名称 | 2017-2018学年高中数学必修1苏教版 同步检测(19份) | | |
格式 | zip | ||
文件大小 | 1.4MB | ||
资源类型 | 教案 | ||
版本资源 | 苏教版 | ||
科目 | 数学 | ||
更新时间 | 2018-01-13 16:44:30 |
C.q>p>0 D.p>q>0
答案:A
6.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( )
A.y=x B.y=x-
C.y=x D.y=x
解析:y=x=,其定义域为R,值域为[0,+∞),故y=x的定义域与值域不同.
答案:D
7.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.a<b<c D.b>c>a
解析:因为函数y=在R上是减函数,
又>,所以<,即a<b.
又因为函数y=x在R上是增函数,且>,
所以>,
即c>b,所以a<b<c.
答案:C
8.给出以下结论:
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
解析:当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故③不正确,④正确.
答案:④
9.下列幂函数:①y=x-1;②y=x;③y=x;④y=x2;⑤y=x3.其中在定义域内为增函数的是________(填序号).
解析:由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.
答案:②③⑤
10.幂函数f(x)=(m2-m-1)·xm2-2m-3在(0,+∞)上是减函数,则实数m=________.
解析:因为f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3为幂函数,
所以m2-m-1=1.所以m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,
当m=-1时,f(x)=x0=1不符合题意.
综上可知m=2.
答案:2
11.由幂函数的图象可知,使x3-x2>0成立的x的取值范围是________.
解析:在同一坐标系中作出y=x3及y=x2的图象(图略)可得不等式成立的x的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
12.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A.
(1)求实数α的值;
(2)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)内的单调性.
解:(1)因为f(x)=xα的图象经过点A,
所以=,即2-α=2.所以α=-.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=x2--x1-=-==
.
因为x2>x1>0,
所以x1-x2<0,且·(+)>0.
于是f(x2)-f(x1)<0,f(x2)<f(x1),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.
B级 能力提升
13.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2的大小关系是( )
A.h(x)<g(x)<f(x) B.g(x)<h(x)<f(x)
C.h(x)<f(x)<g(x) D.f(x)<g(x)<h(x)
解析:在同一坐标系中,画出当0<x<1时,函数y=x2,y=x,y=x-2的图象,如图所示.
所以当0<x<1时,有x-2>x>x2,
即f(x)<g(x)<h(x).
答案:D
14.已和幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=________.
解析:因为函数是幂函数,所以k=1,又因为其图象过点,所以=,解得α=,故k+α=.
答案:
15.若(a+1)<(2a-2) ,则实数a的取值范围是________.
解析:因为幂函数y=x在R上为增函数,
又(a+1) <(2a-2) ,
所以a+1<2a-2,解得a>3.
答案:(3,+∞)
16.已知幂函数f(x)=xm2+m-2(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则函数g(x)=2x+的最小值是________.
解析:因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以m2+m-2<0,解得-2<m<1.
又m∈Z,所以m=-1,0.
此时均有f(x)=x-2时图象关于y轴对称.
所以f(x)=x-2(x≠0).
所以g(x)=2x+x2=(x+1)2-1(x≠0).
所以g(x)min=-1.
答案:-1
17.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(2-lg x),求g(x)的定义域、值域.
解:(1)设f(x)=xα,则由题意可知25α=5,
所以α=,所以f(x)=x.
(2)因为g(x)=f(2-lg x)=,
所以要使g(x)有意义,只需2-lg x≥0.
所以lg x≤2,则0<x≤100.
所以g(x)的定义域为(0.100],
又2-lg x≥0,
所以g(x)的值域为[0,+∞).
18.已知函数f(x)=(a2-a+1)xa+1为幂函数,且为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数g(x)=f(x)+(f(x))2在上的值域.
解:(1)因为函数f(x)=(a2-a+1)xa+1为幂函数,
所以a2-a+1=1,解得a=0或a=1.
当a=0时,f(x)=x是奇函数.
当a=1时,f(x)=x2为偶函数,不合题意(舍去).
因此a=0.
(2)由(1)知g(x)=x+x2=-.
g(x)在上是增函数,
当x=0时,函数取得最小值g(0)=0;
当x=时,函数取得最大值g=+=.
故g(x)在区间 上的值域为.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
A级 基础巩固
1.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则( )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实根
D.方程f(x)=0可能无实数解
解析:因为函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管f(-1)·f(3)<0,但未必函数y=f(x)在(-1,3)上有实数解.
