北师大版九年级数学下册第三章 圆习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第三章 圆习题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-01-18 19:35:43 | ||
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文档简介
第三章 圆
3.1 圆
基础题
知识点1 圆的有关概念
1.下列说法正确的是(D)
A.半圆是弧，弧也是半圆
B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径
C.弦是直径
D.直径是圆中最长的弦
2.下列条件中，能画唯一圆的是(B)
A.以已知点O为圆心
B.以点O为圆心，2
cm为半径
C.以1
cm为半径
D.经过已知点A，且半径为2
cm
3.已知⊙O的直径AB＝6
cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于(C)
A.2
cm
B.2.5
cm
C.3
cm
D.无法确定
4.如图，圆中有1条直径，3条弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.
5.如图，⊙O的半径是5，∠AOB＝60°，则AB＝5.
6.孙老师上数学课时忘记了带圆规，但他手里有一根小细绳，你能帮他在黑板上画一个圆吗？并说明理由.
解：能.将小细绳绕着它的一个端点，旋转一周，另一个端点走过的路线即为一个圆，理由：圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
知识点2 点与圆的位置关系
7.(湘西中考)⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离OA＝3
cm，则点A与⊙O的位置关系为(B)
A.点A在圆上
B.点A在圆内
C.点A在圆外
D.无法确定
8.已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是(A)
A.点P在⊙O内
B.点P的⊙O上
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或⊙O外
9.已知⊙O的半径为3
cm，⊙O所在的平面内一点P，当PO＝3__cm时，点P在⊙O上；当PO<3__cm时，点P在⊙O内；当PO>3__cm时，点P在⊙O外.
10.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，r＝3为半径作圆，判断A，B两点和⊙C的位置关系.
解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3.
∵AC＝4＞r，∴点A在⊙C外.
∵BC＝3＝r，∴点B在⊙C上.
中档题
11.下列命题，其中正确的有(A)
①两个端点能够重合的弧是等弧；②面积相等的两个圆是等圆；③弦是圆上任意两点之间的部分；④同圆或等圆中，劣弧比优弧短.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(A)
A.E，F，G
B.F，G，H
C.G，H，E
D.H，E，F
13.如图，在△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为(C)
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
14.矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心画圆，使B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围为(D)
A.r＞3
B.r＜4
C.r＜5
D.3＜r＜5
15.(永州中考)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝35°.
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB为半径画圆，则斜边AB的中点D与⊙C的位置关系是点D在⊙C上.
17.如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过2或秒后，点P在⊙O上.
18.如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5
m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面1.5
m.当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.
解：小狗在地面上环绕的圆的半径为
＝2.0(m)，
故小狗在平整的地面上活动的最大区域是以2.0
m为半径的圆.
如图：
综合题
19.(杭州中考)如图1，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
图1 图2
解：设OA交⊙O于M，连接BM.
∵OA′·OA＝r2，r＝4，OA＝8，∴OA′＝2.
∵OB′·OB＝r2，r＝4，OB＝4，
∴OB′＝4，即点B和B′重合.
∵∠BOA＝60°，OB＝OM，∴△OBM为等边三角形.
∵点A′为OM的中点，∴B′A′⊥OM.
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝4sin60°＝2.
3.2 圆的对称性
基础题
知识点1 圆的对称性
1.下列语句中，不正确的是(C)
A.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
2.(泰安中考)下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为2π(结果保留π).
知识点2 圆心角、弧及弦之间的关系
4.在同圆或等圆中，如果＝，那么AB和CD的关系是(B)
A.AB＞CD
B.AB＝CD
C.AB＜CD
D.AB＝2CD
5.(兰州中考)如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A)
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
6.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D)
①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则＝，∠AOC＝∠BOC；
(2)若＝，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则＝，AC＝BC.
8.如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°.
9.如图，已知：在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB.求证：＝.
证明：连接OC，OD，则OC＝OD.
∵M，N分别是半径OA，OB的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).
∴∠MOC＝∠NOD.∴＝.
中档题
10.下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等.其中正确的个数为(B)
A.1
B.2
C.3
D.4
11.形如半圆形的量角器直径为4
cm，放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的两个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为(B)
A.(－1，)
B.(0，)
C.(，0)
D.(1，)
12.如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是(A)
A.AE＝EF＝FB
B.AC＝CD＝DB
C.EC＝FD
D.∠DFB＝75°
13.如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是(C)
A.AB>2CD
B.AB＝2CD
C.AB<2CD
D.以上都不正确
14.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D，E，F，G是上的点，且有＝＝＝＝＝，则∠OCG＝30°.
15.(黄石中考)如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P使得AP＝OA，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长.
解：(1)证明：连接OC.
∵∠AOB＝120°，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC、△BOC是等边三角形.
∴OA＝OB＝BC＝AC.
∴四边形AOBC是菱形.
∴AB平分∠OAC.
(2)∵OA＝AP，OA＝AC，∴AP＝AC.
又∵∠CAO＝∠ACO＝60°，
∴∠APC＝30°，∠OCP＝90°.
∴PC＝OC＝.
综合题
16.我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等[弦心距指从圆心到弦的距离(如图1中的OC、OC′)，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度].请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
解：(1)证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM，ON分别是弦AB，CD的弦心距，
∴AB＝CD.
(2)上述结论成立.
证明：当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM，ON分别是弦AB，CD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD.
3.3 垂径定理
基础题
知识点1 垂径定理
1.(黄石中考)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(A)
A.5
B.7
C.9
D.11
2.如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16
cm，OC＝6
cm，则⊙O的半径为(B)
A.
cm
B.10
cm
C.8
cm
D.
cm
3.(三明中考)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是(A)
A.2
B.3
C.4
D.5
4.(黑龙江中考)如图，⊙O的直径CD＝10
cm，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8
cm，则sin∠OAP的值是(C)
A.
B.
C.
D.
5.(广元中考)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是(B)
A.CE＝DE
B.AE＝OE
C.＝
D.△OCE≌△ODE
知识点2 垂径定理的推论
6.下列说法错误的是(C)
A.垂直于弦的直径平分弦
B.垂直于弦的直径平分弦所对的弧
C.平分弦的直径平分弦所对的弧
D.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
7.如图，AB是⊙O的弦，OC为半径，与AB交于点D，且AD＝BD，已知AB＝6
cm，OD＝4
cm，则DC的长为(D)
A.5
cm
B.2.5
cm
C.2
cm
D.1
cm
知识点3 垂径定理的应用
8.如图是一个圆弧形门拱，拱高AB＝1
m，跨度CD＝4
m，那么这个门拱的半径为(B)
A.2
m
B.2.5
m
C.3
m
D.5
m
9.(东营中考)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1
m，其中水面的宽AB为0.8
m，则排水管内水的深度为0.8m.
10.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3
m，弓形的高EF＝1
m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在⊙O的半径r.
解：∵弓形的跨度AB＝3
m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB.
∴AF＝AB＝
m.
∵所在⊙O的半径为r，弓形的高EF＝1
m，
∴AO＝r，OF＝r－1.
在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2，
即r2＝()2＋(r－1)2.解得r＝.
故r＝
m.
中档题
11.如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别为和的中点，OM，ON分别交AB，AC于E，F，则∠MON的度数为(C)
A.110°
B.120°
C.130°
D.100°
12.如图，小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8
m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2
m，则凉台所在圆的半径为(B)
A.4
m
B.5
m
C.6
m
D.7
m
13.如图，将半径为2
cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(C)
A.2
cm
B.
cm
C.2
cm
D.2
cm
14.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是(C)
A.8
B.2
C.2或8
D.3或7
15.(黔西南中考)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6，BE＝1，则⊙O的直径为10.
16.(绍兴中考)如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40
cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10
cm，则该脸盆的半径为25cm.
图1
图2
17.(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
解：(1)证明：作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD，
连接OC，OA.
∵OE＝6，
∴CE＝＝＝2，
AE＝＝＝8.
∴AC＝AE－CE＝8－2.
综合题
18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2
m，拱高CD为2.4
m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
解：(1)连接OB.
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点.
∵AB＝7.2
m，
∴BD＝AB＝3.6
m.
设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得
r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.
∴拱桥的半径为3.9
m.
(2)令船舱顶部两点分别分M，N(CN在M的右边)，连接ON.
∵CD＝2.4
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m).
∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m).
在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，
∴EN＝(m)，
MN＝2EN＝2×≈3.44
m＞3
m.
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理及其推论1
基础题
知识点1 圆周角的概念
1.(柳州中考)下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)
A B
C
D
2.如图，图中的圆周角有(C)
A.10个
B.11个
C.12个
D.13个
知识点2 圆周角定理
3.(温州中考)如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是(A)
A.2∠C
B.4∠B
C.4∠A
D.∠B＋∠C
4.(济宁中考)如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(C)
A.40°
B.30°
C.20°
D.15°
5.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(A)
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
6.(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30度.
知识点3 圆周角定理的推论1
7.(自贡中考)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(C)
A.15°
B.25°
C.30°
D.75°
8.(百色中考)如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝65°.
9.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠ADB＝∠BDC.
∴DB平分∠ADC.
中档题
10.(巴彦淖尔中考)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B)
A.40°，80°
B.50°，100°
C.50°，80°
D.40°，100°
11.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为(B)
A.15°
B.28°
C.29°
D.34°
12.(泰安中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(B)
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
13.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为62°.
14.(临夏中考)如图，在⊙O中，弦AC＝2，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝.
15.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
(2)若OC＝3，OA＝6，求tan∠DEB的值.
解：(1)连接OB，
∵OD⊥AB，∴＝.
∴∠BOD＝∠AOD＝52°.
∴∠DEB＝∠BOD＝26°.
(2)∵OD⊥AB，OC＝3，OA＝6，
∴OC＝OA，即∠OAC＝30°.
∴∠AOC＝60°.
∴∠DEB＝∠AOC＝30°.
∴tan∠DEB＝.
16.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC的度数.
解：连接OB，OC，OD.
∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，
∠BCD＝20°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.
∴∠BOC＝100°，
∠BAC＝∠BOC＝50°.
