2017-2018学年高中数学必修1苏教版 同步检测(19份)

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名称 2017-2018学年高中数学必修1苏教版 同步检测(19份)
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文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版
科目 数学
更新时间 2018-01-13 16:44:30

文档简介

第1章 集合
1.1 集合的含义及其表示
A级 基础巩固
1.下列关系正确的是(  )
①0∈N;②∈Q;③?R;④-2?Z.
A.③④ B.①③ C.②④ D.①
解析:①正确,因为0是自然数,所以0∈N;
②不正确,因为是无理数,所以?Q;
③不正确,因为是实数,所以∈R;
④不正确,因为-2是整数,所以-2∈Z.
答案:D
2.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是(  )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:根据集合中元素的互异性可知,一定不是等腰三角形.
答案:D
3.集合M={(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}是(  )
A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集
C.第四象限内的点集 D.第二、第四象限内的点集
解析:集合M为点集,且横、纵坐标异号,故是第二、第四象限内的点集.
答案:D
4.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为(  )
A.2 B.2或4 C.4 D.0
解析:若a=2∈A,则6-a=4∈A;或a=4∈A,则6-a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0?A.
答案:B
5.方程组的解集是(  )
A.{x=1,y=1} B.{1}
C.{(1,1)} D.(1,1)
解析:方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A、B,而D不是集合的形式,排除D.
答案:C
6.下列集合中为空集的是(  )
A.{x∈N|x2≤0} B.{x∈R|x2-1=0}
C.{x∈R|x2+x+1=0} D.{0}
答案:C
7.设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,则a的值是(  )
A.-3或-1或2 B.-3或-1
C.-3或2 D.-1或2
解析:当1-a=4时,a=-3,A={2,4,14}.当a2-a+2=4时,得a=-1或a=2.当a=-1时,A={2,2,4},不满足互异性;当a=2时,A={2,4,-1}.所以a=-3或a=2.
答案:C
8.下列各组集合中,表示同一集合的是(  )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={(3,2)},N={3,2}
解析:A中集合M,N表示的都是点集,由于横、纵坐标不同,所以表示不同的集合;B中根据集合元素的互异性知表示同一集合;C中集合M表示直线x+y=1上的点,而集合N表示直线x+y=1上点的纵坐标,所以是不同集合;D中的集合M表示点集,N表示数集,所以是不同集合.
答案:B
9.集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},若a∈P,b∈Q,则有(  )
A.a+b∈P
B.a+b∈Q
C.a+b∈M
D.a+b不属于P,Q,M中任意一个
解析:因为a∈P,b∈Q,所以a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z.
所以a+b=2(k1+k2)+1,k1,k2∈Z.所以a+b∈Q.
答案:B
10.方程x2-2x-3=0的解集与集合A相等,若集合A中的元素是a,b,则a+b=________.
解析:方程x2-2x-3=0的两根分别是-1和3.
由题意可知,a+b=2.
答案:2
11.已知集合A中含有两个元素1和a2,则a的取值范围是________________.
解析:由集合元素的互异性,可知a2≠1,所以a≠±1.
答案:a∈R且a≠±1
12.点(2,11)与集合{(x,y)|y=x+9}之间的关系为__________________.
解析:因为11=2+9,
所以(2,11)∈{(x,y)|y=x+9}.
答案:(2,11)∈{(x,y)|y=x+9}
13.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A,且a∈B,则a为________.
解析:集合A,B都表示直线上点的集合,a∈A表示a是直线y=2x+1上的点,a∈B表示a是直线y=x+3上的点,所以a是直线y=2x+1与y=x+3的交点,即a为(2,5).
答案:(2,5)
14.下列命题中正确的是________(填序号).
①0与{0}表示同一集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|2<x<5}可以用列举法表示.
解析:对于①,0表示元素与{0}不同;对于③,不满足集合中元素的互异性,故不正确;对于④,无法用列举法表示,只有②满足集合中元素的无序性,是正确的.
答案:②
B级 能力提升
15.下面三个集合:
A={x|y=x2+1};
B={y|y=x2+1};
C={(x,y)|y=x2+1}.
问:(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义是什么?
解:(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.
(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,
故A={x|y=x2+1}=R.
集合B的代表元素是y,满足y=x2+1的y≥1,
故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.
集合C的代表元素是(x,y),满足条y=x2+1,表示
满足y=x2+1的实数对(x,y);即满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.因此,C={(x,y)|y=x2+1}={(x,y)|点(x,y)是抛物线y=x2+1上的点}.
16.若集合A=又可表示为{a2,a+b,0},求a2 016+b2 017的值.
解:由题知a≠0,故=0,所以b=0.所以a2=1,
所以a=±1.
又a≠1,故a=-1.所以a2 016+b2 017=(-1)2 016+02 017=1.
17.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
证明:(1)若a∈A,则∈A.
又因为2∈A,所以=-1∈A.
因为-1∈A,所以=∈A.
因为∈A,所以=2∈A.
所以A中另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,方程无解.
所以集合A不可能是单元素集合.
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
A级 基础巩固
1.下列集合中,不是集合{0,1}的真子集的是(  )
A.? B.{0} C.{1} D.{0,1}
解析:任何一个集合是它本身的子集,但不是它本身的真子集.
答案:D
2.(2014·浙江卷)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则?UA=(  )
A.? B.{2} C.{5} D.{2,5}
解析:因为A={x∈N|x≤-或x≥},
所以?UA={x∈N|2≤x<},故?UA={2}.
答案:B
3.若集合A={a,b,c},则满足B?A的集合B的个数是(  )
A.1 B.2 C.7 D.8
解析:把集合A的子集依次列出,可知共有8个.
答案:D
4.(2014·湖北卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则?UA=(  )
A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}
C.{2,4,7} D.{2,5,7}
解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,6},
所以?UA={2,4,7}.
答案:C
5.已知M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则能表示M,N之间关系的Venn图是(  )
解析:M={-1,0,1},N={0,-1},所以N M.
答案:C
6.已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<a},若AB,则实数a满足(  )
A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4
解析:由AB,结合数轴,得a≥4.
答案:D
7.已知集合A={x|0≤x≤5},B={x|2≤x<5},则?AB=________________.
解析:集合A和B的数轴表示如图所示.
由数轴可知:?AB={x|0≤x<2或x=5}.
答案:{x|0≤x<2或x=5}
8.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且A?B,则实数a的值为________.
解析:由A?B,得a2-a+1=3或a2-a+1=a,解得a=2或a=-1或a=1,结合集合元素的互异性,可确定a=-1或a=2.
答案:-1或2
9.设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y≥1},则?UA与?UB的包含关系是________.
解析:因为?UA={x|x<0},?UB={y|y<1}={x|x<1},
所以?UA?UB.
答案:?UA?UB
10.集合A={x|-3解析:分B=?和B≠?两种情况.
答案:{a|a≤1}
11.已知?{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是________.
解析:因为?{x|x2-x+a=0},
所以方程x2-x+a=0有实根.
则Δ=1-4a≥0,所以a≤.
答案:a≤
12.已知集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},B?A,求a的值.
解:因为B?A,A≠?,所以B=?或B≠?.
当B=?时,方程ax+1=0无解,此时a=0.
当B≠?时,此时a≠0,B=,
所以-∈A,即有-=-2,得a=.
综上所述,a=0或a=.
B级 能力提升
13.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:因为A={1,2},B={1,2,3,4},所以C中必须含有1,2,即求{3,4}的子集的个数,为22=4.
答案:D
14.已知:A={1,2,3},B={1,2},定义某种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中最大的元素是________,集合A*B的所有子集的个数为________.
解析:A*B={2,3,4,5},故最大元素为5,其子集个数为24=16.
答案:5 16
15.已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.若全集U=R,且A?(?UB),则a的取值范围是________.
解析:因为A={x|-4≤x≤-2},B={x|x≥a},U=R,
所以?UB={x|x<a}.
要使A??UB,只需a>-2(如图所示).
答案:{a|a>-2}
16.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,求实数m的取值范围.
解:①若B=?,则应有m+1>2m-1,即m<2.
②若B≠?,则?2≤m≤3.
综上即得m的取值范围是{m|m≤3}.
17.已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-1=0},若BA,求a的值.
解:A={x|x2-2x-3=0}={-1,3},
若a=0,则B=?,满足BA.
若a≠0,则B=.
由BA,可知=-1或=3,
即a=-1或a=.
综上可知a的值为0,-1,.
18.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且B??RA,求a的取值范围.
解:由题意得?RA={x|x≥-1}.
(1)若B=?,则a+3≤2a,即a≥3,满足B??RA.
(2)若B≠?,则由B??RA,
得2a≥-1且2a<a+3,即-≤a<3.
综上可得a≥-.
第1章 集合
1.3 交集、并集
A级 基础巩固
1.(2014·课标全国Ⅱ卷)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=(  )
A.? B.{2}
C.{0} D.{-2}
解析:B={x|x2-x-2=0}={-1,2},
又A={-2,0,2},所以A∩B={2}.
答案:B
2.设S={x||x|<3},T={x|3x-5<1},则S∩T=(  )
A.? B.{x|-3C.{x|-3答案:C
3.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3}, A∩?UB={9},则A=(  )
A.{1,3} B.{3,7,9}
C.{3,5,9} D.{3,9}
答案:D
4.设A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B为(  )
A.{x=1或y=2} B.{1,2}
C.{(1,2)} D.(1,2)
解析:A∩B=={(1,2)}.
答案:C
5.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(  )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:因为A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,…}
又B={6,8,10,12,14},
所以A∩B={8,14}.故A∩B中有2个元素.
答案:D
6.(2014·辽宁卷)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=(  )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}
解析:易知A∪B={x|x≤0或x≥1}.
所以?U(A∪B)={x|0<x<1}.
答案:D
7.已知集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.
解析:因为A∩B={2},所以2a=2,所以a=1,b=2,
故A∪B={1,2,3}.
答案:{1,2,3}
8.已知全集S=R,A={x|x≤1},B={x|0≤x≤5},则(?SA)∩B=________.
解析:?SA={x|x>1}.
答案:{x|19.设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且A∪B={x|-1<x<3},则a的取值范围为________.
解析:如下图所示,
由A∪B={x|-1<x<3}知,1<a≤3.
答案:{a|1<a≤3}
10.已知方程x2-px+15=0与x2-5x+q=0的解分别为M和S,且M∩S={3},则=________.
解析:因为M∩S={3},所以3既是方程x2-px+15=0的根,又是x2-5x+q=0的根,从而求出p=8,q=6.则=.
答案:
11.满足条件{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是________.
解析:A可以是集合{5},{1,5},{3,5}或{1,3,5}.
答案:4
12.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C=,满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
解:(1)因为B={x|x≥2},所以A∩B={x|2≤x<3}.
(2)因为C=,B∪C=C?B?C,
所以-<2.所以a>-4.
B级 能力提升
13.集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B为(  )
A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1} D.?
解析:因为A={x|-1≤x≤1},B={y|y≥0},
所以A∩B={x|0≤x≤1}.
答案:C
14.图中的阴影部分表示的集合是(  )
A.A∩(?UB) B.B∩(?UA)
C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)
解析:阴影部分的元素属于集合B而不属于集合A,故阴影部分可表示为B∩(?UA).
答案:B
15.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k<2},且B∩(?UA)≠?,则实数k的取值范围是________.
