构建数学模型破解含参函数教案
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文档简介
构建数学模型
破解含参函数
含参数函数的综合问题，通常以求坐标点、函数解析式作为切入点，逐步深入，达到一定难度.本文谈谈如何构建数学模型，破解这类问题.
一、真题解析，解法评析
题1
(2017年福建中考题)已知直线与抛物线有一个公共点，且.
(1)、(2)略.
(3)直线与抛物线的另一个交点记为.
①若，求线段长度的取值范围;
②求面积的最小值.
分析此题(3)中第①小问已知的值域，求长度的取值范围，可先用含的式子表示线段的两个端点、，然后利用两点之间的距离公式来求解.
第②问为在抛物线中求三角形的面积问题，构造草图辅助分析，作抛物线的对称轴，交于点，如图1.可将分为和，则，问题转化为求两小三角形面积，它们有公共的底，高分别为点到对称轴的距离和点到对称轴的距离，则
然后根据参数的值域求面积的最小值即可.
解①联立直线方程和抛物线方程，得
求解后可得点的坐标为
于是
由，可知的取值范围为
②先求点的坐标.
将代入
得
则
点，
则
由
求得
则面积的最小值为
评注上述解题过程中，将所求三角形分为两个有着共同底的特殊三角形，利用数学建模思想，根据面积公式，结合点坐标，将三角形面积问题转化为与坐标参数相关的函数问题，从而建立起三角形面积与已知参数的关系，最终巧妙求解.这里，数学建模思想可以有效应用于求含参函数中的面积问题，采用建模的方式，用含参函数表示几何面积，然后通过分析参数取值来达到求解的目的.
二、考题衔接，数学建模
含参函数综合题的问题形式是多样的，可用参数来分析几何的面积，同样可以逆向考查，通过几何面积来分析参数的取值.解该类题也可采用建模思想，在平面坐标中建立几何图象，再借助函数方程建立几何的数学模型，最终对模型的分析来确定参数的值.
题2
抛物线与轴交于点、(在的左边)，与轴交与点，直线经过点，交抛物线与第一象限内的点，且点的横坐标为.
(1)略;
(2)若为下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标.
分析求的面积最大时点的坐标，可先求抛物线的解析式，设出点的坐标，用含有或的参数表示的面积，在其面积最大值时求参数的值.求的面积可利用建模思想构造图形，如图2，过点作轴，交于，则可将分解为和，于是，然后可利用相关参数求面积
解
如图2，过点作轴，交于，根据抛物线的性质可得直线的解析式为
设，其中
当时，取得最大值
点位于直线上
则当时，
评注本题通过数学建模的方式，实现了几何图象到函数参数的过渡.模型建立的关键是有效分析几何图象，将其分解为几个较为特殊的三角形，根据面积公式建立含参函数，该思想方法是解决含参函数题最为有效的方法.
三、试题拓展，挖掘本质
含参数的函数题也可以与运动问题相结合，即将动点的路径作为研究函数图象的一个关键条件.解决的方法同样可以采用数学建模的方式，将动点的路径转化为含时间的参数，建立起时间与长度、面积等变量的关系，实现建模.
题3
(2017年聊城中考题)已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点.
(1)、(2)略.
(3)点从点出发沿线段上方的抛物线向终点移动，在移动中，点的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，同时以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点移动，点、移动到各自终点时停止.当两个动点移动秒时，求四边形的面积关于的函数关系式，并求为何值时，有最大值 最大值是多少
分析
本题求关于的函数关系以及的最大值，其实质是建立目标函数、求最值的问题，需借助几何知识建立面积关于参数的函数关系式.
采用建模的方式，如图3，可将四边形的面积转化为的面积的面积，然后根据点的运动情况表示关键边的长度，最终建立目标函数的数学模型.
解
根据题意可知点、可同时到达各自的终点，如图3.作轴于点，则于点
则，
设交于点，则
于是有
又
∴
当时，取得最大值
评注
本题涉及到了动点问题，分析动点的路径成为解题的关键.
解题过程从求点的坐标作为切入点，采用数学建模的方式，由点到线，再由线到面，巧妙构建了几何面积的数学模型，最后通过分析参数达到了求解的目的，整个过程逐步深入，思维有序，方法简捷.
含参函数综合题常将几何问题隐含在函数中，解题的过程实际上就是数学建模的过程.求解时可对其进行逆转，即用相关参数表示几何变量，建立几何问题的数学模型，通过分析模型来求解所以说，建模思想是求解含参函数题的重要的思想方法，是构建几何与函数关系的有效工具.