综合题
17.(台州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
解：(1)∵BC＝DC，
∴＝.
∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.
∵∠CBD＝39°，
∴∠BAC＝∠CAD＝39°.
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.
(2)证明：∵EC＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB.
∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，
∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.
又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
第2课时 圆周角定理的推论2、3
基础题
知识点1 圆周角定理的推论2
1.(湖州中考)如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
2.(台州中考)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)
3.(玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
4.(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8
cm，ON＝6
cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A.
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
5.(眉山中考)如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)
A.64°
B.58°
C.72°
D.55°
6.如图，在半径为5
cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.
解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，
∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×＝5(cm).
知识点2 圆周角定理的推论3
7.(杭州中考)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)
A.20°
B.30°
C.70°
D.110°
8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A.115°
B.105°
C.100°
D.95°
9.(常德中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为(D)
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
10.在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠B的度数是(C)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
11.(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.
中档题
12.(达州中考)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(C)
A.
B.2
C.
D.
13.(烟台中考)如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是(D)
A.40°
B.70°
C.70°或80°
D.80°或140°
14.(无锡中考)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
解：(1)∵OD∥BC，
∴∠DOA＝∠B＝70°
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠D＝55°.
∵AB是直径，∴∠C＝90°.∴∠CAB＝20°.
∴∠CAD＝35°.
(2)∵∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝.
∵O是AB中点，OD∥BC，∴OE＝＝.
∴DE＝2－.
15.(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长.
解：(1)证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°.
∵E是AB的中点，
∴DA＝DB.
∴∠1＝∠B.
∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.
(2)∵∠1＝∠F，
∴AE＝EF＝2.
∴AB＝2AE＝4.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，
∴BC＝＝8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，
∴x＝3，即CD＝3.
综合题
16.(1)如图1，PA，PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明；
(2)如图2，PA，PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE，PE与PB的数量关系，并证明.
解：(1)AB＝AC.
证明：∵AB为直径，C为的中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC.
∴AB＝AC.
(2)AE＝PB＋PE.
证明：在AE上截取AF＝BP，连接AC，BC，FC，PC.
∵C为劣弧的中点，即＝，
∴AC＝BC.
在△CAF和△CBP中，
，
∴△CAF≌△CBP.
∴CF＝CP.
又∵CD⊥PA，
∴EF＝EP.
∴AE＝AF＋EF＝PB＋PE.
小专题(八) 与圆的基本性质有关的计算与证明
1.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.
(1)求∠B的大小；
(2)已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长.
解：(1)∵∠CAB＝∠CDB，∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°.
又∵∠APD＝65°，
∴∠B＝∠APD－∠CDB＝25°.
(2)过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3，BE＝DE.
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线.
∴AD＝2OE＝6.
2.(南京中考)A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角.已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角.
(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°；
(2)如图，若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数.
解：连接OA，OB，AB.
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2.
∴∠AOB＝90°.
∴∠APB＝∠AOB＝45°.
3.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝45°.
(1)求∠ABD的度数；
(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径.
解：(1)∵∠C＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝45°.
(2)连接AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6.
∴⊙O的半径为3.
4.(宁夏中考)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长.
解：(1)证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C.
∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
(2)连接AE.
∵AB为直径，∴AE⊥BC.
由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝.
∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△CDE∽△CBA.
∴＝.∴CE·CB＝CD·AC.
∵AC＝AB＝4，∴×2＝4CD.
∴CD＝.
5.(深圳中考)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长)为2米，求小桥所在圆的半径.
解：∵＝，DE＝8，
解得EF＝12.
∵EG＝3，HF＝1，
∴GH＝EF－EG－HF＝8.
由垂径定理，得GM＝GH＝4.
又MN＝2，设半径OG＝R，则OM＝R－2.
在Rt△OMG中，由勾股定理，得
OM2＋MG2＝OG2.
∴(R－2)2＋42＝R2.解得R＝5.
答：小桥所在圆的半径为5米.
6.(安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.
解：(1)连接OQ.
∵PQ∥AB，PQ⊥OP，
∴OP⊥AB.
∵AB＝6，∴OB＝3.
∵∠ABC＝30°，
tan∠ABC＝，即＝.
∴OP＝.
由勾股定理，得
PQ＝＝＝.
(2)连接OQ.
由勾股定理，得PQ＝＝.
要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC.
∵∠ABC＝30°，
∴OP＝OB＝，此时PQ最大＝＝.
7.(烟台中考)如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值.
解：(1)△ABC为等腰三角形.理由如下：
连接AE，∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
即AE平分∠BAC.
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，即AE⊥BC.
又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△BAE.∴AC＝AB.
∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6.
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝＝8.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∴S△ABC＝AE·BC＝BD·AC.
∴BD＝＝.
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，
∴AD＝＝.
∴sin∠ABD＝＝＝.
8.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点.
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∴AB＝AC.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC为等边三角形.
(2)连接BE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点.
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴BD＝BC＝1，DE＝AB＝×2＝1.
(3)假设存在点P，使△PBD≌△AED.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°.
∴∠PBD＝120°.
∵DE∥AB，∴∠AED＝120°.
又∵△PBD≌△AED，BD＝ED，
∴PB＝AE＝1.
周周练(3.1～3.4)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.下列说法中，错误的是(B)
A.直径相等的两个圆是等圆
B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2.(娄底中考)如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
3.(泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(D)
A.180°－2α
B.2α
C.90°＋α
D.90°－α
4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是(B)
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5
D.4＜OM＜5
5.AB是⊙O的弦，OQ⊥AB，垂足为Q，再以OQ为半径作同心圆，称作小⊙O，点P是AB上异于A，B，Q的任意一点，则点P位置是(D)
A.在大⊙O上
B.在大⊙O外部
C.在小⊙O内部
D.在小⊙O外，大⊙O内
6.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为(B)
A.
B.2
C.2
D.4
7.已知⊙O的直径CD＝10
cm，AB是⊙O的弦，AB＝8
cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为(C)
A.2
cm
B.4
cm
C.2
cm或4
cm
D.2
cm或4
cm
8.(泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于(D)
A.1∶
B.1∶
C.1∶2
D.2∶3
二、填空题(每小题5分，共20分)
9.已知⊙O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是点M在⊙O外.
10.如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于60度.
11.如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD＝30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB＝3，则BC＝3.
12.如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝60°.
三、解答题(共48分)
13.(10分)已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P与⊙O有怎样的位置关系？
解：∵方程x2－2x＋d＝0有实数根，
∴(－2)2－4×1×d＝4－4d≥0.∴d≤1.
又∵d≥0，∴0≤d≤1.
∴当d＝1时，点P在⊙O上；
当0≤d＜1时，点P在⊙O内.
综上所述，点P在⊙O内或⊙O上.
14.(12分)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB等于2(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数.
解：连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D.
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°.
∴∠BOD＝2∠DAB＝100°.
15.(12分)已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.
图1 图2
(1)如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
(2)如图2，若∠CAB＝60°，求BD的长.
解：(1)∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°.
∵在Rt△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8.
∵AD平分∠CAB，∴＝.∴CD＝BD.
在Rt△BDC中，BC＝10，CD2＋BD2＝BC2，
∴BD＝CD＝5.
(2)连接OB，OD.
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°.
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°.
又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形.
∴BD＝OB＝×10＝5.
16.(14分)如图1所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径作⊙O交AB，AC于D，E.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)如图2所示，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵OB＝OC＝OD＝OE，
∴△BOD，△COE是等边三角形.
∴∠BOD＝∠COE＝60°.∴∠DOE＝60°.
∴△ODE是等边三角形.
(2)仍然成立.
证明：连接CD.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝90°.
∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°.
∴∠DOE＝2∠ACD＝60°.
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形.
3.5 确定圆的条件
基础题
知识点1 确定圆的条件
1.下列条件，可以画出唯一一个圆的是(D)
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.已知不在同一条直线上的三个点
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)
A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
3.在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)
A.0个
B.1个
C.0个或1个
D.无数个
4.平面上有三个点A，B，C，若AB＝5
cm，BC＝3
cm，CA＝4
cm，则过A，B，C三点可以(填“可以”或“不可以”)确定一个圆，且圆心在AB上，是AB的中点.
知识点2 三角形的外接圆
5.(株洲中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是(A)
A.22°
B.26°
C.32°
D.68°
6.一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是(C)
A.任意三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是(C)
A.(2，3)
B.(3，2)
C.(3，1)
D.(1，3)
8.点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为(C)
A.40°
B.100°
C.40°或140°
D.40°或100°
9.(扬州中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为2.
10.如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置.
解：如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，且相交于点O，点O即为所求.
中档题
11.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
12.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.
解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图.
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝10米.
∴△ABC外接圆的半径为5米.
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β.
(1)当α＝35°时，求β的度数；
(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.
解：(1)连接OB，则OA＝OB.
∵∠OAB＝35°，
∴∠OBA＝∠OAB＝35°.
∴∠AOB＝180°－35°－35°＝110°.
∴β＝∠C＝∠AOB＝55°.
(2)α与β之间的关系是α＋β＝90°.
证明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝180°－2α.
∵β＝∠C＝∠AOB，
∴β＝(180°－2α)＝90°－α.
∴α＋β＝90°.
综合题
14.(福州中考)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝3，点D为BA延长线上的一点，且∠D＝∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径.
解：(1)作AE⊥BC，垂足为E.
在Rt△ABE中，
∵∠B＝45°，AB＝3，
∴AE＝BE＝3.
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝60°，AE＝3，
∴CE＝＝＝.
∴BC＝BE＋CE＝3＋.
(2)作直径AF，连接CF，则∠ACF＝90°.
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝60°，AE＝3，
∴AC＝＝＝2.
∵∠F＝∠D，∠D＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝60°.
在Rt△AFC中，∵sinF＝，
∴AF＝＝＝4.
∴⊙O半径OA＝2.
