《植树问题（两端都栽）》参考教案
教学目标:
1．通过猜测、试验、、验证等数学探究活动，使学生初步体会两端都栽的植树问题的规律，构建数学模型，解决实际生活中的有关问题。
2．培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生的模型思想和化归思想。
教学重点：发现并理解两端都栽的植树问题中间隔数与棵数的规律。
教学难点：运用“植树问题”的解题思想解决生活中的实际问题。
教学准备：课件、直尺、学习纸。
教学过程：
（一）创设情境，引入新课
教师：你们知道3月12日是什么节日吗？关于植
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教师：其实在植树中还隐藏着很多数学问题呢！今天我们这节课就来研究植树中的数学问题。（板书课题：植树问题）
（二）充分经历，探究新知
1．大胆猜测，引发冲突。
（1）读一读，说一说。
课件出示例1，引导学生获取相关数学信息。让学生读题，然后指名说一说：从题中你了解到了哪些信息？重点帮助学生弄清楚下列数学信息的含义：
①“每隔5米栽一棵”是什么意思？
使学生明确“每隔5米栽一棵”就是指每两棵树之间的距离都是5米，每两棵树之间的距离也叫间隔长度，也可以说成“两棵树之间的间隔是5米”。
②“两端要栽”是什么意思？“一边”是什么意思？
可以先让学生说一说，然后教师拿出实物演示。例如：让学生指出尺子的两端指的是哪里？一边指的是什么？
（2）猜一猜，想一想。
让学生根据例题中的信息，猜一猜一共要栽多少棵树苗，教师对学生的猜测不发表评论，引导学生积极发表自己的看法。
教师：到底要栽多少棵呢？对不对呢？你打算怎样检验自己的猜想？
引导学生用画线段图的方法进行验证。
（设计意图：帮助学生厘清题意，让学生通过猜想答案，引起认知冲突，激发学生继续探究的欲望。）
2．借助操作，探究规律。
（1）初步体验，化繁为简。
教师：我们用一条线段表示100米的小路，每隔
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教师：为什么觉得很麻烦？
学生：因为100米里面有20个5米，太多了。
教师：也就是说100米在这道
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（2）教师演示，直观感知。
教师演示课件，边演示边说明。
教师：我们选取100米中的20米来研究，用一条线段表示20米，每隔5米栽一棵，也就是说树的间隔是5米。（教师板书）
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教师；大家看一看，我们把这段路平均分成了几段？也就是有几个间隔？栽了几棵树？
引导学生说出20米长的一条路，间隔长度是5米，有4个这样的间隔，可以栽5棵树。
（设计意图：让学生体会复杂问题可以从简单问题入手的解题策略，并通过课件的演示，向学生示范线段图的画法，为学生下面的自主探究作好准备。）
（3）动手操作，初步体验。
①让学生自由选择100米中的一小段，动手画一画，看一看这一小段上，两端都要栽，一共要栽几棵树。
②教师选择有代表性的作品进行展示，为什么这样画？重点让学生说一说自己的想法：你是怎样画的？为什么这样画？一共要栽多少棵树？
③教师：虽然这些同学选取的长度不一样，一共要栽的棵数也不一样，但他们所画的线段图特别是他们的分析和思考方法有相同的地方，你能找到吗？
引导学生观察，在这些不同的画法中，有一个共同的地方：棵树比间隔数多1。
（4）合理推测，感知规律。
教师：不用画线段图，如果这条路长30米、35米……又应栽几棵树呢？请同学们拿出学习纸，填写表格。
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学生填写表格，教师巡视，对个别学生进行指导和说明。
学生填写完表格后，小组交流汇报结果。
（5）归纳概括，理解规律。
教师：请大家认真观察表格，你发现在一条线段上栽树（两端要栽），间隔数和棵树有什么关系？将自己的发现在小组内说一说。
学生汇报自己的发现。
引导学生发现两端都栽树，植树的棵数比间隔数多1，也可以说间隔数比棵数少1。
教师：为什么两端都栽树，棵数比间隔数多1？
学生回答后，教师借助课件演示帮助学生进一步直观理解。
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（设计意图：学生动手操作，合作交流。让学生在不断的操作和交流中，经历了观察、发现和感受的全过程，学到了解决问题的方法。）
（6）即时巩固，强化规律。
教师：同学们都明白了两端都栽的情
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（设计意图：通过这个小练习，使学生进一步掌握在两端都栽的情况下，树的棵数和间隔数之间的关系。）
3．运用规律，验证例1。
