14.1 全等三角形
教学目标
【知识与技能】
1.了解全等三角形的概念,会用操作的方法判定两个三角形全等.
2.能找出两个全等三角形中的对应边和对应角.
3知道全等三角形的两个性质.
【过程与方法】
经历找全等三角形的对应边和对应角的过程,提高学生的识图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过实际操作,来判定两个三角形全等,锻炼学生的动手能力.
2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.
3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.
重点难点
【重点】
全等三角形的性质.
【难点】
找两个全等三角形中的对应元素.
教学过程
一、创设情境、导入新知
教师多媒体出示图片:
教师演示把左边的图平移至与右边的图形重合.
师:你们观察到了什么?
生甲:每组图形的形状和大小都一样.
生乙:每组图形都能完全重合.
师:同学们说得很好!我们把这种能够完全重合的两个图形叫做全等形.
二、共同探究、获取新知
师;通过以上两组图,你能总结出怎样的两个图形会是全等的呢?
生:形状相同、大小相等.
师:很好!现在请同学们在纸上画两个形状相同、大小相等的三角形.
学生操作.
师:请把它们裁下来,叠放在一起.
学生操作.
师:你有什么发现?
生:它们完全重合.
师:我们把互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.两个全等的三角形的对应边有什么关系?对应角有什么关系?21世纪教育网版权所有
生:它们的对应边相等,对应角相等.
师:你是怎么知道的呢?
生:因为它们是重合的.
教师多媒体出示下图.
师:请同学们指出这幅图中两个全等三角形的对应边,对应角和对应顶点.
学生交流讨论.
生甲:AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边.
生乙:∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角
生丙:A与D、B与E、C与F是对应顶点.
师:很好!记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,读作“△ABC全等于△DEF”.21教育网
三、练习新知
师:请同学们看课本练习第1题后回答问题.
学生观察后交流讨论,回答,然后集体订正得到:
另外两组对应角:∠A与∠ECD、∠BCA与∠D;
另外两组对应边:BA和EC,AC和CD.
师:下面我们来看第2题,请同学们思考一下.
学生观察并思考.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:
△ABC≌△CDA,对应边:AB和CD,BC和DA,AC和CA;对应角:∠BAC和∠DCA,∠B和∠D,∠ACB和∠CAD.21cnjy.com
四、课堂小结
师:今天你们学习了什么内容?
学生发言:教师点评.
教学反思
这节课根据学生现有的认知水平和能力水平,首先,展示教材上的图案以及制作的一些图案,激发学生兴趣,从图中去发现有形状与大小完全相同的图形,调动学生的学习积极性,让学生体会数学来源于生活,生活中存在数学美.对于找对应边、对应角、全等三角形的性质,要求学生熟记,并要对学生多作指导,以巩固基础知识,为后续的学习做好准备.
第1课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形
教学目标
【知识与技能】
1.掌握边角边的判定方法,并且会用边角边的判定方法来证明两个三角形全等.
2.掌握作一个角等于已知角的方法,掌握已知两边和其夹角画三角形的方法.
【过程与方法】
1.从动手操作到理性证明,探索出三角形全等的边角边判定方法.
2.通过“边角边”的应用,掌握转化的数学方法.
3.通过作一个角等于已知角培养学生的识图能力和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣人,培养学生勇于创新、多方位审视问题的思想.
2.在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.21·cn·jy·com
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“边角边”判定方法.
【难点】
掌握并灵活应用“边角边”的判定方法.
教学过程
一、创设情境、导入新知
师:上节课我们学习了全等三角形的两个性质,大家还记得是什么吗?
生:记得.全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
师:那么我们怎样判定两个三角形全等呢?三角形有六个基本元素——三条边和三个角,只给定其中的一个元素或两个元素,能够确定一个三角形的形状和大小吗?这节课我们就来研究这个问题.www.21-cn-jy.com
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.只给定一个元素:
(1)一条边长为4 cm;(2)一个角为45°.
