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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
10.3 二项式定理（答案）
知识回顾
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C
2.二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.【版权所有：21教育】
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
例题精讲
考点一 通项公式及其应用
【变式训练1】.已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（ ﹣ ）6的展开式中的常数项式（ ）
A. ﹣20 B. ﹣540 C. 20 D. 540
【答案】B
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：根据程序框图，得 初始值：a=1，b=1，
第一次循环：b=3，a=2
第二次循环：b=5，a=3，
第三次循环：b=7，a=4
第四次循环：b=9，a=5，
∵a=5＞4，
跳出循环，
输出b=9，
∴二项式（ ﹣ ）6的通项：Tr+1=36﹣r （﹣1）r x3﹣r
令3﹣r=0，得r=3，
∴展开式中的常数项是33 （﹣1）3=﹣540，
故选：B．
【分析】首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．
考点二 二项式系数的性质与各项系数和
【变式训练2】.若（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为________．
【答案】2
【考点】基本不等式，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20， 所以Tr+1= = ，
令12﹣3r=3，∴r=3， ，
∴ab=1，
a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．
a2+b2的最小值为：2．
故答案为：2．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．
考点三 二项式定理的应用
【变式训练3】 （1）二项式 的展开式中 的系数为 ，则 ________．
【答案】
【考点】定积分的简单应用，二项式定理
【解析】【解答】由二项式定理可得： 的系数为 ，则 ，
【分析】首先由二项式定理求出a的值，再由定积分的定义求出值即可。
（2）已知（x﹣2）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6 ， 则a3=（ ）
A. 15 B. ﹣15 C. 20 D. ﹣20
【答案】B
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）6=[﹣1+（x﹣1）]6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6 ， 则a3= （﹣1）3=﹣15，
故选：B．
【分析】根据（x﹣2）6=[﹣1+（x﹣1）]6 ， 利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．
真题精析
一、单选题
1.（2013 江西）（x2﹣ ）5的展开式中的常数项为（ ）
A. 80 B. ﹣80 C. 40 D. ﹣40
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：设（ ）5展开式中的通项为Tr+1 ，
则Tr+1= x2（5﹣r） （﹣2）r x﹣3r=（﹣2）r x10﹣5r ，
令10﹣5r=0得r=2，
∴（ ）5展开式中的常数项为（﹣2）2× =4×10=40．
故选C．
【分析】利用（ ）5展开式中的通项公式Tr+1= x2（5﹣r） （﹣2）r x﹣3r ， 令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（ ）5展开式中的常数项．
2.（2015·湖南）已知的展开式中含的项的系数为30，则=( )
A. B. C. 6 D. - 62·1·c·n·j·y
【答案】D
【考点】二项式定理
【解析】【解答】，令,可得，故选D
【分析】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第
项为，即可建立关于的方程，从而求解.2-1-c-n-j-y
3.（2017 新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．
故选：C．
【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．www-2-1-cnjy-com
4.（2014 四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A. 30 B. 20 C. 15 D. 10
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr ，
令r=2可得，T3=C62x2=15x2 ，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．
故选：C．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．21cnjy.com
5.（2013 辽宁）使得（3x+ ）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：设 （n∈N+）的展开式的通项为Tr+1 ，
则：Tr+1=3n﹣r xn﹣r =3n﹣r ，
令n﹣ r=0得：n= r，又n∈N+ ，
∴当r=2时，n最小，即nmin=5．
故选B．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r ，令x的幂指数n﹣ r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．21*cnjy*com
6.（2013 新课标Ⅱ）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）
A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1
【答案】D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+ x+ x2+ x3+ x4+ x5）
展开式中x2的系数为 +a =5，解得a=﹣1，
故选：D．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为 +a =5，由此解得a的值．
7.（2013 新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a= ，
同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得 b= = ．
再由13a=7b，可得13 =7 ，即 13× =7× ，
即 13=7× ，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，
故选：B．
【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【来源：21cnj*y.co*m】
8.（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A. 5 B. 8 C. 12 D. 18
【答案】D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr
令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr
令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选D．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
9.（2017 新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
【答案】C
【考点】分类加法计数原理，二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）（1+x）6展开式中：
若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：
若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：
由（1+x）6通项公式可得 ．
可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ．
可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．
（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．
故选C．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
10.（2014 浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
【答案】C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是： =20．f（3，0）=20；
含x2y1的系数是 =60，f（2，1）=60；
含x1y2的系数是 =36，f（1，2）=36；
含x0y3的系数是 =4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选：C．
【分析】由题意依次求出x3y0 ， x2y1 ， x1y2 ， x0y3 ， 项的系数，求和即可．
11.（2014 湖南）（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（ ）
A. ﹣20 B. ﹣5 C. 5 D. 20
【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由二项式定理可知：Tr+1= ，
要求解（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，
所以r=3，
所求系数为： =﹣20．
故选：A．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．
12.（2014 湖北）若二项式（2x+ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a=（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：二项式（2x+ ）7的展开式即（ +2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，
所以Tr+1= = ，
令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，
代入得： ，
解得a=1，
故选：C．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．
二、填空题
13.（2017 山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
【答案】4
【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr ．
∵含有x2的系数是54，∴r=2．
∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N* ．
解得n=4．
故答案为：4．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．
14.(2015·四川）在（2x-1)5的展开式中，含x2的项的系数是________ （用数字作答）.
【答案】-40
【考点】二项式定理
【解析】【解答】（2x-1)5=-(1-2x)5, 所以x2的系数为-C52x(-2)2=-40
【分析】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.
15.(2015·上海）在（2x+）6的二项式中，常数项等于________ （结果用数值表示）.
【答案】240
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由Tr+1=C6r·(2x)6-r·()r=C6r·26-rx6-3r, 令6-3r=0， 所以r=2, 所以常数项为C62·24=240。
【分析】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．
16.(2015·上海）在 （1+x+ )10的展开式中，x2项的系数为 ________ （结果用数值表示）．
【答案】45
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】因为（1+x+ )10=（（1+x)+)10=(1+x)10+C101(1+x)9+..., 所以x2项只能在(1+x)10展开式中，即C108x2 ， 系数为C108=45.
【分析】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求〔求常数项时，指数为零，求有理项时，指数为整数等)，解出项数r+ 1，代回通项公式即可.(2)对干三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
17.（2015·福建卷）的展开式中，的系数等于________ ．（用数字作答）
【答案】80
【考点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式中项为,所以的系数等于80.
【分析】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．
18.（2015·重庆）的展开式中的系数是________ （用数字作答）。
【答案】
【考点】二项式定理
【解析】【解答】二项展开式通项为,令,解得,因此的系数为
【分析】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关，在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别。
19.（2015新课标II）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。 21·cn·jy·com
【答案】3
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由已知得（1+x）4=1+4x+6x2+4x3+x4 ， 故（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项分别为4ax，4ax3 ， x，6x3 ， x5，其系数之和为4a+4a+1+6+1=32，解得a=3。
【分析】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次冥项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题。
20.（2015北京卷）在的展开式中，的系数为________ (用数字作答)。
【答案】40
【考点】二项式定理
【解析】【解答】利用通项公式，,令,得出的系数为.
【分析】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式，准确计算指定项的系数.
21. （2015天津）在的展开式中，的系数为________ 。
【答案】
【考点】二项式定理，二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式的通项为,由得，所以,所以该项系数为.