答案:D
2.函数f(x)=的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:x≤0时由x2+2x-3=0?x=-3;x>0时由-2+ln x=0?x=e2.
答案:C
3.方程2x-x2=0的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:在同一坐标系画出函数y=2x,及y=x2的图象略,可看出两图象有三个交点,故2x-x2=0的解的个数为3.
答案:C
4.根据表格中的数据,可以断定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
解析:由上表可知f(1)=2.72-3<0,
f(2)=7.39-4>0,
所以f(1)·f(2)<0.所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
答案:C
5.(2014·北京卷)f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B. (1,2)
C. (2,4) D.(4,+∞)
解析:利用零点存在性定理,验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号.
由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0,
由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
答案:C
6.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点构成的集合是________.
解析:因为f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),
所以由f(x)=0解得x=-5或x=1或x=2.
答案:{-5,1,2}
7.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________.
解析:因为奇函数的图象关于原点对称,
所以若f(x)有三个零点,则其和必为0.
答案:0
8.函数f(x)=x2-2x+a有两个不同零点,则实数a的范围是________.
解析:由题意可知,方程x2-2x+a=0有两个不同解,
故Δ=4-4a>0,即a<1.
答案:(-∞,1)
9.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是________.
解析:因为函数f(x)=ax-b的一个零点是3,
所以x=3是方程ax-b=0的根.
所以b=3a.
于是函数g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),
令g(x)=0,得x=0或x=-1.
答案:0,-1
10.设x0是方程ln x+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=________.
解析:令f(x)=ln x+x-4,
且f(x)在(0,+∞)上递增,
因为f(2)=ln 2+2-4<0,
f(3)=ln 3-1>0,
所以f(x)在(2,3)内有解.所以k=2.
答案:2
11.判断函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.
解:令f(x)=0,即log2x-x+2=0,即log2x=x-2.
令y1=log2x,y2=x-2.
画出两个函数的大致图象,如图所示,
函数的图象有两个不同的交点.
所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.
12.函数f(x)=x3-3x+2.
(1)求f(x)的零点;
(2)求分别满足f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0的x的取值范围.
解:f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2).
(1)令f(x)=0,函数f(x)的零点为x=1或x=-2.
(2)令f(x)<0,得x<-2.
所以满足f(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2);
满足f(x)=0的x的取值集合是{1,-2};
令f(x)>0,得-2<x<1或x>1,
满足f(x)>0的x的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).
B级 能力提升
13.函数y=lg x-的零点所在的大致区间是( )
A.(6,7) B.(7,8)
C.(8,9) D.(9,10)
解析:因为f(9)=lg 9-1<0,
f(10)=lg 10-=1->0,
所以f(9)·f(10)<0.
所以y=lg x-在区间(9,10)上有零点.
答案:D
14.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则实数a的值为________.
解析:依题意可得,方程2a=|x-a|-1只有一解,
则方程|x-a|=2a+1只有一解.
所以2a+1=0.所以a=-.
答案:-
15.若函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,试求函数g(x)=bx2-ax-1的零点.
解:函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,
由函数的零点与方程的根的关系知方程x2-ax-b=0的两根为2和3.
再由根与系数的关系得a=5,b=-6,
所以g(x)=-6x2-5x-1,易求得函数g(x)的零点为
-,-.
16.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求实数a的取值范围.
解:令f(x)=3x2-5x+a,由已知条件得:
即
解得-12所以a的取值范围是{a|-12<a<0}.
17.求证:函数f(x)=2x-在(0,1)内有且只有一个零点.
证明:f(x)=2x-=2x+1-(x≠1).
设-1<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=2x1--2x2+=2x1-2x2+
.
因为-1<x1<x2,
所以2x1-2x2<0,x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.
所以2x1-2x2+<0,
即f(x1)<f(x2).
所以f(x)在(-1,+∞)上是增函数.
又f(0)=20-2=-1<0,
f(1)=21-=>0,即f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点且只有一个零点.
18.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].
(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域;
(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点?
解:
(1)依题意:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的值域为[-4,5].
(2)因为函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
所以方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两相异的实数根,即函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点.
由(1)所作图象可知,-4<-m≤0,所以0≤m<4.
所以当0≤m<4时,函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点,
故当0≤m<4时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第2课时 用二分法求方程的近似解
A级 基础巩固
1.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
解析:由图象知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余3个均可使用二分法求零点.
答案:D
2.函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间( )
A. B. C. D.(1,2)
解析:f=-<0,f=-<0,f=-1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0,
所以函数零点落在区间上.
