《数学广角──植树问题》教材分析
和前面几册教材一样，本册也专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透了一些重要的数学思想方法。本册的“数学广角──植树问题”包含三个例题，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、广场敲钟等，这些问题情境中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。在植树问题中，“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线（如正方形、长方形或圆形等）。即使是关于一条线段的植树问题，也可能有不同的情形（如两端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不栽）。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。
教材在编排上，注重引导学生进行观察、猜测、验证、推理等数学活动，使学生初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），培养学生从实际问题中探索解决问题的有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
下面就教材中安排的三个典型例题进行分析。
一、经历解决问题的过程
教材第106页例1通过学生熟悉的植树情境，引导学生借助线段图，经历猜想、实验、抽象等数学活动过程，探索间隔与点之间的数量关系，建立植树问题的数学模型，再运用模型解决实际问题。让学生经历分析、思考、解决问题的全过程。
教材用几个小朋友的对话和图片来呈现学生探索解决问题的过程。首先由一个男孩说出学生们可能会想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接着一个女孩问：“对吗？检验一下”，来引发学生思考。接下来由小精灵提出了解决问题的常用方法──从简单的情况入手解决复杂的问题。这里先呈现直观的图示法，让学生看到把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共有5个点，也就是要栽5棵树。使学生发现植树时确定树苗数量的问题并不能简单地用除法来解决。紧接着一个小男孩提出“25 m可以栽几棵？”这次用画线段图的方式解决问题，不仅在研究方法上从直观转为抽象，更是向学生渗透归纳思想──一个特例不足以说明问题，多个不同的事物才能揭示规律。然后向学生提问：“你发现了什么规律？”启发学生透过现象发现规律，也就是栽树的棵数要比间隔数多1。同时教材进一步提出“不画图，你知道30 m、35 m要栽几棵树吗？”让学生利用发现的规律先解决简单的问题。最后教材要求应用发现的规律来解决前面的植树问题：100 m长的小路共有20个间隔，两端都要栽，所以一共要栽21棵树。这样就把分析、思考、解决问题的整个全过程展示出来，让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。即遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来检验，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
对于例2（两端不栽的情况）以及第107页“做一做”第2题（一端栽一端不栽的情况），由于学生前面有了探索的经验，这里可以放手让学生去探索，用自己的方法去发现这两种情况的植树问题中隐含的规律。
二、体会基本的数学思想
本单元通过一些生活中的事例，让学生根据不同的情况总结出规律，并利用这些规律解决问题。但是，本单元的教学最终目的并不只是让学生明白规律，而是要引领学生进一步探究规律的产生原因，帮助其建立“一一对应”的思维方式，形成解决问题的策略，从而体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。
在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例1是探讨关于一条线段、并且两端都要栽的植树问题，让学生通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系。通过这两幅图，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，结果发现还多出一个“点”（树），所以“栽树棵数=间隔数+1”。例2通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第2题让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图。例3则让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。整个单元教材通过线段图的教学，突出“一一对应”的思想，并以此为基础分析植树问题三种不同的情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”。无论哪种情形，都能用“一一对应”的思想统领。
教材通过选取生活中不同的事例，让学生体会一种在数学学习、研究问题上都很重要的数学思想方法──化归思想，使学生感悟到应用数学模型解决问题所带来的便利。同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。
