高中数学第一章集合与函数概念学案（打包29套）新人教A版必修1

1.1.1 集合的含义与表示
课堂导学
三点剖析
一、集合的概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由.
(1){R}=R;
(2)方程组的解集为{x=1,y=2};
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1};
(4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}.
思路分析：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型.处理此类问题关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法.
解：(1){R}=R是不正确的，R通常为R={x|x为实数}，即R本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合.
(2)方程组的解集为{x=1,y=2}是不对的,因为解集的元素是有序实数对(x,y)，正确答案应为{(x,y)|}={(1,2)}.
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1}是不正确的.
{x|y=x2-1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2-1}={x|x∈R}=R.
{y|y=x2-1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2-1}={y|y≥-1}.
{(x,y)|y=x2-1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2-1的图象上.
(4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}是正确的.
温馨提示
正确理解集合表示方法对以后的学习有极大帮助.特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{(x,y)|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么.
【例2】 已知a∈{1,-1,a2}，则a的值为______________________.
解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题.
∵a∈{1,-1,a2},
∴a可以等于1，-1，a2.
(1)当a=1时，集合则为{1，-1,1}，不符合集合元素的互异性.故a≠1.
(2)同上，a=-1时也不成立.
(3)a=a2时，得a=0或1，a=1不满足舍去，a=0时集合为{1,-1,0}.
综上，a=0.
答案：0
温馨提示
集合元素的互异性指集合中元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关.因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性.
二、运用集合的两种表示方法正确地表示集合
【例3】 用列举法表示下列集合.
(1){y|y=x2-2,x≤3,x∈N};
（2）{(x,y)|y=x2-2,x≤3,x∈N}.
思路分析：首先认准描述法所表示集合的代表元素，然后根据条件求其值，用列举法将集合中的元素不计次序、不重复、不遗漏地列出来.
解：(1)因为x≤3,x∈N，所以x=0,1,2,3.所以y=-2,-1,2,7.所以{y|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{-2，-1，2，7}.
（2）由上题可知，{（x,y）|y=x2-2,x≤3,x∈N}用列举法表示为{(0,-2),(1,-1),(2,2),(3,7)}.
温馨提示
列举法适合于表示集合是有限集，且元素个数较少，但有时也可表示无限集或个数较多的集合，如：{1，2，…，n,…}.
【例4】 用描述法表示下列集合.
（1）偶数集;
（2）{2，4，6，8};
（3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合.
解：（1）{x|x=2n,n∈Z}；
(2){x|x=2n,1≤n≤4,n∈Z}；
(3){(x,y)|x>0,且y>0}.
温馨提示
用描述法表示集合时，要弄清楚元素的特征，使其具有符合性质的都属于集合，不具有性质的不属于集合.
三、集合概念再理解
【例5】 判断以下对象的全体能否组成集合.
(1)高一·一班的身高大于1.75 m的学生；
(2)高一·一班的高个子学生.
思路分析：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合元素的确定性.
解：(1)高一·一班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学生可以组成集合.
(2)高一·一班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合.
温馨提示
判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可.
各个击破
类题演练1
(1) 下列命题是假命题的个数为_______________________.
①{1,2}={(1,2)} ②={x|x+1=1} ③解的集合为{(x,y)|x=2或y=-6}
④∈{x|x≤3} ⑤{P|PO=3 cm}(O是定点)表示圆
解析：①②③为假命题.
答案：3
(2)判断下列表示能否视为集合表示：
①{1,2,3,…}；
②{s=t2+1}；
③{正方形}.
解析:①不是集合表示.若用列举法表示无限集,应将元素间的规律表示出来.此集合可表示为{1，2，3，…n,…}.
②不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么.
③不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么，应写为{x|x是正方形}.
(3)可以表示方程组的解集的是__________________.
①{x=2,y=1} ②{(x,y)|(2,1)} ③{2,1} ④{(2,1)} ⑤{(x,y)|x=2或y=1}⑥{(x,y)|x=2且y=1} ⑦{(x,y)|}
答案:④⑥⑦
变式提升1
实数{3，x,x2-2x}中的元素x应满足的条件为：______________________________
解析：由集合元素的互异性可知x≠-1且x≠0且x≠3.
类题演练2
集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},a∈R,b∈R.若A=B，求a2006+b2006的值.
解析:由题目条件得解得∴a2006+b2006=1.
变式提升2
已知集合A={x∈R|ax2+2x+a=0,a∈R}中只有一个元素，求a的值，并求这个元素.
解析：由于A={x∈R|ax2+2x+a=0,a∈R}只有一个元素，
因此，有两种情况.
(1)a=0时，ax2+2x+a=0变为x=0,A={x|x=0}满足条件.
(2)a≠0时，ax2+2x+a=0有相等实根，即Δ=4-4a2=0,得a=±1.
a=1时，A={x∈R|x2+2x+1=0}={x|x=-1};
a=-1时，A={x=R|x2-2x+1=0}={x|x=1}.
综上知，a=0时，A={x|x=0}；
a=1时，A={x|x=-1};
a=-1时，A={x|x=1}.
类题演练3
用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的非负偶数；
（2）方程（x-1）2(x-3)=0的解集；
（3）方程组的解集.
答案:（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{1，3}；（3）{（2，1）}.
变式提升3
(2006山东高考，1)定义集合运算：A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0，1}，B=（2，3），则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.6 C.12 D.18
解析：取x=0时，z=0,
取x=1时，z=6或12，
∴A⊙B={0，6，12}，
∴所求A⊙B的元素之和为18，选D.
答案：D
类题演练4
用描述法表示下列集合.
（1）所有正奇数组成的集合;
（2）坐标平面内x轴上的点组成的集合.
答案：（1）{x|x=2n-1,n∈N*}； (2){(x,y)|y=0}.
变式提升4
用适当的方法表示下列集合.
（1）由不等式x-3>2的所有解组成的集合;
（2）由方程组的所有解组成的集合;
（3）由小于10的非负奇数组成的集合.
解：（1）{x|x>5}; (2){(x,y)|}或{(2,3)}； (3){1,3,5,7,9}或{x|x=2n-1，1≤n≤5,n∈Z}.
类题演练5
以下说法的对象能组成集合的有____________________.
①所有的奇数 ②不小于-2的数 ③满足方程2x-y=0的解为坐标的点 ④很小的数 ⑤漂亮的花 ⑥不满足x+1=0的实数
解析：∵①②③⑥中描述的元素都具有确定性，能构成集合，而④⑤中描述的元素都不具有确定性，即无法判断一个元素是否属于集合，故不能构成集合.
答案：①②③⑥
变式提升5
已知满足“如果x∈A,则6-x∈A”的自然数x构成集合A.
(1)若A是一个单元素集，则A=_________________;
(2)若A有且只有两个元素，则A=_______________.
解析：（1）∵3∈A,则6-3∈A,∴A={3}； (2)∵2∈A,∴6-2∈A,∴A={2,4}.
同理A={0，6}或{1，5}.
答案：（1）{3} （2）{2，4} {0，6} {1，5}
1.1.2 集合间的基本关系
课堂导学
三点剖析
一、集合间的关系
【例1】 判断下列各式是否正确.
(1){x|x≤2};
(2)∈{x|x≤2};
(3){}{x|x≤2};
(4)∈{x|x≤2};
(5){x|x≤2};
(6){a,b,c,d}{e,f,b,d,g}.
思路分析：要注意元素与集合之间、集合与集合之间关系符号的不同，绝对不能混淆.
解：根据元素与集合、集合与集合之间的有关规定，(1)(4)(6)不正确，(2)(3)(5)正确.
温馨提示
一般来说，元素与集合之间应该用“”或“∈”；而“，”应该出现于集合与集合之间；作为特殊集合应遵从A，A(非空).但这不是绝对的，选择的关键在于具体分析二者的关系.例{1,2}∈{{1,2},{1}}，而∈{,1},{,1}都是对的.
二、运用集合间的关系解题
【例2】 {a,b}A{a,b,c,d,e},求所有满足条件的集合A.
思路分析：从子集、真子集的概念着手解答.
解：因为{a,b}A,所以，A中必有元素a,b.
因为，A是{a,b,c,d,e}的真子集，所以，A中元素可以有2个，3个，4个三种情形.具体为：{a,b};{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,b,c,d};{a,b,c,e};{a,b,d,e}共7个.
温馨提示
1.按顺序摆，做到不重不漏.
2.正确地把集合语言表述的问题“翻译”成普通数学语言.
【例3】 集合A={1,3,a},B={a2},且BA，求实数a的取值集合.
思路分析：在利用BA这一条件时要注意对a进行讨论.
解：由于B={a2}A={1,3,a},
因此，①a2=1,得a=1(不合题意舍去)或a=-1;
②a2=3得a=±；
③a2=a得a=1(不合题意舍去)或a=0.
综上，实数a的取值集合为{-1,,-,0}.
温馨提示
1.分类讨论思想是很重要的思想方法，注意掌握分类方法；
2.在解决集合的元素问题时，最后结论要注意检验元素是否具备互异性.
三、元素与集合之间、集合与集合之间的关系再讨论
【例4】 已知集合A={a,b},B={x|x∈A,}C={x|xA},试判断A、B、C之间的关系.
解：集合B中的代表元素是x,x满足的条件是x∈A,因此x=a或x=b,即B={a,b}=A,而集合C则不然，集合C的代表元素虽然也是x，但x代表的是集合，xA,因此，x={a}或x={b}或x={a,b}或x= ,即C={，{a},{b},{a,b}}，此时集合C中的元素是集合，故BC,A∈C.
∴A=B,BC,A∈C.
温馨提示
对于元素与集合、集合与集合之间的∈、关系要理解透彻，“∈”是用于描述元素与集合之间的关系，即只要元素a是构成集合A的一个元素，则a∈A，如{1}与{{1}，{2}}，尽管{1}是一个集合，但是{1}是构成集合{{1}，{2}}的一个元素，故{1}∈{{1}，{2}}，“”是用于描述集合与集合之间的关系，如{1，2，3}{1,2,3,4}.
各个击破
类题演练1
下列各式中，正确的个数是（ ）
①={0} ②{0} ③∈{0} ④0={0}⑤0∈{0} ⑥{1,2}{1,2}
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个
解析：正确命题有②⑤⑥.
答案：C
变式提升1
在以下五个写法中，写法正确的个数有（ ）
①{0}∈{0,1,2} ②{0} ③{0,1,2}{1,2,0} ④0∈ ⑤1∈{x|x{1,2}}
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：①集合与集合之间应用，或=而不是属于关系.②空集是任何非空集合的真子集.③两集合相等时也可以写成AB的形式.④中不含任何元素.⑤此集合的元素是集合而不是数字.故②和③是正确的.
答案：B
类题演练2
求满足条件{x|x2+1=0}M{x|x2-1=0}的集合M的个数.
解析：{x|x2-1=0}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}.所以满足条件
{x|x2-1=0}M{x|x2-1=0}的集合M共3个.
变式提升2
集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},试写出该集合的所有真子集.
解析：由集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},x∈N,则x=-y2+6≥0y2≤6.
又因为y∈N，所以y=0,1,2，相应地x=6,5,2.
集合为{2,5，6}，其真子集个数为23-1=7个.
分别写出为,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}.
类题演练3
已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且AB,求a的值.
解析：∵BA，∴①当a2-a+1=3时，a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.
②当a2-a+1=a时，a=1,代入A中不满足A中元素互异性，舍去.∴a=2或a=-1.
变式提升3
设A={x|4x+p<0},B={x|x<-1或x>2},若使AB,则p的取值范围是________________.
解析：A={x|4x+p<0}={x|x<-}画数轴，
分析得-≤-1,∴p≥4.
类题演练4
集合A={（x,y）x=1}与B={（x,y）|y=x}的关系是（ ）
A.A=B B.AB C.AB D.AB
解析:注意=1与y=x这两个式子是不同的，前者只有x≠0时才有意义，故A中少一个点（0，0），因此AB.
答案：B
变式提升4
已知a、x∈R,A={2，4，x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},求使2∈B，BA的a与x的值.
解析：∵2∈B,∴x2+ax+a=2.
∵BA,∴3=x2-5x+9.
解得或
答案：或
1.1.3 集合的基本运算
课堂导学
三点剖析
一、交集、并集、补集的概念与运算
【例1】 若全集U={x|x≤9,x∈N*},M={1,7,8},P={2,3,5,7},S={1,4,7},则(M∪P)∩(S)
=__________________.
解析：U={x|x≤9,x∈N*}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(M∪P)∩(S)={2,3,5,8}.
答案：{2,3，5,8}
温馨提示
1.进行集合运算应首先要弄清楚各集合是由什么元素构成的，然后再根据交集、并集、补集的概念进行运算.
2.集合间的包含关系的判断及集合的运算一般使用韦恩图.
【例2】 已知全集U=R，A={x|-4A.A∩B B.A∪B C.(A∩B) D.(A∪B)
解析：利用数轴解决有关不等式的数集运算是最有效的工具，借助数轴易得A∩B=，A∪B={x|x<},所以C=(A∪B).
答案：D
温馨提示
数集的运算一般使用数轴.
二、交集与并集的概念符号之间的区别与联系
【例3】 已知A={y|y=x2-2,x∈R},B={y|y=x,x∈R}.求A∩B，A∪B.
思路分析：本题注重考查集合概念及运算，其中集合中的元素y的本质是许多同学认识不足的，它其实是函数的因变量，集合为函数因变量的取值集合.
解：A={y|y=x2-2,x∈R}={y|y≥-2},B={y|y=x}=R,则A∩B={y|y≥-2},A∪B=R.
温馨提示
1.对于描述法给出的集合，要抓住竖线前的代表元素及它具有的性质再进行运算.
2.本题中的两个集合都是数集，且是每个函数的函数值构成的集合.
三、集合运算性质的运用
【例4】 集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A，则a能取到的所有值的集合为_
______________.
解析：处理此类问题有两处值得同学们注意，一是明确A∪B=ABA；二是B={x|ax=2}≠{x|x=}，要注意对a是否为0进行讨论.
A={x|x2-3x+2=0}={1,2},A∪B=ABA.因此集合B只能为单元素集或.
当B={1}时，即1∈B={x|ax-2=0},得a=2;
同理，当B={2}时，得a=1;
当B=时，即ax=2无解，得a=0.
综上，a能取到的值所组成的集合为{0,1，2}.
答案：{0,1，2}
温馨提示
1.A∪B=ABA,A∩B=AAB两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当AB时，往往需要按A=和A≠两种情况分类讨论，而这一点却很容易被忽视.如本题中由BA应分B=和B≠两种情况考虑，尽管本题中B=不适合题意，但也不要遗漏这种情况.
2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.
各个击破
类题演练1
设全集U=N，P={2n|n∈N},Q={x|x=4n,n∈N},则N可以表示为（ ）
A.P∩Q B.(P)∪Q C.P∪(Q) D.(P)∪(Q)
解析：Q如图所示的阴影部分，∴P∪Q=N.
答案：C
变式提升1
设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|,9},A={5,7},则a的值是（ ）
A.2 B.8 C.-2或8 D.2或8
解析：∵由条件得|a-5|=3，
∴a=2或8.
答案：D
类题演练2
已知全集U=R，集合A={x|x<1或x>2}，集合B={x|x<-3或x≥1},求A,B,A∩B,A∪B.
解析：借助于数轴，由右图可知A={x|x≥1且x≤2}={x|1≤x≤2};B={x|x≥-3且x<1}
={x|-3≤x<1};
A∩B={x|x<1或x>2}∩{x|x<-3或x≥1}={x|x<-3或x>2};A∪B={x|x<1或x>2}∪{x|x<-3或x≥1}=R.
变式提升2
集合M={x|-1≤x≤2},N={x|x-a≥0},若M∩N≠，则实数a的取值范围是_____________.
解析：由图示可知a≤2.
答案：a≤2
类题演练3
已知A={y∈N|y=x2-4x+10},B={y∈N|y=-x2-2x+12},求A∩B.
解析：∵A={y|y≥6,y∈N},B={y|y≤13,y∈N},
∴A∩B={y∈N|6≤y≤13}.
答案：{y|6≤y≤13,y∈N}
变式提升3
(2006江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C,则一定有（ ）
A.AC B.CA C.A≠C D.A=
解析：画出韦恩图可知A成立.
