章末检测卷(第一章)
一、选择题(12×5分＝60分)
1．下列关系式中，正确的是( )
A.∈Q B．{(a，b)}＝{(b，a)}
C．2∈{1,2} D．?＝{0}
【解析】 A中是无理数，因此不正确；B中两集合为点集，元素不同，所以集合不相等；C中元素集合的关系式正确；D中空集不含有任何元素，因此两集合不相等．选C.
【答案】 C
2．下列关系中，正确的个数为( )
①∈R ②0∈N* ③{－5}?Z ④??{?} ⑤?∈{?}
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为①∈R，②0?N*，③{－5}?Z，?看作集合时④正确，由于{?}中有一个元素是?，所以⑤正确，选D.
【答案】 D
3．已知集合M＝{1，a}，则实数a满足的条件是( )
A．a∈R B．a∈Q
C．a＝1 D．a≠1
【解析】 由元素的互异性可知，a≠1.
【答案】 D
4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{2，a，b}，若A∩B＝{1,3}，则a＋b的值为( )
A．4 B．7
C．9 D．10
【解析】 由题意可知a＝1，b＝3或a＝3，b＝1，所以a＋b＝4，故选A.
【答案】 A
5．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是( )
A．M＝P B．M?P
C．P?M D．M与P没有公共元素
【解析】 ∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….
∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….
∴M?P.
【答案】 B
6. 已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.
【答案】 D
7．若集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－1或0
【解析】 由A∪B＝A?B?A，当B＝?时，m＝0，当B＝{1}时，m＝1，当B＝{－1}时，m＝－1，故选D.
【答案】 D
8．如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(?I S) D．(M∩P)∪(?I S)
【解析】 阴影部分在M中，也在P中但不在S中，故表示的集合为(M∩P)∩(?I S)．
【答案】 C
9．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则?U (A∪B)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
【解析】 ∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．
又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴?U (A∪B)＝{2,6}．
【答案】 A
10．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?U A)∪B＝( )
A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
【解析】 因为?U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
【答案】 D
11．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x
A．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
【解析】 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以?U A＝{x|3≤x<7}，又(?U A)∩B≠?，则a>3.
【答案】 A
12．对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M?N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}, 则A?B＝( )
A.
B.
C.∪[0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
【解析】 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A?B＝∪[0，＋∞)．
【答案】 D
二、填空题(4×5分＝20分)
13．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
①A________B; ②A________C；
③{2}________C; ④2________C.
【解析】 集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故①A＝B；②A?C；③{2}?C；④2∈C.
【答案】 ①＝ ②? ③? ④∈
14. 已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M有________个．
【解析】 由题意知，M至少含有1,2两个元素，至多有1,2,3,4,5五个元素，所以满足条件的M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共8个．
【答案】 8
15．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(?U A)∪B＝________.
【解析】
由数轴得，?U A＝{x|－1≤x<2或x≥3}，
再由数轴得，(?U A)∪B＝{x|x≥－2}．
【答案】 {x|x≥－2}
16．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.
【解析】 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．
【答案】 {0,6}
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}, 若9∈(A∩B)，求实数a的值．
【解析】 因为9∈(A∩B)，
所以9∈A且9∈B，
所以2a－1＝9或a2＝9.
所以a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，
B＝{－8,4,9}，符合题意．
所以a＝5或a＝－3.
18．(12分)已知M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．
【解析】 ∵M∪N＝M，
∴N?M，即t2－t＋1∈M，
(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1.
当t＝1时，M中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．∴t＝0.
(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1.
由(1)知，t＝1不符合题意，舍去．
综上所述，t的取值集合为{0}．
19．(12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．若A∩B＝[1,3]，求实数m的值．
【解析】 A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
因为A∩B＝[1,3]，
所以得m＝3.
20．(12分)已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2(1)求A∪B，(?R A)∩B；
(2)如果A∩C＝A，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2所以A∪B＝{x|2?R A＝{x|x>7或x<3}，则(?R A)∩B＝{x|2(2)若A∩C＝A，则A?C，
因为C＝{x|x7.
即实数a的取值范围是{a|a>7}．
21．(12分)集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
【解析】 (1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，画出数轴如图所示．
由A∩B＝?，可得a≥－1，a＋3≤5，
所以－1≤a≤2.
(2)由A∩B＝A，得B?A.
则a＋3<－1或a>5，
即a<－4或a>5.
22．(12分)设A＝{－3,4}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，B≠?，且A∩B＝B，求a，b的值．
【解析】 因为A∩B＝B，所以B?A，所以B＝?或{－3}或{4}或{－3,4}．
(1)若B＝?，不满足题意．所以舍去．
(2)若B＝{－3}，
则
解得
(3)若B＝{4}，
则解得
(4)若B＝{－3,4}，则
解得
综上：a＝－3或4或，b＝9或16或－12.
章末检测卷(第三、四章)
一、选择题(12×5分＝60分)
1.等于( )
A．lg 9－1 B．1－lg 9
C．8 D．2
【解析】 因为lg 9【答案】 B
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 由得x>2且x≠3，故选C.
【答案】 C
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝x，x>1}，则A∩B等于( )
A. B．{y|0C. D．?
【解析】 ∵x>1，∴y＝log2x>log21＝0，
∴A＝(0，＋∞)，
又∵x>1，∴y＝x<，∴B＝.
∴A∩B＝.
【答案】 A
4．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
【解析】 c＝5log3只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0log33.4>log3>1，所以a>c>b.
【答案】 C
5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
【解析】 方法一 当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0方法二 幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
【答案】 D
6．函数y＝－x2＋2x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1，＋∞)
【解析】 函数t＝－x2＋2x的单调递减区间为(1，＋∞)，又y＝t为减函数，所以y＝－x2＋2x的单调递增区间为(1，＋∞)．故选D.
【答案】 D
7．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 设f(x)＝0.9x－x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图象必与x轴有一个交点，即方程0.9x－x＝0有一解．
【答案】 B
8．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )
A．[1,2] B．(0,1]
C．(0,2] D．[1，＋∞)
【解析】 作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.
【答案】 A
9．已知实数a>1,0A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】 ∵a>1,0∴f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
【答案】 B
10．已知函数f(x)＝在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
【解析】 由于函数f(x)为R上的减函数，所以满足解得0【答案】 B
11．函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－1)∪
B.
C.
D．(－∞，－1)
【解析】 由题意或
即或
整理得或
解得a>或a<－1，故选A.
【答案】 A
12．当0A. B.
C．(1，) D．(，2)
【解析】
法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
法二：∵04x>1，
∴0则有4＝2，log＝1，显然4x【答案】 B
二、填空题(4×5分＝20分)
13．函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过一定点是________．
【解析】 依题意，当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的值为2，所以其图象恒过定点(2,2)．
【答案】 (2,2)
14．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋的值为________．
【解析】 ∵1>0，∴f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
∵log3<0，∴f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3.
∴f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5.
【答案】 5
15．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 画出分段函数f(x)的图像如图所示．
结合图像可以看出，函数y＝f(x)－k有两个零点，即y＝f(x)与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
【答案】 (0,1)
16．已知函数t＝－144lg的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．
【解析】 当N＝90时，t＝－144lg＝144.
【答案】 144
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(1)计算：；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.
【解析】 (1)原式＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
(2)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
18．(12分)已知函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)，
(1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3,4)，求a的值；
(2)当a变化时，比较f与f(－2.1)的大小，并写出比较过程．
【解析】 (1)函数y＝f(x)的图象经过点P(3,4)，所以a3－1＝4，
即a2＝4，又a>0，所以a＝2
(2)当a>1时，f>f(－2.1)；
当0比较过程如下：
因为f＝f(－2)＝a－3，
f(－2.1)＝a－3.1，
当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数，
因为－3>－3.1，所以a－3>a－3.1.
即f>f(－2.1)；
当0－3.1，所以a－3即f19．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.
(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
综上，当a＝0和－时，函数只有一个零点．
20．(12分)已知f(x)＝x＋ax－1(a>0)，
(1)若f(1)＝2且f(m)＝5，求m2＋m－2的值；
(2)求实数a的范围使函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
【解析】 (1)由f(1)＝2得a＝1，所以f(x)＝x＋x－1，由f(m)＝5得m＋m－1＝5，所以(m＋m－1)2＝25，即m2＋m－2＋2＝25，所以m2＋m－2＝23.
(2)设1因为f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以(x1－x2)·<0，
由10，所以x1x2－a>0在(1，＋∞)上恒成立．
又x1x2>1，所以a≤1.即a≤1时，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
21．(12分)某商品在近100天内，商品的单位f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
f(t)＝
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)＝－＋(0≤t≤100，t∈Z)．
这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？
【解析】 依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)·g(t)＝
(1)若0≤t≤40，t∈Z，则F(t)＝＝－(t－12)2＋，当t＝12时，F(t)max＝(元)．
(2)若40F(t)＝
＝(t－108)2－，∵t＝108>100，
∴F(t)在(40,100]上递减，∴当t＝41时，F(t)max＝745.5.
∵>745.5，∴第12天的日销售额最高．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln2x－2aln(ex)＋3，x∈[e－1，e2]．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；
(2)若f(x)≤－aln x＋4恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝1时，y＝f(x)＝ln2x
－2ln x＋1，令t＝ln x∈[－1,2]，
所以y＝t2－2t＋1＝(t－1)2，
当t＝1时，取得最小值0；
t＝－1时，取得最大值4.
