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湘教版数学九年级1.2二次函数的图象与性质（4）教学设计
课题 1.2二次函数的图象与性质（4） 单元 第一章二次函数 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标、开口方向、对称轴、最大或最小值．2、经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.3、培养学生探究精神。
重点 1、用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标.2、会用描点法画y=ax2+bx+c配方后的图象并能说出图象的性质．
难点 利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的_____相同，______不同．2、抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：当a＞0时，开口_______，有最大值；当a＜0时，开口_______，有最小值．对称轴是_______；顶点坐标是_______．3、完成下表： 回顾二次函数y=a(x-h)2+k的性质． 通过对二次函数y=a(x-h)2+k的性质的回顾为本节课的探究学习做好铺垫．
讲授新课 一、探究二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质1、怎样把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a（x-h）2+k的形式？配方：y=-2x2+6x-1=-2（x2-3x）-1= = =请说出二次函数的的开口方向，对称轴和顶点坐标？二次函数y=-2x2+6x-1 的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式，我们就可以画出它的图象了．2、如何画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？列表：自变量x从顶点的横坐标开始取值．描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．这样就得到了函数y=-2x2+6x-1的图象．观察图象回答，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？3、请说出二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法的一般步骤．（1）“化”: 化成顶点式 ．通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标．（3）“画”：列表、描点、连线．结论：二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a＜0)或最小值 (当a＞0)，这个最大(小)值等于顶点的纵坐标．4、例 求函数的最大值．二、如何用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式？一般地，对二次函数y=ax2+bx+c进行配方，y=ax2+bx+c= = =对称轴是：，顶点坐标是： ．这是确定抛物线顶点与对称轴的公式．因此，当时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)：．用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式的一般步骤是什么？（1）“提”：提出二次项系数；（2）“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式．4、你能说出二次函数y=ax2+bx+c的性质吗？ 在教师的引导下进行配方．填写表格，画出图象．观察图象回答问题．归纳图象画法．完成例题．对二次函数y=ax2+bx+c进行配方． 通过配方把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a（x-h）2+k的形式，从而求出其顶点坐标和对称轴．培养学生的动手操作能力．认识二次函数的最值．培养学生归纳的能力．会应用配方法求函数最大值．学会熟练应用配方法求二次函数顶点坐标．
1．抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2 ．若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2，则a的值是（ ） A. 4 B. -1 C. 3 D. 4或-13、用配方法求下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最大值或最小值．（1）y=x2-3x+2； （2） y=-2x2-8x-3 ．5、已知二次函数y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．6、用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？①S与l有何函数关系？②举一例说明S随l的变化而变化 ③怎样求S的最大值呢 学生先自主思考，完成后小组交流展示成果． 通过练习的解决进一步理解y=ax2+bx+c的图象和性质，掌握用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴，并能运用知识解决有关的问题．
课堂小结 1、确定二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标的方法：2、二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标：3、二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法： 4、二次函数y=ax2+bx+c 的性质： 回顾本节课所学知识． 通过小结，强化对y=a(x-h)2的图象和性质的理解与运用．
板书 配方：y=-2x2+6x-1=-2（x2-3x）-1= =4、例y=ax2+bx+c对称轴是：，顶点坐标是： ．
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1.2 二次函数的图象与性质（4）
湘教版 九年级下
导入新知
1、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的_____相同，______不同．
形状
位置
2、抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：当a＞0时，开口
_______，有最小值；当a＜0时，开口_______，有最大值．对称轴是_______；顶点坐标是_______．
向上
向下
直线x=h
（h，k）
导入新知
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y = -3 (x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(x-2)2 +6
直线x=-3
向上
向下
(-3，5)
向上
向下
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(1，-2)
(3，7)
(2，6)
3、完成下表：
新知讲解
怎样直接作出函数y=-2x2+6x-1的图象？
配方：
y=-2x2+6x-1
=-2（x2-3x）-1
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
整理：前三项化为平方形式，再去掉中括号
化简：合并同类项
温馨提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式．
新知讲解
由二次函数y=-2x2+6x-1= 可知，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .
我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式，我们就可以画出它的图象了．
新知讲解
3
-1
列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值．
怎样画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
新知讲解
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．这样就得到了函数y=-2x2+6x-1的图象．
新知讲解
观察图象回答，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？
当x等于顶点的横坐标 时，函数值最大；
这个最大值等于顶点的纵坐标 .
新知讲解
二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法：
（1）“化”: 化成顶点式 ．
通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．
（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
（3）“画”：列表、描点、连线．
新知讲解
结论：二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a＜0)或最小值 (当a＞0)，这个最大(小)值等于顶点的纵坐标．
新知讲解
例 求函数 的最大值．
解：配方
顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1．
新知讲解
如何用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式？
一般地，对二次函数y=ax2+bx+c进行配方，
y=ax2+bx+c
这是确定抛物线顶点与对称轴的公式
新知讲解
对称轴是： ，
顶点坐标是： ．
因此，当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ．
新知讲解
（1）“提”：提出二次项系数；
（2）“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式．
用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式的一般步骤：
二次函数y=ax2+bx+c的性质：
y=ax2+bx+c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最大(小)值 增减性
a>0
a<0
向上
向下
y随x的增大而减小， y随x的增大而增大．
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小．
新知讲解
巩固提升
1．抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限 D ．第四象限
2 ．若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2，则a的值是（ ）
A. 4 B. -1 C. 3 D. 4或-1
C
A
巩固提升
3、用配方法求下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最大值或最小值．
（1）y=x2-3x+2； （2） y=-2x2-8x-3 ．
解： （1）y=x2-3x+2
顶点坐标：
对称轴：直线
当 时，
巩固提升
（2） y=-2x2-8x-3
顶点坐标(-2，5)． 对称轴：x=-2．
当x=-2时，y最大=5．
巩固提升
4、用公式法求下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
（1）y=3x2+4x-1； （2）y=-2x2+x+3．
解： （1）a=3，b=4，c=-1．
， ．
顶点坐标是： ，
对称轴是： ．
巩固提升
（2）a=-2，b=1，c=3．
， ．
顶点坐标是： ，
对称轴是： ．
巩固提升
5、已知二次函数y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
解：（1）把（0，5）代入
y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2，得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
巩固提升
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2-4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（-3，-4），对称轴为直线x=-3．
巩固提升
6、用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
①S与l有何函数关系？
②举一例说明S随l的变化而变化
③怎样求S的最大值呢
巩固提升
解:S=l (30-l)
=- l2+30l (0＜l＜30)
=-( l2-30l)
=-( l-15)2+225．
画出此函数的图象，如图．
∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)．
课堂小结
1、确定二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标的方法：
配方法
公式法
3、二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法：
2、二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标：
顶点坐标是： ．
通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．
确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
列表、描点、连线．
谢谢
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