答案：A
类题演练4
若集合P={1，2，3，m}，Q={m2,3},满足P∩Q=Q，求m的值.
解析：∵P∩Q=Q,∴QP,
∴m2=1或m2=2或m2=m,解得m=±1或±或0.
经检验m=1时，不满足集合P中元素的互异性，∴m=-1或±或0.
答案：-1或±或0
变式提升4
设集合M={x|x<3},N={x|x>-2},Q={x|x-a≥0},令P=M∩N.
(1)求集合P；
(2)若PQ，求实数a的取值范围；
(3)若P∩Q={x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；
(4)若P∩Q=，求实数a的取值范围.
解析：(1)P=M∩N={x|x<3}∩{x|x>-2}={x|-2 〔利用数轴作为工具分别对(2)(3)(4)进行分析，注意对端点处进行讨论〕
(2)当a<-2时，满足题意；
当a=-2时，Q={x|x≥-2}，也有PQ.
所以a≤-2.
(3)由于a是可变的实数，因此，若P∩Q={x|0≤x≤3}，从数轴上观察，a能且只能取0，所以a=0.
(4)若要P∩Q=，通过数轴观察知，当a>3时，P∩Q=；当a=3时，Q={x|x-3≥0}={x|x≥3},P∩Q={x|-21.1 集合
互动课堂
疏导引导
1.1.1　集合的含义与表示?
1.集合的含义?
一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.?
疑难疏引
（1）集合是数学中最原始的概念之一，无法给出它的定义只能作描述性说明.?
（2）集合中元素的特征.确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准；互异性是指给定的一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素，这一点常被我们所忽略；无序性是指在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序之分.
●案例1
下列对象：①方程x2－9=0的实数根;②我国近代著名的数学家;③联合国常任理事国;④空气中密度大的气体，能否构成集合？?
【探究】 研究对象能否构成集合的问题一般主要考查集合元素的确定性.①③中的研究对象显然符合确定性；②中“著名”没有明确的界限；④中“密度大”的程度没有明确的界限.因而①③能构成集合，②④不能.?
【溯源】 判断命题是否构成集合最重要的标志就是看其所叙述对象是否具有确定性，即对所叙述对象进行描述的特征词语是否具有共性标准.?
●案例2
当x为何值时，｛0，x，x2－x｝不能表示一个数集？
【探究】 问题的知识依托是集合中元素的互异性，即同一集合中的元素必须是互不相同的.｛0，x，x2－x｝能否表示一个数集，关键在于它是否具备集合元素的三个特征，在这里，只要看它是否满足互异性，即要使｛0，x，x2－x｝不表示一个数集，只需x=0或x2-x=0或x2-x=x，即x=0或x=1或x=2.
【溯源】 判断一组对象能否构成一个集合，关键是看这组对象是否同时具备集合元素的三个特征.考查该知识点的问题分正向和逆向思维两个角度，其解决问题的基础还是正确理解三个特征要求.
2.元素和集合的关系
疑难疏引
(1)元素和集合的关系是∈和，二者有且只有一种成立.集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．辩证理解集合和元素这两个概念：（2）集合和元素是两个不同的概念，符号∈和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的，而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法就是正确的．
●案例3
设集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a+b与A、B的关系.
【探究】 首先看到a+b是元素，A、B是集合.∴a+b与A、B的关系应该是∈、的关系.∵a∈A，∴a=2k1（k1∈Z）.
又∵b∈B，∴b=2k2+1（k2∈Z）.∴a+b=2（k1+k2）+1.
∵k1+k2∈Z，∴a+b∈B，从而a+bA.
【溯源】 理解一个集合的意义重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形.
3．常用的数集及其记法
(1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集，记作N.
(2)所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N *或N +.?
(3)全体整数组成的集合称为整数集，记作Z.
(4)全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.?
(5)全体实数组成的集合称为实数集，记作R.?
准确记忆常用数集的符号表示，特别注意Z +、N +等拓展符号表示的集合特征以及数0的归属问题.
4．集合的表示方法?
列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，在大括号内表示集合的方法；
图示法：Venn图法，采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合.如用Venn图表示为 或 或.?
疑难疏引
（1）在使用列举法时应注意以下四点：①元素间用逗号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含元素较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律呈现出来后，才能用省略号表示，如｛1，2，3，…，n｝，｛1，3，5，7，9，…｝.
（2）在使用描述法时应注意以下几点：①写清元素代号；②说清集合中元素的特性；③文?字表述多层次时，应当准确使用“且”“或”；④所有描述的内容都写在集合括号内；⑤语?句力求简明、确切，字句逐一说明.
（3）图示法表示集合的图形的形状、大小与集合的性质没有任何关系，它仅仅把集合中的元素都包括在内，从而体现“整体”.Venn图可直观地表示集合，帮助我们理解、分析问题，但不能作为严密的数学工具使用.
（4）列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意：一般无限集时，不宜采用列举法，因为不能将无限集中元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定.但要注意，有时为了方便，在不引起混淆的情况下，也把具有明显特征的无限集用列举法表示：如N={0，1，2，3，…}等.?
●案例4
下列两个集合：（1）A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}；（2）A={x|x2－6x－7=0}，B={(x,y)|有什么关系？
【探究】 要确定一个集合，必须从这个集合中的元素入手，只有确定了这个集合中元素的特征，才可以确定这个集合.对于问题中给出的两个集合中的元素，可以发现：一个是数，一个是实数对（点）.即（1）集合A是一个点集，是函数y=x2图象上的点的集合；集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素显然是不同的.（2）进一步化简两个集合可以得到：A={－1，7}，B={（－1，7）}.集合A、B分别是方程、方程组解的集合，但A中有两个元素－1，7，而B中只有一个元素（－1，7）.
【溯源】 两个集合相同，要求两个集合中的元素都要相同，元素相同就要求元素的种类、属性和数量都要相同.要注意：集合中元素个数较少时采用数形结合的思想进行解析和理解，更容易抓住概念的本质.同时对数集和点集用列举法表示要格外重视区别，还要注意到用描述法表示数集和点集对元素特征的描述也是完全不同的.
1.1.2　集合间的基本关系?
子集
（1）对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），则称集合A为集合B的子集，记作AB或BA，读作：A含于B或B包含A.
（2）对于两个集合A与B，如果集合中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们说集合A与集合B相等，记作A=B.(也可以说当集合A与B的元素完全相同时，则A＝B)?
（3）对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作AB.
（4）对于集合A与B，若AB，BC，则AC；任何一个集合是它本身的子集；是任何集合的子集,任何非空集合的真子集.
（５）子集的有关性质?
①A=BAB且BA.?
②AB，BCAC；AB，BCAC.
疑难疏引
(1)一个集合的子集的个数仅与这个集合的元素的个数有关.含n个元素的集合的子集数为2n个，非空子集数为2n－1个，真子集数为2n－1个，非空真子集数为2n－2个.
(２)两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．同时还要注意分类讨论思想的应用，做到不重不漏.
1.1.3　集合的基本运算
1.交集、并集、补集的概念
（1）一般地，由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.?
（2）由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B.
（3）一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
（4）对于一个集合A，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作UA.
2.交集、并集、补集的性质
（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A.
（2）A∩BA，A∩BB，A∪BA，A∪BB.
（3）A∩B=AAB，A∪B=ABA.
（4）A∩UA =，A∪UA =U.
（5）德·摩根律?
UA（A∩B）=UA∪UB，U（A∪B）=UA∩UB.
疑难疏引
1．用数学的三种语言互译表示全集与补集?
2．集合运算注意事项?
（1）处理集合运算问题时，要注意化简集合的表达式.如果集合中含有字母，要注意对字母分类讨论.
（2）在解决有关集合运算题目时，一要把握概念中的关键词，如“所有”“且”“或”；二要把握它们各自的实质；三要借助数轴，应用数形结合的思想.
（3）Venn图在集合中起到数形结合的作用，由图可以把一些不明确的数量关系直观地表现出来，起到化繁为简，化抽象为直观的作用.
（4）集合作为数学语言，已深刻地融入函数、方程、不等式、平面曲线、平面区域等有关知识之中，处理集合问题时，应充分综合运用有关的数学知识进行求解.?
（5）在学习子、交、并、补集的概念时，应注意对“任何一个”“都”“所有”“或”“且”等词的理解，“交集”是指两个集合中所有公共元素所组成的集合，忽略了“交集”概念中的“所有”两个字就会错误地认为“若A＝｛1，2，3｝，B＝｛2，3，4｝，A∩B＝｛2｝”.“并集”概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，生活用语中的“或”一般是或此或彼，必具其一，不兼有，“并集”概念中的“或”是可兼有的，但不必须兼有.记忆口诀：?
集合平时很常用，数学概念有不同.?
理解集合并不难，三个要素是关键.?
元素确定和互异，还有无序要牢记.?
集合不论空不空，总有子集在其中.?
集合用图很方便，子交并补很明显.?
●案例1
若集合U＝｛x｜1＜x≤7｝，A＝｛x｜2≤x＜5｝，B=｛x｜3≤x＜7｝.如何求解（1）（UA）∩（UB）；（2）U（A∪B）；（3）（UA）∪（UB）；（4）U（A∩B）呢？
【探究】 首先把题目给出的集合（数集）在数轴上正确表示出来，在正确识别题目给出的集合符号后就可以得出结果.先在数轴上分别表示出集合U、A、B，再求出A∩B=｛x｜3≤x＜5｝，A∪B=｛x｜2≤x＜7｝，UA＝｛x｜1＜x＜2或5≤x≤7｝，UB=｛x｜1＜x＜3或x＝7｝，于是得（1）（UA）∩（UB）=｛x｜1＜x＜2或x=7｝；（2）UU（A∪B）=｛x｜1＜x＜2或x=7｝；（3）（UA）∪（UB）=｛x｜1＜x＜3或5≤x≤7｝；（4）U（A∩B）=｛x｜1＜x＜3或5≤x≤7｝.
【溯源】 对于有关集合运算的问题，如果题目给出的集合是无限数集，可以结合数轴来帮助解决；如果给出的集合是有限集合，可以借助Venn图帮助解决问题，另外，涉及补集的运算时，我们要注意运用德·摩根律简化运算.?
●案例2
以集合的子、交、并、补为载体，求解参数问题有哪些注意事项??
比如：已知集合A=｛x｜－2≤x≤5｝，B=｛x｜m＋1≤x≤2m－1｝，若A∪B=A，求实数m的取值范围.
【探究】 问题考查集合间的运算关系及分类讨论的数学思想.由A∪B=A得到BA，然后分B=和B≠两种情况讨论.?
由A∪B=ABA.可以得到：
（1）若B=，即m＋1＞2m－1，
∴m＜2.?
此时A∪B=A∪=A成立.
（2）若B≠而且BA，则2≤m≤3.
综上所述，m的取值范围为m≤3.?
【溯源】 在求解参数类型问题时要注意以下几点：?
①A∪B=ABA；
②BA中包含有B=的情况；
③字母问题要注意分类讨论和数形结合.一般参数求值问题要先弄清集合间关系，注意代入验证方法的应用，同时注意二次方程中根与系数关系的应用.
●案例3
某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；
（2）不乘电车的人数；
（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；
（5）只乘一种车的人数.
　　【探究】 本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化为集合语言，借助于?Venn?图的直观性把它表示出来，设只乘电车的人数为x，不乘车的人数为y，乘车的人数为z，不乘电车的人数为u，只乘一种车的人数为v，如图所示，可得x=84－18=66(人)，y=120－84=36(人)，z=84+32－18=98(人)，u=120－98=22(人)，v=（84－18）+（32－18）=80(人).
【溯源】 实际问题在遇到一人能承担多种任务的“全能”情况时，正好是集合中交集的完美体现，此时借助交集性质数形结合，问题迎刃而解.
活学巧用
1. 下列所给对象不能构成集合的是(　　)?
A.一个平面内的所有点
B.所有小于零的正数
C.某校高一（4）班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
【思路解析】 因为A、B、D中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而C中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合,若将C中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集合.
【答案】 C
2. 已知－3∈{a－3，2a－3，a2－4},求a.?
【思路解析】 已知集合中的三个元素都含有未知数，且都具有不确定性，故不能确定－3就是其中的哪一个，应根据分类讨论的思想进行逐一计算.?
【答案】 若－3=a－3，即a=0.
当a=0时，2a－3=－3，即不符合元素的互异性，?
∴a=0（舍）；若－3=2a－3a=0，同理舍掉；若a2－4=－3，即a=±1.当a=1时，集合为{?－2，－1，－3}；当a=－1时，集合为{－4，－5，－3}，∴a=±1.
3. 含有三个实数的集合可表示为{a,,1}，又可表示为{a2,a+b,0}，则a 2 003-b 2 004=_______.
【思路解析】 考查集合元素的确定性、互异性、无序性.
由得a≠0，又集合中元素有0,所以b=0，得a+b=a.?
所以只能a2=1得a=±1.?
又由元素互异性a≠1,所以a=-1.?
a 2 003-b 2 004=(-1) 2 003+0 2 004=-1.?
【答案】 -1
4. 已知集合A=｛x｜x=m＋n，m、n∈Z｝，判断下列元素x与集合A的关系：（1）x=；（2）x=x1＋x2（其中x1∈A，x2∈A）.
【思路解析】 本题考查元素与集合的关系.判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性即将x值试着写成m＋n的形式，若m、n是整数，便可完成判定，若无法表示成上式或m、n不为整数，则x不为集合中元素.?
【答案】 （1）x==3+2，即m=，n=1，其中Z，∴A.
（2）∵x1、x2∈A，设x1=m1＋n1，x2=m2＋n2（m1、m2、n1、n2∈Z），则x1＋x2=（m1＋m2）＋（n1＋n2），由m1＋m2∈Z，n1＋n2∈Z，
∴x1＋x2∈A.
5. 给出下面几个关系式：∈R，0.3∈Q，0∈N，0∈｛0｝，0∈N *，∈N *，－πZ，-5Z，其中正确的关系式的个数是(　　)
?A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7??
【思路解析】 注意常用数集的字母表示.?
【答案】 ?A
6. 下面有四个命题：①集合N中的最小元素为1；②方程（x－1）3（x+2）（x－5）=0的解集含有3个元素；③0∈；④满足1＋x＞x的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是(　　)
?A.0　　B.1　　C.2　　D.3??
【思路解析】 集合N表示自然数集，最小的自然数是0，故①不对；据集合中元素的互异性知方程（x－1）3（x+2）（x－5）=0有3个不同的解：1、－2、5，所以②对；空集不含有任何元素，1＋x＞x表示x可以为任意实数，因此③错，④对，故选C.
【答案】 C
7. 用适当的形式表示下列对象构成的集合.(1)比3大5的数；(2)11以内的质数；(3)x2－5x+6=0的解；(4)函数y=x2+4图象上的点.
【思路解析】 对于一个集合用特征性质即描述法表示还是列举法表示，从理论上讲都可以，但有些可能很不方便，因此要结合具体问题选择合理的表示方法.
【答案】 (1)列举法：{8}；描述法：{x|x－3=5}.(2)列举法：{2，3，5，7}；描述法：{11以内的质数}.(3)列举法：｛2，3｝；描述法：{x|x2－5x+6=0}.(4)描述法：{（x，y）|y=x2+4}.
8. 设集合A={x｜∈Z，x∈N}，试用列举法表示集合.
【思路解析】 由∈Z，知3－x必为6的因数，遍取6的诸因数，再验证x∈N即可.
【答案】 ∵∈Z，∴3－x可取±1、±2、±3、±6.
又x∈N，∴A={1，2，4，5，6，9}.
9. 下面三个集合：
①{x|y=x2+1}；②{y|y=x2+1}；③{（x，y）|y=x2+1}.
（1）它们是不是相同的集合？?
（2）它们各自的含义是什么？?
【思路解析】 此题考查集合的概念，判断集合是不是相同，要看集合的元素是不是相同.
【答案】 （1）不是相同的集合.
（2）集合①是函数y=x2+1的自变量x所允许值所组成的集合，因为x可以取任意实数，所以{x|y=x2+1}=R.
集合②是函数y=x2+1的所有函数值y组成的集合，由二次函数图象知，y≥1，所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.
集合③是函数y=x2+1图象上的所有点的坐标组成的集合.如下图所示：?
10. 已知集合P={0,1,2,3,4},Q={x|x=ab,a、b∈P,a≠b},用列举法求集合Q.?
