2.3 不等式（组）
一、不等式（组）的相关概念
1、用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示________关系的式子叫做不等式.
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的________，叫做不等式的解.
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的________，组成这个不等式的解集.
4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有________未知数，并且未知数的最高次数是________，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.21·世纪*教育网
5、一元一次不等式组：一般地，关于同一个________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.21*cnjy*com
6、不等式组的解集：不等式组中的各不等式解集的________，就是不等式组的解集.
二、不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边都________（或________）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：
不等式的两边都________（或________）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个________，不等号的方向改变.
三、解一元一次不等式（组）的步骤：
1、一元一次不等式的解法：
（1）去分母；（2）________；（3）移项；（4）________；（5）系数化为1．
2、一元一次不等式组的解法：
先求出各不等式的________，再确定解集的________.
注意：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便.
四、不等式（组）与实际问题
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
2、________：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
4、________：列出不等式组.
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果.
6、检验并作________：根据所得结果作出回答.
考点一： 一元一次不等式（组）的判断
下列不等式中，是一元一次不等式组的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】C
【解析】由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.
③，④，⑤，是一元一次不等式组
①，②，不是一元一次不等式组
故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次不等式组的定义，即可完成.
变式跟进1若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
考点二： 不等式性质的应用
若x>y，则下列式子中错误的是（ ）
A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
【答案】D
【解析】A. 不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
B.不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确；
C. 不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
D. 乘以一个负数，不等号的方向改变，错误。
故选D.
【点评】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．21世纪教育网版权所有
变式跟进2下列语句正确的是（ ）。
A．∵＞，∴＞ B．∵＜，∴＜
C．∵ax＞ay，∴x＞y D．∵＞，∴＞
考点三： 一元一次不等式（组）的解集
把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由①得：x＞﹣1；
由②得：x≤1；
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：
【点评】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
变式跟进3如果不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是__.
考点四： 不等式（组）的整数解
不等式9-x＞x+的正整数解的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】解：不等式的解集为：x＜，则符合条件的x的正整数为x=1和2.
【点评】先求出不等式的解集，再找出符合条件的正整数解即可.
变式跟进4已知关于x的不等式组 整数解有4个，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
考点五： 不等式（组）的实际应用
如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）
A. a＞c＞b B. b＞a＞c C. a＞b＞c D. c＞a＞b
【答案】C
【解析】根据第二个天平可得：b=2a，根据第一个天平可得：2a3b，则abc.
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据图形找出相等及不等关系即可.
变式跟进5小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题
1、（2017?六盘水）不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（?? ）
A、 B、? C、 D、
2、（2017?益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（?? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2017?湖州）一元一次不等式组 的解是（?? ）
A、 B、 C、 D、或
4、（2017?内江）不等式组 的非负整数解的个数是（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
5、（2017?毕节市）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（?? ）
A、14 B、7 C、﹣2 D、2
6、（2016?内蒙古）如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（? ）【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
7、（2017?包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（?? ） 【版权所有：21教育】
A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定
8、（2017?百色）关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（?? ） 21*cnjy*com
A、3 B、2 C、1 D、
9、（2017?重庆）若数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（?? ）
A、10 B、12 C、14 D、16
10、（2017?齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（?? ）
A、16个 B、17个 C、33个 D、34个
二、填空题
11、2017?通辽）不等式组 的整数解是________．
12、（2017?株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是________． 21·cn·jy·com
13、（2017?荆州）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为________．
14、（2017?黑龙江）不等式组 的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是________．
15、（2017?烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
16、（2017·台州）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克 21教育名师原创作品
三、解答题
17、（2017?常德）求不等式组 的整数解．
18、（2017·嘉兴）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
19、（2017?湖州）对于任意实数 ， ，定义关于“ ”的一种运算如下： ．例如： ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
20、（2017·东营）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？www.21-cn-jy.com
一、选择题
1．（2017温州模拟）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017福建期中）已知a，b为实数，则解可以为 – 2 < x < 2的不等式组是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．（2016深圳期中）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2
4．（2017福建期中）不等式9-x＞x+的正整数解的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
5．（2017泉州模拟）如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017杭州模拟）不等式组的整数解共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2017湖北云梦月考）已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）21教育网
A．m＞2 B．m≥2 C．m＞2且m≠3 D．m≥2且m≠3
8．(2016福建福安期中)小明准备用26元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多可以买几根火腿肠（ ）21cnjy.com
A、4 B、5 C、6 D、7
9．（2017黑龙江大庆月考）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
二、填空题
10．（2017重庆期中）x与的差的一半是正数，用不等式表示为______
11．（2016河南模拟）不等式组的整数解的和是 ．
12．（2017江西宜春期末）关于、的二元一次方程组的解满足不等式,则的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
13．（2017秦皇岛期末）某种商品的进价为15元，出售标价是22.5元，由于不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润不低于10%，那么该店最多降价 __________元出售该商品。www-2-1-cnjy-com
14．（2017山东德州模拟）某公司准备用10000元购进一批空调和风扇．已知空调每台2500元，风扇每台300元，该公司已购进空调3台，那么该公司最多还可以购进风扇______台．
15．（2017四川自贡期末）定义新运算：对于任意实数都有 ，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.2-1-c-n-j-y
例如： .
