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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
10.2 排列与组合
考纲剖析
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能解决简单的实际问题.
知识回顾
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照 排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．【版权所有：21教育】
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．21cnjy.com
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝ ＝(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质 (1)0！＝ ；A＝ .(2)C＝C；C＝ .
．
精讲方法
一、排列与组合
（一）排列数、组合数计算
1．排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；www.21-cn-jy.com
2．组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由写出。【出处：21教育名师】
注：在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。21*cnjy*com
（二）排列应用题
求排列应用题的主要方法有：
（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；
（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；
（4）相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
（5）不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
（6）分排问题直排处理的方法；
（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；
（8）定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；
（9）正难则反，等价转化的方法。
（三）组合应用题
组合问题常有以下两类题型变化：
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。
（四）排列、组合应用题
注：解排列组合的应用题要注意以下几点：
（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；
（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；
（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；21教育名师原创作品
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。
（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。
小结
1．熟练掌握：(1)排列数公式A＝；(2)组合数公式C＝，这是正确计算的关键．
2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
例题精讲
考点一 排列应用题
【例题1】设三位数n=100a+10b+c，若以a，b，c∈{1，2，3，4}为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 28种 D. 36种
【答案】C
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：先考虑等边三角形情况，共有a=b=c=1，2，3，4，此时n有4个， 再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，即a=b，
当a=b=1时，c＜a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；
当a=b=2时，c＜4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已有），此时n有2个；
当a=b=3时，c＜6，则c=1，2，4，此时n有3个；
当a=b=4时，c＜8，则c=1，2，3，有3个；
故n有2+3+3=8个同理，a=c时，b=c时也都有8个
∴n共有4+3×8=28个．
故选：C．
【分析】先考虑等边三角形情况，再考虑等腰三角形情况，列举可得．
【变式训练1】将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A. B. C. D.
考点二 组合应用题
【例题2】 .组合式 ﹣2 +4 ﹣8 +…+（﹣2）n 的值等于（ ）
A. （﹣1）n B. 1 C. 3n D. 3n﹣1
【答案】A
【考点】组合及组合数公式，二项式系数的性质
【解析】【解答】解： ﹣2Cn1+4Cn2﹣8Cn3+…+（﹣2）n = +Cn1 （﹣2）+Cn2 （﹣2）2+8Cn3 （﹣2）3+…+ （﹣2）n=（1﹣2）n
=（﹣1）n ．
故选：A．
【分析】根据二项式定理展开式的特征，逆用二项式定理，把多项式化为二项式的形式即可．
【变式训练2】=（ ）
A. 2m+n B. C. D. 21教育网
考点三 排列、组合的综合应用
【例题3】上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（ ）种．
A. 24 B. 36 C. 42 D. 60
【答案】D
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、3人选择同一个通道口进站，通道口有3种选择，3个人的前后顺序有A33种情况， 则此时有3×A33=18种进站方式，②、3人选择2个通道口进站，
先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，
在3个通道口中任选2个，有A32=6种情况，考虑2人组的前后顺序，有A22=2种情况，
此时有3×6×2=36种进站方式，③、3人选择3个通道口进站，
将3人全排列，对应3个通道口即可，有A33=6种进站方式，
则这个家庭3个人的不同进站方式有18+36+6=60种；
故选：D．
【分析】根据题意，按3人选择通道口的数目分3种情况讨论，①、3人选择同一个通道口进站，②、3人选择2个通道口进站，③、3人选择3个通道口进站，分别求出每一种情况的进站方式数目，由分类计数原理计算可得答案．www-2-1-cnjy-com
【变式训练3】学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） 21·cn·jy·com
A. 6种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
真题精析
一、单选题
1.(2015·新课标I卷）（x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 6021*cnjy*com
2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A. 60种 B. 70种 C. 75种 D. 150种
3.（2014 广东）设集合A={（x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 130
4.（2016 四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
5.（2017 山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.（2017 新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
7.（2014 四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种
二、填空题
8.（2017 上海）若排列数 =6×5×4，则m=________．
9.（2017 山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
10.(2015·上海）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ________ （结果用数值表示）．
11.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
12.（2014 北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
13.（2017 浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
14.（2014 浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）．
综合题
15.（2016 江苏）
（1）求 的值；
（2）设m ， nN* ， n≥m ， 求证：
.
16.（2017 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
17.（2017·山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
模拟题精练
一、单选题
1.若m，n∈N* ， 且n≥m，则下列说法正确的是（ ）
A. ≥ B. ＞ C. = D. ≠
2.若n∈N*，且n≤19，则（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知An2=132，则n=（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【来源：21cnj*y.co*m】
4.18×17×16×…×9×8等于（）
A. B. C. D.
5.=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6.某校开设A类选修课3门，B类选修课3门，一位同学 从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 18种
7.从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
8.某舞步每一节共九步，且每一步各不相同，其中动作A三步，动作B三步，动作C三步，同一种动作相邻，则这种舞步一节中共有多少种不同的变化（ ）
A. 1296种 B. 216种 C. 864种 D. 1080种
9.已知a、b∈{2，3，4，5，6，7，8，9}，则logab的不同取值个数为（ ）
A. 53 B. 56 C. 55 D. 57
10.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ） 2·1·c·n·j·y
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
11.如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A. B. C. D.