【思路解析】 集合Q中的元素是集合P中任意两个元素积,结合元素互异性要求,不同的积有0,2,3,4,6,8,12.
【答案】 Q={0,2,3,4,6,8,12}.
11. 下列说法正确的是(　　)?
①任意集合必有子集　②空集是任意集合的真子集　③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集　④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则B是A的子集?
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.①②③④
【思路解析】 此题考查子集的性质，并需要注意空集的特殊性.
（1）任意集合都是自身的子集，因此①正确.（2）空集是任意非空集合的真子集，因此②不正确.（3）集合子集的性质具有传递性，因此③正确.（4）可利用文氏图进行思路解析，④正确.
【答案】 B
12. 已知集合A={0，2，3，4}，B={0，1，2，3}，非空集合M满足MA且MB，则满足条件的集合M的个数为 …(　　)
A.7
B.8
C.15
D.16
【思路解析】 MA且MB，则M（A∩B）=N={0，2，3}，进而求出集合N的非空子集为23－1=7（个）.
【答案】 A
13. 设集合A={x，x2，xy}，B={1，x，y}，且A=B，求实数x、y的值.
【思路解析】 注意到A、B中都有x，∵A=B，∴A、B中剩余两元素应分别对应相等，但需分类讨论，注意集合中元素的互异性的检验.
【答案】 ∵A=B，
∴或解得或或或当x=1，y∈R时，A=B={1，1，y}，不满足集合中元素的互异性，∴舍去.当x=－1，y=0时，A=B={－1，1，0}，适合.
当x=y=1时,A=B={1，1，1}，不满足集合中元素的互异性，∴舍去.
综上，知x=－1，y=0.
14.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α、β.集合A={α,β}, B={2,4,5,6}, C={1,2,3,4}, A∩C=A,A∩B=,求p、q的值.
【思路解析】 由A∩C=A知AC.
又A={α,β}，则α∈C,β∈C.而A∩B=,故αB,βB.
显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.
不妨设α=1,β=3.对于方程x2+px+q=0的两根α、β应用韦达定理可得p=-4,q=3.
【答案】 p=-4,q=3.
15.已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足IA∩IB={1,9}，A∩B={2}，IA∩B={4,6,8}，求集合A、B.
【思路解析】 本题主要考查的是全集、补集以及交集之间的运算,方法可采用韦恩图法.?
【答案】 ?
所以A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.
16.已知全集U={不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩（UB）={5，13，23}，A∪（UB）={2，3，5，7，13，17，23}，（UA）∩（UB）={3，7}，则A=?　　　，B=　　　　.
【思路解析】 U={不大于30的质数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23}，而（UA）∩（UB）=U（A∪B），画出韦恩图，标出三个集合A∩（UB），A∪（UB），U（A∪B），易得A∩B={2，17}.?
∴A={2，5，13，17，23}，?B=?{2，11，17，19，29}.?
【答案】 {2，5，13，17，23}　{2，11，17，19，29}
17. 已知A={2，4，a3－2a2－a+7}，B={－4，a+3，a2－2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}.
（1）求实数a的值；
（2）求A∪B.
【思路解析】 利用A∩B={2，5}确定集合元素的取值是本题的关键.?
【答案】 由题意知，a3－2a2－a+7=5，解之得a=－1，1，2.?
当a=－1，1时，A={2，4，5}，B={－4，2，4，5}或{－4，1，4，12}，这与已知A∩B={2，5}矛盾；当a=2时，符合题意，故a=2.
此时A∪B={2，4，5}∪{－4，2，5，25}={－4，2，4，5，25}.
18. 已知A＝｛x｜x2+x-6＝0｝,B＝｛x｜mx+1＝0｝，且B∪A＝A，求实数m的取值范围.
【思路解析】 问题错在对集合B考虑的不全面，B＝｛x｜mx+1＝0｝代表方程mx+1＝0的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B＝，这种情况又恰恰满足B∪A＝A的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+1＝0会无解；其二是忽略了A∪B＝ABA及是任何集合的子集.?
【答案】 ∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3,2｝,且B＝｛x｜mx+1＝0｝，B∪A＝A，
∴B＝｛-3｝，B＝｛2｝或B＝，即-3m+1＝0，2m+1＝0，或m＝0.
故实数m∈｛,-，0｝.
19. 2005年寒假，小明为完成社会实践作业，对某校大学生进行调查，结果如下：电脑拥有率为49%，手机拥有率为85%，MP3拥有率为44%，拥有上述三种物品中两种的占38%，三种物品齐全的占25%，那么三种物品中一种也没有的大学生比例为(　　)?
A.10% B.12%
C.15% D.27%??
【思路解析】 韦恩图如下图所示，设调查了100名大学生.?
I={被调查的100名大学生}，
M={100名学生中拥有电脑的学生}，
S={100名学生中拥有手机的学生}，
P={100名学生中拥有MP3的学生}，
　　要求I（M∪P∪S）的元素个数，根据已知条件，先求集合M∪P∪S中元素的个数较容易.由图形知M∪P∪S的元素个数为49+85+44－38－2×25=90.?
∴I（M∪P∪S）的元素个数为10.故选A.
【答案】 A
20. 已知A=｛x｜x2＋px－12=0｝，B=｛x｜x2＋qx＋r=0｝，且A≠B，若A∪B=｛－3，4｝，A∩B=｛－3｝，求实数p、q、r的值.
【思路解析】 本题考查集合的交、并运算，可结合方程的根与集合的关系，从两集合有公共元素－3入手，再利用A∪B=｛－3，4｝，求出所有参数.?
【答案】 由已知－3∈A且－3∈B.
把x=－3代入方程x2＋px－12=0，得9－3p－12=0，解得p=－1.于是可得集合A=｛－3，4｝.
又A∪B=｛－3，4｝=A，所以BA，而已知A≠B，
所以BA.由－3∈B可知B=｛－3｝，即方程x2＋qx＋r=0有两个相等的实数根－3，由根与系数的关系得解得q=6，r=9.
故p=－1，q=6，r=9.
21.已知全集S={x||x|<8,x∈N}，A、B是S的子集，若①(SA)∪(SB)={0,1,2,4,5,6,7}；②(SA)葿={2,6}；③(SB)∩A={1,7}．求满足上述条件的集合A、B.
【思路解析】 由①知S(A∩B)={0,1,2,4,5,6,7},
∴A∩B={3},即3∈A，且3∈B;
由②知,2∈B,6∈B，但2A,6A;?
由③知，1∈A,7∈A,但1B,7B.?
∴A={1,3,7},B={2,3,6}.
【说明】 另可借助韦恩图直观推理分析．
【答案】 A={1,3,7},B={2,3,6}.
1.1 集合
知识导学
集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解.
元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.
集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.
要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.
在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.
在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.
习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.
子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:AB或BA,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:A?B或B?A.
子集的有关性质:
①A=BAB且BA.
②AB,BCAC;AB,BCAC.
③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1个,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.
三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.
如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.
一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).
另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).ABAB
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
(card(A)表示有限集合A元素的个数)
交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;
①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;
②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为,同时结合集合的一些特征去理解.
补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是.
记忆口诀:
集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.
图1-1-4
疑难导析
列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.
描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};
②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};
③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.
当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.
明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和,二者有且只有一种成立.
对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.
问题导思
教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.
使用描述法时,应注意六点:
①写清集合中元素的代号;
②说明该集合中元素的性质;
③不能出现未被说明的字母;
④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;
⑤所有描述的内容都要写在大括号内;
⑥用于描述的语句力求简明、确切.
用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.
补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.
典题导考
绿色通道
集合中的元素是确定的,某一元素a要么a∈A,要么aA,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.
典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )
①方程x2-9=0的实数根
②我国近代著名的数学家
③联合国常任理事国
④空气中密度大的气体
A.①② B.①④ C.①②④ D.②④
答案:D
黑色陷阱
在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.
典题变式
1.下列说法正确的是( )
①任意集合必有子集
②1,0.5,,组成的集合有四个元素
③若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A是集合C的子集
④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B,则B是A的子集
A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①②③④
答案:B
2.下面六种表示法:
①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.
能正确表示方程组的解集的是( )
A.①②③④⑤⑥ B.①②④⑤ C.②⑤ D.②⑤⑥
答案:C
黑色陷阱
在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等.
典题变式 用列举法表示下列集合:
(1){自然数中五个最小的完全平方数};
(2){x|(x-1) 2 (x-2)=0};
(3){(x,y)|}.
答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}.
黑色陷阱
对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.
典题变式已知全集I=R,集合A={x|x2+ax+12b=0},B={x|x2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a、b的值.
答案:a=,b=-.
绿色通道
集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.
典题变式
已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M满足MA且MB,则满足条件的集合M的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
答案:A
绿色通道
此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.
典题变式设集合A={A|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p、q、x∈R,当A∩B={}时,求p的值和A∪B.
答案:p=-,A∪B={-1, ,2}.
黑色陷阱
本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠,且A∩C=知3∈A.把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0,得9-3a+a2-19=0.解得a=5或a=-2.
这里由条件推知3∈A,进而推出a的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.
典题变式 已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在a,使A、B满足下列三个条件:①A≠B;②A∪B=B;③(A∩B).若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案:不存在实数a,使得满足条件.
黑色陷阱
本题容易出现以下错误:由A∩B≠,知方程组有解,即方程3x2-ax+15-b=0有解.
∴Δ=a2-4×3×(15-b)=a2+12b-180≥0. ①
由(a,b)∈C,得144≥a2+b2. ②
(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)
①+②,得a2+12b-36≥a2+b2,
即(b-6) 2≤0b=6.
把b=6代入①,得a2≥108;
把b=6代入②,得a2≤108.
∴a2=108,即a=±6.
故存在实数a、b满足条件.
典题变式 方程x2-ax+b=0的两根为α、β,方程x2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u∈M,υ∈M,u≠υ},P={x|x=uυ,u∈M,υ∈M,u≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a、b、c.
答案:b=10,a=7,c=21.
1.1 集合
课堂探究
探究一 判断元素与集合的关系
1．判断一个元素是不是某个集合的元素，对于用描述法给出的集合，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征；对于用列举法给出的集合，只需观察即可．
2．符号“∈”和“?”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合间的关系，这一点要特别注意．
【典型例题1】 用符号“∈”或“?”填空：
(1)2__________{x|x<},3__________{x|－5≤x≤2，x∈Z}；
(2)4__________{x|x＝n2＋1，n∈Z},5__________{x|x＝n2＋1，n∈Z}；
(3)(－1,1)__________{y|y＝x2}，(－1,1)__________{(x，y)|y＝x2}．
解析：(1)因为22<()2，
所以2∈{x|x<}．
因为{x|－5≤x≤2，x∈Z}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，
所以3?{x|－5≤x≤2，x∈Z}．
(2)令4＝n2＋1，则n＝±?Z，
所以4?{x|x＝n2＋1，n∈Z}．
令5＝n2＋1，则n＝±2∈Z，
所以5∈{x|x＝n2＋1，n∈Z}．
(3)集合{y|y＝x2}的代表元素是数，集合{(x，y)|y＝x2}的代表元素是实数对，且1＝(－1)2，
所以(－1,1)?{y|y＝x2}，(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．
答案：(1)∈　?　(2)?　∈　(3)?　∈
探究二 集合元素特性的应用
利用集合元素的特性解答问题，主要是利用集合元素的确定性与互异性：
(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否能形成集合的标准．
(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．简单地说，一个集合中不能出现相同的元素．
【典型例题2】 (1)下列叙述：
①著名的数学家；
②某校2013年在校的所有高个子同学；
③不超过20的非负数；
④2013年度诺贝尔文学奖获得者．
其中能构成集合的是__________．(填序号)
(2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
(1)解析：①②所述的对象都没有明确的标准，故都不能构成集合；③④所述的对象都有确定的标准，即给定一个对象都能确定是否属于该范畴，故③④所述对象能构成集合．
答案：③④
(2)解：∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
规律小结根据已知条件求集合问题中的参数值时，要进行检验，不仅要检验是否满足题目的条件，还要检验集合的元素是否满足互异性．
探究三 集合的表示
表示一个集合通常用列举法或描述法：
(1)列举法：
①对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．
②用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用“、”隔开；元素不能重复；不考虑元素顺序．
(2)描述法：
①对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将元素一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．
②使用描述法时，还应注意以下几点：
弄清楚集合的属性，是数集、点集，还是其他类型的集合．一般地，数集中的元素用一个字母表示，而点集中的元素则用一个有序实数对来表示．描述元素的共同特征时，若出现了元素记号以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
【典型例题3】 用适当的方法表示下列集合．
(1)BRICS中的所有字母组成的集合；
(2)方程组的解集；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；
(4)坐标平面内坐标轴上的点集．
思路分析：先根据题意确定符合条件的元素，再根据元素情况选择适当的表示方法．
解：(1)用列举法表示为{B，R，I，C，S}．
(2)由得
故方程组的解集用列举法表示为{(1,1)}．
(3)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以或或或
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．
(4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
探究四 易错辨析
易错点　集合中元素的互异性
【典型例题4】 用列举法写出关于x的方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
错解：由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a，则解集为{1，a}．
错因分析：错解中没有注意到a是参数，使方程的解集具有不确定性．为了保证集合中元素的互异性，写出解集时要对a进行分类讨论．
正解：由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则解集为{1}；
若a≠1，则解集为{1，a}．
反思对于用列举法表示的集合，若其中的元素用字母表示，要注意满足集合中元素的互异性．
1.1 集合
预习导航
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．
2．掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“?”来表示．
3．掌握列举法和描述法，会选择不同的方法表示集合，记住常用数集的符号.
一、集合的概念
名师点拨 集合中元素的性质：
(1)确定性：指的是给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了，即某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一；
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有先后之分．
二、元素与集合的关系
特别提醒符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
三、集合的表示
自主思考1 什么样的集合可以用列举法来表示？
提示：对于元素个数很少或元素存在明显规律的集合可用列举法表示．
自主思考2 在描述法中，表示这个集合元素的一般符号不同，但竖线后的条件一样，那么这样的集合还相同吗？如A＝{x|y＝}，B＝{(x，y)|y＝}．
提示：一般地，这样两个集合是不相同的，如集合A＝{x|y＝}表示集合{x|x≥1}，而集合B＝{(x，y)|y＝}表示二元方程y＝的解组成的集合或是函数y＝图象上所有点组成的集合．
自主思考3 用列举法与描述法表示集合的区别是什么？
提示：
列举法
描述法
一般形式
{a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
适用范围
有限集或规律性较强的无限集
有限集、无限集均可
特点
直观、明了
抽象、概括
1.1 集合
课堂探究
探究一 补集的运算
1．补集符号?UA的三层含义：
(1)?UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A?U；
(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
2．求补集的方法：
求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．也常利用Venn图或数轴求解．
【典型例题1】 (1)设全集U＝{n|n是小于10的正整数}，A＝{n|n是3的倍数，n∈U}，求?UA；
(2)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3解：(1)∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
A＝{3,6,9}，
∴?UA＝{1,2,4,5,7,8}．
(2)∵A＝{x|x≥－3}，
∴?UA＝?RA＝{x|x<－3}．
又∵B＝{x|－3∴?UB＝{x|x≤－3，或x>2}．
画数轴如图：
显然，?UA?UB.
方法技巧在利用数轴解答集合的运算问题时，要特别注意端点值能否取得．在数轴上表示集合时，点的实(心)空(心)要分清，这样有利于准确解答问题．
探究二 交集、并集、补集的综合运算
交集、并集、补集的综合运算主要有两种情况：
(1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并、补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)对于无限集，常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交、并、补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题．
【典型例题2】 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)．
思路分析：由于U，A，B均为无限集，所求问题是集合间的交集、并集、补集运算，故考虑借助数轴求解．
解：将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
方法一：(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}．
方法二：∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)
＝{x|1≤x≤3}．
探究三 补集思想的应用
有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓解题思路．
【典型例题3】 已知集合A＝{x|x>a＋5，或x解：当A∩B＝?时，如图所示，
则
解得－1≤a≤2.
即当A∩B＝?时，实数a的取值集合为M＝{a|－1≤a≤2}．而当A∩B≠?时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集．
故当A∩B≠?时，实数a的取值范围为{a|a<－1，或a>2}．
探究四易错辨析
易错点　忽略检验或考虑不全面
【典型例题4】 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
错解：∵?UA＝{5}，
∴5∈U，且5?A，
∴a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，
解得a＝2或a＝－4，即实数a的值是2或－4.