那么不等式的解集为 _________ .
三、解答题
16．（2017山西大同期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
17．（2017江苏启东期中）解下列不等式（组），并将其解集在数轴上表示出来.
（1）2（x+6）≥3x﹣18 （2）
18．（2017广东佛山月考）小颖准备用21元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2.5元，她买了2个笔记本．请你帮她算一算，她还可能买几支笔？
19．（2017湖南张家界模拟）某电器超市销售A、B两种不同型号的电风扇，每种型号电风扇的购买单价分别为每台310元，460元．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)若某单位购买A，B两种型号的电风扇共50台，且恰好支出20000元，求A，B两种型号电风扇各购买多少台？
(2)若购买A，B两种型号的电风扇共50台，且支出不超过18000元，求A种型号电风扇至少要购买多少台？
20．（2017重庆期中）“端午节”是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.
甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95% 收费；
乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90% 收费.
设某位顾客购买了x元的该种粽子.
（1）补充表格，填写在“横线”上：
x（单位：元）
实际在甲超市的花费
（单位：元）
实际在乙超市的花费
（单位：元）
0＜x≤200
x
x
200＜x≤300
x
x ＞300
（2）当x为何值时？到甲、乙两超市的花费一样。
（3）如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过300元，那么到哪家超市花费更少？说明理由
2.3 不等式（组）
一、不等式（组）的相关概念
1、用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式.
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.21·世纪*教育网
5、一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
6、不等式组的解集：不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.
二、不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
三、解一元一次不等式（组）的步骤：
1、一元一次不等式的解法：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．
2、一元一次不等式组的解法：
先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分.
注意：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便.
四、不等式（组）与实际问题
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
2、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
4、列：列出不等式组.
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果.
6、检验并作答：根据所得结果作出回答.
考点一： 一元一次不等式（组）的判断
下列不等式中，是一元一次不等式组的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】C
【解析】由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.
③，④，⑤，是一元一次不等式组
①，②，不是一元一次不等式组
故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次不等式组的定义，即可完成.
变式跟进1若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
【答案】x＜－3
【解析】先根据一元一次不等式的定义求出m的值，再解不等式即可.
由题意得，解得，
则原不等式为，解得x＜－3.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.21cnjy.com
考点二： 不等式性质的应用
若x>y，则下列式子中错误的是（ ）
A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
【答案】D
【解析】A. 不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
B.不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确；
C. 不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
D. 乘以一个负数，不等号的方向改变，错误。
故选D.
【点评】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．
变式跟进2下列语句正确的是（ ）。
A．∵＞，∴＞ B．∵＜，∴＜
C．∵ax＞ay，∴x＞y D．∵＞，∴＞
【答案】D
【解析】当x＝0时，选项A不成立；
当x取0或负数时，选项B不成立；
当a 为负数时，选项C不成立；
总为正数，所以选项D成立.
故选D.
【点评】在不等式的左右两边同时乘以一个正数，则不等式仍然成立；在不等式的左右两边同时乘以一个负数，则不等式符号需要改变.
考点三： 一元一次不等式（组）的解集
把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由①得：x＞﹣1；
由②得：x≤1；
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：
【点评】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
变式跟进3如果不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是__.
