2.4 分式方程
一、分式方程的概念
1、分式方程的定义：分母中含有________的方程叫做分式方程.
2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为________则为增根．21·cn·jy·com
注意：在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生________.
3、判断增根的方法：
（1）这个数是解化成的________的根；
（2）使最简公分母为________．
注意：这两个条件缺一不可.
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想是________思想，即将“分式方程”转化为“整式方程”.
2、分式方程的一般解法：
（1）去分母：方程两边同时乘以________,将分式方程化为整式方程；
（2）解所得的整式方程：按解整式方程的步骤求出未知数的________;
（3）验________：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
3、换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式（如方程中多次出现相同的式子，两式呈倒数形式等等），一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.
三、分式方程应用题
1、________题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、________未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出________的关系
4、________出分式方程；
5、________分式方程；
6、________并写出________语．
考点一： 辨别分式方程
下列式子是分式方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A. 是一元二次方程，故不正确；
B. 不是任何方程，故不正确；
C. 是分式方程，故正确；
D. 是一元一次方程，故不正确；
故选C.
【点评】根据分式方程的定义即可判断.
变式跟进1下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.·（
考点二：分式方程的解
已知是分式方程的解，则实数=_________.
【答案】
【解析】将x=1代入得，，
解得,k=.
故答案为： .
【点评】将解代入方程即可求出k值.
变式跟进2已知关于的方程有正数解，则实数的取值范围是_______
考点三：分式方程的增根
使分式方程产生增根的值为_________
【答案】
【解析】方程两边同乘以（x+3）(x-3) 可得x+3+x-3=k，因方程有增根，可得x=±3，代入求得k=±6.【来源：21·世纪·教育·网】
【点评】增根是令分母等于0的值，故将x=±3代入已化为整式方程之中即可求出k值.
变式跟进3若无解，则m的值是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣2 D. 2
.考点四： 分式方程的实际应用
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分件后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．己知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，依题意得：
故选C.
【点评】分析题意找出相等关系是列方程的关键.
变式跟进4某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案.
一、选择题
1、（2017?黔东南州）分式方程 =1﹣ 的根为（?? ）
A、﹣1或3 B、﹣1 C、3 D、1或﹣3
2、（2017?河南）解分式方程 ﹣2= ，去分母得（?? ）
A、1﹣2（x﹣1）=﹣3 B、1﹣2（x﹣1）=3 C、1﹣2x﹣2=﹣3 D、1﹣2x+2=321世纪教育网版权所有
3、（2017?黑龙江）若关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围是（?? ）
A、a≥1 B、a＞1 C、a≥1且a≠4 D、a＞1且a≠4
4、（2017?成都）已知x=3是分式方程 ﹣ =2的解，那么实数k的值为（?? ）
A、﹣1 B、0 C、1 D、2
5、（2017?毕节市）关于x的分式方程 +5= 有增根，则m的值为（?? ）
A、1 B、3 C、4 D、5
6、（2017?重庆）若数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程 + =2有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（?? ）
A、3 B、1 C、0 D、﹣3
7、（2017?十堰）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017?乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（?? ） 21教育网
A、﹣ =5 B、﹣ =5 C、+5= D、﹣ =5
二、填空题
9、（2017?宁波）分式方程 的解是________
10、（2016?盐城）方程x﹣ =1的正根为________．
11、（2016?济南）若代数式 与 的值相等，则x=________．
12、（2017?泰安）分式 与 的和为4，则x的值为________．
13、（2017?泸州）若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实数m的取值范围是________． www.21-cn-jy.com
14、（2015?黑龙江）关于x的分式方程﹣=0无解，则m= ________.