正解：∵?UA＝{5}，
∴5∈U，且5?A，且|2a－1|＝3.
解得a＝2，
即a的取值是2.
1.1 集合
预习导航
1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系．
3．在具体情境中，了解空集的含义及其性质.
一、Venn图
二、子集
名师点拨 “∈”与“?”表示元素与集合之间的关系，开口仅指向右，对着集合；“?”与“?”表示两个集合间的关系，开口可以向右，也可以向左．子集定义可表示为：任意x∈A，都有x∈B?A?B.
三、集合相等
四、真子集
自然语言
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集
符号语言
AB(或BA)
图形语言
名师点拨 若AB，则A中的元素都是B的元素，且B中元素比A中元素至少多一个．
五、性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC.
六、空集
自主思考1能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？
提示：不能．这是因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B成立，所以上述理解是错误的．
自主思考2?就是0，或?就是{0}吗？
提示：两种说法均是错误的，?是不含任何元素的集合，概念中强调了两点：“不含任何元素”“集合”．(1)0是一个数，而非集合，故?不是0；(2){0}表示集合，且集合中有且仅有一个元素0，是非空集合，故{0}与?含义不同，所以?不是{0}．
特别提醒在写一个集合的子集与真子集时，不要忘记?；当题目中给出条件“A?B”时，要注意集合A可以是?.
1.2.1 函数及其表示
课堂导学
三点剖析
一、函数的概念
【例1】 下列对应是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N=R+(正实数组成的集合)，f:x→y=
C.M={x|x≥0},N=R,f:x→y2=x
D.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=x2
思路分析：本题主要考查函数的定义.
解：A.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，故该对应不是从M到N的函数.B.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，该对应f:M→N不是函数.C.对于M中的任一元素如x=4，通过对应法则f:x→y2=x得到N中有两个元素±2与之对应，故f:x→y2=x不是从M到N的函数.
答案：D
温馨提示
判断一个对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内任一个值，通过给出的对应法则，y是否有且只有一个元素与之对应.
【例2】 下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ）
A.y=x-1,y= B.y=,y=
C.y=2,y= D.y=1,y=x0
解析：y=x-1与y==|x-1|的对应法则不同；y=的定义域为［1,+∞)，y=的定义域为(1,+∞)，两函数的定义域不同；y=1的定义域为R，y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，两函数定义域不同；y=2与y=是两相等的函数，所以图象相同.选C.
答案：C
温馨提示
1.定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项不同，两个函数就不相等.由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，只要判断定义域与对应关系是否相同即可.
2.判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是求函数的定义域必须通过原函数解析式去求.
二、求函数解析式、定义域
【例3】如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域.
思路分析：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数.若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此只需用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式.
解：由题意可知，每一个腰长x都能对应唯一的周长值y，因此周长y是腰长x的函数.
如上图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD=BC=x,作DE⊥AE，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2=AE·AB,即AE=.
∴CD=AB-2AE=2R-.
∴周长y满足关系式
y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R，
即周长y和腰长x间的函数关系式y=-+2x+4R.
∵ABCD是圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0，即解不等式组，得函数y的定义域为{x|0温馨提示
该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形.
【例4】求下列函数的定义域.
(1)y=;(2)y=;(3)y=++.
思路分析：具体函数即有具体解析式的函数的定义域是求使解析式有意义的x取值集合，其求法通常是转化为求不等式组的解集，实际问题还要注意符合实际意义.
解：要使函数解析式有意义，
(1)≥0或≥2或x<-2.
所以函数定义域为{x|x≥2或x<-2}(或(-∞,-2)∪［2,+∞］).
(2)x≥-1且x≠2,
所以函数定义域为{x|x≥-1且x≠2}.
(3)-4≤x≤0且x≠-3，
所以函数定义域为{x|-4≤x≤0且x≠-3}.
温馨提示
1.当函数用解析式给出时，求函数的定义域，要把所有制约自变量取值的条件找出来，然后归结为解不等式（组）的问题，在解不等式时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值的取舍.
2.求函数定义域之前，尽量不要对函数解析式作变形，以免引起定义域的变化.
3.已和函数f(x)的定义域为［a,b］，则函数f［g(x)］的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的取值范围；一般地，函数f［g(x)］的定义域是［a,b］,指的是x∈［a,b］,要求f(x)的定义域，就是求x∈［a,b］时，g(x)的值域.
三、求函数的值域
【例5】 已知函数f(x)=,求：
(1)f(),f();(2)f(x)+f();(3)f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()+…+f(2 005)+f().
思路分析：y=f(x)的涵义是指自变量x通过对应关系求对应函数值y=f(x).该题则指x对应的函数值通过而获得，无论谁处于自变量的位置上，不管是，还是，都充当自变量角色，通过对应法则而得到所求的函数值.
解：由于f(x)=,
(1)f()==,f()==.
(2)f(x)+f()=+==1.
(3)由(2)可得f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 005)+f()=+=2 004+=2 004.5.
温馨提示
1.求函数值时，要正确理解对应法则“f”和“g”的含义.
2.求f［g(x)］时，一般遵循先里后外的原则，先求g(x),然后将f(x)解析式中的x代换为g(x),同时要注意函数的定义域.
【例6】已知函数y=x2-4x-5,求:
（1）x∈R时的函数值域；
（2）x∈{-1,0,1,2,3,4}时的值域；
（3）x∈［-2,1］时的值域.
思路分析：函数值域是由定义域与对应关系所确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则，二次函数的特定区间求值域值得关注.
解：（1）x∈R,y=x2-4x-5=(x-2)2-9,值域为［-9,+∞］.
（2）当x=-1时，y=(-1)2-4×(-1)-5=0;
当x=0时，y=-5;
当x=1时，y=12-4×1-5=-8;
当x=2时，y=22-4×2-5=-9;
当x=3时，y=32-4×3-5=-8;
当x=4时，y=42-4×4-5=-5.
∴当x∈{-1,0,1,2,3,4}时函数y=x2-4x-5的值域为{0，-5，-8，-9}.
（3）∵y=x2-4x-5的图象如图所示，当x∈［-2,1］时的图象如图所示，由二次函数的性质可知函数y=x2-4x+5在x∈［-2,1］上的最小值为ymin=12-4×1-5=-8,最大值为ymax=(-2)2-4×(-2)-5=7.
∴其值域为［-8，7］.
温馨提示
1.求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则.
2.求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域.
各个击破
类题演练1
下列关系中确定是函数关系吗？
（1）L=2πR，其中R表示圆的半径，L表示圆的周长；
（2）S=S0+vt，其中S表示物体运动的距离，t表示运动时间，S0表示初始距离，v表示匀速常数；
（3）A={x|x≥0,x∈R},B=R，从集合A到集合B的对应关系是“求平方根”.
答案：（1）（2）是函数关系，（3）不是函数关系.
变式提升1
下列图象可以作为函数y=f(x)图象的是（ ）
解析：对于B，给x一个值，y可能没有元素与之对应或有两个元素与之对应；对于C，给x一个值，y可能没有或有两个元素与之对应；对于D，当x=0时，y有两个值与之对应，故选A.
答案：A
类题演练2
下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.f(x)=x,g(x)=()2 B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1
C.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2 D.f(x)=,g(x)=x+1
解析：A.定义域不同，C.对应关系不同，D.定义域不同.
答案：B
变式提升2
下列各小题中的两个函数是否表示同一函数.
(1)y=·与y=；
(2)y=·与y=.
解析：（1）y=·的定义域为即x≥1;而的定义域为x2-1≥0，即x≥1或x≤-1,可见定义域不同，故不表示同一函数.
(2)y=·的定义域为-1≤x≤1;y=的定义域为-1≤x≤1;且·=,故对应关系相同，定义域相同，表示同一函数.
类题演练3
用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如右图），若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.
解析：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB=2x,宽为a.则有2x+2a+πx=l,即a=-x-x,半圆的直径为2x，半径为x,所以y=+(-x-x)·2x=-(2+)x2+lx.根据实际意义知-x-x>0,解得x>0且x<,即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是0变式提升3
如右图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1，∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD位于N，记AM=x,试将梯形ABCD于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域，画出函数的图象.
解：过B、C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH=，AG=，当M位于H左侧时，AM=x,MN=x.
∴y=S△AMN=x·x=x2(0≤x<).
当M位于H、G之间时，
y=AH·BH+HM·MN
=··+（x-）·
=x-（≤x<）.
当M位于G、D之间时，y=S梯形ABCD-S△MDN
=··（2+1）-·（2-x）(2-x)
=-x2+2x-(≤x≤2).
∴所求函数的关系式为

函数的图象如右图所示，函数的定义域为［0，2］，函数的值域为［0，］.
类题演练4
求下列函数的定义域：
（1）y=;
(2)y=+.
解：（1）令
故函数的定义域为
{x|x<0且x≠-1}.
(2)令
故函数的定义域为
{x|-≤x≤}且x≠±.
变式提升4
(1)若函数f(x)的定义域是［0,1］，则函数f(2x)+f(x+)的定义域为______________.
解析：此类函数没有具体的解析式，由f(x)的定义域已知,那么f(2x)中的2x与f(x+)中的x+处在自变量位置上就要满足f(x)的条件要求.
∵f(x)的定义域是［0,1］，∴f(2x)+f(x+)中的x必须满足
0≤x≤.
因此所求函数定义域为［0,］.
答案：［0,］
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为［0,1），求f(1-3x)的定义域.
解析：f(2x-1)的定义域为［0,1］，即0≤x<1,∴-1≤2x-1<1.∴f(x)的定义域为［-1，1］，
即-1≤1-3x<1,0类题演练5
已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
（2）求f［g(2)］的值；
（3）求f［g(x)］的解析式.
解：(1)f(2)==,g(2)=22+2=6.
(2)f［g(2)］=f(6)==.
(3)f［g(x)］=f(x2+2)==.
变式提升5
(1)已知f(x)=求f［f()］=______________.
解析：f［g()］=f(1)=0.
答案：0
(2)已知：f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g［f(x)］=x2+x+1,求a的值.
解析：∵g［f(x)］=g(2x+a)
=［(2x+a)2+3］
=x2+ax+(a2+3)，
又∵g［f(x)］=x2+x+1，
∴∴a=1.
类题演练6
已知函数y=x2+2.
(1)求x∈{x||x|≤2,x∈Z}时的函数的值域;
（2）x∈［-1,2］时的函数的值域.
解析：（1）{2，3，6}.
（2）∵由函数图象可得ymin=f(0)=2,ymax=f(2)=6.
∴所求值域为［2，6］.
答案：（1）{2，3，6} （2）［2，6］
变式提升6
求函数y=x2-4x+5在x∈［m,6］时的值域.
解析：（1）当2≤m<6时，其图象如右图所示, 由二次函数的性质可得
ymin=f(m)=m2-4m+5.
ymax=f(6)=62-4×6+5=17.
∴原函数的值域为［m2-4m+5,17］.
(2)当-2≤m≤2时，
f(x)min=1,f(x)max=f(6)=17,
∴值域为［1，17］.
(3)当m<-2时，f(x)min=f(2)=1,
f(x)max=f(m)=m2-4m+5,
∴其值域为［1，m2-4m+5］.
1.2.2 函数的表示法
课堂导学
三点剖析
一、函数的三种表示方法
【例1】 作出下列函数的图象：
（1）y=2-x,x∈Z;
（2）y=2x2-3x-2(x>0);
（3）y=
思路分析：作函数图象主要有两种思路：①利用列表描点法，②转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.
解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x上.如图1所示.
图1
（2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.
图2
(3)这个图象是由两部分组成的，当x≥1时，为双曲线y=的一部分，当x<1时，为抛物线y=x2的一部分，如图3所示.
图3
温馨提示
1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.
2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.
【例2】 由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.
思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a≠0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.
解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
因此3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=ax+5a+b=2x+17,则得
即故函数解析式为f(x)=2x+7.
温馨提示
求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.
二、根据已知关系,写出函数的解析式
【例3】 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如右图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.
思路分析：由于P点在折线BCDA上位置不同时，△ABP各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数.
解：如上图，当点P在线段BC上时，即0 当P点在线段CD上时，即4 当P点在线段DA上时，即8 ∴y=f(x)=
且f(x)的定义域是(0,12).
温馨提示
分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.
【例4】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(2)已知f(x)满足af(x)+f()=ax(x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1),求f(x).
解：(1)解法一：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.
解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,
∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1的表达式.
(2)∵af(x)+f()=ax,将原式中的x与互换得af()+f(x)=,
于是得关于f(x)的方程组：

解得f(x)=(a≠±1).
温馨提示
本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f()的方程，因而才能解出f(x).
三、映射的概念
【例5】 下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？
(1)设M=R，N=R，对应关系f:y=,x∈M;
(2)设M={平面上的点}，N={(x,y)|x,y∈R}，对应关系f:M中的元素对应它在平面上的坐标；
(3)设M={高一年级全体同学}，N={0,1}，对应关系f:M中的男生对应1，女生对应0;
(4)设M=R，N=R，对应关系f(x)=2x2+1,x∈M;
(5)设M={1,4，9}，N={-1,1，-2,2，3，-3}，对应关系：M中的元素开平方.
思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M、N都是非空数集，且从M到N构成映射时，才能确定构成从M到N的函数；不是映射的，更不可能构成函数.
解：(1)M中的0在N中没有元素与之对应，从M到N的对应构不成映射.
(2)(3)都符合映射定义，能构成从M到N的映射，但由于M不是非空数集，因此构不成函数.
(4)从M到N的对应既能构成映射，又能构成函数.
(5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射.
温馨提示
1.映射概念中的两个集合A、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、B必须是非空数集.
2.A到B的映射与B到A的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误.
各个击破
类题演练1
作出下列函数的图象.
(1)y=x,|x|≤1;
(2)y=1-x,x∈Z且|x|≤2;
(3)y=;
解：(1)此函数图象是直线y=x的一部分.
(2)此函数的定义域为{-2，-1，0，1，2}，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线y=1-x上.(这样的点叫做整点)
（3）先求定义域，在定义域上化简函数式y==x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).如下图所示.
变式提升1
设［x］是不超过x的最大整数，作下列函数的图象.
(1)f(x)=［x］;
(2)h(x)=x-［x］,x∈［-2,2］.
解：(1)f(x)=［x］=n(n≤x f(x)=n(n≤x ∴f(x)=［x］的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在x轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A）.
(2)h(x)=x-［x］ x∈［-2,2］化为
h(x)=
h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图（B）.
图（A）
图（B）
类题演练2
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解析：①设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=［a(x+1)2+b(x+1)+c］-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.
由已知f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.所以解得a=1,b=-1.
故f(x)=x2-x+1.
变式提升2
求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数的图象，然后解之.
解:
作出函数图象如右上图,由图象可知x=0时,ymax=2.
类题演练3
国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.
（1）试根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；
（2）某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？
答案：（1）
（2）3 800
变式提升3
某商场因拆迁将库存的原价100元/套的时装50套作减价处理，规定：不超过5件按八五折(即原价的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折.
（1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？
（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？
答案：（1）y=
（2）y=
类题演练4
如果f()=,则f(x)=____________.
解法一:∵f()===,∴f(x)=.
解法二：设t=,则x=,
代入f()=,
得f(t)==,
故f(x)=.
变式提升4
已知f()=+,求f(x).
解法一：∵f()=+
=()2-+=()2-=()2-+1,
∴f(x)=x2-x+1.
解法二：设=u,
则x=,u≠1.
则f(u)=f()=+=1++=1+(u-1)2+(u-1).
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
温馨提示
解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f”是怎样的对应规律.
类题演练5
（1）下列对应是从A到B的函数的是（ ）
①A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y2=x ②A=N,B={-1,1},f:x→(-1)x ③A={三角形}，B={圆}，f:三角形→三角形的外接圆 ④A=R,B=R,f:x→y=x3
A.②④ B.② C.④ D.①②④
答案：A
（2）f:A→B是集合A到集合B的映射，A=B={(x,y)|x∈R，y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b)，若B中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），则k=_____________,b=______________.