教师：回到例1，在100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），到底一共要栽多少棵树？哪些同学刚才猜对了？
教师（点几个猜错的同学）：现在你知道自己猜错的原因是什么了吗？给大家说说看，你要提醒大家注意什么？
学生尝试列式解决问题，教师巡视，有针对性地指导。
全班汇报交流，主要让学生弄清楚：100÷5=20是什么意思？为什么还要用20+1=21（棵）？
（设计意图：让学生经历猜测——试验——验证的探究过程，同时让学生明确每步算式的意义，以便于学生更好地理解植树问题的数学模型。）
（三）回归生活，实际应用
1．“做一做”第1题。
教师：这道题里没有植树呀，能用我们今天学的方法解决吗？
使学生明确应用植树问题的规律，可以解决生活中很多类似问题。在本题中把一盏路灯看成一棵树，也能用植树问题的规律来解决。
教师：其实植树问题，并不只是与植树相关，生活中有很多问题和植树问题相似，比如安装路灯、电线杆、设立车站等。
2．练习二十四1、2、3题。
让学生进一步感受到植树问题在生活中的广泛应用。
3．练习二十四第4题。
教师：这一题与例题有什么不同？
老师引导学生找出此题与例题的区别。例题是知道全长与间隔长度求棵数，而本题是知道间隔长度与棵数求路的全长。
教师：你是怎样计算的？为什么用36减1？
（设计意图：运用植树问题的数学模型解决生活
( http: / / www.21cnjy.com )中的类似问题，把植树问题进行拓展应用，使学生能举一反三，触类旁通，并让学生体会到数学与实际生活的紧密联系。）
（四）课堂小结，畅谈收获。
1．对本次课中，探究植树问题的过程进行总结。
2．对解决植树问题的方法进行总结。
3．鼓励学生探索其他相关问题。《植树问题》单元教学分析
（一）教学目标
1．引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型思想。
2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。
3．让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生解决实际问题的能力。
（二）内容安排及其特点
1．教学内容和作用。
本单元“数学广角”主要是渗透有关植树问题
( http: / / www.21cnjy.com )的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。
植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路
( http: / / www.21cnjy.com )线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系也就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆，等等，这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系。
在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，
( http: / / www.21cnjy.com )也可以是一条首尾相接的封闭曲线如圆形。即使是关于最基本的一条线段上的植树问题，也可能有不同的情形。如两端都要栽，一端栽另一端不栽，两端都不栽。而在封闭曲线上的植树问题可以转化为在一条线段上的植树问题中的“一端栽另一端不栽”的情况。基于以上的认识，本单元具体的教材内容安排如下表。
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2．教材编排特点。
本单元编排上有以下特点。
（1）题材更为丰富。
与原实验教材相比，本次修订
( http: / / www.21cnjy.com )后的“植树问题”新增了一些生活中的“植树问题”。如例3探讨在一条封闭曲线上植树的问题。另外，教材在“做一做”和练习中增加了“每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树”“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等实际问题，一方面激发学生的学习兴趣和探究欲望，另一方面帮助学生多角度、有效地体会和运用植树问题的数学思想和方法。
（2）突出线段图的教学，帮助学生直观理解植树问题的数学模型。
在“植树问题”中最重要的数学思想就是模