3.6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
基础题
知识点1 直线和圆的位置关系
1.下图中直线l是⊙O的切线的图形是(C)
2.(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C)
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
3.已知⊙O的面积为9π
cm2，若点O到直线l的距离为π
cm，则直线l与⊙O的位置关系是(C)
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
4.在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C)
A.与x轴相交，与y轴相切
B.与x轴相离，与y轴相交
C.与x轴相切，与y轴相交
D.与x轴相切，与y轴相离
5.已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为d，(1)当直线l与⊙O相离时，d的取值范围是d＞3；(2)当直线l与⊙O相切时，则d＝3；
(3)当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是d＜3.
6.(湘西中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3
cm，AC＝4
cm，以点C为圆心，以2.5
cm为半径画圆，则⊙C与直线AB有何种位置关系？请说明理由.
解：⊙O与直线AB相交.理由：
过C作CD⊥AB于D.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3
cm，AC＝4
cm，
∴AB＝＝5
cm.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴3×4＝5CD.∴CD＝2.4＜2.5，即d＜r.
∴⊙C与直线AB的位置关系是相交.
知识点2 切线的性质
7.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于(C)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
8.(海南中考)如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.∠APO＝40°，则∠ABC的度数为(B)
A.20°
B.25°
C.40°
D.50°
9.(赤峰中考)如图，两同心圆的大圆半径长为5
cm，小圆半径长为3
cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是8__cm.
10.(丽水中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.求证：∠A＝∠ADE.
证明：连接OD.
∵DE是切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.
∴∠A＝∠ADE.
中档题
11.(湖州中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(B)
A.25°
B.40°
C.50°
D.65°
12.(益阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)
A.1
B.1或5
C.3
D.5
13.(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝1；
(2)当m＝2时，d的取值范围是1＜d＜3.
14.(龙岩中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB长为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点F，OE⊥BC于点E，则弦BF的长为2.
15.(丹东中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC＝∠A；
(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长.
解：(1)证明：连接OD.
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC＝90°，
即∠ODB＋∠BDC＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°.
∴∠BDC＝∠ADO.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A.∴∠BDC＝∠A.
(2)∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°.∴DB∥EC.∴∠DCE＝∠BDC.
∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.
又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED.
∴＝，即EC2＝DE·AE.
∴16＝2(2＋AD).∴AD＝6.
综合题
16.(金华中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.
(1)求证：AC平分∠DAO；
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长.
解：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC.
∴∠OAC＝∠DAC.∴AC平分∠DAO.
(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.
∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.
②作OG⊥CE于点G，则CG＝FG.
∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2，FG＝2.
在Rt△OGE中，∠E＝30°，OG＝2，∴GE＝2.
∴EF＝GE－FG＝2－2.
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
基础题
知识点1 切线的判定
1.下列直线是圆的切线的是(B)
A.与圆有公共点的直线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
2.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是(D)
A.AB＝4，AT＝3，BT＝5
B.∠B＝45°，AB＝AT
C.∠B＝55°，∠TAC＝55°
D.∠ATC＝∠B
3.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为∠ABC＝90°或AB⊥BC.
4.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切.
5.(济宁中考改编)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线.
证明：连接OD.
∵D为弧BC的中点，
∴＝.
∴∠BOD＝∠BAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.
∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE.
∴DE为⊙O的切线.
知识点2 三角形的内切圆
6.有关三角形内心的说法正确的是(D)
A.内心是三边垂直平分线的交点
B.内心是三条中线的交点
C.内心到三个顶点的距离相等
D.内心到三边的距离相等
7.如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则∠EDF的度数为(C)
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
8.如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆的半径是(B)
A.
B.1
C.2
D.
中档题
9.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)
A.点(0，3)
B.点(2，3)
C.点(5，1)
D.点(6，1)
10.如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转(B)
A.40°或80°
B.50°或110°
C.50°或100°
D.60°或120°
11.(徐州中考)如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝125°.
12.(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长.
解：(1)证明：连接OD，CD.
∵AC为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形.
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝DE.∴∠CDE＝∠DCE.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°.
∴∠ODC＋∠CDE＝90°，即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，
∴OD2＋DF2＝OF2，即r2＋42＝(r＋2)2.解得r＝3.
∴⊙O的直径为6.
13.(呼伦贝尔中考)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得
ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)当OE＝10时，求BC的长.
解：(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
即∠OAE＝90°.
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE(SSS).
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线.
(2)∵AB是直径.
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵由(1)知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO＝∠DEO.
又∵AE＝DE，∴OE⊥AD.
∴OE∥BC.∴△AOE∽△ABC.
∴＝＝.
∴BC＝2OE＝20，即BC的长是20.
综合题
14.(常德中考)已知，如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长.
解：(1)证明：连接FO，
∵点O为AC的中点，点F为BC的中点，
∴OF∥AB.
∵AC为⊙O的直径，
∴CE⊥AE.
∵OF∥AB，∴OF⊥CE.
∴OF所在直线垂直平分CE.
∴FC＝FE，OE＝OC.
∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE.
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCE＋∠FCE＝90°.
∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°.
∵点E在⊙O上，
∴FE为⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.
∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，
∴∠COD＝∠EOA＝60°.
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，
∴CD＝3.
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝3，AC＝6，
∴AD＝3.
小专题(九) 证明圆的切线的两种方法
方法1 连半径、证垂直
要证明某直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，可连接圆心与公共点，证明连线与直线垂直即可证得直线是圆的切线.
【例1】 (黄石中考)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.
解：(1)∵AB是⊙O的直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.
又∵BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4.
(2)证明：连接OC.
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.
∴∠DCA＝∠B.
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠OAC＋∠B＝90°，
∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
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MERGEFORMAT
1.(本溪中考)如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C，E两点，交ED于点G.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径.
解：(1)证明：连接CO.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠E.
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°.
∴∠B＋∠E＝90°.∴∠ACB＋∠OCE＝90°.
∴∠ACO＝90°，即AC⊥OC.
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵∠E＝30°，∴∠OCE＝30°.∴∠FCE＝120°.
∴∠CFO＝30°.∴∠AFD＝∠CFO＝30°.
∴DF＝AD＝.
∵BD＝5，∴DE＝5.
∵OF＝2OC，∴EF＝3OE＝4.
∴OE＝，即⊙O的半径为.
2.(枣庄中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长.
解：(1)证明：连接OB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∴∠C＋∠BAC＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA.
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.
∴PB是⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4.
∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO.
∴＝，即＝.∴BC＝2.
3.(广安中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CF＝4，DF＝，求⊙O的半径r及sinB.
解：(1)证明：连接OA，OD.
∵点D为CE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BC.
∴∠EOD＝90°.
∵AB＝BF，OA＝OD，
∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.
又∵∠BFA＝∠OFD，
∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠DFO＝90°，
即∠OAB＝90°.
∴OA⊥AB.∴AB是⊙O切线.
(2)OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝，
在Rt△DOF中，OD2＋OF2＝DF2，
即r2＋(4－r)2＝()2.解得r1＝3，r2＝1(舍去).
∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，BO＝BF＋FO＝AB＋1.
在Rt△AOB中，AB2＋OA2＝OB2，
∴AB2＋32＝(AB＋1)2.∴AB＝4，OB＝5.
∴sinB＝＝.
方法2 作垂直，证半径
当条件中没有指出圆与直线有公共点时，可先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长和半径相等即可证得直线是圆的切线.
【例2】 (南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作半圆.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值.
解：(1)证明：作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM.
∴AB是⊙O的切线.
(2)设BM＝x，
OB＝y，则y2－x2＝1，①
∵tan∠CAO＝，OC＝1，∴AC＝AM＝3.
∵cosB＝＝，∴＝.
∴x2＋3x＝y2＋y.②
由①②可得y＝3x－1，∴(3x－1)2－x2＝1.
∴x＝，y＝.∴cosB＝＝.
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4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.
(1)求证：AC是⊙D的切线；
(2)求线段AC的长.
解：(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°.
∴AB⊥BC.
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF.
∴AC与⊙D相切.
(2)∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).∴EB＝FC.
∵AB＝AF，
∴AC＝AF＋FC＝AB＋EB＝5＋3＝8.
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切.
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N.
∵⊙O与BC相切于M，
∴OM⊥BC.
∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC，
∴OM＝ON.
∴N在⊙O上.
∴CD与⊙O相切.
6.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长.
解：(1)证明：连接OC，作OD⊥PB于D点.
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC.∴直线PB与⊙O相切.
(2)设PO交⊙O于F，连接CF.
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8.
∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF＝∠E.
又∵∠CPF＝∠EPC，∴△PCF∽△PEC.
∴CF∶CE＝PC∶PE＝4∶8＝1∶2.
∵EF是直径，∴∠ECF＝90°.
设CF＝x，则EC＝2x.则x2＋(2x)2＝62.
解得x＝.
∴EC＝2x＝.
3.7 切线长定理
基础题
知识点 切线长定理
1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)
A.4
B.8
C.4
D.8
2.如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)
A.
B.
C.2
D.3
3.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为(C)
A.60°
B.90°
C.120°
D.无法确定
4.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为(C)
A.5
B.7
C.8
D.10
5.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25
cm，∠MPN＝60°，则OP＝(A)
A.50
cm
B.25
cm
C.
cm
D.50
cm
6.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.
7.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是.
8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长.
解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP.
又∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°.
∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∴BC＝AC＝OA＝2.
9.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点.(圆柱体容器的直径不易直接测量)
(1)写出此图中相等的线段；
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程)
解：(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)连接OB，OA.
∵∠BAC＝120°，∴∠OAB＝60°.
在Rt△AOB中，
OB＝AB·tan∠OAB＝AB.
∴圆的直径为2AB.
即只需测得AB的长，就可求得圆的直径.
中档题
10.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(B)
A.50
B.52
C.54
D.56
11.如图，△ABC是一张周长为17
cm的三角形纸片，BC＝5
cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(B)
A.12
cm
B.7
cm
C.6
cm
D.随直线MN的变化而变化
12.如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.
(1)若PA＝4，求△PED的周长；
(2)若∠P＝40°，求∠AFB的度数.
解：(1)∵DA，DC都是⊙O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB.
∵P是⊙O外的一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB.