解析：由
答案：2 1
变式提升5
已知集合A={a|a<5,a∈N}到集合B的对应法则是“乘3加2”，集合B到集合C的对应法则是“求算术平方根”.
（1）试写出集合A到集合C的对应法则f;
（2）求集合C；
（3）集合A到集合C的对应是映射吗？
解析：（1）设x∈A,y∈B,z∈C,依题意y=3x+2,z=,∴z=,
∴从集合A到集合C的对应法则是f:x→z=.
（2）∵A={a|a<5,a∈N}={0,1,2,3,4},
∴C={,,2,,}.
(3)因为对于集合A内任一元素x在集合C中都有唯一的一个元素z与之对应，所以A到C的对应法则f是A到C的映射.
1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导
1.2.1　函数的概念?
1.函数的定义?
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集.
疑难疏引 函数概念的正确理解：
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝|x|，与f(x)＝x2是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.?
函数符号y＝f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.
（4）值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
2.函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.?
疑难疏引 核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.
3．区间的概念?
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］.
（2）满足不等式a（3）满足不等式a≤x疑难疏引 无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.
●案例1
下列各题中的两个函数表示同一个函数的是?(　　)
A. f（x）＝x，g（x）＝
B. f（n）＝2n＋1（n∈Z），g（n）＝2n－1（n∈Z）?
C. f（x）＝x－2，g（t）＝t－2?
D. f（x）＝，g（x）＝1＋x
【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同；B中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D中两函数的定义域不同.C符合.
【溯源】 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.
若判断两个函数不是同一个函数，只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数.
4.函数的定义域
函数定义域是函数y=f(x)自变量x的取值范围.
疑难疏引 （1）定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(x∈R)与y=x2(x>0)；y=1与y=x0.
(2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围.
(3)常见函数定义域类型及求解策略：
如果给出具体解析式求定义域：一般首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
①解析式是整式的函数，其定义域为R；
②解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
③解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合.?
复合函数f［g(x)］的定义域和f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是x的取值范围，并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x的取值范围.?
如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合.?
●案例2
已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围.
【探究】 首先向不等式转化，在求m的取值范围时，由于m为二次项系数，∴要对其进行分类讨论；当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.
当m=0时,x∈R.
当m≠0时，即
解之，得0【溯源】 由定义域是R求参数的取值范围问题，首先转化成含参不等式恒成立，然后利用数形结合等方法列出相关条件，尤其注意在含x2项问题中要对其系数进行讨论.?
5.函数的解析式?
疑难疏引?
（1）在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样.?
（2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.
（3）符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
●案例3
已知函数f（x）=根据已知条件分别求出f（1），f（－3），f［f（－3）］，f｛f［f（－3）］｝的值.
【探究】 此函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.
答案：f（1）=12=1；f（－3）=0；f［f（－3）］=f（0）=1；f｛f［f（－3）］｝=f［f（0）］=f（1）=12=1.
【溯源】 深刻理解复合函数的概念，注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应，这类问题是历年高考的热点．
●案例4
已知函数f（x+1）=x2－1，x∈［－1，3］，求f（x）的表达式.?
【探究】 函数是一类特殊的对应，已知函数f（x+1）=x2－1，即知道了x+1被法则“处理”的结果是x2－1，如果知道x2－1是怎样由x+1演变得出的，也就知道f（x）的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一：（配凑法）∵f（x+1）=x2－1=（x+1）2－2（x+1），
∴f（x）=x2－2x.
又当x∈［－1，3］时，（x+1）∈［0，4］，∴f（x）=x2－2x，x∈［0，4］.
解法二：（换元法）令x+1=t，则x=t－1，且由x∈［－1，3］知t∈［0，4］，
∴由f（x+1）=x2－1，得f（t）=（t－1）2－1=t2－2t，t∈［0，4］.
∴f（x）=（x－1）2－1=x2－2x，x∈［0，4］.
【溯源】 已知函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式一般有两种方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.?
所谓“配凑法”即把已知的f［g（x）］配凑成关于g（x）的表达式，而后将g（x）全用x取代，化简得要求的f（x）的表达式；
所谓“换元法”即令已知的f［g（x）］中的g（x）=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f［g（x）］，化简成最简式.
需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f（x）的表达式后，都需要指出其定义域，而f（x）的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g（x）］中g（x）的范围一致，所以说求f（x）的定义域就是求函数g（x）的值域.?
●案例5
已知二次函数f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），求f（x）的表达式.
【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）；交点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a∈R且a≠0），其中x1、x2分别是f（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f（x）=a（x－m）2+n（a∈R且a≠0），（m，n）是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f（x），具体解法如下.
解法一：（待定系数法）由题意可设f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）.
∵f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），
∴解得
∴f（x）=x2－x+.
解法二：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f（x）=a（x－2）（x－6），a∈R且a≠0.∵f（x）的图象过点A（1，1），∴1=a（1－2）（1－6）.解得a=.
∴f（x）=（x－2）（x－6），即f（x）=x2－x+.
解法三：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象关于直线x=，即x=4对称.∴可设f（x）=a（x－4）2+m，其中a、m∈R且a≠0.又f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0），∴
∴解得
∴f（x）=（x－4）2－，即f（x）=x2－x+.
【溯源】 当知道了函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f（x）=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f（x）=，k为待定系数.
6．函数的值域
基本函数的值域：
（1）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.?
（2）反比例函数y=(k≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).?
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).?
当a>0时,值域为［,+∞);?
当a<0时,值域为(-∞,］.
常见函数值域的求解类型和方法：
(1)配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.
(2)函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,可用一个新的变量来替代根式,而根式外的x也可以用这个新的变量表示出来,这样就可将原函数表示成这个新变量的一个二次函数形.我们把这种求函数值域的方法叫做“换元法”，形如y=ax+d±(ab≠0)的函数均可用“换元法”求值域.需要注意的是换元后的变量的取值范围.
(3)形如y=(c≠0,bc≠ad)可以将其分解成一个常数与一个分式的和或差的形式,并且分式的变量x只在分母中,又因为反比例函数y=及其相应的形式y=的值域为{y|y≠0},所以这种函数的值域就是不等于此常数的所有实数.我们通常称这种求值域的方法为“分离常数法”.
(4)形如y=(a1、a2不同时为零)的函数,可把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.注意事项:函数定义域应为R(或有有限个断点)，分子、分母没有公因式.
●案例6
在求解下列函数的值域后，你能有什么启发吗？
（1）y=x2+4x-2,x∈R;?
（2）y=x2+4x-2,x∈［-5,0］;?
（3）y=x2+4x-2,x∈［-6,-3］;?
（4）y=x2+4x-2,x∈［0,2］.?
【探究】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各自函数的定义域都是不同的,应该通过“配方”借助于函数的图象来求其函数.?
（1）配方,得y=(x+2)2-6,由于x∈R,故当x=-2时,y min=-6,无最大值,所以值域是［-6,+∞).
（2）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-5,0］,所以当x=-2时,y min=-6,当x=-5时,ymax=3.
故函数的值域是［-6,3］.
（3）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-6,-3］,?
所以当x=-3时,y min=-5,当x=-6时,y max=10.?
故函数的值域是［-5,10］.
（4）配方,得y=(x+2)2-6,?
因为x∈［0,2］,所以当x=0时,y min=-2;?
当x=2时,y max=10.
故函数的值域是［-2,10］.
【溯源】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到的值域也不同,主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的,因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子.
1.2.2　函数的表示法?
1.函数的表示方法?
主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法．
（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.?
（2）列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.?
（3）图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.?
疑难疏引 用解析式表示函数关系的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点：有些函数很难用解析式表示.?
用列表法表示函数关系的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点：函数解析式的体现有时不明显.?
用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况，更能体现数形结合的思想.缺点：变量的值依赖于图象的精度，不利于精确计算.?
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽如人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.
●案例1
小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是(　　)
【探究】 首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D.
【溯源】 实际应用问题是高考考查的重点也是难点，解决此类问题要特别重视实际变量和函数变量之间的对应关系，尤其是图象题经常用直观感觉判断.
2.分段函数
疑难疏引 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数是一个函数，在画图象时必须分段画，尤其需注意特殊点，在解决这部分题目时要注意分段定义函数作为一个整体与构成它的局部之间的关系.主要是指根据定义域的分段而产生不同的函数关系式.
●案例2
用分段函数表示f(x)=|x-1|，并求f(0)、f(-2)、f(3)．
【探究】 函数f(x)=|x-1|是一个分段函数,欲求f(0)、f(-2)、f(3),只需观察0、-2、3这三个自变量对应的是此函数的哪一段,从而代入求值.?
【答案】 ∵f(x)=
∴f(0)=1，f(-2)=1-(-2)=3，f(3)=3-1=2.
【溯源】 求分段函数的有关函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.一般分段函数的问题经常画出函数的图象，应用图象特征解决问题.同时要注意分类讨论思想的应用.
2.映射的概念
映射f∶A→B的定义是：设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.?
疑难疏引
（1）映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.?
（2）映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.?
（3）映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.?
（4）映射允许集合B中存在的元素在A中没有元素与其对应.?
（5）映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.?
（6）函数是一种特殊的映射，定义域集合和函数值域集合都是非空的数集；但映射中的两个集合A和B可为任何集合，如人、物、数等.
●案例3
下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？?
（1）A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；?
（2）A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；?
（3）A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法则是“求平方根”；?
（4）A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.
【探究】 只有（1）是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应.
（2）不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象.?
（3）不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.
（4）不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.
【答案】 （1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是.
【溯源】 对于一个A到B的对应，A中的任何一个元素都对应B中的唯一一个元素，或A中的多个元素对应B中的一个元素，这样的对应都是映射，而A中的一个元素对应B中的多个元素的对应就不是映射.?
可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射.
活学巧用
1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)?
A. y=x－1和y=
B. y=x0和y=1?
C. f（x）=x2和g（x）=（x+1）2?
D. f（x）=和g（x）=
【思路解析】 看两个函数是否相同，主要看函数的定义域和对应法则.A选项中的两个函数定义域不相同；B选项中的两个函数的定义域也不同；C选项中的两个函数的解析式不同；只有D选项中的两个函数对应法则相同，定义域也相同.
【答案】 D
2. 下列各组函数是否表示同一个函数??
(1)f(x)=2x+1与g(x)=;
(2)f(x)=与g(x)=x-1;
(3)f(x)=|x-1|与g(t)=
(4)f(n)=2n-1(n∈Z)与g(n)=2n+1(n∈Z).
【思路解析】 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.?
【答案】 (1)g(x)=|2x+1|,f(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数.?
(2)f(x)=x-1(x≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数.?
(3)f(x)= f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数.
(4)f(n)与g(n)的对应关系不同,因此是不同的函数.
3. 在下列选项中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(　　)
【思路解析】 判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y，如果一个x对应两个以上的y，那么这个图象表示的就不是函数的图象.
A的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x的取值(如:x=0)有两个y与之对应，不符合函数的定义.因此A不正确；B的图象是关于x轴对称也不符合函数的定义.因此B也不正确；C的图象是关于原点对称，但是当自变量x=0时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.∴C选项也不正确；D表示的图象符合函数的定义，因此它表示的是函数的图象.因此选D.?
【答案】 D
4. 求下列函数的定义域：?
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝（x－1）0＋.
【思路解析】 给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使思路分析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.?
【答案】 （1）要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且x≠2}.
（2）要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|?x∈R且1≤x≤3}.
（3）要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
5. 若函数f(x+1)的定义域为［0，1］，则f(3x-1)的定义域为?　　　　　.?
【思路解析】 ∵0≤x≤1,
∴1≤x+1≤2.?
又∵f(x+1)和f(3x-1)在对应法则上有联系，
∴1≤3x-1≤2.?
∴≤x≤1,即f(3x-1)的定义域为≤x≤1.?
【答案】≤x≤1
6. 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是　　　　　，这个函数的定义域为　　　　　.
【思路解析】 据长方体的体积公式，易得V=x（a－2x）2，其中0＜x＜.
【答案】 V=x（a－2x）2　{x|0＜x＜}
7. 设f（x）=则f（－）=? ，f（1）=________，f（6）=________.
【思路解析】 分清自变量对应的解析式.?
【答案】 1　－　3?
8. 如果f（）=，求f（x）的解析式.
【思路解析】 函数解析式y=f（x）是自变量x确定y值的关系式，本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.
【答案】 配凑法：∵f（）===，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
换元法：设t=，则x=，代入f（）=，得
f（t）==，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
9. 已知一次函数y=f(x)满足f［f(x)］=4x+3,求一次函数的解析式.?
【思路解析】 设f(x)=ax+b（a≠0），用待定系数法.?
【答案】 设f(x)=ax+b（a≠0）,?
∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b?
=a2x+ab+b.?
∴a2x+ab+b=4x+3.?
∴
∴
∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
10. 已知函数f(x)=（a、b为常数）且方程f(x)－x+?12=?0有两个实根为x1=3,x2=4，求函数f(x)的解析式.
【思路解析】 求出函数f(x)的解析式中的待定系数a、b是我们解题的目标，根据已知条件f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4，可以将题意转化为方程组求解.?
【答案】 将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得
解之得
所以f(x)=(x≠2).
11. 设函数f(x)满足f(x)+2f（-x）=x(x≠0)，求f(x).?
【思路解析】 以-x代换x，解关于-x、x的方程组，消去-x.?
【答案】 ∵f(x)+2f(-x)=x①
以-x代换x,得f(-x)+2f(x)=-x②?
解①②组成的方程组得f(x)=-3x.
12. 已知f(xy)=f(x)f(y),且f(0)≠0，求f(x).
【思路解析】 可利用赋值法求解.赋值法：在求函数的解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋于特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解.
【答案】 由于等式f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立，故不妨设y=0,代入得f(x·0)=?f(x)·f(0),即f(0)=f(x)·f(0).
又∵f(0)≠0，∴f(x)=1.
13. 已知a为实数，x∈(-∞,a),则函数f(x)=x2-x+a+1的最小值是(　　)?
A. a+
B. a2+1?
C. 1?
D. a2+1或a+
【思路解析】 此题考查用配方法求二次函数，并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值.
f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+，若a≤，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上单调递减，从而函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a2+1;若a>，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f()=a+.
综上，当a≤时，函数的最小值为a2+1；当a>时，函数的最小值为a+.因此选D.
【答案】 D
14. 二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,求k的值.
【思路解析】 ∵二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,?
∴其最小值为0,即顶点纵坐标为0,从图形上看就二次函数的图象与x轴相切.?
【答案】 法1:y=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9.?
∵值域为(-∞,0］,?
∴k+9=0,k=-9.?
法2:∵二次函数开口向下,值域为(-∞,0］,?
∴其图象与x轴相切,判别式Δ=0,?
即Δ=62-4·(-1)·k=36+4k=0.?
∴k=-9.
15. 函数y=的值域是(　　)?
A． (－∞，－1)∪(－1，＋∞)?
B． (－∞，1)∪(1，＋∞)?
C． (－∞，0)∪(0，＋∞)?
D． (－∞，0)∪(1，＋∞)?
【思路解析】 因为函数的分子与分母都是关于x的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.?
y=
=
=1-
∵≠0,∴y≠1.故选B.
【答案】 B
16. 求函数y=2x-3+4x-13的值域.?
【思路解析】 函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,故可用“换元法”来求值域.?
【答案】 令t=4x-13(t≥0),则x=.
所以y=+t
=
=.
因为t≥0,所以当t=0时，y min=.
所以函数的值域是(-∞, ］.
17. 求函数y=的值域.
【思路解析】 函数的解析式是分式,且分母中变量x的次数是二次的,函数式可化为关于x的一元二次方程,利用“判别式法”来求值域.?
【答案】 将解析式改写成关于x的一元二次方程(2y-2)x2+(2y-2)x+y-5=0.
当y≠1时,Δ≥0,即(2y-2)2+20(2y-2)≥0y≥1或y≤-9.
当y=1时，y=5不成立，所以值域为(-∞,-9］∪(1,+∞).
18. 李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中（s为距离，t为时间），符合以上情况的是(　　)?
【思路解析】 对位要清楚,注意时间和路程的变化关系．?
【答案】 C
19. 已知f(x)=x2+2x-3，用图象法表示函数g(x)=.
【思路解析】 知道函数g(x)的定义域、值域和对应法则，就能根据这三个要素画出函数g(x)的图象，所以要先求出函数g(x)的三要素.?