如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有（ ） 21·世纪*教育网
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
13.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ）
A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种
二、填空题
14..航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________． 【来源：21·世纪·教育·网】
15.观察下列各式： C =40；
C +C =41；
C +C +C =42；
C +C +C +C =43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C +C +C +…+C =________． 2-1-c-n-j-y
16.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法种数共有________．（用数字作答）
17.如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和7条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有________种不同的走法．
18.某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂5个不同的车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行时间学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有________种．
19.我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课． 21世纪教育网版权所有
20.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内只有一个盒子空着，共有________种投放方法．
三、综合题
21..综合题。
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）证明： ．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
10.2 排列与组合（答案）
知识回顾
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．21·cn·jy·com
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．【版权所有：21教育】
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质 (1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C＝C＋C.
．
例题精讲
考点一 排列应用题
【变式训练1】将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】等可能事件的概率，排列数公式的推导
【解析】【解答】解：将5本不同的书全发给4名同学共有4×4×4×4×4=45种分法，
其中每名同学至少有一本书的分法有C52A44 ，
故每名同学至少有一本书的概率是P= ，
故选A．
【分析】首先用分步乘法计数原理，分析可得，将5本不同的书全发给4名同学的情况总数，再根据排列组合公式，可得每名同学至少有一本书的分法数，由概率的计算方法可得答案．
考点二 组合应用题
【变式训练2】=（ ）
A. 2m+n B. C. D.
【答案】D
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：∵ = = = = ． ∴原式= = =2m ．
故选：D．
【分析】 = = = = ．，即可得出．
考点三 排列、组合的综合应用
【变式训练3】.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ）
A. 6种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
【答案】C
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共 种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共 种方法，故总的方法种数为 ﹣ =36﹣6=30． 故选：C．
【分析】先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．
真题精析
一、单选题
1.(2015·新课标I卷）（x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 6021世纪教育网版权所有
【答案】C
【考点】排列及排列数公式，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】在（x2+x+y)5的5个因式中，2个取因式中下x2剩余的3个因式中1个取x, 其余因式取y, 故x5y2的系数为C52C31C22=30.
【分析】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式某一项的系数间题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项再利用排列组知识求解.
2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A. 60种 B. 70种 C. 75种 D. 150种
【答案】C
【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选C．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
3.（2014 广东）设集合A={（x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 130
【答案】D
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数： ；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数： ；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数： ．
∴总共方法数是 + + =130．
即元素个数为130．
故选：D．
【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．
4.（2016 四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
【答案】D
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有 =24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．
故选：D．
【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．；本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．
5.（2017 山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A. B. C. D. 2·1·c·n·j·y
【答案】C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有 =36种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20种，
故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，
故选：C．
【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．21教育网
6.（2017 新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） 21*cnjy*com
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
【答案】D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
7.（2014 四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种
【答案】B
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：最左端排甲，共有 =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有 =96种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种．
故选：B．
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．
二、填空题
8.（2017 上海）若排列数 =6×5×4，则m=________．
【答案】3
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：∵排列数 =6×5×4， ∴由排列数公式得 ，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【分析】利用排列数公式直接求解．【出处：21教育名师】
9.（2017 山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
【答案】4
【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr ．
∵含有x2的系数是54，∴r=2．
∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N* ．
解得n=4．
故答案为：4．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．
10.(2015·上海）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ________ （结果用数值表示）．
【答案】120
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意得，去掉选，名女教师情况即可:C95-C65=126-6=120。
【分析】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序呀关，手非列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关.“合”与“不合”的问题:“合”，则先将这些元素取山，再由另冲元素补足;“不合”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.通常甲直接法分汽复杂时， 考虑逆向思维，用间接法处理.2-1-c-n-j-y
11.（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）
【答案】1080
【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，
有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53 C41=40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，
则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；
故答案为：1080．
【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
12.（2014 北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种． 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】36
【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有 种方法，而A、B可交换位置，所以有2 =48种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2 =12种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12=36种．
故答案为：36．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．
13.（2017 浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
14.（2014 浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）．
【答案】60
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有 =24种；
一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有 =36种，
共有24+36=60种．
故答案为：60．
【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．www.21-cn-jy.com
综合题
15.（2016 江苏）
（1）求 的值；
（2）设m ， nN* ， n≥m ， 求证：
.