解析:由题意得?UA={x|1<x<3},
又B∩?UA≠?,故B≠?,结合图形可知
解得0<k<2.
答案:0<k<2
16.已知集合A={1,3,-x3},B={1,x+2},是否存在实数x,使得B∪(?AB)=A?实数x若存在,求出集合A和B;若不存在,说明理由.
解:假设存在x,使B∪(?UB)=A.所以B A.
(1)若x+2=3,则x=1符合题意.
(2)若x+2=-x3,则x=-1不符合题意.
所以存在x=1,使B∪(?UB)=A,
此时A={1,3,-1},B={1,3}.
17.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|2a≤x≤a+3},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:因为A∪B=A,所以B?A.
若B=?时,2a>a+3,则a>3;
若B≠?时,解得-1≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是{a|-1≤a≤2或a>3}.
18.设集合A={x|x+1≤0或x-4≥0},B={x|2a≤x≤a+2}.
(1)若A∩B≠?,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)A={x|x≤-1或x≥4}.
因为A∩B≠?,所以或
所以a=2或a≤-.
所以实数a的取值范围为.
(2)因为A∩B=B,所以B?A.
①B=?时,满足B?A,则2a>a+2?a>2.
②B≠?时,则

解之得a≤-3或 a=2.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-3或a≥2}.
第2章 函数
2.1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
A级 基础巩固
1.下列各图中,不可能表示函数y=f(x)的图象的是(  )
答案:B
2.函数y=+的定义域是(  )
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1,或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
解析:由得0≤x≤1.
答案:D
3.已知函数f(x)=且f(a)+f(1)=0,则a=(  )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:当a>0时,f(a)+f(1)=2a+2=0?a=-1,与a>0矛盾;当a≤0时,f(a)+f(1)=a+1+2=0?a=-3,适合题意.
答案:A
4.定义域在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x+a)的值域为(  )
A.[2a,a+b] B.[0,b-a]
C.[a,b] D.[-a,a+b]
答案:C
5.下列函数完全相同的是(  )
A.f(x)=|x|,g(x)=()2
B.f(x)=|x|,g(x)=
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x+3
解析:A、C、D的定义域均不同.
答案:B
6.二次函数y=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是(  )
A.[-1,+∞) B.(0,3]
C.[-1,3] D.(-1,3)
解析:
y=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,再结合二次函数的图象(如右图所示)可知,-1≤y≤3.
答案:C
7.已知函数f(x)的定义域为(-3,0),则函数y=f(2x-1)的定义域是(  )
A.(-1,1) B.
C.(-1,0) D.
解析:由于f(x)的定义域为(-3,0)
所以-3<2x-1<0,解得-1<x<.
故y=f(2x-1)的定义域为.
答案:B
8.函数f(x)=+的定义域是__________________.
解析:要使f(x)有意义,必有
解得x>-2且x≠.
答案:∪
9.已知函数f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则f(x+2)的定义域是________,值域是________.
解析:因为f(x)的定义域为[0,1],所以0≤x+2≤1.
所以-2≤x≤-1,即f(x+2)的定义域为[-2,-1],值域仍然为[1,2].
答案:[-2,-1] [1,2]
10.(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=________.
解析:因为点(-1,4)在y=f(x)的图象上,
所以4=-a+2.所以a=-2.
答案:-2
11.若f(x)=ax2-,a为正常数,且f[f()]=-,则a=________.
解析:因为f()=a·()2-=2a-,
所以f=a·(2a-)2-=-.
所以a·(2a-)2=0.
又因为a为正常数,所以2a-=0.所以a=.
答案:
12.已知函数f(x)=x+.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.
解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,
所以f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)f(-1)=-1+=-2,f(2)=2+=.
(3)当a≠-1时,a+1≠0.
所以f(a+1)=a+1+.
B级 能力提升
13.若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域为(  )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以g(x)=需满足解得0≤x<1.
所以g(x)的定义域为[0,1).
答案:B
14.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是(  )
解析:因为汽车先启动,再加速、匀速,最后减速,s随t的变化是先慢,再快、匀速,最后慢,故A图比较适合题意.
答案:A
15.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=______.
解析:因为f(x)=,f=,
所以f(x)+f=1.
所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=+1+1+1=.
答案:
16.已知函数f(x)=2-.
(1)求f(0),f,f;
(2)求函数的定义域.
解:(1)f(0)=-1,f=2=,
f=2-=-=0.
(2)要使函数有意义,则
解得所以0≤x≤.
所以函数的定义域为.
17.已知函数y= (a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的值.
解:已知函数y= (a<0且a为常数),
因为x+1≥0,a<0,
所以x≤-a,即函数的定义域为(-∞,-a].
因为函数在区间(-∞,1]上有意义,
所以(-∞,1]?(-∞,-a].
所以-a≥1,即a≤-1.
所以a的取值范围是(-∞,-1].
18.试画出函数f(x)=(x-2)2+1的图象,并回答下列问题:
(1)求函数f(x)在x∈[1,4]上的值域;
(2)若x1<x2<2,试比较f(x1)与f(x2)的大小.
解:由描点法作出函数的图象如图所示.
(1)由图象知,f(x)在x=2时有最小值为f(2)=1,
又f(1)=2,f(4)=5.
所以函数f(x)在[1,4]上的值域为[1,5].
(2)根据图象易知,当x1<x2<2时,f(x1)>f(x2).
第2章 函数
2.1 函数的概念
2.1.2 函数的表示方法
A级 基础巩固
1.已知f(x)=则f(f(-7))的值为(  )
A.100 B.10
C.-10 D.-100
解析:因为f(x)=所以f(-7)=10.
f(f(-7))=f(10)=10×10=100.
答案:A
2.函数f(x)=满足f(f(x))=x,则常数c等于(  )
A.3 B.-3
C.3或-3 D.5或-3
解析:f(f(x))===x,即x[(2c+6)x+9-c2]=0,
所以解得c=-3.
答案:B
3.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称,且过点(0,0),则此二次函数的解析式可以是(  )
A.f(x)=x2-1 B.f(x)=-(x-1)2+1
C.f(x)=(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1
解析:由题意设f(x)=a(x-1)2+b(a>0),由于点(0,0)在图象上,所以a+b=0,a=-b,故符合条件的是D.
答案:D
4.某同学从家里赶往学校,一开始乘公共汽车匀速前进,在离学校还有少许路程时,改为步行匀速前进到校.下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s,横轴表示该同学出发后的时间t,则比较符合该同学行进实际的是(  )
解析:依题意:s表示该同学与学校的距离,t表示该同学出发后的时间,当t=0时,s最远,排除A、B,由于汽车速度比步行快,因此前段迅速靠近学校,后段较慢.故选D.
答案:D
5.g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f=(  )
A.1 B.3 C.15 D.30
解析:由g(x)=得:1-2x=?x=,
代入得:=15.
答案:C
6.(2015·陕西卷)设f(x)=则f(f(-2))=(  )
A.-1 B. C. D.
解析:f(-2)=(-2)2=4.
所以f(f(-2))=f(4)=1-=-1.
答案:A
7.已知函数f(x)=则方程f(x)=x的解的个数为________.
解析:x>0时,x=f(x)=2;x≤0时,x2+3x=x?x=0或-2.
答案:3
8.如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,2),则f(f(f(2))=________.
解析:由图象及已知条件知f(2)=0,即f(f(f(2)))=f(f(0)),
又f(0)=4,所以f(f(0))=f(4)=2.
答案:2
9.若某汽车以52 km/h的速度从A地驶向260 km远处的B地,在B地停留h后,再以65 km/h的速度返回A地.则汽车离开A地后行走的路程s关于时间t的函数解析式为________________.
解析:因为260÷52=5(h),260÷65=4(h),
所以s=
答案:s=
10.设f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是________.
解析:当a≥0时,f(a)=a+1>a恒成立.
当a<0时,f(a)=>a,所以a<-1.
综上a的取值范围是a≥0或a<-1.
答案:{a|a≥0或a<-1}
11.已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).
解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.
因为f(3x+1)=9x2-6x+5,
所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.
比较两端系数,得?
所以f(x)=x2-4x+8.
12.已知f(x)=
(1)画出f(x)的图象;
(2)求f(x)的定义域和值域.
解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.
(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.
由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],
当x>1或x<-1时,f(x)=1,
所以f(x)的值域为[0,1].
B级 能力提升
13.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a的值为(  )
A.2 B.1 C.3 D.4
解析:易知f(0)=2,所以f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2.
答案:A
14.任取x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,若f>[f(x1)+f(x2)],则f(x)在[a,b]上是凸函数,在以下图象中,是凸函数的图象是(  )
解析:只需在图形中任取自变量x1,x2,分别标出它们对应的函数值及对应的函数值,并观察它们的大小关系即可.
答案:D
15.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=A,C为常数.已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么C和A的值分别是(  )
A.75,25 B.75.16
C.60,25 D.60,16
解析:由条件可知,x≥A时所用时间为常数,所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数,即f(4)==30?C=60,
f(A)==15?A=16.
答案:D
16.已知函数f(x)=
(1)求f(2),f(f(2))的值;
(2)若f(x0)=8,求x0的值.
解:(1)因为0≤x≤2时,f(x)=x2-4,
所以f(2)=22-4=0,
f(f(2))=f(0)=02-4=-4.
(2)当0≤x0≤2时,由x-4=8,得x0=±2?[0,2],故无解.
当x0>2时,由2x0=8,得x0=4.
因此f(x0)=8时,x0的值为4.
17.某市出租车的计价标准是:4 km以内10元,超过4 km且不超过18 km的部分1.2 元/km,超过18 km的部分1.8 元/km.
(1)如果不计等待时间的费用,建立车费与行车里程的函数关系式;
(2)如果某人乘车行驶了20 km,他要付多少车费?
解:(1)设车费为y元,出租车行驶里程为x km.
由题意知,当0<x≤4时,y=10;
当4<x≤18时,y=10+1.2(x-4)=1.2x+5.2;
当x>18时,y=10+1.2×14+1.8(x-18)=1.8x-5.6.
所以,所求函数关系式为y=
(2)当x=20时,y=1.8×20-5.6=30.4.
所以乘车行驶了20 km要付30.4元的车费.
18.某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图①表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示:
t/天
5
15
20
30
Q/件
35
25
20
10
(1)根据提供的图象(图①),写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数解析式;
(2)在所给平面直角坐标系(图②)中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定一个日销售量Q与时间t的函数解析式;
(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额=每件的销售价格×日销售量).
解:(1)根据图象,每件的销售价格P与时间t的函数解析式为:
P=
(2)描出实数对(t,Q)的对应点,如下图所示.
从图象发现:点(5,35),(15,25),(20,20),(30,10)似乎在同一条直线上,为此假设它们共线于直线l:Q=kt+b.
由点(5,35),(30,10)确定出l的解析式为Q=-t+40,通过检验可知,点(15,25),(20,20)也在直线l上.
所以日销售量Q与时间t的一个函数解析式为
Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).
(3)设日销售金额为y(元),则
y=
因此y=
若0<t<25(t∈N),则当t=10时,ymax=900;
若25≤t≤30(t∈N),则当t=25时,ymax=1 125.
因此第25天时销售金额最大,最大值为1 125元.