当f(x)≤0，x2+2x-3≤0，-3≤x≤1，g(x)=0.?
当f(x)>0，即x<-3或x>1，g(x)=f(x)=(x+1)2-4.?
【答案】
20. 函数在闭区间［-1,2］上的图象如图所示，求此函数的解析式.
【思路解析】 根据函数的图象求函数的解析式，关键是确定自变量在每一段上所对应的函数类型，然后由待定系数法求出每一段上的解析式，从而得出整个函数的解析式.?
【答案】 f(x)=
21. 已知函数y=则函数y的最大值是_______________.
【思路解析】 可根据函数图象直接观察函数的取值范围,如图，画出分段函数的图象，图象的最高点A的纵坐标就是函数的最大值.而点A的坐标就是方程组的解，解得
∴A（-1，4）.
∴函数的最大值为4.?
【答案】 4
22. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f：x→2x+1；
（2）设A=N *,B={0,1}，对应法则f：x→x除以2得到的余数；
（3）设X={1,2,3,4}，Y={1,,,},f:x→x取?倒数?；?
（4）A={(x,y)||x|<2，x+y<3，x∈Z，y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y；?
（5）A={x|x>2,x∈N}，B=N,f：x→小于x的最大质数；
（6）A=N，B={0,1,2}，f：x→x被3除所得余数.
【思路解析】 根据映射的概念判断对应是否是映射，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射.
【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）都是A到B的映射，（4）不是A到B的映射.
23. 是不是从A到B的映射？是不是函数？?
（1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）,f∶x→y=|x|;
（2）A={x|x≥0},B=R,f∶x→y,y2=x;?
（3）A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f∶x→y=x2-2x+2;
（4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f∶作矩形的外接圆.?
【思路分析】 按映射的特点可以判断：（1）不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然更不是函数.（2）不是映射，更不是函数.因为y=±x，当x>0时，元素x的象不唯一.（3）是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以也是函数.（4）是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以（4）是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.
【答案】 （1）不是；不是.　（2）不是；不是.　（3）是；是.　（4）是；不是.
24. 已知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N,k∈N,x∈N,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a、k、A、B.
【思路解析】 函数就是从定义域到值域的对应,因此值域中的每一元素,在定义域中一定能找到元素与之对应.?
【答案】 由对应法则:1→4,2→7,3→10,k→3k+1.?
∵a4≠10,∴a2+3a=10a=2(a=-5舍去).?
又3k+1=16,∴k=5.
故A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.
1.2 函数及其表示
知识导学
函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集.
构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.
函数的定义域是函数研究的重要内容,在给定函数的同时应该给定函数的定义域.
一般地,如果不加说明,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此,就可以“求出”函数的定义域了.
值域是全体函数值组成的集合,一般地,函数的定义域和对应关系确定,值域就随之确定了.
求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有(1)图象法;(2)反解x;(3)配方法;(4)换元法.以后还可用单调性、判别式法等.
所谓函数y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x0,f(x0))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:(1)会画各种简单函数的图象;(2)能以函数的图象识别相应函数的性质;(3)能用数形结合思想以图辅助解题.
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.
函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.
疑难导析
1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)=|x|,与f(x)=是同一个函数.
2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径.
函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定.
映射作为函数概念的推广,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合.所以说一个映射关系必为函数关系,反之不然.
映射要求原象必有象,至于象是不是有原象不需要考虑.
问题导思
关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.
高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数:
f(x)=
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.
有些表达式中的自变量和函数值所用的字母不同,但也是同一个函数.比如:y=3x+2与s=3t+2就是同一个函数.
由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.
典题导考
绿色通道
判断两个函数或几个函数是不是同一个函数,有时是用定义域和对应关系是否相同来加以判别,但有时判别值域更方便些.比如本题中的第(4)小题.
黑色陷阱
对于函数是不是相同的判别,容易发生只看三要素中的其中之一的思维误区,从而造成解答错误.所以说认识函数对应法则必须认清它的本质,否则容易发生从表面上进行判别的错误.
典题变式 试判断以下各组函数中,是否表示同一函数?
(1)f(x)=,g(x)=;
(2)f(x)=,g(x)=
(3)f(x)=,
g(x)=() 2n-1(n∈N);
(4)f(x)=,
g(x)=.
答案:(1)不是;(2)不是;(3)是;(4)不是.
绿色通道
在求函数的解析式时,有时技巧上的变换对解题起到一定的作用,但通法更重要,因为通法是程式化的东西,解法二就是一种通法,这种变量替换在解数学题中占有重要的地位.
黑色陷阱
在进行变量替换时,易忽略替换变量后函数定义域的变化.所以解此类问题一定要细心缜密,不要慌张.
典题变式
1.求实系数的一次函数y=f(x),使f［f(x)］=4x+3.
答案:f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
2.已知f(x)满足2f(x)+3f()=4x,求函数f(x)的解析式.
答案:f(x)=-x+.
绿色通道
这里的函数对于所给的解析式,要进行化简才能看出所给的函数都是分段函数,然后再画图象.
黑色陷阱
一是容易将图(1)画成直线,主要原因是没有认清定义域为Z和定义域为R的区别.二是容易只画出图象的某一段,从而造成整个图象的缺失.
典题变式 作出下列函数的图象:
(1)y=|x+1|+|x-2|;
(2)y=
解:(1)y=|x+1|+|x-2|=作出函数的图象如图1-2-1所示:
图1-2-1
(2)作二次函数y=x2的图象取x≥-1的部分,再作y=x+1的图象取x<-1的部分,就得到函数
y=的图象,如图1-2-6所示.
图1-2-6
绿色通道
给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是A→B的映射,而后一种不是A→B的映射.
典题变式 给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有________.
(1)B中任何一个元素在A中必有原象;(2)A中不同元素在B中的象也不同;(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的;(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象;(5)B中某一元素在A中的原象可能不止一个;(6)集合A与B一定是数集;(7)符号f:A→B与f:B→A的含义是一样的.
答案:(1)不对;(2)不对;(3)对;(4)不对;(5)对;(6)不对;(7)不对.
绿色通道
本题考查的是分段函数,这是一个实际问题,解题时要用到分类讨论思想及数形结合思想,这是多年的高考热点,也是今后高考命题的方向.
(1)画出草图帮助分析时,要明确哪些是关键量,以及这些量的特点(变与不变);
(2)对分段函数要选准线段的各端点.
(3)可以通过画图判断函数的值域,这也是一种数形结合的解题思想.
黑色陷阱
在分段函数的转折点上易发生取舍不当的问题.比如本题如把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.
典题变式如图1-2-9,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2 m,渠深1.8 m,边坡的倾角是45°.
图1-2-9
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)确定函数的定义域和值域;
(3)画出函数的图象.
答案:
(1)A= =h2+2h.
(2)定义域为{h|0值域为{A|0(3)函数图象如图1-2-10.
图1-2-10
黑色陷阱
对这类建模方面的问题,一是要经常留心生活中的人和事,不至于遇到类似的情景感到无从下手;二是遇到这类问题不要着急,要理清脉络,找到所对应的数学模型是解题的关键.
典题变式
1.如图1-2-12,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数式是________,这个函数的定义域为________.
图1-2-12
答案:V=x(a-2x) 2 {x|02.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示:
月 份
用气量
煤气费
一月份
4米3
4元
二月份
25米3
14元
三月份35
米3
19元
该市煤气收费的方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度A米3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A米3,超过部分每米3付B元,又知保险费C超不过5元,根据上面的表格求A、B、C.
答案:A=5,B=0.5,C=1.
3.如图1-2-14,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.
图1-2-14
答案:y=
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 函数的概念
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一个数x”与“有唯一确定的数f(x)”说明函数中变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能“一对多”．
【典型例题1】 下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2.
解：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
【典型例题2】 下列式子能否确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝4；
(2)y＝＋.
解：(1)由x2＋y2＝4，得y＝±.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．
(2)因为不等式组的解集是?，即x取值的集合是?，故y不是x的函数．
探究二 求函数的定义域
函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
求函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．
函数的定义域要用集合或区间表示．
【典型例题3】 (1)求函数y＝－的定义域；
(2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,1]，求函数y＝f(x－5)的定义域．
思路分析：分析所给函数的表达式→列不等式组→求x的范围，得定义域
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x≥－1，且x≠1，
即函数的定义域是{x|x≥－1，且x≠1}．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[－1,1]，
∴－1≤x－5≤1，即4≤x≤6，
因此y＝f(x－5)的定义域为[4,6]．
方法总结(1)若已知f(x)的定义域(a，b)，求f(g(x))的定义域，可由a探究三 判断函数相等
判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等；如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．
【典型例题4】 判断下列各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.
思路分析：先求出定义域，根据定义域和表达式(即对应关系)来确定．
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．
由于定义域不同，故函数f(x)与g(x)不相等．
(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．
由于f(x)与g(x)的表达式不相同，
故函数f(x)与g(x)不相等．
(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故两个函数相等．
探究四 求函数值
1．已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的所有x即得f(a)的值．
2．求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则．
3．用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
【典型例题5】 已知f(x)＝，g(x)＝x＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)求g(a＋1)．
思路分析：(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2，计算得f(2)与g(2)；(2)先求g(3)的值m，再求f(m)的值．
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x＋2，∴g(2)＝2＋2＝4.
(2)∵g(3)＝3＋2＝5，∴f(g(3))＝f(5)＝＝.
(3)g(a＋1)＝a＋1＋2＝a＋3.
探究五易错辨析
易错点　求函数的定义域时先化简函数的关系式
【典型例题6】 求函数y＝的定义域．
错解：要使函数y＝＝有意义，则x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．
错因分析：约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x－2”，使原函数变形为y＝，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝与函数y＝不相等．
正解：要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0，且x＋3≠0，解得x≠2，且x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
1.2 函数及其表示
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能够用集合与对应的语言给出函数的定义；知道构成函数的要素，清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义；明确符号“f(x)”表示的意义．
2．会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值和定义域.
一、函数
名师点拨1.“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
2．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．
3．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
4．符号f(x)是函数的记法，是一个整体，它不表示f与x相乘．
自主思考1如何判断从集合A到集合B的一个对应是函数？
提示：首先看集合A，B是否是非空数集，若不是，则不是函数；若是，然后看集合A中的每一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是函数；若有，再看集合B中是否只有一个元素与之对应，若有多个与之对应，则不是函数；若只有一个与之对应，则是函数．
自主思考2若两个函数的对应关系相同，值域也相同，那么这两个函数是相等函数吗？
提示：不一定．若它们的定义域相同，则这两个函数为相等函数，否则，不是相等函数．如函数f(x)＝x2(x∈{1,2,3})，与函数g(x)＝x2(x∈{－1，－2，－3})的对应关系与值域相同，但不是相等函数．
二、区间
1．区间的概念：
设a，b是两个实数，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
2．无穷大：
“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x>a，x≤a，x定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
　　自主思考3数集都能用区间表示吗？
提示：并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一列表法表示函数
列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算．
【典型例题1】 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
思路分析：这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．
解析：由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2.
又g(f(x))＝2，
∴f(x)＝2.
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.
∴x＝1.
答案：1　1
探究二 求函数的解析式
求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解．
求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
【典型例题2】 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
思路分析：(1)令x＋1＝t，代入f(x＋1)＝x2－3x＋2可得f(x)；(2)将x2＋变形，使其变为关于x＋的形式，可得f(x)；(3)设出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，再根据条件列出方程组求出a，b，c的值．
解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
(3)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，对任意x∈R成立，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
由恒等式性质，得∴
∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.
探究三 函数的图象
函数的图象能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图象．
1．作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈．
【典型例题3】 作出下列函数图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点(如图(1))，由图象知，y∈Z.
(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))，
由图象知，y∈[－5,3)．
方法总结(1)中函数的图象是一些离散的点，故该函数的值域是各点纵坐标组成的集合．
(2)中函数的图象是一条连续不间断的曲线，故该函数的值域就是图象上所有点纵坐标的取值范围．
探究四 易错辨析
易错点　忽略变量的实际意义
【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图象．
错解：由题意，得△CQB∽△BAP，
所以＝，
即＝.
所以y＝.
故所求的函数表达式为y＝，其图象如图所示．
错因分析：没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围，导致出错．
正解：由题意，得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝.所以y＝.
因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，CB＝AD＝4，
所以BD＝＝5，
所以3≤x≤5，
故所求的函数表达式为y＝ (3≤x≤5)．
如图所示，曲线MN就是所求的函数图象．
反思从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．
1.2 函数及其表示
预习导航
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，以及各自的优缺点．
2．在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．
3．能利用函数图象求函数的值域，并确定函数值的变化趋势.
一、解析法
自主思考1任何一个函数都能用解析法表示吗？
提示：不一定．每天的平均气温与日期之间的关系由于受各种因素的影响就无法用解析法表示．
二、图象法
自主思考2画函数f(x)图象的方法有哪些？
提示：(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数，则依据各种函数的图象特点，直接画出f(x)的图象．
(2)若函数f(x)不是基本初等函数，则用描点法画出f(x)的图象，其步骤是：列表、描点、连线．注意连线时，若是曲线，则曲线要光滑；若是孤立的点，则此时不要连接各点．
三、列表法
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 求分段函数的值
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．若题目含有多层“f”，应按“由内到外”的顺序层层处理．
2．如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想．
3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值．
思路分析：(1)由内到外，先求f，再求f，最后求f；
(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，分段验证求x.
解：(1)f＝＋2＝，
∴f＝f＝2＝，
∴f＝f＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
探究二 分段函数的图象
1．分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并写出它们的值域：
(1)y＝
(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
思路分析：先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
解：(1)函数y＝的图象如图①，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图②.观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
探究三 映射的判断
判断是否为映射的几大要点：
(1)集合A，B的元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射．
【典型例题3】 下列对应是A到B的映射的有(　　)
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①中，对于A中元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
答案：B
探究四 易错辨析
易错点　错误理解分段函数
【典型例题4】 已知函数f(x)＝若f(x)＝3，求x的值．
错解：由x2－1＝3，得x＝±2；由2x＋1＝3，得x＝1.
故x的值为2，－2或1.
错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数．求值时不能忽视x的取值范围，因此错解中x＝－2和x＝1都应舍去．
正解：当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2，或x＝－2(舍去)；
当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)．
故x的值为2.
反思分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则．
1.2 函数及其表示
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．
2．了解映射的概念，会判断给出的对应是否是映射．
3．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.
一、分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．
名师点拨分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．各段的图象合起来就是分段函数的图象．
二、映射
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
自主思考1如何判断一个对应是映射？
提示：首先，判断两个集合是否为非空集合，若不是非空集合，则不是映射；其次，再判断集合A中的任意一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是映射；最后，再判断是否只有一个元素与之对应，若是，则是映射，否则不是映射．
自主思考2函数与映射有怎样的关系？
提示：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
1.3.1 函数的基本性质
课堂导学
三点剖析
一、函数单调性
【例1】 证明函数y=x-在(0,+∞)上单调递增.
思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.
证明:设任意x1、x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=x1--(x2-)=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+).
∵0 ∴x1-x2<0,x1x2>0,1+>0.
因此（x1-x2）(1+1x1x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)=x-在（0，+∞）上单调递增.
温馨提示
1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.
2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x1-x2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.
3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.
【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f()思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小.
解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.
又∵1<<π,f() 由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).
∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).
温馨提示
利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.
二、函数的最值
【例3】 求f(x)=x+的最小值.
思路分析：该题函数f(x)由x与相加构成，x与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.
解法一：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x、同时单调递增，因此f(x)=x+在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+=1.
解法二：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］，令=t≥0,x=t2+1,
∴f(x)=g(t)=t2+1+t=t2+t+1=(t+)2+(t≥0).
由于g(t)的对称轴t=-在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min=1，∴f(x)的最小值为1.
温馨提示
1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.
2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).
三、函数单调性的应用
【例4】 (1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)y=kx2-x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k的取值范围.
思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx2-x+1中的k是否为零要注意讨论.
解：(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2，其对称轴为x==1-a，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a≥4,即a≤-3.如图所示.
(2)k=0时，y=-x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=<0在［0,+∞］上单调递减.
综上，k≤0.
温馨提示
f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.
各个击破
类题演练1
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-）上是增函数.
证明：设x1、x2∈(-∞,-)，且x1 ∵x1,x2∈(-∞,-),
∴x1+x2<-，∴a(x1+x2)>-b,
∴a(x1+x2)+b>0.