所以f(x)的值域为[0,4]．
(2)因为f(x)≤－aln x＋4，
所以ln2x－aln x－2a－1≤0恒成立，
令t＝ln x∈[－1,2]，
所以t2－at－2a－1≤0恒成立，
设y＝t2－at－2a－1，
所以当≤即a≤1时，ymax＝－4a＋3≤0，所以≤a≤1，
当>即a>1时，ymax＝－a≤0，
所以a>1，综上所述，a的取值范围为.
章末检测卷(第二章)
一、选择题(12×5分＝60分)
1．下列能表示y是x的函数的是( )
①x－2y＝6 ②x2＋y＝1 ③x＋y2＝1 ④x＝
A．①②③ B．①③④
C．③④ D．①②④
【解析】 判断y是否为x的函数，主要看是否满足函数的定义，即一对一或多对一、不能一个自变量对应多个y值，故③错，选①②④.故选D.
【答案】 D
2．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
【解析】 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．
【答案】 D
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )
A. B．±
C．±9 D．9
【解析】 由函数f(x)＝xα过点(4,2)，可得4α＝22α＝2，所以α＝，所以f(x)＝x＝，
故f(m)＝＝3?m＝9.
【答案】 D
4．设f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
【解析】 f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
【答案】 A
5. 定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)【解析】 由已知<0，
得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，
由偶函数性质得f(3)【答案】 A
6．给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下，(3,1)的原像为( )
A．(1,3) B．(1,1)
C．(3,1) D．(，)
【解析】 由得
【答案】 B
7．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
【解析】 A项，由图像开口向下知a<0，
由对称轴位置知－<0，∴b<0.
又∵abc>0，∴c>0.而由图知f(0)＝c<0.
B项，由图知a<0，－>0，
∴b>0.又∵abc>0，∴c<0，而由图知f(0)＝c>0.
C项，由图知a>0，－<0，
∴b>0.又∵abc>0，∴c>0，而由图知f(0)＝c<0.
D项，由图知a>0，－>0，∴b<0.
又∵abc>0，∴c<0，由图知f(0)＝c<0.
【答案】 D
8．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 016)＝k，则f(－2 016)＝( )
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
【解析】 ∵f(2 016)＝a·2 0163＋b·2 016＋1＝k，∴a·2 0163＋b·2 016＝k－1，则f(－2 016)＝a(－2 016)3＋b·(－2 016)＋1＝－[a·2 0163＋b·2 016]＋1＝2－k.
【答案】 D
9．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0C．0
【解析】 当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口朝上，a>0且－≥4，得0当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
【答案】 B
10．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
【解析】 依题意可得
或解得a∈[－2,2]．
【答案】 D
11．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是( )
A．增函数且最小值为3
B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3
D．减函数且最大值为－3
【解析】 当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，
∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.
从而f(x)≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故f(x)在[－5，－1]是减函数．故选D.
【答案】 D
12．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为( )
A．{x|－11}
B．{x|x<－1或0C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|－1【解析】 因为函数f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是增函数．
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝0，不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化为2xf(x)<0，即xf(x)<0.
当x<0时，可得f(x)>0＝f(－1)，
所以x>－1，所以－1当x>0时，可得f(x)<0＝f(1)，
所以x<1，所以0综上，原不等式的解集为{x|－1【答案】 D
二、填空题(4×5分＝20分)
13．f(x)＝的定义域是________．
【解析】 由题意得，解得x≤1且x≠0，故函数的定义域有(－∞，0)∪(0,1]．
【答案】 (－∞，0)∪(0,1]
14．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
【解析】 令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.
∴f(x)＝(x≠0)．
【答案】 (x≠0)
15．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.
【解析】 由函数y＝f(x)＋x是偶函数，
则f(－2)－2＝f(2)＋2＝3，
所以f(－2)＝5.
【答案】 5
16．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为__________________．
【解析】 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，∴x>或－【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，
单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
18．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
【解析】 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又因为f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．
所以1－m>m，
又－2≤m－1≤2，－2≤m≤2，
所以解得－1≤m<.
故m的取值范围是.
19．(12分)已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以120．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．
【解析】 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，
得2ax＋a＋b＝2x－1，
故解得：a＝1，b＝－2.
所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1函数，图象的对称轴为x＝1，且开口向上，
所以f(x)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
对称轴为x＝1∈[－1,2]，
故fmin(x)＝f(1)＝1，
又f(－1)＝5，f(2)＝2，
所以fmax(x)＝f(－1)＝5.
21．(12分)李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系；
(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？
(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
【解析】 (1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x.
当x>30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1.
所以L(x)＝(注：x也可不取0)
(2)当0≤x≤30时，由L(x)＝2＋0.5x＝35得x＝66，舍去．
当x>30时，由L(x)＝0.6x－1＝35得x＝60，
所以李刚家该月用电60度．
(3)设按方案二收费为F(x)元，则F(x)＝0.58x.
当0≤x≤30时，由L(x)所以x>25，所以25当x>30时，由L(x)所以x<50，所以30综上，2522．(12分)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x，y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f.
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)若当x∈(－1,0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(－1,1)上是减函数．
【解析】 (1)证明：函数f(x)定义域是(－1,1)，由f(x)＋f(y)＝f，
令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f，所以f(0)＝0.
令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减，
令0则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝f＝f，
因为0所以x2－x1>0,1－x1x2>0.
所以>0.
又(x2－x1)－(1－x1x2)＝(x2－1)(x1＋1)<0，
所以0所以－1<－<0，
由题意，知f>0，
所以f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0,1)上为减函数．
又f(x)为奇函数，
所以f(x)在(－1,1)上也是减函数．
课时作业1 集合的含义
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C. D.
【解析】 因为是实数，但不是有理数，所以选D.
【答案】 D
2．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
【解析】 因为－1?N，所以排除C；0∈N，而无意义，排除A，D，故选B.
【答案】 B
3．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为( )
A．－4 B．4
C．1 D．－1
【解析】 因为－5∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.故选A.
【答案】 A
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
【解析】 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
【答案】 B
5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【解析】 由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列对象：①方程x2＝2的正实根，②我校高一年级聪明的同学，③大于3小于12的所有整数，④函数y＝2x的图像上的点．能构成集合的个数为________________________________________________________________________．
【解析】 ①③④中对象具有确定性，能构成集合；而②中对象含糊不清，不确定，故不能构成集合．
【答案】 3
7．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的为________．
【解析】 是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．
【答案】 (1)(4)
8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
【解析】 因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0，当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.
【答案】 －1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)大于3的所有自然数组成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)接近于0的数的全体组成一个集合．
【解析】 (1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5＝，所以1,0.5，，组成的集合含有3个元素，故(3)错误．
10．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
【解析】 因为∈A，所以＝2∈A，
所以＝－3∈A，
所以＝－∈A，
所以＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0?M B．2∈M
C．－4?M D．4∈M
【解析】 当x>0，y>0，z>0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.
【答案】 D
12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
【解析】 因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，
所以y的值为0,1，即集合A中的元素为0,1，又t∈A，所以t＝0或1.
【答案】 0或1
13．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
【解析】 因为a∈A且3a∈A，
所以解得a<2，又a∈N，
所以a＝0或1.
14．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
【解析】 数集N，Z不是“闭集”，
数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N,2∈N，而＝1.5?N；
3∈Z，－2∈Z，
而＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)也是有理数，
故Q是闭集．同理R也是闭集．
课时作业2 集合的表示
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
【解析】 ∵x－3<2.∴x<5，又∵x∈N＋，
∴x＝1,2,3,4.
【答案】 B
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3【解析】 偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3【答案】 D
3．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，t<5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，s<6}
【解析】 集合中的元素除以4余1，故可以用4k＋1(0≤k≤4，k∈Z)或4k－3(1≤k≤5，k∈Z)来表示.
【答案】 D
4．下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1.(2)方程(x－1)3(x＋2)(x－5)＝0的解集含有3个元素．(3)0∈?.(4)满足1＋x>x的实数组成的集合为R.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)集合N中的最小元素是0，错误；(2)重复的元素按1个记，正确；(3)空集中不含有任何元素，错误；(4)1＋x>x恒成立的解集为R.
【答案】 C
5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【解析】 利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时， z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用列举法表示不等式组的整数解集合为________．
【解析】 解不等式组得－2【答案】 {－1,0,1,2}
7．用描述法表示被5除余1的整数的集合为________．
【解析】 由题意知，要求集合即为5的倍数再加1，可表示为A＝{x|x＝5k＋1，k∈Z}．
【答案】 {x|x＝5k＋1，k∈Z}
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
【解析】 由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
【答案】 {1,3}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【解析】 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
10．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集？
(1)方程(x＋1)2(x2－2)(x2＋1)＝0的有理根组成的集合A；
(2)被3除余1的自然数组成的集合；
(3)坐标平面内，不在第一，三象限的点的集合；
(4)自然数的平方组成的集合．
【解析】 (1)列举法：
由(x＋1)2(x2－2)(x2＋1)＝0，
得x＝－1∈Q，x＝∈Q，x＝±?Q.
所以A＝.有限集．
(2)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．无限集．
(3)描述法：坐标平面内在第一，三象限的点的特点是纵，横坐标同号，
所以不在第一，三象限的点的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．无限集．
(4)列举法：{0,12,22,32，…}；也可用描述法：{x|x＝n2，n∈N}．无限集．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 由题知a＋b＝0且b＝1，则b－a＝2.
【答案】 C
12．已知集合A＝，用列举法表示集合A为________．
【解析】 (6－x)是12的因数，并且x∈N，解得x为0,2,3,4,5.