答案:C
3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)在区间无零点
B.函数f(x)在区间或内有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)在区间或内有零点,或零点是
解析:由二分法求函数零点的原理可知选D.
答案:D
4.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,且f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f=0时,则函数f(x)的零点是( )
A.(a,b)外的点
B.x=
C.区间或内的任意一个实数
D.x=a或x=b
解析:由二分法的思想,采用二分法得到的零点可能是准确值,也可能是近似值.由f=0知,选B.
答案:B
5.方程|x2-3|=a的实数解的个数为m,则m不可能等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由图可知y=|x2-3|与y=a不可能是一个交点.
答案:A
6.奇函数f(x)=x3+bx2+cx的三个零点是x1,x2,x3,满足x1x2+x2x3+x3x1=-2,则b+c=________.
解析:因为f(x)为奇函数,
所以b=0.故f(x)=x3+cx有一个零点是0,
不妨设x1=0,则x2,x3是x2+c=0的二根,故x2x3=c,
由x1x2+x2x3+x3x1=-2得c=-2,
故b+c=0-2=-2.
答案:-2
7.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12
10
-2
4
-5
-10
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个.
解析:由表知:f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
答案:3
8.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏,在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价,就把该商品奖给选手,每次选手给出报价,主持人告诉说高了低了,以猜对或到时为止游戏结束.如猜一种品牌的电风扇,过程如下:游戏参与者开始报价500元,主持人说高了,300元,高了,260元,低了,280元,低了,290元,高了,285元,低了,288元,你猜对了!恭喜!请问游戏参与者用的数学知识是________(只写出一个正确答案).
答案:二分法
9.用二分法求方程ln x-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=,则下一个含根的区间为________.
解析:令f(x)=ln x-2+x,
因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f=ln -<0,
所以下一个含根的区间为.
答案:
10.设x0是方程ax=logax(0解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax和y=logax的图象(如图所示),可以看出:
x0<1,logax0<1,所以x0>a,a
11.函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象交点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:在同一平面直角坐标系中作出f(x)=2ln x和g(x)=x2-4x+5的图象(如图所示),由图象可见它们有2个交点.
答案:B
12.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )
A.[1,4] B.[-2,1]
C. D.
解析:由于第一次所取的区间为[-2,4],
所以第二次所取区间为[-2,1]或[1,4],
第三次所取区间为,,或.
答案:D
13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________.
解析:设等分的最少次数为n,则由<0.01,得2n>10.
所以n的最小值为4.
答案:4
14.判断函数y=x3-x-1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).
解:因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
-0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.05
(1.132 5,1.375)
1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75)
1.328 125
0.01
因为1.312 5.1.328 125精确到0.1的近似值都为1.3,所以函数的一个近似零点为1.3.
15.求函数y=ln x与函数y=3-x的图象的交点横坐标(精确到0.1).
解:求函数y=ln x与函数y=3-x的图象交点的横坐标,
即求方程ln x=3-x的根.
令f(x)=ln x+x-3,
因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,
所以可取初始区间为(2,3),列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416 3>0
(2,2.5)
2.25
0.060 9>0
(2,2.25)
2.125
-0.121 2<0
(2.125,2.25)
2.187 5
-0.029 7<0
(2.187 5,2.25)
2.218 75
0.015 7>0
由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2,所以方程ln x+x-3=0在(2,3)内的一个近似根可取为2.2,即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用
3.4.2 函数模型及其应用
A级 基础巩固
1.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是( )
A.y=100 x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100x
解析:将题目中的数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
答案:C
2.某学校开展研究性学习活动,一名同学获得了下面的一组试验数据:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
解析:代入点(2,1.5),(5,12)检验知选D.
答案:D
3.某商场的某款手机的价格不断降低,若每隔半年其价格降低,则现在价格为2 560元的该款手机,两年后价格可降为( )
A.1 440元 B.900元
C.1 040元 D.810元
解析:两年后的价格为2 560×=810(元).
答案:D
4.已知某工厂去年12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂去年产量的月平均增长率是________.
解析:设1月份的产量为a,则12月份的产量为7a,
所以a·(1+x)11=7a,解得x=-1.
答案:-1
5.如果本金为a,每期利率为r,按复利计算,本利和为y,则存x期后,y与x之间的函数关系是____________________________.
解析:1期后y=a+ar=a(1+r);
2期后y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
……
归纳可得x期后y=a(1+r)x.
答案:y=a(1+r)x
6.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,n年后这批设备的价值为________万元.