2.只给定两个元素:
(1)两条边长分别为4 cm、5 cm;(2)一条边长为4 cm,一个角为45°;(3)两个角分别为45°、60°.2·1·c·n·j·y
师:同学们可以试着画画,看根据这些已知的条件能不能确定一个三角形的形状和大小?
学生操作,并思考、讨论.
生:只给定三角形的一个或两个元素,不能完全确定一个三角形的形状和大小.
师:那么还需要增加什么条件才能确定一个三角形的形状和大小呢?
教师拿出一个圆规,边操作边说明:
圆规的两脚的交点记为B,我在圆规的两脚上各取一点A、C,自由转动其中一个角,△ABC的形状、大小随之改变,那么还需增加什么条件才可能确定△ABC的形状和大小呢?
学生交流讨论后回答.
生甲:给定边AC.
生乙:给定夹角∠ABC的大小.
师:对.
教师拿出两块三角板,边操作边讲解:
我把30°的这个角记为∠B,45°的这个角记为∠C,这两个直角三角形的斜边的交点记为点A,沿着B、C两点确定的直线l左右移动三角尺,△ABC的形状、大小随之改变,那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢?【来源：21·世纪·教育·网】
学生交流讨论,教师参与.
生甲:BC的长确定时.
生乙:AB的长确定时.
生丙:AC的长确定时.
师:对.同学们很聪明.下面,我们用尺规作图作出三角形,来研究三角形全等的条件,我们先画出一个三角形,并把它记为△ABC.21·世纪*教育网
学生操作:
师:然后作一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠B'=∠B,B'C'=BC,因为A'B'和B'C'的夹角为∠B',所以我们可以先作一个角∠MB'N=∠B,这个作图过程的关键是作一个角等于已知角.
教师边操作边讲解:
我们先作一条射线B'N,然后以B为圆心,以小于BA且小于BC的长度为半径画弧,与BA、BC的交点分别记为D、E,然后再以B'为圆心,以与刚才同样的半径画弧,与B'N交于一点,记为E',然后E'为圆心,以DE的长度为半径画弧,交前面的一条弧于一点,记为D',连接B'D'并延长得射线B'M,这样我们就作出了∠MB'N=∠B.下面请同学们按这种方法作一个角等于你画出的三角形的一个角.www-2-1-cnjy-com
学生交流讨论后操作,教师巡视指导.
教师边操作边讲解:
然后在B'M上截取B'A'=BA,在B'N上截取B'C'=BC,然后连接A'C',则△A'B'C'就是所求作的三角形.2-1-c-n-j-y
学生操作:
师:将你所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠,看看它们能否完全重合?
学生操作后回答:能.
师:由此你能等到什么结论?
生:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
师:对.我们把这个判定方法简记为“边角边”或“SAS”,其中S表示边,它是边的英文side的第一个字母,A表示角,它是角的英文angle的第一个字母.21*cnjy*com
三、例题讲解,加深理解
【例1】 如图所示,在湖泊的岸边有A、B两点,难以直接量出A、B两点间的距离.你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗?说明你这样设计的理由.
师:请同学们思考一下这个问题.
学生交流讨论,教师参与.
师:我们不能直接量出A、B两点之间的距离,如果可以有两个三角形全等,我们可以量出AB的对应边的话,根据全等三角形的对应边相等,我们就可以知道A、B间的距离了.
学生交流.
教师边操作边讲解:
因此,我们在岸上取可以直接到A、B的一点C,连接AC,延长AC到点A',使A'C=AC;连接BC,并延长BC到点B',使B'C=BC.连接A'B',量出A'B'的长度,就是A、B两点间的距离.你能说出这样做的依据吗?21教育网
学生思考,交流讨论后,教师找一名学生回答.
