课时作业(一) 正弦定理
A 组
(限时：10分钟)
1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
解析：由正弦定理可得sinA＝，但a
答案：A
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.
答案：B
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：∵根据正弦定理＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴acosA＝bsinB可化为sinAcosA＝sin2B.
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C中∠A是钝角且a答案：D
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理＝＝＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入＝＝中，得
＝＝，
即＝＝，
∴tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C.
因此△ABC为等边三角形．
B 组
(限时：30分钟)
1．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC等于( )
A．3－ B.
C．2 D．3＋
解析：在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴BC＝·sin45°.
又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，
∴BC＝×＝3－.
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝3，B＝60°，cosA＝，则b＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵0答案：C
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵2asinB＝b，∴2sinAsinB＝sinB.
∵sinB≠0，∴sinA＝.
∵A∈，∴A＝.故选A.
答案：A
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．2解析：∵满足条件的三角形有两解，∴asinB答案：C
5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝( )
A. B.
C. D．1
解析：根据正弦定理，＝，则sinB＝sinA＝×＝，故选B.
答案：B
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：∵＝＝，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，
即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，∴A＝，故选A.
答案：A
7．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，则的值为________．
解析：＝＝＝－.
答案：－
8．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝____________.
解析：∵A＝30°，B＝120°，∴C＝30°，
由＝可得a＝＝＝4，c＝a＝4，
∴a＋c＝8.
答案：8
9．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.
解析：∵A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，由＝可得：sinA＝＝＝.
答案：
10．在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝，求BC的长．
解：由cosC＝，得sinC＝＝.
sinA＝sin(180°－45°－C)＝(cosC＋sinC)＝.
由正弦定理，得BC＝＝＝3.
11．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，p＝(cosC，sinC)，q＝(1，)，且p∥q.
(1)求角C的大小；
(2)若sinB＝cos2B，且c＝3，求a，b的值．
解：(1)∵p∥q，∴＝.
∴tanC＝.又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵sinB＝cos2B＝1－2sin2B，∴2sin2B＋sinB－1＝0.
∴sinB＝或sinB＝－1.
∵B∈，∴sinB＝.
∴B＝.∴A＝.
由正弦定理＝＝，得b＝＝＝，a＝＝2.
12．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cosA＝.
(2)由(1)知，cosA＝，所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
课时作业(二) 余弦定理
A 组
(限时：10分钟)
1．在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：由sin2A＋sin2B答案：A
2．在△ABC中，a＝1，B＝60°，c＝2，则b等于( )
A．1 B.
C. D．3
解析：b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋4－2×1×2×＝3，故b＝.
答案：C
3．在△ABC中，c2－a2－b2＝ab，则角C为( )
A．60° B．45°或135°
C．150° D．30°
解析：∵cosC＝＝＝－，∴C＝150°.
答案：C
4．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的度数等于________．
解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，则c边最大，∴角C最大．∴cosC＝＝＝－，∵0°答案：120°
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
已知a＝4，c＝6，cosB＝，
(1)求b的值；
(2)求sinC的值．
解：(1)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝42＋62－2×4×6×＝40，∴b＝2.
(2)解法一：由余弦定理，得cosC＝＝＝.
∵C是△ABC的内角．∴sinC＝＝.
解法二：∵cosB＝，且B是△ABC的内角，
∴sinB＝＝.根据正弦定理，＝，得
sinC＝＝＝.
B 组
(限时：30分钟)
1．在△ABC中，已知C＝120°，边a与边b是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则c的值为( )
A. B．7
C．3 D.
解析：∵a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝3，ab＝2.
∴由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝9－2×2＋2×2×＝7.
∴c＝.
答案：D
2．在△ABC中，若6a＝4b＝3c，则cosB＝( )
A. B.
C. D.
解析：设6a＝4b＝3c＝12k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
由余弦定理得cosB＝
＝＝.
答案：D
3．若△ABC的边a，b，c满足a2＋b2－c2＝4，且C＝，则ab的值为( )
A．4 B．8
C. D.
解析：由余弦定理得cosC＝，
即＝，解得ab＝4.
答案：A
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosB的值为( )
A. B.
C. D.
解析：cosB＝＝＝.
答案：B
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cosC＝＝＝－<0，
∴90°答案：A
6．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9
C．8 D．5
解析：由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝.
∵A∈，∴cosA＝.
∵cosA＝，∴b＝5或b＝－(舍)．
故选D.
答案：D
7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，B＝30°，则a＝__________.
解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，9＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，化简得a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
答案：3或6
8．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.
解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝.
由正弦定理得＝，∴sin∠BAC＝.
答案：
9．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.
解析：∵b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2×＝4，
∴b＝2.
答案：2
10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.
因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－sinA)cosB＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－sinAcosB＝0，
即有sinAsinB－sinAcosB＝0，
因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0，
又cosB≠0，所以tanB＝，又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.
因为a＋c＝1，cosB＝，有b2＝32＋.
又012．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
解：(1)(方法一)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝.
由于0(方法二)由题设可知，2b·＝a·＋c·，
于是b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝.
由于0(2)(方法一)因为
2＝2
＝(2＋2＋2·)
＝
＝，
所以||＝，从而AD＝.
(方法二)因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，B＝.
因为BD＝，AB＝1，
所以AD＝＝.
课时作业(三) 三角形的面积及三角形中的几何计算
A 组
(限时：10分钟)
1．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是( )
A．9 B．8
C．9 D．18
解析：由题知A＝180°－120°－30°＝30°.
∴a＝b＝6，∴S＝×6×6×sin120°＝9.
答案：C
2．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，在△ABC的面积为( )
A.或 B.或
C.或 D.
解析：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，
即1＝a2＋3－2acos30°，
化简得a2－3a＋2＝0.∴a＝1或a＝2.
又S△ABC＝acsinB＝a，∴S△ABC＝或.
答案：B
3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为( )
A．5 B.
C．5 D．5
解析：在△ACD中，cosC＝＝＝.∴sinC＝.
在△ABC中，由正弦定理得
＝，∴AB＝＝＝5.
答案：D
4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________．
解析：S△ABC＝absinC＝15，∴sinC＝.
由正弦定理＝2R，∴c＝2R×sinC＝3.
答案：3
5．在△ABC中，求证：acos2＋ccos2＝(a＋b＋c)．
证明：左边＝a·＋c·
＝＋acosC＋ccosA
＝＋
＝＋＝＝右边，∴等式成立．
B 组
(限时：30分钟)
1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为( )
A. B.
C. D.
解析：∵S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°＝1＋16－2×4×＝13.
∴a＝.
答案：D
2．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝( )
A. B．2
C．4 D．3
解析：在△ABC中，sinC＝＝，则由S△ABC＝absinC，得×3××b＝4，∴b＝2.
答案：B
3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A. B.
C. D.
解析：
在△ABC中，由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，
即7＝AB2＋4－2×2×AB×.
整理得AB2－2AB－3＝0.
解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.
故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝.
答案：B
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于( )
A．1＋ B.
C. D．2＋
解析：由ac·sin30°＝，得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，∴b＝＋1.
答案：A
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
解析：A＝π－(B＋C)＝π－＝，
由正弦定理得＝，
则a＝＝＝＋，
∴S△ABC＝absinC＝×(＋)×2×＝＋1.
答案：B
6．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B．3
C. D．7
解析：S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝，选A.
答案：A
7．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________．
解析：画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos60°＝3，
∴AD＝.
答案：
8．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC＝________.
解析：由三角形的面积公式S＝AB·BCsin＝，易求得AB＝1，由余弦定理得AC＝，再由三角形的面积公式S＝AC·BCsinC＝，即可得出sinC＝.
答案：
9．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝.
∵sin∠BAC＝，∴sin＝，
∴cos∠BAD＝.
由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×＝3.
∴BD＝.
答案：
10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
解：(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.
因为A是锐角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.
又b＋c＝8，所以bc＝.
由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.
11．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.
故sinB＝sinA，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cosB＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.
12．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4.
又∵△ABC的面积等于，∴absinC＝，得ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝.
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.
∴△ABC的面积S＝absinC＝.
课时作业(四) 应用举例
A 组
(限时：10分钟)
1．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为60°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5 B．5
C．10 D．10
解析：
如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠ACB＝60°.
∴AB＝5，BC＝5，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝15.∴CD＝BD－BC＝10.
答案：D
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是β，α(α<β)，则A点距离地面的高度AB等于( )
A. B.
C. D.
解析：在△ACD中，∠DAC＝β－α，DC＝a，∠ADC＝α，由正弦定理得AC＝，
∴在Rt△ACB中，AB＝ACsinβ＝.
答案：A
3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为( )
A. B．2
C．2或 D．3
解析：
如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，AC＝.
则由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos30°，即3＝x2＋9－6x×，
∴x2－3x＋6＝0，
∴x＝或2.
答案：C
4．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为________ n mile.
解析：
如图，∠ACB＝180°－(75°＋60°)＝45°，∴BC＝·sin60°＝×＝5(n mile)．
答案：5
5．如图，线圈AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．
答案：32
B 组
(限时：30分钟)
1．如图，已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )位置．( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
解析：由图可知，∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°.
又∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝(180°－80°)＝50°.