15、（2017?营口）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为________．
16、（2016?济宁）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是________km/h．
三、解答题
17、（2017?湖州）解方程： ．
18、（2017?大连）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？
19、（2016?菏泽）列方程或方程组解应用题： 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
20、（2017?遵义）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价 该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？ 问题2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值． 21cnjy.com
1．（2017重庆模拟）分式方程=的解是（ ）
A．x=3 B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣3
2．（2016安徽宁国联考）用换元法解方程：时，若设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．
C． D．
3．（2017广东深圳期末）解分式方程﹣4=时，去分母后可得（ ）
A．1﹣4（2x﹣3）=﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）=5
C．2x﹣3﹣4=﹣5 D．2x﹣3﹣4=5（2x﹣3）
4．（2016江苏南菁模拟）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
5．（2017山东泰安期中）若关于x的方程有增根，则m的值与增根x的值分别是（ ）.
A．m=﹣4，x=2 B．m=4，x=2 C．m=﹣4，x=﹣2 D．m=4，x=﹣2
6．（2017山东泰安期中）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为（ ）.2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
7．（2016浙江乐清期中）某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（ ）元．21*cnjy*com
A．508 B．520 C．528 D．560
8．（2017广东梅州模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2017安徽安庆模拟）方程的解为________.
10．（2017江苏省兴化期末）当a ＝_____时，分式的值为－4．
11．（2017江苏兴化月考）若方程 的解为正数,则的取值范围是_____．
12．（2017江苏省盐城月考）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是__________．
13．（2017江苏苏州期中）设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为，则所列方程是___________．
14．（2017湖北赤壁模拟）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地.原计划的行驶速度是__________km/h.21教育名师原创作品
15．（2017湖北枣阳模拟）某校学生利用双休时间去距学校20km的白水寺参观，一部分学生骑自行车先走，过了40min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，骑车学生的速度是_____________km/h.
16．（2017河南周口模拟）一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红蓝黄色球若干个，其中红色球有6个，黄色球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色球的概率为，那么随机摸出一个为红球的概率为____．21*cnjy*com
三、解答题
17．（2017四川达州模拟）解分式方程： .
18．（2017江苏扬州模拟）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现：小琼步行步与小刚步行步消耗的能量相同，若每消耗千卡能量小琼行走的步数比小刚多步，求小刚每消耗千卡能量需要行走多少步？【版权所有：21教育】
19．（2017江苏扬州模拟）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：21·世纪*教育网
小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱.
小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打六折，我们每人一张票，还能剩72元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
20．（2017湖南郴州模拟）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b=，www-2-1-cnjy-com
例如：1⊕（﹣3）==﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2 =﹣5，
（x2+1）⊕（x﹣1）=（因为x2+1＞0）
参照上面材料，解答下列问题：
（1）2⊕4= ，（﹣2）⊕4= ；
（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．
2.4 分式方程
一、分式方程的概念
1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
注意：在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.
3、判断增根的方法：
（1）这个数是解化成的整式方程的根；
（2）使最简公分母为零．
注意：这两个条件缺一不可.
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想是转化思想，即将“分式方程”转化为“整式方程”.
2、分式方程的一般解法：
（1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程；
（2）解所得的整式方程：按解整式方程的步骤求出未知数的值;
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
3、换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式（如方程中多次出现相同的式子，两式呈倒数形式等等），一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.21世纪教育网版权所有
三、分式方程应用题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出分式方程；
5、解分式方程；
6、检验并写出答语．
考点一： 辨别分式方程
下列式子是分式方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A. 是一元二次方程，故不正确；
B. 不是任何方程，故不正确；
C. 是分式方程，故正确；
D. 是一元一次方程，故不正确；
故选C.
【点评】根据分式方程的定义即可判断.
变式跟进1下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.·（
【答案】D
【解析】由分式方程的定义可知，A.，B.，C.，均是分式方程，不符合题意；
D.·（，是一元一次方程，不是分式方程，本选项符合题意.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
考点二：分式方程的解
已知是分式方程的解，则实数=_________.
【答案】
【解析】将x=1代入得，，
解得,k=.
故答案为： .
【点评】将解代入方程即可求出k值.
