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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（答案）
考纲剖析
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
知识回顾
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．www.21-cn-jy.com
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．【版权所有：21教育】
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
精讲方法
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；
2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
（二）分步乘法计数原理的应用
1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。21世纪教育网版权所有
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取
（三）两个计数原理的综合应用
注：（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。
（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。
小结
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
例题精讲
考点一 分类加法计数原理
【例题1】（河南平顶山2016-2017期末）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
【答案】D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51 C31 C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52 C61 C21=120种选法．故共有345种选法． 故选D
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【变式训练1】1.（2015-2016湖北孝感五校教学联盟期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ ）
A. 24 B. 14 C. 10 D. 9
【答案】B
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可得：李芳不同的选择方式=4×3+2=14．
故选B．
【分析】利用两个计数原理即可得出．21·世纪*教育网
考点二 分步乘法计数原理
【例题2】（陕西咸阳2016-2017期末）“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1 ， m2 ， …，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，要解决上述问题，应用的原理是（ ）
A. 加法原理 B. 减法原理 C. 乘法原理 D. 除法原理
【变式训练2】（河北保定定州中学承智班2016-2017期末）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种
【答案】C
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：一男两女，有C51C42=5×6=30种，
两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种
故答案为：C
【分析】由分步计数原理两种情况加起来即得结果。
考点三 两个计数原理的综合应用
【例题3】（2017山东淄博一模）工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有________种．
【答案】2880
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：第一阶段：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有 种方法；再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的，有 种方法；然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的，有 种方法． 第二阶段：先随意拧一个螺丝，有 种方法，完成上述过程分步进行；再随意拧不相邻的，若拧的是对角线上的，有 种方法；若拧的是不相邻斜对角线上的，则还有6种拧法，完成上述过程分类进行，所以总共的固定方式有： ×（4+6）=2880．
故答案为2880．
【分析】分两个阶段，利用组合知识求解即可．
【变式训练3】（2017河北衡水武邑中学四模）设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有________个．
【答案】27
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形， 先考虑等边三角形情况
则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个
再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b
当a=b=1时，c＜a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；
当a=b=2时，c＜4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n有2个；
当a=b=3时，c＜6，则c=1，2，4，5，此时n有4个；
当a=b=4时，c＜8，则c=1，2，3，5，6，有5个；
当a=b=5时，c＜10，有c=1，2，3，4，6，有5个；
当a=b=6时，c＜12，有c=1，2，3，4，5，有5个；
由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27个，
故答案为27．
【分析】先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，列举出所有的情况，注意去掉不能构成三角形的结果，求和得到结果．
真题精析
一、单选题
1.（2017 新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
【答案】C
【考点】分类加法计数原理，二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）（1+x）6展开式中：
若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：
若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：
由（1+x）6通项公式可得 ．
可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ．
可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．
（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．
故选C．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
2.（2016 全国）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
【答案】B
【考点】分步乘法计数原理，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】 有 种走法， 有 种走法，由乘法原理知，共 种走法
故选B
【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．
3.（2014 重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A. 72 B. 120 C. 144 D. 168
【答案】B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：分2步进行分析：
先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，
排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；
则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，
故选：B．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
4.（2014 辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A. 144 B. 120 C. 72 D. 24
【答案】D
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法．根据分步计数原理可得结论．21教育网
二、填空题
5.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．（用数字作答）
【答案】480
【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有 中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有 种方法，
所以共有： =480．
故答案为：480．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
6.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
【答案】1080
【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，
有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53 C41=40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，
则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；
故答案为：1080．
【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
7.（2017 浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可2-1-c-n-j-y
三、综合题
8.（2013 江苏）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， ，…，即当 ＜n≤ （k∈N*）时， ．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N ）．对于l∈N ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N ， 且1≤n≤l}
（1）求P11中元素个数；
（2）求集合P2000中元素个数．
【答案】（1）解：由数列{an}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，
a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，
所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，