∵CE∥BD，
∴∠CBD＝∠BCE＝60°，
∴∠ABD＝60°－50°＝10°.
∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置．
答案：B
2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点(点A，B与树根部在同一直线上)，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．(30＋30) m B．(30＋15) m
C．(15＋30) m D．(15＋3) m
解析：设树高为h，则由题意得h－h＝60，
∴h＝＝30(＋1)＝(30＋30)(m)．
答案：A
3．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S在B处的( )
A．北偏东75°
B．东偏南75°
C．北偏东75°或东偏南75°
D．以上方位都不对
解析：
根据题意画出示意图，如图，由题意可知
AB＝32×＝16，
BS＝8，∠A＝30°.
在△ABS中，由正弦定理得＝，
sinS＝＝＝，
∴S＝45°或135°，∴B＝105°或15°，
即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.
答案：C
4．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A.(＋) n mile/h
B.(－) n mile/h
C.(＋) n mile/h
D.(－) n mile/h
解析：
如图，设货轮的时速为v，则在△AMS中，∠AMS＝45°，∠SAM＝105°，∠ASM＝30°，SM＝20，AM＝3v.
由正弦定理得＝，
即v＝＝(－)(n mile/h)．
答案：B
5．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为( )
A．d1>d2 B．d1＝d2
C．d1解析：如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，如题意可知α＝β.
在△PBC中，＝，
在△PCD中，＝，
∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴＝.
∵PB答案：C
6．如图，某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°，过1 min后到B再测得仰角为45°，如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为________ km.
解析：如题图，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，设飞机高为h，则BD＝h，AD＝h.
又AB＝450×＝7.5，
由AD－BD＝AB得h－h＝7.5.
∴h＝＝.
答案：
7．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km.
解析：
如图，由条件知，AB＝24×＝6(km)．
在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
∴∠ASB＝45°.
由正弦定理，得＝，
∴BS＝＝3.
答案：3
8．海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile，再过________ min，海盗船到达商船．
解析：
如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos∠ADC＝＝＝.
∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知，
得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．
答案：
9．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为12 km，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8 km，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(km)．
∴A处与D处的距离为24 km.
(2)在△ACD中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，
解得CD＝8(km)．
∴灯塔C与D处的距离为8 km.
10．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝
＝
＝
＝
＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
∴救援船到达D点需要1小时．
课时作业(十五) 不等关系与不等式
A 组
(限时：10分钟)
1．学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，则有19人没有住处；如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设学生有x人，则x满足关系式( )
A．6·－x＝6 B．6·－x＞0
C．6·－x＜6 D．0＜6·－x＜6
解析：依题意得0＜6·－x＜6.
答案：D
2．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
解析：∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1＝2＋＞0，∴M＞N.
答案：A
3．若a≠2或b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝5 D．不能确定
解析：∵M－(－5)＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2，又∵a≠2或b≠－1，∴M－(－5)＞0，∴M＞－5.
答案：A
4．设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是__________．
解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b－a＝[(b＋c)－(c－b)]－a＝1＋a2－a＝2＋＞0，∴b＞a，故c≥b＞a.
答案：c≥b＞a
5．通过上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分．因特网服务公司(Internet Service Provider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如图所示，即在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．
假设一次上网时间总小于17小时．那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？请写出其中的不等关系．
解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)，公司B收取的费用为(元)．如果要能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则＞1.5x(0＜x＜17)．
解得0＜x＜5.
B 组
(限时：30分钟)
1．已知a、b分别对应数轴上的A、B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是( )
A．a－b≤0 B．a＋b＜0
C．|a|＞|b| D．a－b＞0
解析：∵A在原点右侧，B在原点左侧，∴a＞0，b＜0，故a－b＞0.
答案：D
2．已知A＝x2－x，B＝x－2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．AC．A≥B D．A>B
解析：A－B＝x2－x－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1>0，
∴x2－x>x－2.
答案：D
3．下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＞0 B．lg(a2＋1)＞0
C.＞0 D．2a＞0
解析：当a＝0时，a2＝0，lg(a2＋1)＝lg1＝0，故A、B两项不成立，当a＝－1时，＝－1＜0，故C项不正确．由指数函数的性质知2a＞0恒成立．故选D.
答案：D
4．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
解析：∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，∴A≥B.
答案：B
5．已知a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析：∵a＜0，b＞0，∴a＜b.
又∵c－b＝7－3＞0，∴c＞b.
∴a＜b＜c.故选A
答案：A
6．设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：∵1＜e＜3，则1＜＜e＜e2＜10，
∴0＜lg e＜1，则lg＝lg e＜lg e，即c＜a，又0＜lg e＜1，∴(lg e)2＜lg e，即b＜a，同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2lg e)＝lg e×lg＞0，∴c＞b.故选B.
答案：B
7．已知a＞1，P＝a2－a＋1，Q＝a3－a＋1，则P__________Q(填“＞”、“＝”或“＜”)．
解析：P－Q＝a2－a＋1－(a3－a＋1)＝a2－a3＝a2(1－a)，∵a＞1，∴a2＞0,1－a＜0，故a2(1－a)＜0，∴P＜Q.
答案：＜
8．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)__________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝a2－2a－15－(a2－2a－8)
＝－7＜0，
所以(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)．
答案：＜
9．有一两位数大于50而小于60，其个位数字x比十位数字y大2，则用不等式组表示上述关系为__________．
解析：由已知易知，十位数字y满足5≤y＜6，个位数字x满足x－y＞2，且0＜x≤9，x，y∈N.
故用不等式组表示为
答案：
10．已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
解：∵M－N＝(－)－(－)
＝－
＝，
∵a≥1，∴＋＞0，＋＞0.
又0≤a－1＜a＋1，
∴＜，即－＜0.
∴M－N＜0，∴M＜N.
11．设x∈R，且x≠－1，比较与1－x的大小．
解：∵－(1－x)＝＝，
而x2≥0.
①当x＝0时，＝0，∴＝1－x；
②当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，∴＜1－x；
③当1＋x＞0，且x≠0时，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0.
∴＞1－x.
综上，x＝0时，＝(1－x)，
x＜－1时，＜1－x，－1＜x＜0或x＞0时，＞1－x.
12．若0＜x＜1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解：方法一：作差法．
∵|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－
＝(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)
＝lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
方法二：作商法．
∵＝
＝|log(1＋x)(1－x)|
＝log(1＋x)＞log1＋x(1＋x)
＝1，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
课时作业(十六) 不等式的性质
A 组
(限时：10分钟)
1．若a＞b，则下列结论不正确的是( )
A．a－b＞0 B.＞1
C．2a＞2b D．a＞b－1
解析：A项，显然a＞b?a－b＞0，故该项正确；
B项，当b＞0时，若a＞b，则有＞1；
当b＜0时，若a＜b，则有＞1，故该项错误；
C项，由指数函数y＝2x的单调性可知该项正确；
D项，因为a＞b,0＞－1，所以a＞b－1，故该项正确．
综上，B项不正确．
答案：B
2．已知a，b，c，d均为实数，且ab＜0,1－＜1－，则下列不等式中成立的是( )
A．bc＜ad B．bc＞ad
C.＞ D.＜
解析：由1－＜1－两边同时减1，得－＜－；
因为ab＜0，所以－ab＞0，两边同时乘以－ab，得bc＜ad.故选A.
答案：A
3．已知b＜0，a＜c，则下列不等式不能成立的是( )
A．ab＜bc B．ab2＜cb2
C.＞ D．a＜c－b
解析：A项，由不等式的性质可知，ab＞bc，故该项不可能成立；
B项，因为b＜0，所以b2＞0，故ab2＜cb2，该项成立；
C项，因为b＜0，＜0，所以＞，该项成立；
D项，因为b＜0，所以－b＞0，故a＋0＜c＋(－b)，即a＜c－b，该项成立．
综上，A项不成立．
答案：A
4．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系为__________________________．
解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2)，a1≤a2，b1≤b2，
∴a1－a2≤0，b1－b2≤0，
∴(b1－b2)(a1－a2)≥0，
∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1
5．已知－1≤a＋b≤5,1≤a－b≤3，求a－3b的取值范围．
解：设a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，
所以解得即a－3b＝－1×(a＋b)＋2(a－b)．
因为－1≤a＋b≤5，所以－5≤－(a＋b)≤1，
因为1≤a－b≤3，所以2≤2(a－b)≤6.
两个同向不等式相加，得－3≤－(a＋b)＋2(a－b)≤7，即－3≤a－3b≤7.
B 组
(限时：30分钟)
1．若x＞1＞y，则下列不等式不成立的是( )
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
解析：用特殊值法检验，令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＝1，
1－y＝1－(－1)＝2，显然1＜2，故A不成立．
答案：A
2．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－b的大小关系为( )
A．a＞b＞－b B．a＞－b＞b
C．b＞a＞－b D．b＞－b＞a
解析：∵a＋b＞0，∴a＞－b，又∵b＜0，∴－b＞0.
∴a＞－b＞0＞b，即a＞－b＞b.
答案：B
3．已知a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
解析：∵－1＜b＜0，∴0＜b2＜1.
又∵a＜0，∴a＜ab2＜0，且ab＞0.故选D.