生:由作图可知,AC=A'C,BC=B'C,又因为∠ACB和∠A'C'B是对顶角,所以它们相等,而它们分别是AC和BC、A'C和B'C的夹角,所以由边角边的判定方法可证得△ABC≌△A'B'C,再由全等三角形的对应边相等得A'B'=AB.【来源：21cnj*y.co*m】
教师板书证明过程.
解:在岸上取可以直接到达A、B的一点C,连接AC,延长AC到A',使A'C=AC;连接BC,并延长BC到B',使B'C=BC,连接A'B',量出A'B'的长度,就是A、B两点间的距离.
理由:在△ABC与△A'B'C中,
∵
∴△ABC≌△A'B'C'.(SAS)
∴A'B'=AB.(全等三角形的对应边相等)
【例2】 已知:如图所示,AD∥BC,AD=BC.
求证:△ADC≌△CBA.
师:根据题意,你知道那些相等的条件?
学生观察后回答:AD和BC相等.
师:△ADC中AC边与△CBA的哪条边对应?
生:CA边.
师:它们相等吗?
生:相等,因为它们是公共边.
师:很好!那还有什么相等条件呢?
生:由AD∥BC得到∠DAC=∠BCA.
师:依据什么?
生:两直线平行,内错角相等.
师:对.这样,我们就找到了证明三角形全等的条件,用边角边的判定方法就能判定△ADC和△CBA全等了.21世纪教育网版权所有
教师板书证明过程.
证明:∵AD∥BC,(已知)
∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行,内错角相等)
在△ADC和△CBA中,
∵
∴△ACD≌△CBA.(SAS)
四、课堂小结
师:今天你们学习了什么新的知识?
生:用“边角边”的判定方法判定两个三角形全等.
师:你们有什么不懂的地方吗?
学生提出疑问,老师解答.
教学反思
本节课所讲的“边角边”的判定方法是探索三角形全等的判定方法之一,是后面几种判定方法的基础,也是本章的重点和难点.教材中的内容看似简单,仔细研究后才发现对八年级的学生来说有些困难,处理不好可能难以成功.备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形得到三角全等的方法这个环节,课上通过让学生动手操作和学生相互交流验证很好地解决了本节课的教学任务.21cnjy.com
第2课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形
教学目标
【知识与技能】
1.探索全等三角形的“角边角”的判定方法.
2.能运用“角边角”的判定方法进行三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手画图、实验来理解和掌握“角边角”的判定方法.
2.通过“角边角”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生观察生活中的问题,使学生感受全等三角形在现实中的应用价值,通过自主学习发展学生的创新意识和能力.21世纪教育网版权所有
2.在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.www.21-cn-jy.com
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“角边角”的判定方法.
【难点】
“角边角”的判定方法的探究过程.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们学习了判定两个三角形全等的第一个定理,你还记得它的内容吗?
生:记得.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“边角边”或“SAS”.
师:很好!除了这个定理我们还有没有其他的方法来判定两个三角形全等?这一节课我们进一步研究判定两个三角形全等的问题.2·1·c·n·j·y
二、共同探究、获取新知
师:请同学们任意作一个三角ABC,然后作一个三角形A'B'C',使∠B'=
∠B,B'C'=BC,∠C'=∠C.
学生交流讨论,教师参与.
教师边操作边讲解:
(1)作线段B'C'=BC;
(2)在B'C'的同侧,分别以B'、C'为顶点作∠MB'C'=∠B,∠NC'B'=∠C,B'M与C'N交于点A',则△A'B'C'就是所求作的三角形.21cnjy.com
学生作图后比较两个图的大小.
生:△A'B'C'和△ABC重合.
师:重合说明了这样作出的△A'B'C'和△ABC是全等的.
师生共同得到结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.
三、讲解例题,加深理解
教师多媒体出示:
【例1】 已知:如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B之间的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再过点D作BF的垂DE,使点A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长等于AB的长,请说明理由.21·cn·jy·com
学生思考讨论.
师:这道题与上节课讲解到的例1类似.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体纠正.