解析:1年后价值为:a-ab%=a(1-b%),2年后价值为:a(1-b%)-a(1-b%)·b%=a(1-b%)2,
所以n年后价值为:a(1-b%)n.
答案:a(1-b%)n
7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.若气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s,则该气体通过半径为r的管道时,其流量速度R的解析式为________.
解析:由题意可设R=kr4(k>0),
由r=3,R=400,可得k==,
则流量速率R的解析式为:
R=r4.
答案:R=r4
8.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
每户每月用水量
水价
不超过12 m3的部分
3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分
6元/m3
超过18 m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元,则此户居民本月用水量为________m3.
解析:设每户每月用水量为x,水价为y元,则
y=
即y=
所以48=6x-36.所以x=14.
答案:14
9.国家收购某种农产品的价格是120元/担,其中征税标准为每100元征8元(叫作税率为8个百分点,即8%),计划收购m万担,为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后,不低于原计划的78%,试确定x的范围.
解:(1)y=120×m·[1+(2x)%]×(8%-x%)=-0.024m(x2+42x-400)(0
即x2+42x-88≤0,(x+44)(x-2)≤0,
解得-44≤x≤2.又因为0
解:由已知条件分析,得知抛物线顶点坐标为(5,2.5),点C的坐标为(10,0),
所以设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+2.5.①
把(10,0)代入①得0=a(10-5)2+2.5,
解得a=-,y=-(x-5)2+2.5.
当y=4-2.4=1.6时,1.6=-(x-5)2+2.5,
即(x-5)2=9,解得x1=8,x2=2.
显然,x2=2不符合题意,舍去,所以x=8.
OC-x=10-8=2.
故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部.
11.为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建隔热层,某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本6万元,该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和,求k的值及f(x)的表达式.
解:设隔热层厚度为x cm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)=,
再由C(0)=8得k=40,
因此C(x)=,而建造费为6x,
故f(x)=20×C(x)+6x=+6x(0≤x≤10).
12.小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时,得到了下列一组数据:
x/月
2
3
4
5
6
…
y/元
1.40
2.56
5.31
11.00
21.30
…
小明选择了模型y=x,他的同学却认为模型y=更合适.
(1)你认为谁选择的模型较好?并简单说明理由.
(2)试用你认为较好的函数模型来分析,大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元?
(参考数据lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
解:(1)根据表格提供的数据,画出散点图,并画出函数y=x及y=的图象,如图所示.观察发现,这些点基本上落在函数y=的图象上或附近,因此用函数模型y=较好.
(2)当=100时,2x=300,
所以x=log2300==≈8.23.
故大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元.
B级 能力提升
13.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2011年的湖水量为m,从2011年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A.y=0.9 B.y=(1-0.1)m
C.y=0.9m D.y=(1-0.150x)m
解析:设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9.
所以q%=0.9,即x年后的湖水量为0.9m.
答案:C
14.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
解析:由题意知,组装第A件产品所需时间为=15,
故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60.
将c=60代入=15,得A=16.
答案:D
15.有一种树木栽植五年后可成材,在栽植后五年内,木材年增长率为20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长率为10%,现有两种砍伐方案:
甲方案,栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐;
乙方案,栽植五年后砍伐重栽,过五年再砍伐一次.
则十年后,________方案可以得到较多的木材(不考虑最初的树苗的成本,只按成材的树木计算).
解析:设树林最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a,
乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.
y1-y2=4.01a-4.98a<0,
所以乙方案能获得较多的木材.
答案:乙
16.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算,下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式[注:收益=实际电量×(实际电价-成本价)];
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
解:(1)设下调后的电价为x元/(kW·h),依题意知用电量增至+a(kW·h).电力部门的收益为:y=(x-0.3),0.55≤x≤0.75.
(2)依题意有(x-0.3)≥[a(0.8-0.3)]×(1+20%)且0.55≤x≤0.75.
整理得?0.60≤x≤0.75,即当电价最低定为0.60元/(kW·h)时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
17.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg 给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)平时常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级;
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少;
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,这两位同学是否会影响其他同学休息?
解:(1)当I=10-6W/m2时,代入公式得
Y=10lg =10lg 106=60.
即声强级为60分贝.
(2)当Y=0时,即为10lg =0,所以=1.
I=10-12W/m2,则能听到的最低声强为10-12W/m2.
(3)当声强I=5×10-7W/m2时,
声强级Y=10lg =10lg (5×105)=50+10lg 5>50,
所以这两位同学会影响其他同学休息.
18.为了预防甲型H1N1流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
解:(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0,0),(0.1,1),
所以在t∈[0,0.1]时,表达式为y=10t.