【答案】．m≤3
【解析】解不等式组可得结果因为不等式组的解集是x＞3，所以结合数轴，根据“同大取大”原则，不难看出结果为m≤3.【来源：21cnj*y.co*m】
【点评】根据解集，并结合数轴，即可判断出字母m的取值范围.
考点四： 不等式（组）的整数解
不等式9-x＞x+的正整数解的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】解：不等式的解集为：x＜，则符合条件的x的正整数为x=1和2.
【点评】先求出不等式的解集，再找出符合条件的正整数解即可.
变式跟进4已知关于x的不等式组 整数解有4个，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由①得：x≤b， 由②得：x≥5， ∴5≤x≤b． 因为有4个整数解，可以知道b可取5，6，7，8， ∴8≤b＜9， 所以可知的b取值为：8≤b＜9． 故选C．2-1-c-n-j-y
【点评】本题主要考查了不等式组的解法，先解出不等式的解，然后根据整数解的个数确定b的取值范围．
考点五： 不等式（组）的实际应用
如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）
A. a＞c＞b B. b＞a＞c C. a＞b＞c D. c＞a＞b
【答案】C
【解析】根据第二个天平可得：b=2a，根据第一个天平可得：2a3b，则abc.
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据图形找出相等及不等关系即可.
变式跟进5小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】(1)彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；(2)彩色地砖最多能采购20块．
【解析】解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得
，
解得：．
答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，由题意，得
80a+40（60﹣a）≤3200，
解得：a≤20．
∴彩色地砖最多能采购20块．
【点评】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可；（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式，求出其解即可．
一、选择题
1、（2017?六盘水）不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（?? ）
A、 B、? C、 D、
【答案】C 【解析】解：移项，得：3x≥9﹣6， 合并同类项，得：3x≥3， 系数化为1，得：x≥1， 故选：C 【点评】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
2、（2017?益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【解析】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左， ∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2． 故选D． 【点评】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案． 【版权所有：21教育】
3、（2017?湖州）一元一次不等式组 的解是（?? ）
A、 B、 C、 D、或
【答案】C 【解析】解：解第一个不等式得：x＞-1； 解第二个不等式得：x≤2； ∴不等式组的解集为：-1＜x≤2. 故答案为C. 【点评】根据不等式组的解集取法“大小小大取中间”可得不等式组的答案.
4、（2017?内江）不等式组 的非负整数解的个数是（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】B 【解析】解： ∵解不等式①得：x≥﹣ ， 解不等式②得：x＜5， ∴不等式组的解集为﹣ ≤x＜5， ∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个， 故选B． 【点评】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
5、（2017?毕节市）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（?? ）
A、14 B、7 C、﹣2 D、2
【答案】D 【解析】解： ≤﹣2， m﹣2x≤﹣6， ﹣2x≤﹣m﹣6， x≥ m+3， ∵关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4， ∴ m+3=4， 解得m=2． 故选：D． 【点评】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．
6、（2016?内蒙古）如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 C 【解析】解：∵直线l经过第一、二、四象限， ∴ ， 解得：﹣2＜m＜3， 故选C． 【点评】首先根据函数的图象的位置确定m的取值范围，然后在数轴上表示出来即可确定选项．本题考查了一次函数的图象与系数的关系及在数轴上表示不等式的解集的知识，解题的关键是根据一次函数的性质确定m的取值范围，难度不大．
7、（2017?包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（?? ）
A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定
【答案】C 【解析】解：解不等式x﹣ ＜1得x＜1+ ， 而不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1， 所以1+ =1，解得a=0， 又因为△=a2﹣4=﹣4， 所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根． 故选C． 【点评】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+ =1，则a=0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．
8、（2017?百色）关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（?? ）
A、3 B、2 C、1 D、
【答案】B 【解析】解： ， 解①得x≤a， 解②得x＞﹣ a． 则不等式组的解集是﹣ a＜x≤a． ∵不等式至少有5个整数解，则a的范围是a≥2． a的最小值是2． 故选B． 【点评】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最小值．
9、（2017?重庆）若数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（?? ）
A、10 B、12 C、14 D、16