解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,(已知)
∴∠ABC=∠EDC=90°.(垂直的定义)
又∵BC=CD,(已知)
∠ACB=∠ECD,(对顶角相等)
∴△ABC≌△EDC.(SAS)
∴AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
【例2】 已知:如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:DB=CB.
师:同学们思考一下,然后我提问.
学生交流讨论.
师:要证DB=CB,应证出什么?
生:先证△ABC≌△ACB.
师:怎样证呢?有哪些相等的条件?用什么判定方法?
生甲:∠1和∠2相等是已知的.
生乙:AB=AB是公共边,∠3和∠4相等.
生丙:根据等角的补角相等可以得到∠ABD=∠ABC.
师:大家分析得很好.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:∵∠ABD与∠3互为邻补角,∠ABC与∠4互为邻补角(已知),
又∵∠3=∠4,(已知)
∴∠ABD=∠ABC.(等角的补角相等)
在△ADB与△ACB中,
∵
∴△ADB≌△ACB.(ASA)
∴DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
四、课堂小结
师:今天你学到了什么知识?你有什么收获?
学生回答.
师:你还有什么疑惑的地方?
学生提出问题,教师解答.
教学反思
学生有了“边角边公理”的探究经历,本课的探究活动就能很顺利地展开了.我的教学意图是:根据要求能唯一的作出一个三角形,能够作为判定三角形全等的条件.在今天的教学中,我设计了一个作图题,让学生自己动手比较发现它们是重合的,得到边角的判定方法,加深他们对这个判定方法的理解和印象.21教育网
第3课时 三边分别相等的两个三角形
教学目标
【知识与技能】
1.探索全等全三角形的“边边边”的判定方法.
2.能运用“边边边”的判定方法进行三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手操作来理解和掌握“边边边”的判定方法.
2.通过“边边边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
通过带领学生观察生活中的问题,使学生感受全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.21教育网
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“边边边”的判定方法.
【难点】
“边边边”的判定方法的探究过程和书写格式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们学习了哪些判定两个三角形全等的定理?
生甲:边角边.
生乙:角边角.
生丙:角角边.
师:很好,这节课我们继续学习关于三角形全等的判定定理.
二、共同探究,获取新知
师:请大家任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'三边对应相等,即使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.21世纪教育网版权所有
学生作图,教师巡视指导.
师:你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
学生剪下业,比较是否全等.
生:全等.
让学生充分交流后,在教师的引导下通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等.
三、合作交流、深化理解
教师多媒体出示图:
师:我们为什么在预制的木门杠(或木窗杠)上加两根木条,晃动了的椅子腿与坐板间钉一根木条构三角形?
生:为了让它稳定、结实.
师:为什么这样就会稳定、结实呢?
生:这样就构成了三角形,三角形具有稳定性.
师:三角形为什么具有稳定性呢?
生:因为只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了.
师:同学们说得很好,根据“边边边定理”我们可以得到三角形具有稳定性.
教师演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的.
四、举例应用,加深理解
【例】 已知:如图所示,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
AB∥DE,AC∥DF.
学生思考、交流讨论.
师:要证AB∥DE,AC∥DF,最好用什么判定方法?
生:同位角相等,两直线平行.
师:具体是哪些角相等?
生:∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
师:你怎么证它们相等?
学生思索后回答:因为BE=CF,它们加上相同的一段EC后还是相等的.题中已知的还有两组对应边相等,由“边边边”可以判定这两个全等的.21cnjy.com
师:证出两个三角形全等后怎么证上面的两组对应角相等呢?
生:根据全等三角形的对应角相等得到.
师:同学们回答得很好.
教师板书解题过程.
证明:∵BE=CF,(已知)
∴BE+EC=CF+CE,(等式的性质)
即 BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵∴△ABC≌△DEF.(SSS)
∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥DE,AC∥DF.(同位角相等,两直线平行)
五、课堂小结
师:今天你又学习了什么新的知识?你还有什么疑问?