第2章 函数
2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性
A级 基础巩固
1.函数f(x)的图象如图所示,则(  )
A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数
B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数
C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数
D.函数f(x)在[2,4]上是增函数
解析:增函数具有“上升”趋势;减函数具有“下降”趋势,故A正确.
答案:A
2.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,若a∈R,则(  )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)
C.f(a+3)>f(a-2) D.f(6)>f(a)
解析:因为a+3>a-2,且f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a+3)>f(a-2).
答案:C
3.y=在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(  )
A.1, B.,1 C., D.,
解析:因为函数y=在[2,4]上是单调递减函数,
所以ymax==1,ymin==.
答案:A
4.函数y=x2-6x的减区间是(  )
A.(-∞.2] B.[2,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,3]
解析:y=x2-6x=(x-3)2-9,
故函数的单调减区间是(-∞,3].
答案:D
5.下列说法中,正确的有(  )
①若任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上是增函数;
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=-在定义域上是增函数;
④函数y=的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:当x1<x2时,x1-x2<0,由>0知f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),①正确;②③④均不正确.
答案:B
6.已知函数f(x)=+x,则它的最小值是(  )
A.0 B.1
C. D.无最小值
解析:因为函数f(x)=+x的定义域是,且是增函数,所以f(x)min=f=.
答案:C
7.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是________________.
解析:由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞).
答案:(-∞,1]和(1,+∞)
8.已知f(x)是R上的减函数,则满足f(2x-1)>f(1)的实数x的取值范围是________.
解析:因为f(x)在R上是减函数,且f(2x-1)>f(1),所以2x-1<1,即x<1.
答案:(-∞,1)
9.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上的最大值为3,最小值为2,则m的取值范围是________.
解析:因为f(x)=(x-1)2+2,其对称轴为直线x=1,
所以当x=1时,f(x)min=2,故m≥1.
又因为f(0)=3,
所以f(2)=3.所以m≤2.
故1≤m≤2.
答案:[1,2]
10.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为________万元.
解析:设公司在甲地销售x台,则在乙地销售(15-x)台,公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-+30+,
所以当x=9或10时,L最大为120万元.
答案:120
11.讨论函数y=x2-2(2a+1)x+3在[-2,2]上的单调性.
解:因为函数图象的对称轴x=2a+1,
所以当2a+1≤-2,
即a≤-时,函数在[-2.2]上为增函数.
当-2<2a+1<2,即-<a<时,
函数在[-2,2a+1]上是减函数,在[2a+1,2]上是增函数.
当2a+1≥2,即a≥时,函数在[-2,2]上是减函数.
12.已知f(x)=,x∈[3,5].
(1)利用定义证明函数f(x)在[3,5]上是增函数;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
解:(1)f(x)在区间[3,5]上是增函数,证明如下:
设x1,x2是区间[3,5]上的两个任意实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,2-x1<0,2-x2<0.
所以f(x1)<f(x2).
所以f(x)在区间[3,5]上是增函数.
(2)因为f(x)在区间[3,5]上是增函数,
所以当x=3时,f(x)取得最小值为-4,
当x=5时,f(x)取得最大值为-2.
B级 能力提升
13.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是(  )
A.(-∞,40)
B.[40,64]
C.(-∞,40]∪[64,+∞)
D.[64,+∞)
解析:对称轴为x=,则≤5或≥8,解得k≤40或k≥64.
答案:C
14.若y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是(  )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析:本题通过一次函数、反比例函数的单调性,判断出a,b的符号.因为y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,b<0,所以函数y=ax2+bx的对称轴方程为x=-<0,故函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是减函数.
答案:B
15.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析:令f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)=-(x2-2x+1)+1=-(x-1)2+1,图象如下.
所以f(x)最小值为f(0)=f(2)=0.
而a<-x2+2x恒成立,所以a<0.
答案:(-∞,0)
16.画出函数f(x)=的图象,并写出函数的单调区间及最小值.
解:f(x)的图象如图所示,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为f(0)=-1.
17.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.
解:(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈,对称轴是x=1.
所以f(x)的最小值是f(1)=1.
又f=,f(3)=5,
所以f(x)在区间上的最大值是5,最小值是1.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,
所以≤2或≥4,即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
18.若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1] 上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(0)=1,所以c=1.
所以f(x)=ax2+bx+1.
因为f(x+1)-f(x)=2x,所以2ax+a+b=2x.
所以所以
所以f(x)=x2-x+1.
(2)由题意,得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,
即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
令g(x)=x2-3x+1-m=--m,
其对称轴为x=,
所以g(x)在区间[-1,1]上是减函数.
所以g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0.
所以m<-1.
所以实数m的取值范围是(-∞,-1).
第2章 函数
2.2 函数的简单性质
2.2.2 函数的奇偶性
A级 基础巩固
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(  )
A.y=-x2+5(x∈R) B.y=-x
C.y=x3(x∈R) D.y=-(x∈R,x≠0)
解析:函数y=-x2+5(x∈R)既有增区间又有减区间;y=-x是减函数;y=-(x∈R,x≠0)不是定义域内的增函数;只有y=x3(x∈R)满足条件.
答案:C
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为(  )
A.f(x)=-x+1 B.f(x)=-x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=x-1
解析:设x<0,则-x>0.
所以f(-x)=x+1,又函数f(x)是奇函数.
所以f(-x)=-f(x)=x+1.
所以f(x)=-x-1(x<0).
答案:B
3.若函数f(x)=为奇函数,则a等于(  )
A. B. C. D.1
解析:因为f(-x)=-f(x),
所以=-.
所以(2a-1)x=0.
所以a=.故选A.
答案:A
4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(  )
A.- B.
C. D.-
解析:因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,
所以f(-x)=f(x).所以b=0.
又a-1=-2a,所以a=.所以a+b=.
答案:B
5.(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(  )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析:f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
则f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|.
所以y=f(x)|g(x)|为奇函数.
答案:C
6.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(  )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
解析:因为f(x)是偶函数,
则f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
又当x≥0时,f(x)是增函数,
所以f(2)<f(3)<f(π),从而f(-2)<f(-3)<f(π).
答案:A
7.如图所示,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)的值是________.
解析:利用f(-2)=-f(2)或作出函数y=f(x)在区间[-2,0]上的图象(关于原点中心对称)可知,f(-2)=-.
答案:-
8.已知f(x)是奇函数,且x≥0时,f(x)=x(1-x).则当x<0时,f(x)=________ .
解析:当x<0时,-x>0,
又因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).
答案:x(1+x)
9.已知函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递增区间是________.
解析:因为f(x)为偶函数,所以图象关于y轴对称,即k=1,此时f(x)=-x2+3,其单调递增区间为(-∞,0).
答案:(-∞,0)
10.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为________.
解析:由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.
答案:0
11.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1.且g(x)为R上的奇函数,f(-1)=8,求f(1).
解:因为f(-1)=2g(-1)+1=8,所以g(-1)=.
又因为g(x)为奇函数,
所以g(-1)=-g(1).
所以g(1)=-g(-1)=-.
所以f(1)=2g(1)+1=2×+1=-6.
12.判断函数f(x)=的奇偶性.
解:函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
(1)当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=
-(x3-3x2+1)=-f(x);
(2)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=
-(x3+3x2-1)=-f(x),
由(1)(2)知,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
都有f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
B级 能力提升
13.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1).
又g(x)是偶函数,
所以g(-1)=g(1).
因为f(-1)+g(1)=2,所以g(1)-f(1)=2.①
又f(1)+g(-1)=4,所以f(1)+g(1)=4.②
由①②,得g(1)=3.
答案:B
14.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则(  )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
解析:因为函数y=f(x+8)为偶函数,其对称轴是y轴,所以y=f(x)的对称轴是直线x=8.
所以f(7)=f(9),
又y=f(x)在区间(8,+∞)上是减函数.
所以f(9)>f(10),故f(7)>f(10).
答案:D
15.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.
解析:因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,
所以f(-x)=f(x),
则(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|.
所以|-x+a|=|x+a|,即|x-a|=|x+a|.
所以a=0.
答案:0
16.已知函数f(x)=x2-2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在区间(-1,0)上的单调性并加以证明.
解:(1)函数f(x)是偶函数,定义域为R.
因为f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)f(x)在区间(-1,0)上是增函数.证明如下:
当x∈(-1,0)时,f(x)=x2-2|x|=x2+2x.
设-1<x1<x2<0,
则x1-x2<0,且x1+x2>-2,
即x1+x2+2>0.
因为f(x1)-f(x2)=(x-x)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)<0,
所以f(x1)<f(x2).
故f(x)在区间(-1,0)上是增函数.
17.设函数f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求实数a的取值范围.
解:由f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,可知f(x)在(0,+∞)上递减.
因为2a2+a+1=2+>0,
2a2-2a+3=2+>0,
且f(2a2+a+1)<f(2a-2a+3),
所以2a2+a+1>2a2-2a+3,即3a-2>0,解得a>.
故a的取值范围是.
18.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象.
解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0;
②当x<0时,-x>0,
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上:f(x)=
(2)图象如图所示.
第2章 函数
2.3 映射的概念
A级 基础巩固
1.下列对应不是映射的是(  )
解析:结合映射的定义可知A、B、C均满足M中任意一个数x,在N中有唯一确定的y与之对应,而D中元素1在N中有两个元素a,b与之对应,不是映射.
答案:D
2.设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图象中能表示集合A到集合B的映射的是(  )
解析:因为象集为{y|1≤y≤2},故A,B错,又根据映射的定义知C错.
答案:D
3.已知集合A中元素(x、y)在映射f下对应B中元素(x+y,x-y),则B中元素(4,-2)在A中对应的元素为(  )
A.(1,3) B.(1,6)
C.(2,4) D.(2,6)
解析:由题意得解得
答案:A
4.已知f:A→B是集合A到B的映射,又A=B=R,对应法则f:x→y=x2+2x-3,k∈B且k在A中没有原象,则k的取值范围是(  )
A.(-∞,-4) B.(-1,3)
C.[-4,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
解析:因为y=x2+2x-3=(x+1)2-4≥-4,即象集为[-4,+∞),所以当k<-4时,k就没有原象.
答案:A
5.设f:x→ax-1为从集合A到B的映射,若f(2)=3,则f(3)=________.
解析:由f(2)=3,可知2a-1=3,所以a=2.
所以f(3)=3a-1=3×2-1=5.
答案:5
6.已知A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有________个.
解析:由于A中元素a在B中有两个元素与之对应,元素b在B中也有两个元素与之对应,
所以从A到B的映射共有2×2=4(个).
答案:4
7.已知M={正整数},P={正奇数},映射f:a(a∈M)→b=2a-1,则在映射f下,M中的元素11对应着P中的元素________,P中的元素11对应着M中的元素________.
解析:由题知a=11,b=21,即M中的元素11对应着P中的元素21;又b=11,代入b=2a-1,a=6,即P中的元素11对应着M中的元素6.
答案:21 6
8.集合A={a,b},B={-1,0.1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数是________.
解析:由f(a)=0,f(b)=0得f(a)+f(b)=0;f(a)=1,f(b)=-1得f(a)+f(b)=0;由f(a)=-1,f(b)=1得f(a)+f(b)=0.共3个.
答案:3
9.若集合A={0,1,2},f:x→x2-2x是从A到B的映射,则集合B中至少有________个元素.
解析:由A={0,1,2},f:x→x2-2x.