变式跟进2已知关于的方程有正数解，则实数的取值范围是_______
【答案】a＜2且a≠0
【解析】解：由得：x+x-2=x-a,
x=2-a,
∵有正数解，
∴2-a>0,且2-a≠2，
∴a<2,且a≠2,
故答案为a<2,且a≠2
【点评】此题考查了分式方程的解，在解分式方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，肯产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解，所以任何时候考虑分母不为0.【来源：21·世纪·教育·网】
考点三：分式方程的增根
使分式方程产生增根的值为_________
【答案】
【解析】方程两边同乘以（x+3）(x-3) 可得x+3+x-3=k，因方程有增根，可得x=±3，代入求得k=±6.www-2-1-cnjy-com
【点评】增根是令分母等于0的值，故将x=±3代入已化为整式方程之中即可求出k值.
变式跟进3若无解，则m的值是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣2 D. 2
【答案】D
【解析】方程两边同乘以x-3可得m+1-x=0，因无解，可得x=3，代入得m=2，故选D.
【点评】或分式方程无解，则化为的整式方程的解为分式方程的培根，代入整式方程即可求出答案.
.考点四： 分式方程的实际应用
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分件后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．己知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，依题意得：
故选C.
【点评】分析题意找出相等关系是列方程的关键.
变式跟进4某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．21教育网
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案.21cnjy.com
【答案】（1）4000元；（2）5种
【解析】解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，由题意得
解得：
经检验： 是原方程的根，
所以甲种电脑今年每台售价4000元；
（2）设购进甲种电脑台，由题意得
解得
因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案.
【点评】解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，要注意解分式方程最后要写检验.
一、选择题
1、（2017?黔东南州）分式方程 =1﹣ 的根为（?? ）
A、﹣1或3 B、﹣1 C、3 D、1或﹣3
【答案】C 【解析】解：去分母得：3=x2+x﹣3x， 解得：x=﹣1或x=3， 经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3， 故选C 【点评】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 21*cnjy*com
2、（2017?河南）解分式方程 ﹣2= ，去分母得（?? ）
A、1﹣2（x﹣1）=﹣3 B、1﹣2（x﹣1）=3 C、1﹣2x﹣2=﹣3 D、1﹣2x+2=321教育名师原创作品
【答案】A 【解析】解：分式方程整理得： ﹣2=﹣ ， 去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3， 故选A 【点评】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．
3、（2017?黑龙江）若关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围是（?? ）
A、a≥1 B、a＞1 C、a≥1且a≠4 D、a＞1且a≠4
【答案】C 【解析】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2， 解得：x= ， 由题意得： ≥0且 ≠2， 解得：a≥1且a≠4， 故选：C． 【点评】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 21*cnjy*com
4、（2017?成都）已知x=3是分式方程 ﹣ =2的解，那么实数k的值为（?? ）
A、﹣1 B、0 C、1 D、2
【答案】 D 【解析】解：将x=3代入 ﹣ =2， ∴ 解得：k=2， 故选D 【点评】将x=3代入原方程即可求出k的值．
5、（2017?毕节市）关于x的分式方程 +5= 有增根，则m的值为（?? ）
A、1 B、3 C、4 D、5
【答案】C 【解析】解：方程两边都乘（x﹣1）， 得7x+5（x﹣1）=2m﹣1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣1）=0， 解得x=1， 当x=1时，7=2m﹣1， 解得m=4， 所以m的值为4． 故选C． 【点评】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
6、（2017?重庆）若数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程 + =2有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（?? ）
A、3 B、1 C、0 D、﹣3
【答案】A 【解析】解：解不等式组 ，可得 ， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣ ≥﹣1， ∴a≤3， 解分式方程 + =2，可得y= （a+2）， 又∵分式方程有非负数解， ∴y≥0， 即 （a+2）≥0， 解得a≥﹣2， ∴﹣2≤a≤3， ∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3， ∴满足条件的整数a的值之和是3， 故选：A． 【点评】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出a≤3，再解分式方程 + =2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2，进而得到满足条件的整数a的值之和．
7、（2017?十堰）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【解析】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件， 由题意得， = ． 故选A． 【点评】设甲每小时做x个零件，根据题意可得，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，据此列方程．
8、（2017?乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（?? ）
A、﹣ =5 B、﹣ =5 C、+5= D、﹣ =5
【答案】A 【解析】解：设原计划每天植树x万棵，需要 天完成， ∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要 天完成， ∵提前5天完成任务， ∴ ﹣ =5， 故选（A） 【点评】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
二、填空题
9、（2017?宁波）分式方程 的解是________