∵x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴y=ax2+bx+c在（-∞,-］上单调递增.
变式提升1
若函数f(x)=x+定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间.
解析：设任意x1、x2∈(0,+∞)且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)
=(x1-x2)+
=(x1-x2)(1-)
=(x1-x2)·.
由于x1-x2<0,x1x2>0,只有x1x2-1>0或x1x2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然00,即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0,1)上单调递减.
当1≤x11,从而x1x2-1>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 当0综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.
类题演练2
f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a2-a+1)与f()的大小关系是_______________.
解析：∵a2-a+1=(a-)2+>,
又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，
∴f(a2-a+1)答案：f(a2-a+1)变式提升2
如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.
解析：∵f(2+t)=f(2-t),
∴f(x)的对称轴为x=2.
故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).
∴f(2) 即f(2)类题演练3
已知函数f(x)=,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.
解析：f(x)=x++2,
设1≤x1 2x1x2>1,0<<1,得1->0,
又x2-x1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1) ∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=.
变式提升3
求函数f(x)=-x2+2ax+1在［0,2］上的最大值.
解析：f(x)=-x2+2ax+1=-(x2-2ax+a2)+a2+1=-(x-a)2+a2+1.
由于f(x)的对称轴x=a对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.
当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;
当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a2+1;
当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.
综上，f(x)在［0,2］上的最大值为
g(a)=
类题演练4
二次函数y=x2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：
（1）m的值是多少？
（2）此函数的最小值是多大？
解析：（1）由于y=x2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.
(2)ymin=3.
变式提升4
已知f(x)=在区间（-2，+∞）上单调递增，求a的取值范围.
解析：f(x)=
=
=a+.
∴y-a=与y′=比较，知f（x）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.
∴a>.
温馨提示
本题关键是将它化为y=m+型，再根据函数y=的单调性来考虑a应满足的条件，从而求出a的取值.
1.3.2 奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数的奇偶性概念
【例1】 判断下列论断是否正确：
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；
(3)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.
解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.
二、函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=kx+b(k≠0);
(5)f(x)=x+(a≠0);
(6)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
解：(1)由得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.
(2)由得x2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.
(3)函数定义域为{x|x≠0}且f(-x)==-f(x).f(x)为奇函数.
(4)函数定义域为R，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b≠0时，为非奇非偶函数.
(5)函数定义域为{x|x≠0}，且f(-x)=-x-=-f(x).函数为奇函数.
(6)函数定义域为R，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b≠0时，为非奇非偶函数.
温馨提示
1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.
也可以通过图象是否关于原点、y轴对称来判断.
2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.
3.一次函数y=kx+b为奇函数b=0.
4.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数b=0.
【例3】 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+),求：
(1)f(-8);
(2)x<0时，f(x)的解析式.
思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.
解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x).
(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+)=8×(1+2)=24,
∴f(-8)=-f(8)=-8(1+)=-8(1+2)=-24.
(2)当x<0时，f(x)=-f(-x).
∵-x>0,f(-x)=-x(1+)=-x(1-),
∴f(x)=-［-x(1-)］=x(1-).
三、函数奇偶性的应用举例
【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.
思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.
解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：
设x1-x2>0,
∴f(-x1) 由于f(x)是偶函数，因此f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2).
∴f(x1)温馨提示
利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题.
【例5】 判断下面函数的奇偶性：f(x)=∵f(-x)=
=，故f(x)为非奇非偶函数.
错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.
正解：由得-2≤x≤2且x≠0,∴函数的定义域为［-2，0］∪(0,2)，此时f(x)= ,有f(-x)===-f(x)，∴函数f(x)为奇函数.
温馨提示
1.判断函数的奇偶性首先求函数的定义域，初学者最容易忽略这一点，若定义域关于原点对称再进一步判断f(-x)与f(x)的关系.
2.当判断f(-x)与f(x)的关系比较困难时，有时可以改为判断f(x)±f(-x)是否为0或是否为1.
各个击破
类题演练1
下面四个结论中正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交.
反例：y=x-2,y=x0等.故①错误，③正确.
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.
反例：y=x-1，故②错误.
若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R.
反例：f(x)=·,其定义域为{-1，1}，故④错误.从而选A.
答案：A
类题演练2
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|x|-;
(2)f(x)=-;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=-x.
答案：（1）既奇又偶函数； （2）奇函数； (3)奇函数； （4）非奇非偶函数.
温馨提示
判断函数的奇偶性，首先求出函数的定义域，在此基础上，可对函数解析式进行化简，化简后再判断.如（3）若不化简解析式，则判断不出奇偶性,只能得出非奇非偶的判断.
变式提升2
判断的奇偶性.
解析：当x>0时，则-x<0,
∴f(-x)=-x［1+(-x)］=-x(1-x)=-f(x),
当x<0时，则-x>0,∴f(-x)=-x［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x).
于是f(-x)=
∴f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.
类题演练3
若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式.
解析：设x<0时，则-x>0,
∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-2x(1+x),∴f(x)=2x(1+x).
∵f(0)=0,∴f(x)=
变式提升3
设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0,f(x)=x2-2x+3,试求出f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0.
当x<0时，则-x>0,
∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3),
∴f(x)=
其图象如右上图所示.
由图象得单调增区间是（-∞,-1），［1,+∞］，
单调减区间是［-1,0］,(0,1).
类题演练4
已知f(x)是偶函数，而且f(x)在［a,b］上是增函数，判断f(x)在［-b,-a］上是增函数还是减函数，并证明.
解析：减函数.证明如下：
设［-b,-a］上任意两个自变量x1,x2，且x1-x1>-x2>a,
∵f(x)在［a,b］上是增函数，
∴f(-x1)>f(-x2).
∵f(x)是偶函数，
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在［-b,-a］上是减函数.
变式提升4
若f(x)是R上的偶函数，且在［0,+∞］上是减函数，求满足f(π)解析：f(π) ∵f(x)在［0，+∞］上是减函数，
∴π>|m|,∴-π类题演练5
（2006全国Ⅱ文，13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a=_______________.
解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-=-(a-),得a=.
答案:
变式提升5
已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.
解：减函数.证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0),且x1 则有:-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,
∴f(-x2) 又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),
∴-f(x2)<-f(x1)<0,
∴f(x2)>f(x1)>0,F(x1)-F(x2)=-=>0,即F(x1)>F(x2),
∴F(x)=在（-∞,0）上是减函数.
1.3 函数的基本性质
互动课堂
疏导引导
1.3.1　单调性与最大（小）值?
1.函数的单调性?
单调性和单调区间的定义?
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有?f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有?f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
疑难疏引 (1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：f(x)=5x,(x∈{1,2,3}）．再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.
(2)函数的单调性与单调区间的关系
函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.?
（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
●案例1
如何证明函数y=x+在（1，＋∞）上为增函数?
【探究】 证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f（x1）－f（x2），判断这个差的符号即可.?
设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=x1+－（x2+）=x1－x2+（－）=x1－x2－=（x1－x2）（）.
∵x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，?
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.?
∴函数y=x＋在（1，＋∞）上为增函数.?
【溯源】 证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：?
（1）取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；
（2）作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；?
（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；?
（4）判断：根据定义作出结论.?
疑难疏引 讨论函数y＝f［φ(x)］的单调性时要注意两点：
(1)若u＝φ(x)，y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ(x)］为增函数；?
(2)若u＝φ(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ(x)］为减函数.
若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.
(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性.
(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
●案例2
求下列函数的单调增区间：?
（1）y=－x2＋2|x|＋3;?
（2）y=x-;
（3）已知函数f(x)在其定义域［-4,4］上是增函数，求f(x2-2x)的增区间.
【探究】 （1）可画图判断，（2）和（3）都不能画图，（2）可看成两个基本函数g(x)=x和t(x)=-相加得到，（3）是复合函数f［u(x)］的形式，其中u(x)=x2-2x.
（1）如图.?
可判断函数的单调增区间是（－∞，－1）,（0，1）.?
（2）g(x)=x在R上是增函数，t(x)=-在区间（-∞,0），（0，+∞）上是增函数，所以y=x-的增区间是（-∞,0）和（0，+∞）.
（3）由函数定义域知-4≤x2-2x≤4，所以1-≤x≤1+，二次函数y=x2-2x的单调增区间为（1，+∞），所以原函数的增区间为（1，1+）.
【溯源】 判断复合函数单调性的步骤：?
(1)分解函数成简单函数的形式；
(2)求出函数的定义域;
(3)利用同增异减判断.
(4)找出区间和定义域取交集.
2.函数的最值?
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.?
●案例3
已知函数f（x）=，x∈［1，+∞）.
（1）当a=时，求函数的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.?
【探究】 先来解决第（1）问，当a的值给定时，函数变为?f（x）=x＋＋2，它类似于函数f（x）=x＋，所以可以利用函数的单调性来判断最值.
（1）当a=时，f（x）=x＋＋2.?
f（x）在［1，+∞）上为增函数，所以f（x）在［1，+∞）上的最小值为f（1）=.
（2）f（x）=x＋＋2，x∈［1，+∞）.
当a≥0时，函数f（x）的值恒为正.
当a＜0时，函数f（x）在［1，＋∞）上为增函数，故当x=1时，f（x）有最小值3＋a，于是当3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故0＞a＞－3.
综上，可知当a＞－3时，f（x）＞0恒成立.
【溯源】 如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a分类不全面，而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.?
●案例4
二次函数y＝x2＋2ax－3，x∈［1，2］，试求函数的最小值.
【探究】 首先观察到函数图象过（0，－3），再考虑对称轴的位置，由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论.?
y＝x2＋2ax－3＝（x＋a）2－a2－3，
当－a∈（2，＋∞），即a<－2时，函数在［1，2］上为减函数，故此时的最小值为f（2）＝4a＋1；
当－a∈（－∞，1），即a>－1时，函数的最小值为f（1）＝2a－2；
当－a∈［1，2］，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f（－a）＝－a2－3.?
【溯源】 二次函数带参求最值常见题型有两类，一是对称轴是定值，给出区间含参不确定，另一类则是对称轴含参不确定，给出区间确定，一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论，然后利用单调性求解.
●案例5
设函数f（x）在定义域R＋上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，求：f（1）及f（）.
【探究】 这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求?f（1）?的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x=，y=1，得f（1）=0.
∵f（）=1，∴f（）=2.
【溯源】 函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可以通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值，如0、1等.
1.3.2　奇偶性?
1.定义
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.
函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.
由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.
2.奇偶性函数的几个性质?
(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；?
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；?
(3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数；?
(4)等价性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0；??
(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.
疑难疏引
（1）判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来代替.
（2）存在既奇且偶函数，例如f(x)＝.
当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.
函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.
3奇函数和偶函数的判断?
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.?
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.?
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝+.
(5)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0.?
(6）记忆口诀：
增函数，减函数，函数作差要记住；
正号增，负号减，增减函数很简单.?
往上增，往下减，增减趋势正相反；?
奇函数，偶函数，函数奇偶看f.?
同号偶，异号奇，非奇非偶不离奇.?
对折偶，旋转奇，图象重合在一起.?
疑难疏引 判断奇偶函数的常见方法：?
(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇函数又非偶函数.
(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.
(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.
(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.?
(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.?
●案例1
已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2－1，求f（x）在R上的表达式.
【探究】 题目已经给出x＞0时的解析式，只要求出x<0和x＝0时的解析式就可以了.f（x）＝x3＋2x2－1.
∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0.?
设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1.
又根据f（x）为奇函数，∴有f（－x）＝－f（x）.
∴－f（x）＝－x3＋2x2－1.?
∴f（x）＝x3－2x2＋1.?
因此，
【溯源】 把最后结果写成f（x）＝x3＋2x2－1和f（x）＝x3－2x2＋1就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义，错把分段函数当成是两个函数.另外，漏掉x＝0也是常见错误.
●案例2
已知f（x）是奇函数，在（－1，1）上是减函数，且满足f（1－a）＋f（1－a2）＜0，求实数a的范围.?
【探究】 要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.
由f（1－a）＋f（1－a2）＜0，得f（1－a）＜－f（1－a2）.?
∵f（x）是奇函数，∴－f（1－a2）=f（a2－1）.?
于是f（1－a）＜f（a2－1）.?
又由于f（x）在（－1，1）上是减函数，因此解之，得0【溯源】 利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.
1. 证明函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.?
【思路解析】 判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手.?
【答案】 证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，?
则f（x1）－f（x2）=x1－x2=.
∵0≤x10.
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）由定义，知f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.
2. 判断函数f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈（0，＋∞），函数f（x）是增函数还是减函数??
【思路解析】 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性.一般地，若k＞0，f（x）与kf（x）具有一致的单调性；若k＜0，则f（x）与kf（x）的单调性相反；f（x）与f（x）+b具有一致的单调性.从f（x）=－x3＋1?上可直接得出f（x）是减函数，用单调性的定义证明，应注意对差式的变形及分解因式.?
【答案】 f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数，证明如下：
在（－∞，0）上任取x1、x2，且x1＜x2.
∵f（x1）－f（x2）=（－x13＋1）－（－x23＋1）=（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）=（x2－x1）［（x2+）2+x12］，?
又x2－x1＞0，（x2+）2+x12>0，?
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.?
故f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数.?
同理，可证当x∈（0，＋∞）时，函数f（x）仍然是减函数.
3. 函数f(x)=-x2+2x+8，则下列说法正确的是 …(　　)
A. f(x)是增函数?
B. f(x)在(-∞,1)上是增函数?
C. f(x)是减函数?
D. f(x)在(-∞,1)上是减函数?
【思路解析】 本题是已知函数解析式，确定单调区间的典型题.由于函数f(x)=-x2+2x+8是二次函数，∴在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的.
所以解答此题的关键是确定对称轴.
根据二次函数对称轴的公式x=-可求.
解法一：（综合法）依题意得，函数f(x)=-x2+2x+8的对称轴方程为x=-=1.
又∵二次项系数为-1<0，∴开口方向向下.
∴f(x)在(-∞,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数.因此，选B.
解法二：（数形结合法，图象法）如图所示，便知f(x)在(-∞,1)上是增函数.因此，选B.
【答案】 B
4. 设f（x）、g（x）都是单调函数，下列四个命题中正确的是(　　)?
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增;
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增;?
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减;?
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.?
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】 C
5. 讨论函数f(x)=(a≠)在(-2,+∞)上的单调性.
【思路解析】 只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.
【答案】 设-2f(x)==a+.
∴Δy=f(x2)-f(x1)?
=(a+)-(a+)
=(1-2a)(-)
=(1-2a)·.
又∵-2∴当1-2a>0，即a<时，Δy<0,即f(x2)当1-2a<0，即a>时，Δy>0,即f(x2)>f(x1).?
∴当a<时，f(x)=在(-2,+∞)上为减函数；
当a>时，f(x)=在(-2,+∞)上为增函数.
6. 已知函数f(x)=2x2-5x-3，求函数y=f(x)的单调区间.
【思路解析】 可利用函数单调性的定义求解，也可利用复合函数的单调性判断法则来求解，复合函数y=f［g(x)］是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
【答案】 当x∈［3,+∞)时，函数f(x)=为增函数；
当x∈(-∞,-］时，函数f(x)= 为减函数.
7. 求函数y=x-x-1的值域.?
【答案】 原函数定义域为{x|x≥1}.?
因为y=＝在定义域上是单调减函数，所以函数的值域是(0,1］.
8. 利用单调性求函数y=x－的值域.
【思路解析】 本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，最后求值域.?
【答案】 定义域为{x|x≤}，y=x以及y=－1-2x均在（－∞，）上递增，
∴y=x－1-2x在（－∞，）上递增，f（x）≤f（）=.?
∴y=x－1-2x的值域为（－∞，］.
9. 已知二次函数y＝－x2＋2ax＋(a－2)在x∈［－1，2］上有最大值4，求实数a的值.?
【思路解析】 该二次函数的图象开口向下，因而若x∈R，则y＝－(x－a)2＋a2＋a－2,即当x＝a?时，y max＝a2＋a－2,目前规定x∈［1,2］,解题时应分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.
【答案】 y＝－x2＋2ax＋(a－2)＝―（x―a）2＋a2＋a－2,?