令x=0,1,2,
得x2-2x分别为0,-1,0.
又由集合中元素的互异性,
所以B中至少有元素0与-1.
答案:2
10.观察数表:
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)
4
1
-1
-3
3
5
g(x)
1
4
2
3
-2
-4
则f(g(3)-f(-1))=________.
解析:由表中数据对应关系知g(3)=-4,f(-1)=-1,
所以f (g(3)-f(-1))=f(-4+1)=f(-3)=4.
答案:4
11.已知映射:f:A→B,A=B={(x,y)|x,y∈R},f:A中的元素(x,y)对应B中的元素为(3x-2y+1,4x+3y-1).
(1)求A中元素(1,2)在B中对应的元素;
(2)B中元素(1,2)与A中哪个元素对应?
解:(1)A中元素(1,2),即当x=1,y=2时,
3x-2y+1=3×1-2×2+1=0,
4x+3y-1=4×1+3×2-1=9,
所以B中对应的元素为(0,9).
(2)当B中元素为(1,2)时,
则由解得
所以B中元素(1,2)与A中的对应.
12.已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.
解:(1)当A中元素都对应一个元素时,由于f(a)+f(b)=f(c),所以a,b,c必须都对应元素0.(如图所示)共有1个映射.
(2)当A中元素对应两个元素时,根据f(a)+f(b)=f(c),有下面4种情况.
(3)当A中元素对应三个元素时,由于f(a)+f(b)=f(c),有下面两种情况.
因此,满足题设条件的映射有7个.
B级 能力提升
13.下列对应是从集合M到集合N的映射的是(  )
①M=N=R;f:x→y=,x∈M,y∈N.②M=N=R;f:x→y=x2,x∈M,y∈N.③M=N=R;f:x→y=,x∈M,y∈N.④M=N=R;f:x→y=x3;x∈M,y∈N.
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
解析:对于①,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以①不是映射.对于③,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所以③不是映射.对于②④,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应,所以②④是映射.
答案:D
14.设M={a,b},N={-2,0,2},则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________.
解析:由f(a)≥f(b)知,f(a)>f(b)或f(a)=f(b),
当f(a)>f(b)时,
有或或共三种可能;
当f(a)=f(b)时,也有f(a)=f(b)=0,2,-2三种可能.
综上所述,满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个.
答案:6
15.函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A,且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数,例如函数f(x)=2x+1(x∈R)就是单函数.下列命题:
①函数f(x)=x2(x∈R)就是单函数;
②若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
③若f:A→B为单函数,则对任意b∈B,它至多有一个原象.
其中正确命题是__________(写出所有正确命题的序号).
答案:②③
16.集合A,B是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A→B的映射f:(x,y)→(x2+y2,xy),求B中的元素(5,2)所对应A中的元素.
解:依题意可得
①+2×②,得(x+y)2=9,
所以x+y=±3.
于是,原方程组可化为如下的两个方程组:

解得
所以B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1).
17.已知集合A为实数集R,集合B={y|y≥2},x∈A,y∈B,对应法则f:x→y=x2-2x+2,那么f:A→B是A到B的映射吗?如果不是,可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射?
解:由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,
即在f下,A中的元素变换成集合{y|y≥1}中的元素,现在已知的集合B={y|y≥2},
所以A中的部分元素x∈(0,2)在B中无对应元素.
所以f:A→B不是A到B的映射.
将B改为{y|y≥1},A与f不变,
则f:A→B成为A到B的一个映射.
18.已知:集合A={x|-2≤x≤2},B={x|-1≤x≤1}.对应关系f:x→y=ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f:A→B,求实数a的取值范围.
解:①当a≥0时,由-2≤x≤2得-2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射.
则[-2a,2a]?[-1,1],
即所以0≤a≤.
②当a<0时,集合A中元素的象满足2a≤ax≤-2a,
若能建立从A到B的映射,
则[2a,-2a]?[-1,1],
即所以0>a≥-.
综合①②可知-≤a≤.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.1 分数指数幂
(对应学生用书P41)
A级 基础巩固
1.下列各式正确的是(  )
A.=a B.=a
C.=|a| D.=a
解析:A、B不正确,因为当a≤0时,=-a,=-a;C不正确,=a(n为奇数),故D正确.
答案:D
2.若a<,则化简的结果是(  )
A. B.-
C. D.-
解析:因为a<,所以2a-1<0,所以=1-2a.
所以=.
答案:C
3.若(1-2x)-有意义,则x的取值范围是(  )
A.x∈R B.x∈R且x≠
C.x> D.x<
解析:因为(1-2x)-=,
所以1-2x>0,得x<.
答案:D
4.计算(2a-3b-)·(-3a-1b)÷(4a-4b-)得(  )
A.-b2 B.b2 C.-b D.b
解析:原式==-b2.
答案:A
5.当有意义时,化简-的结果是(  )
A.2x-5 B.-2x-1
C.-1 D.5-2x
解析:因为有意义,所以2-x≥0,即x≤2.
所以-=-=|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=-1.
答案:C
6. -+-(+)0的值是(  )
A.0 B.
C.1 D.
解析:原式=-+0.5-1=.
答案:B
7.化简+的结果为________.
解析:原式=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
答案:0
8.若x<0,则|x|-+=________.
解析:因为x<0,所以原式=-x-(-x)+=-x+x+1=1.
答案:1
9.若 = ,则a的取值范围是________.
解析:因为=|2a-1|=1-2a,
所以2a-1≤0,即a≤.
答案:
10.化简:=________.
解析:原式=[(x+1)2-(x)2](x-x+1)=(x+1+x)(x-x+1)=(x+1)2-(x)2=x2+x+1.
答案:x2+x+1
11.·的结果是________.
解析:[(a)]4·[(a)]4=a×4·a×4=a2+2=a4.
答案:a4
12.若m=(2+)-1,n=(2-)-1,则(m+1)-2+(n+1)-2=________.
解析:因为m=2-,n=2+,
所以原式=+=+=
(+)===.
答案:
B级 能力提升
13.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y等于(  )
A. B.
C. D.
解析:由x=1+2b,得2b=x-1.
所以y=1+2-b=1+=1+=.
答案:D
14.已知二次函数 y=ax2+2bx图象如图所示,则的值为(  )
A.a+b B.-(a+b)
C.a-b D.b-a
解析:由图象知a<0,->-1,
故b>a,即a-b<0,
所以=|a-b|=b-a.
答案:D
15.化简:(a,b>0)的结果是________.
解析:原式=[a3b2(ab2)]÷(ab2ba-)
     =a·b×÷(ab)
   =a-·b-=.
答案:
16.计算下列各式的值:
(1)(0.027)-+256+(2)-3-1+π0;
(2)(a·b-)-·÷(a>0,b>0).
解:(1)原式=[(0.3)3]-+(44)+(2)-+1=0.3-+43+2-+1=.
(2)原式=a-b·a÷b=a-+·b-=a0b0=1.
17.化简:÷·.
解:原式=÷·a
=··a
=a·a·a
=a.
18.已知a=(n∈N*),求(+a)n的值.
解:因为a=,
所以a2+1=+1
  =
  =
  =.
所以+a=+.
所以(+a)n=2 013.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.2 指数函数
A级 基础巩固
1.下列一定是指数函数的是(  )
A.形如y=ax的函数 B.y=xa(a>0,a≠1)
C.y=(|a|+2)-x D.y=(a-2)ax
答案:C
2.下列判断正确的是(  )
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2<π D.0.90.3>0.90.5
解析:因为y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,
所以0.90.3>0.90.5.
答案:D
3.函数y=2x+1的图象是(  )
解析:当x=0时,y=2,且函数单调递增,故选A.
答案:A
4.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=(  )
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x-1 D.e-x+1
解析:和y=ex关于y轴对称的是y=e-x,将其向左移一个单位即y=e-x-1.
答案:C
5.(2014·江西卷)已知函数f(x)=5?x?,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a=(  )
A.1 B.2 C.3 D.-1
解析:先求函数值,再解指数方程.
因为g(x)=ax2-x,所以g(1)=a-1.因为f(x)=5|x|,
所以f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1.所以|a-1|=0.
所以a=1.
答案:A
6.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是(  )
A.1<|a|<2 B.|a|<1
C.|a|>1 D.|a|>
解析:根据指数函数性质知a2-1>1,即a2>2.
所以|a|>.
答案:D
7.已知>,则实数x的取值范围________.
解析:因为a2+a+=+>1,
即y=在R上为增函数,
所以x>1-x?x>.
答案:
8.函数y=a2x+b+1(a>0,且a≠1,b∈R)的图象恒过定点(1,2),则b的值为________.
解析:因为函数y=a2x+b+1的图象恒过定点(1,2),
所以即b=-2.
答案:-2
9.若函数f(x)=a+为奇函数,则a=________.
解析:因为f(x)为奇函数且定义域为R,
所以f(0)=0,即a+=0.所以a=-.
答案:-
10.求函数y= 的定义域为________.
解析:要使函数有意义,则x应满足32x-1-≥0,
即32x-1≥3-2.
因为函数y=3x是增函数,
所以2x-1≥-2,即x≥-.
故所求函数的定义域为.
答案:
11.求函数y=(0≤x≤3)的值域.
解:令t=x2-2x+2,则y=,
又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为0≤x≤3,
所以当x=1时,tmin=1,当x=3时,tmax=5.
故1≤t≤5,所以≤y≤.
故所求函数的值域.
12.已知函数f(x)=1+.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)证明函数f(x)在(-∞,0)上为减函数.
(1)解:f(x)=1+,
因为2x-1≠0,所以x≠0.
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
(2)证明:任意设x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2.
f(x1)-f(x2)=-=.
因为x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2,
所以2x2>2x1且2x1<1,2x2<1.
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(-∞,0)上为减函数.
B级 能力提升
13.函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是(  )
解析:函数y=ax-过点,当a>1时,1-∈(0,1)且为增函数,排除A,B;当0答案:D
14.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)等于(  )
A.2 B. C. D.a2
解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2.①
所以得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2.②
①+②,得g(x)=2,
①-②,得f(x)=ax-a-x.
又g(2)=a,所以a=2.所以f(x)=2x-2-x.
所以f(2)=22-2-2=.
答案:B
15.若函数f(x)=则不等式f(x)≥的解集是________.
解析:(1)当x≥0时,由f(x)≥得≥,
所以0≤x≤1.
(2)当x<0时,不等式≥明显不成立,
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}.
答案:{x|0≤x≤1}
16.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a=________.
解析:当a>1时,有a2=4,a-1=m?a=2,m=,但此时g(x)=-为减函数,不合题意.若0答案:
17.已知函数f(x)=.
(1)若a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.
解:(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,
由于g(x)在(-2,+∞)上递减,
y=在R上是减函数,
所以f(x)在(-2,+∞)上是增函数,即f(x)的单调增区间是(-2,+∞).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=,
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1;
因此必有解得a=1.
故当f(x)有最大值3时,a的值为1.
18.一个人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL,那么喝了少量酒的驾驶员,至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)?
解:1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1-50%)mg/mL,…,x小时后其酒精含量为0.3(1-50%)xmg/mL,由题意知0.3(1-50%)x≤0.08,≤.
采用估算法,x=1时,=>.
x=2时,==<.
由于是减函数,所以满足要求的x的最小整数为2.