【分析】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用，应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题。21教育网
22.（2014 新课标II）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=________．
【答案】
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1= x10﹣r ar ，
令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3 =120a3=15，
∴a= ，
故答案为： ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．
23.（2017 浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________．
【答案】16；4
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ，
（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，
a4=3×4+1×4=16；
a5=1×4=4．
故答案为：16；4．
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．
24.（2014 安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+ ）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn ． 若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=________．
【答案】3
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）n的展开式的通项为 ，
由图知，a0=1，a1=3，a2=4，
∴ ， ，
， ，
a2﹣3a=0，
解得a=3，
故答案为：3．
【分析】求出（1+ ）n的展开式的通项为 ，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值．
模拟题精练
一、单选题）
1.展开式的二项式系数和为64，则其常数项为（ ）
A. ﹣20 B. ﹣15 C. 15 D. 20
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：∵ 展开式的二项式系数和为64， ∴2n=64，解得n=6；
∴ 展开式的通项公式为
Tr+1= （x2）6﹣r =（﹣1）r x12﹣3r ，
令12﹣3r=0，解得r=4；
∴常数项为（﹣1）4 =15．
故选：C．
【分析】根据 展开式的二项式系数和求出n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．21·世纪*教育网
2.已知（ ﹣ ）5的展开式中含 的项的系数为30，则a=（ ）
A. B. ﹣ C. 6 D. ﹣6【出处：21教育名师】
【答案】D
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1= ；
展开式中含 的项的系数为30，
∴ ，
∴r=1，并且 ，解得a=﹣6．
故选：D．
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为 求得r，再代入系数求出结果．
3.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是( )
A. －10 B. 10 C. －5 D. 5
【答案】B
【考点】二项式定理
【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．
【解答】对于Tr+1=(x2)5-r(-)r=(-1)rx10-3r ，
对于10-3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（-1)2=10
故选项为B21*cnjy*com
4.（2013 陕西）设函数f（x）= ，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（ ）
A. ﹣20 B. 20 C. ﹣15 D. 15
【答案】A
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]= = 的展开式中，常数项为： =﹣20．
故选A．
【分析】依题意，可求得f[f（x）]= ，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．
5.设的展开式的常数项为a，则直线与曲线围成图形的面积为( )
A. B. C. ９ D.
【答案】B
【考点】定积分，二项式定理
【解析】【解答】由已知得，， 直线与曲线的交点坐标为：， ， 图形如下：
所以它们围成的图形的面积是：.选B.
6.若（3x﹣ ）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣405 D. 405
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和为2n∴2n=32
解得n=5
∴ = 展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r35﹣rC51x5﹣2r
令5﹣2r=3得r=1
所以该展开式中含x3的项的系数为﹣34C51=﹣405
故选C
【分析】令二项式中的x为1，求出展开式的各项系数和，求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，求出r，将r 的值代入通项，求出该展开式中含x3的项的系数．
7.在的展开式中，系数最小的项是 （）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
【答案】C
【考点】二项式定理
【解析】【分析】由二项式性质可得，如果次数为偶数，则展开式中中间一项的二项式系数最大。
【解答】本题中n=10,中间项为第6项，而， 即第6项的系数绝对值最大，符号为负，所以选择C
8.（x﹣1）（x+2）6的展开式中x4的系数为（ ）
A. 100 B. 15 C. ﹣35 D. ﹣220
【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由于（x+2）6的展开式的通项公式为Tr+1= x6﹣r 2r ， 令6﹣r=3，r=3，（x+2）6的展开式中x3 的系数为8 =160；
