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湘教版数学九年级1.3不共线三点确定二次函数的表达式教学设计
课题 1.3不共线三点确定二次函数的表达式 单元 第一章二次函数 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识．2、会用待定系数法求二次函数的表达式．3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
重点 用待定系数法求二次函数的表达式．
难点 用待定系数法求二次函数的表达式．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、怎样用待定系数法确定一次函数的解析式？2、二次函数的表达式有哪些？一般式： y=ax2+bx+c顶点式： y=a（x-h）2+k如何求二次函数的表达式？已知二次函数图像上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式 回顾用待定系数法确定正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式的求法． 通过回顾用待定系数法确定正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式的求法的回顾为本节课的探究学习做好铺垫．
讲授新课 一、用待定系数法求二次函数的表达式例1 已知一个二次函数的图象过点（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）三点，求这个函数的表达式？已知三点求二次函数的解析式的一般步骤是什么？已知三点求二次函数的解析式的一般步骤：1、设：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c；2、代：把三点的坐标代入所设的函数解析式；3、列：列三元一次方程组；4、解：解三元一次方程组；5、写：回代解析式，写成一般形式．二、确定二次函数是否经过已知三个点1、如何判断三个点是否在一条直线上？求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式．2、判断下列三个点是否在一条直线上？（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.两点P（1，-5），Q（-1，3）可以确定一个一次函数y=-4x-1．点R（2，-3）的坐标不适合y=-4x-1，因此点R不在直线PQ上，即P，Q，R三点不共线．点M（2，-9）的坐标适合y=-4x-1，因此点M在直线PQ上，即P，Q，R三点不共线．3、例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.通过例2的解答你可以得到什么结论？1、二次函数y=ax2+bx+c，的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上．2、若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点． 4、例3 选取顶点（-2,1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式。通过例3 的解答你可以得到什么结论？1、若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通常设函数的解析式为y=a（x-h）2+k。2.特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0，k=0，可设函数的解析式为y=ax2。3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0，可设函数的解析式为y=ax2+k。4.当抛物线的对称轴为x轴时，k=0，可设函数的解析式为y=a（x-h）2。 探究用待定系数法求二次函数的解析式．完成例1．归纳总结．学生小组合做完成探究和例2． 会用待定系数法求二次函数的表达式．掌握用待定系数法求二次函数的表达式．巩固如何选用合适的方法确定二次函数的表达式．会判断二次函数是否经过已知三个点．
1、已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4C．y=x2+2x-4D．y=2x2+3x-42、一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（ ）A．y=4x2+3x-5 B．y=2x2+x+5C．y=2x2-x+5 D．y=2x2+x-53、已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5）（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P（-2，3）是否在这个二次函数的图象上？4、已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标． 学生先自主思考，完成后小组交流展示成果． 通过练习的解决进一步掌握用待定系数法求二次函数的表达式．
课堂小结 1、求二次函数解析式的一般方法：y=ax2+bx+c （a≠0）2、求二次函数解析式的常用思想：注意：无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式． 回顾本节课所学知识． 培养学生良好的反思习惯，加深对知识的理解．
板书 例1 求二次函数解析式的一般方法：y=ax2+bx+c （a≠0）例2
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1.3不共线三点确定二次函数的表达式
湘教版 九年级下
1、怎样用待定系数法确定一次函数的解析式？
y=kx+b (k≠0)
系数k，
b待定
找两个点
确定两个方程
解二元一次方程组
导入新知
2、二次函数的表达式有哪些？
一般式： y=ax2+bx+c
顶点式： y=a（x-h）2+k
新知讲解
3、如何求二次函数的表达式？
已知二次函数图像上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式
新知讲解
例1 已知一个二次函数的图象过点（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）三点，求这个函数的表达式？
解：设该二次函数表达式为y=ax2+bx+c．
将三个点的坐标（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=-3，b=4，c=2.
因此，所求的二次函数的表达式为y＝-3x2＋4x＋2．
新知讲解
你能根据例题总结已知三点求二次函数解析式的一般步骤吗？
新知讲解
已知三点求二次函数的解析式的一般步骤：
1、设：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c；
2、代：把三点的坐标代入所设的函数解析式；
3、列：列三元一次方程组；
4、解：解三元一次方程组；
5、写：回代解析式，写成一般形式．
那么如何判断三个点是否在一条直线上？
新知讲解
如何判断三个点是否在一条直线上？
求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式？
新知讲解
例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；
（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.
新知讲解
解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=2，b=-4，c=-3．
因此，二次函数y＝2x2-4x-3的图象经过P，Q，R三点．
新知讲解
解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得 a=0，b=-4，c=-1．
因此，一次函数y＝-4x-1的图象经过P，Q，M三点．这说明没有这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点．
新知讲解
通过例2的解答你可以得到什么结论？
1、二次函数y=ax2+bx+c，的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上．
2、若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点．
新知讲解
例3 选取顶点（-2,1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式。
解：设这个二次函数的表达式是y=a（x-h）2+k，
把顶点(-2,1)代入y=a（x-h）2+k得
y=a（x+2）2+1
再把点（1，-8）代入上式得
a（1-h）2+1=-8，
解得a=-1
因此，所求的二次函数的表达式为y=-（x+2）2+1或y=-x2-4x-3
新知讲解
通过例3 的解答你可以得到什么结论？
1、若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通常设函数的解析式为y=a（x-h）2+k。
2.特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0，k=0，可设函数的解析式为y=ax2。
3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0，可设函数的解析式为y=ax2+k。
4.当抛物线的对称轴为x轴时，k=0，可设函数的解析式为y=a（x-h）2。
巩固提升
1、已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
2、一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y=4x2+3x-5 B．y=2x2+x+5
C．y=2x2-x+5 D．y=2x2+x-5
D
A
巩固提升
3、已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5）
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（-2，3）是否在这个二次函数的图象上？
巩固提升
解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将（0，3）、（-3，0）、（2，-5）代入y=ax2+bx+c，
解得 a=-1，b=-2，c=3．
∴此二次函数的解析式是y=-x2-2x+3．
（2）当x=-2时，y=-（-2）2-2×（-2）+3=3，
∴点P（-2，3）在此二次函数的图象上．
巩固提升
4、已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．
x … -2 0 2 …
y … -1 1 11 …
巩固提升
解：（1）依题意，得
解得 a=1，b=3，c=1．
∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．
（2）由（1）知：y=x2+3x+1= ，
故其顶点坐标为 ．
课堂小结
1、求二次函数解析式的一般方法：
y=ax2+bx+c （a≠0）
三个系
数待定
找三个点
三个方程
解三元一次方程组
2、求二次函数解析式的常用思想：
转化思想
注意：无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式．
解方程或方程组
谢谢
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