答案：D
4．下列命题中，正确的是( )
A．若x＜0，则x2＞x
B．若x2＞0，则x＞0
C．若x2＞x，则x＜0
D．若x＜1，则x2＜x
解析：A项，若x＜0，则x2＞0，所以x2＞0＞x，即x2＞x，该项正确；
B项，当x＝－1时，(－1)2＝1＞0，但－1＞0不成立，故该项不正确．
C项，当x＝2时，x2＝4＞x，故C项不正确；
D项，x＝0＜1，但02＝x，不等式x2＜x不成立．
答案：A
5．已知－＜α＜β＜，则的取值范围是( )
A．(－π，π) B.
C．(－π，0) D．(0，π)
解析：∵－＜α＜β＜，∴－－＜α－β＜0，
即－π＜α－β＜0，
∴－＜＜0.
答案：B
6．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A.＞ B．a＋＞b＋
C．a＋＞b＋ D.＞
解析：∵a＞b＞0，故令a＝1，b＝，
则A项中，＝，＝＝，
显然＜，故A项不正确；
B项中，a＋＝2，b＋＝＋3＝，显然2＜，故B项不正确；
C项中，a＋＝1＋3＝4，b＋＝＋1＝，显然4＞成立；
D项中，＝＝，而＝3，显然＜3，故D项不正确．
综上，C项正确．
答案：C
7．a＞b＞0，c＞d＞0，则 __________ (填“＞”“＜”或“＝”)．
解析：由a＞b＞0，c＞d＞0，得ac＞bd，
故＞＞0，所以 ＞.
答案：＞
8．若8＜x＜10,2＜y＜4，则的取值范围为__________．
解析：∵2＜y＜4，∴＜＜.
又∵8＜x＜10，∴2＜＜5.
答案：(2,5)
9．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为__________．
解析：∵a＋b＋c＝0，
∴b＝－(a＋c)，b2＝a2＋c2＋2ac，
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2，
∵a＞c，∴(a－c)2＞0，
∴b2－4ac＞0，即b2－4ac的符号为正．
答案：正
10．已知a，b，x，y是正整数，且＞，x＞y.
求证：＞.
证明：∵＞＞0，x＞y＞0，
∴＞＞0,0＜＜.
各边同时加1得，0＜1＜1＋＜1＋.
∴0＜＜，∴＞.
11．若二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的范围．
解：设f(x)＝ax2＋c(a≠0)．
?
f(3)＝9a＋c＝3f(2)－3f(1)＋＝.
∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，
∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32，
则14≤8f(2)－5f(1)≤27.
∴≤≤9，即≤f(3)≤9.
12．若c＞a＞b＞0，求证＞.
解：∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，
∴－a＜－b,0＜c－a＜c－b.∴＞＞0.
又∵a＞b＞0，∴＞.
课时作业(十七) 均值不等式
A 组
(限时：10分钟)
1．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是( )
A．10 B．6
C．4 D．18
解析：∵3x>0,3y>0，
∴3x＋3y≥2＝2＝2＝18.
答案：D
2．如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是( )
A．4 B．4
C．9 D．18
解析：∵m>0，n>0，由log3m＋log3n＝log3mn＝4，
∴mn＝81.∴m＋n≥2＝18.
答案：D
3．已知第一象限的点(a，b)在直线2x－3y－1＝0上，则＋的最小值为( )
A．24 B．25
C．26 D．27
解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，
所以有2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，
所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B.
答案：B
4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．
解析：∵x>0，a>0，∴9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时取等号．
从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a＋1，
∴a≥.
答案：
5．已知函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中m，n>0，求＋的最小值．
解：由题意，得点A(2,1)，则1＝2m＋n，又m，n>0，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，则＋的最小值为8.
B 组
(限时：30分钟)
1．设x，y满足x＋4y＝40，且x，y都是正数，则lgx＋lgy的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：∵x＋4y＝40且x>0，y>0，∴xy＝·x·4y≤·2＝100，当且仅当x＝4y＝20时取等号，∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，∴lgx＋lgy的最大值为2.
答案：D
2．若a，b∈R，且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵a＋b＝0，∴b＝－a，∵2a>0,2b＞0，∴2a＋2b＝2a＋2－a＝2a＋≥2，当且仅当2a＝1时，即a＝0，b＝0时取等号，∴2a＋2b的最小值为2.
答案：A
3．已知0A. B.
C. D.
解析：∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
答案：A
4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5.
当且仅当＝，即x＝2y时取“＝”．
答案：C
5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.解析：v＝＝<＝.
因为－a＝＝>＝0，所以>a，即v>a.故选A.
答案：A
6．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，
因数x>－1，所以x＋1>0，>0.
所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3，选C.
答案：C
7．已知x>0，则的最大值为________．
解析：因为＝，又x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.
答案：
8．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为________．
解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时取等号成立．
答案：2
9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为________元．
解析：设池底的长和宽分别为a，b，则2ab＝8，ab＝4，总造价y＝(2a＋2b)×2×80＋120ab＝320(a＋b)＋480≥320×2＋480＝1 760(当且仅当a＝b＝2 m时取等号)．
答案：1 760
10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c.
证明：∵a>0，b>0，c>0，
∴＋≥2＝2c，
＋≥2＝2a，
＋≥2＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋>a＋b＋c.
11．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
解：∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤2＝.
当且仅当a－b＝b，即a＝2b时，等号成立．
∴y＝a2＋≥a2＋≥2＝16，
当且仅当a2＝，即a＝2时，等号成立．
故当a＝2，b＝时，a2＋有最小值16.
12．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，求四周空白部分面积的最小值．
解：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2 ＝56.当且仅当x＝即x＝12时等号成立．
课时作业(十八) 一元二次不等式及其解法
A 组
(限时：10分钟)
1．不等式－x2－5x＋6≤0的解集为( )
A．{x|x≥6或x≤－1}
B．{x|－1≤x≤6}
C．{x|－6≤x≤1}
D．{x|x≤－6或x≥1}
解析：由－x2－5x＋6≤0得x2＋5x－6≥0，即(x＋6)(x－1)≥0，
∴x≥1或x≤－6.
答案：D
2．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg2}
B．{x|－1C．{x|x>－lg2}
D．{x|x<－lg2}
解析：由题意知－1<10x<，所以x答案：D
3．不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－11的解集为______________．
解析：由已知不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－1∴不等式>1可化为>1，移项通分得>0，
∴(x＋2)(x－1)>0，解得x<－2或x>1.
∴所求解集为{x|x<－2或x>1}．
答案：{x|x<－2或x>1}
4．若一元二次不等式x2－ax＋1>0恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a2－4<0，解得－2答案：－25．解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1>0.
解：原不等式可化为(x－1)(ax＋1)>0.
(1)当a＝0时，原不等式为x－1>0，
∴解集为{x|x>1}．
(2)当a>0时，－<1，
∴原不等式的解集为.
(3)当a<0时，
①当－11.
∴原不等式的解集为.
②当a＝－1时，原不等式变为－(x－1)2>0，
∴解集为?.
③当a<－1时，－<1，
∴原不等式的解集为.
B 组
(限时：30分钟)
1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( )
A．(－2,1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：由题意得T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}．又S＝{x|x>－2}，∴(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}，故选C.
答案：C
2．已知集合A＝{x∈R|00}，则A∩B＝( )
A.
B.
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
解析：B＝{x|(2x－1)(x＋1)>0}＝，
所以A∩B＝，即.
答案：B
3．不等式≥0的解集是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－1,1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：原不等式等价于(x＋1)(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤－1.
答案：C
4．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3，或x<－2}，则m，n的值分别是( )
A．2,12 B．2，－2
C．2，－12 D．－2，－12
解析：由题意知－2,3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－，－2×3＝，∴m＝－2，n＝－12.
答案：D
5．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m<0 D．m≥－4
解析：令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上为减函数，当x＝1时，f(x)min＝－3，所以m≤－3.
答案：A
6．下列选项中，使不等式x<A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：原不等式等价于①或②
①无解，解②得x<－1.故选A.
答案：A
7．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为?，则a的取值范围是________．
解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集为?，
∴Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
答案：[－4,4]
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________．
解析：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝
∴原不等式等价于或
由此可解得x>5或－5故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
9．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝(－a)2－4·2a<0，即a2－8a<0,0答案：(0,8)
10．已知ax2＋2x＋c>0的解集为，试求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a>0.
解：由ax2＋2x＋c>0的解集是，知a<0，且方程ax2＋2x＋c＝0的两根为x1＝－，x2＝，由根与系数的关系知解得a＝－12，c＝2.
此时，－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，
其解集为{x|－211．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？当长、宽分别为多少m时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m,0600，即x2－50x＋600<0.解得20用S表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.即当矩形的长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大．
12．解关于x的不等式：(ax)2－ax－2>0(a>0且a≠1)．
解：令t＝ax，则原不等式可化为
t2－t－2>0?(t＋1)(t－2)>0，
∵ax>0，∴t>0，∴t－2>0，t>2，∴ax>2.