∴△PED的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋PE＋CE＝PA＋PB＝2PA＝8.
即△PDE的周长是8.
(2)连接AB,
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝×(180°－40°)＝70°.
∵BF⊥PB，BF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°－70°＝20°，∠FAB＝90°.
∴∠AFB＝90°－20°＝70°.
13.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20
cm，求△AOB的面积.
解：(1)∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°.
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∴∠APB＝60°.
(2)∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA＝PB.
∴点P在AB的垂直平分线上.
同理，点O在AB的垂直平分线上.
∴PO垂直平分AB.
∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠OPB＝∠OPA＝30°，∠POB＝∠POA＝60°.
∵PO＝20
cm，∴OB＝10
cm.
∴OD＝OB·cos∠POB＝5
cm.
BD＝OB·sin∠POB＝5
cm.
∴AB＝2BD＝10
cm.
∴S△AOB＝×10×5＝25(cm2).
综合题
14.(贺州中考)如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6
cm，CO＝8
cm.
(1)求证：BO⊥CO；
(2)求BE和CG的长.
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB.
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB.
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°.
∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.
(2)连接OF，则OF⊥BC，
∵在Rt△BOC中，BO＝6
cm，CO＝8
cm，
∴BC＝＝10(cm).
易证Rt△BOF∽Rt△BCO.∴＝.
∴＝，∴BF＝3.6
cm.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切，
∴BE＝BF＝3.6
cm，CG＝CF.
∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)，
∴CG＝CF＝6.4
cm.
小专题(十) 圆的切线的性质与判定的综合运用
1.(贵港中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.
(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；
(2)若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圆O所在圆的半径.
解：(1)证明：连接OD，OA，作OE⊥AB于E，
∵AB＝AC，O为BC的中点，
∴∠CAO＝∠BAO.
∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴OD＝OE.
∵AB经过圆O半径的外端，
∴AB是半圆O所在圆的切线.
(2)由cos∠ABC＝，AB＝12，得OB＝8.
由勾股定理，得AO＝＝4.
∵S△AOB＝AB·OE＝OB·AO，
∴OE＝＝，即半圆O所在圆的半径是.
2.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.
(1)求证：AD是半圆O的切线；
证明：(1)连接OD，BD.
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.
∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO.
∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO.
∴∠ADO＝∠ABO＝90°.
∴AD是半圆O的切线.
(2)连接CD，求证：∠A＝2∠CDE.
证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，
∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.
∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ODC＋∠CDE＝90°.
∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°.
∴∠BDO＝∠CDE.
∵∠BDO＝∠OBD，∠DOC＝2∠OBD，
∴∠DOC＝2∠BDO.
∴∠DOC＝2∠CDE.
∴∠A＝2∠CDE.
3.(玉林中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径为1，求EF的长.
解：(1)证明：连接OD，
∵四边形AOCD是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形AOCD是菱形.
∴△OAD和△OCD都是等边三角形.
∴∠AOD＝∠COD＝60°.∴∠FOB＝60°.
∵EF为切线，∴OD⊥EF.∴∠FDO＝90°.
在△FDO和△FBO中，
∴△FDO≌△FBO.∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
∴OB⊥BF.∴BF是⊙O的切线.
(2)在Rt△OBF中，
∵∠FOB＝60°，tan∠FOB＝，
∴∠E＝30°，BF＝1×tan60°＝.
∵∠E＝30°，
∴EF＝2BF＝2.
4.(西宁中考)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长.
解：(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADO＋∠ODB＝90°.
∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.
∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，
∴△CDA∽△CBD.∴＝.
∵＝，BC＝6，∴CD＝4.
∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC.
∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2.
解得BE＝.
5.已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F，连接DF.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.
解：(1)证明：连接OE，
则OB＝OE.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°.
∴△OBE是等边三角形.
∴∠OEB＝∠C＝60°.∴OE∥AC.
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°.
∴∠OEF＝∠EFC＝90°.∴EF是⊙O的切线.
(2)∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF＝90°.
设⊙O的半径为r，则BE＝r，EC＝4－r，
AD＝4－2r.
在Rt△ADF中，∵∠A＝60°，
∴AF＝2AD＝8－4r.
∴FC＝4－(8－4r)＝4r－4.
在Rt△CEF中，∵∠C＝60°，
∴EC＝2FC.∴4－r＝2(4r－4)，解得r＝.
∴⊙O的半径是.
6.如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D.
(1)求证：OD＝AC；
(2)求证：MC是⊙O的切线；
(3)若MD＝8，BC＝12，连接PC，求PC的长.
解：(1)证明：∵AC∥OM，
∴△BOD∽△BAC.
∴
＝＝
.
∴OD＝AC.
(2)证明：连接OC，∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.
∴∠BOM＝∠COM.
在△OCM和△OBM中，
∴△OCM≌△OBM.
又∵MB是⊙O的切线，∴∠OCM＝∠OBM＝90°.
∴MC是⊙O的切线.
(3)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠APB＝90°，∵AC∥OM，∴OD⊥BC.
∴CD＝BD＝BC＝6.
∴∠OCD＋∠MCD＝∠CMD＋∠MCD＝90°，
∴∠OCD＝∠CMD.
∵∠OCM＝∠CDO＝∠CDM＝90°，
∴△CDO∽△MDC.
∴CD2＝OD·DM.∴OD＝.∴OC＝.
∴AB＝15.∴PA＝PB＝，AC＝9.
过点A作AH⊥PC于点H，∴AH＝CH＝.
∴PH＝＝6.
∴PC＝PH＋CH＝.
3.8 圆内接正多边形
基础题
知识点1 圆内接正多边形的概念
1.下列说法错误的是(C)
A.圆内接正多边形每个内角都相等
B.圆内接正多边形都是轴对称图形
C.圆内接正多边形都是中心对称图形
D.圆内接正多边形的中心到各边的距离相等
知识点2 圆内接正多边形的有关计算
2.中心角为30°的圆内接正n边形的n等于(B)
A.10
B.12
C.14
D.15
3.(青岛中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(A)
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
4.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于(B)
A.30°
B.45°
C.55°
D.60°
5.(滨州中考)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(B)
A.6，3
B.3，3
C.6，3
D.6，3
6.(西宁中考)一元钱硬币的直径约为24
mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(A)
A.12
mm
B.12
mm
C.6
mm
D.6
mm
7.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°.
8.(盐城中考)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B，E两点间的距离为8.
9.已知正六边形的边心距为，求正六边形的中心角、边长、周长和面积.
解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形.
∴∠OBC＝60°，BC＝OB＝OC.
∵OH＝，∴sin∠OBC＝＝＝.
∴OB＝BC＝2.
∴正六边形的周长为2×6＝12.
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6.
∴正六边形的中心角为60°，边长为2，周长为12，面积为6.
知识点3 圆内接正多边形的作图
10.(兰州中考)如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹)
解：画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点B，D，连接AB，BC，CD，DA，得到圆内接正四边形ABCD.如图所示，四边形ABCD即为所求.
中档题
11.(泸州中考)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(D)
A.
B.
C.
D.
12.如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是(C)
A.5
B.6
C.7
D.8
13.(滨州中考)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)
A.
B.2
C.
D.1
14.(莱芜中考)正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2，则这个正多边形为(B)
A.正十二边形
B.正六边形
C.正四边形
D.正三角形
15.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为(，－).
16.(威海中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为2.
17.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD＝5
cm，求⊙O的半径R.
解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°.
∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°.
∴OC＝CD·cos45°＝5×＝5(cm).
∴⊙O的半径R＝5
cm.
综合题
18.如图1，2，3，…，m中，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
解：(1)连接OA，OB.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，
∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
∴△AOM≌△BON(SAS).
∴∠AOM＝∠BON.
∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM.
∴∠AOB＝∠MON＝120°.
(3)∠MON＝.
3.9 弧长及扇形的面积
基础题
知识点1 弧长公式及其应用(l＝)
1.(云南中考)已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为(C)
A.
B.2π
C.3π
D.12π
2.(自贡中考)一个扇形的半径为8
cm，弧长为π
cm，则扇形的圆心角为(B)
A.60°
B.120°
C.150°
D.180°
3.(包头中考)120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是(C)
A.3
B.4
C.9
D.18
4.(长春中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为(C)
A.π
B.π
C.π
D.π
5.(莆田中考)如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于点E，∠A＝30°，则的长为π(结果保留π).
6.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2
km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20
s，弯道有一块限速警示牌，限速为40
km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？(π取3)
解：l＝＝
km.
∴汽车的速度为÷＝60(km/h).
∵60
km/h＞40
km/h，
∴这辆汽车经过弯道时超速.
知识点2 扇形面积公式及其应用(S＝＝lR)
7.(新疆中考)一个扇形的圆心角是120°，面积为3π
cm2，那么这个扇形的半径是(B)
A.1
cm
B.3
cm
C.6
cm
D.9
cm
8.(资阳中考)钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是(A)
A.π
B.π
C.π
D.π
9.(青岛中考)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，长为25
cm，贴纸部分的宽BD为15
cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为(B)
A.175π
cm2
B.350π
cm2
C.π
cm2
D.150π
cm2
10.(邵阳中考)如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是π.
11.(河北中考)如图，将长为8
cm的铁丝首尾相接围成半径为2
cm的扇形，则S扇形＝4cm2.
中档题
12.(南充中考)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(A)
A.π
B.13π
C.25π
D.25
13.(莱芜中考)如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为(B)
A.π
B.2π
C.
D.4π
14.(天水中考)如图，△ABC是等边三角形，曲线CDEF叫做等边三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是4π.
15.(绥化中考)如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是π－1.
16.(河南中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为－π.
17.(苏州中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD，BD，CD.若BC＝6，∠BAC＝50°，求，的长度之和(结果保留π).
解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵BD＝CD＝BC，
∴△BDC为等边三角形.
∴∠DBC＝∠DCB＝60°.
∴∠DBE＝∠DCF＝55°.
∵BC＝6，∴BD＝CD＝6.
∴l＝l＝＝.
∴、的长度之和为＋＝.