【答案】x=1 【解析】解：去分母得：2（2x+1）=3（3-x）. 去括号得：4x+2=9-3x. 移项得：4x+3x=9-2. 合并同类项得：7x=7. 系数化为1得：x=1. 经检验x=1是分式方程的解. 故答案为：x=1. 【点评】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
10、（2016?盐城）方程x﹣ =1的正根为________．
【答案】 x=2 【解析】解：去分母得x2﹣2=x， 整理得x2﹣x﹣2=0， 解得x1=2，x2=﹣1， 经检验x1=2，x2=﹣1都是分式方程的解， 所以原方程的正根为x=2． 故答案为x=2． 【点评】先去分母得到x2﹣x﹣2=0，再利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=﹣1，然后进行检验确定原方程的根，从而得到原方程的正根．
11、（2016?济南）若代数式 与 的值相等，则x=________．
【答案】 4 【解析】解：根据题意得： = ， 去分母得：6x=4（x+2）， 移项合并同类项得：2x=8， 解得：x=4． 故答案为：4． 【点评】由已知条件：代数式 与 的值相等，可以得出方程 = ，解方程即可．本题考查了解分式方程，解答本题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行．
12、（2017?泰安）分式 与 的和为4，则x的值为________．
【答案】3 【解析】解：∵分式 与 的和为4， ∴ + =4， 去分母，可得：7﹣x=4x﹣8 解得：x=3 经检验x=3是原方程的解， ∴x的值为3． 故答案为：3． 【点评】首先根据分式 与 的和为4，可得： + =4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
13、（2017?泸州）若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实数m的取值范围是________．
【答案】m＜6且m≠2 【解析】解： + =3， 方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6， 解得，x= ， 由题意得， ＞0， 解得，m＜6， ∵ ≠2， ∴m≠2， 故答案为：m＜6且m≠2． 【点评】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
14、（2015?黑龙江）关于x的分式方程﹣=0无解，则m= ________.
【答案】 0或﹣4 【解析】解：方程去分母得：m﹣（x﹣2）=0， 解得：x=2+m， ∴当x=2时分母为0，方程无解， 即2+m=2， ∴m=0时方程无解． 当x=﹣2时分母为0，方程无解， 即2+m=﹣2， ∴m=﹣4时方程无解． 综上所述，m的值是0或﹣4． 故答案为：0或﹣4． 【点评】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
15、（2017?营口）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为________．
【答案】﹣ =8 【解析】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x， 根据题意可得： ﹣ =8， 故答案为： ﹣ =8． 【点评】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．
16、（2016?济宁）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是________km/h．
【答案】 80 【解析】解：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列方程得： ， 解得：x=80 经检验，x=80是原方程的解， 所以这辆汽车原来的速度是80km/h． 故答案为：80． 【点评】设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．本题考查分式方程的应用，分析题意，掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度= 路程/时间 ；工作量问题：工作效率= 工作量/工作时间 等等是解决问题的关键．
三、解答题
17、（2017?湖州）解方程： ．
【答案】x=2
【解析】解：去分母得：2=1+x-1. 合并同类项得：x=2. 经检验x=2是分式方程的解. ∴x=2是原分式方程的根. 【点评】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
18、（2017?大连）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？
【答案】原计划平均每天生产75个零件
【解析】解：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件， 根据题意得：
= ， 解得：x=75， 经检验，x=75是原方程的解． 答：原计划平均每天生产75个零件 【点评】设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
19、（2016?菏泽）列方程或方程组解应用题： 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【答案】 3.2克
【解析】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，根据题意，得：
=2× ， 解得：x=3.2， 经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意， 答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点评】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．www.21-cn-jy.com
20、（2017?遵义）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价 该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？ 问题2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
【答案】问题1：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：15
【解析】解：问题1 设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，依题意得 50x+50（x+10）=7500， 解得x=70， ∴x+10=80， 答：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元； 问题2 由题可得， ×1000+ ×1000=150000， 解得a=15， 经检验：a=15是所列方程的解， 故a的值为15 【点评】问题1：设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，根据成本共计7500元，列方程求解即可；问题2：根据两个街区共有15万人，列出分式方程进行求解并检验即可．
1．（2017重庆模拟）分式方程=的解是（ ）
A．x=3 B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣3
【答案】D．
【解析】解：去分母得，3（x+1）=2x，
去括号得，3x+3=2x，
移项得，x=﹣3，
检验：把x=﹣3代入x（x+1）=﹣3（﹣3+1）=6≠0，
∴x=﹣3是原方程的解，故选D．
【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的过程求解，最后要验根.