当a>1时，原不等式的解集为{x|x>loga2}，
当0课时作业(十九) 不等式的实际应用
A 组
(限时：10分钟)
1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了( )
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
解析：由题图可得，营运总利润y＝－(x－6)2＋11，
则营运的平均利润＝－x－＋12，∵x∈N＋，∴≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时取“＝”．
∴x＝5时营运的年平均利润最大．
答案：C
2．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围是( )
A．[1,3] B．[3,5]
C．[5,7] D．[7,9]
解析：由题意列不等式，24 000××t%≥9 000，即≥9，所以t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元．
答案：B
3．如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
解：(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a＞0，b＞0，
∴ab＝28 800，①
又设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，
∴h＝，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2·(9a＋8b)．
(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，
当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，
即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．
B 组
(限时：30分钟)
1．设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000，令f(x)≥0，则x≥150，或x≤－200(舍去)，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．
答案：C
2．某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，解得x＝－1.
∵≥，即＋1≥，
∴≥－1，即≥x.故选B.
答案：B
3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )
A．每个95元 B．每个100元
C．每个105元 D．每个110元
解析：设每个涨价x元，销售利润为y元，则y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000.
∴当x＝＝5时，y取最大值．
∴每个涨价5元，即每个售价定为95元时，获得利润最大．故选A.
答案：A
4．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过( )
A．70平方米 B．80平方米
C．90平方米 D．100平方米
解析：根据使用面积李明家应该缴纳的费用为60×4＝240元．
设李明家的建筑面积为x平方米，则根据题意得3x＜240，
∴x＜80，∴建筑面积不超过80平方米时，满足题意．
答案：B
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5公里处 B．4公里处
C．3公里处 D．2公里处
解析：设仓库与车站间的距离为d公里，则y1＝，y2＝k2d，其中k1，k2为不为零的正实数，由题意，知2＝，8＝10k2，
所以k1＝20，k2＝0.8.
所以y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立．所以选A.
答案：A
6．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定厢宽2 m，则车厢的最大容积是( )
A．(38－3) m3 B．16 m3
C．4 m3 D．14 m3
解析：设车厢长b m，高a m．其中a＞0，b＞0，
由已知得2b＋2ab＋4a＝32?b＝，
∴车厢的容积V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t(t＞1)，则V＝2·≤2·＝16，当且仅当2t＝，即t＝3时，等号成立．故选B.
答案：B
7．现有含盐7%的食盐水200 g，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x g，则x的取值范围是__________．
解析：由条件得：5%＜＜6%，
即5＜＜6.
解得：100＜x＜400.
所以x的取值范围是(100,400)．
答案：(100,400)
8．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形和圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．
解析：设正方形的周长为x，则边长为，圆的周长为1－x，圆的半径R＝，故面积之和S＝2＋πR2＝x2－＋，∴当x＝时，S最小．
答案：
9．用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是__________．
解析：设长为x m，宽为y m.
则6x＋10y≤100，即3x＋5y≤50且x≥y.∵xy＝·3x·5y≤·2，当且仅当3x＝5y＝25时取等号，此时x＝，y＝5.
∴面积的最大值为xy＝×5＝ m2.
答案： m2
10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少销售量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．
(1)问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获得的利润最大？
(2)销售价定为多少元时，才能保证每天所获得的利润在300元以上？
解：(1)设每件提高x元(0≤x≤10)，每天获得的总利润为y元，则每件获得的利润为(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，由题意得y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.
∵0≤x≤10，∴x＝4时，y取得最大值360.
∴当售价定为14元时，每天所获得的利润最大，为360元．
(2)要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200＞300，即x2－8x＋10＜0，解得4－＜x＜4＋.
故每件定价在(4－)元到(4＋)元之间时，能确保每天的利润在300元以上．
11．为了缓解交通压力，某省在两个城市之间修了一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，则每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．
(1)求出y关于x的函数关系式；
(2)这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人次数最多？并求出每日最多的营运人次数．
解：(1)根据题意设y＝kx＋b(k≠0)，则解得
∴y＝－2x＋24(0＜x＜12，x∈N＋)．
(2)设该列火车满载时每日的营运人次数为w，则w＝x·2y×110＝220×2x(12－x)≤440×2＝15 840(人次)，当且仅当x＝12－x即x＝6时，等号成立．
故这列火车满载时每次应拖挂6节车厢才能使每日营运人次数最多，最多营运人次数为15 840.
12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a＞0)万元．
(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值．
解：(1)由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，
又因为x＞0，所以0＜x≤50.
(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为3(100－x)(1＋2x%)万元，根据题意得，3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．
又x＞0，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5(当且仅当x＝50时取得等号)．
所以a的最大值为5.
课时作业(二十) 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
A 组
(限时：10分钟)
1．点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是( )
A．b>
B．b>－9
C．b<1
D．b≤
解析：由已知，2×(－2)－3b＋5<0，
∴3b>1，∴b>.
答案：A
2．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
解析：取点(0,0)检验即可，或直接依据图象写出不等式组．
答案：C
3．不等式组表示的平面区域是( )
A．矩形 B．三角形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：作出平面区域如图，所以平面区域为等腰梯形．
答案：D
4．不等式组表示的平面区域的面积为，则a＝( )
A. B．1
C．2 D．3
解析：不等式组所围的区域如图所示．
设点C(m，m＋1)，则S四边形AODC－S△ABO－S△BCD＝S△ABC，∴(1＋m＋1)m－×1×2－(m－2)(m＋1)＝，解得m＝5.
∴点C的坐标为(5,6)，代入ax－y－2a＝0，得a＝2.
答案：C
5．若满足条件
的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，求整数a的值．
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故a＝－1.
B 组
(限时：30分钟)
1．不等式x＋3y－6<0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的( )
A．右上方 B．左上方
C．右下方 D．左下方
解析：直线x＋3y－6＝0表示的位置如图所示．由于0＋3×0－6<0，故x＋3y－6<0表示的区域在直线x＋3y－6＝0的左下方．
答案：D
2．不等式x＋y－1<0的解可能是( )
A．(2，－1) B．(0,0)
C．(3,1) D．(0,2)
解析：将(0,0)代入x＋y－1≤0验证不等式成立，
∴选B.
答案：B
3．以下各点在不等式组，表示的平面区域内的是( )
A．(－1,1) B．(1,1)
C．(2,2) D．(3,2)
解析：－1＋1>0不成立，∴A错；1－2×1＋1<0不成立，∴B错；3－2×2＋1<0不成立，∴D错．
2＋2>0成立，2－2×2＋1<0成立，∴选C.
答案：C
4．如图，不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域正确的是( )
解析：C、D选项中有边界为实线，应排除，将(0,0)代入不等式验证得不等式成立，应排除B.故选A.
答案：A
5．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a<－7或a>24 B．－7C．a＝－7或a＝24 D．以上都不对
解析：依题意有：(3×3－2×1＋a)·[3×(－4)－2×6＋a]<0，即：(a＋7)·(a－24)<0，解得：－7答案：B
6．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
解析：
画出平面区域，如图所示：A(1，a＋1)，B(0,1)，C(1,0)，∵S△ABC＝2，∴×(a＋1)×1＝2，解得：a＝3.
答案：D
7．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
解析：∵(m，n)不在5x＋4y－1>0所表示的平面区域内，∴5m＋4n－1≤0.
答案：5m＋4n－1≤0
8．若则不等式组表示的平面区域面积为__________．
解析：画出平面区域，如图所示：
∴S△ABC＝×3×1＝.
答案：
9．设实数x、y满足条件则的最大值为____________．
解析：画出平面区域，如图所示，设点P(x，y)为平面区域内一点，则＝＝kOP.由
得交点A(2,1)．由图，得kOP≤kOA＝.
答案：
10．画出以A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)为顶点的△ABC的区域(包括边界)，写出该区域所表示的二元一次不等式组．
解：
如图所示，则直线AB、BC、CA所围成的区域就是所求△ABC的区域，直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
在△ABC内取一点P(1,1)，代入x＋2y－1，得1＋2×1－1＝2>0.所以直线x＋2y－1＝0对应的不等式为x＋2y－1>0.
把P(1,1)代入x－y＋2，得1－1＋2>0；
代入2x＋y－5，得2×1＋1－5<0.
因此对应的不等式分别为x－y＋2>0,2x＋y－5<0.
又因为所求区域包括边界，
所以所求区域的不等式组为
11．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：
设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
12．画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，并求区域面积．
解：不等式|x|＋|y|≤1等价于
或或
或
上述四个不等式组表示的平面区域合起来就是不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域，如下图所示．
∵表示的区域是边长为的正方形．
∴面积为2.
课时作业(二十一) 简单线性规划
A 组
(限时：10分钟)
1．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )
A．4和3 B．4和2
C．3和2 D．2和0
解析：画出可行域如下图阴影部分所示．
画出直线2x＋y＝0，并向可行域方向移动，当直线经过点(1,0)时，z取最小值．当直线经过点(2,0)时，z取最大值．
故zmax＝2×2＋0＝4，zmin＝2×1＋0＝2.
答案：B
2．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
解析：由题意知，正三角形ABC的顶点C的坐标为(1＋，2)，当z＝－x＋y经过点B时，zmax＝2，经过点C时，zmin＝1－.
答案：A
3．若实数x，y满足则的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：
实数x，y满足
的相关区域如图中的阴影部分所示．
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，的取值范围为(1，＋∞)．
答案：C
4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．
由图可知OM的最小值即为点O到直线x＋y－2＝0的距离，即dmin＝＝.
