B两名女生中随机选出一名男生和一名女生，则恰好选中甲男生和A女生的概率是( )
A. B. C. D.
2．某人有红、白、蓝三条长裤和红、白、蓝三件衬衣，他从中任意拿一条长裤和一件衬衣，恰好颜色配套的概率是( )
A. B. C. D.
3．张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同，张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，但实际上这样的机会是________．
4．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率．
参考答案:
要点归纳
知识要点：三
典例导学
例1 C
例2 解：画树状图如下：
由以上树状图，可知共有8种等可能情况，其中“一男，二女”的情况有3种，∴P(一男，二女)＝.
例3 解：(1)画树状图：
共有25种等可能的结果；
(2)这个游戏公平．∵摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有16种情况，∴P(小明赢)＝P(小亮赢)＝，∴这个游戏公平．
当堂检测
1．D 2.C 3.
4．解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次都摸到白球有2种情况．∴两次都摸到白球的概率是＝.
4．3 用频率估计概率
知识要点 用频率估计概率
内容
运用策略
用频率
估计概率
1.对于一般的随机事件，在大量重复试验时，随着试验次数的增加，一件事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，我们就可以用这个数去估计此事件的概率；
2．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率：P(A)＝________ .
①用频率估计概率时，实验一定要在相同的条件下进行，实验次数越多，得到的频率值就越接近概率；
②事件A的概率是根据大量重复试验中事件A发生的频率的值确定的，有限的几次试验得到的频率值不太可能是概率，故可以用大量重复试验的频率去估计概率.
一副扑克牌去掉“大王”“小王”后，只剩下52张牌，从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现黑桃花色的频率将稳定在_______左右．
分析：利用概率公式，先求出一副牌中抽到黑桃的概率，随着次数的增加，频率会稳定在其概率左右．
方法点拨：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
小军家的玩具店进了一箱除颜色外都相同的塑料球共1000个，小军将箱中的球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色，放回箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下颜色，放回箱中；……多次重复上述试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是200个．
分析：设红球的个数为x，根据题意得＝0.2，解出x即得到答案．
方法点拨：本题利用了用大量重复性试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
1．杨彩霞参加射击训练，共射击100次，其中有38次击中靶子，由此估计，杨彩霞射击一次击中的概率是A
A. B. C. D．无法确定
2．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有______个．
3．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有________个．
4．六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．
(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；
(2)请你估计袋中白球接近多少个？
参考答案:
要点归纳
知识要点：固定数 p
典例导学
例1
例2 200
当堂检测
A 2.4 3.12
4．解：(1)10000÷40000＝，∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的频率为；
(2)∵试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为.设袋中白球有x个，根据题意得＝，解得x＝18，经检验x＝18是方程的解．∴估计袋中白球接近18个.