S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，
从而S1=a1 ， S4=0 a4 ， S5=a5 ， S6=2a6 ， S11=﹣a11 ，
所以集合P11中元素的个数为5；
（2）解：先证：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．
事实上，①当i=1时，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；
②假设i=m时成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，
S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3
=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．
综合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2
=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．
由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍数，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），
所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．
又S（i+1）（2i+1）=（i+1） （2i+1）不是2i+2的倍数，
而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），
所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）+j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）
不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，
故当l=i（2i+1）时，集合Pl中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2 ，
于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合Pl中元素的个数为i2+j．
又2000=31×（2×31+1）+47，
故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．
【考点】数列与函数的综合，计数原理的应用，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）由数列{an}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合Pl ， 即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．
9.（2013 安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
【答案】（1）解：因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以 与 相互独立，由于P（A）=P（B）= = ，故P（ ）=P（ ）=1﹣ ，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣ ）2=
（2）解：当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（ ）2 ， 当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为
P（X=m）= =
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1） （m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m） m≤2k﹣
假如k≤2k﹣ ＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，
k≤2k﹣ ＜2k+1﹣ ＜t，故P（X=M）在m=2k﹣ 和m=2k+1﹣ 处达到最大值；
当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[ ]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），
下面证明k≤2k﹣ ＜t
因为1≤k＜n，所以2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0
而2k﹣ ﹣n= ＜0，故2k﹣ ＜n，显然2k﹣ ＜2k
因此k≤2k﹣ ＜t
综上得，符合条件的m=2k﹣[ ] 21cnjy.com
【考点】古典概型及其概率计算公式，概率的应用，计数原理的应用
【解析】【分析】（1）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（2）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．
模拟题精练
一、单选题
1.（2015-2016河北沧州黄骅中学期中）已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且 ，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A. 6个 B. 10个 C. 12个 D. 16个
【答案】C
【考点】向量的共线定理，分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由 ，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；
点A（1，f（1））、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况．
f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．
f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．
f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．
因而满足条件的函数f（x）有12种．
故选C
【分析】本题从 ，说明△ABC是等腰三角形，f（1）=f（3）；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用．
2.（北京昌平临川育人学校2016-2017期末）嘿哥有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有( )
A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
【答案】C
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由乘法原理可得：不同的发送方法有 种.
故答案为：C.
【分析】根据题意利用分步计数原理求出结果。
3.（2015-2016福建漳州龙海程溪中学期中）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种
【答案】A
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，
两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种
间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，
都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．
故选A
【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
4.（2017广西白色模拟）表示一个两位数，十位数和个位数分别用a，b表示，记f（ ）=a+b+3ab，如f（ ）=1+2+3×1×2=9，则满足f（ ）= 的两位数的个数为（ ）
A. 15 B. 13 C. 9 D. 7
【答案】C
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意，a+b+3ab=10a+b，解得b=3， a取1到9，共9个，
故选：C
【分析】由题意，a+b+3ab=10a+b，求出b的值，再判断a即可得到答案
5.（2017黑龙江鸡西虎林模拟）某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ）
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42www-2-1-cnjy-com
【答案】C
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有C42=6种方法， 再把这3部分人分到3个不同的部门，有A33=6种方法，
根据分步计数原理，不同分法的种数为6×6=36，
故选：C．
【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这3部分人分到3个不同的部门，根据据分步计数原理可得．21·cn·jy·com
6.（2017黑龙江大庆一中冲刺卷）将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（ ）
A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 20种21*cnjy*co
【答案】C
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法， 再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个学校，有A33=6种情况，
②没有人与甲在同一个学校，则有C32 A22=6种情况；
则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有2×（6+6）=24种；
故选：C．
【分析】根据题意中甲要求不到A学校，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．
7.（2017湖南衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
【答案】A
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3． 若是1，1，3，则有C53×A33=60种，
若是1，2，2，则有 ×A33=90种
所以共有150种不同的方法．
故选：A．
【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．
8.（2017高考押题预测卷）设有序集合对 满足： ， .记 ， 分别表示集合 ， 中元素的个数，则符合条件 ， 的集合的对数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】计数原理的应用，排列与组合的综合
【解析】【解答】由条件 ，知 ， 当 时，显然不成立；当 时，则 ,所以 ，符合条件的集合对有1对；当 时，则 ，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有 对；当 时，则 ,所以A中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有 对；当 ,时，则 ，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是 对，选D.