因为点(0.1,1)也在y=上,
所以a=0.1.
所以当t≥0.1时,y=.
所以函数解析式y=
(2)依题意,如果学生进入教室,则有y<0.25.
所以<,即<.
又因为y=是减函数,
所以2t-0.2>1.所以t>0.6.
因此至少要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
章末过关检测卷(一)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( )
A.P?Q B.Q?P
C.P??RQ D.Q??RP
解析:因为Q={x|-2
2.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=( )
A.{1} B.{2} C.{(1,2)} D.?
解析:由于A是数集,B是点集,故A∩B=?.
答案:D
3.已知集合A={x|x(x-1)=0},那么下列结论正确的是( )
A.0∈A B.1?A
C.-1∈A D.0?A
解析:由x(x-1)=0得x=0或x=1,则集合A中有两个元素0和1,所以0∈A,1∈A.
答案:A
4.已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{0,1}
C.{0,2} D.{0,1,2}
解析:因为A={x|x2-2x=0}={0,2},B={0,1,2},所以A∩B={0,2}.
答案:C
5.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素,则实数k的值为( )
A.1 B.0
C.0或1 D.以上答案都不对
解析:当k=0时,A={-1};当k≠0时,Δ=16-16k=0,k=1.故k=0或k=1.
答案:C
6.下列四句话中:①?={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:空集是任何集合的子集,故④正确,②错误;③不正确,如?只有一个子集,即它本身;结合空集的定义可知①不正确;故只有1个命题正确.
答案:B
7.(2015·山东卷)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0}.则A∩B=( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
解析:易知B={x|1<x<3},又A={x|2<x<4},
所以A∩B={x|2<x<3}=(2,3).
答案:C
8.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3
答案:B
9.已知全集U=R,集合A={x|x>1或x<-2},B={x|-1≤x≤0},则A∪?UB等于( )
A.{x|x<-1或x>0} B.{x|x<-1或x>1}
C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-2或x≥0}
解析:?UB={x|x<-1或x>0},
所以A∪?UB={x|x<-1或x>0}.
答案:A
10.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩?UB=( )
A.{3} B.{4} C.{3,4} D.?
解析:由题意A∪B={1,2,3},又B={1,2}.
所以?UB={3,4},故A∩?UB={3}.
答案:A
11.已知全集U=R,集合A={x|y=},集合B={x|0<x<2},则(?UA)∪B等于( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
解析:因为A={x|x≤1},所以?UA={x|x>1}.
所以(?UA)∪B={x|x>0}.
答案:D
12.设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},若点P(2,3)∈A∩(?UB),则下列选项正确的是( )
A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5
解析:由P(2,3)∈A∩(?UB)得P∈A且P?B,
故解得
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则N=________.
答案:{1,3,5}
14.已知集合A={(x,y)|ax-y2+b=0},B={(x,y)|x2-ay+b=0},且(1,2)∈A∩B,则a+b=________.
解析:因为(1,2)∈A∩B,
所以?a=,b=.
故a+b=4.
答案:4
15.设集合A={x||x|<4},B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A,且x?A∩B}=________.
解析:A={x|-4
答案:{x|1≤x≤3}
16.设集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N?M,则实数m的取值集合为________.
解析:集合M=.若N?M,则N={3}或或?.于是当N={3}时,m=;当N=时,m=-2;当N=?时,m=0.所以m的取值集合为.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)
17.(本小题满分10分)A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
解:因为A∪B=A,所以B?A.
当B=?时,即a=0时,显然满足条件.
当B≠?时,则B=,A={1,2},
所以=1或=2,从而a=1或a=2.
故集合C={0,1,2}.
18.(本小题满分12分)已知集合A={x|1≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集R.
(1)求A∪B,(?RA)∩B;
(2)如果A∩C≠?,求a的取值范围.
解:(1)A∪B={x|1≤x<10},(?RA)∩B={x|x<1或x≥7}∩{x|2<x<10}={x|7≤x<10}.
(2)当a>1时,满足A∩C≠?.
因此a的取值范围是{a|a>1}.
19.(本小题满分12分)已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B?A,求a的取值范围.
解:集合A={0,-4},由于B?A,则:
(1)当B=A时,即0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,代入解得a=1.
(2)当B≠A时:
①当B=?时,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1;
②当B={0}或B={-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0应有两个相等的实数根0或-4,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足条件.
综上可知a=1或a≤-1.
20.(本小题满分12分)已知A={x|a-4<x<a+4},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,A={x|-3<x<5},B={x|x<-1或x>5}.