【答案】 {0,2,3,4,5}
13．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
【解析】 (1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
14．已知集合A＝{x|ax2＋3x＋1＝0，x∈R}，
(1)若A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝0时，3x＋1＝0，满足条件；
当a≠0时，Δ＝9－4a＝0，a＝；
所以满足条件的实数a的值为0或.
(2)若A中只有一个元素，则实数a的值为0或；
若A＝?，则，得：a>.
所以满足条件的实数a的取值范围为a＝0或a≥.
课时作业3 集合间的基本关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
【解析】 x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
【答案】 B
2．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
【解析】 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
【答案】 D
3．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由B?A，知x2＝3，或x2＝x，解得x＝±，或x＝0，或x＝1，当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1舍去．
【答案】 C
4．已知集合M?{2,3,5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有( )
A．2个 B．4个
C．5个 D．6个
【解析】 当M中奇数只有3时有：{3}，{2,3}；
当M中奇数只有5时有：{5}，{2,5}；
当M中奇数有3,5时有：{3,5}，{2,3,5}，所以共6个集合．
【答案】 D
5．设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
【解析】 因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．集合{－1,0,1}共有________个子集．
【解析】 由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集．
【答案】 8
7．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
【解析】 A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝.
结合数轴知A?B.
【答案】 A?B
8．已知A＝{x|－3a}，A?B，则实数a的取值范围是________．
【解析】 在数轴上画出集合A.
又因为A?B，所以a<－3，
当a＝－3时也满足题意，
所以a≤－3.
【答案】 a≤－3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
【解析】 方法一：根据集合中元素的互异性，有
有或解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二：∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求由实数a的值组成的集合C.
【解析】 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.
所以A＝{1,2}．
因为B?A，
所以对B分类讨论如下：①若B＝?，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；
②若B≠?，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，适合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则集合A，B，C之间的关系完全正确的是( )
A．A≠B，A?C，B?C B．A＝B，A?C，B?C
C．A＝B，C?A，C?B D．A≠B，C?A，C?B
【解析】 集合A中元素所具有的特征：x＝2k＋1＝2(k＋1)－1，因为k∈Z，所以k＋1∈Z与集合B中元素所具有的特征完全相同，所以A＝B；当k＝2n时，x＝2k＋1＝4n＋1；当k＝2n＋1时，x＝2k＋1＝4n＋3.即C是由集合A中的部分元素所组成的集合．所以C?A，C?B.
【答案】 C
12．已知集合A＝{x|－3【解析】 (1)当B＝?时，即4a＋1≤a＋1.
a≤0，此时有B?A.
(2)当B≠?时，由题意知
解得0综上可知a≤1.
【答案】 a≤1.
13．已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}．是否存在实数x，使得B?A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
【解析】 假设存在实数x，使B?A，
则x＋2＝3或x＋2＝x2.
(1)当x＋2＝3时，x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x≠1.
(2)当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，故x＝－1或x＝2.
①当x＝－1时，A＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x≠－1.
②当x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B?A.
综上所述，存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}满足B?A.
14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1【解析】 ∵B?A，
(1)当B＝?时，
m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
课时作业4 交集与并集
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}
C．{x|－3【解析】 结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．
【答案】 A
2．设集合M＝{x|－3A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|2【解析】 ∵M＝{x|－3∴M∩N＝{x|1≤x<2}．
【答案】 A
3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|2x－y＝－4}，则A∩B等于( )
A．{x＝－1，y＝2} B．(－1,2)
C．{－1,2} D．{(－1,2)}
【解析】 由得
所以A∩B＝{(－1,2)}，故选D.
【答案】 D
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
【解析】 B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1【答案】 C
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1【解析】 在数轴上表示出集合A，B即可得a的取值范围为a>－1.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝________.
【解析】 ∵A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|3－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝{x|3≤x<5}．
【答案】 {x|3≤x<5}
7．定义A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.
【解析】 关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x?M}，所以N－M＝{6}．
【答案】 {6}
8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．
【解析】 由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：
所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.
【答案】 a≤1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设A＝{x|－1【解析】 如图所示：
A∪B＝{x|－1A∩B＝{x|－110．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B?A，求实数m的取值范围．
【解析】 由x2＋x－6＝0，
得A＝{－3,2}，
∵B?A，且B中元素至多一个，
∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝?.
(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝；
(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－；
(3)当B＝?时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.
∴m＝或m＝－或m＝0.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
【解析】 因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
【答案】 D
12．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A．－3≤m≤4 B．－3C．2【解析】 ∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?，
∴即2【答案】 D
13．设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的值．
【解析】 由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.
所以A＝{0,2}．
(1)因为A∩B＝B，所以B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝?时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，
所以a<0.
当B＝{0}或{2}时，
则?a＝0，
或无解
所以a＝0，B＝{0,2}，
则?a＝1，
综上，a≤0，或a＝1.
(2)因为A∪B＝B，所以A?B，
所以B＝{0,2}，所以a＝1.
14．已知集合A＝{x|2m－1【解析】 若A∩B＝?，分A＝?和A≠?讨论：
(1)若A＝?，则2m－1≥3m＋2，
解得m≤－3，此时A∩B＝?；
(2)若A≠?，要使A∩B＝?，
则应有即
所以－≤m≤1.
综上，当A∩B＝?时，
m≤－3或－≤m≤1，
所以当m>1或－3A∩B≠?.
课时作业5 全集与补集
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则?U A等于( )
A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}
C．{2,4,7} D．{2,5,7}
【解析】 由题意知?U A＝{2,4,7}，选C.
【答案】 C
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U (A∪B)等于( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0【解析】 A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
所以?U (A∪B)＝{x|0【答案】 D
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．A∩B B．A∪B
C．B∩(?U A) D．A∩(?U B)
【解析】 由Venn图可知阴影部分为B∩(?U A)．
【答案】 C
4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(?U A)∩B＝{4}，(?U A)∩(?U B)＝{1,5}，则下列结论中正确的是( )
A．3?A,3?B B．3?A,3∈B
C．3∈A,3?B D．3∈A,3∈B
【解析】 由Venn图可知，3∈A,3?B，故选C.
【答案】 C
5．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(?R M)?(?R N)，则k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
【解析】 由(?R M)?(?R N)可知M?N，则k的取值范围为k≥2.
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?U A＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.
【解析】 因为A∪(?U A)＝R，
所以a＝3，b＝4，
所以ab＝12.
【答案】 12
7．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?U A)∩B＝________.
【解析】 依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，?U A＝{4,6,7,9,10}，(?U A)∩B＝{7,9}．
【答案】 {7,9}
8．市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种都不订的有________户．
【解析】 由题意得两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481，从而两种都不订的有500－481＝19.
【答案】 19
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1求(1)A∩B；(2) ?U (A∪B)；(3)A∩(?U B)．
【解析】 (1)因为A＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1(2)A∪B＝{x|－1＝{x|－1?U (A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．
(3)A∩(?U B)＝{x|－13或x≤0}＝{x|－110．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)求(?R A)∩B；
(2)若A?C，求a的取值范围．
【解析】 (1)因为A＝{x|3≤x<7}，
所以?R A＝{x|x<3或x≥7}，
所以(?R A)∩B＝{x|2(2)因为C＝{x|x所以a≥7，
所以a的取值范围是{a|a≥7}．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U (A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?U B)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
【解析】 由A∪B＝{1,2,3}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3,4}知A∩(?U B)＝{3}．
【答案】 A
12．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【解析】 由已知A＝{x|x≥－m}，
所以?U A＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是m≥2.
【答案】 m≥2
13．(2016·雅安高一检测)已知集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝.
(1)当a＝1时，求(?R B)∪A；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝1时，A＝，
又因为B＝，
则?R B＝，
所以(?R B)∪A＝.
(2)因为A＝，
若A?B，
则当A＝?时，－≥，
所以0≥3不成立，
所以A≠?，
所以解得：－1所以a的取值范围是{a|－114．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(?I M)∩N.
(2)记集合A＝(?I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
所以?I M＝{x|x∈R且x≠－3}，
所以(?I M)∩N＝{2}．
(2)A＝(?I M)∩N＝{2}，
因为A∪B＝A，所以B?A，
所以B＝?或B＝{2}，
当B＝?时，a－1>5－a，得a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
课时作业6 生活中的变量关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是( )
A．明明 B．电话费
C．时间 D．爷爷
【解析】 电话费随着时间的变化而变化，故电话费是因变量．故选B.
【答案】 B
2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份)
B．圆的周长与半径
C．正n边形的内角和与边数
D．月份与年
【解析】 因为月份对应的年份不确定，不符合函数的关系，故月份与年两个变量之间的关系不是函数关系．
【答案】 D
3．下列各选项中，两个变量之间的关系不能被看成函数的是( )
A．小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系
B．三角形一边上的高一定时，三角形面积S与该边的长度x之间的关系
C．骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系
D．y表示一个正数x的平方根，y与x之间的关系
【解析】 A、小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系，两个变量之间的关系能被看成函数关系，故此选项不符合题意；
B、三角形一边上的高一定时，三角形面积S与该边的长度x之间的关系，两个变量之间的关系能被看成函数关系，故此选项不符合题意；
C、骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系，两个变量之间的关系能被看成函数关系，故此选项不符合题意；
D、y表示一个正数x的平方根，y与x之间的关系，两个变量之间的关系不能被看成函数关系，故此选项符合题意．
【答案】 D
4．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是( )
【解析】 由题意可知D中图像与故事吻合．
【答案】 D
5．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
【解析】 水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．给出下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系．其中不是函数关系的序号是：________.
