广东省广州市2018届高三数学12月调研测试试题理

2018届广州市高三年级调研测试
理科数学
2017．12
本试卷共5页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A． B． 　C． D．
若复数满足，则
A． 　B． C． D．
3．在等差数列中，已知，前项和，则公差
A． B． C． D．
4．已知变量，满足则的最大值为
A． B． C． D．
的展开式中的系数为
A． B． C． 　　D．
在如图的程序框图中，为的导函数，若，
则输出的结果是
A． B．
C． D．
7．正方体的棱长为2，点为的中点，点为
线段上靠近的三等分点，平面交于点，则
的长为
A． B．
C． D．
已知直线与曲线相切，则实数的值为
A． B． 　C． D．
9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有
A．36种 B．24种 　C．22种 D．20种
10．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为
A． 　　B． C． D．
11．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支
上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为
A． B． 　C． D．
12．对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；
③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A．0 B．1 　　C．2 D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则向量的模为________．
14．在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为________．
15．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为________．
16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥
的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
△的内角，，的对边分别为，，，且满足，．
（1）求角的大小；
（2）求△周长的最大值．
（本小题满分12分）
如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角
的余弦值．
（本小题满分12分）
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：
周光照量（单位：小时）
光照控制仪最多可运行台数
3
2
1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式，参考数据，．
（本小题满分12分）
如图，在直角坐标系中，椭圆：的上焦点为，椭圆的离心率为 ，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程．
（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，且，求的取值范围．
2018届广州市高三年级调研测试
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
A
A
D
D
B
A
C
C
二．填空题
13．10 　14．4 15．4 16．
三、解答题
17．（1）解法1：由已知，得．
由正弦定理，得，…………………………………………1分
即．…………………………………………………………………………2分
因为，…………………………………………………………………3分
所以．………………………………………………………………………………4分
因为，所以．………………………………………………………………………5分
因为，所以．…………………………………………………………………………6分
解法2：由已知根据余弦定理，得．……………………1分
即．……………………………………………………………………………………3分
所以．………………………………………………………………………… 5分
因为， 所以．…………………………………………………………………………6分
（2）解法1：由余弦定理，
得，………………………………………………………………………………………7分
即．……………………………………………………………………………………8分
因为，………………………………………………………………………………………9分
所以．
即（当且仅当 时等号成立）．……………………………………………………11分
所以．
故△周长的最大值为．………………………………………………………………12分
解法2：因为，且，，
所以，．…………………………………………………………………8分
所以………………………9分
．……………………………………………………………………10分
因为，所以当时，取得最大值．
故△周长的最大值为．………………………………………………………………12分
18．（1）证明：连接，交于点，设中点为，
连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为，且，
所以，且．………………………………………………………………………1分
所以四边形为平行四边形，所以，即．………………………………2分
因为平面，平面，所以．
因为是菱形，所以．
因为，所以平面．…………………………………………………………4分
因为，所以平面．………………………………………………………………5分
因为平面，所以平面平面． ………………………………………………6分
（2）解法1：因为直线与平面所成角为，
所以，所以．………………………………………………………………7分
所以，故△为等边三角形．
设的中点为，连接，则．
以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．
则，，，，
，，．
…………………………9分
设平面的法向量为，
则即
则所以．……………………………………………………………10分
设平面的法向量为，
则即令则所以．…………11分
设二面角的大小为，由于为钝角，
所以．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分
解法2：因为直线与平面所成角为，且平面，
所以，所以．………………………………………………………………7分
因为，所以为等边三角形．
因为平面，由（1）知，
所以平面．
因为平面，平面，所以且．
在菱形中，．
以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图）．
则，
则．……………………………………………9分
设平面的法向量为，
则即
令，则，则法向量．……………10分
设平面的法向量为，
则即
令，则则法向量．………………………………………………11分
设二面角的大小为，由于为钝角，
则．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分
19．解：（1）由已知数据可得．……………………1分
因为………………………………………2分
………………………………………………3分
．…………………………………………………4分
所以相关系数．………………5分
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系． …………………………………………6分
（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分
②安装2台光照控制仪的情形：
当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，
当30故的分布列为
2000
6000
0．2
0．8
所以元． ………………………………………………………9分
③安装3台光照控制仪的情形：
当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，
当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，
当30故的分布列为
1000
5000
9000
0．2
0．7
0．1
所以元． ………………………………………11分
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分
20．解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即．……………………………………1分
又，得，即，所以椭圆的方程为．
把点代人中，解得．………………………………………………………………2分
所以椭圆的方程为．……………………………………………………………………3分
（2）解法1：设直线的斜率为，则直线的方程为，
由得．…………………………………………………………4分
设， ，则有，，…………………………………………5分
所以．
所以……………………………………………………………………………6分
因为，所以在线段的中垂线上，
所以，因为，所以，即．………………………………7分
设，又直线垂直，所以，即．…………………………8分
所以，即．……………………………………………………………………9分
又，所以，．
因为，所以，………………………………………10分
解得．……………………………………………………………………………………………11分
所以直线的方程为．………………………………………………………………12分
解法2：设直线的斜率为，则直线方程，
由得，…………………………………………………………4分
设，，则有，．…………………………………………5分
所以．
所以，．…………………………………………………6分
因为，所以，解得．………………………7分
因为，所以，解得．………………………………8分
所以直线的方程为．………………………………9分
联立 解得．…………………………10分
由，解得．……………………………11分
所以直线的方程为．……………………………………12分
21．解：（1）函数的定义域为．
当时，，所以．…………………1分
当时，，所以在上单调递增，…………………2分
取，则，……………………………………3分
（或：因为且时，所以．）
因为，所以，此时函数有一个零点．………………4分
②当时，令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
要使函数有一个零点，则即．………………………5分
综上所述，若函数恰有一个零点，则或．……………………6分
（2）因为对任意，有成立，
因为，
所以．……………………………………………7分
因为，则．
所以，所以．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，，………………8分
因为与，所以．……………9分
设，
则．
所以在上单调递增，故，所以．
从而．……………………………………………10分
所以即，
设，则．
当时，，所以在上单调递增．
又，所以，即为，解得．……………………………11分
因为，所以的取值范围为．…………………………………12分
22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
因为，则曲线的参数方程．………………………2分
所以的普通方程为．………………………………………3分
所以为圆心在原点，半径为2的圆．………………………………4分
所以的极坐标方程为，即．……………………………5分
（2）解法1：直线的普通方程为．……………………………6分
曲线上的点到直线的距离．…………8分
当即时，取到最小值为．……9分
当即时，取到最大值为．………10分
解法2：直线的普通方程为．…………………………………6分
因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，……………7分
因为，所以圆与直线相离．……………………………8分
所以圆上的点到直线的距离最大值为，最小值为．…10分
23．解：（1）当时，．…………………………………………1分
①当时，原不等式可化为，解得．………………2分
②当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解．……3分
③当时，原不等式可化为，解得．……………………4分
综上可知，原不等式的解集为或．……………………………5分
（2）解法1：①当时， ……………………6分
所以函数的值域，
因为，所以解得．………………………………………………………7分
②当时， ………………………………8分
所以函数的值域，
因为，所以解得．………………………………………………………9分
综上可知，的取值范围是．………………………………………………………10分
解法2：因为，……………………7分
所以．
所以函数的值域．…………………………………………………………8分
因为，所以解得或．
所以的取值范围是．………………………………………………………………10分