( http: / / www.21cnjy.com )型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例1先画出形象的线段图，然后抽象成线段图表示两端都栽的情况，例2通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第2题，让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图，最后例3让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。教材通过突出线段图的教学，帮助学生直观理解不同情况下植树棵树、分割点和间隔数之间的关系，由此理解和建立植树问题的数学模型。
（3）注重培养学生的数学思维能力和解决问题的实践能力。
本单元注重让学生经历观察、猜测、验
( http: / / www.21cnjy.com )证、推理与交流等活动，使他们既学会一些解决问题的一般方法和策略，又逐步形成求实态度和科学精神。例如，例1通过“对吗？检验一下”“100m太长了，可以先用简单的数试试”“你发现了什么规律”等，渗透了“猜测——探索——归纳——应用”的解决问题的策略和化繁为简的解决问题的方法。又如，练习二十四第4题通过求“从第一棵到最后一棵的距离有多远”培养学生解决实际问题的能力。
（三）教学建议
1．让学生经历和体验知识的形成过程，感悟重要的数学思想和方法。
“数学广角”的教学目的主要是让学生
( http: / / www.21cnjy.com )体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元，教学时，教师应从实际问题人手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。以例1为例，教科书以“对吗？检验一下”“可以画线段图来验证”为线索，让学生经历猜想、试验、归纳、推理的过程，先后向学生渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。
2．强调画图的策略，引导学生有效地解决生活中的植树问题。
《标准(2011)》把几何直观作为核心概念之
( http: / / www.21cnjy.com )一，并且指出：在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，在教学中应引导学生用画图的方法解决植树问题，如“公共汽车站”“架设电线杆”“敲钟问题”“设置饮水点”“锯木头”“项链上的水晶”等问题，可以引导学生借助示意图或线段图进行分析，在直观理解的基础上解答。
3．把握好教学的度。
“数学广角”主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法。因此，在教学时注意对例题不要进行过多的变式，或者提高问题的难度。
4．建议用4课时教学。《练习二十四》编写意图和教学建议
编写意图
本练习有15道习题，除第10题外其他都是生活中常见的和植树问题相关的实际问题。
（1）第1、2、3题是两端都栽
( http: / / www.21cnjy.com )树的基本题型。第1题要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。第2题根据实际情况，首尾都要设车站，车站个数等于间隔数加10第3题和第2题类似，电线杆的根数等于间隔数加10
（2）第4、5题是两端都栽树的变式练习。和例
( http: / / www.21cnjy.com )1一样，这两题也要应用栽树的棵数比间隔数多1的规律，只不过例1是知道了路长求栽树的棵数，而第4题是知道树的棵数求路线长度，第5题是知道敲钟的次数求经过时间。通过变式练习，加深学生对在例1中发现的规律的理解。
（3）第6题用在走廊摆放植物的问题情境加深对两端都不栽的植树问题的巩固。
教学建议
（1）要注重用线段图来理解问题。
练习中的实际问题，相比例题有一些变化
( http: / / www.21cnjy.com )，要注重用线段图来帮助理解问题。比如第1题，通过画线段图，学生可以发现：求银杏树的棵树，实际就是求有多少个间隔。
（2）通过变式练习，培养学生灵活运用所学知识的能力。
第4、5题是植树问题数学
( http: / / www.21cnjy.com )模型的逆向应用，可以让学生根据前面发现的规律来解决。教学第4题时，如果学生有困难，还可以从简单的情况人手，用画图的方法先求2棵之间相距多远，3棵、5棵的距离，发现相距的长度和栽树的棵数之间的关系，然后利用规律来解决这个问题。第5题可参照第4题解决，大钟敲响5下的时候，实际中间共有4个间隔；12时敲响12下，中间有11个间隔，所用时间是11×2秒。对植树问题模型的逆向应用有困难的学生，可以制作一个钟表教具或准备实物钟让学生动手操作一下，或者画图帮助理解。
（3）逐步培养学生的应用意识。
除了让学生解决练习中给出的植树问题外，在做完6道习题后，可以问学生：生活中还有哪些植树问题？你会解答吗？从而培养学生的应用意识。
编写意图
（1）第7题通过马拉松比赛行程中的饮水服务点的设置问题，巩固学生对一端栽另一端不栽的植树问题的理解。