【解析】 ①人的年龄与他拥有的财富之间存在依赖关系，但不是函数关系；③橘子的产量与气候之间存在依赖关系，但不是函数关系；②是函数关系．
【答案】 ①③
7．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合 B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，是否能形成函数________．
【解析】 因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．
【答案】 不能
8．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y/(米/秒)
331
334
337
340
343
(1)此表反映的是变量________随________的变化；
(2)用x表示y的关系式为________；
(3)气温为 22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．
【解析】 (1)此表反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22℃时，音速y＝×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距5×＝66＋1 655＝1 721(米)．
【答案】 (1)音速 气温
(2)y＝x＋331 (3)1 721
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？
【解析】 1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t小时，路程为s千米，则s＝20t(t≥0)．
10．在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量x(克)
02040邮资y(元)
0.80
1.60
2.40
(1)y是x的函数吗？为什么？
(2)分别求当x＝5,10,30,50时的函数值．
【解析】 (1)y是x的函数，当x取定一个值时，
y都有唯一确定的值与其对应．
(2)当x＝5时，y＝0.80；
当x＝10时，y＝0.80；
当x＝30时，y＝1.60；
当x＝50时，y＝2.40.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款总额：
①如果不超过200元，则不予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设一次性购买A，B商品，则应付款( )
A．413.7元 B．513.7元
C．546.6元 D．548.7元
【解析】 由题意可知，购买A商品并没有优惠，实际支付为168元，购买B商品时，按商品标价的9折优惠，故为实际价格．
又因为168＋>500，
所以×0.7＋500×0.9＝546.6(元)．
【答案】 C
12．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时，路程和时间的函数图像，由图可知，骑自行车者用了6小时(含途中休息的1小时)，骑摩托车者用了2小时，有人根据这个函数图像，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确信息的序号是________．
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3小时，晚到1小时
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
③骑摩托车者在出发1.5小时后追上了骑自行车者
【解析】 由图像可以看出骑自行车者早出发3个小时，而晚到1小时，是变速运动．骑摩托车者也是变速运动，但速度变化不大．骑摩托车者在出发1小时后追上骑自行车者．所以正确的序号是①.
【答案】 ①
13．由下列式子是否能确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝2；
(2)＋＝1；
(3)y＝＋.
【解析】 (1)由x2＋y2＝2，得y＝±，因此由它不能确定y是x的函数．
(2)由＋＝1，
得y＝(1－)2＋1，
所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，
由它可以确定一个唯一的y与之对应，
故由它可以确定y是x的函数．
(3)由得x∈?，
故x无值可取，y不是x的函数．
14．如图表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图像，两地间的距离是100千米，请根据图像回答或解决下面的问题．
(1)谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？
(3)指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内的哪段时间，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？
【解析】 (1)自行车出发较早，早3个小时，摩托车到达乙地较早，早到3个小时．
(2)自行车：12.5千米/时；摩托车：50千米/时．
(3)自行车出发3～5小时内，两车均行驶在途中．①当3课时作业7 函数概念
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对应：
①M＝R，N＝N*，对应关系f：“对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应”；
②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；
③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应关系f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应．”
是集合M到集合N上的函数的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
【解析】 ①M中有的元素在N中无对应元素．如M中的元素0；③M中的元素不是实数，即M不是数集；只有②满足函数的定义，故选A.
【答案】 A
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 由题意得解得－3≤x<且x≠－，故选B.
【答案】 B
3．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．不确定
【解析】 因为函数f(x)＝－1，
所以不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.故选B.
【答案】 B
4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝和y＝()2
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
【解析】 只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．
【答案】 D
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
【解析】 因为x2≥0，
所以x2＋1≥1，
所以0<≤1，
所以值域为(0,1]，故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. 用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3(3){x|x>1且x≠2}＝________.
【解析】 由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；
(2)(3,4]；
(3)(1,2)∪(2，＋∞)．
【答案】 (1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)
7．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
【解析】 因为f(x)＝，
所以f(a)＝＝2，所以a＝－1.
【答案】 －1
8．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
【解析】 由f(x)的图象可知 －5≤x≤5，－2≤y≤3.
【答案】 [－5,5] [－2,3]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
【解析】 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，故在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
10．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
【解析】 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
【解析】 f(2)＝＝＝.
f＝＝＝－.
∴＝－1.
【答案】 B
12．已知f(x－1)的定义域为[－3,3]，则f(x)的定义域为________．
【解析】 因为－3≤x≤3，
所以－4≤x－1≤2，
所以f(x)的定义域为[－4,2]．
【答案】 [－4,2]
13．已知f(x)＝(x∈R, 且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(a－1)，g(a＋1)的值．
【解析】 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
(3)f(a－1)＝＝；
g(a＋1)＝(a＋1)2＋2＝a2＋2a＋3.
14．已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，B＝{x|x(1)求集合A；
(2)若A?B，求a的取值范围；
(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求?U A及A∩(?U B)．
【解析】 (1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3}，使有意义的实数x的集合是{x|x>－2}．
所以，这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>－2}＝{x|－2即A＝{x|－2(2)因为A＝{x|－23.
(3)因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2所以?U A＝(－∞，－2]∪(3,4]．
因为a＝－1，所以B＝{x|x<－1}，
所以?U B＝[－1,4]，
所以A∩?U B＝[－1,3]．
课时作业8 函数的表示法
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
【解析】 因为g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
所以令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.
所以g(x)＝2x－1.
【答案】 B
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
【解析】 由绝对值的意义可知当x≥1时y＝x－1，
当x<1时，y＝1－x，选B.
【答案】 B
3．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0?a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0?a＝－3，适合题意．
【答案】 A
4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
【解析】 当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．
【答案】 A
5．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图所示，则f(x)的解析式为________．
【解析】 当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－x，故f(x)的解析式为f(x)＝
【答案】 f(x)＝
7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________.
【解析】 由图象可知f(0)＝4，f(4)＝2，f[f(0)]＝2.
【答案】 2
8．已知x≠0，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)＝________.
【解析】 f＝x2＋＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2.
【答案】 x2＋2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(1) 已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)；
(2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋9，求f(x)．
【解析】 (1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.
(2)方法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
方法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)设f(x)＝ax＋b，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b.
又∵3f(x＋1)＝6x＋9，∴3(ax＋a＋b)＝6x＋9，
∴∴
即f(x)＝2x＋1.
10．已知f(x)＝
求f(－1)；f(f(－1))；f(f(f(－1)))．
【解析】 ∵－1<0，∴f(－1)＝0，
∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
【解析】 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝
即f＝故f＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
【答案】 B
12. 设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．
【解析】 当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，所以
解得故f(x)＝当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，解得x＝－2或x＝1(1>0，舍去)．当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
所以方程f(x)＝x的解集为{－2,2}．
【答案】 {－2,2}
13．求下列函数解析式．
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)．
【解析】 (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
所以a＝2，b＝7，
所以f(x)＝2x＋7.
(2)2f(x)＋f(－x)＝3x，①
2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
①×2－②得3f(x)＝6x＋3x，
所以f(x)＝3x.
14．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
【解析】 (1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
课时作业9 映射
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对应不是映射的是( )
【解析】 结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个元素，在N中有唯一确定的元素与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．
【答案】 D
2．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是( )
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
【答案】 B
3．下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|
B．A＝{x|x≥0}，B＝{x|y>0}，f：x→y＝
C．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|
D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2
【解析】 A中当x＝0时，y＝0?B.同理B错，C中，当x＝1时，y＝0?B，故C不正确；由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，故D正确．
【答案】 D
4．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
【解析】 根据映射的概念，对于集合P中的每一个元素在对应法则f的作用下，集合Q中有唯一的元素和它对应．选项A、B、D均满足这些特点，所以可构成映射．选项C中f：x→y＝x，P中的元素4按照对应法则有×4＝>2，即?Q，所以P中元素4在Q中无对应元素．故选C.
【答案】 C
5．已知映射f：A→B，即对任意a∈A，f：a→|a|.其中集合A＝{－3，－2，－1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，则集合B中元素的个数是( )
A．7 B．6
C．5 D．4
【解析】 |－3|＝|3|，|－2|＝|2|，|－1|＝1，|4|＝4，且集合元素具有互异性，故B中共有4个元素．
∴B＝{1,2,3,4}．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
【解析】由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2，
所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
【答案】 5
7．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，则B中至少有________个元素．
【解析】 根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．
【答案】 3
8．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素 (6,2)在此映射下的原像是(3,1)，则k＝________，b＝________.
【解析】 由题设得?.
【答案】 2 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．下面8个对应，其中哪些是集合A到B的映射？
【解析】 紧扣映射的定义．
【答案】 (2)(4)(5)(6)(8)
10．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x和B中元素y＝2x对应，求实数m的值．
【解析】 由对应关系f可知，集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2对应．
于是m2＝2×4，解得m＝±2.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝－x2＋2x，若实数k∈B，且k在集合A中不存在原像，则k的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】 y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，由实数k∈B，在集合A中不存在原像知k>1.故选D.
【答案】 D
12．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．
【解析】 由题意知或
所以或
而a＝1，b＝1时，M中有两个相同元素，
故a＝1，b＝1不合题意．
所以a＋b＝1.