令6﹣r=4，r=2，可得（x+2）6的展开式中x4的系数为﹣4 ，
可得（x﹣1）（x+2）6的展开式中x4的系数为8 ﹣4 =160﹣60=100，
故选：A．
【分析】利用二项展开式的通项公式，求求得（x+2）6的展开式中x3、x4的系数，可得（x﹣1）（x+2）6的展开式中x4的系数．www.21-cn-jy.com
9.在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）
A. -32 B. 0 C. 32 D. 1
【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，
∴2n=32，解得n=5；
令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．
故选：C．
【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和。
10.若a= （1﹣3x2）dx+4，且（x+ ）n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）
A. ﹣ B. C. D.
【答案】C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由 （1﹣3x2）dx=（x﹣x3） =2﹣8=﹣6， ∴a= （1﹣3x2）dx+4=﹣6+4=﹣2，
∴（x+ ）n=（x﹣ ）n ，
由（x﹣ ）n展开式中第3项的二项式系数是15，
∴ =15，
∴n=6，
令x=1时展开式中所有项系数之和（1﹣ ）6= ，
故答案选：C．
【分析】由定积分的运算，求得a的值，根据二项式式的展开，由 =15，求得n的值，令x=1时展开式中所有项系数之和．21教育名师原创作品
11.若 展开式中含 的项是第8项，则展开式含 的项是（ ）
A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项21世纪教育网版权所
【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：展开式的通项为 ∵
∴当r=7时，
∴n=29
∴展开式的通项为
令 得r=8
∴展开式含 的项是第9项
故选B．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r=7时x的指数为 列出关于n的方程，解方程求出n的值，将n的值代入通项，令通项中的x的指数为﹣1求出r的值，得到展开式含 的项数．
12.在（x2﹣x+2y）5的展开式中，x4y2的系数为（ ）
A. ﹣120 B. 120 C. 30 D. ﹣80
【答案】B
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（x2﹣x+2y）5展开式的通项为Tr+1=C5r （x2﹣x）5﹣r （2y）r ， 令r=2，则（x2﹣x）3的通项为C3k （x2）3﹣k （﹣x）k=C3k （﹣1）k x6﹣k ，
令6﹣k=4，则k=2，
∴（x2﹣x+2y）5的展开式中，x4y2的系数为C52 22 C32=120．
故选：B．
【分析】灵活利用二项展开式的通项公式，即可求出正确的答案．
二、填空题
13.在 的展开式中，x2的系数为________．
【答案】28
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式：Tr+1= ． 的通项公式为：Tk+1= =（﹣1）k ．
令 =2，即r﹣3k=4，可得：k=0，r=4；k=1，r=7．
∴x2的系数= ﹣ =28．
故答案为：28．
【分析】 的展开式的通项公式：Tr+1= ． 的通项公式为：Tk+1=（﹣1）k ．令 =2，即r﹣3k=4，讨论解出即可得出．
14.设（2x﹣1）6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0 ， 则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________．
【答案】729
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：∵（2x﹣1）6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0 ，
由二项式定理可知a0 ， a2 ， a4 ， a6均为正数，a1 ， a3 ， a5均为负数，
令x=﹣1可得：
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=（2+1）6=729．
故答案为：729．
【分析】由二项式定理知a0 ， a2 ， a4 ， a6均为正数，a1 ， a3 ， a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6 ， 把x=﹣1代入计算即可．
15.已知 ，则 的值是________．
【答案】（ ）2018
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018 ， ∴令x=﹣2，得a0=0
再令x=﹣ ，得到a0+ =（﹣ +1）2（﹣ +2）2016=（ ）2018 ，
∴ = ，
故答案为：（ ）2018 ，
【分析】利用二项式定理，对等式中的x赋值﹣2，可求得a0=0，再令x= ，即可求出答案．
16.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=________
．
【答案】2
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr ，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2，
故答案为 2．
【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr ， 令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，由此解得a的值．【来源：21·世纪·教育·网】
17.展开式中不含 x4项的系数的和为________
【答案】0
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令x=1求出展开式的所有的项的系数和为1
展开式的通项为
令得r=8
所以展开式中x4的系数为1
故展开式中不含 x4项的系数的和为1﹣1=0
故答案为：0
【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式的所有项的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为4求出展开式中x4的系数，利用系数和减去x4的系数求出展开式中不含 x4项的系数的和．
18.2x+ ）5的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）
【答案】10
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（2x+ ）5的展开式中，通项公式为：Tr+1= =25﹣r ， 令5﹣ =3，解得r=4
∴x3的系数2 =10．
故答案为：10．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．
三、综合题
19.求二项式（ + ）8的展开式中：求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数最大的项．
【答案】（1）解：二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项， 所求项为T4+1= =
（2）解：设第r+1项的系数值最大，则 ， ∴5≤r≤6，即第6项和第7项的系数最大，
，
【考点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，利用通项公式即可得出．（2）设第r+1项的系数值最大，则 ，解出即可得出．
20.已知
（1）求a2的值
（2）求a1+a3+a5+…+a19的值
（3）求a0+a2+a4+…+a20的值．
【答案】（1）解：令x﹣1=t，则已知条件即 （x2﹣2x﹣3）10=[t2﹣4]10=a0+a1
．
可得
（2）解：令t=1可得 ；再令t=﹣1可得 ，
∴a1+a3+a5+…+a19=0
（3）解：由（2）可得a0+a2+a4+…+a20=310
【考点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）令x﹣1=t，则已知条件即 ，由此可得可得 ，运算求得结果．（2）令t=1可得 ；再令t=﹣1可得 ，由此可得 a1+a3+a5+…+a19 的值．（3）由（2）可得a0+a2+a4+…+a20 的值．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
10.3 二项式定理
考纲剖析
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识回顾
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*)
二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第 项
二项式系数 二项展开式中各项的系数
2.二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.21cnjy.com
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ ，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ .
精讲方法
一、二项式定理
（1）求特定的项或特定项的系数
二项展开式的通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用。使用时要注意：www.21-cn-jy.com
（1）通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；
（2）通项公式中a和b的位置不能颠倒；
（3）展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出差错；
（4）在通项公式中共含有a,b,n,r,这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：知道5个元素中的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题。这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程（组）或不等式（组），这里要注意n为正整数，r为非负数，且r≤nwww-2-1-cnjy-com
注：（1）求二项式系数最大项：
①如果n是偶数，则中间一项（第（）项）的二项式系数最大；
②如果n是奇数，则中间两项（第项与第+1项）的二项式系数相等并最大。
（2）求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为且第r+1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大项。2-1-c-n-j-y
（二）赋值法的应用
1．赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a,b,n的恒等式，出除了正用、逆用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a,b取相应的特殊值，至于特殊值a,b如何选取，视具体问题而定。【来源：21cnj*y.co*m】
如：求展开式各项系数和，可令x=1,即得各项系数和，若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x=-1,x=1,两等式相加或相减即可求出结果。【出处：21教育名师】
2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意。
（三）二项式定理的综合应用
注：1．二项式定理主要题目类型：
（1）证明某些整除问题或求余数；
（2）证明有关不等式；
（3）进行近似计算；
2．解题方法归纳：
（1）二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，。
（2）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除（数）展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧；
（3）由于的展开式共有n+1项，故可能对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的。而对于整除问题，关键是拆成两项利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除。21教育网
小结
1．二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．
例题精讲
考点一 通项公式及其应
【例题1】 的展开式中x2y2的系数为________．（用数字作答）
【答案】70
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式的通项公式为 Tr+1= （﹣1）r = （﹣1）r ，
令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为 =70，
故答案为：70．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．
【变式训练1】.已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（ ﹣ ）6的展开式中的常数项式（ ）
A. ﹣20 B. ﹣540 C. 20 D. 540
考点二 二项式系数的性质与各项系数和
【例题2】.若二项式 的展开式共7项，则展开式中的常数项为（ ）
A. ﹣120 B. 120 C. ﹣60 D. 60
【答案】D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为展开式共有7项，所以二项式指数幂n=6， 该二项式的通项为（﹣2）rC6rx6﹣3r ， 令6﹣3r=0，
所以r=2，
所以常数项为（﹣2）2C62=60
故选：D
【分析】由于二项式展开式中的展开项个数比二项式指数幂多一个，为此不难得出n为6，然后由通项公式Tr+1=Cnran﹣rbr求出通项并整理后可令x的指数幂为0，借此求出r的值后，即可计算常数项．
【变式训练2】.若（ax2+ ）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为________．
考点三 二项式定理的应用
【例题3】.设a= cosxdx，则二项式（x2+ ）6展开式中的x3项的系数为________．
【答案】-160
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵a= cosxdx=sinx =﹣2，则二项式（x2+ ）6=（x2 ﹣ ）6 ， 二项式（x2+ ）6展开式式的通项公式为Tr+1= x12﹣2r =（﹣2）r x12﹣3r ，
令12﹣3r=3，求得r=3，可得展开式中的x3项的系数为﹣8 =﹣160，
故答案为：﹣160．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．
【变式训练3】 （1）二项式 的展开式中 的系数为 ，则 ________．
（2）已知（x﹣2）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a6（x﹣1）6 ， 则a3=（ ）
A. 15 B. ﹣15 C. 20 D. ﹣20
真题精析
一、单选题
1.（2013 江西）（x2﹣ ）5的展开式中的常数项为（ ）
A. 80 B. ﹣80 C. 40 D. ﹣40
2.（2015·湖南）已知的展开式中含的项的系数为30，则=( )
A. B. C. 6 D. - 6【来源：21·世纪·教育·网】
3.（2017 新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80
4.（2014 四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A. 30 B. 20 C. 15 D. 10