破解含参函数
含参数函数的综合问题，通常以求坐标点、函数解析式作为切入点，逐步深入，达到一定难度.本文谈谈如何构建数学模型，破解这类问题.
一、真题解析，解法评析
题1
(2017年福建中考题)已知直线与抛物线有一个公共点，且.
(1)、(2)略.
(3)直线与抛物线的另一个交点记为.
①若，求线段长度的取值范围;
②求面积的最小值.
分析此题(3)中第①小问已知的值域，求长度的取值范围，可先用含的式子表示线段的两个端点、，然后利用两点之间的距离公式来求解.
第②问为在抛物线中求三角形的面积问题，构造草图辅助分析，作抛物线的对称轴，交于点，如图1.可将分为和，则，问题转化为求两小三角形面积，它们有公共的底，高分别为点到对称轴的距离和点到对称轴的距离，则
然后根据参数的值域求面积的最小值即可.
解①联立直线方程和抛物线方程，得
求解后可得点的坐标为
于是
由，可知的取值范围为
②先求点的坐标.
将代入
得
则
点，
则
由
求得
则面积的最小值为
评注上述解题过程中，将所求三角形分为两个有着共同底的特殊三角形，利用数学建模思想，根据面积公式，结合点坐标，将三角形面积问题转化为与坐标参数相关的函数问题，从而建立起三角形面积与已知参数的关系，最终巧妙求解.这里，数学建模思想可以有效应用于求含参函数中的面积问题，采用建模的方式，用含参函数表示几何面积，然后通过分析参数取值来达到求解的目的.
二、考题衔接，数学建模
含参函数综合题的问题形式是多样的，可用参数来分析几何的面积，同样可以逆向考查，通过几何面积来分析参数的取值.解该类题也可采用建模思想，在平面坐标中建立几何图象，再借助函数方程建立几何的数学模型，最终对模型的分析来确定参数的值.
题2
抛物线与轴交于点、(在的左边)，与轴交与点，直线经过点，交抛物线与第一象限内的点，且点的横坐标为.
(1)略;
(2)若为下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标.
分析求的面积最大时点的坐标，可先求抛物线的解析式，设出点的坐标，用含有或的参数表示的面积，在其面积最大值时求参数的值.求的面积可利用建模思想构造图形，如图2，过点作轴，交于，则可将分解为和，于是，然后可利用相关参数求面积
解
如图2，过点作轴，交于，根据抛物线的性质可得直线的解析式为
设，其中
当时，取得最大值
点位于直线上
则当时，
评注本题通过数学建模的方式，实现了几何图象到函数参数的过渡.模型建立的关键是有效分析几何图象，将其分解为几个较为特殊的三角形，根据面积公式建立含参函数，该思想方法是解决含参函数题最为有效的方法.
三、试题拓展，挖掘本质
含参数的函数题也可以与运动问题相结合，即将动点的路径作为研究函数图象的一个关键条件.解决的方法同样可以采用数学建模的方式，将动点的路径转化为含时间的参数，建立起时间与长度、面积等变量的关系，实现建模.
题3
(2017年聊城中考题)已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点.
(1)、(2)略.
(3)点从点出发沿线段上方的抛物线向终点移动，在移动中，点的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，同时以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点移动，点、移动到各自终点时停止.当两个动点移动秒时，求四边形的面积关于的函数关系式，并求为何值时，有最大值 最大值是多少
分析
本题求关于的函数关系以及的最大值，其实质是建立目标函数、求最值的问题，需借助几何知识建立面积关于参数的函数关系式.
采用建模的方式，如图3，可将四边形的面积转化为的面积的面积，然后根据点的运动情况表示关键边的长度，最终建立目标函数的数学模型.
解
根据题意可知点、可同时到达各自的终点，如图3.作轴于点，则于点
则，
设交于点，则
于是有
又
∴
当时，取得最大值
评注
本题涉及到了动点问题，分析动点的路径成为解题的关键.
解题过程从求点的坐标作为切入点，采用数学建模的方式，由点到线，再由线到面，巧妙构建了几何面积的数学模型，最后通过分析参数达到了求解的目的，整个过程逐步深入，思维有序，方法简捷.
含参函数综合题常将几何问题隐含在函数中，解题的过程实际上就是数学建模的过程.求解时可对其进行逆转，即用相关参数表示几何变量，建立几何问题的数学模型，通过分析模型来求解所以说，建模思想是求解含参函数题的重要的思想方法，是构建几何与函数关系的有效工具.
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