【答案】（1）解：
（2）解：对任意的 ，
① 当 时，左边 ，右边 ，等式成立，
② 假设 时命题成立，
即 ，
当 时，
左边=
，
右边 ，
而 ，
因此 ，
因此左边=右边，
因此 时命题也成立，
综合①②可得命题对任意 均成立．
另解：因为 ，所以
左边
又由 ，知 ，
所以，左边 右边．
【考点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．（2）对任意m∈N* ， 当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．
16.（2017 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P（M）= = ．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ．
∴X的分布列为【来源：21·世纪·教育·网】
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式 www-2-1-cnjy-com
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；
（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
17.（2017·山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
【答案】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：
（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， B1），（A2 ， B2），
（A2 ， B3），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A3 ， B3），
这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1 ， B2），（A1 ， B3），共2个，
∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ． 21教育名师原创作品
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
模拟题精练
一、单选题
1.若m，n∈N* ， 且n≥m，则下列说法正确的是（ ）
A. ≥ B. ＞ C. = D. ≠
【答案】A
【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式
【解析】【解答】解：∵m，n∈N* ， 且n≥m， ∴当n＞m=1时， = =n，
当n＞m时， ＞ ．
∴ ≥ ．
故选：A．
【分析】m=1时， = =n，当n＞m时， ＞ ．由此得到 ≥ ．
2.若n∈N*，且n≤19，则（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：根据题意，（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）= = ， 故选：C．
【分析】根据题意，由排列数公式分析可得（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）= = ，即可得答案．
3.已知An2=132，则n=（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】B
【考点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：∵ =132，
∴n（n﹣1）=132，
整理，得，
n2﹣n﹣132=0；
解得n=12，或n=﹣11（不合题意，舍去）；
∴n的值为12．
故答案为：B．
【分析】利用排列组合计算公式即可算出。
4.18×17×16×…×9×8等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】排列数公式的推导
【解析】【解答】解：根据排列数的公式，得； 18×17×16×…×9×8=18×17×16×…×9×（18﹣11+1）= ．
故选：D．
【分析】根据排列数 =n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣r+1）的公式，即可得出结论．
5.=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解： =1+3+3+1
=8．
故选：D．
【分析】利用组合数公式求解．
6.某校开设A类选修课3门，B类选修课3门，一位同学 从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 18种
【答案】D
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，有C31 C32=9种选法；
②、若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，有C32 C31=9种选法；
则两类课程中各至少选一门的选法有9+9=18种；
故选：D．
【分析】据题意，分2种情况讨论：①、若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，②、若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，分别求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．
7.从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
【答案】B
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，要求奇数位上必须是奇数的三位数，则这个三位数的百位、个位为奇数， 分2步进行分析：
①、在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，
有C32A22=6种情况，
②、在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，
有C31=3种情况，
则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3=18个；
故选：B．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，②、在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
8.某舞步每一节共九步，且每一步各不相同，其中动作A三步，动作B三步，动作C三步，同一种动作相邻，则这种舞步一节中共有多少种不同的变化（ ）
A. 1296种 B. 216种 C. 864种 D. 1080种
【答案】A
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，动作A三步，有A33种顺序， 动作B三步，有A33种顺序，
动作C三步，有A33种顺序，
ABC三个动作，有A33种顺序，
则这种舞步一节中共有A33×A33×A33×A33=1296种不同的变化，
故选：A．
【分析】根据题意，依次分析计算A、B、C的三个动作的顺序，再将ABC三个动作全排列，由分步计数原理计算可得答案．
9.已知a、b∈{2，3，4，5，6，7，8，9}，则logab的不同取值个数为（ ）
A. 53 B. 56 C. 55 D. 5721cnjy.com
【答案】A
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，a、b∈{2，3，4，5，6，7，8，9}， 则a、b的取法都有8种，即logab的可能情况有8×8=64种，
其中当a=b时，logab=1，有8种情况是重复的，
log24=log39=2，有2种情况是重复的，
log32=log94，有2种情况是重复的，
log42=log93= ，有2种情况是重复的，
log23=log49，有2种情况是重复的，
则logab的不同取值有64﹣7﹣1﹣1﹣1﹣1=53种；
故选：A．
【分析】根据题意，由乘法原理可得a、b的取法都有8种，即logab的可能情况有8×8=64种，由对数的性质分析其中重复的情况，在全部数目中将重复的排除即可得答案．
10.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ）
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
【答案】C
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分3种情况讨论： ①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，
先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，
将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，
当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，
此时有2×2×12=48种不同坐法；
②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，
将父母及小明看成一个整体，
小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，
将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，
此时有2×2×6=24种不同坐法；
③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，
将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，
将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，
此时，共有2×6=12种不同坐法；
则一共有48+24+12=84种不同坐法；
故选：C．
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．21·世纪*教育网