2．（2016安徽宁国联考）用换元法解方程：时，若设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得：，则原方程可变形为：y+=3，两边同时乘以y可得：+2=3y，即-3y+2=0.2-1-c-n-j-y
【点评】利用整体思想即可换元.
3．（2017广东深圳期末）解分式方程﹣4=时，去分母后可得（ ）
A．1﹣4（2x﹣3）=﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）=5
C．2x﹣3﹣4=﹣5 D．2x﹣3﹣4=5（2x﹣3）
【答案】A
【解析】解：去分母得：1﹣4（2x﹣3）=﹣5，
故选A
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．（2016江苏南菁模拟）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
【答案】B
【解析】分式的值为零，则分式的分子为零，分母不为零.根据题意可得－4=0且x+2≠0，解得x=2.
【点评】根据题意建立分式方程即可求解.
5．（2017山东泰安期中）若关于x的方程有增根，则m的值与增根x的值分别是（ ）.
A．m=﹣4，x=2 B．m=4，x=2 C．m=﹣4，x=﹣2 D．m=4，x=﹣2
【答案】B.
【解析】分式方程去分母转化为整式方程x+2=m，由分式方程有增根，得到最简公分母x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m=4，则m的值与增根x的值分别是m=4，x=2.
故选：B.
【点评】将最简公分母得于0的x的值代入已化为整式方程中，即可求出答案.
6．（2017山东泰安期中）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为（ ）.【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】解：由题意可得，.
故选：A．
【点评】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
7．（2016浙江乐清期中）某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（ ）元．
A．508 B．520 C．528 D．560
【答案】B
【解析】解：设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据题意得：
=+1，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的解，
则这笔生意该店共盈利：[50×（20+60﹣4）+4×50×90%]﹣（880+2580）=520（元）；
故选B．
【点评】设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据每个进价比上次优惠1元，求出购进计算器的个数，再根据总售价﹣成本=利润，即可得出答案．
8．（2017广东梅州模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，得：，所以，原方程化为：＝－1，
即：＝1，解得：x＝5.
【点评】读懂题中所给的新运算关系是解题的关键.
二、填空题
9．（2017安徽安庆模拟）方程的解为________.
【答案】x=4
【解析】
解：方程两边都乘以x-1得， 3＝x-1 移项得，x=3+1， 合并同类项得，x=4，
经检验，x=4是原分式方程的根. 故答案为：x=4．
【点评】先把方程两边都乘以x-1化简方程，然后再根据一元一次方程的解法进行解答即可．
10．（2017江苏省兴化期末）当a ＝_____时，分式的值为－4．
【答案】1
【解析】解：由题意得：=-4，
a+3=-4(a-2),
a=1,经检验a=1是分式方程的解.
【点评】根据题意列出关于a的分式方程，解之即可.
11．（2017江苏兴化月考）若方程 的解为正数,则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】分式方程的解为：x=2-a， ∵分式方程的解为正数， ∴2-a＞0， 解得：a＜2． ∵x-1≠0， ∴2-a-1≠1 ∴a≠1， 故答案为：a＜2且a≠1．【来源：21cnj*y.co*m】
【点评】用含a的式子表示出此分式方程的解，再根据解为正数列不等式即可，同时要注意分式方程增根问题.