【分析】本题主要考查两个计数原理、排列组合的灵活应用，意在考查分类讨论的数学思想方法，综合分析问题的能力.
9.（2017黑龙江双鸭山宝清一模）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（ ）
A. 96种 B. 124种 C. 130种 D. 150种
【答案】D
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：∵五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，
一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2
当按照1、1、3来分时共有C53A33=60，
当按照1、2、2来分时共有 A33═90，
根据分类计数原理知共有60+90=150，
故选D．
【分析】由题意知五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有C53A33 ， 当按照1、2、2来分时注意其中包含一个平均分组的问题，不要出错．
10.（江西赣州2016-2017期末）将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）
A. 24种 B. 28种 C. 32种 D. 16种
【答案】D
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法， 第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，
根据分类计数原理，共有4+12=16种，
故选：D．
【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得
11.（湖南益阳桃江2016-2017期末）有4名师范毕业生全部分配到3所中学任教，每校至少有1名，则不同的分配方案有（ ）
A. 18种 B. 36种 C. 54种 D. 72种
【答案】B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意知将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师， 分配的只有一种结果1，1，2，
首先从4个人中选2个作为一个元素，
使它与其他两个元素在一起进行排列，
共有C42A33=36种结果，
故选B．
【分析】由题意知将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，得到结果．
12.（广西钦州钦州港区2016-2017期末）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
【答案】B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， ∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，
∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，
根据分步计数原理知共有6×4=24种结果
故选B．
【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．21*cnjy*com
13.（江西南昌一中、十中、南铁一中2016-2017期末）定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a，b，c，d，e中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（ ）
A. 704 B. 864 C. 1004 D. 1014
【答案】A
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意，写信的情况共有45=1024种，
不妨设a，b，c之间出现“三角恋写法”，则共有2种情况，故出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为4×4× =320种，
所以不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为1024﹣320=704，
故答案为：A．
【分析】先计算写信情况的种数，再计算出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数，进而可得不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数．【来源：21cnj*y.co*m】
14.（山西运城康杰中学2016-2017期末）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种．
A. 21 B. 315 C. 143 D. 153
【答案】C
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，有9×7=63种取法，②一本语文、一本英语，有9×5=45种取法，③一本数学、一本英语，有7×5=35种取法， 则不同的选法有63+45+35=143种；
故选：C．
【分析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，②一本语文、一本英语，③一本数学、一本英语，分别计算各种情况下对的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．2·1·c·n·j·y
二、填空题
15.（2017河北邯郸二十八中模拟）一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有________对． 21世纪教育网版权所有
【答案】48
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，由题意，AB与AE，BE，BC，AC，CF，CD，ED，EF所成角为60°，共8对， 每条棱有八对，12条棱共有：12乘以8再除以2=48对，
故答案为：48．
【分析】作出图形，即可得出结论．【出处：21教育名师】
三、综合题
16.（2015-2016江西抚州崇仁二中期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（1）解: 由题意知本题是一个分类计数问题，
将取出4个球分成三类情况
取4个红球，没有白球，有C44种
取3个红球1个白球，有C43C61种；
取2个红球2个白球，有C42C62 ，
∴C44+C43C61+C42C62=115种
（2）解: 设取x个红球，y个白球，则
∴
∴符合题意的取法种数有C42C63+C43C62+C44C61=186种 21教育名师原创作品
【考点】分类加法计数原理
【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个分类计数问题，取4个红球，没有白球，有C44种，取3个红球1个白球，有C43C61种；取2个红球2个白球，有C42C62 ， 根据加法原理得到结果．（2）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考纲剖析
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
知识回顾
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝ 种不同的方法．2-1-c-n-j-y
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝ 种不同的方法．【出处：21教育名师】
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．21教育名师原创作品
精讲方法
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；
2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
（二）分步乘法计数原理的应用
1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。21世纪教育网版权所有
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取
（三）两个计数原理的综合应用
注：（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。
（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。
小结
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
2．(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
例题精讲
考点一 分类加法计数原理
【例题1】（河南平顶山2016-2017期末）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
【答案】D
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51 C31 C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52 C61 C21=120种选法．故共有345种选法． 故选D