【答案】 1
13．已知(x，y)在映射f的作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)求(－2,3)在f作用下的像；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，求它的原像．
【解析】 (1)设f：(－2,3)→(x1，y1)，根据f：(x，y)→(x＋y，xy)有：
x1＝－2＋3＝1，y1＝(－2)×3＝－6，
∴(－2,3)在f作用下的像是(1，－6)．
(2)方法一：依题意得解得或
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)或(－1,3)．
方法二：设f：(m，n)→(2，－3)，由f：(x，y)→(x＋y，xy)可知：
m，n是方程t2－2t－3＝0的两根，解得 或
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)或(－1,3)．
14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b}．
求：(1)A到B的不同映射f：A→B有多少个？
(2)B到A的不同映射f：B→A有多少个？
【解析】 (1)f(1)，f(2)，f(3)的不同情况如表所示.
f(1)
f(2)
f(3)
a
a
a
b
b
b
a
a
b
a
b
b
b
a
a
b
a
b
b
b
a
由表可知A到B的不同映射共有8个．
(2)同样可得B到A的不同映射共有9个．
课时作业10 函数的单调性
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
【解析】 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.
【答案】 C
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3 B．0,2
C．－1,2 D．3,2
【解析】 当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；
x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.
【答案】 C
3．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0
【解析】 因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
【答案】 A
4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
【解析】 f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.
【答案】 A
5．已知函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】 若使函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a满足≤1，所以a≤4，选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝的最大值为________．
【解析】 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
【答案】 2
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)【解析】 由题设得
解得－1≤x<.
【答案】
8．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.
【答案】 (－∞，2]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
【解析】 f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；
单调递减区间为 .
(2)因为f＝，f()＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【解析】 (1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是增加的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由f(x)＝是R上的减函数知
解得≤a<.
【答案】 B
12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．
【解析】 在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，
由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.
【答案】 6
13．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a＝时f(x)＝x＋＋2.
设1≤x1∵1≤x10,2x1x2>2，
∴0<<，1－>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立?x2＋2x＋a>0恒成立.
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a>－3.
14．已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的递增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.
(1)求f(1)，f(4)的值；
(2)求满足f(2)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．
【解析】 (1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，
令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(4)＝2.
(2)由f(2)＝1及f(xy)＝f(x)＋f(y)可得2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)．
因为f(2)＋f(x－3)≤2.
所以f(2(x－3))≤f(4)．
又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，
所以解得3课时作业11 二次函数的图像
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，其图像开口最小的是( )
A．f(x)＝3x2 B．f(x)＝x2＋x－1
C．f(x)＝－x2－x D．f(x)＝－4x2＋1
【解析】 在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其图像开口越小．
【答案】 D
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )
【解析】 选项A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；选项B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝－>0，矛盾；选项D，y＝ax＋b中，a<0，b<0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．
【答案】 C
3．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
【解析】 二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t＝－4.
【答案】 A
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<0，c>0 B．a<0，b<0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b>0，c>0
【解析】 因为抛物线开口向下，所以a<0，
因为抛物线的对称轴在y轴右侧，
所以－>0，所以b>0，
因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0.
【答案】 D
5．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得图像对应的函数解析式为( )
A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
【解析】 将y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y＝2(x＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2(x＋2)2的图像，故选D.
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)＝________.
【解析】 ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴解得b＝4，c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
【答案】 x2＋4x＋2
7．将二次函数y＝－2x2的顶点移到(－3,2)后，得到的函数的解析式为________．
【解析】 因为二次函数y＝－2x2的顶点为(0,0)，所以要将其顶点移到(－3,2)，只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，所以平移后的函数解析式为y＝－2(x＋3)2＋2.
【答案】 y＝－2(x＋3)2＋2
8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积是________．
【解析】 y＝－x2－2x＋3＝(－x＋1)(x＋3)
＝－(x＋1)2＋4，
由题意，令A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，
所以S△ABC＝×4×4＝8.
【答案】 8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，求该二次函数的解析式．
【解析】 将y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得解析式为
y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3＝x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7.
令x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7＝x2－2x＋1，
比较对应项系数可得
解得
∴所求函数解析式为y＝x2－6x＋6.
10．已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．
【解析】 (1)配方得y＝2(x－1)2－8.
因为a＝2>0，
所以函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，
顶点坐标是 (1，－8)．
列表：
x
－1
0
1
2
3
y
0
－6
－8
－6
0
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像．
如图所示：
(2)由图像得，函数与x轴的交点坐标为A(－1,0)，B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．
所以S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总过的点是( )
A．(1,3) B．(1,0)
C．(－1,3) D．(－1,0)
【解析】 由题意知x2＋2x－y＋m(1－x)＝0恒成立，
所以解得
所以图像总过点(1,3)．
【答案】 A
12．已知y＝1与函数f(x)＝x2－|x|＋a的图像有两个交点，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由函数f(x)＝x2－|x|＋a＝的大致图像知f(x)min＝f＝f＝a－，f(0)＝a，若y＝1与y＝f(x)有两个交点，则有a<1或a－＝1，即a<1或a＝.
【答案】
13．已知二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
【解析】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x－2)＝f(－x－2)
得对称轴为x＝－＝－2，
所以b＝4a.
因为图像在y轴上的截距为1，所以c＝1，
又|x1－x2|＝＝2，
所以b＝2或b＝0(舍去)，a＝，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，且x＋x＝，试问：该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位长度得到的？
【解析】 由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，展开得
y＝－3x2＋6x－3＋k.
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
即4－＝.解得k＝.
∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位长度得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，即y＝－3x2＋6x－.
课时作业12 二次函数的性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝x2－2x＋3在(－1,5)上的最小值为( )
A．2 B．6
C．18 D．22
【解析】 判断对称轴x＝1在区间(－1,5)内部，在x＝1取得最小值2.
【答案】 A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
【解析】 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，
所以－＝1，即m＝－2.
【答案】 A
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc等于( )
A．－6 B．11
C．－ D.
【解析】 因为f(x)图像过点(0,2)，所以c＝2.
又顶点为(4,0)，
所以－＝4，＝0.
解得b＝－1，a＝，
所以abc＝－.
【答案】 C
4．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3(m≠1)的图像关于y轴对称，则f(x)在(－3,1)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
【解析】 由f(x)的图像关于y轴对称，得m＝0，所以函数f(x)＝－x2＋3，
由f(x)的图像(图略)知其在(－3,1)上先增后减．故选C.
【答案】 C
5．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是单调递减，则a的取值范围是( )
A．[－3,0] B．(－∞，－3]
C．[－3,0) D．[－2,0]
【解析】 若a＝0，则f(x)＝－6x＋1(符合题意)，a>0不合题意，若a<0，
则－≤－2，解得－3≤a<0，
综上得－3≤a≤0.故选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．抛物线y＝x2＋(a＋2)x＋1的顶点在y轴上，则a＝________.
【解析】 ∵抛物线的顶点在y轴上，∴ －＝0，即a＝－2.
【答案】 －2
7．已知函数f(x)＝x2－kx－8在[1,5]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．
【解析】 函数f(x)的对称轴为x＝，
所以≤1或≥5，
所以k≤2或k≥10.
【答案】 (－∞，2]∪[10，＋∞)
8．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
【解析】 f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.
所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝2.
所以f(x)在[0,1]上单调递增．
又因为f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
【答案】 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求实数a的值．
【解析】 ∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]，
由题意知(－∞，a]?(－∞，2)，
∴a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞)．
(2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，
即a＝2.
10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】 (1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．
(2)设每轴车的月租金为x(x≥3 000)元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050 时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
【解析】 如图所示．
f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3.由图可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．故选C.
【答案】 C
12．已知函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】 因为函数f(x)＝
为R上的减函数，
所以
解得a≤－4.
所以a的取值范围为{a|a≤－4}．
【答案】 {a|a≤－4}
13．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)当a∈R时，求函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
【解析】 (1)因为a＝－1，
所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在[－5,1]上是减少的，
f(x)在[1,5]上是增加的．
所以f(x)min＝f(1)＝1，
f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图所示．
由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a.
③当0<－a<5，即－5由图像可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2.
④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，
f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
14．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[ 2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m的取值范围．
【解析】 (1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图
像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数不单调，则2a<1即a的取值范围为.
(3)由已知得 2x2－4x＋3>2x＋2m＋1，
化简得x2－3x＋1－m>0.
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则只要g(x)min>0，
因为x∈[－1,1]时，g(x)是减少的，
所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，
因此有－1－m>0，得m<－1，
即a的取值范围为(－∞，－1)．
课时作业13 简单的幂函数
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．幂函数y＝f(x)经过点(2，)，则f(9)为( )
A．81 B.
C. D．3
【解析】 设f(x)＝xα，由题意得＝2α，
∴α＝.
∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3，故选D.
【答案】 D
2．在下列四个图形中，y＝x－的图像大致是( )
【解析】 函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.
【答案】 D
3．定义在R上的偶函数f(x)在x>0上是增函数，则( )
A．f(3)B．f(－π)C．f(3)D．f(－4)【解析】 因为f(x)在实数集R上是偶函数，
所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．
而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(3)即f(3)【答案】 C
4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
【解析】 ∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
【答案】 A
5．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2)
C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)
【解析】 因为函数y＝f(x＋2)为偶函数，
令g(x)＝f(x＋2)，
所以g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)，
所以f(x＋2)＝f(2－x)，
所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
又因为函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，
所以在(－∞，2)上为减少的，利用距对称轴x＝2的远近可知，f(0)>f(1)，f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
【解析】 ∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图像关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
【答案】 f(x)＝x－1
7．函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则a＝________.