在练习中，教材以“植树问题”为背景帮助学生清楚地认识到路灯问题、敲钟问题、锯木问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模型。
三、感受转化的研究方法，积累基本的活动经验
教材第108页例3讨论的是在封闭图形周围栽树的情形。学生学习了例1、例2后，掌握了直线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，栽的棵数与间隔数的关系）。教材这样的编排意图很显然是要用植树问题的思考方法来解决封闭图形中的植树问题。
面对封闭图形中的植树问题，教材首先提示研究方法：“先画图试试看。假设周长是40 m……”，引导学生根据前面例1、例2的研究经验──直观作图、化繁为简来尝试解决问题。当学生直观看出能栽4棵后，教材并不急于让学生探索出封闭图形植树问题中的规律（即间隔数等于棵数），而是请小精灵进一步提出问题：“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”从而把学生的思维引向深处。让学生通过观察、思考发现，化曲为直后，封闭图形上植树其实可以转化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下来，教材通过两位学生的对话“我发现间隔数与树一一对应”“相当于一端栽，一端不栽”，不仅揭示了封闭图形上植树的规律，更是为学生沟通了例3与前面的例1、例2间的联系。
本单元注重让学生经历观察、猜测、验证、推理与交流等活动，使学生既学会一些解决问题的一般方法与策略，又积累基本的数学活动经验。例如，例1通过“对吗？检验一下”“100 m太长了，可以先用简单的数试试”“你发现了什么规律”等，渗透了“猜测──探索──归纳──应用”的解决问题的策略和化繁为简的解决问题的方法。
第一课时 植树问题
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级上册第106页例1、第107页例2及相关习题。本课是关于最基本的一条线段上的植树问题，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，为后面学习的在封闭曲线上的植树问题奠定基础。
（二）核心能力
在解决实际问题的过程中，渗透化归、对应等数学思想方法。学习解决问题的策略，建立不同情境下植树问题的数学模型。
（三）学习目标
1.借助直观，通过点与间隔的对应，理解间隔数与植树棵数之间的规律，建立不同情境下植树问题的数学模型，感受数学在生活中的广泛应用，提高应用意识和解决实际问题的能力。
2.能运用得到的规律解决相关的实际问题，发展解决问题的意识与能力，渗透化归、对应等数学思想方法。
（四）学习重点
理解棵数与间隔数之间的关系，并运用发现的规律解决生活中的问题。
（五）学习难点
应用植树问题的数学模型灵活解决一些相关的实际问题。
（六）配套资源
《植树问题》名师教学课件、答题卡
二、学习设计
（一）课前交流
师：同学们好，很高兴在这儿和大家一起学习数学，上课之前，我们先来活动活动小手，做个游戏好吗？
活动一：手指点名
师：老师点到哪根手指，你就把它伸出来，同时大声喊一声“到”。明白吗？
活动二：拍手游戏
师：下面我们来比比两只手的配合能力。注意看（老师做动作：拍、空、拍、空、拍、空）你们会这样接着拍下去吗？（速度由慢到快再到慢最后停）。
师：同学们，刚才我们拍了多少下？（老师，我们没有数！）
师：那你知道拍手的次数多还是空的次数多吗？你们是怎么判断的？怎样使拍的次数比空的次数多呢？（生演示）
师：要想让拍的次数比空的次数少，又该怎么做呢？（生演示）
【设计意图：《植树问题》教学的核心不是掌握公式、套用公式解题，而是让学生在经历数学建模的过程中，体验对应、数形结合、化繁为简的重要的数学思想方法。课前设计拍手游戏，通过无意识的拍手游戏，老师“制造”拍了多少下的矛盾冲突，让学生对对应思想有种强烈的刺激，激活学生已有的数学经验，利用这个经验创造比多少的问题，至此学生对对应的数学思想有了一个新的认识，为新知的学习做好了思想方法上的准备。】
（二）课堂设计
1.引入新课，板书课题
师：知道3月12日是什么节日吗？
师：植树有什么好处？
师：是的，植树对我们的生活的确非常重要，而植树中还隐含着很多数学问题呢，今天我们就一起来研究植树问题。（板书：植树问题）
2.问题探究
（1）创设情境。
（出示下面的情境图，并补充条件）
在学校操场边，有一条100米长的小路，计划在小路的一边栽树。一共需要多少棵树苗？
师：如果请你来栽树，你还需要哪些条件？
要知道两棵树之间的距离。
师：你想到了要知道两棵树之间的距离，大家也这样认为吗？
师：我们学校还真有要求（补充条件：每隔4米栽一棵）。
师：每隔4米栽一棵是什么意思？
生自由发言。
小结：就是任何两棵树之间都是4米。
师：知道了植树要求，我们继续研究。100米有点长，这样吧，我们先从20米研究起，在20米长的小路上每隔4米栽一棵，可以栽几棵呢？
师：看来，有的同学已经有想法了。把你们的想法用学具摆一摆，也可以用线段图画一画。同桌合作。
【设计意图：教材中的例题是在100米长的小路一边栽树，在尊重教材的同时，渗透化繁为简的思想，改为在20米长的小路上栽树，这样的改动便于学生探究。】
（2）动手探究。
小组借助学具，或画线段图进行自主探究。
（3）汇报交流。
①汇报棵数，体现不同方法。
师：有答案了吗？栽了多少棵？
预设：6棵、5棵、4棵。
②学生汇报方法，展示。
预设1：汇报展示6棵。
师：先请栽6棵的同学说说你是怎么栽的？
学生借助学具，解释小组的想法。