【答案】 B 【解析】解：分式方程 + =4的解为x= 且x≠1， ∵关于x的分式方程 + =4的解为正数， ∴ ＞0且 ≠1， ∴a＜6且a≠2． ， 解不等式①得：y＜﹣2； 解不等式②得：y≤a． ∵关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2， ∴a≥﹣2． ∴﹣2≤a＜6且a≠2． ∵a为整数， ∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5， （﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10． 故选B． 【点评】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
10、（2017?齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（?? ）
A、16个 B、17个 C、33个 D、34个
【答案】A 【解析】解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000， 解得：m≤16， ∵m为整数， ∴m最大取16， ∴最多可以买16个篮球． 故选：A． 【点评】设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可．
二、填空题
11、2017?通辽）不等式组 的整数解是________．
【答案】0，1，2 【解析】解：解不等式一得，x＞﹣1， 解不等式二得，x≤2， 不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 不等式组的整数解为0，1，2， 故答案为0，1，2． 【点评】根据不等式组的解法得出不等式组的解集，再求得整数解即可．
12、（2017?株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是________．
【答案】＜x≤6 【解析】解：依题意有 ， 解得 ＜x≤6． 故x的取值范围是 ＜x≤6． 故答案为： ＜x≤6． 【点评】根据题意列出不等式组，再求解集即可得到x的取值范围．
13、（2017?荆州）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为________．
【答案】k＜3且k≠1 【解析】解：去分母得：k﹣1=2x+2， 解得：x= ， 由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且x+1≠0，即 ≠﹣1， 解得：k＜3且k≠1， 故答案为：k＜3且k≠1 【点评】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可． 2·1·c·n·j·y
14、（2017?黑龙江）不等式组 的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是________．
【答案】a≤﹣ 【解析】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 解不等式a﹣ x＜0，得：x＞3a， ∵不等式组的解集为x＞﹣1， 则3a≤﹣1， ∴a≤﹣ ， 故答案为：a≤﹣ ． 【点评】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定a的范围．
15、（2017?烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
【答案】x＜8 【解析】解：依题意得：3x﹣6＜18， 解得x＜8． 故答案是：x＜8． 【点评】根据运算程序，列出算式：3x﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x﹣6＜18，通过解该不等式得到x的取值范围．
16、（2017·台州）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
【答案】10 【解析】解：售价至少应定为x元/千克，则依题可得： x（1-5%）×80≥760， ∴76x≥760, ∴x≥10, 故答案为10. 【点评】设售价至少应定为x元/千克，依题可得方程x（1-5%）×80≥760，从而得出答案.
三、解答题
17、（2017?常德）求不等式组 的整数解．
【答案】0，1，2
【解析】解：解不等式①得x≤ ， 解不等式②得x≥﹣ ， ∴不等式组的解集为：﹣ ≤x≤ ∴不等式组的整数解是0，1，2 【点评】先求出不等式的解，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解不了，的口诀求出不等式组的解，进而求出整数解．
18、（2017·嘉兴）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【答案】错误的编号有：①②⑤，正确解答见解析
【解析】解：错误的编号有：①②⑤； 去分母，得3（1+x）-2(2x+1)≤6 去括号，得3+3x-4x-2≤6 移项，得3x-4x≤6-3+2, 合并同类项，得-x≤5 两边都除以-1，得x≥-5. 【点评】去分母时，每项都要乘以6，不等号的右边，没有乘以6，故后面的答案都错了；步骤②的去括号出错，步骤⑤的不等号要改变方向
19、（2017?湖州）对于任意实数 ， ，定义关于“ ”的一种运算如下： ．例如： ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）2017；（2）x＜4
【解析】（1）解：依题可得：3x=2×3-x=-2011.
∴x=2017. （2）解：依题可得：x3=2x-3＜5. ∴x＜4. 即x的取值范围为x＜4. 【点评】（1）根据题意列方程2×3-x=-2011求解即可.（2）根据题意列不等式2x-3＜5求解即可.
20、（2017·东营）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【答案】（1）改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元（2）共有3种方案21*cnjy*com
【解析】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得 ，
解得 ，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得： ，
解得 ，
∴3≤a≤5，
∵x取整数，
∴x=3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
【点评】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
一、选择题
1．（2017温州模拟）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式1﹣x≤0，解得：x≥1，表示在数轴上，如图所示：
故选D
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集．
2．（2017福建期中）已知a，b为实数，则解可以为 – 2 < x < 2的不等式组是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】分别根据题意得出a和b的值，看哪个符合条件.
【点评】根据解集还原成不等式组的形式，再判断出a、b的值即可.