所以A∩B={x|-3<x<-1}.
(2)因为A={x|a-4<x<a+4},B={x|x<-1或x>5},
又A∪B=R,
所以?1<a<3.
所以所求实数a的取值范围是{a|1<a<3}.
21.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},求a取何值时,A∩B≠?与A∩C=?同时成立.
解:因为B={2,3},C={2,-4},
由A∩B≠?且A∩C=?知,3是方程x2-ax+a2-19=0的解,
所以a2-3a-10=0.
解得a=-2或a=5.
当a=-2时,A={3,-5},适合A∩B≠?与A∩C=?同时成立;
当a=5时,A={2,3},A∩C={2}≠?,故舍去.
所求a的值为-2.
22.(本小题满分12分)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|1≤2x+5≤15}.
(1)已知a=3,求(?RP)∩Q;
(2)若P∪Q=Q,求实数a的取值范围.
解:(1)因为a=3,所以集合P={x|4≤x≤7}.
所以?RP={x|x<4或x>7},
Q={x|1≤2x+5≤15}={x|-2≤x≤5},
所以(?RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为P∪Q=Q,所以P?Q.
①当a+1>2a+1,即a<0时,P=?,
所以P?Q;
②当a≥0时,因为P?Q,
所以所以0≤a≤2.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].
章末过关检测卷(三)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.f(x)=-x的图象关于( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
解析:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=-(-x)=-=-f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称.
答案:C
2.下列函数为偶函数的是( )
A.y=x2+x B.y=-x3
C.y=ex D.y=ln
解析:选项A,C为非奇非偶函数,选项B为奇函数.
答案:D
3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(9,3),则log4f(2)的值为( )
A. B.- C.2 D.-2
解析:设幂函数为f(x)=xα,则有3=9α,得α=,所以f(x)=x,f(2)=,所以log4f(2)=log4=log44=.
答案:A
4.函数f(x)=|logx|的单调递增区间是( )
A.(0,) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
解析:画f(x)=|logx|的图象如图所示:由图象知单调增区间为[1,+∞).
答案:D
5.已知10m=2,10n=4,则10的值为( )
A.2 B. C. D.2
解析:10=10÷10=(10m)÷(10n)=2÷4=2-1=.
答案:B
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:由f(0)=0得b=-1.
所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
答案:A
7.已知函数f(x)=,则其图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y=x轴对称
C.关于原点对称 D.关于y轴对称
解析:函数的定义域为{x|x≠0},
f(-x)===f(x),
所以函数f(x)的偶函数,其图象关于y轴对称.
答案:D
8.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
1
2
3
f(x)
6.1
2.9
-3.5
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
解析:因为f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内一定存在零点.
答案:C
9.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A.y=x3 B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
解析:选项A为奇函数,选项C,D在(0,+∞)上是减函数.
答案:B
10.已知0<a<1,x=loga+loga,y=loga5,z=loga-loga,则( )
A.x>y>z B.z>y>x
C.y>x>z D.z>x>y
解析:x=loga+loga=loga=loga6,z=loga-loga=loga=loga7.因为0<a<1,所以loga5>loga6>loga7.即y>x>z.
答案:C
11.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大.此时每吨的价格为40元,则有( )
A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45
C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30
解析:设生产x吨产品全部卖出,获利润为y元,
则y=xQ-P=x-=·x2+(a-5)x-1 000(x>0).
由题意知,当x=150时,y取最大值,此时Q=40.
所以解得
答案:A
12.设函数f(x)=已知f(a)>1,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析:当a≤0时,f(a)=()a-3>1,解得a<-2;
当a>0时,f(a)=a>1,解得a>1.
综上a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设f(x)=则f(f(2))=________.
解析:因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
14.(2014·上海卷)若f(x)=x-x,则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
解析:根据幂函数的性质,由于<,
所以当0<x<1时,x<x;当x>1时,x>x.
因此f(x)<0的解集为(0,1).
答案:(0,1)
15.若定义运算f(a*b)=则函数f(3x*3-x)的值域是________.
解析:由定义可知该函数是求a,b中较小的那一个,所以分别画出y=3x与y=3-x=的图象,
由图象很容易看出函数f(3x*3-x)的值域是(0,1].
答案:(0,1]
16.(2014·福建卷)函数f(x)=的零点个数是________.
解析:当x≤0时,由x2-2=0,得x=-.
当x>0时,f(x)=2x-6+ln x是增函数且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0.
所以f(x)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点.
综上可知f(x)的零点有2个.