答案：
5．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足求z的最大值和最小值．
解：作出满足条件的可行域如图：
作直线l：2y－2x＝t，当l过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8.
当l过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
所以，z的最大值为8，最小值为4.
B 组
(限时：30分钟)
1．若x≥0，y≥0且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：作出可行域，可知A(1,0)为最优解，∴ymax＝1.
答案：B
2．已知变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为( )
A．3 B．4
C．9 D．12
解析：作出可行域，可知(3,3)为最优解，
∴zmax＝9.
答案：C
3．已知变量x、y满足条件则x＋y的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：设x＋y＝b，则y＝－x＋b，画出可行域，如图所示．利用图解法，得当直线y＝－x＋b过点M时，b取最小值．由得M(1,1)．
答案：C
4．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C. D．2
解析：
可行域如图中阴影部分所示，由得交点P(1,2)．当直线x＝m经过点P时，m取到最大值1.
答案：B
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a≥7或a<5
解析：作出不等式组所表示的平面区域可知：5≤a<7.
答案：C
6．已知点(x，y)构成的平面区域如图所示，z＝mx＋y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为( )
A．－ B.
C. D.或
解析：观察平面区域可知直线y＝－mx＋z与直线AC重合，则解得m＝.
答案：B
7．若实数x、y满足条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为________．
解析：画出可行域，如图所示．当直线y＝－2x＋z过点A时，z＝2x＋y取得最大值2.
答案：2
8．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为________．
解析：画出可行域，如图所示．由z＝y－ax，得y＝ax＋z，则z为直线
y＝ax＋z在y轴上的截距，由于函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，如图所示，直线y＝ax＋z过点P(5,3)，且直线y＝ax＋z的斜率a大于直线x－y＝2的斜率，所以a>1.
答案：(1，＋∞)
9．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，此时该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y.
甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况如下表所示：
产品
设备
A类产品
(件)(≥50)
B类产品
(件)(≥140)
租赁费(元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则有即
画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，解
得即A(4,5)，则直线z＝200x＋300y，即y＝－x＋过A(4,5)时，z＝200x＋300y取得最小值为2300元．
答案：2300
10．已知关于x、y的二元一次不等式组求函数u＝3x－y的最大值和最小值．
解：作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3、在y轴上的截距为－u、随u变化的一组平行线．
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．
解方程组得C(－2,3)，
∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大．
解方程组得B(2,1)，
∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
11．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是多少？
解：设投资项目甲x万元，投资项目乙y万元，可获得利润为z万元，
则
目标函数为z＝0.4x＋0.6y.
由得A(24,36)．
由图知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，
即获得的最大利润为31.2万元．
12．若实数x，y满足且x2＋y2的最大值为34，求正实数a的值．
解：
在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)
其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.
又由于x2＋y2＝()2，且x2＋y2的最大值等于34，所以可行域中的点与原点的最大值距离等于.
解方程组
得M的坐标为x＝－，y＝3
解方程组
得P的坐标为x＝＋1，y＝3
又M.OM＝ <.
∴点P到原点距离最大
∴2＋9＝34，解得a＝.
课时作业(十) 等差数列前n项和的性质与应用
A 组
(限时：10分钟)
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )
A．12 B．18
C．24 D．42
解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,8，S6－10成等差数列，S6＝24.
答案：C
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.或由解方程组求得d＝3，故选C.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：＝＝×＝1.
答案：A
4．已知数列{an}的通项公式an＝5－n，则当|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝16时，n＝________.
解析：由an＝5－n，可得n<5时，an>0；
n＝5时，a5＝0；
n>5时，an<0，
而a1＋a2＋…＋a5＝10，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)＝16.
∴20＋＝16，解得n＝8.
答案：8
5．设Sn为等差数列的前n项和，若Sm＝40，S3m＝345，求S2m.
解：∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m.
∴2(S2m－40)＝40＋345－S2m.
∴S2m＝155.
B 组
(限时：30分钟)
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于( )
A．10 B．12
C．15 D．30
解析：S5＝＝＝＝15.∴选C.
答案：C
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21
C．28 D．35
解析：a3＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.
答案：C
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )
A．36 B．18
C．72 D．9
解析：由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，可知：S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
答案：A
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案：B
5．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是( )
A．4和5 B．5和6
C．6和7 D．7和8
解析：∵|a5|＝|a9|，∴a5＋a9＝0，∴a7＝0，∵d>0，∴a6<0，a8>0，∴S6＝S7且最小，故选C.
答案：C
6．数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S7S10，则在下列结论中错误的是( )
A．a9＝0
B．d<0
C．S11>S7
D．S8与S9均为Sn的最大值
解析：∵S70，∵S8＝S9，∴a9＝0，
∵S9>S10，∴a10<0，∴选C.
答案：C
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.
解析：由a5＝5a3，得＝5，
∴＝＝＝×5＝9.
答案：9
8．数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，若前n项和为，则项数为________．
解析：∵an＝－，∴Sn＝1－＝，解得：n＝10.
答案：10
9．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn，且＝，则＝________.
解析：＝＝＝.
答案：
10．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式及Sn的最小值．
解：a1＝S1＝1－10＝－9.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时也适合，
∴{an}的通项公式为an＝2n－11(n∈N*)．
∵Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，
∴当n＝5时，Sn最小，最小值为S5＝－25.
11．数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)从第几项开始有an<0?
(2)求此数列的前n项和的最大值．
解：(1)∵a1＝50，d＝－0.6，
∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.
令－0.6n＋50.6<0，得n>＝84.
由于n∈N*，故当n≥85时，an<0，
即从第85项开始，各项均小于0.
(2)解法一：∵d＝－0.6<0，a1＝50>0，
由(1)知a84>0，a85<0，
∴a1>a2>a3>…>a84>0>a85>a86>….
∴数列的前n项和的最大值为
S84＝50×84＋×(－0.6)＝2108.4.
解法二：Sn＝50n＋×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n
＝－2＋，
∴当n＝84时，Sn达到最大值
S84＝50×84＋×(－0.6)＝2108.4.
12．在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
解：等差数列{an}的公差
d＝＝＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
又∵an＜0，∴3n－63＜0；n＜21.
∴等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设Sn和S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．
当n≤20时，
S′n＝－Sn＝－＝－n2＋61n.
当n＞20时，
S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2
＝n2－61n＋1260.
∴数列{|an|}的前n项和为
S′n＝
课时作业(十一) 等比数列的概念与通项公式
A 组
(限时：10分钟)
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )
A．－ B．－2
C．2 D.
解析：＝＝q3＝＝，∴q＝.
答案：D
2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：由题知a6＝a1q5＝32×5＝－1，故选B.
答案：B
3．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1a3＝4，a4＝8，则a1＋q的值为( )
A．3 B．2
C．3或－2 D．3或－3
解析：由得
∴②2÷①得q4＝16，∴q＝±2.
从而当q＝2时，a1＝1；
当q＝－2时，a1＝－1.
∴a1＋q的值为3或－3.
答案：D
4．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a－anan＋1－2a＝0，则an＝________.
解析：∵a－anan＋1－2a＝0，
∴(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.
又∵an>0，∴an＋1－2an＝0.
∴＝2.又a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1.
答案：2n－1
5．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn，n∈N*，求证：数列为等比数列．
证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴an＋1＝Sn可化为Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝.
∴＝2.又∵a1＝1，∴＝1.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．
B 组
(限时：30分钟)
1．等比数列{an}的公比q＝3，a1＝，则a5等于( )
A．3 B．9
C．27 D．81
解析：a5＝a1q4＝×34＝27.
答案：C
2．已知数列{an}是等比数列，则an不可能等于( )
A．－5 B．0
C．1 D．2011
解析：由等比数列的定义可知，an≠0，∴选B.
答案：B
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：∵－9＝－1·q4，∴q4＝9，∴q＝±，
∴b＝－1·q2＝－3，ac＝b2＝9，∴选B.
答案：B
4．在等比数列{an}中，已知a1a2a12＝64，则a4a6的值为( )
A．16 B．24
C．48 D．128
解析：设公比为q，则a1a2a12＝aq12＝64，
所以a1q4＝4.
所以a4a6＝(a1q4)2＝16.
答案：A
5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于( )
A. B.
C. D．2
解析：设公比为q，由已知，得a1q2a1q8＝2(a1q4)2，则q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝.所以a1＝＝＝.
答案：B
6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析：设数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1，a3，2a2成等差数列，则a1＋2a2＝a3，即a1＋2a1q＝a1q2.
则1＋2q＝q2，解得q＝1±.又等比数列{an}中，各项都是正数，则q>0，则q＝1＋.所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案：C
7．2＋与2－的等比中项是________．
解析：G＝±＝±1.
答案：±1
8．在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝________.
解析：∵an＝×n－1＝，
∴n－1＝＝3，∴n＝4.
答案：4
9．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于_______．
解析：由等差数列的通项公式，得an＝(n＋8)d，
∴ak＝(k＋8)d，a2k＝(2k＋8)d，由条件，得(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.∵d≠0，∴(k＋8)2＝18(k＋4)(k>0)．解得k＝4，k＝－2(舍)，∴k＝4.