生甲:学习了“边边边”定理证明一些问题.
师:很好,大家这堂课收获不小.
教学反思
边边边公理,是三角形全等的判定方法之一.本课在教学时有一个难点就是利用“边边边”判定全等推理的书写格式.这个难点的处理中,间接条件要推理到直接条件,这在写两个三角形中的前面就要做好书写说明;直接条件直接写;隐含条件要挖掘.从本课的教学情况看,学生的前置学习还需指导,学生对课本上作图的操作撑握得不是很熟练,课堂上需要教者认真示范引领,教给学生的不只是尺规作图的方法,更是严谨认真的精神.
利用两角一边判定三角形全等
【知识与技能】
掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.
【过程与方法】
经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.2·1·c·n·j·y
【情感态度】
敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.
【教学重点】
理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.
【教学难点】
探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？
鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 教材探究4.
先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？【来源：21·世纪·教育·网】
要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.
把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.2-1-c-n-j-y
二、思考探究，获取新知
【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.
强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.
例1 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.
证明:△ABE和△ACD中,
∠B=∠C,
AB=AC,
∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴AD=AE.
【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.
如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.
【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.
例2 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.证明△ABC≌△DEF.
【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.21世纪教育网版权所有
上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.
【课堂练习】
如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？21·cn·jy·com
【答案】利用三角形全等得到DE=AB.
证明：在△ABC和△EDC中,
∠B=∠EDC=90°,
BC=DC,
∠ACB=∠ECD.
∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.
三、运用新知，深化理解
1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.21教育网
【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.
【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.21cnjy.com
(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.www.21-cn-jy.com
2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠EBD.又∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).
四、师生互动，课堂小结
1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.
3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.21·世纪*教育网
同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.www-2-1-cnjy-com
第5课时 两个直角三角形全等的判定
教学目标
【知识与技能】
1.探索“斜边、直角边”的判定方法.
2.能运用“斜边、直角边”的判定方法进行两个直角三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手画图操作来理解和掌握“斜边、直角边”的判定方法.
2.通过“斜边、直角边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生观察生活中的问题使学生感受全等三角形在现实中的应用价值,通过自主学习发展自身的创新意识和能力.【来源：21·世纪·教育·网】
2.在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握直角三角形“斜边、直角边”的判定方法.
【难点】
三角形全等的判定方法的综合运用.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们都学习了哪些判定两个三角形全等的方法?
生甲:边角边.
生乙:角边角.
生丙:角角边.
生丁:边边边.
师:其实,在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等,除了可以配成SAS、ASA、SSS外,还可以配成:AAA、SSA、AAS.21世纪教育网版权所有
教师板书:
SAS、ASA、AAS、SSS、AAA、SSA
师:当时我们举出说明了两边和其中一边的对角分别相等以及AAA不能判定两个三角形全等,现在如果其中一边对的角是直角的话,这两个三角表什么 全等吗?
学生思考,讨论.
师:如果给你两条边,并且说明了一边对的是直角,这个三角形是确定的吗?
学生画图操作后回答:是确定的.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
已知:Rt△ABC,其中∠C为直角.
求作:Rt△A'B'C',使∠C'为直角,A'C'=AC,A'B'=AB.学生讨论作法,老师参与.
教师多媒体出示:
作法:
(1)作∠MC'N=∠C=90°;
(2)在C'M上截取C'A'=CA;
(3)以A'为圆心、AB长为半径画弧,交C'N于B';
(4)连接A'B'.
学生作图.
师:请同学们将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠,看看它们是否完全重合?
学生操作.
生:重合.
师:由此你能得到什么结论?
生:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
师:对,我们把这个判定方法简记为“斜边、直角边”或“HL”.
三、举例应用,加深理解
教师多媒体出示:
【例1】 已知:如图所示,∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB.求证:AB=DC.
学生思考、交流讨论.
师:要证两个三角形的两条边相等,先证什么?
