三角形三边关系定理的拓展与应用教案

三角形三边关系定理的拓展与应用
几何定理是推理论证的基础，定理探究教学的深度和广度对学生思维品质和探究能力的培养影响巨大.
但是，很多教师在定理的探究教学中存在轻过程重应用、轻条件重结果的倾向，使得学生的学习效益大打折扣.
教学中如果适当变换定理的研究条件和研究内容，我们就可以获得新知，定理的内容也就得以拓展，学生的知识面也得以拓宽.
现以三角形三边关系定理为例加以阐明.
一、变换定理的研究条件
我们先来阅读两道中考压轴题:
1.在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标;
2.设抛物线与轴的另一个交点为，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当点在什么位置时有最大 并求出最大值.
第1题是求的最小值，第2题是求的最大值.
怎样求两线段之和的最小值和两线段之差的最大值呢 我们不妨来做一个探究.
首先，若、、是平面内不在同一直线上的三点，由三角形三边关系定理可以知:线段、、之间始终存在，.
现在我们变换定理的件:若点是平面内异于定点、的一个动点，那么当、、点在同一直线上时，我们又可以得出什么结论呢
不难发现:当、、三点共线时，动点在线段上或线段延长线上.
当点在线段上时;当点在线段延长线时.
综上所述，对于平面内任意三点、、始终存在，.
当动点在线段上时，有最小值线段的长(如图1);当动点在线段的延长线上时，有最大值线段的长(如图2).
可见，对于对于平面内任意三点只要满足“两定一动”(即两个定点，一个动点)三点共线时，连结两定点与动点所得两线段的和或差就有最值产生，我们就可以利用这一点轻松解决线段和差的最值问题.
例1如图3，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与轴交于点.
(1)若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标;
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
我们分析第2问:题中显然存在两定点、及一动点，但当、、三点共线时，点落在了线段的延长线上，这时易求得的最大值，而本题要求的是的最小值.这时我们可以用轴对称的方法把定点沿抛物线的对称轴的翻折到点的位置，直线交对称轴于点，如图3点落在了线段上，的最小值产生.
因为点和点关于抛物线的对称轴对称，所以点的坐标为，而点的坐标为(，所以直线的解析式为，所以点的坐标为.
例2如图4所示，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，，，与轴相交于点，且是的中点，、、三点的坐标分别是.
连接，并把线段沿方向平移到.若抛物线经过点、、.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)设抛物线与轴的另一个交点为，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当点在什么位置时有最大 并求出最大值.
我们分析第3问:由已知易求得抛物线的解析式为，对称轴为.
题中显然存在两定点、及一动点，但当、、三点共线时，点落在了线段上，这时易求得的最小值，而本题要求的是的最大值.
这时我们可以用轴对称的方法把定点沿抛物线的对称轴翻折到点的位置，然后延长交对称轴于点，如图4.
点落在了线段的延长线上，的最大值产生.
令
解得
∴
因为、关于直线对称
∴
∴
由于为的中点
∴
设直线的解析式为
则
解得
∴
当时，
故当在的位置时，最大
过点作轴，垂足为
则
二、变换定理的研究内容
我们不妨变三角形三边关系定理的“三边”为“三边上的高”加以研究.
如图5，、、分别是三角形三边、、上的高，请问、、有何关系
∵、、是三角形的三边
∴
∵、、分别是三角形三边、、上的高
∴
∴
同理可证
于是我们又收获了·个新的结i仑:
三角形任意两边上高的倒数和人大于第三边上高的倒数，任意两边高的倒数差小于第三边上高的倒数.
现在我们用它解决如下一个实际问题:
小明用硬纸片做了一个三角形.
然后画出其中两边上的高，用刻度尺量的这两条高分别为4和]2，而恰好第三边上的高也是整数，请你猜想这条边上的高最长可能是多少了.
解析
设三角形第三边L的高为
∵
∴
因为为整数，所以，所以这条边上的高最长可能是.
这里，通过对一个定理的再次探究，获得了新的收获，既使得知识得以拓展与延伸，同时也完善了对认知的理解.
当然，教学中对知识拓展必须有度，不然会喧宾夺主，本末倒置，淡化主题.
善于抓住知识拓展的契机和把握拓展的火候是每一个数学教师不懈的追求.