故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.2 对数函数
3.2.1 对数
A级 基础巩固
1.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为(  )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:由log2(log3x)=0,得log3x=1,则x=3.
同理y=4,z=2.所以x+y+z=3+4+2=9.
答案:A
2.已知log2x=3,则x-等于(  )
A. B. C. D.
解析:因为log2x=3,所以x=23=8.
则x-=8-==.
答案:D
3.log242+log243+log244等于(  )
A.1 B.2 C.24 D.
解析:log242+log243+log244=log24(2×3×4)=log2424=1.
答案:A
4.计算log916·log881的值为(  )
A.18 B. C. D.
解析:log916·log881=·=·=.
答案:C
5.若lg x=a,lg y=b,则lg -lg 的值为(  )
A.a-2b-2 B.a-2b+1
C.a-2b-1 D.a-2b+2
解析:原式=lg x-2lg =lg x-2(lg y-1)=a-2(b-1)=a-2b+2.
答案:D
6.对数式lg 14-2lg +lg 7-lg 18的化简结果为(  )
A.1 B.2 C.0 D.3
解析:lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg 14-lg +lg 7-lg 18=lg=lg 1=0.
答案:C
7.方程log2(1-2x)=1的解x=________.
解析:因为log2(1-2x)=1=log22,
所以1-2x=2.所以x=-.
经检验满足1-2x>0.
答案:-
8.若x>0,且x2=,则xlog=________.
解析:由x>0,且x2=.所以x=.
从而xlog =log =.
答案:
9.已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,则x=________.
解析:因为lg(10m)+lg =lg =lg 10=1,
所以10x=1,得x=0.
答案:0
10.若logab·log3a=4,则b=________.
解析:因为logab·log3a=·log3a=log3b,
所以log3b=4,b=34=81.
答案:81
11.设loga3=m,loga5=n.求a2m+n的值.
解:由loga3=m,得am=3,
由loga5=n,得an=5,
所以a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
12.计算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+lg22;
(2).
解:(1)原式=2lg 5+lg 2·(1+lg 5)+lg22=2lg 5+lg 2·(1+lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=2.
(2)原式=
  =
  =-.
B级 能力提升
13.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是(  )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
解析:因为lg 10=1,ln e=1, 所以①②正确.
由10=lg x得x=1010,故③错;由e=ln x得x=ee,故④错.
答案:C
14.已知2x=3,log4 =y,则x+2y等于(  )
A.3 B.8 C.4 D.log48
解析:由2x=3,得x=log23,
所以x+2y=log23+2log4=log23+2×=log23+log2=log2=log28=3.
答案:A
15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4).A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,那么A地地震的能量是B地地震能量的________倍.
解析:由R=(lg E-11.4),
得R+11.4=lg E,故E=10R+11.4.
设A地和B地地震能量分别为E1,E2,
则==10=10.
即A地地震的能量是B地地震能量的10倍.
答案:10
16.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1,求·y的值.
解:因为log2(log3(log4x))=0,所以log3(log4x)=1.
所以log4x=3.所以x=43=64.
由于log4(log2y)=1,知log4y=4,所以y=24=16.
因此·y=×16=8×8=64.
17.一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价格降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0,lg 9.125≈0.960 2)?
解:设经过x年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.087 5)x,即0.912 5x=0.4.
两边取以10为底的对数,
得x===≈10(年).
所以约经过10年这台机器的价值为8万元.
18.甲、乙两人解关于x的方程:log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得两根,;乙写错了常数c,得两根,64.求这个方程的真正根.
解:原方程变形为(log2x)2+blog2x+c=0.①
由于甲写错了常数b,得到的根为和.
所以c=log2·log2=6.
由于乙写错了常数c,得到的根为和64,
所以b=-=-5.
故方程①为(log2x)2-5log2x+6=0,
解得log2x=2或log2x=3,
所以x=22或x=23.
所以,这个方程的真正根为x=4或x=8.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.2 对数函数
3.2.2 对数函数
A级 基础巩固
1.函数f(x)=+lg(x+1)的定义域是(  )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:?x>-1且x≠1.
答案:C
2.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(  )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
解析:因为3x>0,所以3x+1>1.故log2(3x+1)>0.
答案:A
3.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则(  )
A.aC.a解析:因为01.
答案:D
4.已知函数f(x)=那么f的值为(  )
A.27 B. C.-27 D.-
解析:f=log2=log22-3=-3,
故f=f(-3)=3-3=.
答案:B
5.点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图象上,则f=(  )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
解析:因为函数f(x)=logax的反函数为f-1(x)=ax,
又点(2,4)在函数f-1(x)=ax的图象上.
所以4=a2,则a=2.
所以f(x)=log2x.故f=log2=-1.
答案:C
6.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是(  )
A.y=log(x+1) B.y=log2
C.y=log2 D.y=log(x2-4x+5)
解析:选项A,C中函数为减函数,(0,2)不是选项B中函数的定义域.选项D中,函数y=x2-4x+5在(0,2)上为减函数,又<1,故y=log(x2-4x+5)在(0,2)上为增函数.
答案:D
7.已知对数函数f(x)的图象过点(8,-3),则f(2)=________.
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则-3=loga8,
所以a=.
所以f(x)=logx,f(2)=log (2)=-log2(2)=-.
答案:-
8.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是________.
解析:因为-1<x<0,所以0<x+1<1.
由对数函数的性质,且f(x)=log2a(x+1)>0.
所以0<2a<1,解得0<a<.
答案:
9.已知函数f(x)=lg(2x-b)(x≥1)的值域是[0,+∞),则b的值为________.
解析:由于f(x)=lg(2x-b)在[1,+∞)上是增函数,
又f(x)的值域为[0,+∞),
所以f(1)=lg(2-b)=0,所以2-b=1,故b=1.
答案:1
10.若a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则实数a的值为________.
解析:因为a>1,所以f(x)=logax在(0,+∞)上是增函数.
所以最大值为f(2a),最小值为f(a).
所以f(2a)-f(a)=loga2a-logaa=,
即loga2=.所以a=4.
答案:4
11.已知函数y=loga(x+3)-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,求b的值.
解:当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且a≠1都有y=loga1-=-.
所以函数y=loga(x+3)-的图象恒过定点A.
若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,
则-=3-2+b,所以b=-1.
12.已知函数f(x)=log2(2+x2).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的值域.
解:(1)易知f(x)的定义域为R,
且f(-x)=log2[2+(-x)2]=log2(2+x2)=f(x),
所以f(x)=log2(2+x2)为偶函数.
(2)对任意x∈R,t=2+x2≥2,
又y=log2t在[2,+∞)上是增函数,
所以1≤y.故f(x)的值域为[1,+∞).
B级 能力提升
13.若loga<1,则a的取值范围是(  )
A. B.
C. D.∪(1+∞)
解析:由loga<1得:loga<logaa.
当a>1时,有a>,即a>1;
当0<a<1时,则有0<a<.
综上可知,a的取值范围是∪(1,+∞).
答案:D
14.若f(x)=lg x,则y=|f(x-1)|的图象是(  )
答案:A
15.已知函数y=|logx|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为________.
解析:作出y=|logx|的图象(如图所示),由图象可知f=f(2)=1,
由题意结合图象知:1≤m≤2.
答案:[1,2]
16.已知f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)<f(2),利用图象求a的取值范围.
解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)令f(x)=f(2),即log3x=log32,解得x=2.
由图象知:函数f(x)为单调增函数,
当0<a<2时,恒有f(a)<f(2).
所以所求a的取值范围为(0,2).
17.已知函数f(x)=+的定义域为A.
(1)求集合A;
(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
解:(1)所以
所以≤x≤4,所以集合A=.
(2)设t=log2x.因为x∈,所以t∈[-1,2].
所以y=t2-2t-1,t∈[-1,2].
因为y=t2-2t-1的对称轴为t=1∈[-1,2],
所以当t=1时,y有最小值-2.
所以当t=-1时,y有最大值2.
所以当x=2时,g(x)的最小值为-2.
当x=时,g(x)的最大值为2.
18.已知函数f(x)=lg(3x-3).
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式子h(x)>t无解,求实数t的取值范围.
解:(1)由3x-3>0得x>1,所以定义域为(1,+∞).
因为(3x-3)∈(0,+∞),所以值域为R.
(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg=lg的定义域为(1,+∞),
且在(1,+∞)上是增函数,
所以函数h(x)的值域为(-∞,0).
若不等式h(x)>t无解,
则t的取值范围是t≥0.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.3 幂函数
A级 基础巩固
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(  )
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x2 D.y=x-
答案:A
2.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值为(  )
A. B. C. D.2
解析:依题意,3α==3-,则α=-,所以f(x)=x-,故f(4)=4-=.
答案:A
3.函数y=x图象的大致形状是(  )
解析:因为y=x是偶函数,且在第一象限图象沿x轴递增,所以选项D正确.
答案:D
4.下列函数中与y= 定义域相同的函数是(  )
A.y= B.y=
C.y=xex D.y=
答案:D
5.下图中的曲线C1与C2分别是函数y=xp和y=xq在第一象限内的图象,则一定有(  )
A.qC.q>p>0 D.p>q>0
答案:A
6.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是(  )
A.y=x B.y=x-
C.y=x D.y=x
解析:y=x=,其定义域为R,值域为[0,+∞),故y=x的定义域与值域不同.
答案:D
7.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>c B.c>a>b
C.a<b<c D.b>c>a
解析:因为函数y=在R上是减函数,
又>,所以<,即a<b.
又因为函数y=x在R上是增函数,且>,
所以>,
即c>b,所以a<b<c.
答案:C
8.给出以下结论:
①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;
②幂函数的图象都经过(0,0)(1,1)两点;
③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;
④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.
则正确结论的序号为________.
解析:当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故③不正确,④正确.
答案:④
9.下列幂函数:①y=x-1;②y=x;③y=x;④y=x2;⑤y=x3.其中在定义域内为增函数的是________(填序号).
解析:由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.
答案:②③⑤
10.幂函数f(x)=(m2-m-1)·xm2-2m-3在(0,+∞)上是减函数,则实数m=________.
解析:因为f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3为幂函数,
所以m2-m-1=1.所以m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,
当m=-1时,f(x)=x0=1不符合题意.
综上可知m=2.
答案:2
11.由幂函数的图象可知,使x3-x2>0成立的x的取值范围是________.
解析:在同一坐标系中作出y=x3及y=x2的图象(图略)可得不等式成立的x的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
12.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A.
(1)求实数α的值;
(2)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)内的单调性.
解:(1)因为f(x)=xα的图象经过点A,
所以=,即2-α=2.所以α=-.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=x2--x1-=-==
.
因为x2>x1>0,
所以x1-x2<0,且·(+)>0.
于是f(x2)-f(x1)<0,f(x2)<f(x1),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.
B级 能力提升
13.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2的大小关系是(  )
A.h(x)<g(x)<f(x) B.g(x)<h(x)<f(x)
C.h(x)<f(x)<g(x) D.f(x)<g(x)<h(x)
解析:在同一坐标系中,画出当0<x<1时,函数y=x2,y=x,y=x-2的图象,如图所示.
所以当0<x<1时,有x-2>x>x2,
即f(x)<g(x)<h(x).
答案:D
14.已和幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=________.
解析:因为函数是幂函数,所以k=1,又因为其图象过点,所以=,解得α=,故k+α=.