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【变式训练1】（2015-2016湖北孝感五校教学联盟期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ ） www-2-1-cnjy-com
A. 24 B. 14 C. 10 D. 9
考点二 分步乘法计数原理
【例题2】（陕西咸阳2016-2017期末）“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1 ， m2 ， …，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，要解决上述问题，应用的原理是（ ）
A. 加法原理 B. 减法原理 C. 乘法原理 D. 除法原理
【答案】C
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：∵“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1 ， m2 ， …，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”， ∴分步应该用乘法原理，
故选：C
【分析】根据分步乘法原理得定义即可得到答案
【变式训练2】（河北保定定州中学承智班2016-2017期末）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种
考点三 两个计数原理的综合应用
【例题3】（2017山东淄博一模）工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有________种．
【答案】2880
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】解：第一阶段：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有 种方法；再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的，有 种方法；然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的，有 种方法． 第二阶段：先随意拧一个螺丝，有 种方法，完成上述过程分步进行；再随意拧不相邻的，若拧的是对角线上的，有 种方法；若拧的是不相邻斜对角线上的，则还有6种拧法，完成上述过程分类进行，所以总共的固定方式有： ×（4+6）=2880．
故答案为2880．
【分析】分两个阶段，利用组合知识求解即可．
【变式训练3】（2017河北衡水武邑中学四模）设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有________个．
真题精析
一、单选题
1.（2017 新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
2.（2016 全国）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
3.（2014 重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A. 72 B. 120 C. 144 D. 168
4.（2014 辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A. 144 B. 120 C. 72 D. 24
二、填空题
5.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．（用数字作答）
6.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
7.（2017 浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
三、综合题
8.（2013 江苏）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， ，…，即当 ＜n≤ （k∈N*）时， ．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N ）．对于l∈N ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N ， 且1≤n≤l} 21cnjy.com
（1）求P11中元素个数；
（2）求集合P2000中元素个数．
9.（2013 安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X． 【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
模拟题精练
一、单选题
1.（2015-2016河北沧州黄骅中学期中）已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且 ，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A. 6个 B. 10个 C. 12个 D. 16个
2.（北京昌平临川育人学校2016-2017期末）嘿哥有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有( ) 21教育网
A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
3.（2015-2016福建漳州龙海程溪中学期中）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种
4.（2017广西白色模拟）表示一个两位数，十位数和个位数分别用a，b表示，记f（ ）=a+b+3ab，如f（ ）=1+2+3×1×2=9，则满足f（ ）= 的两位数的个数为（ ）
A. 15 B. 13 C. 9 D. 7
5.（2017黑龙江鸡西虎林模拟）某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ）
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
6.（2017黑龙江大庆一中冲刺卷）将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（ ）
A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 20种
7.（2017湖南衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） 21·cn·jy·com
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
8.（2017高考押题预测卷）设有序集合对 满足： ， .记 ， 分别表示集合 ， 中元素的个数，则符合条件 ， 的集合的对数是（ ） 2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
9.（2017黑龙江双鸭山宝清一模）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（ ）
A. 96种 B. 124种 C. 130种 D. 150种
10.（江西赣州2016-2017期末）将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ） 21*cnjy*com
A. 24种 B. 28种 C. 32种 D. 16种
11.（湖南益阳桃江2016-2017期末）有4名师范毕业生全部分配到3所中学任教，每校至少有1名，则不同的分配方案有（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A. 18种 B. 36种 C. 54种 D. 72种
12.（广西钦州钦州港区2016-2017期末）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ） 【版权所有：21教育】
A. 12种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
13.（江西南昌一中、十中、南铁一中2016-2017期末）定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a，b，c，d，e中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（ ） 21*cnjy*com
A. 704 B. 864 C. 1004 D. 1014
14.（山西运城康杰中学2016-2017期末）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种．
A. 21 B. 315 C. 143 D. 153
二、填空题
15.（2017河北邯郸二十八中模拟）一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有________对． www.21-cn-jy.com
三、综合题
16.（2015-2016江西抚州崇仁二中期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 21·世纪*教育网
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