综合题
18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，斜边AB＝2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，经过点C，求图中阴影部分的面积.
解：令OF交BC于点G，OE交AC于点H，
作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N.
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，
∴OC＝AB＝1，四边形OMCN是正方形.
∴OM＝ON＝.
∴S扇形FOE＝＝.
∵∠GOH＝∠MON＝90°，∴∠GOM＝∠HON.
在△OMG和△ONH中，
∴△OMG≌△ONH(ASA).
∴S四边形OGCH＝S正方形OMCN＝OM2＝()2＝.
∴S阴影＝－.
小专题(十一) 教材P101随堂练习T1的变式与应用
——和阴影部分面积有关的计算
教材母题：如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12
cm，其中有油的部分油面高6
cm，求截面上有油部分的面积(结果精确到0.1
cm2).
【解答】 连接AO，BO，过点O作OC⊥AB于点C.
由题意可知OC＝12－6＝6(cm)，OA＝12
cm.
∴sin∠OAC＝＝.
∴∠OAC＝30°，AC＝6
cm.
∴∠AOC＝60°，AB＝12
cm.
∴∠AOB＝120°.∴S扇形AOB＝×π×122＝48π(cm2)，
S△AOB＝AB·OC＝×12×6＝36(cm2).
∴
S＝S扇形AOB－S△AOB＝48π－36≈88.4(cm2).
∴截面上有油部分的面积约为88.4
cm2.
【方法归纳】 求阴影部分的面积有以下几种方法：
①直接用公式法；②和差法：计算某部分的面积，可以把这部分看作几部分的和或差，再分别利用公式计算，从而求得阴影部分的面积；③割补法：通过割或补，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积；④等积变形法：先利用平移、旋转、对称等全等变换，将不规则图形的面积转化为一个和它面积相等的规则图形的面积，再利用公式计算.
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MERGEFORMAT
1.(重庆中考)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是(A)
A.
B.＋
C.
D.＋
2.(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为(D)
A.2π
B.π
C.
D.
3.(资阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(A)
A.2－π
B.4－π
C.2－π
D.π
4.(内江中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为(C)
A.π－4
B.π－1
C.π－2
D.－2
5.如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是(B)
A.－
B.－
C.－
D.－
6.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是(B)
A.
B.
C.
D.
7.如图，半径为2
cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(A)
A.(－1)cm2
B.(＋1)cm2
C.1
cm2
D.
cm2
8.(襄阳中考)如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为π.
9.(遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2
cm，C为的中点，D，E分别是OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为(π＋－)cm2.
10.(淮安中考)如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(2，0)，∠COA＝60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.
(1)直接写出点F的坐标；
(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.
解：(1)F(－2，0).
(2)连接AC交OB于点M.
∵四边形OABC为菱形，∴OC＝OA，AC⊥OB.
∵OA＝2，∠COA＝60°，
∴△AOC为等边三角形.
∴AC＝2，OM＝，OB＝2.
∴S阴影＝S扇形OEB－2S△BOC＝－2××2×1＝4π－2.
11.(钦州中考)如图，点B，C，D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积.
解：(1)证明：连接OC，交BD于点E.
∵∠CDB＝30°，
∴∠BOC＝60°.
∵∠OBD＝30°，
∴∠OEB＝90°.
∵AC∥BD，∴AC⊥OC.
∴AC是⊙O的切线.
(2)在Rt△OBE中，OB＝6，∠OBD＝30°，
∴OE＝OB＝3.
∴BE＝3.∴BD＝2BE＝6.
(3)∵OE＝EC＝3，BE＝ED，∠OEB＝∠CED＝90°，
∴△OBE≌△CDE(SAS).∴S△OBE＝S△DEC.
∴S阴影＝S扇形OBC＝＝6π.
12.(襄阳中考)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2，
∠ABC＝90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA，
∴△ABF≌△CBE.
∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE.
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG.
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG.
∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG.
∴四边形EFGC是平行四边形.∴EF∥CG.
(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB＝BE＝AB＝1.
∴AF＝＝.
在△FEC和△CGF中，∵EC＝GF，∠ECF＝∠CFG，FC＝CF，∴△FEC≌△CGF.
∴S△FEC＝S△CGF.
∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG
＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－
＝－.
章末复习(三) 圆
基础题
知识点1 圆的有关概念
1.下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝(A)
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
知识点2 圆的对称性
3.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)
A.等边三角形
B.平行四边形
C.圆
D.正五边形
4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点，则∠ACD＝125°.
知识点3 垂径定理
5.如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，B不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝(B)
A.4
B.5
C.5.5
D.6
6.(六盘水中考)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1
400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝25米.
知识点4 圆周角定理及其推论
7.如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝(D)
A.80°
B.70°
C.60°
D.40°
8.如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100
m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为200m.
9.如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC.求证：DB＝DC.
证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE＝∠DCB.
又∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DCB＝∠DAC.
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC.
∴DB＝DC.
知识点5 三角形的外接圆与内切圆
10.如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC等于(D)
A.59°
B.31°
C.124°
D.121°
11.如图，已知等腰△ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为点O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数.
解：(1)如图.
(2)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD.
∵∠BOC＝128°，
∴∠BDC＝∠BOC＝64°.
∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.
知识点6 点、直线与圆的位置关系
12.(白银中考)已知⊙O的半径是6
cm，点O到同一平面内直线l的距离为5
cm，则直线l与⊙O的位置关系是(A)
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的(B)
A.3
B.4
C.5
D.6
知识点7 切线的性质与判定
14.(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为115°.
15.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为2.
16.(宿迁中考)如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠B∶∠C∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆.
图1
图2
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)当BD是⊙O的直径时(如图2)，求∠CAD的度数.
解：(1)证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.
∵∠B∶∠C∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠B＝∠CAD.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°.
∴∠EAD＝90°－∠E.
∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠B＝∠CAD.
∴∠EAD＋∠CAD＝90°，即∠EAD＋∠CAD＝90°.
∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线.
(2)∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°.∴∠B＋∠ADB＝90°.
∵∠B∶∠C∶∠ADB＝1∶2∶3，
∴4∠B＝90°.∴∠B＝22.5°.
由(1)知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.
知识点8 与圆有关的计算
17.(遵义中考)如图，半圆的圆心为点O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是(D)
A.12π
B.6π
C.5π
D.4π
18.已知扇形的圆心角为60°，半径长为12，则扇形的面积为(D)
A.π
B.2π
C.3π
D.24π
19.如图，已知⊙O的周长等于8π
cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为(B)
A.2
cm
B.2
cm
C.4
cm
D.4
cm
20.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F.
(1)求劣弧PC的长；(结果保留π)
(2)求阴影部分的面积.(结果保留π)
解：(1)∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB.
∵∠A＝30°，
∴∠POC＝∠AOD＝60°，
OA＝2OD.
∵PF⊥AC，
∴∠OPF＝30°.
∴OF＝OP.
∵OA＝OC，AD＝BD，
∴BC＝2OD.
∴OA＝BC＝2.
∴⊙O的半径为2.
∴劣弧PC的长为＝π.
(2)∵OF＝OP，
∴OF＝1.
∴PF＝＝.
∴S阴影＝S扇形－S△OPF＝－×1×
＝π－.
中档题
21.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于(C)
A.
B.
C.8
D.6
22.(巴彦淖尔中考)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为(A)
A.－
B.－π
C.2－
D.－
23.已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a∶b∶c的值为(C)
A.1∶2∶3
B.3∶2∶1
C.1∶∶
D.∶∶1
24.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是点P，DH⊥BH，垂足是点H，下列结论：①CH＝CP；②AD＝DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线.其中一定成立的是(D)
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
25.如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为.
26.已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝30°.
27.如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于点E，CD＝2，AE＝5.
(1)求⊙O半径r的值；
(2)点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD＝∠DOB时，求AF的长.
解：(1)∵AB为直径，点B为的中点，CD＝2，
∴AB⊥CD，DE＝CD＝.
在Rt△ODE中，
∵OD＝r，OE＝5－r，DE＝，
∴r2＝(5－r)2＋()2，解得r＝3.
(2)∵由(1)知，OE＝AE－AO＝5－3＝2，
∴tan∠FCE＝tan∠DOB＝＝.
在Rt△FCE中，∵tan∠FCE＝＝＝，
∴EF＝.
∴AF＝AE－EF＝5－＝.
28.(葫芦岛中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，线段FD，AB的延长线相交于点G.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CF＝1，DF＝，求图中阴影部分的面积.
解：(1)证明：连接AD，OD，∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
∴AD⊥BC.
∵AC＝AB，
∴点D为线段BC的中点.
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线.∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.∴DF是⊙O的切线.
(2)在Rt△CFD中，CF＝1，DF＝，
∴tanC＝＝，CD＝2.∴∠C＝60°.
∵AC＝AB，∴△ABC为等边三角形.∴AB＝4.
∵OD∥AC，∴∠DOG＝∠BAC＝60°.
∴DG＝OD·tan∠DOG＝2.
∴S阴影＝S△ODG－S扇形OBD
＝DG·OD－πOB2
＝2－π.
综合题
29.如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为点D，弧长等于弧长，BF与AD，AO分别交于点E，G.求证：
(1)∠DAO＝∠FBC；
(2)AE＝BE.
证明：(1)连接CF.
∵等于，O为圆心，
∴点G是BF的中点，OG⊥BF.
∵BC是半圆O的直径，
∴CF⊥BF.
∴OG∥CF.
∴∠AOB＝∠FCB.
∴∠DAO＝90°－∠AOB，∠FBC＝90°－∠FCB.
∴∠DAO＝∠FBC.
(2)连接AC，AB.
∵l＝l，
∴∠BCA＝∠ACF＝∠ABF.
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ABC＋∠BAD＝90°.
∴∠BAD＝∠BCA.
∴∠ABF＝∠BAD，
即BE＝AE.