答案：4
10．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27.求an.
解：由a7＝a1q6，得27＝·q6，
∴q6＝272＝36，∴q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝
－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
11．在数列{an}中，若a1＝1,2an－an－1＋1＝0(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1＝1,2an－an－1＋1＝0(n≥2)，
∴2an＝an－1－1，
∴2(an＋1)＝an－1＋1，
∴数列{an＋1}是以2为首项，为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·n－1，即an＝22－n－1.
12．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，
∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，
若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，
∴{bn}是各项均为0的常数，不是等比数列．
若q≠1，
∵＝＝＝＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；
当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N*)．
课时作业(十二) 等比数列的性质
A 组
(限时：10分钟)
1．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，则a5等于( )
A．3 B．±3
C．± D.
解析：∵a＝a3·a7，且a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，∴∴a3，a7>0.
∴a＝3.又∵a5＝a3·q2>0，∴a5＝.
答案：D
2．在正项的等比数列中，a2a5＝8，则log2a3＋log2a4＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．6
解析：log2a3＋log2a4＝log2a3a4＝log2a2·a5＝log28＝3.
答案：C
3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.
解析：∵数列{an}是等比数列，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2(an＋anq2)＝5anq，即2(1＋q2)＝5q.
解方程得q＝或2.∵a1>0，数列递增，∴q＝2.
答案：2
4．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
解析：∵a1＋a2＝1＋4＝5，b＝1×4＝4，且b2与1,4同号，∴b2＝2，∴＝＝2.5.
答案：2.5
5．等比数列{an}中，an是正实数，a4·a5＝8.求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．
解：∵a1a2a3…a8＝(a1·a8)·(a2·a7)·…·(a4·a5)＝(a4a5)4＝84＝212，
∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1a2a3…a8)＝log2212＝12.
B 组
(限时：30分钟)
1．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )
A．{lgan} B．{1＋an}
C. D．{}
解析：∵an＝a1qn－1，∴＝·n－1，
∴是公比为的等比数列，∴选C.
答案：C
2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：∵a2010＝a2007·q3＝8a2007，∴q＝2，∴选A.
答案：A
3．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝8.
答案：C
4．等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A．－6 B．－8
C．8 D．6
答案：A
5．已知等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1·a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：∵a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴＋＋…＋＝＝＝2.
答案：A
6．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
解析：∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.
∵a10a13＝a11a12＝a8a15，
∴(a8a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
∵等比数列{an}是递减数列，∴q＞0.即a8a15＝2.
答案：C
7．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝2，则a6＝__________.
解析：∵＝1＝q2，∴a6＝a4q2＝2.
答案：2
8．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
解析：依题意，第n个3分钟后该病毒占据内存2n＋1 KB，由2n＋1＝64×210，解得n＝15，∴3×15＝45(分钟)．
答案：45
9．在等比数列{an}中，am＝10k，ak＝10m，则am＋k＝__________.
解析：∵am＝akqm－k，∴10k＝10mqm－k，∴q＝.
∴am＋k＝amqk＝10k·10－k＝1.
答案：1
10．已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列．中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．
解：设所求的四个数为－aq，，aq，aq3，
则由已知，得
解得a＝4，q＝2或a＝4，q＝－2或a＝－4，q＝2或a＝－4，q＝－2.
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
11．已知数列{an}为等差数列且公差d≠0，{an}的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.
解：由题设有a2k2＝ak1ak3，即a＝a1a17，
∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，
∴a1＝2d或d＝0(舍去)．
∴a5＝a1＋4d＝6d，
∴等比数列的公比q＝＝＝3.
由于akn是等差数列的第kn项，
又是等比数列的第n项，
故akn＝a1＋(kn－1)d＝ak1qn－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列．若a1＝b1＝1，a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b使对于一切n∈N*，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵a2＝1＋d＝b2＝q，①
a6＝1＋5d＝b3＝q2，②
由①②解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b满足题意，
由an＝1＋(n－1)d＝3n－2，
bn＝qn－1＝4n－1及an＝logabn＋b知
(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0，
∵n∈N*，
∴解得a＝，b＝1.
所以存在常数a＝，b＝1满足等式．
课时作业(十三) 等比数列的前n项和
A 组
(限时：10分钟)
1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项的和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
解析：∵S5＝1，∴＝1，即a1＝.
∴S10＝＝33.
答案：B
2．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：Sn＝＝＝＝3－2an，故选D.
答案：D
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A．180 B．108
C．75 D．63
解析：由性质可得S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，故(S14－S7)2＝S7·(S21－S14)．
又∵S7＝48，S14＝60，∴S21＝63.
答案：D
4．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又数列递增，
所以a1＝1，a3＝4，q＝2.
所以S6＝＝63.
答案：63
5．在等比数列{an}中，已知a1＝2，q＝3，若Sn＝26，求n.
解：a1＝2，q＝3，Sn＝26，
∴代入公式Sn＝，得26＝.
整理得3n＝27，∴n＝3.
B 组
(限时：30分钟)
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：∵S5＝＝＝11a1＝44.
∴a1＝4，∴选A.
答案：A
2．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列前10项和为( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：设公比为q，则解得q＝，则该数列的前10项和为S10＝＝＝2－.
答案：B
3．在等比数列{an}中a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：由＋＋7＝21，得2q2－q－1＝0，解得：
q＝1或q＝－，∴选C.
答案：C
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由题意，得3S3－3S2＝(a4－2)－(a3－2)，则3a3＝a4－a3，则a4＝4a3，∴q＝＝4.
答案：B
5．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：S4＝＝15a1，a2＝a1q＝2a1，
∴＝.
答案：C
6．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B.
C. D.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则
解得a1＝4，q＝，所以S5＝＝.
答案：B
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析：∵＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3，
∴a4＝a1·q3＝3.
答案：3
8．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共有资金________万元．
解析：设第n年投入的资金为an万元，则an＋1＝an＋an×30%＝1.3an，则＝1.3，所以数列{an}是首项为500，公比为1.3的等比数列，所以7年后该公司共有资金S7＝＝＝(1.37－1)万元．
答案：
9．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
解析：由题意知q＝＝＝2.
由a2＋a4＝a2(1＋q2)＝a1q(1＋q2)＝20，
∴a1＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
10．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
解：由已知S6≠2S3，则q≠1.
又S3＝，S6＝，即
②÷①，得1＋q3＝28，∴q＝3.可求得a1＝.
因此an＝a1qn－1＝3n－3.
11．某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p，求这个工厂去年全年产值的总和．
解：该工厂去年2月份的产值为a(1＋p)元，3月、4月、…的产值分别为a(1＋p)2、a(1＋p)3、…，去年12个月的产值组成以a为首项，(1＋p)为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为
S12＝＝.
即该工厂去年全年的总产值为元．
12．已知等比数列{an}的公比q＝－.
(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；
(2)证明：对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，
所以数列{an}的前n项和Sn＝＝.
(2)证明：对任意k∈N*，
2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.
所以，对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
课时作业(十四) 等比数列前n项和的性质与数列求和
A 组
(限时：10分钟)
1．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
∴＝q＋10，整理得q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
答案：C
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，
则a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
答案：A
3．数列{an}的通项公式an＝，则其前n项和Sn＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵an＝
＝＝2，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝2
＝2＝.
答案：A
4．等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所得偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，解得a1＝3.
答案：C
5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝，
从而数列的前n项和为
＝.
B 组
(限时：30分钟)
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于( )
A．2 B.
C. D．3
解析：∵＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2，
∴＝＝＝.
答案：B
2．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于( )
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
解析：f(n)＝＝(8n＋1－1)．
答案：B
3．已知等比数列{an}中，公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．100 B．90
C．120 D．30
解析：∵S奇＝60，q＝，∴S偶＝S奇·q＝30，
∴S100＝S奇＋S偶＝90.
答案：B
4．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，那么a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：由Sn＝2n－1，可得an＝2n－1，∴a＝4n－1，
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案：D
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋2n(n∈N*)，则an为( )
A.＋2n－1－1 B.＋2n－1
C.＋2n＋1－1 D.＋2n＋1－1
解析：解法一：当n＝1时，a1＝1，可以排除A、C、D，∴选B.
解法二：∵an＋1－an＝n＋2n，∴an＝(an－an＋1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)＋2n－1＋(n－2)＋2n－2＋…＋1＋21＋1＝(1＋2＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n－1)＝＋2n－1.
答案：B
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
解析：∵an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln1＋2＝2＋lnn.
答案：A
7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________.
解析：∵a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，
∴a5＋a6＝8.
答案：8
8．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝________；前8项的和S8＝________.(用数字作答)
解析：由a1＝1，an＋1＝2an知an＝2n－1，
故a5＝24＝16，S8＝＝255.
答案：16 255
9．已知数列{an}的前n项和满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析：由Sn＋1＝2n＋1得Sn＝2n＋1－1，∴an＝
答案：
10．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和．
解：(1)由题设知公差d≠0，由a1，a3，a9成等比数列得＝.
解得d＝1或d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，
∴Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
11．已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．
(1)求公比q的值；
(2)设An＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn，求An.