3．（2016深圳期中）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2
【答案】D
【解析】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
4．（2017福建期中）不等式9-x＞x+的正整数解的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】解不等式的：x＜，则符合条件的x的正整数为x=1和2.
【点评】先解不等式，再找出符号条件的解.
5．（2017泉州模拟）如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
∵，
∴这个不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
A、解不等式组得：x＞1，故本选项错误；B、解不等式组得：﹣2＜x≤1，故本选项错误；
C、解不等式组得：﹣1≤x＜2，故本选项错误；D、解不等式组得：﹣1＜x≤2，故本选项正确．
【点评】解出四个选项中的不等式组的解集，并结合数轴即可判断.
6．（2017杭州模拟）不等式组的整数解共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：
解得，﹣1≤x＜，
故不等式组的整数解是x=﹣1或x=0或x=1，
即不等式组的整数解有3个，
故选B．
【点评】先解出不等式组的解集，从而可以得到原不等式组有几个整数解，本题得以解决．
7．（2017湖北云梦月考）已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．m＞2 B．m≥2 C．m＞2且m≠3 D．m≥2且m≠3
【答案】D
【解析】首先在方程的左右两边同时乘以(x－1)得：m－3=x－1，解得：x=m－2，根据解为非负数可得：m－2≥0且m－2≠1，解得：m≥2且m≠3.21*cnjy*com
【点评】先用含m的式子表示x，再根据题意列不等式即可，别忘了x不等于1这一个限制性条件.
8．(2016福建福安期中)小明准备用26元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多可以买几根火腿肠（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】B
【解析】首先设最多可以购买x根火腿肠，根据题意可得：2x+3×526，解得：x5.5，根据x为正整数，则最多可以购买5根火腿肠.21教育名师原创作品
【点评】根据题意列出不等式是解题的关键.
9．（2017黑龙江大庆月考）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【答案】B.
【解析】解：设打了x折，由题意可得，要保证利润率不低于5%，那么这个商品最少售价为=840，那么，解得， 故选B．
【点评】理解利润率，并根据题意列出不等式是解题的关键.
二、填空题
10．（2017重庆期中）x与的差的一半是正数，用不等式表示为______
【答案】（x﹣）＞0
【解析】根据题意可列不等式（x﹣）＞0.
【点评】根据题意列出不等式即可.
11．（2016河南模拟）不等式组的整数解的和是 ．
【答案】5
【解析】求出不等式组的解集，找出解集中的所有整数解，求出它们的和．
，由①得：x≤3，
由②得：x＞1，
故不等式组的解集为1＜x≤3，即整数解为：2，3，
则原不等式的所有整数解的和为2+3=5．
故答案为：5．
【点评】先求出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解即可.
12．（2017江西宜春期末）关于、的二元一次方程组的解满足不等式,则的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
【答案】m>3
【解析】，
①-②得，x-y=2m-2，
∵x-y>4，
∴2m-2>4，
∴m>3.
【点评】利用整体思想先用含m的式子表示x-y，再列出不等式即可求解.
13．（2017秦皇岛期末）某种商品的进价为15元，出售标价是22.5元，由于不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润不低于10%，那么该店最多降价 __________元出售该商品。
【答案】6
【解析】先设最多降价x元出售该商品，则出售的价格是22.5-x-15元，再根据利润率不低于10%，列出不等式即可．
解：设最多降价x元出售该商品，则22.5-x-15≥15×10%，解得x≤6． 故该店最多降价6元出售该商品．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
14．（2017山东德州模拟）某公司准备用10000元购进一批空调和风扇．已知空调每台2500元，风扇每台300元，该公司已购进空调3台，那么该公司最多还可以购进风扇______台．
【答案】8
【解析】解：设可以购进电风扇x台。
由题意2500×3+300x 10000，
解得x，
∵x是整数，
∴x的最大整数是8，
∴该公司最多还可以购进风扇8台。
故答案为8
【点评】找不题中的不等关系列出不等式是解题的关键.
15．（2017四川自贡期末）定义新运算：对于任意实数都有 ，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.21·cn·jy·com
例如： .
那么不等式的解集为 _________ .
【答案】x＞1
【解析】∵，
∴等式可以化为，
解得.
故答案为：x＞1.
【点评】将新运算按要求转化为不等式是解题的关键所在.