①若a∈［－1,2］,则当x＝a时，y max＝a2＋a－2,由题意知a2＋a－2=4,而a2＋a－6＝0,a=-3或a＝2,
∵a∈［－1,2］,∴a＝2符合条件.?
②若a＜－1，∵二次函数y＝f(x)在［a,＋∞)上单调递减，即在［－1，2］上单调递减，∴当x＝－1时，y max＝―1,―2a＋a－2＝―a―3,由―a―3＝4，得a＝－7(＜－1),?
∴a＝－7符合条件.
③若a＞2,则二次函数y＝f(x)在［－1,2］上单调递增，∴当x＝2时，y max＝－4＋4a＋a－2＝5a―6.由5a―6＝4得a＝2(≯2),∴此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a的值为2或－7.
10. 已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10，求f(2)的值.
【思路解析】 观察函数的解析式可知函数x5,ax3,bx都是奇函数，所以x+ax3+bx也是奇函数，因此可构造一个新的奇函数来求解.
【答案】 构造函数g(x)=f(x)+8，则g(x)=x5+ax3+bx一定是奇函数.?
又∵f(-2)=10，∴g(-2)=18.
11. 若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-,-4］，则m的取值范围是(　　)?
A. (0, 4］
B. ［, 4］
C. ［, 3］
D. ［, +∞)
【思路解析】 首先判断二次函数的对称轴，然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况. y=x2-3x-4=(x-)2-.?
对称轴为x=,∴m∈［,3］.?
【答案】 ?C?
12. 若函数f(x)在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f(x)在区间（a，c）上(　　)?
A. 必是增函数?
B. 必是减函数?
C. 是增函数或是减函数?
D. 无法确定增减性?
【思路解析】 考查单调性定义，即x=b时可能无定义.?
【答案】 D
13. 下列四个函数中是奇函数的是(　　)?
A. f(x)=
B. f(x)=x3+x
C. f(x)=x -2+x -1
D. f(x)=2x+1
【思路解析】 判断一个函数是不是奇函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f(-x)与-f(x)是否相等，如果相等就是奇函数，如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.
∵A选项的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)== =f(x)≠-f(x)，∴A不是奇函数；?
∵B的定义域是R，关于原点对称，又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)，∴B是奇函数；
∵C的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f(-x)=(-x) -2+(-x) -1=x -2-x -1≠-f(x)，
∴C不是奇函数；?
∵D的定义域关于原点对称，又∵f(-x)=2·(-x)+1=-2x+1≠-f(x)，∴D不是奇函数.因此，选B.
【答案】 B
14. 已知f(x)在R上是奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x；当x<0时，求f(x)的表达式.?
【思路解析】 已知函数的奇偶性和原点右侧的函数解析式，求原点左侧的函数解析式，是函数奇偶性类型题目中比较典型的.其解题思路是：设待求原点左侧的自变量为x，则已知原点右侧的自变量就为-x，代入已知原点右侧的函数解析式，整理便得待求原点左侧的函数解析式.?
【答案】 设x′<0，则-x′>0,∵f(x)在R上是奇函数，?
∴f(-x)=-f(x).?
∴f(-x′)=-f(x′).?
又∵当x≥0时，f(x)=x2-2x，把-x′代入f(x)=x2-2x,得f(-x′)=(-x′)2-2·(-x′)=x′2+2x′=-f(x)，即f(x′)=-x′2-2x′.因此当x<0时，f(x)=-x2-2x.当x=0时，符合题意.
15. 对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·5x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1，
（1）求证：f(x)是偶函数；
（2）f(x)在(0,+∞)上是增函数;
（3）解不等式f(2x2-1)<2．
【思路解析】 本题的中心就是构造，如何利用已知条件构造出f(x)和f(-x)的关系，此题可用特值法.?
【答案】（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1).∴f(1)=0.?
令x1=x2=-1，得f(-1)=0.
又f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，?
∴f(x)是偶函数．
（2）设x2>x1>0，则?
f(x2)-f(x1)?
=f(x1·)-f(x1)
=f(x1)+f()-f(x1)?
=f().?
∵x2>x1>0，∴>1，f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.?
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数．
（3）∵f(2)=1，?
∴f(4)=f(2)+f(2)=2.?
∵f(x)是偶函数,?
∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x2-1|<4.?
解得-即不等式的解集为(-,)．
16. 已知偶函数f(x)在［0，4］上单调递增，那么f(-π)和f(3.1)中较大的一个是　　　　　.
【思路解析】 要想比较f(-π)和f(3.1)的大小，最好的是能把它们两个放在同一个单调区间中进行.但是已知条件中并没有给出它们两个是否在一个单调区间，∴要把其中的一个进行转化.由于f(x)是偶函数，∴f(-π)=f(π)，转化成功.?
∵f(x)是偶函数，
∴f(-π)=f(π).
又∵f(x)在［0，4］上单调递增，而π∈［0，4］，3.1∈［0，4］.
又π>3.1，∴f(π)>f(3.1).
因此f(-π)>f(3.1).
故较大的是f(-π).
【答案】 f(-π)
1.3 函数的基本性质
知识导学
函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有x1 函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.
函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.
另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0疑难导析
也存在一些函数,根本就没有单调区间,如函数:f(x)=5x,x∈{1,2,3}.
再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点去讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).
(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.
(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容.
(3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的.
(4)定义的内涵与外延:
内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;
外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.
②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.
若f(x)、g(x)都为增函数(减函数),则f(x)+g(x)为增函数(减函数).
若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)-g(x)为增函数;若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数.
奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.
奇函数和偶函数还具有以下性质:
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=.
(5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0.
问题导思
函数的单调性是针对定义域内某个区间而言的,是函数的“局部”性质.
在几个不同区间的单调性并不意味着在这几个区间并集上也具有同样的单调性,必须严格按照函数单调性的定义加以证明才可以得出结论.
一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件,这是奇、偶函数的本质属性之一.
奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
关于奇偶性的几个命题:
命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件.
如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出.
命题2 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数.
由函数奇偶性易证.
命题3 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0.
由奇函数的定义易证.
命题4 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根.
方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若f(x0)=0,则f(-x0)=0.对于定义在实数集上的奇函数来说,必有f(0)=0.故原命题成立.
典题导考
绿色通道
应该严格按照求差法的步骤,一步步地走,这个步骤也是个程式化的东西,不能为了省事而对其中的步骤加以简化.这个函数的图象(如图1-3-2所示):
图1-3-2
典题变式判断f(x)=在x∈(1,+∞)上的单调性.
答案:减函数.
绿色通道
如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.
黑色陷阱
容易对a的分类不全面,造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误.
典题变式
1.函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求a、b的值.
答案:
2.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论.
答案:(1)f(x)为偶函数.
(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
绿色通道
根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.
对于一个命题若是假命题,只要举一反例来说明即可.比如,说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验.
有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.
黑色陷阱
要注意的是,有的函数既不是奇函数又不是偶函数,解题中容易忽视这一点.
典题变式判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
(2)f(x)=(x-1).
答案:(1)奇函数.
(2)偶函数.
典题变式
1.若f(x)是偶函数,当x∈［0,+∞时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是_________.
答案:{x|02.设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若f(1,m)答案:-1≤m<.
绿色通道
函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题,尽管它没有给出具体的解析式,但我们仍可以通过赋值去把握它,具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值,如0、1等.
典题变式对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
答案:(1)(2)略;
(3)(-,).
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一利用图象确定函数的单调区间,函数单调性的几何意义：在单调区间上，若函数的图象“上升”则为增函数，图象“下降”则为减函数．因此借助于函数图象来求其单调区间，是直观且有效的方法．
【典型例题1】 作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思(1)对于初等函数y＝kx＋b(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y＝ (k≠0) 常借助函数图象去探求函数的单调区间．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势分析函数的单调性(区间)．
(3)求函数的单调区间应在函数的定义域内进行，即函数的单调区间一定是函数定义域的子集．
探究二 证明函数的单调性
1．关于函数单调性的定义要注意以下几点：
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．
2．证明或判断函数的单调性，主要是利用定义法，其基本步骤是：
【典型例题2】 求证：函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
思路分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1f(x2)即可．
证明：设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
规律总结利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：
(1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x2－2x－3.
(2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．
(3)配方．当所得的差式含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．
探究三 函数单调性的应用
1．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
2．(1)若f(x)在区间D上是增函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1>x2；
f(x1)(2)若f(x)在区间D上是减函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1f(x1)x2.
3．当抽象函数的不等式或函数式很复杂时，要注意考虑函数单调性的应用．
【典型例题3】 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．
思路分析：要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．
解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，
∴f≥f(a2－a＋1)．
探究四 易错辨析
易错点　对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误
【典型例题4】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或取值范围)是__________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或取值范围)是__________．
错解：(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，因此1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
错因分析：函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集．错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错．
正解：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
1.3 函数的基本性质
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课程目标
学习脉络
1.理解增函数和减函数的定义，明确定义中“任意”两字的重要性，以及图象的特征．
2．知道函数单调性的含义，能够利用定义证明函数的单调性．
3．能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题.
一、增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象特征
函数f(x)在区间D上的图象是上升的
函数f(x)在区间D上的图象是下降的
图示
名师点拨(1) 函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0.
(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0.
自主思考1 对于函数f(x)，若区间[a，b]上存在两个数x1，x2，且x1f(x2)成立，则能否说f(x)在[a，b]上是减函数？
提示：不能．
对于自变量的选取一定是任意的，而不能是特殊值，如函数y＝x2，x∈[－1,1]，－1,0∈[－1,1]，显然－1<0，且f(－1)＝1>0＝f(0)，但并不能由此就说函数y＝x2在[－1,1]上是减函数．
自主思考2已知函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，且f(x1)提示：当f(x)是增函数时，x1，x2满足a≤x1当f(x)是减函数时，x1，x2满足a≤x2二、单调性
名师点拨(1) 函数的单调性是函数的一个局部性质，即我们说函数单调性的时候一定要指出是在哪个区间上，而不能笼统地说函数是单调的，有些时候，函数并不一定在整个定义域上单调．
(2)并不是所有的函数都具有单调性，例如，分段函数y＝它的定义域为R，但显然不具有单调性．
　　(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接或用“，”隔开．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
(4)函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若在端点处没有定义，必须用开区间．
(5)函数的单调性反映了函数值在某个区间上的变化趋势．例如，函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则说明在区间D上，函数值随自变量的增大而增大(减少)，图象是上升(下降)的．
归纳总结 基本初等函数的单调性如下表所示：
函数
条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数
(y＝kx，k≠0)
与一次函数
(y＝kx＋b，k≠0)
k>0
R
无
k<0
无
R
反比例函数
k>0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
k<0
无
(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数
(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)
a>0
a<0
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一 利用函数的图象求函数的最值
函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标，最小值就是函数图象最低点的纵坐标，因而只要作出函数的图象就可以求出函数的最值，这是求函数最值的常用方法之一．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的最小值．
思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化函数f(x)为分段函数形式；
(2)函数图象的最低点的纵坐标是f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝其图象如图所示．
(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.
方法小结用图象法求函数y＝f(x)的最值的步骤：
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．
探究二 利用函数的单调性求最值
1．函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质．
2．若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
3．若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，在[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在[a，b]上一定有最值．
【典型例题2】 已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]．
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．
分析：(1)证明单调性的流程：取值→作差→变形→判断符号→结论；
(2)借助最值与单调性的关系，写出最值．
解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)
＝.
∵x1当1≤x1即x1x2－4<0.
∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)在[1,2]上是减函数．
当2≤x10.
∴f(x1)(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4.
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝∴f(x)的最大值为5.
方法总结利用函数的单调性求函数最值的步骤：
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)借助最值与单调性的关系写出最值．
探究三 二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论.
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系
f(x)的单调性
最大值
最小值
h[m，n]
f(n)
f(m)
h>n
[m，n]
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h<
[m，h]
[h，n]
f(n)
f(h)
h＝
f(m)或f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
【典型例题3】 求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的最值．
解：y＝(x－a)2－1－a2.
当a<0时，[0,2]是函数的递增区间，如图(1)．
故函数在x＝0时，取得最小值－1，
在x＝2时取得最大值3－4a.
当0≤a≤1时，结合函数图象(如图(2))知，
函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝2时取得最大值3－4a.
当1函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝0时取得最大值－1.
当a>2时，[0,2]是函数的递减区间，如图(4)．
函数在x＝0时取得最大值－1，
在x＝2时取得最小值3－4a.
规律总结探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．
二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：(1)对称轴在定义域区间右侧；(2)对称轴在定义域区间左侧；(3)对称轴在定义域区间内．
探究四 易错辨析
易错点　求函数的最值忽视定义域
【典型例题4】 已知函数f(x)＝－3x＋5，x∈[0,1]，则函数f(x)(　　)
A．有最大值2，有最小值5 B．有最大值5，有最小值2
C．有最大值1，有最小值0 D．不存在最值
错解：f(x)＝－3x＋5是一次函数，值域是R，不存在最值，故选D.
错因分析：错解中，忽视了f(x)的定义域是[0,1]，不是R.
正解：f(x)＝－3x＋5在[0,1]上是减函数，则函数f(x)的最大值是f(0)＝－3×0＋5＝5，最小值是f(1)＝－3×1＋5＝2.
答案：B
1.3 函数的基本性质
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课程目标
学习脉络
1.理解函数的最大值和最小值的概念，明确定义中“任意”和“存在”表达的含义．
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
一、最大值和最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
名师点拨 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
　　(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
自主思考1已知函数f(x)＝x2的定义域是(0，＋∞)，函数的最小值是0吗？它的值域又是什么？
提示：函数f(x)的最小值不是0.函数没有最小值，因为0不是该函数的值，它的值域是(0，＋∞)．
自主思考2函数的最值与值域是什么关系？
提示：(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值．
1.3 函数的基本性质
课堂探究
探究一 判断函数的奇偶性
1．函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数．
2．用定义判断函数奇偶性的步骤为：
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
(3)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；
(4)求f(－x)；
(5)根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性．
3．函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
思路分析：先求出定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解：(1)∵函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)由得x2＝1，即x＝±1.
∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)函数的定义域关于原点对称．
方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
方法二：函数f(x)＝的图象如图．
图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
方法总结(1)用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断f(－x)与f(x)的关系，既可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑 ，与1或－1的关系．
(2)在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
探究二 利用函数的奇偶性求解析式
对于偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)，对于奇函数f(x)有f(－x)＝－f(x)，所以已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，可求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式，求解时，先设出所求区间上的自变量，利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
【典型例题2】 已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
思路分析：若x>0的解析式是已知的，则利用奇函数的定义，即可求得x<0时的解析式．注意不要忽略x＝0时f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝－f(0)，
即f(0)＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
规律总结(1)这类问题常见的情形是：
已知当x∈(a，b)时，f(x)＝φ(x)，求当x∈(－b，－a)时f(x)的解析式．
若f(x)为奇函数，则当x∈(－b，－a)时，
f(x)＝－f(－x)＝－φ(－x)．
若f(x)为偶函数，则当x∈(－b，－a)时，
f(x)＝f(－x)＝φ(－x)．
(2)若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，不能漏掉．
探究三 函数单调性与奇偶性的综合应用
利用函数的单调性与奇偶性可以解一类抽象不等式问题．
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【典型例题3】 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
思路分析：f(m)＋f(m－1)>0→f(1－m)解：由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴即
解得－1≤m< .
温馨提示当遇到抽象不等式或函数式很复杂时，一般要利用函数的单调性去掉“f”再求解．
探究四 易错辨析
易错点　忽视定义域，错判函数的奇偶性
【典型例题4】 判断函数f(x)＝(x－1) 的奇偶性．
错解：f(x)＝－＝－＝－，
∴f(－x)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
错因分析：错解中，忽视函数f(x)的定义域，盲目化简变形，误认为定义域为[－1,1]，扩大x的取值范围．
正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
1.3 函数的基本性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义．
2．了解奇函数、偶函数图象的特征．
3．会用定义判断函数的奇偶性.
一、偶函数
二、奇函数
名师点拨 由奇偶函数的定义可得：
(1)函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0?f(x)的图象关于y轴对称．
(2)函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0?f(x)的图象关于原点对称．
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)＝f(－x)＝f(－|x|)．
自主思考1 奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
自主思考2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
提示：有，如函数f(x)＝0，x∈D(其中定义域D是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有无数个，只要定义域是关于原点对称的任一个非空数集即可．