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六年级
上册
第八单元
数与形
与
数
形
◇
游戏引入，初步感知规律
◇
借助正方形探究计算方法
◇
借助正方形探究计算方法
？
◇
知识提升探索发现
可以画个图来帮助思考。用一个圆或一条线段来表示“1”。
◇
知识提升探索发现
2
1
4
1
16
1
8
1
…
32
1
8
7
4
3
16
15
32
31
64
63
128
127
……
◇
知识提升探索发现
1
我是这样想的：
……
所以原式的结果是1。
1.基础练习
（1）
0.9+0.09+0.009+……=（
）
1
（2）
答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
小刚
小林
小强
小芳
小兵
2
4
3
1
2
2．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
用连线的方法试试。
请你来说说这节课有什么收获？
56789
632
1-2
4
3
6
8
小
小荡第二课时
数与形
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）六上第八
( http: / / www.21cnjy.com )单元第107页例2和练习二十二相关练习。本节内容的学习使学生能借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。为初高中学习方程组、函数、解析几何打下基础。
（二）核心能力
会用数形结合的思想，解决“
用形解决数”的这类问题。
（三）学习目标
1．在学习过程中探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2．在经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
（四）学习重点
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
（五）学习难点
借助数形之间的联系发现用“形”解决“数”的问题的方法。
（六）配套资源
实施资源：《数与形（例2）》教学课件
二、学习设计
（一）课前设计
1.预习任务
运用学过的画图方法解释下面算式的结果。
×
2÷
14×12
（a＋b） ＝a ＋2ab＋b
（二）课堂设计
1.
导入
同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）
【设计意图：直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。】
2.
问题探究
（1）游戏引入，初步感知规律
师：你知道＋等于多少吗？（学生：）
师：那＋＋等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。
师：只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍
( http: / / www.21cnjy.com )的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
学生出题。预设：
，
，
，
，
……
在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。
师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？
【设计意图：一方面，教师通过与学生比赛计算
( http: / / www.21cnjy.com )速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。】
（2）借助正方形探究计算方法
师：这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
①进行演示讲解。
演示＋：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。
师：想一想：正方形中表示＋的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（1－），也就是说＋＝1－。
②继续演示＋＋
师：谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书＋＋＝1－。
③演示＋＋＋
师：那么计算＋＋＋就可以得到？（1－）。
师：看到这儿，你发现什么规律了吗？
引导小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
师：这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
④尝试练习：
；
；
。
【设计意图：将复杂的数量运
( http: / / www.21cnjy.com )算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。】
（3）知识提升，探索发现
①感受极限。
师：刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？
学生自由发言。
师：这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）
师：想象一下，如果我们在刚才加的过程中
( http: / / www.21cnjy.com )在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？
（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）
②利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
师：书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
学生看书思考。
全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。
【设计意图：利用数与形的结合，让学
( http: / / www.21cnjy.com )生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。】
3．课堂总结
师：对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。
三、课时作业
1．基础练习。
（1）0.9＋0.09＋0.009＋……＝（
）
答案：1。
解析：
无数个数相加，和等于0.9999999……，就是1。【考查目标1、2】
（2）
答案：1。
解析：
……所以原式的结果是1。
【考查目标1、2】
2．小林、小强、小芳、小兵和小刚5
( http: / / www.21cnjy.com )人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
解析：本题用连线的方法比较直观，快捷。依据条
( http: / / www.21cnjy.com )件可知：小林已经下了4盘，说明小林和其他的四人每人下了一盘。从小兵下了1盘，可知他和小林下的，和其他三人没下。从小强下了三盘，可知他一盘和小林下，另外两盘和小刚、小芳下的。从小芳下了2盘，可知她已经和小林、小强下过了，不会和小刚下了。由此推断小刚只和小林、小强下了。【考查目标1、2】