3.1 圆
基础题
知识点1 圆的有关概念
1.下列说法正确的是(D)
A.半圆是弧，弧也是半圆
B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径
C.弦是直径
D.直径是圆中最长的弦
2.下列条件中，能画唯一圆的是(B)
A.以已知点O为圆心
B.以点O为圆心，2
cm为半径
C.以1
cm为半径
D.经过已知点A，且半径为2
cm
3.已知⊙O的直径AB＝6
cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于(C)
A.2
cm
B.2.5
cm
C.3
cm
D.无法确定
4.如图，圆中有1条直径，3条弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.
5.如图，⊙O的半径是5，∠AOB＝60°，则AB＝5.
6.孙老师上数学课时忘记了带圆规，但他手里有一根小细绳，你能帮他在黑板上画一个圆吗？并说明理由.
解：能.将小细绳绕着它的一个端点，旋转一周，另一个端点走过的路线即为一个圆，理由：圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
知识点2 点与圆的位置关系
7.(湘西中考)⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离OA＝3
cm，则点A与⊙O的位置关系为(B)
A.点A在圆上
B.点A在圆内
C.点A在圆外
D.无法确定
8.已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是(A)
A.点P在⊙O内
B.点P的⊙O上
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或⊙O外
9.已知⊙O的半径为3
cm，⊙O所在的平面内一点P，当PO＝3__cm时，点P在⊙O上；当PO<3__cm时，点P在⊙O内；当PO>3__cm时，点P在⊙O外.
10.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，r＝3为半径作圆，判断A，B两点和⊙C的位置关系.
解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3.
∵AC＝4＞r，∴点A在⊙C外.
∵BC＝3＝r，∴点B在⊙C上.
中档题
11.下列命题，其中正确的有(A)
①两个端点能够重合的弧是等弧；②面积相等的两个圆是等圆；③弦是圆上任意两点之间的部分；④同圆或等圆中，劣弧比优弧短.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(A)
A.E，F，G
B.F，G，H
C.G，H，E
D.H，E，F
13.如图，在△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为(C)
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
14.矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心画圆，使B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围为(D)
A.r＞3
B.r＜4
C.r＜5
D.3＜r＜5
15.(永州中考)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝35°.
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB为半径画圆，则斜边AB的中点D与⊙C的位置关系是点D在⊙C上.
17.如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过2或秒后，点P在⊙O上.
18.如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5
m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面1.5
m.当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.
解：小狗在地面上环绕的圆的半径为
＝2.0(m)，
故小狗在平整的地面上活动的最大区域是以2.0
m为半径的圆.
如图：
综合题
19.(杭州中考)如图1，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
图1 图2
解：设OA交⊙O于M，连接BM.
∵OA′·OA＝r2，r＝4，OA＝8，∴OA′＝2.
∵OB′·OB＝r2，r＝4，OB＝4，
∴OB′＝4，即点B和B′重合.
∵∠BOA＝60°，OB＝OM，∴△OBM为等边三角形.
∵点A′为OM的中点，∴B′A′⊥OM.
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝4sin60°＝2.
3.2 圆的对称性
基础题
知识点1 圆的对称性
1.下列语句中，不正确的是(C)
A.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
2.(泰安中考)下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为2π(结果保留π).
知识点2 圆心角、弧及弦之间的关系
4.在同圆或等圆中，如果＝，那么AB和CD的关系是(B)
A.AB＞CD
B.AB＝CD
C.AB＜CD
D.AB＝2CD
5.(兰州中考)如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A)
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
6.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D)
①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则＝，∠AOC＝∠BOC；
(2)若＝，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则＝，AC＝BC.
8.如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°.
9.如图，已知：在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB.求证：＝.
证明：连接OC，OD，则OC＝OD.
∵M，N分别是半径OA，OB的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).
∴∠MOC＝∠NOD.∴＝.
中档题
10.下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等.其中正确的个数为(B)
A.1
B.2
C.3
D.4
11.形如半圆形的量角器直径为4
cm，放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的两个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为(B)
A.(－1，)
B.(0，)
C.(，0)
D.(1，)
12.如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是(A)
A.AE＝EF＝FB
B.AC＝CD＝DB
C.EC＝FD
D.∠DFB＝75°
13.如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是(C)
A.AB>2CD
B.AB＝2CD
C.AB<2CD
D.以上都不正确
14.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D，E，F，G是上的点，且有＝＝＝＝＝，则∠OCG＝30°.
15.(黄石中考)如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点.
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P使得AP＝OA，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长.
解：(1)证明：连接OC.
∵∠AOB＝120°，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC、△BOC是等边三角形.
∴OA＝OB＝BC＝AC.
∴四边形AOBC是菱形.
∴AB平分∠OAC.
(2)∵OA＝AP，OA＝AC，∴AP＝AC.
又∵∠CAO＝∠ACO＝60°，
∴∠APC＝30°，∠OCP＝90°.
∴PC＝OC＝.
综合题
16.我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等[弦心距指从圆心到弦的距离(如图1中的OC、OC′)，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度].请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
解：(1)证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM，ON分别是弦AB，CD的弦心距，
∴AB＝CD.
(2)上述结论成立.
证明：当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM，ON分别是弦AB，CD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD.
3.3 垂径定理
基础题
知识点1 垂径定理
1.(黄石中考)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(A)
A.5
B.7
C.9
D.11
2.如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16
cm，OC＝6
cm，则⊙O的半径为(B)
A.
cm
B.10
cm
C.8
cm
D.
cm
3.(三明中考)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是(A)
A.2
B.3
C.4
D.5
4.(黑龙江中考)如图，⊙O的直径CD＝10
cm，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8
cm，则sin∠OAP的值是(C)
A.
B.
C.
D.
5.(广元中考)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是(B)
A.CE＝DE
B.AE＝OE
C.＝
D.△OCE≌△ODE
知识点2 垂径定理的推论
6.下列说法错误的是(C)
A.垂直于弦的直径平分弦
B.垂直于弦的直径平分弦所对的弧
C.平分弦的直径平分弦所对的弧
D.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
7.如图，AB是⊙O的弦，OC为半径，与AB交于点D，且AD＝BD，已知AB＝6
cm，OD＝4
cm，则DC的长为(D)
A.5
cm
B.2.5
cm
C.2
cm
D.1
cm
知识点3 垂径定理的应用
8.如图是一个圆弧形门拱，拱高AB＝1
m，跨度CD＝4
m，那么这个门拱的半径为(B)
A.2
m
B.2.5
m
C.3
m
D.5
m
9.(东营中考)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1
m，其中水面的宽AB为0.8
m，则排水管内水的深度为0.8m.
10.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3
m，弓形的高EF＝1
m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在⊙O的半径r.
解：∵弓形的跨度AB＝3
m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB.
∴AF＝AB＝
m.
∵所在⊙O的半径为r，弓形的高EF＝1
m，
∴AO＝r，OF＝r－1.
在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2，
即r2＝()2＋(r－1)2.解得r＝.
故r＝
m.
中档题
11.如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别为和的中点，OM，ON分别交AB，AC于E，F，则∠MON的度数为(C)
A.110°
B.120°
C.130°
D.100°
12.如图，小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8
m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2
m，则凉台所在圆的半径为(B)
A.4
m
B.5
m
C.6
m
D.7
m
13.如图，将半径为2
cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(C)
A.2
cm
B.
cm
C.2
cm
D.2
cm
14.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是(C)
A.8
B.2
C.2或8
D.3或7
15.(黔西南中考)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6，BE＝1，则⊙O的直径为10.
16.(绍兴中考)如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40
cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10
cm，则该脸盆的半径为25cm.
图1
图2
17.(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
解：(1)证明：作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD，
连接OC，OA.
∵OE＝6，
∴CE＝＝＝2，
AE＝＝＝8.
∴AC＝AE－CE＝8－2.
综合题
18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2
m，拱高CD为2.4
m.
(1)求拱桥的半径；
(2)现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
解：(1)连接OB.
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点.
∵AB＝7.2
m，
∴BD＝AB＝3.6
m.
设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得
r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.
∴拱桥的半径为3.9
m.
(2)令船舱顶部两点分别分M，N(CN在M的右边)，连接ON.
∵CD＝2.4
m，船舱顶部为长方形并高出水面2
m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m).
∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m).
在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，
∴EN＝(m)，
MN＝2EN＝2×≈3.44
m＞3
m.
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理及其推论1
基础题
知识点1 圆周角的概念
1.(柳州中考)下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)
A B
C
D
2.如图，图中的圆周角有(C)
A.10个
B.11个
C.12个
D.13个
知识点2 圆周角定理
3.(温州中考)如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是(A)
A.2∠C
B.4∠B
C.4∠A
D.∠B＋∠C
4.(济宁中考)如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(C)
A.40°
B.30°
C.20°
D.15°
5.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(A)
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
6.(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30度.
知识点3 圆周角定理的推论1
7.(自贡中考)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(C)
A.15°
B.25°
C.30°
D.75°
8.(百色中考)如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝65°.
9.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠ADB＝∠BDC.
∴DB平分∠ADC.
中档题
10.(巴彦淖尔中考)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B)
A.40°，80°
B.50°，100°
C.50°，80°
D.40°，100°
11.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为(B)
A.15°
B.28°
C.29°
D.34°
12.(泰安中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(B)
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
13.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为62°.
14.(临夏中考)如图，在⊙O中，弦AC＝2，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝.
15.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
(2)若OC＝3，OA＝6，求tan∠DEB的值.
解：(1)连接OB，
∵OD⊥AB，∴＝.
∴∠BOD＝∠AOD＝52°.
∴∠DEB＝∠BOD＝26°.
(2)∵OD⊥AB，OC＝3，OA＝6，
∴OC＝OA，即∠OAC＝30°.
∴∠AOC＝60°.
∴∠DEB＝∠AOC＝30°.
∴tan∠DEB＝.
16.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC的度数.
解：连接OB，OC，OD.
∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，
∠BCD＝20°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.
∴∠BOC＝100°，
∠BAC＝∠BOC＝50°.
综合题
17.(台州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
解：(1)∵BC＝DC，
∴＝.
∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.
∵∠CBD＝39°，
∴∠BAC＝∠CAD＝39°.
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.
(2)证明：∵EC＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB.
∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，
∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.