12．（2017江苏省盐城月考）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是__________．
【答案】m>
【解析】解：去分母得：x+m-3m=3(x-3)
去括号得x+m-3m=3x-9
移项，整理得：x=
∵x<0，
∴<0，
解得：m>.
【点评】用含m的式子表示出此分式方程的解，再根据解为负数列不等式即可，注意分式方程的增根x=3，不是负数，不用考虑增根问题.2·1·c·n·j·y
13．（2017江苏苏州期中）设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为，则所列方程是___________．
【答案】
【解析】设乙数位x,则甲数为x-2.丙数为x+2，根据甲数的倒数与丙数的倒数的2倍之和等于乙数的倒数的3倍.列出方程【出处：21教育名师】
故答案为：
【点评】此题考查了代数式的正确书写，能够根据运算顺序正确书写，同时注意数位的意义.列代数式要注意的四个问题：1.在同一个式子或具体问题中，每个字母只能代表一个量；2.要注意书写的规范性：乘号可以省略不写；3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母前面，带分数要化为假分数；4.含有字母的除法.一般不用除号，而是写成分数的形式.
14．（2017湖北赤壁模拟）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地.原计划的行驶速度是__________km/h.
【答案】60
【解析】解：设原计划的行驶速度为x km/h，根据题意得，
故答案为：60.
【点评】本题设原计划的行驶速度为x km/h，根据题意列出分式方程即可.
15．（2017湖北枣阳模拟）某校学生利用双休时间去距学校20km的白水寺参观，一部分学生骑自行车先走，过了40min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，骑车学生的速度是_____________km/h.
【答案】15
【解析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了40min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得： =+，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解，
答：骑车学生的速度是每小时15km．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解决的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程.
16．（2017河南周口模拟）一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红蓝黄色球若干个，其中红色球有6个，黄色球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色球的概率为，那么随机摸出一个为红球的概率为____．
【答案】
【解析】设蓝色球有x个，由题意得
，
解之得
∴随机摸出一个为红球的概率为 .
【点评】找出题目中的等量关系，列出相应的分式方程即可.
三、解答题
17．（2017四川达州模拟）解分式方程： .
【答案】x=2
【解析】解：去分母得3（5x-4）+x-3=6x+5，
解得x=2，
检验：当x=2时，3（x-3）≠0，
所以原方程的解为x=2．
【点评】本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．
18．（2017江苏扬州模拟）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现：小琼步行步与小刚步行步消耗的能量相同，若每消耗千卡能量小琼行走的步数比小刚多步，求小刚每消耗千卡能量需要行走多少步？
【答案】小刚每消耗千卡能量需要行走步.
【解析】解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步， 根据题意，得
， 解得x=30． 经检验：x=30是原方程的解． 答：小红每消耗1千卡能量需要行走30步．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数列出关于x的分式方程是解题的关键．
19．（2017江苏扬州模拟）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱.
小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打六折，我们每人一张票，还能剩72元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
【答案】小伙伴们的人数为8人．
【解析】解：设票价为x元，
由题意得，=+2，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
则小伙伴的人数为：=8．
答：小伙伴们的人数为8人．
【点评】根据题意找出相等关系列出方程解得即可.
20．（2017湖南郴州模拟）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b=，21·世纪*教育网
例如：1⊕（﹣3）==﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2 =﹣5，
（x2+1）⊕（x﹣1）=（因为x2+1＞0）
参照上面材料，解答下列问题：
（1）2⊕4= ，（﹣2）⊕4= ；
（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值．
【答案】(1) 2，﹣6．(2)3.
【解析】（1）2⊕4==2，
（﹣2）⊕4=﹣2﹣4=﹣6；
（2）∵x＞，
∴（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），
即=﹣4﹣（1﹣4x），
=4x﹣5，
4x2﹣1=（4x﹣5）（2x﹣1），
4x2﹣1=4x2﹣14x+5，
2x2﹣7x+3=0，
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
解得x1=，x2=3．
经检验，x1=是增根，x2=3是原方程的解，
故x的值是3．
故答案为：2，﹣6．
【点评】读懂题意，并按要求列出方程是解题的关键.