答案:2
三、解答题(本题共6个小题,满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(b≠0,a>0).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)=,log3(4a-b)=log24,求a,b的值.
解:(1)f(x)的定义域为R,
f(-x)==-f(x),
故f(x)是奇函数.
(2)由f(1)==,得a-2b+1=0.
又log3(4a-b)=log24=1,即4a-b=3.
由
解得a=1,b=1.
18.(本小题满分12分)对于函数f(x),若存在x0∈R使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
解:(1)因为a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,
由f(x)=x?x2-2x-3=0?x=-1或x=3,
所以f(x)的不动点为-1和3.
(2)由题设知ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不等实根,
即ax2+bx+b-1=0有两个不等实根,
所以Δ=b2-4a(b-1)>0?b2-4ab+4a>0恒成立.
所以(-4a)2-4×4a<0?0故a的取值范围是(0,1).
19.(本小题满分12分)设海拔x m处的大气压强是 y Pa,y与 x 之间的函数关系式是 y=cekx,其中c,k为常量,已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa,求600 m高空的大气压强(精确到0.001).
解:将x=0,y=1.01×105;x=1 000 , y=0.90×105, 代入 y=cekx得:
即
将①代入②得:0.90×105=1.01×105e1 000k?k=×ln,计算得:k=-1.15×10-4.
所以y=1.01×105×e-1.15×10-4x.
将 x=600 代入,得:y=1.01×105×e-1.15×10-4×600,
计算得:y=0.943×105(Pa).
所以在600 m高空的大气压约为0.943×105 Pa.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(ax-bx),(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在(1,+∞)上递增且恒取正值,求a,b满足的关系式.
解:(1)由ax-bx>0,得>1.
因为a>1>b>0,所以>1.所以x>0.
所以f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)因为f(x)在(1,+∞)上递增且恒为正值,
所以f(x)>f(1),只要f(1)>0.
则lg(a-b)≥0,所以a-b≥1.
因此a,b满足的关系为a≥b+1.
21.(本小题满分12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件,为了预测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.
解析:根据题意,该产品的月产量y是月份x的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定这两个函数的具体解析式.
设y1=f(x)=px2+qx+r(p,q,r为常数,
且p≠0),y2=g(x)=abx+c,根据已知有
和
解得和
所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,g(x)=-0.8×0.5x+1.4.所以f(4)=1.3,g(4)=1.35.
显然g(4)更接近于1.37,故选用y=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.
由条件可知2x-=2,即22x-2×2x-1=0,
解得2x=1±.
因为2x>0,所以x=log2(1+).
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
因此m(22t-1)≥-(24t-1).
因为22t-1>0,
所以m≥-(22t+1).
因为t∈[1,2],
所以-(1+22t)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
章末过关检测卷(二)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则?RM为( )
A.[-1,1]
B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪[1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由1-x2≥0,知-1≤x≤1.
所以M=[-1,1].
所以?RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:D
2.下列图中不能作为函数图象的是( )
解析:选项B对于给定的变量有两个值与其对应,不是函数的图象.
答案:B
3.已知函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围是( )
A.[-1,2] B.(-1,2)
C.(-∞,2) D.(-1,+∞)
解析:因为函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,即对称轴直线x=k在此区间内,所以有-1<k<2.
答案:B
4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数( )
A.y=x B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=-
解析:A、D中函数是奇函数,不是偶函数,B中y=|x|+1是偶函数,且在(0,+∞)上递增,但D中,y=-x2+1在(0,+∞)上是减函数.
答案:B
5.函数y=x2-2x+3,-1≤x≤2的值域是( )
A.R B.[3,6]
C.[2,6] D.[2,+∞)
解析:画出函数的图象,如图所示,观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6],所以值域是[2,6].
答案:C
6.设f(x)=则f(5)的值是( )
A.24 B.21 C.18 D.16
解析:f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24.
答案:A
7.若二次函数y=f(x)满足f(5+x)=f(5-x),且方程f(x)=0有两个实根x1,x2,则x1+x2等于( )
A.5 B.10 C.20 D.
解析:因为f(x+5)=f(5-x),
所以f(x)的对称轴为x0=5,x1+x2=2x0=10.
答案:B
8.若对于任意实数x,都有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,则( )
A.f(-2)<f(2) B.f(-1)<f
C.f<f(2) D.f(2)<f
解析:根据题意可知,f(x)是偶函数.
因为f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,
所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
所以f=f>f(2).