解：(1)由已知2a5＝4a1－2a3，
即2a1·q4＝4a1－2a1·q2，
∵a1≠0，整理得，q4＋q2－2＝0，
解得q2＝1，即q＝1或q＝－1，
又∵q≠1，∴q＝－1.
(2)Sn＝＝2－2(－1)n，
∴An＝S1＋S2＋…＋Sn
＝2n－2·
＝2n＋1－(－1)n.
12．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数．
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依题意有
解得或(舍去)．
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
课时作业(五) 数 列
A 组
(限时：10分钟)
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列是递增数列
解析：数列中的项是有序的，故A错；B中通项为{n－1}；C中数列为摆动数列，故选D.
答案：D
2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．
则第7个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：由已知从第二项起，每一项与前一项的差是这一项的项数，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，以此规律得a6－a5＝6，∴a7－a6＝7.
∴a7＝7＋a6＝7＋6＋a5＝13＋15＝28.
答案：B
3．0，－1,0,1,0，－1,0,1，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝cos
C．an＝cos D．an＝cos
解析：将n＝1,2,3,4分别代入验证，可得B正确．
答案：B
4．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
解析：an＝＝－，令n＝9，则a9＝－＝－3.
答案：9
5．已知数列，
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
解：设f(n)＝＝＝.
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无整数解，所以不是该数列中的项．
(3)∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，∴0<<1，∴0即数列中的各项都在区间(0,1)内．
B 组
(限时：30分钟)
1．数列，，2，，…，则2是该数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
解析：由an＝＝2，解得n＝7.
答案：B
2．数列0，，，，，…的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：原数列可变形为，，，，，…，
∴an＝.
答案：C
3．已知数列的通项公式an＝则a2a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
解析：由an＝得a2a3＝2×10＝20.∴选C.
答案：C
4．已知数列{an}满足：a1>0，＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
解析：由已知数列各项为正，且从第二项起每一项是前一项的，则数列{an}是递减数列．
答案：B
5．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：数字为1的有1个，数字为2的有2个，数字为3的有3个．∴按照此规律，当数字为6时，共有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，当数字为7时，共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28项．∴第25项为7.
答案：C
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，则此数列的最大项的值是( )
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：∵an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋3＋，∴当n＝7时，an最大且等于108，故选B.
答案：B
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
8．下列叙述中正确的为________．
①数列an＝2是常数列；
②数列是摆动数列；
③数列是递增数列；
④若数列{an}是递增数列，则数列{anan＋1}也是递增数列．
解析：①中每一项均为2，是常数列．②中项的符号由(－1)n调整，是摆动数列．③可变形为，为递增数列．④中若an＝n－3，则anan＋1＝(n－3)(n－2)＝n2－5n＋6，不是递增数列．
答案：①②③
9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
解析：第1个图案有白色地面砖6块，第2个图案有10块，第3个图案有14块，可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖．
答案：4n＋2
10．根据下列各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，…；
(2)，－1，，－，，－，….
解：(1)易发现每一项的分子比分母少1，而第1,2,3,4,5项分母恰好为21,22,23,24,25，所以第n项的分母为2n，所以通项公式为an＝；(2)由于偶数项为负，奇数项为正，所以通项公式中含因式(－1)n＋1，观察各项的绝对值构成的数列，从第3项到第6项，分母分别是奇数7,9,11,13，写分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这一规律，第1,2两项可改写为，－，所以an＝(－1)n＋1·.
11．已知数列{an}的通项公式an＝.
(1)求a10.
(2)是否是这个数列中的项？
(3)这个数列中有多少整数项？
(4)是否有等于序号的项？若有，求出该项；若没有，说明理由．
解：(1)a10＝＝.
(2)令＝，得n＝100，故是这个数列的第100项．
(3)∵an＝1＋，∴当n＝1,2,3,6时，an为整数，
故这个数列中有4项是整数项．
(4)令＝n得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)，
故该数列中有等于序号的项，即a3＝3.
12．设函数f(x)＝log2x－logx2(0(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列的单调性．
解：(1)∵f(2an)＝log22an－log2an2＝an－，
∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0，解得an＝n±.
∵x∈(0,1)，∴2an∈(0,1)．
∴an<0.∴an＝n－.
(2)方法一：∵an＋1－an＝(n＋1)－－(n－)＝1－[－]
＝1－>1－＝0，
∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．
方法二：∵＝＝，
又∵an<0，∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．
课时作业(六) 数列的递推公式(选学)
A 组
(限时：10分钟)
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则通项公式为( )
A．an＝1 B．an＝2n－1
C．an＝n D．an＝n＋1
解析：由an＝an－1＋1知an－an－1＝1，
∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为an＝n.
答案：C
2．已知数列an<0，且2an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法判断
解析：∵an<0，∴an＋1－an＝an－an＝－an>0.
∴数列{an}是递增数列．
答案：A
3．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.
解析：由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，∴a5＝a4＋a3＝8.
答案：8
4．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n≥3)，则a2 014＝________.
解析：由anan－2＝an－1，得an＝(n≥2)，
∴a3＝＝2，a4＝＝1，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝1，….
可知数列{an}具有周期性，周期为6，
∴a2 014＝a6×335＋4＝a4＝1.
答案：1
5．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝2an，n∈N*，则a2 013＝________；a2 014＝________.
解析：a2 013＝a504×4－3＝1，a2 014＝2a1 007＝2a4×252－1＝0.
答案：1 0
B 组
(限时：30分钟)
1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则a6等于( )
A．7 B．11
C．16 D．17
解析：由题可知a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝1＋1＋2＋3＋4＋5＝16.
答案：C
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2 013等于( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：∵an＋2＝－＝an，∴数列奇数项相同，偶数项相同，
∴a2 013＝a1＝2.
答案：C
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1a2a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得?a3＝，
?a5＝，∴a3＋a5＝.
答案：C
4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．2n－1 B.n－1
C．n2 D．n
解析：方法一：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝.∴数列是常数列．
且＝＝1，∴an＝n.
方法二：累乘法：n≥2时，＝，
＝
…
＝
＝
两边分别相乘得＝n.
又∵a1＝1，∴an＝n.
答案：D
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝2n－1
C．an＝n－1 D．an＝1＋n
解析：方法一：由已知a1＝1＝21－1，a2＝2×1＋1＝3＝22－1，a3＝2×3＋1＝7＝23－1，…，
由此归纳得an＝2n－1.
方法二：∵an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，用累乘法可得an＋1＝2n.
∴an＝2n－1.
答案：A
6．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键( )
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
解析：各图中的短线依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若视6为5＋1，则这个数列1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，
于是第n个图的化学键个数应为an＝5n＋1.
答案：D
7．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a9等于________．
解析：a1＝∈，
∴a2＝2a1－1＝，
∴a3＝2a2－1＝∈，
∴a4＝2a3＝，
同理a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，a9＝.
答案：
8．数列{an}中a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________.
解析：令n＝2得a－a1·a3＝－1，∴a3＝10.
令n＝3代入，得a－a2a4＝(－1)2，∴a4＝33.
答案：33
9．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 014＝________.
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(x1)＝f(2)＝1，
x3＝f(x2)＝f(1)＝4，
x4＝f(x3)＝f(4)＝5＝x0，
从而数列{xn}是周期为4的数列，于是a2 014＝a4×503＋2＝a2＝1.
答案：1
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.
解：∵an＋1＝，
∴an＋1(an＋2)＝2an.
∴an＋1an＝2an－2an＋1.
两边同除以2an＋1an，得－＝.
∴－＝，－＝，…，－＝.
把以上各式累加得－＝.
又∵a1＝1，∴an＝.
故数列{an}的通项an＝(n∈N*)．
11．已知数列{an}，a1＝a(a＞0，a≠1)，an＝a·an－1(n≥2)，定义bn＝an·lgan，如果数列{bn}是递增数列，求a的取值范围．
解：由于a1＝a，an＝a·an－1(n≥2)，则＝a.
∴an＝··…···a1
＝a·a·…·a·a·＝an，
∴bn＝an·lgan＝an·lgan＝nan·lga.
由bn＜bn＋1得
nan·lga＜(n＋1)an＋1·lga①
(1)当a＞1时，lga＞0，①式为n＜(n＋1)a
对一切n∈N*恒成立．
即a＞对一切n∈N*恒成立，
由于数列{}＝{1－}为递增数列
且＜1，∴a＞1.
(2)当0＜a＜1时，lga＜0，①式为n＞(n＋1)a，
即a＜对一切n∈N*恒成立．
由于≤＜1，∴0＜a＜.
综上所述，数列{bn}是递增数列时a的取值范围是∪(1，＋∞)．
12．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如果f(1)＝a，f(2)＝b，求数列{f(n)}的第2 011项．
解：∵f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，且f(1)＝a，f(2)＝b，
∴f(3)＝f(2)－f(1)＝b－a，
f(4)＝f(3)－f(2)＝b－a－b＝－a，
f(5)＝f(4)－f(3)＝－a－b＋a＝－b，
f(6)＝f(5)－f(4)＝－b＋a，
f(7)＝f(6)－f(5)＝－b＋a＋b＝a＝f(1)，
f(8)＝f(7)－f(6)＝a＋b－a＝b＝f(2)．
由此可以看出f(x)是以6为周期的函数，
∴数列{f(n)}的第2 011项f(2 011)＝f(6×335＋1)＝f(1)＝a.