5.（2013 辽宁）使得（3x+ ）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.（2013 新课标Ⅱ）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）
A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣1
7.（2013 新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8.（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A. 5 B. 8 C. 12 D. 18
9.（2017 新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
10.（2014 浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ） 21·cn·jy·com
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
11.（2014 湖南）（ x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（ ）
A. ﹣20 B. ﹣5 C. 5 D. 20
12.（2014 湖北）若二项式（2x+ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a=（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 21教育名师原创作品
二、填空题
13.（2017 山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．
14.(2015·四川）在（2x-1)5的展开式中，含x2的项的系数是________ （用数字作答）.
15.(2015·上海）在（2x+）6的二项式中，常数项等于________ （结果用数值表示）.
16.(2015·上海）在 （1+x+ )10的展开式中，x2项的系数为 ________ （结果用数值表示）． 21·世纪*教育网
17.（2015·福建卷）的展开式中，的系数等于________ ．（用数字作答）
18.（2015·重庆）的展开式中的系数是________ （用数字作答）。
19.（2015新课标II）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。 【版权所有：21教育】
20.（2015北京卷）在的展开式中，的系数为________ (用数字作答)。
21. （2015天津）在的展开式中，的系数为________ 。
22.（2014 新课标II）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=________．
23.（2017 浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________．
24.（2014 安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+ ）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn ． 若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=________．
模拟题精练
一、单选题）
1.展开式的二项式系数和为64，则其常数项为（ ）
A. ﹣20 B. ﹣15 C. 15 D. 20
2.已知（ ﹣ ）5的展开式中含 的项的系数为30，则a=（ ）
A. B. ﹣ C. 6 D. ﹣6
3.在二项式的展开式中，含x4的项的系数是( )
A. －10 B. 10 C. －5 D. 5
4.（2013 陕西）设函数f（x）= ，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（ ） 2·1·c·n·j·y
A. ﹣20 B. 20 C. ﹣15 D. 15
5.设的展开式的常数项为a，则直线与曲线围成图形的面积为( )
A. B. C. ９ D.
6.若（3x﹣ ）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣405 D. 405
7.在的展开式中，系数最小的项是 （）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
8.（x﹣1）（x+2）6的展开式中x4的系数为（ ）
A. 100 B. 15 C. ﹣35 D. ﹣220
9.在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）
A. -32 B. 0 C. 32 D. 1
10.若a= （1﹣3x2）dx+4，且（x+ ）n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ） 21世纪教育网版权所有
A. ﹣ B. C. D.
11.若 展开式中含 的项是第8项，则展开式含 的项是（ ）
A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项21*cnjy*com
12.在（x2﹣x+2y）5的展开式中，x4y2的系数为（ ）
A. ﹣120 B. 120 C. 30 D. ﹣8021*cnjy*c
二、填空题
13.在 的展开式中，x2的系数为________．
14.设（2x﹣1）6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0 ， 则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________．
15.已知 ，则 的值是________．
16.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=________
．
17.展开式中不含 x4项的系数的和为________
18.(2x+ ）5的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）
三、综合题
19.求二项式（ + ）8的展开式中：求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数最大的项．
20.已知
（1）求a2的值
（2）求a1+a3+a5+…+a19的值
（3）求a0+a2+a4+…+a20的值． ．
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