【解析】 函数f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，图像关于y轴对称，所以1－a＝0，即a＝1.
【答案】 1
8．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为________．
【解析】 因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m，所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为(m＋3)＋(－m＋3)＝6.
【答案】 6
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
【解析】 (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
10．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.3，2.4；
(2)()－，()－；
(3)(－0.31)，0.35.
【解析】 (1)∵y＝x为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3<2.4.
(2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，又<，
∴()－>()－.
(3)∵y＝x为R上的偶函数，
∴(－0.31)＝0.31.
又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，
∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( )
A．4 B．0
C．2m D．－m＋4
【解析】 由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，
得a·57－b·55＋c·53＝2－m，
则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.
所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A.
【答案】 A
12．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)>f(2)，
∴|x－1|<2，∴－2∴x∈(－1,3)．故填(－1,3)．
【答案】 (－1,3)
13．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【解析】 ∵幂函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，
得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图像．
【解析】 (1)因为x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，
所以当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝－x(1－x)，
所以f(x)＝x(1－x)，
综上f(x)＝
(2)f(x)的图像如图所示．
课时作业14 正整数指数函数
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，正整数指数函数的个数为( )
①y＝1x；②y＝－4x；③y＝(－8)x.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 由正整数指数函数的定义知，A正确．
【答案】 A
2．y＝x，(x∈N＋)的图像是( )
A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
【解析】 因为正整数指数函数当底大于0小于1时为减函数，所以其图像是一系列下降的点．
【答案】 D
3．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，f(0)＋f(1)＝3，则a为( )
A. B．2
C．4 D.
【解析】 a0＋a1＝3，所以1＋a＝3，所以a＝2.故选B.
【答案】 B
4．一批价值a万元的设备由于使用时磨损，每年比上一年的价值降低b%，则n年后，这批设备的价值为( )
A．na(1－b%)万元 B．a(1－nb%)万元
C．a[1－(b%)n]万元 D．a(1－b%)n万元
【解析】 每经过一年磨损，价值变为上一年价值的(1－b%)倍，故经过n年，价值变为a(1－b%)n万元．
【答案】 D
5．若正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x的图像如图所示，则a的值是( )
A．a＝0 B．a＝1
C．a＝2 D．a＝3
【解析】 根据函数f(x)＝(a＋1)x的图像特征，可知， a＋1＝2，所以a＝1.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，经过两个小时，1个这样的细胞可以分裂成________个细胞．
【解析】 2小时共分裂8次，所以共分裂成28个．
【答案】 28(或256)
7．已知一个正整数指数函数的图像经过点P，则其解析式为________．
【解析】 设解析式为y＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)，则＝a3，所以a＝.即y＝x(x∈N＋)．
【答案】 y＝x(x∈N＋)
8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过________年，剩余的物质是原来的.
【解析】 设物质最初的质量为1，则经过x年，y＝x.
依题意得x＝，解得x＝3.
【答案】 3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数是否为正整数指数函数：
(1)y＝()x(x∈N＋)；
(2)y＝2×()x(x∈N＋)；
(3)y＝x3(x∈N＋)；
(4)y＝(a＋1)－x(a>－1且a≠0，x∈N＋)．
【解析】 (1)y＝()x(x∈N＋)，符合定义，是正整数指数函数．
(2)y＝2×()x，不符合定义特点，所以不是正整数指数函数．
(3)y＝x3，是幂函数，不符合正整数指数函数定义特点，所以也不是正整数指数函数．
(4)y＝(a＋1)－x(a>－1且a≠0，x∈N＋)，由于y＝(a＋1)－x＝x，
由a>－1且a≠0知a＋1>0且a＋1≠1，所以>0且≠1，所以它是正整数指数函数．
10．画出y＝x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
【解析】 由图像知，y＝x(x∈N＋)的图像是由一些孤立的点组成的，并且随着x(x∈N＋)的增大，y逐渐减小，即函数是减函数．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
【解析】 设平均每年应降低成本x%，
由题意得(1－x%)2＝1－36%＝64%，
所以x＝20.故选B.
【答案】 B
12．某电子元件厂生产一种元件的原成本为10元，在今后5年内，计划使成本平均每年比上一年降低1%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式是________．
【解析】 由题意得y＝10×(1－1%)x＝10×0.99x(x＝1,2,3,4,5)．
【答案】 y＝10×0.99x(x＝1,2,3,4,5)
13．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数，并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
【解析】 (1)1999年年底的人口数：13亿；
经过1年，2000年年底的人口数：
13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)
经过2年，2001年年底的人口数：
13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2亿，
经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13×(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．
所以经过年数与(1＋1‰)的指数相同．
所以经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，
所以y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．
(2)理论上指数函数定义域为R，
因为此问题以年作为单位时间，
所以x∈N是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，
因为1＋1‰>1,13>0，
所以y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
14．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？右有，试求出；若无，请说明原因．
【解析】 设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)．
因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，
所以f(3)＝27，即a3＝27，所以a＝3.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为正整数指数函数f(x)＝3x(x∈N＋)在正整数集N＋上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f(1)＝3.
课时作业15 指数概念的扩充
指数运算的性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．将化为分数指数幂，其形式是( )
A．2 B．－2
C．2 D．－2
【解析】 ＝(－2)
＝(－2×2)
＝(－2)＝－2.
【答案】 B
2．已知m>0，则m·m等于( )
A．m B．m
C．1 D．m
【解析】 由于m>0，所以m·m＝m＋＝m1＝m.
【答案】 A
3．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x≠
C．x> D．x<
【解析】 (1－2x)＝，要使(1－2x)有意义，则需1－2x>0，即x<.
【答案】 D
4.(a>0)的值是( )
A．1 B．a
C．a D．a
5．化简()4·()4的结果是( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.－2＋(1－)0－－160.75＝________.
【答案】 －7
【答案】
8．若10x＝2,10y＝3，则10＝________.
【解析】 由10x＝2,10y＝3，
得10x＝(10x)＝2，
102y＝(10y)2＝32，
【答案】
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)m2·(m>0)；
(2)(m>0)；
(3)(a>0，b>0)；
(4)(x>0，y>0)．
(4)方法一：从外向里化为分数指数幂．
方法二：从里向外化为分数指数幂．
10．化简求值：
|能力提升|(20分钟，40分)
11．化简·的结果是( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由题意可知a≤0，则·＝(－a)·a＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＝－＝－.
【答案】 B
12．若＋＝0，则(x2017)y＝________.
【解析】 因为＋＝0，
所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
∴(x2017)y＝[(－1)2017]－3＝(－1)－3＝－1.
【答案】 －1
13．已知a＋a＝，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.
【解析】 (1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，
则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，
得a2＋a－2＋2＝9，
则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2
＝(a2＋a－2)2－4
＝72－4
＝45，
所以y＝±3，
即a2－a－2＝±3.
14．(1)已知x＝，y＝，
求－的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，
求的值．
【解析】 (1)－＝－＝.
当x＝，y＝时，
原式＝＝
＝－24＝－8.
(2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a>b>0，所以>，
2＝
＝＝，
所以＝＝.
课时作业16 指数函数的概念
指数函数y＝2x和y＝x的图像和性质
指数函数的图像和性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列结论正确的是( )
A．对于x∈R，恒有3x>2x
B．y＝()－x是增函数
C．对a>1，x∈R，一定有ax>a－x
D．y＝2|x|是偶函数
【解析】 A．当x<0时，2x>3x；B.y＝x＝x在R上单调递减；C.当x＝0时，就有ax＝1，a－x＝1；D.符合偶函数的定义．
【答案】 D
2．设a＝22.5，b＝2.50，c＝2.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
【解析】 因为a＝22.5>1，b＝2.50＝1，c＝2.5<1，所以a>b>c.
【答案】 C
3．函数y＝的值域是( )
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【解析】 由≥0且y＝x是减函数，知0【答案】 B
4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图像可能是( )
【解析】 需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0【答案】 B
5．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
【解析】 f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)>f(－3)，
∴－2>－3，即a2>a3.
∴a<1，即0【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知指数函数f(x)的图像过点，则f(－3)＝________.
【解析】 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a4＝，所以a＝.所以f(x)＝x.所以f(－3)＝－3＝8.
【答案】 8
7．(1)若0.2m>1>0.2n，则________>0>________(填m或n)；
(2)若x<23x＋1，则x的取值范围是________．
【解析】 (1)由0.2m>1＝0.20>0.2n，
得n>0>m.
(2)x＝2－2x<23x＋1，
∴3x＋1>－2x，x>－.
【答案】 (1)n m (2)x>－
8．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
【解析】 a＝∈(0,1)，
故am>an?m【答案】 m三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．若f(x)的图像如图所示，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式f(x) ≥2.
【解析】 (1)由图像得，点(1,0)，(0，－1)在函数f(x)的图像上，所以解得
∴f(x)＝2x－2.
(2)f(x)＝2x－2≥2，
∴2x≥4，∴x≥2.
10．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式2x>2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
【解析】 由≥0，解得x≤－2或x>1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x>2－a－x?2x>a＋x?2x因为A∩B＝B，所以B?A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．定义运算a?b＝则f(x)＝2x?2－x的图像是( )
【解析】 当x≥0时，2x≥1≥2－x>0；
当x<0时，0<2x<1<2－x.