课时作业(七) 等差数列的概念与通项公式
A 组
(限时：10分钟)
1．等差数列{an}中，a2＝－5，d＝3，则a5为( )
A．－4 B．4
C．5 D．6
解析：a5＝a1＋4d＝(a1＋d)＋3d＝a2＋3d＝－5＋3×3＝4.
答案：B
2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1＝an＋.
∴an＋1－an＝.
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列．
∴a101＝a1＋(101－1)d＝2＋＝52.
答案：D
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
答案：B
4．已知等差数列{an}中，a1＝－a9＝8，则an＝________.
解析：等差数列{an}中，a1＝8，a9＝－8，a9＝a1＋8d，
∴d＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)×d＝8－2(n－1)＝10－2n.
答案：10－2n
5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得
bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，
∴由bn＝得，数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
B 组
(限时：30分钟)
1．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：由
解得：，故选B.
答案：B
2．数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的递增等差数列
B．是公差为5的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列
D．是公差为2的递减等差数列
解析：∵an＝2n＋5，∴a1＝7，d＝2，故选A.
答案：A
3．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：由a1＋d＋a1＋7d＝12可得：a1＋4d＝6，即a5＝6，故选C.
答案：C
4．已知数列{an}中，an＝2＋an－1(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的第10项为( )
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：∵an＝2＋an－1(n≥2)，∴an－an－1＝2(n≥2)，即d＝2.∵a1＝1，∴a10＝1＋9×2＝19，故选B.
答案：B
5．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：B
6．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差的取值范围是( )
A．d＞ B．d＜3
C.≤d＜3 D.＜d≤3
解析：由已知a10＞0，且a9≤0，
即将a1＝－24代入解得＜d≤3.
答案：D
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：由解得：，
∴a6＝3＋5×2＝13.
答案：13
8．数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则an＝________.
解析：将点(，)代入直线方程，得－＝.
由等差数列定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列．故＝＋(n－1)＝n.所以an＝3n2.
答案：3n2
9．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
解析：由题意，可知：y＝x＋4(a2－a1)，y＝x＋5(b3－b2)，∴＝.
答案：
10．已知等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝45，求数列{an}的通项公式．
解：设a5＝a6－d，a7＝a6＋d，则由a5＋a6＋a7＝15，得3a6＝15.∴a6＝5.
由已知可得.解得或
当a5＝1时，d＝4.
从而a1＝－15.
an＝－15＋(n－1)×4＝4n－19.
当a5＝9时，d＝－4，从而a1＝25.
∴an＝25＋(n－1)×(－4)＝－4n＋29.
11．已知数列{an}满足a1＝1，＝，an>0，求an.
解：∵＝ .
∴＝2＋，－＝2.
∴数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又an>0，∴an＝(n∈N*)．
12．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，
即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，令a2＝b1＝1，
a3＝b2＝3，
a4＝b3＝5，
…
an＝bn－1＝1＋2[(n－1)－1]＝2n－3.
又a1＝1，
∴an＝
课时作业(八) 等差数列的性质
A 组
(限时：10分钟)
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
答案：B
2．等差数列{an}中，若a2＋a4 024＝4，则a2 013＝( )
A．2 B．4
C．6 D．－2
解析：2a2 013＝a2＋a4 024＝4，∴a2 013＝2.
答案：A
3．已知等差数列{an}中，a7＝，则tan(a6＋a7＋a8)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．1
解析：在等差数列中，a6＋a7＋a8＝3a7＝，
∴tan(a6＋a7＋a8)＝tan＝－1.
答案：C
4．如果等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为________的等差数列．
解析：设数列{an}的公差为d，则a3－a1＝2d＝4，
∴d＝2，∴数列{2an－3}的公差为4.
答案：4
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
B 组
(限时：30分钟)
1．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则a8的值是( )
A．9 B．13
C．18 D．22
解析：∵a2＋a8＝a4＋a6＝26，∴a8＝26－a2＝22.
答案：D
2．如果一个等差数列{an}中，a2＝3，a7＝6，那么它的公差是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：d＝＝，故选A.
答案：A
3．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由a4＋a5＝a7＋a2，可得：15＝12＋a2，∴a2＝3，故选A.
答案：A
4．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( )
A．100 B．120
C．140 D．160
解析：由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，得：a6＝60，∴a2＋a10＝120，故选B.
答案：B
5．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：方法一：∵a2＋a3＝2a1＋3d＝13，
又∵a1＝2，∴d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.
方法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，
∴a2＝5，d＝3，a5＝a1＋4d＝14，
∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.
答案：B
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
解析：设cn＝an＋bn，则cn为等差数列，又c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.
答案：C
7．在等差数列{an}中，a1·a3＝8，a2＝3，则公差d等于________．
解析：由，解得：或.
∴d＝±1.
答案：±1
8．已知数列{an}为等差数列，且a5＝11，a8＝5，则an＝________.
解析：由解得：，
∴an＝19＋(n－1)·(－2)＝－2n＋21.
答案：an＝－2n＋21
9．等差数列的前4项依次是a－1，a＋1,2a＋3,2b－3，则a，b的值分别为________．
解析：由解得.
答案：0,4
10．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解：方法一：因为{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第4项，
∴a60＝a15＋3d，得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
方法二：设{an}的公差为d，因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
11．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a6＋a20＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
解：(1)由等差数列的性质知，a2＋a24＝a6＋a20＝2a13，根据已知条件a2＋a6＋a20＋a24＝48，得4a13＝48，解得a13＝12.
(2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4，根据已知条件a2＋a3＋a4＋a5＝34，得a2＋a5＝17，由，解得或，所以d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋2，从这个数列中依次取第1,4,7,10，…，3n－2项按原来的顺序排成新数列{bn}，求{bn}的通项公式．
解：∵an＝3n＋2，
∴数列{an}是等差数列．
∴a1，a4，a7，…也是等差数列．
∴b1＝5，b2＝a4＝14，b3＝a7＝23.
∴{bn}是以5为首项，9为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)×9＝5＋(n－1)×9＝9n－4.
课时作业(九) 等差数列的前n项和
A 组
(限时：10分钟)
1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10等于( )
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，
∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6.∴d＝3.
又a2＋a4＝2a1＋4d＝4，∴a1＝－4.
∴S10＝10a1＋d＝－40＋45×3＝95.
答案：C
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于( )
A．18 B．36
C．54 D．72
解析：∵a4＝18－a5，∴a4＋a5＝18.
∴S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a4＋a5)＝72.
答案：D
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝( )
A．－14 B．－13
C．－12 D．－11
解析：在等差数列中，S13＝＝13，
所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.
答案：D
4．有一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小角为100°，则边数n＝________.
解析：n×100°＋×10°＝(n－2)×180°，解得n＝8或n＝9.又an＝100°＋(n－1)×10°<180°，∴n＝8.
答案：8
5．设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2.求数列{an}的通项公式．
解：当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]．
整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝2n－1.
B 组
(限时：30分钟)
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16
C．49 D．64
解析：由Sn＝n2可得：an＝2n－1，∴a8＝15，
∴选A.
答案：A
2．在各项均为非零实数的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)．则S2n－1－4n＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：∵an＋1－a＋an－1＝2an－a＝0且an≠0，
∴an＝2，∴S2n－1－4n＝(2n－1)·2－4n＝－2.故选A.
答案：A
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )
A．1 B.
C．－2 D．3
解析：由S3＝3×4＋d＝6，解得：d＝－2，
∴选C.
答案：C
4．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：由a3＋a5＝a1＋2d＋a1＋4d＝2＋6d＝14得：d＝2.∴Sn＝n＋·2＝n2＝100.
∴n＝10，故选B.
答案：B
5．若{an}是等差数列，满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a99＝0 D．a55＝51
解析：∵S101＝＝0，
∴a1＋a101＝0.∴a3＋a99＝a1＋a101＝0.∴选C.
答案：C
6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．20
解析：设从上到下第n层的钢管数为an，则由最上一层到第n层的钢管数组成的数列{an}为等差数列，且公差d＝1，a1＝1，Sn＝.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多．又S19＝190<200，S20＝210>200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少，剩余钢管根数为200－190＝10.
答案：B
7．在等差数列{an}中，若a10＝10，a19＝100，前n项和Sn＝0，则n＝________.
解析：由解得，
∴Sn＝－80n＋×10＝5n2－85n，由Sn＝0解得n＝17.
答案：17
8．已知数列{an}中，a1＝－7，an＋1＝an＋2，则a1＋a2＋…＋a17＝________.
解析：∵a1＝－7，d＝2，
∴S17＝17×(－7)＋×2＝153.
答案：153
9．在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则＝______________.
解析：由12a1＋d＝8得
10a1＝9d，∴＝.
答案：
10．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，并判断是否为等差数列．
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝1.∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴an＝∴{an}不是等差数列．
11．已知等差数列{an}．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解：(1)由题意，得Sn＝＝＝－5.解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
12．设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于，求数列{an}的通项公式．
解：由题意知＝，故得Sn＝.
∴a1＝S1＝1.
又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]
∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0.
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，
∵an>0.∴an＋1－an＝2，
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝2n－1.