师：我们看，是不是每隔4米栽一棵？每个间隔4米……几个间隔？总长是20米吗？符合要求吗？
预设2：汇报展示5棵。
师：栽5棵的同学也把你的方法给大家说说！
生上台展示，解释原因。
小结：现实生活中确实有这样的情况。如果路的一端有楼房或其他障碍物，我们只能在这一端栽树了。如果房子或障碍物在这一端，就只能在这端栽树了。
预设3：汇报4棵。
师：栽4棵的同学也来说说你们的方法吧！
生展示。
小结：两头如果都有建筑物或池塘的话，这两头就不用栽了（老师随着学生的回答补充线段图）。
【设计意图：此环节能充分突出学生的主动参与，通过用学具摆一摆、用线段图画一画得出不同方案的植树棵树，整个环节在老师的引导下，使学生经历了在操作中思考，在汇报中比较的过程。】
（4）强化三种情况
师：请看，同样是在20米长的小路上每隔4米栽一棵，为什么栽的棵数却不一样呢？
引导学生，明晰根据生活中的实际情况产生的栽树三种情况。
一端栽、两端都栽、一端栽一端不栽
（5）方法提升、自主探索、发现规律。
①共同探究只栽一段。
师：咱班同学真了不起，通过画一画、摆一摆很快就探索出了在20米的路上每隔4米栽一棵有这三种情况，只栽一端栽几棵？（5棵）
师：只栽一端栽5棵，用算式怎么表示？
（20÷4）
师：20是什么？4呢？
师：每隔4米栽一棵也就是4米分一段，4米一段，4米一段，4米一段……，20÷4就表示把总长20米平均分成5段。（板书：5段）。
师：可以种几棵呢？想一想，栽树的棵数和什么有什么关系？有什么关系呢？
引导学生观察讨论。
小结：只栽一段的情况下，一个间隔对应一棵，棵数与间隔数相等。
②小组探讨两端都栽和两端都不栽的情况。
师：下面我们来探讨两端都栽和两端都不栽这两种情况，请大家先在列一列算式。四人小组内看看算式是不是一样？再讨论每种情况棵数和间隔数之间的关系。
小组讨论、汇报。
引导小结：我们发现这种情况和只栽一端比多了1棵，所以算出间隔数是5段，5段只栽一段有5棵，加上1棵就是6棵，所以：两端都栽时棵数＝间隔数＋1。
两端都不栽，因为和只栽一端比少栽了一棵，所以两端都不栽的情况下就是棵数＝间隔数－1。
③归纳小结
师：通过大家的积极探索，发现了植树问题中的三种情况，我们还发现了其中的规律。现在再请你们来解决在老师学校操场边植树的问题：（课件出示题目）100米的小路一边栽树，每隔4米栽一棵，一共需要多少棵树苗？有几种情况？请你选择其中一种情况在练习纸上算一算。
展示汇报三种情况的三种结果。
师：根据我们学校的情况，应该是两端都栽，你知道学校应该栽几棵树吗？
【设计意图：老师把只栽一端的情况作为重点研究，借助数形结合，充分利用直观图和线段图将植树问题中的棵数和间隔数之间内在的对应在学生的头脑中建立起清晰的表象，自然得出其中的规律，在另外两种植树情况让学生自己发现规律，老师有意引导学生把这两种植树方案和只栽一端的情况对比，在对比中沟通了三者的联系，有利于学生从整体上加以比较，帮助学生很好地建立了一个完整的植树问题数学模型】
④生活中的数学
师：在我们的生活中，与植树问题类似的例子到处都有，你在生活中见过类似的植树问题吗？
3.全课总结
师：同学们，回顾这节课的学习过程，我们从在100米的小路上栽树引出植树问题，在20米的路上栽树进行了研究，你有什么收获和感想和大家分享吗？
小结：我们从简单的植树问题入手，发现了植树问题的三种方案，还运用规律灵活地解决生活中的问题。其实生活中的植树问题还有很多很多，今后我们将继续学习！
三、课时作业
1.基础练习
（1）如果这一纵排总长120厘米，每相邻两个骨牌之间的距离是3厘米，你能算一算一共有多少个多米诺骨牌吗？（ ）
①120÷3＝40 40－1＝39 ②120÷3＝40 ③120÷3＝40 40＋1＝41
（2）如果这条彩绳全长180厘米，每隔20厘米穿一只千纸鹤。你知道一共有多少只千纸鹤？（ ）
①180÷20＝9 ②180÷20＝9 9＋1＝10 ③180÷20＝9 9－1＝8
答案：（1）③ （2）①
解析：通过这样的基本练习，学生在对比较中学会判断，学会思考，再次引导学生做题前要判断属于植树问题的哪种情况，加深理解了植树问题的数学模型。【考查目标1、2】
2.提高练习
出示例2.大象馆和猩猩馆相距60米。同学们要在两馆间的小路两旁栽树，每相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽多少棵树？
答案：38棵。
解析：这道题虽说是两端都不栽，但是题目这次要求的是两旁，所以算出来还要乘2。应该是38棵才对。【考查目标1、2】
3. 变式练习
答案：26米。
解析：这一练习是逆向思考题，解决学校门口安全柱的总长问题，使学生的思维又一次得到激发，借助直观图的帮助，加深学生对两端都栽的计算方法。【考查目标1、2】
第二课时 植树问题
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级上册第108页例3相关内容。本课是关于封闭曲线上的植树问题，它可以转化为一条线段上的植树问题中的“一端栽另一端不栽”的情况，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，从常见的实际生活抽取数学模型，然后再解决生活中的实际问题。
（二）核心能力
在解决实际问题的过程中，进一步感知一一对应思想，提高抽取数学模型的能力。
（三）学习目标
1．运用转化的方法，理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。
2．在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，提高抽取数学模型的能力。