答案:D
9.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为( )
A.10 B.-10 C.-15 D.15
解析:依题意可得,f(x)在[3,6]上是增函数,
所以f(6)=8,f(3)=-1.
又y=f(x)为奇函数,
所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-15.
答案:C
10.已知函数f(x)=,则有( )
A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)
B.f(x)是奇函数,且f=f(x)
C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)
D.f(x)是偶函数,且f=f(x)
解析:由f(-x)===f(x),
得f(x)为偶函数.
又f===-f(x),
故C选项正确.
答案:C
11.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
解析:由f(0)=f(4),知函数图象关于直线x=2对称,所以-=2.所以b+4a=0,
由f(0)>f(1)知函数图象开口向上,所以a>0.
答案:A
12.若函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,0) B.[-2,0)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)
解析:由x≥1时,f(x)=-x2+2ax-2a是减函数,得a≤1,
由x<1时,函数f(x)=ax+1是减函数,得a<0,
分段点1处的值应满足-12+2a×1-2a≤1×a+1,
解得a≥-2,所以-2≤a<0.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
解析:利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可.
因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(4-x)=f(x).
所以f(4-1)=f(1)=f(3)=3,
则f(1)=3.
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1)=3.
答案:3
14.已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域是________.
解析:当x>0时,f(x)的值域是(2,3].根据奇函数的性质可得,f(x)的值域是[-3,-2)∪(2,3].
答案:[-3,-2)∪(2,3]
15.若f(x),g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值8,则在区间(-∞,0)上的最小值是________.
解析:因为f(x),g(x)为奇函数,
所以F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
则F(-x)-2=-(F(x)-2)=2-F(x).
因为F(x)在(0,+∞)上有最大值8.
当x<0时,-x>0,F(-x)≤8.
所以F(-x)-2≤6,从而-(F(x)-2)≤6.
因此F(x)≥-4,F(x)在(-∞,0)上的最小值为-4.
答案:-4
16.若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)都有<0,则f(1),f(-2),f(3)的大小关系是________.
解析:由<0可知,f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,所以f(1)>f(2)>f(3).
又因为f(x)是偶函数,
所以f(-2)=f(2),
因此f(1)>f(-2)>f(3).
答案:f(1)>f(-2)>f(3)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x+,且f(1)=3.
(1)求m;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
解:(1)因为f(1)=3,即1+m=3,
所以m=2.
(2)由(1)知,f(x)=x+,
其定义域是{x|x≠0},关于原点对称,
又f(-x)=-x+=-=-f(x),
所以此函数是奇函数.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数.
解:(1)当a=-2时,
f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1.
又因为x∈[-4,6],
所以函数f(x)在[-4,2]上为减函数,
在[2,6]上为增函数.
所以f(x)max=f(-4)=(-4-2)2-1=35,
f(x)min=f(2)=-1.
(2)因为函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=-a,且f(x)在[-4,6]上是单调函数,
所以-a≥6或-a≤-4,
即a≤-6或a≥4.
故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
19.(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的奇函数.如图是函数图象的一部分,当0≤x≤2时,是线段OA;当x>2时,图象是顶点为P(3,4)的抛物线的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)在[2,+∞)上的解析式;
(3)写出函数f(x)的单调区间.
解:(1)图象如图所示.
(2)当x≥2时,设f(x)=a(x-3)2+4(a≠0).
因为f(x)的图象过点A(2,2),
所以f(2)=a(2-3)2+4=2所以a=-2.
所以f(x)=-2(x-3)2+4.
(3)由f(x)的图象知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-3]和[3,+∞),单调递增区间为[-3,3].
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
(1)证明:任取x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2).
故函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增.
(2)解:任取1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.
因为a>0,x1-x2<0,
所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
所以a≤1.
故a的取值范围是(0,1].
21.(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系:
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式.
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
解:(1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对应点,它们近似地分布在一条直线上,如图所示.
设它们共线于直线y=kx+b,
则
所以y=-3x+150(0≤x≤50,且x∈N*),经检验(30,60),(40,30)也在此直线上.
所以所求函数解析式为y=-3x+150(0≤x≤50,且x∈N*).
(2)依题意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300.所以当x=40时,P有最大值300,故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.
22.(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f<2.
解:(1)在f=f(x)-f(y)中,令x=y=1,
则有f(1)=f(1)-f(1),
所以f(1)=0.
(2)因为f(6)=1,
所以f(x+3)-f<2=f(6)+f(6).
所以f(3x+9)-f(6)<f(6),
即f<f(6).
因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,
所以解得-3<x<9.
故不等式的解集为(-3,9).