答案:
15.若(a+1)<(2a-2) ,则实数a的取值范围是________.
解析:因为幂函数y=x在R上为增函数,
又(a+1) <(2a-2) ,
所以a+1<2a-2,解得a>3.
答案:(3,+∞)
16.已知幂函数f(x)=xm2+m-2(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则函数g(x)=2x+的最小值是________.
解析:因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以m2+m-2<0,解得-2<m<1.
又m∈Z,所以m=-1,0.
此时均有f(x)=x-2时图象关于y轴对称.
所以f(x)=x-2(x≠0).
所以g(x)=2x+x2=(x+1)2-1(x≠0).
所以g(x)min=-1.
答案:-1
17.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(2-lg x),求g(x)的定义域、值域.
解:(1)设f(x)=xα,则由题意可知25α=5,
所以α=,所以f(x)=x.
(2)因为g(x)=f(2-lg x)=,
所以要使g(x)有意义,只需2-lg x≥0.
所以lg x≤2,则0<x≤100.
所以g(x)的定义域为(0.100],
又2-lg x≥0,
所以g(x)的值域为[0,+∞).
18.已知函数f(x)=(a2-a+1)xa+1为幂函数,且为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数g(x)=f(x)+(f(x))2在上的值域.
解:(1)因为函数f(x)=(a2-a+1)xa+1为幂函数,
所以a2-a+1=1,解得a=0或a=1.
当a=0时,f(x)=x是奇函数.
当a=1时,f(x)=x2为偶函数,不合题意(舍去).
因此a=0.
(2)由(1)知g(x)=x+x2=-.
g(x)在上是增函数,
当x=0时,函数取得最小值g(0)=0;
当x=时,函数取得最大值g=+=.
故g(x)在区间 上的值域为.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
A级 基础巩固
1.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则(  )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实根
D.方程f(x)=0可能无实数解
解析:因为函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管f(-1)·f(3)<0,但未必函数y=f(x)在(-1,3)上有实数解.
答案:D
2.函数f(x)=的零点个数为(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:x≤0时由x2+2x-3=0?x=-3;x>0时由-2+ln x=0?x=e2.
答案:C
3.方程2x-x2=0的解的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:在同一坐标系画出函数y=2x,及y=x2的图象略,可看出两图象有三个交点,故2x-x2=0的解的个数为3.
答案:C
4.根据表格中的数据,可以断定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是(  )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
解析:由上表可知f(1)=2.72-3<0,
f(2)=7.39-4>0,
所以f(1)·f(2)<0.所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
答案:C
5.(2014·北京卷)f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(  )
A.(0,1) B. (1,2)
C. (2,4) D.(4,+∞)
解析:利用零点存在性定理,验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号.
由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0,
由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
答案:C
6.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点构成的集合是________.
解析:因为f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),
所以由f(x)=0解得x=-5或x=1或x=2.
答案:{-5,1,2}
7.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________.
解析:因为奇函数的图象关于原点对称,
所以若f(x)有三个零点,则其和必为0.
答案:0
8.函数f(x)=x2-2x+a有两个不同零点,则实数a的范围是________.
解析:由题意可知,方程x2-2x+a=0有两个不同解,
故Δ=4-4a>0,即a<1.
答案:(-∞,1)
9.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是________.
解析:因为函数f(x)=ax-b的一个零点是3,
所以x=3是方程ax-b=0的根.
所以b=3a.
于是函数g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),
令g(x)=0,得x=0或x=-1.
答案:0,-1
10.设x0是方程ln x+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=________.
解析:令f(x)=ln x+x-4,
且f(x)在(0,+∞)上递增,
因为f(2)=ln 2+2-4<0,
f(3)=ln 3-1>0,
所以f(x)在(2,3)内有解.所以k=2.
答案:2
11.判断函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.
解:令f(x)=0,即log2x-x+2=0,即log2x=x-2.
令y1=log2x,y2=x-2.
画出两个函数的大致图象,如图所示,
函数的图象有两个不同的交点.
所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.
12.函数f(x)=x3-3x+2.
(1)求f(x)的零点;
(2)求分别满足f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0的x的取值范围.
解:f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2).
(1)令f(x)=0,函数f(x)的零点为x=1或x=-2.
(2)令f(x)<0,得x<-2.
所以满足f(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2);
满足f(x)=0的x的取值集合是{1,-2};
令f(x)>0,得-2<x<1或x>1,
满足f(x)>0的x的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).
B级 能力提升
13.函数y=lg x-的零点所在的大致区间是(  )
A.(6,7) B.(7,8)
C.(8,9) D.(9,10)
解析:因为f(9)=lg 9-1<0,
f(10)=lg 10-=1->0,
所以f(9)·f(10)<0.
所以y=lg x-在区间(9,10)上有零点.
答案:D
14.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则实数a的值为________.
解析:依题意可得,方程2a=|x-a|-1只有一解,
则方程|x-a|=2a+1只有一解.
所以2a+1=0.所以a=-.
答案:-
15.若函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,试求函数g(x)=bx2-ax-1的零点.
解:函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,
由函数的零点与方程的根的关系知方程x2-ax-b=0的两根为2和3.
再由根与系数的关系得a=5,b=-6,
所以g(x)=-6x2-5x-1,易求得函数g(x)的零点为
-,-.
16.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求实数a的取值范围.
解:令f(x)=3x2-5x+a,由已知条件得:

解得-12所以a的取值范围是{a|-12<a<0}.
17.求证:函数f(x)=2x-在(0,1)内有且只有一个零点.
证明:f(x)=2x-=2x+1-(x≠1).
设-1<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=2x1--2x2+=2x1-2x2+
.
因为-1<x1<x2,
所以2x1-2x2<0,x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.
所以2x1-2x2+<0,
即f(x1)<f(x2).
所以f(x)在(-1,+∞)上是增函数.
又f(0)=20-2=-1<0,
f(1)=21-=>0,即f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点且只有一个零点.
18.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].
(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域;
(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点?
解:
(1)依题意:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的值域为[-4,5].
(2)因为函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
所以方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两相异的实数根,即函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点.
由(1)所作图象可知,-4<-m≤0,所以0≤m<4.
所以当0≤m<4时,函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点,
故当0≤m<4时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第2课时 用二分法求方程的近似解
A级 基础巩固
1.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(  )

A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
解析:由图象知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余3个均可使用二分法求零点.
答案:D
2.函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间(  )
A. B. C. D.(1,2)
解析:f=-<0,f=-<0,f=-1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0,
所以函数零点落在区间上.
答案:C
3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法中正确的是(  )
A.函数f(x)在区间无零点
B.函数f(x)在区间或内有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)在区间或内有零点,或零点是
解析:由二分法求函数零点的原理可知选D.
答案:D
4.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数f(x)在区间(a,b)上有一个零点x0,且f(a)·f(b)<0,用二分法求x0时,当f=0时,则函数f(x)的零点是(  )
A.(a,b)外的点
B.x=
C.区间或内的任意一个实数
D.x=a或x=b
解析:由二分法的思想,采用二分法得到的零点可能是准确值,也可能是近似值.由f=0知,选B.
答案:B
5.方程|x2-3|=a的实数解的个数为m,则m不可能等于(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由图可知y=|x2-3|与y=a不可能是一个交点.
答案:A
6.奇函数f(x)=x3+bx2+cx的三个零点是x1,x2,x3,满足x1x2+x2x3+x3x1=-2,则b+c=________.
解析:因为f(x)为奇函数,
所以b=0.故f(x)=x3+cx有一个零点是0,
不妨设x1=0,则x2,x3是x2+c=0的二根,故x2x3=c,
由x1x2+x2x3+x3x1=-2得c=-2,
故b+c=0-2=-2.
答案:-2
7.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12
10
-2
4
-5
-10
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个.
解析:由表知:f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点.
答案:3
8.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏,在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价,就把该商品奖给选手,每次选手给出报价,主持人告诉说高了低了,以猜对或到时为止游戏结束.如猜一种品牌的电风扇,过程如下:游戏参与者开始报价500元,主持人说高了,300元,高了,260元,低了,280元,低了,290元,高了,285元,低了,288元,你猜对了!恭喜!请问游戏参与者用的数学知识是________(只写出一个正确答案).
答案:二分法
9.用二分法求方程ln x-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=,则下一个含根的区间为________.
解析:令f(x)=ln x-2+x,
因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f=ln -<0,
所以下一个含根的区间为.
答案:
10.设x0是方程ax=logax(0解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax和y=logax的图象(如图所示),可以看出:
x0<1,logax0<1,所以x0>a,a答案:aB级 能力提升
11.函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象交点个数为(  )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:在同一平面直角坐标系中作出f(x)=2ln x和g(x)=x2-4x+5的图象(如图所示),由图象可见它们有2个交点.
答案:B
12.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(  )
A.[1,4] B.[-2,1]
C. D.
解析:由于第一次所取的区间为[-2,4],
所以第二次所取区间为[-2,1]或[1,4],
第三次所取区间为,,或.
答案:D
13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________.
解析:设等分的最少次数为n,则由<0.01,得2n>10.
所以n的最小值为4.
答案:4
14.判断函数y=x3-x-1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).
解:因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
-0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.05
(1.132 5,1.375)
1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75)
1.328 125
0.01
因为1.312 5.1.328 125精确到0.1的近似值都为1.3,所以函数的一个近似零点为1.3.
15.求函数y=ln x与函数y=3-x的图象的交点横坐标(精确到0.1).
解:求函数y=ln x与函数y=3-x的图象交点的横坐标,
即求方程ln x=3-x的根.
令f(x)=ln x+x-3,
因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,
所以可取初始区间为(2,3),列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416 3>0
(2,2.5)
2.25
0.060 9>0
(2,2.25)
2.125
-0.121 2<0
(2.125,2.25)
2.187 5
-0.029 7<0
(2.187 5,2.25)
2.218 75
0.015 7>0
由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2,所以方程ln x+x-3=0在(2,3)内的一个近似根可取为2.2,即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.4 函数的应用
3.4.2 函数模型及其应用
A级 基础巩固
1.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是(  )
A.y=100 x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100x
解析:将题目中的数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
答案:C
2.某学校开展研究性学习活动,一名同学获得了下面的一组试验数据:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
解析:代入点(2,1.5),(5,12)检验知选D.
答案:D
3.某商场的某款手机的价格不断降低,若每隔半年其价格降低,则现在价格为2 560元的该款手机,两年后价格可降为(  )
A.1 440元 B.900元
C.1 040元 D.810元
解析:两年后的价格为2 560×=810(元).
答案:D
4.已知某工厂去年12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂去年产量的月平均增长率是________.
解析:设1月份的产量为a,则12月份的产量为7a,
所以a·(1+x)11=7a,解得x=-1.
答案:-1
5.如果本金为a,每期利率为r,按复利计算,本利和为y,则存x期后,y与x之间的函数关系是____________________________.
解析:1期后y=a+ar=a(1+r);
2期后y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
……
归纳可得x期后y=a(1+r)x.
答案:y=a(1+r)x
6.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,n年后这批设备的价值为________万元.
解析:1年后价值为:a-ab%=a(1-b%),2年后价值为:a(1-b%)-a(1-b%)·b%=a(1-b%)2,
所以n年后价值为:a(1-b%)n.