故f(x)＝2x?2－x＝
【答案】 C
12．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
【解析】 当0要使得y＝2a与y＝|ax－1|有两个交点，
需0<2a<1，故0当a>1时，如图(2)所示，
由于y＝2a>2，所以y＝2a与y＝|ax－1|不存在两个交点，故a的取值范围为0【答案】
13．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
【解析】 当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.
又a>1，∴a＝；
当0∴
即解得a∈?.
综上所述，实数a的值为.
14．已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
【解析】 (1)由f(x)为偶函数，得
对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，
即2x(1－a)＝·(1－a)，
∴1－a＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)
＝2x1＋－
＝(2x1－2x2)＋
＝(2x1－2x2)＋
＝(2x1－2x2)
＝(2x1－2x2)·，(*)
当x11，
∴(*)式小于0，
从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)及f(x)为偶函数知f(x)＝2x＋在(－∞，0)上单调递减，
令t＝2x>0，则y＝t＋(t>0)，
∴函数y＝t＋(t>0)在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴函数f(x)的值域为[2，＋∞)．
课时作业17 对数及其运算
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有( )
A．log2x＝y B．log2y＝x
C．logxy＝2 D．logyx＝2
【解析】 因为x＝y2(y>0，且y≠1)，所以logyx＝logyy2＝2.
【答案】 D
2．已知logx16＝2，则x等于( )
A．±4 B．4
C．256 D．2
【解析】 由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，又x>0且x≠1，所以x＝4.
【答案】 B
3．若lgx＝m，lgy＝n，则lg－lg2的值为( )
A.m－2n－2 B.m－2n－1
C.m－2n＋1 D.m－2n＋2
【解析】 因为lgx＝m，lgy＝n，
所以lg－lg2＝lgx－2lgy＋2＝m－2n＋2.故选D.
【答案】 D
4．在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4【解析】 因为所以2【答案】 D
5．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3 B.
C．9 D.
【解析】 由已知得am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故选D.
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．lg10 000＝________；lg0.001＝________.
【解析】 由104＝10 000知lg10 000＝4,10－3＝0.001得lg0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
【答案】 4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________
【解析】 因为log2(1－2x)＝1＝log22，
所以1－2x＝2，所以x＝－.
经检验满足1－2x>0.
【答案】 －
8．log232－log2＝________.
【解析】 原式＝log2＝log232＝5.
【答案】 5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)log27＝－3；
(3)logx＝6；(4)43＝64；
(5)3－2＝；(6)－2＝16.
【解析】 (1)24＝16；(2)－3＝27；
(3)()6＝x；(4)log464＝3；
(5)log3＝－2；(6)log16＝－2.
10．化简：(1)；
(2)(lg5)2＋lg2lg50＋2.
【解析】 (1)法一：(正用公式)：
原式＝
＝＝.
法二：(逆用公式)：
(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2log2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＋2＝1＋2.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设9a＝45，log95＝b，则( )
A．a＝b＋9 B．a－b＝1
C．a＝9b D．a÷b＝1
【解析】 由9a＝45得a＝log945＝log99＋log95＝1＋b，即a－b＝1.
【答案】 B
12．已知5lgx＝25，则x＝________，已知logx8＝，则x＝________.
【解析】 因为5lgx＝25＝52，所以lgx＝2，
所以x＝102＝100，
因为logx8＝，所以x＝8，
所以x＝8＝4.
【答案】 100 4
13．求下列各式的值：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
【解析】 (1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64
＝÷2log62
＝[(log62)2＋(log62)2＋2·log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.
14．(1)已知lgx＋lg(2y)＝2lg(x－4y)，求log2；
(2)设a＝lg2，b＝lg3，试用a，b表示lg.
【解析】 (1)由已知得lg(2xy)＝lg(x－4y)2，
∴2xy＝(x－4y)2，
∴2xy＝x2－8xy＋16y2，
∴x2－10xy＋16y2＝0，
∴x＝2y或x＝8y.
∵x>0，y>0，x－4y>0，
∴x＝2y(舍去)，∴x＝8y，∴＝8，
∴log2＝log28＝3.
(2)∵108＝4×27＝22×33，
∴lg＝lg108＝lg(22×33)
＝lg22＋lg33
＝lg2＋lg3
＝a＋b.
课时作业18 换底公式
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．1＋3a－a2
【解析】 ∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
【答案】 A
2．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3 B．9
C．18 D．27
【解析】 原式可化为log8m＝，
＝，
即lg m＝，lg m＝lg 27，m＝27.
故选D.
【答案】 D
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 log512＝＝＝，选C.
【答案】 C
4.＋等于( )
A．lg 3 B．－lg 3
C. D．－
【解析】 ＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
【答案】 C
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2 B.
C．4 D.
【解析】 由根与系数的关系，
得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
∴2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b
＝22－4×＝2.
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5＝________.
【解析】 ∵原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5
＝1×[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5
＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2
＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
【答案】 1
7．已知log147＝a，log145＝b，则log3528＝________.(用a，b表示)
【解析】 log3528＝＝
＝＝
＝＝
＝.
【答案】
8．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
【解析】 由换底公式，
得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
【答案】
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
【解析】 (1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝
＝log32×log23＝××＝.
10．若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.
【解析】 因为log245＝log2(5×9)
＝log25＋log29
＝log25＋2log23，
而log52＝b，则log25＝，
所以log245＝2a＋＝.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为( )
A. B.
C．2 D．1
【解析】 因为xlog34＝1，
所以x＝＝log43，
所以4x＝4log43＝3,4－x＝＝，
所以4x＋4－x＝3＋＝.
【答案】 B
12．设4a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝________.
【解析】 由4a＝5b＝m，
得a＝log4m，b＝log5m，
所以logm4＝，logm5＝，
则＋＝logm4＋logm5
＝logm10＝1，
所以m＝10.
【答案】 10
13．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
【解析】 由logza＝24得logaz＝，
由logya＝40得logay＝，
由log(xyz)a＝12得loga(xyz)＝，
即logax＋logay＋logaz＝.
所以logax＋＋＝，
解得logax＝，所以logxa＝60.
14．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)
【解析】 (1)依题意得y＝ax＝ax，
其中x≥1，x∈N；
(2)依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg 3－1)≤－lg 2?x≥≈6.572，
∴xmin＝7.
答：通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下．
课时作业19 对数函数的概念
对数函数y＝log2x的图像和性质|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列各组函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
【解析】 A中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax的定义域为(0，＋∞)；B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为[0，＋∞)；C中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x∈R|x≠0}．
【答案】 C
2．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 f(a)＝log2(a＋1)＝1，所以a＋1＝2，所以a＝1.
【答案】 B
3．设集合A＝{x|y＝log2x}，B＝{y|y＝log2x}，则下列关系中正确的是( )
A．A∪B＝A B．A∩B＝?
C．A∈B D．A?B
【解析】 由题意知A＝{x|x>0}，B＝R，故A?B.
【答案】 D
4．函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( )
A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe
【解析】 易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x.
【答案】 C
5．函数y＝|log2x|的图像是图中的( )
【解析】 有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像变换是翻折变换，可知这个函数是由y＝log2x经上折而得到的．
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝lg(1－x)＋的定义域为________．
【解析】 由解得－2所以函数f(x)＝lg(1－x)＋的定义域为(－2，1)．
【答案】 (－2,1)
7．若函数f(x)＝ax－1的反函数的图像过点(4,2)，则a＝________.
【解析】 因为f(x)的反函数的图像过(4,2)，所以f(x)的图像过(2,4)，所以a2－1＝4，所以a＝4.
【答案】 4
8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
【解析】 ∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.
【答案】 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
【解析】 (1)∵当1－x>0，即x<1时，
函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}．
(3)由>0，得x<.
∴函数y＝log7的定义域为.
10．求出下列函数的反函数：
(1)y＝logx；
(2)y＝x；
(3)y＝πx.
【解析】 (1)对数函数y＝logx，它的底数为，所以它的反函数是指数函数y＝x；
(2)同理，指数函数y＝x的反函数是对数函数y＝logx；
(3)指数函数y＝πx的反函数为对数函数y＝logπx.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1)的图像是下图中的( )
【解析】 由y＝ax解得x＝logay，
∴g(x)＝logax.
又∵g(2)<0，∴0故g(x＋1)＝loga(x＋1)是递减的，并且是由函数g(x)＝logax向左平移1个单位得到的．
【答案】 A
12．函数f(x)＝的定义域是________．
【解析】 ∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使，即－3【答案】 (－3,0)
13．已知函数y＝log2x的图像，如何得到y＝log2(x＋1)的图像？y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
【解析】 y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．
14．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝x(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B?C，求a的取值范围．
【解析】 (1)由题意知：
?x≥2，
所以A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}，
所以A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B?C，则有a－1≥2，所以a≥3.
课时作业20 对数函数的图像和性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图像过点(4,0)和(7,1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
【解析】 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式，
有
解得a＝4，m＝3，
则有f(x)＝log4(x－3)．
由于定义域是x>3，则函数不具有奇偶性．很明显函数f(x)在定义域上是增函数．
【答案】 A
2．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
【解析】 当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，
又f(x)的图像关于x＝1对称，故选B.
【答案】 B
3．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)C．f(－2)【解析】 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，
所以f(1)【答案】 B
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
【解析】 无论a>1还是0所以a＝(a0＋loga1)＋(a＋loga2)，
所以a＝1＋a＋loga2，
所以loga2＝－1，所以a＝.