生:先证它们所在的三角形全等.
师:你怎么证它们全等呢?
生:由它们都有直角得到它们是直角三角形,已知了一组对应的直角相等.又有一组斜边相等,所以由“斜边、直角边”可以判定它们全等.www.21-cn-jy.com
师:很好!
老师找一名学生板演解题过程,其余学生在下面做,然后集体订正.
证明:∵∠BAC=∠CDB=90°,(已知)
∴△BAC、△CDB都是直角三角形.
又∵AC=DB,(已知)
BC=CB,(公共边)
∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL)
∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等)
师:我们一共学习了几种判定两个三角形全等的方法?
生:四种.
师:在实际应用中,问题会比较复杂,可能会用到两次甚至更多次的全等证明,所以大家要对这些方法深入理解,要能灵活运用.21cnjy.com
【例2】 已知:如图所示,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:BF=DE.
学生思考并交流讨论.
师:要证BF=DE,需先证什么?
生甲:△BCF≌△DAE.
生乙:△ABF≌△CDE.
师:同学们回答得很好.我们先来看△BCF≌△DAE的证明,已经有的与这个结论的证明有关的条件有哪些?2·1·c·n·j·y
生:BC=DA,AE=CF.
师:那我们还要加上一个什么条件就能证出两个三角形是全等的呢?
生甲:∠BCF=∠DAE,然后用边角边的判定方法判定.
生乙:BF=DE,然后用边边边的判定方法判定.
师:∠BCF=∠DAE可以,BF=DE不行,因为这是我们要证的最终结果,现在我们看怎么证∠BCF=∠DAE.这两个角除了分别是△BCF和△DAE的内角外,还是哪两个三角形的内角?
生:还分别是△BCA和△DAC的内角.
师:我们是不是可以证它们是全等的?
生:可以.
师:怎么证呢?
生:AB=CD,BC=DA是已知的,CA和AC是公共边,根据边边边的判定方法可以证出这两个三角形全等.21·世纪*教育网
师:很好,我们现在把这个过程从前到后梳理一下,先根据边边边来证△BCA和△DAC全等,再根据全等三角形的对应角相等证得∠BCF=∠DAE,然后加上BC=DA,CF=AE,用边角边的判定方法证出它们全等,然后根据全等三角形的对应边相等,得到BF=DE.
教师找一名学生板书过程,其余学生在下面写,然后集体订正.
证明:在△ABC和△CDA中,
∵
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等).
在△BCF与△DAE中,
∵
∴△BCF≌△DAE,(SAS)
∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)
四、练习新知,学以致用
教师多媒体出示:
【例3】 证明:全等三角形对应边上的高相等.
学生交流讨论,写出已知求证.
已知:如图所示.△ABC≌△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,求证:AD=A'D'.21教育网
教师找一名学生回答他解这道题的思路,再找一名学生补充完善.
教师找两名学生板演证明过程,然后教师和学生一起订正.
证明:∵△ABC≌△A'B'C'(已知)
∴AB=A'B',∠B=∠B'.(全等三角形的对应边,对应角相等)
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)
在△ABD与△A'B'D'中,
∵
∴△ABD≌△A'B'D',(AAS)
∴AD=A'D'.(全等三角形的对应边相等)
五、课堂小结
师:今天你又学习了什么新的知识?
学生回答.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
在学习了三角形全等的四种判定方法后,我详细讲解了例题,目的是要求学生掌握三角形全等的四种判定方法,学会分析三角形全等条件的探究和证明思路的寻求,培养学生的发散思维能力.在学生自主复习整理四个判定判定方法后,我安排了证明全等的思路探究,让学生讨论已知三角形的两个元素,还要知道什么元素来得到.在讨论四种情形(两组边、边角相邻、边角相对和两个角)后,小组讨论应寻找的第三个条件,这是培养学生发散思维的很好的手段,虽然耗时,但取得的教学效果很好.21·cn·jy·com