答案:a(1-b%)n
7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.若气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s,则该气体通过半径为r的管道时,其流量速度R的解析式为________.
解析:由题意可设R=kr4(k>0),
由r=3,R=400,可得k==,
则流量速率R的解析式为:
R=r4.
答案:R=r4
8.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
每户每月用水量
水价
不超过12 m3的部分
3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分
6元/m3
超过18 m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元,则此户居民本月用水量为________m3.
解析:设每户每月用水量为x,水价为y元,则
y=
即y=
所以48=6x-36.所以x=14.
答案:14
9.国家收购某种农产品的价格是120元/担,其中征税标准为每100元征8元(叫作税率为8个百分点,即8%),计划收购m万担,为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后,不低于原计划的78%,试确定x的范围.
解:(1)y=120×m·[1+(2x)%]×(8%-x%)=-0.024m(x2+42x-400)(0(2)由题可知,-0.024m(x2+42x-400)≥120×m·8%×78%,
即x2+42x-88≤0,(x+44)(x-2)≤0,
解得-44≤x≤2.又因为010.如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆高为4 m,宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)?
解:由已知条件分析,得知抛物线顶点坐标为(5,2.5),点C的坐标为(10,0),
所以设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+2.5.①
把(10,0)代入①得0=a(10-5)2+2.5,
解得a=-,y=-(x-5)2+2.5.
当y=4-2.4=1.6时,1.6=-(x-5)2+2.5,
即(x-5)2=9,解得x1=8,x2=2.
显然,x2=2不符合题意,舍去,所以x=8.
OC-x=10-8=2.
故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部.
11.为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建隔热层,某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本6万元,该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和,求k的值及f(x)的表达式.
解:设隔热层厚度为x cm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)=,
再由C(0)=8得k=40,
因此C(x)=,而建造费为6x,
故f(x)=20×C(x)+6x=+6x(0≤x≤10).
12.小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时,得到了下列一组数据:
x/月
2
3
4
5
6

y/元
1.40
2.56
5.31
11.00
21.30

小明选择了模型y=x,他的同学却认为模型y=更合适.
(1)你认为谁选择的模型较好?并简单说明理由.
(2)试用你认为较好的函数模型来分析,大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元?
(参考数据lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
解:(1)根据表格提供的数据,画出散点图,并画出函数y=x及y=的图象,如图所示.观察发现,这些点基本上落在函数y=的图象上或附近,因此用函数模型y=较好.
(2)当=100时,2x=300,
所以x=log2300==≈8.23.
故大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元.
B级 能力提升
13.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2011年的湖水量为m,从2011年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为(  )
A.y=0.9 B.y=(1-0.1)m
C.y=0.9m D.y=(1-0.150x)m
解析:设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9.
所以q%=0.9,即x年后的湖水量为0.9m.
答案:C
14.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是(  )
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
解析:由题意知,组装第A件产品所需时间为=15,
故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60.
将c=60代入=15,得A=16.
答案:D
15.有一种树木栽植五年后可成材,在栽植后五年内,木材年增长率为20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长率为10%,现有两种砍伐方案:
甲方案,栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐;
乙方案,栽植五年后砍伐重栽,过五年再砍伐一次.
则十年后,________方案可以得到较多的木材(不考虑最初的树苗的成本,只按成材的树木计算).
解析:设树林最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a,
乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.
y1-y2=4.01a-4.98a<0,
所以乙方案能获得较多的木材.
答案:乙
16.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算,下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式[注:收益=实际电量×(实际电价-成本价)];
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
解:(1)设下调后的电价为x元/(kW·h),依题意知用电量增至+a(kW·h).电力部门的收益为:y=(x-0.3),0.55≤x≤0.75.
(2)依题意有(x-0.3)≥[a(0.8-0.3)]×(1+20%)且0.55≤x≤0.75.
整理得?0.60≤x≤0.75,即当电价最低定为0.60元/(kW·h)时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
17.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg 给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)平时常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级;
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少;
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,这两位同学是否会影响其他同学休息?
解:(1)当I=10-6W/m2时,代入公式得
Y=10lg =10lg 106=60.
即声强级为60分贝.
(2)当Y=0时,即为10lg =0,所以=1.
I=10-12W/m2,则能听到的最低声强为10-12W/m2.
(3)当声强I=5×10-7W/m2时,
声强级Y=10lg =10lg (5×105)=50+10lg 5>50,
所以这两位同学会影响其他同学休息.
18.为了预防甲型H1N1流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
解:(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0,0),(0.1,1),
所以在t∈[0,0.1]时,表达式为y=10t.
因为点(0.1,1)也在y=上,
所以a=0.1.
所以当t≥0.1时,y=.
所以函数解析式y=
(2)依题意,如果学生进入教室,则有y<0.25.
所以<,即<.
又因为y=是减函数,
所以2t-0.2>1.所以t>0.6.
因此至少要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
章末过关检测卷(一)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则(  )
A.P?Q B.Q?P
C.P??RQ D.Q??RP
解析:因为Q={x|-2答案:B
2.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=(  )
A.{1} B.{2} C.{(1,2)} D.?
解析:由于A是数集,B是点集,故A∩B=?.
答案:D
3.已知集合A={x|x(x-1)=0},那么下列结论正确的是(  )
A.0∈A B.1?A
C.-1∈A D.0?A
解析:由x(x-1)=0得x=0或x=1,则集合A中有两个元素0和1,所以0∈A,1∈A.
答案:A
4.已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=(  )
A.{0} B.{0,1}
C.{0,2} D.{0,1,2}
解析:因为A={x|x2-2x=0}={0,2},B={0,1,2},所以A∩B={0,2}.
答案:C
5.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素,则实数k的值为(  )
A.1 B.0
C.0或1 D.以上答案都不对
解析:当k=0时,A={-1};当k≠0时,Δ=16-16k=0,k=1.故k=0或k=1.
答案:C
6.下列四句话中:①?={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:空集是任何集合的子集,故④正确,②错误;③不正确,如?只有一个子集,即它本身;结合空集的定义可知①不正确;故只有1个命题正确.
答案:B
7.(2015·山东卷)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0}.则A∩B=(  )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
解析:易知B={x|1<x<3},又A={x|2<x<4},
所以A∩B={x|2<x<3}=(2,3).
答案:C
8.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3A.{a|3C.{a|3解析:?3≤a≤4.
答案:B
9.已知全集U=R,集合A={x|x>1或x<-2},B={x|-1≤x≤0},则A∪?UB等于(  )
A.{x|x<-1或x>0} B.{x|x<-1或x>1}
C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-2或x≥0}
解析:?UB={x|x<-1或x>0},
所以A∪?UB={x|x<-1或x>0}.
答案:A
10.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩?UB=(  )
A.{3} B.{4} C.{3,4} D.?
解析:由题意A∪B={1,2,3},又B={1,2}.
所以?UB={3,4},故A∩?UB={3}.
答案:A
11.已知全集U=R,集合A={x|y=},集合B={x|0<x<2},则(?UA)∪B等于(  )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
解析:因为A={x|x≤1},所以?UA={x|x>1}.
所以(?UA)∪B={x|x>0}.
答案:D
12.设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},若点P(2,3)∈A∩(?UB),则下列选项正确的是(  )
A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5
解析:由P(2,3)∈A∩(?UB)得P∈A且P?B,
故解得
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则N=________.
答案:{1,3,5}
14.已知集合A={(x,y)|ax-y2+b=0},B={(x,y)|x2-ay+b=0},且(1,2)∈A∩B,则a+b=________.
解析:因为(1,2)∈A∩B,
所以?a=,b=.
故a+b=4.
答案:4
15.设集合A={x||x|<4},B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A,且x?A∩B}=________.
解析:A={x|-43或x<1},A∩B={x|3所以{x|x∈A且x?A∩B}={x|1≤x≤3}.
答案:{x|1≤x≤3}
16.设集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N?M,则实数m的取值集合为________.
解析:集合M=.若N?M,则N={3}或或?.于是当N={3}时,m=;当N=时,m=-2;当N=?时,m=0.所以m的取值集合为.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)
17.(本小题满分10分)A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
解:因为A∪B=A,所以B?A.
当B=?时,即a=0时,显然满足条件.
当B≠?时,则B=,A={1,2},
所以=1或=2,从而a=1或a=2.
故集合C={0,1,2}.
18.(本小题满分12分)已知集合A={x|1≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集R.
(1)求A∪B,(?RA)∩B;
(2)如果A∩C≠?,求a的取值范围.
解:(1)A∪B={x|1≤x<10},(?RA)∩B={x|x<1或x≥7}∩{x|2<x<10}={x|7≤x<10}.
(2)当a>1时,满足A∩C≠?.
因此a的取值范围是{a|a>1}.
19.(本小题满分12分)已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B?A,求a的取值范围.
解:集合A={0,-4},由于B?A,则:
(1)当B=A时,即0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,代入解得a=1.
(2)当B≠A时:
①当B=?时,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1;
②当B={0}或B={-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0应有两个相等的实数根0或-4,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足条件.
综上可知a=1或a≤-1.
20.(本小题满分12分)已知A={x|a-4<x<a+4},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,A={x|-3<x<5},B={x|x<-1或x>5}.
所以A∩B={x|-3<x<-1}.
(2)因为A={x|a-4<x<a+4},B={x|x<-1或x>5},
又A∪B=R,
所以?1<a<3.
所以所求实数a的取值范围是{a|1<a<3}.
21.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},求a取何值时,A∩B≠?与A∩C=?同时成立.
解:因为B={2,3},C={2,-4},
由A∩B≠?且A∩C=?知,3是方程x2-ax+a2-19=0的解,
所以a2-3a-10=0.
解得a=-2或a=5.
当a=-2时,A={3,-5},适合A∩B≠?与A∩C=?同时成立;
当a=5时,A={2,3},A∩C={2}≠?,故舍去.
所求a的值为-2.
22.(本小题满分12分)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|1≤2x+5≤15}.
(1)已知a=3,求(?RP)∩Q;
(2)若P∪Q=Q,求实数a的取值范围.
解:(1)因为a=3,所以集合P={x|4≤x≤7}.
所以?RP={x|x<4或x>7},
Q={x|1≤2x+5≤15}={x|-2≤x≤5},
所以(?RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为P∪Q=Q,所以P?Q.
①当a+1>2a+1,即a<0时,P=?,
所以P?Q;
②当a≥0时,因为P?Q,
所以所以0≤a≤2.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].
章末过关检测卷(三)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.f(x)=-x的图象关于(  )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
解析:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=-(-x)=-=-f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称.
答案:C
2.下列函数为偶函数的是(  )
A.y=x2+x B.y=-x3
C.y=ex D.y=ln
解析:选项A,C为非奇非偶函数,选项B为奇函数.
答案:D
3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(9,3),则log4f(2)的值为(  )
A. B.- C.2 D.-2
解析:设幂函数为f(x)=xα,则有3=9α,得α=,所以f(x)=x,f(2)=,所以log4f(2)=log4=log44=.
答案:A
4.函数f(x)=|logx|的单调递增区间是(  )
A.(0,) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
解析:画f(x)=|logx|的图象如图所示:由图象知单调增区间为[1,+∞).
答案:D
5.已知10m=2,10n=4,则10的值为(  )
A.2 B. C. D.2
解析:10=10÷10=(10m)÷(10n)=2÷4=2-1=.