（四）学习重点
理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。
（五）学习难点
在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
（六）配套资源
《植树问题》名师教学课件。
二、学习设计
（一）课前设计
1.预习任务
小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵树？
（1）你怎么理解“一端栽，一端不栽”？
（2）这道题和刚学过的例1、例2有什么不同？
（3）画线段图解决问题。
（二）课堂设计
1.导入
师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？
师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。
【设计意图：复习旧知再现了在一条线段上植树的三种情况，以及“猜测──验证”的方法和“从简单事例中发现规律，再将规律应用于复杂问题解决”的数学思想，为本课新知内容的探索打下了坚实的基础。】
2.问题探究
（1）出示情境，展开探索
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？
预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。（教师追问2：一条什么样的曲线？）
逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。
预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。
师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？
学生独立思考，讨论汇报。
（2）概括归纳，得出模型
师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120 m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试）
①以周长为40 m的圆为例，通过下图得知，能栽4棵树。
②如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
预设：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。
③我们还可以用这样的方式来理解。
引导得出：植树的棵数与间隔数“一一对应”。
教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）
120÷10＝12（棵）???
答：一共要栽12棵树。
师：谁能完整地概括一下刚才的发现？
预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。
【设计意图：学生已经有了“在线段上植树”的学习经验，在出示情境图引导学生比较相同点和不同点之后，教师放手让学生自主探究。在概括归纳的环节，注重模型的对比和沟通，通过两种不同的方式，自然地得出在一条首尾相接的曲线上植树所需棵树与间隔数“一一对应”的结论，相当于在线段上植树中一端栽一端不栽的情况。】
（3）课堂练习，巩固新知
小组展示汇报预习任务中的作业。
3. 课堂总结
师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。
小结：根据学生回答，强调：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数和间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的问题中一端栽一端不栽的情况。
（三）课时作业
1．圆形滑冰场的一周全长是150 m。如果沿着这一圈每隔15 m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？
答案： 150÷15＝10（盏）
解析：注意审题，抓关键词“一圈”。【考查目标1、2】
2.有一个长30m，宽20 m的长方形鱼塘。现在要在鱼塘四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5 m。一共要栽多少棵树？
答案： 方法有两种：（1）（30＋20）×2＝100（m）? 100÷5＝20（棵）
（2）30÷5×2＝12（棵）? 20÷5×2＝8（棵） 12＋8＝20（棵）
解析：在长方形的花园四周栽树，引导学生画图理解这种问题中隐藏的规律。解决这类问题的方法有多种：可以先求出花园的周长，再按照例3的方法算出一共要栽的树；也可以分别求四条边上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。用第二种方法时，要注意四个角上的树不能重复计算。【考查目标1、2】
3.学校准备在全长50米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。如果你是绿化设计师，你准备怎样来植树？先把你的想法用画图的方法表示出来，然后计算出一共要准备树苗的棵数。
一共要准备（ ）棵树苗。
答案： 略。
解析：这是一道综合性开放题目，学生根据自己的理解，选择栽树的情况，三种情况任意一种都可以，培养学生灵活运用知识以及全面思维的良好习惯。【考查目标2】