又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
第2课时 圆周角定理的推论2、3
基础题
知识点1 圆周角定理的推论2
1.(湖州中考)如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
2.(台州中考)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)
3.(玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
4.(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8
cm，ON＝6
cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A.
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
5.(眉山中考)如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)
A.64°
B.58°
C.72°
D.55°
6.如图，在半径为5
cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.
解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，
∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×＝5(cm).
知识点2 圆周角定理的推论3
7.(杭州中考)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)
A.20°
B.30°
C.70°
D.110°
8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A.115°
B.105°
C.100°
D.95°
9.(常德中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为(D)
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
10.在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠B的度数是(C)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
11.(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.
中档题
12.(达州中考)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(C)
A.
B.2
C.
D.
13.(烟台中考)如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是(D)
A.40°
B.70°
C.70°或80°
D.80°或140°
14.(无锡中考)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
解：(1)∵OD∥BC，
∴∠DOA＝∠B＝70°
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠D＝55°.
∵AB是直径，∴∠C＝90°.∴∠CAB＝20°.
∴∠CAD＝35°.
(2)∵∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝.
∵O是AB中点，OD∥BC，∴OE＝＝.
∴DE＝2－.
15.(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长.
解：(1)证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°.
∵E是AB的中点，
∴DA＝DB.
∴∠1＝∠B.
∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.
(2)∵∠1＝∠F，
∴AE＝EF＝2.
∴AB＝2AE＝4.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，
∴BC＝＝8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，
∴x＝3，即CD＝3.
综合题
16.(1)如图1，PA，PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明；
(2)如图2，PA，PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE，PE与PB的数量关系，并证明.
解：(1)AB＝AC.
证明：∵AB为直径，C为的中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC.
∴AB＝AC.
(2)AE＝PB＋PE.
证明：在AE上截取AF＝BP，连接AC，BC，FC，PC.
∵C为劣弧的中点，即＝，
∴AC＝BC.
在△CAF和△CBP中，
，
∴△CAF≌△CBP.
∴CF＝CP.
又∵CD⊥PA，
∴EF＝EP.
∴AE＝AF＋EF＝PB＋PE.
小专题(八) 与圆的基本性质有关的计算与证明
1.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.
(1)求∠B的大小；
(2)已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长.
解：(1)∵∠CAB＝∠CDB，∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°.
又∵∠APD＝65°，
∴∠B＝∠APD－∠CDB＝25°.
(2)过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3，BE＝DE.
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线.
∴AD＝2OE＝6.
2.(南京中考)A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角.已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角.
(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°；
(2)如图，若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数.
解：连接OA，OB，AB.
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2.
∴∠AOB＝90°.
∴∠APB＝∠AOB＝45°.
3.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝45°.
(1)求∠ABD的度数；
(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径.
解：(1)∵∠C＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝45°.
(2)连接AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6.
∴⊙O的半径为3.
4.(宁夏中考)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长.
解：(1)证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C.
∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
(2)连接AE.
∵AB为直径，∴AE⊥BC.
由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝.
∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△CDE∽△CBA.
∴＝.∴CE·CB＝CD·AC.
∵AC＝AB＝4，∴×2＝4CD.
∴CD＝.
5.(深圳中考)如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长)为2米，求小桥所在圆的半径.
解：∵＝，DE＝8，
解得EF＝12.
∵EG＝3，HF＝1，
∴GH＝EF－EG－HF＝8.
由垂径定理，得GM＝GH＝4.
又MN＝2，设半径OG＝R，则OM＝R－2.
在Rt△OMG中，由勾股定理，得
OM2＋MG2＝OG2.
∴(R－2)2＋42＝R2.解得R＝5.
答：小桥所在圆的半径为5米.
6.(安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.
解：(1)连接OQ.
∵PQ∥AB，PQ⊥OP，
∴OP⊥AB.
∵AB＝6，∴OB＝3.
∵∠ABC＝30°，
tan∠ABC＝，即＝.
∴OP＝.
由勾股定理，得
PQ＝＝＝.
(2)连接OQ.
由勾股定理，得PQ＝＝.
要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC.
∵∠ABC＝30°，
∴OP＝OB＝，此时PQ最大＝＝.
7.(烟台中考)如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值.
解：(1)△ABC为等腰三角形.理由如下：
连接AE，∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
即AE平分∠BAC.
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，即AE⊥BC.
又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△BAE.∴AC＝AB.
∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6.
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝＝8.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∴S△ABC＝AE·BC＝BD·AC.
∴BD＝＝.
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，
∴AD＝＝.
∴sin∠ABD＝＝＝.
8.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点.
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∴AB＝AC.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC为等边三角形.
(2)连接BE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点.
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴BD＝BC＝1，DE＝AB＝×2＝1.
(3)假设存在点P，使△PBD≌△AED.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°.
∴∠PBD＝120°.
∵DE∥AB，∴∠AED＝120°.
又∵△PBD≌△AED，BD＝ED，
∴PB＝AE＝1.
周周练(3.1～3.4)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.下列说法中，错误的是(B)
A.直径相等的两个圆是等圆
B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2.(娄底中考)如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
3.(泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(D)
A.180°－2α
B.2α
C.90°＋α
D.90°－α
4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是(B)
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5
D.4＜OM＜5
5.AB是⊙O的弦，OQ⊥AB，垂足为Q，再以OQ为半径作同心圆，称作小⊙O，点P是AB上异于A，B，Q的任意一点，则点P位置是(D)
A.在大⊙O上
B.在大⊙O外部
C.在小⊙O内部
D.在小⊙O外，大⊙O内
6.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为(B)
A.
B.2
C.2
D.4
7.已知⊙O的直径CD＝10
cm，AB是⊙O的弦，AB＝8
cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为(C)
A.2
cm
B.4
cm
C.2
cm或4
cm
D.2
cm或4
cm
8.(泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于(D)
A.1∶
B.1∶
C.1∶2
D.2∶3
二、填空题(每小题5分，共20分)
9.已知⊙O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是点M在⊙O外.
10.如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于60度.
11.如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD＝30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB＝3，则BC＝3.
12.如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝60°.
三、解答题(共48分)
13.(10分)已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P与⊙O有怎样的位置关系？
解：∵方程x2－2x＋d＝0有实数根，
∴(－2)2－4×1×d＝4－4d≥0.∴d≤1.
又∵d≥0，∴0≤d≤1.
∴当d＝1时，点P在⊙O上；
当0≤d＜1时，点P在⊙O内.
综上所述，点P在⊙O内或⊙O上.
14.(12分)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB等于2(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数.
解：连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D.
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°.
∴∠BOD＝2∠DAB＝100°.
15.(12分)已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.
图1 图2
(1)如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
(2)如图2，若∠CAB＝60°，求BD的长.
解：(1)∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°.
∵在Rt△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8.
∵AD平分∠CAB，∴＝.∴CD＝BD.
在Rt△BDC中，BC＝10，CD2＋BD2＝BC2，
∴BD＝CD＝5.
(2)连接OB，OD.
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°.
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°.
又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形.
∴BD＝OB＝×10＝5.
16.(14分)如图1所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径作⊙O交AB，AC于D，E.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)如图2所示，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵OB＝OC＝OD＝OE，
∴△BOD，△COE是等边三角形.
∴∠BOD＝∠COE＝60°.∴∠DOE＝60°.
∴△ODE是等边三角形.
(2)仍然成立.
证明：连接CD.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝90°.
∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°.
∴∠DOE＝2∠ACD＝60°.
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形.
3.5 确定圆的条件
基础题
知识点1 确定圆的条件
1.下列条件，可以画出唯一一个圆的是(D)
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.已知不在同一条直线上的三个点
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)
A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
3.在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)
A.0个
B.1个
C.0个或1个
D.无数个
4.平面上有三个点A，B，C，若AB＝5
cm，BC＝3
cm，CA＝4
cm，则过A，B，C三点可以(填“可以”或“不可以”)确定一个圆，且圆心在AB上，是AB的中点.
知识点2 三角形的外接圆
5.(株洲中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是(A)
A.22°
B.26°
C.32°
D.68°
6.一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是(C)
A.任意三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是(C)
A.(2，3)
B.(3，2)
C.(3，1)
D.(1，3)
8.点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为(C)
A.40°
B.100°
C.40°或140°
D.40°或100°
9.(扬州中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为2.
10.如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置.
解：如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，且相交于点O，点O即为所求.
中档题
11.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
12.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.
解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图.
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝10米.
∴△ABC外接圆的半径为5米.
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β.
(1)当α＝35°时，求β的度数；
(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.
解：(1)连接OB，则OA＝OB.
∵∠OAB＝35°，
∴∠OBA＝∠OAB＝35°.
∴∠AOB＝180°－35°－35°＝110°.
∴β＝∠C＝∠AOB＝55°.
(2)α与β之间的关系是α＋β＝90°.
证明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝180°－2α.
∵β＝∠C＝∠AOB，
∴β＝(180°－2α)＝90°－α.
∴α＋β＝90°.
综合题
14.(福州中考)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝3，点D为BA延长线上的一点，且∠D＝∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径.
解：(1)作AE⊥BC，垂足为E.
在Rt△ABE中，
∵∠B＝45°，AB＝3，
∴AE＝BE＝3.
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝60°，AE＝3，
∴CE＝＝＝.
∴BC＝BE＋CE＝3＋.
(2)作直径AF，连接CF，则∠ACF＝90°.
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝60°，AE＝3，
∴AC＝＝＝2.
∵∠F＝∠D，∠D＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝60°.
在Rt△AFC中，∵sinF＝，
∴AF＝＝＝4.
∴⊙O半径OA＝2.
3.6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
基础题
知识点1 直线和圆的位置关系
1.下图中直线l是⊙O的切线的图形是(C)
2.(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C)
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
3.已知⊙O的面积为9π
cm2，若点O到直线l的距离为π
cm，则直线l与⊙O的位置关系是(C)
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
4.在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C)
A.与x轴相交，与y轴相切
B.与x轴相离，与y轴相交
C.与x轴相切，与y轴相交
D.与x轴相切，与y轴相离
5.已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为d，(1)当直线l与⊙O相离时，d的取值范围是d＞3；(2)当直线l与⊙O相切时，则d＝3；
(3)当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是d＜3.