三、解答题
16．（2017山西大同期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
【解析】由 ;
得
∴;
∴.
∴不等式的解集为
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
【点评】按解不等式的基本步骤求解即可.
17．（2017江苏启东期中）解下列不等式（组），并将其解集在数轴上表示出来.
（1）2（x+6）≥3x﹣18 （2）
【答案】（1）x≤30；（2）-3≤【解析】解：（1）去括号得，2x+12≥3x-18， 移项得，2x-3x≥-18-12， 合并同类项得，-x＞-30， 把x的系数化为1得，x＜30， 在数轴上表示为：21教育网
； （2）由①得，x＞-3，由②得，x＜6， 故不等式组的解集为：-3＜x＜6， 在数轴是表示为：www.21-cn-jy.com
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的?原则是解答此题的关键．
18．（2017广东佛山月考）小颖准备用21元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2.5元，她买了2个笔记本．请你帮她算一算，她还可能买几支笔？
【答案】她还可能买1支、2支、3支、4支、或5支笔。
【解析】解：设她还可以买x支笔，根据题意，得
解得x≤
答:她还可能买1支、2支、3支、4支、或5支笔。
【点评】根据总钱数不超过21元，列不等式求解．
19．（2017湖南张家界模拟）某电器超市销售A、B两种不同型号的电风扇，每种型号电风扇的购买单价分别为每台310元，460元．【出处：21教育名师】
(1)若某单位购买A，B两种型号的电风扇共50台，且恰好支出20000元，求A，B两种型号电风扇各购买多少台？
(2)若购买A，B两种型号的电风扇共50台，且支出不超过18000元，求A种型号电风扇至少要购买多少台？
【答案】（1）购买A种型号电风扇20台，B型种型号电风扇30台；
（2）A种型号电风扇至少要购买34台
【解析】（1）设购买A种型号电风扇x套，B型号的电风扇y套，根据：“A，B两种型号的电风扇共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型号电风扇m套，根据：A型电风扇总费用+B型电风扇总费用≤18000，列不等式求解可得．
解：(1)设购买A种型号电风扇x台，B种型号电风扇y台，
根据题意，得： ， 解得：x=20，y=30，
答：购买A种型号电风扇20台，B型种型号电风扇30台．
(2)设购买A种型号电风扇m台，
根据题意，得：310m+460(50－m)≤18000，
解得：m≥33，
∵m为整数，∴m的最小值为34，
答：A种型号电风扇至少要购买34台．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出相等与不等关系，列方程组和不等式求解．
20．（2017重庆期中）“端午节”是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.
甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95% 收费；
乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90% 收费.
设某位顾客购买了x元的该种粽子.
（1）补充表格，填写在“横线”上：
x（单位：元）
实际在甲超市的花费
（单位：元）
实际在乙超市的花费
（单位：元）
0＜x≤200
x
x
200＜x≤300
x
x ＞300
（2）当x为何值时？到甲、乙两超市的花费一样。
（3）如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过300元，那么到哪家超市花费更少？说明理由
【答案】(1)填表见解析；（2）400；（3）当300＜x＜400 时，顾客到甲超市花费更少. 当x=400时，顾客到甲、乙超市的花费相同. 当x ＞400时，顾客到乙超市花费更少.
【解析】（1）根据题意，依照x的取值范围，分别列出式子填表即可；（2）根据所列的式子的值相等，列出方程求解即可；（3）根据题意列出不等式解不等式，结合（2）的结果，分别写出两超市谁更优惠即可.
解：（1）200 +（x-200）× 95% （或 10+0.95 x ）.
200 +（x-200）× 95% （或 10+0.95 x ）.
300 +（x-300）× 90% （或 30+0.9 x ）.
（2）200 +（x-200）× 95%=300 +（x-300）× 90%
解得 x=400.
∴x=400时，到甲、乙两超市的花费一样。
（3）200 +（x-200）× 95% ＜300 +（x-300）× 90%
x ＞300
当300＜x＜400 时，顾客到甲超市花费更少.
当x=400时，顾客到甲、乙超市的花费相同.
当x ＞400时，顾客到乙超市花费更少.
【点评】本题考查了列代数式表示数的运用，一元一次方程和一元一次不等式解实际问题的运用，解答时根据两家超市花费情况建立方程或不等式是解题的关键．