11.如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法， 取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有
C 1 3
种方法，
则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有
C 1 2
种方法，
第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，
∴共有 × =6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，
∴所求的概率为 = ．
故答案选 D．
【分析】从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有84﹣6=78种，从而求得所求事件的概率．21*cnjy*com
12.如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有（ ）
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
【答案】C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：分为以下两类： 第一类，从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路，共有4种方法；
第二类，一个村最多修两条路，但是象下面这样的两个排列对应一种修路方法，A﹣B﹣C﹣D，D﹣C﹣B﹣A，要去掉重复的这样，因此共有有 A44=12种方法．
根据分类计数原理，知道共有4+12=16种，
故选：C．
【分析】由修路的方式可以分为两类：从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条，一个村最多修两条路，利用排列的计算公式即可得出．
13.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ）
A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种
【答案】A
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：由题意，若都选1门，有 =60种； 若有1人选2门，则有 =180种，
若有2人选2门，则有 =90种，
故共有60+180+90=330种，
故选：A．
【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．
二、填空题
14.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．
【答案】32
【考点】排列数公式的推导
【解析】【解答】解：由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，有 种方法，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，有 种方法， 则根据乘法原理可得舰艇分配方案的方法数为 =32种方法．
故答案为：32．
【分析】先考虑2艘攻击型核潜艇一前一后，有 种方法，再考虑2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，有 种方法，根据乘法原理，可得结论．
15.观察下列各式： C =40；
C +C =41；
C +C +C =42；
C +C +C +C =43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C +C +C +…+C =________．
【答案】4n﹣1
【考点】组合及组合数公式，归纳推理
【解析】【解答】解：因为C =40； C +C =41；
C +C +C =42；
C +C +C +C =43；
…
照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，
可得：当n∈N*时，C +C +C +…+C =4n﹣1；
故答案为：4n﹣1 ．
【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．
16.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法种数共有________．（用数字作答）
【答案】240
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①、先从除了甲乙之外的4种种子中选出一种，放入1号瓶内，方法有4种，
②、然后在剩下的5种种子中选出3种放入其余的3个瓶子内，方法有A53=60种，
则不同的放法种数共有4×60=240种；
故答案为：240．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先从除了甲乙之外的4种种子中选出一种，放入1号瓶内，②、然后在剩下的5种种子中选出3种放入其余的3个瓶子内，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
17.如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和7条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有________种不同的走法．
【答案】45
【考点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知本题有两种途径是最短的路程， ①A→CF→B其中A→C有5法．F→B有1法，共有5×1=5法．
②A→DE→B，从A到D，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有C52=10种，
从E到B，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有C43=4种，
∴从A→DE→B共有10×4=40法，
∴从A到B的短程线总共5+40=45种走法．
故答案为：45．
【分析】本题可以结合图形，分类来解题，因为在湖边有两个菱形的边走时是最短距离，即走A→CF→B，A→DE→B，根据分类加法原理得到结果．
18.某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂5个不同的车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行时间学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有________种．
【答案】270
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：恰有2个班级选择甲车间有C52=10种，1个班级选择乙车间有C31=3种， 还剩2个班级3个不同车间，每个班级有3种选择方法，由32=9种，
根据分步计数原理可得共有10×3×9=270，
故答案为：270
【分析】直接根据分步计数原理可得
19.我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．
【答案】5
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：记这5节录像课为A1﹣A5 ， 设这5节录像课为先退到两节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，
且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2部；
再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，
且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3部．
以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5部．
故答案为：5．
【分析】记这5节录像课为A1﹣A5 ， 设这5节录像课为先退到两节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2部，以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5部．
20.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内只有一个盒子空着，共有________种投放方法．
【答案】1200
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C52=10种， 再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A55=120种投放法．
∴共计有 10×120=1200种方法．
故答案为：1200．
【分析】首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C52种，再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，
有A55种投放法，由此求得结果．
三、综合题
21..综合题。
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）证明： ．
【答案】（1）证明：（k+1） =（k+1） = =（n+1） ．
（2）证明：由（1）可得： = ， ∴左边= = （﹣1）k+1= [（1﹣1）n+1﹣1]= =右边．
∴
（3）证明： = = + 由（2）可知： = = ．
设f（n）= ，则f（1）=1， =f（n﹣1）．
∴f（n）﹣f（n﹣1）= ．
∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）
=1+ +…+ ．n=1时也成立．
∴f（n）=1+ +…+ ．n∈N* ．
即：
【考点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的计算公式可得：（k+1） =（k+1） = ．（2）由（1）可得： = ，左边= = （﹣1）k+1= [（1﹣1）n+1﹣1]，即可证明．（3） = = + ．由（2）可知： = = ．设f（n）= ，则f（1）=1， =f（n﹣1）．可得f（n）﹣f（n﹣1）= ．利用累加求和方法即可得出．
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