【答案】 B
5．若a>b>0,0A．logacC．accb
【解析】 法一：因为0法二：取a＝4，b＝2，c＝，则log4＝－>log2，排除A；4＝2>2，排除C；4<2，排除D；故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若a>0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋2的图像恒过定点________．
【解析】 当x－1＝1时，loga(2－1)＝0，
所以函数过定点(2,2)．
【答案】 (2,2)
7．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________．
【解析】 由奇函数得f(x)＝－f(－x)，
log2 ＝－log2，
＝，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1.
【答案】 1
8．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由题意得
或解得a>1或－1【答案】 (－1,0)∪(1，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
【解析】 利用换元法，转化为二次函数问题来解决．
由y＝logx在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥logx≥log4，即－2≤logx≤－1.
若设t＝logx，
则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图像的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，
而[－2，－1]?.
所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.
10．已知loga(2a＋3)【解析】 (1)当a>1时，原不等式等价于
解得a>3.
(2)当0解得0综上所述，a的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0【解析】 若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0【答案】 A
12．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．
【解析】 要使函数f(x)的值域为R，
需使所以
所以－1≤a<.
【答案】
13．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图像上时，点在函数y＝g(x)的图像上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
【解析】 (1)依题意，
则g＝log2(x＋1)，
故g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0得，
log2(x＋1)＝log2(3x＋1)，
所以
解得，x＝0或x＝1.
14．已知a>0且a≠1，f(logax)＝.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．
【解析】 (1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)；
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)
＝－f(x)，
且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a>1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到>0，
所以这时f(x)为增函数；
当0所以f(x)在R上为增函数；
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，
所以f(1－m)因为f(x)在(－1,1)上为增函数，
所以
解之，得 即m的取值范围是.
课时作业21 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
【解析】 画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
【答案】 B
2．若－1A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
【解析】 在同一坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图像，由－1【答案】 B
3．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图像，可能正确的是( )
【解析】 函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中01，显然y＝ax的图像不符，排除A，B，选D.
【答案】 D
4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时 )，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A．640 B．1 280
C．2 560 D．5 120
【解析】 由题意可知，当t＝0时，y＝10；当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(ek)7＝1 280.
【答案】 B
5．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的( )
【解析】 当h最大时，S为0，h为0时，S最大，排除A，B，当h越接近H时，S减少得越慢，故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】 ∵a＝0.32<1<20.3＝c，∴c>a>0.
又∵b＝log20.3a>b.
【答案】 c>a>b
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
【解析】 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，
由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x
图像的上方，则f(x)>g(x)．
【答案】 f(x)>g(x)
8．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
【解析】 设湖水量每年为上年的q%，
则(q%)50＝0.9，
所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.
【答案】 y＝0.9·m
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
【解析】 方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
【解析】 本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 635
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
【解析】 三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C符合上述规律，故选C.
【答案】 C
12．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能使产品达到市场要求．(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
【解析】 依题意，得·n≤，
即n≤.
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
【答案】 8
13．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解析】 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数；
1 h后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100.
可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为
y＝100×x，x∈N＋.
由100×x>1010，得x>108，
两边同时取以10为底的对数，
得xlg>8，∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46 h，细胞总数超过1010个．
14．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排报药时间(共4次)效果最佳？
【解析】 (1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此是血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即有－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
课时作业22 利用函数性质判定方程解的存在
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【解析】 令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
【答案】 D
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
【解析】 ∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
【答案】 C
3．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为f＝＋log2<0，
f＝＋log2>0，
所以f·f<0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为.
【答案】 A
4．设函数f(x)＝x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】 令h(x)＝x－(3－x)，则h(0)＝－2，h(1)＝－，h(2)＝－，h(3)＝.故h(x)的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.
【答案】 C
5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标，如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8] 上________(填“存在”或“不存在”)零点．
【解析】 法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，
又 f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
【答案】 存在
7. 已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围为________．
【解析】 由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2＋a)<0.
∴－2【答案】 (－2,0)
8．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
【解析】 令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，
因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0.
所以f(x)在(2,3)内有解，所以k＝2.
【答案】 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
【解析】 由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
【解析】 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图像是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝|x|＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
【解析】 作出f(x)、g(x)图象，如图．
因为A(0,1)，B(－2,0)．
kAB＝＝.
要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，【答案】 B
12．已知函数f(x)＝其中m>0.
若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【解析】 作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m20.又m>0，解得m>3.
【答案】 (3，＋∞)
13．对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)＝x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点，已知f(x)＝x2＋bx＋c.
(1)若f(x)有两个不动点为－3,2，求函数f(x)的零点；
(2)若c＝b2时，函数f(x)没有不动点，求实数b的取值范围．
【解析】 (1)由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3,2.
所以所以从而f(x)＝x2＋2x－6，
由f(x)＝0得x1＝－1－，x2＝－1＋.
故f(x)的零点为－1±.
(2)若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋，
又f(x)无不动点，
即方程x2＋bx＋＝x无解，
所以(b－1)2－b2<0.
即－2b＋1<0，所以b>.故b的取值范围是b>.
14．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
【解析】 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<.
即a的取值范围为.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
即a的取值范围为.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得 即a的取值范围为.
课时作业23 利用二分法求方程的近似解
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
【解析】 观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，
所以零点x3不能用二分法求．
【答案】 C
2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
【解析】 ∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.
【答案】 D
3．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点
【解析】 根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或中或f＝0.
【答案】 B
4．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 由<0.01，得2n>10，
所以n的最小值为4.故选B.
【答案】 B
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
【解析】 由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0且在[1.406 5,1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)f(2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)f(x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
【解析】 由二分法的定义，根据f(0)f(2)<0，f(0)f(x1)<0，
故零点所在区间可以为(0，x1)．
【答案】 (0，x1)
7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
【解析】 显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
【答案】 －2.25
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
【解析】 将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
【答案】 4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．
【解析】 令f(x)＝ln x－，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln>ln 1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－＝(ln1.53－2)．
因为1.53＝3.375，e2>4>1.53，
故f(1.5)＝(ln 1.53－2)<(ln e2－2)＝0，
f(1.5)f(2)<0，下一个有根区间是[1.5,2]．
10．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
【解析】
函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，得x5＝x＋1.
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图，显在它们只有1个交点．
F(1)＝1－1－1＝－1<0
F(2)＝25－2－1>0
∴F(x)＝x5－x－1的零点区间为(1,2)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(1,2)或(2,3) D．不能确定
【解析】 因为f(1)＝31＋3×1－8＝－2<0，f(3)＝33＋3×3－8＝28>0，f(2)＝32＋3×2－8＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，
所以f(x)＝0的下一个有根的区间为(1,2)．
【答案】 A
12.
已知y＝x(x－1)(x＋1)的图像如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，对于方程式f(x)＝0根的情况，以下说法正确的是________．(填上正确的序号)
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
【解析】
函数f(x)的图像可由y＝x(x－1)(x＋1)的图像向上平移0.01个单位长度即可，如图所示．由图像易知方程f(x)＝0有三个实根，当x<－1时，恰好有一根；当－11时，没有实根．所以只有①②正确．
【答案】 ①②
13．已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的一个根．
【解析】 (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，
所以a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或
所以1(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
所以f(－1)＝>0，f(0)＝>0，
f(1)＝－<0.
所以函数零点在(0,1)上，又f＝0，
所以方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的一个根为.
14．证明：方程6－3x＝2x在区间[1,2]内只有一个实数解，并求出这个实数解．(精确到0.1)
【证明】 设函数f(x)＝2x＋3x－6.
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又函数f(x)＝2x＋3x－6在R上是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一的实数解．
取区间[1,2]的中点x1＝1.5，
f(1.5)≈1.33>0，
f(1)＝－1<0，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1,1.5]内；
取区间[1,1.5]的中点x2＝1.25，
f(1.25)≈0.128>0，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1,1.25]内；
取区间[1,1.25]的中点
x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1.125,1.25]内；
再取区间[1.125,1.25]的中点x4＝1.187 5，
可得f(1.187 5)≈－0.16<0.
∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1.187 5,1.25]内．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5 <0.1，
∴方程的近似实数解为1.2.
课时作业24 实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
【解析】 设某林区的森林蓄积量原来为a，
依题意知，ax＝a(1＋9.5%)y，所以y＝log1.095x.
【答案】 D
2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
【解析】 因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x)辆，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.
【答案】 D
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为( )
A．p＝96V B．p＝
C．p＝ D．p＝
【解析】 设p＝，则64＝，解得k＝96，故p＝.故选D.
【答案】 D
4．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．
【答案】 C
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
【解析】 由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16.
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
【解析】 依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，
故6＝a3－2，解得a＝2.
因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.
【答案】 4
7．某电脑公司2015年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2017年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2015年到2017年，每年经营总收入的年增长率相同，2016年预计经营总收入为________万元．
【解析】 设年增长率为x，则有×(1＋x)2＝1 690，1＋x＝，因此2016年预计经营总收入为×＝1 300(万元)．
【答案】 1 300
8．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
【解析】 A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
【答案】 (4) (1) (3) (2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明，假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x (cm)
40
37
桌子高度y(cm)
75
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
【解析】 (1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．
得所以所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的．
10．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【解析】 (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000；
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400＝20 000<25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000，
即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
【解析】 从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A.
【答案】 A
12．计算机的价格大约每3年下降，那么今年共8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．
【解析】 设计算机价格平均每年下降p%，
由题意可得＝(1－p%)3，
∴p%＝1－，
∴9年后的价格大约为y＝8 100×9
＝8 100×3＝300(元)．
【答案】 300
13．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
14．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)可养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
【解析】 (1)由题意得当 0当4显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0当4所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