答案:B
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=(  )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:由f(0)=0得b=-1.
所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
答案:A
7.已知函数f(x)=,则其图象(  )
A.关于x轴对称 B.关于y=x轴对称
C.关于原点对称 D.关于y轴对称
解析:函数的定义域为{x|x≠0},
f(-x)===f(x),
所以函数f(x)的偶函数,其图象关于y轴对称.
答案:D
8.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
1
2
3
f(x)
6.1
2.9
-3.5
则函数f(x)一定存在零点的区间是(  )
A.(-∞,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
解析:因为f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内一定存在零点.
答案:C
9.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(  )
A.y=x3 B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
解析:选项A为奇函数,选项C,D在(0,+∞)上是减函数.
答案:B
10.已知0<a<1,x=loga+loga,y=loga5,z=loga-loga,则(  )
A.x>y>z B.z>y>x
C.y>x>z D.z>x>y
解析:x=loga+loga=loga=loga6,z=loga-loga=loga=loga7.因为0<a<1,所以loga5>loga6>loga7.即y>x>z.
答案:C
11.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大.此时每吨的价格为40元,则有(  )
A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45
C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30
解析:设生产x吨产品全部卖出,获利润为y元,
则y=xQ-P=x-=·x2+(a-5)x-1 000(x>0).
由题意知,当x=150时,y取最大值,此时Q=40.
所以解得
答案:A
12.设函数f(x)=已知f(a)>1,则实数a的取值范围是(  )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析:当a≤0时,f(a)=()a-3>1,解得a<-2;
当a>0时,f(a)=a>1,解得a>1.
综上a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设f(x)=则f(f(2))=________.
解析:因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
14.(2014·上海卷)若f(x)=x-x,则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
解析:根据幂函数的性质,由于<,
所以当0<x<1时,x<x;当x>1时,x>x.
因此f(x)<0的解集为(0,1).
答案:(0,1)
15.若定义运算f(a*b)=则函数f(3x*3-x)的值域是________.
解析:由定义可知该函数是求a,b中较小的那一个,所以分别画出y=3x与y=3-x=的图象,
由图象很容易看出函数f(3x*3-x)的值域是(0,1].
答案:(0,1]
16.(2014·福建卷)函数f(x)=的零点个数是________.
解析:当x≤0时,由x2-2=0,得x=-.
当x>0时,f(x)=2x-6+ln x是增函数且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0.
所以f(x)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点.
综上可知f(x)的零点有2个.
答案:2
三、解答题(本题共6个小题,满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(b≠0,a>0).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)=,log3(4a-b)=log24,求a,b的值.
解:(1)f(x)的定义域为R,
f(-x)==-f(x),
故f(x)是奇函数.
(2)由f(1)==,得a-2b+1=0.
又log3(4a-b)=log24=1,即4a-b=3.

解得a=1,b=1.
18.(本小题满分12分)对于函数f(x),若存在x0∈R使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
解:(1)因为a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,
由f(x)=x?x2-2x-3=0?x=-1或x=3,
所以f(x)的不动点为-1和3.
(2)由题设知ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不等实根,
即ax2+bx+b-1=0有两个不等实根,
所以Δ=b2-4a(b-1)>0?b2-4ab+4a>0恒成立.
所以(-4a)2-4×4a<0?0故a的取值范围是(0,1).
19.(本小题满分12分)设海拔x m处的大气压强是 y Pa,y与 x 之间的函数关系式是 y=cekx,其中c,k为常量,已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa,求600 m高空的大气压强(精确到0.001).
解:将x=0,y=1.01×105;x=1 000 , y=0.90×105, 代入 y=cekx得:

将①代入②得:0.90×105=1.01×105e1 000k?k=×ln,计算得:k=-1.15×10-4.
所以y=1.01×105×e-1.15×10-4x.
将 x=600 代入,得:y=1.01×105×e-1.15×10-4×600,
计算得:y=0.943×105(Pa).
所以在600 m高空的大气压约为0.943×105 Pa.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(ax-bx),(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在(1,+∞)上递增且恒取正值,求a,b满足的关系式.
解:(1)由ax-bx>0,得>1.
因为a>1>b>0,所以>1.所以x>0.
所以f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)因为f(x)在(1,+∞)上递增且恒为正值,
所以f(x)>f(1),只要f(1)>0.
则lg(a-b)≥0,所以a-b≥1.
因此a,b满足的关系为a≥b+1.
21.(本小题满分12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件,为了预测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(其中a,b,c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.
解析:根据题意,该产品的月产量y是月份x的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定这两个函数的具体解析式.
设y1=f(x)=px2+qx+r(p,q,r为常数,
且p≠0),y2=g(x)=abx+c,根据已知有

解得和
所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,g(x)=-0.8×0.5x+1.4.所以f(4)=1.3,g(4)=1.35.
显然g(4)更接近于1.37,故选用y=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.
由条件可知2x-=2,即22x-2×2x-1=0,
解得2x=1±.
因为2x>0,所以x=log2(1+).
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
因此m(22t-1)≥-(24t-1).
因为22t-1>0,
所以m≥-(22t+1).
因为t∈[1,2],
所以-(1+22t)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
章末过关检测卷(二)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则?RM为(  )
A.[-1,1]
B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪[1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由1-x2≥0,知-1≤x≤1.
所以M=[-1,1].
所以?RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:D
2.下列图中不能作为函数图象的是(  )
解析:选项B对于给定的变量有两个值与其对应,不是函数的图象.
答案:B
3.已知函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围是(  )
A.[-1,2] B.(-1,2)
C.(-∞,2) D.(-1,+∞)
解析:因为函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,即对称轴直线x=k在此区间内,所以有-1<k<2.
答案:B
4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数(  )
A.y=x B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=-
解析:A、D中函数是奇函数,不是偶函数,B中y=|x|+1是偶函数,且在(0,+∞)上递增,但D中,y=-x2+1在(0,+∞)上是减函数.
答案:B
5.函数y=x2-2x+3,-1≤x≤2的值域是(  )
A.R B.[3,6]
C.[2,6] D.[2,+∞)
解析:画出函数的图象,如图所示,观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6],所以值域是[2,6].
答案:C
6.设f(x)=则f(5)的值是(  )
A.24 B.21 C.18 D.16
解析:f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24.
答案:A
7.若二次函数y=f(x)满足f(5+x)=f(5-x),且方程f(x)=0有两个实根x1,x2,则x1+x2等于(  )
A.5 B.10 C.20 D.
解析:因为f(x+5)=f(5-x),
所以f(x)的对称轴为x0=5,x1+x2=2x0=10.
答案:B
8.若对于任意实数x,都有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,则(  )
A.f(-2)<f(2) B.f(-1)<f
C.f<f(2) D.f(2)<f
解析:根据题意可知,f(x)是偶函数.
因为f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,
所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
所以f=f>f(2).
答案:D
9.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为(  )
A.10 B.-10 C.-15 D.15
解析:依题意可得,f(x)在[3,6]上是增函数,
所以f(6)=8,f(3)=-1.
又y=f(x)为奇函数,
所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-15.
答案:C
10.已知函数f(x)=,则有(  )
A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)
B.f(x)是奇函数,且f=f(x)
C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)
D.f(x)是偶函数,且f=f(x)
解析:由f(-x)===f(x),
得f(x)为偶函数.
又f===-f(x),
故C选项正确.
答案:C
11.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(  )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
解析:由f(0)=f(4),知函数图象关于直线x=2对称,所以-=2.所以b+4a=0,
由f(0)>f(1)知函数图象开口向上,所以a>0.
答案:A
12.若函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(  )
A.(-2,0) B.[-2,0)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)
解析:由x≥1时,f(x)=-x2+2ax-2a是减函数,得a≤1,
由x<1时,函数f(x)=ax+1是减函数,得a<0,
分段点1处的值应满足-12+2a×1-2a≤1×a+1,
解得a≥-2,所以-2≤a<0.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
解析:利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可.
因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(4-x)=f(x).
所以f(4-1)=f(1)=f(3)=3,
则f(1)=3.
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1)=3.
答案:3
14.已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域是________.
解析:当x>0时,f(x)的值域是(2,3].根据奇函数的性质可得,f(x)的值域是[-3,-2)∪(2,3].
答案:[-3,-2)∪(2,3]
15.若f(x),g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值8,则在区间(-∞,0)上的最小值是________.
解析:因为f(x),g(x)为奇函数,
所以F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
则F(-x)-2=-(F(x)-2)=2-F(x).
因为F(x)在(0,+∞)上有最大值8.
当x<0时,-x>0,F(-x)≤8.
所以F(-x)-2≤6,从而-(F(x)-2)≤6.
因此F(x)≥-4,F(x)在(-∞,0)上的最小值为-4.
答案:-4
16.若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)都有<0,则f(1),f(-2),f(3)的大小关系是________.
解析:由<0可知,f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,所以f(1)>f(2)>f(3).
又因为f(x)是偶函数,
所以f(-2)=f(2),
因此f(1)>f(-2)>f(3).
答案:f(1)>f(-2)>f(3)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x+,且f(1)=3.
(1)求m;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
解:(1)因为f(1)=3,即1+m=3,
所以m=2.
(2)由(1)知,f(x)=x+,
其定义域是{x|x≠0},关于原点对称,
又f(-x)=-x+=-=-f(x),
所以此函数是奇函数.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数.
解:(1)当a=-2时,
f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1.
又因为x∈[-4,6],
所以函数f(x)在[-4,2]上为减函数,
在[2,6]上为增函数.
所以f(x)max=f(-4)=(-4-2)2-1=35,
f(x)min=f(2)=-1.
(2)因为函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=-a,且f(x)在[-4,6]上是单调函数,
所以-a≥6或-a≤-4,
即a≤-6或a≥4.
故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
19.(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的奇函数.如图是函数图象的一部分,当0≤x≤2时,是线段OA;当x>2时,图象是顶点为P(3,4)的抛物线的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)在[2,+∞)上的解析式;
(3)写出函数f(x)的单调区间.
解:(1)图象如图所示.
(2)当x≥2时,设f(x)=a(x-3)2+4(a≠0).
因为f(x)的图象过点A(2,2),
所以f(2)=a(2-3)2+4=2所以a=-2.
所以f(x)=-2(x-3)2+4.
(3)由f(x)的图象知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-3]和[3,+∞),单调递增区间为[-3,3].
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
(1)证明:任取x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2).
故函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增.
(2)解:任取1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.
因为a>0,x1-x2<0,
所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
所以a≤1.
故a的取值范围是(0,1].
21.(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系:
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式.
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
解:(1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对应点,它们近似地分布在一条直线上,如图所示.
设它们共线于直线y=kx+b,

所以y=-3x+150(0≤x≤50,且x∈N*),经检验(30,60),(40,30)也在此直线上.
所以所求函数解析式为y=-3x+150(0≤x≤50,且x∈N*).
(2)依题意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300.所以当x=40时,P有最大值300,故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.
22.(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f<2.
解:(1)在f=f(x)-f(y)中,令x=y=1,
则有f(1)=f(1)-f(1),
所以f(1)=0.
(2)因为f(6)=1,
所以f(x+3)-f<2=f(6)+f(6).
所以f(3x+9)-f(6)<f(6),
即f<f(6).
因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,
所以解得-3<x<9.
故不等式的解集为(-3,9).