（2）第8题要把一根木头平均分成5段，需要锯几次？虽然不是植树，但是其规律和植树问题相同。
（3）第9题是综合运用所学知识解决实际问题的习题。此题先要求出跑道的总长，再想要插26面小旗，有多少个间隔，再用总长除以间隔数。
（4）第11题是发现规律
( http: / / www.21cnjy.com )、应用规律解决实际问题的习题。解答思路是：一张桌子坐6人，分开的两张桌子可以坐12人，如果两张桌子并在一起接头处不能坐人，所以只能坐10人，以后每并一张桌子都只能增加4人。照这样，10张桌子可以坐6+4×9人。而38人要并（38-6）÷4+1，即9张桌子。
教学建议
（1）注意对学生分层要求。
学完植树问题的三种情况以及进行了一定
( http: / / www.21cnjy.com )量的练习和训练之后，可以对学生进行分层要求：能直接运用发现的规律解题的，可以不画，例如，第7题，要让学生明白“平均每3千米设置一处饮水服务点”就是指每个间隔的用的，可以继续画线段图进行探究。这样，使不同的人在数学上得到不同的发展。
（2）作好植树问题与生活实际问题的对比沟通。
线段图，从而发展数学思维能力；不能直接
( http: / / www.21cnjy.com )运长度是3千米，求“全程一共有多少处这样的服务点”就是求棵数。第8题，可以结合实际，用一小段木头示范，或者画线段图分析，让学生看到锯木头的次数相当于棵数。通过对比沟通，使学生更好地理解和应用植树问题的数学模型。
编写意图
（1）第12～15题都是在一条封闭曲线上植树的实际问题，其中第14、15题是这一种情况中的特殊形式，即在长、正方形的四边上植树的类型。
（2）第12题的数量关系与例3相同。
（3）第13题是在长方形的花园四周栽树，
( http: / / www.21cnjy.com )可以引导学生画图理解这种问题中隐藏的规律。解决这类问题的方法有多种：可以先求出花园的周长，再按照例3的方法算出一共要栽的树；也可以分别求四条边上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。用第二种方法时，要注意四个角上的树不能重复计算。
（4）第14题与第13题的数量关系有相同之处，探索解决这类问题可以培养学生利用画图策略解决问题的能力。
（5）第15题是在第14题的基础上增加了一个问题，即求这个方阵的总人数，可以直接用乘法来求出。
（6）“成长小档案”引导学生回顾本单元学习的“植树问题”的知识，总结学习中的收获，交流学习的体会。
教学建议
（1）继续培养学生利用画图策略解决问题的能力。
第12～15题是从一条圆形封闭曲线到长
( http: / / www.21cnjy.com )方形，再从长方形到正方形，按顺序有层次进行编排。教学时，继续引导学生用画图的方法探究，在动手操作、认真观察的基础上进行分析和思考，发现其中蕴含的规律。
在长、正方形类型的探究中，使学生发现既可以将
( http: / / www.21cnjy.com )方阵的最外层看成是封闭曲线上植树的情况，也就是一条线段上植树的情况（一端栽另一端不栽），也可以看成是由四条线段组成的情况（四条一端栽另一端不栽，或者两条两端都栽和另两条两端都不栽）。
（2）通过比较不同的算法，提高学生的思维水平。
正因为学生在分析方阵的最外层时
( http: / / www.21cnjy.com )有不同的方法，计算也就会有不同的算法。以第14题为例，可以用17×4+4，18×4，19×4—4，19×2+17×2等方法计算。教师要适时引导学生通过比较各种算法，学习、吸收更好的解决问题的方法、思路和策略，逐步提高学生的思维水平。《植树问题》编写意图和教学建议
编写意图
（1）例1是关于一条线段上的植树问
( http: / / www.21cnjy.com )题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。
（2）教材从具体到抽象，从特殊到一般，呈现分析、思考、解决问题的全过程。
教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔
( http: / / www.21cnjy.com )5m栽一棵，共栽100÷5＝20（棵）”，接着由“对吗？检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题，渗透简单的化归思想。
然后，呈现同学们用示意图和线段图分析
( http: / / www.21cnjy.com )问题的过程。通过画图先解决20
m和25m的植树情况，并从中发现它们共同的规律：栽树的棵数比间隔数多1，接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况，并加以验证。
最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律，并据此解决数据更大的问题。
教学建议
（1）引导学生经历解决问题的全过程。
教学时，可结合情境图出示问题，学生可能
( http: / / www.21cnjy.com )得出错误的结论：100÷5＝20（棵）。这时可以引导学生想：怎样检验这个结果是否正确？使学生经历整个分析、思考的全过程并且初步感受到：遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
（2）重点培养学生建立数学模型的能力。
教师要指导学生通过线段图建立植
( http: / / www.21cnjy.com )树问题的数学模型。教学时，可让学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察两端都栽树的示意图或线段图，把分割点数和栽树的棵树一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵数与间隔数之间的关系。之后让学生在30m、35m上加以验证，从而建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。
此外，还可适当拓展植树问题数学模型的逆向应用。教师可根据教学情况，适当拓展如练习中的第4题，巩固学生对数学模型的理解和灵活运用。
编写意图
（1）例2是关于一条线段上的植树问题的另一种情况，即两端都不栽树的情况。
教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决例题提出的问题。
（2）教材以文字配情境图的方式呈现问题
( http: / / www.21cnjy.com )，以帮助学生理解题意。由于有了前面探索的经验，学生自然会想到借助线段图来分析，所以教材呈现了3位同学的分析和思考过程，引导学生继续画线段图进行分析，从而发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1，然后利用发现的规律解决例题的问题。
（3）“做一做”第1题和例1对应，主要是帮助学生利用规律解决生活中“两端都栽树”的实际问题。
（4）“做一做”第2题仍是植树问题，是一端
( http: / / www.21cnjy.com )栽另一端不栽的情况。通过画线段图，在与例1、例2的对比来获得对这一基本模型的理解，并运用发现的规律解决要求的问题。
教学建议
（1）重视知识的迁移和转化。
例2是在例1的基础上教学的。
( http: / / www.21cnjy.com )教学时，可以先放手让学生独立思考。如果有学生直接用例1的规律来解答，教师可以提示学生：小路的两端都是场馆，还需不需要栽树呢？鼓励学生用自己的方法探索这种情况的规律。让学生在知识的迁移和转化中学习解决问题的方法。
（2）注意学生学习习惯的培养。
教学时，教师要注重学生读题、审题习惯的培养。如要认真理解例2中“小路两旁栽树”和“两端都不栽”的含义。
另外，这里解答的格式不作统一要求，学生只要能找出正确的答案即可。
编写意图
（1）例3是在一条首尾封闭的曲线上植树
( http: / / www.21cnjy.com )的问题，进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。
（2）和前面的编排类似，教材呈现了4位
( http: / / www.21cnjy.com )同学探索解决问题的过程。首先，通过女孩的话“先画图，试试看。假设周长是40m……”，引导学生从简单的情况入手进行探究。接着，通过小精灵的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么”，启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，即栽树的棵树正好等于间隔数，并渗透转化的数学思想。
（3）“做一做”是对例3的巩固，同时使学生体会到用发现的规律能很方便地解决生活中的植树问题。
教学建议
（1）放手让学生自主探究。
学生已经有了例1、例2的学习经验和基础，
( http: / / www.21cnjy.com )教学例3时，教师可出示情境图，引导学生认真观察发现与前面的相同点和不同点，再提出要解决的问题：一共要栽多少棵树？放手让学生独立思考，或者小组合作进行探索，再组织学生讨论汇报。通过自主探索、讨论交流和教师的引导，让学生领会这种植树问题就相当于一条线段上植树的一端栽另一端不栽的情况。
（2）注重模型的对比与沟通。
学生学习植树问题时的难点之一就是容易将两端都
( http: / / www.21cnjy.com )栽、一端栽另一端不栽、两端都不栽三种情况混淆。学习例3后，教师可引导学生借助线段图将三种情况进行对比与沟通，把只有一端栽作为基本的模型，再根据两端都栽或都不栽的实际情况进行调整，方便学生理解和记忆。
（3）继续强调画图的方法。
教学时，要继续突出画图的方法。此时的画图，可以重点突出判断植树问题的三种情况，帮助学生选择解决问题的模型。