6.(湘西中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3
cm，AC＝4
cm，以点C为圆心，以2.5
cm为半径画圆，则⊙C与直线AB有何种位置关系？请说明理由.
解：⊙O与直线AB相交.理由：
过C作CD⊥AB于D.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3
cm，AC＝4
cm，
∴AB＝＝5
cm.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴3×4＝5CD.∴CD＝2.4＜2.5，即d＜r.
∴⊙C与直线AB的位置关系是相交.
知识点2 切线的性质
7.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于(C)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
8.(海南中考)如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.∠APO＝40°，则∠ABC的度数为(B)
A.20°
B.25°
C.40°
D.50°
9.(赤峰中考)如图，两同心圆的大圆半径长为5
cm，小圆半径长为3
cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是8__cm.
10.(丽水中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.求证：∠A＝∠ADE.
证明：连接OD.
∵DE是切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.
∴∠A＝∠ADE.
中档题
11.(湖州中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(B)
A.25°
B.40°
C.50°
D.65°
12.(益阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)
A.1
B.1或5
C.3
D.5
13.(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝1；
(2)当m＝2时，d的取值范围是1＜d＜3.
14.(龙岩中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB长为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点F，OE⊥BC于点E，则弦BF的长为2.
15.(丹东中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC＝∠A；
(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长.
解：(1)证明：连接OD.
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC＝90°，
即∠ODB＋∠BDC＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°.
∴∠BDC＝∠ADO.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A.∴∠BDC＝∠A.
(2)∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°.∴DB∥EC.∴∠DCE＝∠BDC.
∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.
又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED.
∴＝，即EC2＝DE·AE.
∴16＝2(2＋AD).∴AD＝6.
综合题
16.(金华中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.
(1)求证：AC平分∠DAO；
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长.
解：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC.
∴∠OAC＝∠DAC.∴AC平分∠DAO.
(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.
∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.
②作OG⊥CE于点G，则CG＝FG.
∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2，FG＝2.
在Rt△OGE中，∠E＝30°，OG＝2，∴GE＝2.
∴EF＝GE－FG＝2－2.
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
基础题
知识点1 切线的判定
1.下列直线是圆的切线的是(B)
A.与圆有公共点的直线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
2.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是(D)
A.AB＝4，AT＝3，BT＝5
B.∠B＝45°，AB＝AT
C.∠B＝55°，∠TAC＝55°
D.∠ATC＝∠B
3.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为∠ABC＝90°或AB⊥BC.
4.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切.
5.(济宁中考改编)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线.
证明：连接OD.
∵D为弧BC的中点，
∴＝.
∴∠BOD＝∠BAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.
∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE.
∴DE为⊙O的切线.
知识点2 三角形的内切圆
6.有关三角形内心的说法正确的是(D)
A.内心是三边垂直平分线的交点
B.内心是三条中线的交点
C.内心到三个顶点的距离相等
D.内心到三边的距离相等
7.如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则∠EDF的度数为(C)
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
8.如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆的半径是(B)
A.
B.1
C.2
D.
中档题
9.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)
A.点(0，3)
B.点(2，3)
C.点(5，1)
D.点(6，1)
10.如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转(B)
A.40°或80°
B.50°或110°
C.50°或100°
D.60°或120°
11.(徐州中考)如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝125°.
12.(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长.
解：(1)证明：连接OD，CD.
∵AC为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形.
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝DE.∴∠CDE＝∠DCE.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°.
∴∠ODC＋∠CDE＝90°，即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，
∴OD2＋DF2＝OF2，即r2＋42＝(r＋2)2.解得r＝3.
∴⊙O的直径为6.
13.(呼伦贝尔中考)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得
ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)当OE＝10时，求BC的长.
解：(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
即∠OAE＝90°.
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE(SSS).
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线.
(2)∵AB是直径.
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵由(1)知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO＝∠DEO.
又∵AE＝DE，∴OE⊥AD.
∴OE∥BC.∴△AOE∽△ABC.
∴＝＝.
∴BC＝2OE＝20，即BC的长是20.
综合题
14.(常德中考)已知，如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长.
解：(1)证明：连接FO，
∵点O为AC的中点，点F为BC的中点，
∴OF∥AB.
∵AC为⊙O的直径，
∴CE⊥AE.
∵OF∥AB，∴OF⊥CE.
∴OF所在直线垂直平分CE.
∴FC＝FE，OE＝OC.
∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE.
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCE＋∠FCE＝90°.
∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°.
∵点E在⊙O上，
∴FE为⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.
∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，
∴∠COD＝∠EOA＝60°.
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，
∴CD＝3.
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝3，AC＝6，
∴AD＝3.
小专题(九) 证明圆的切线的两种方法
方法1 连半径、证垂直
要证明某直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，可连接圆心与公共点，证明连线与直线垂直即可证得直线是圆的切线.
【例1】 (黄石中考)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.
解：(1)∵AB是⊙O的直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.
又∵BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4.
(2)证明：连接OC.
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.
∴∠DCA＝∠B.
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠OAC＋∠B＝90°，
∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
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1.(本溪中考)如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C，E两点，交ED于点G.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径.
解：(1)证明：连接CO.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠E.
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°.
∴∠B＋∠E＝90°.∴∠ACB＋∠OCE＝90°.
∴∠ACO＝90°，即AC⊥OC.
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵∠E＝30°，∴∠OCE＝30°.∴∠FCE＝120°.
∴∠CFO＝30°.∴∠AFD＝∠CFO＝30°.
∴DF＝AD＝.
∵BD＝5，∴DE＝5.
∵OF＝2OC，∴EF＝3OE＝4.
∴OE＝，即⊙O的半径为.
2.(枣庄中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长.
解：(1)证明：连接OB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∴∠C＋∠BAC＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA.
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.
∴PB是⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4.
∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C.
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO.
∴＝，即＝.∴BC＝2.
3.(广安中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CF＝4，DF＝，求⊙O的半径r及sinB.
解：(1)证明：连接OA，OD.
∵点D为CE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BC.
∴∠EOD＝90°.
∵AB＝BF，OA＝OD，
∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.
又∵∠BFA＝∠OFD，
∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠DFO＝90°，
即∠OAB＝90°.
∴OA⊥AB.∴AB是⊙O切线.
(2)OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝，
在Rt△DOF中，OD2＋OF2＝DF2，
即r2＋(4－r)2＝()2.解得r1＝3，r2＝1(舍去).
∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，BO＝BF＋FO＝AB＋1.
在Rt△AOB中，AB2＋OA2＝OB2，
∴AB2＋32＝(AB＋1)2.∴AB＝4，OB＝5.
∴sinB＝＝.
方法2 作垂直，证半径
当条件中没有指出圆与直线有公共点时，可先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长和半径相等即可证得直线是圆的切线.
【例2】 (南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作半圆.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值.
解：(1)证明：作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM.
∴AB是⊙O的切线.
(2)设BM＝x，
OB＝y，则y2－x2＝1，①
∵tan∠CAO＝，OC＝1，∴AC＝AM＝3.
∵cosB＝＝，∴＝.
∴x2＋3x＝y2＋y.②
由①②可得y＝3x－1，∴(3x－1)2－x2＝1.
∴x＝，y＝.∴cosB＝＝.
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4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.
(1)求证：AC是⊙D的切线；
(2)求线段AC的长.
解：(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°.
∴AB⊥BC.
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF.
∴AC与⊙D相切.
(2)∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).∴EB＝FC.
∵AB＝AF，
∴AC＝AF＋FC＝AB＋EB＝5＋3＝8.
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切.
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N.
∵⊙O与BC相切于M，
∴OM⊥BC.
∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC，
∴OM＝ON.
∴N在⊙O上.
∴CD与⊙O相切.
6.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长.
解：(1)证明：连接OC，作OD⊥PB于D点.
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC.∴直线PB与⊙O相切.
(2)设PO交⊙O于F，连接CF.
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8.
∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF＝∠E.
又∵∠CPF＝∠EPC，∴△PCF∽△PEC.
∴CF∶CE＝PC∶PE＝4∶8＝1∶2.
∵EF是直径，∴∠ECF＝90°.
设CF＝x，则EC＝2x.则x2＋(2x)2＝62.
解得x＝.
∴EC＝2x＝.
3.7 切线长定理
基础题
知识点 切线长定理
1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)
A.4
B.8
C.4
D.8
2.如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)
A.
B.
C.2
D.3
3.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为(C)
A.60°
B.90°
C.120°
D.无法确定
4.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为(C)
A.5
B.7
C.8
D.10
5.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25
cm，∠MPN＝60°，则OP＝(A)
A.50
cm
B.25
cm
C.
cm
D.50
cm
6.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2.
7.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是.
8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长.
解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP.
又∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°.
∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∴BC＝AC＝OA＝2.
9.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆柱体的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B，C两点.(圆柱体容器的直径不易直接测量)
(1)写出此图中相等的线段；
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程)
解：(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)连接OB，OA.
∵∠BAC＝120°，∴∠OAB＝60°.
在Rt△AOB中，
OB＝AB·tan∠OAB＝AB.
∴圆的直径为2AB.
即只需测得AB的长，就可求得圆的直径.
中档题
10.如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(B)
A.50
B.52
C.54
D.56
11.如图，△ABC是一张周长为17
cm的三角形纸片，BC＝5
cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(B)
A.12
cm
B.7
cm
C.6
cm
D.随直线MN的变化而变化
12.如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.
(1)若PA＝4，求△PED的周长；
(2)若∠P＝40°，求∠AFB的度数.
解：(1)∵DA，DC都是⊙O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB.
∵P是⊙O外的一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB.
∴△PED的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋PE＋CE＝PA＋PB＝2PA＝8.
即△PDE的周长是8.
(2)连接AB,
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝×(180°－40°)＝70°.
∵BF⊥PB，BF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°－70°＝20°，∠FAB＝90°.
∴∠AFB＝90°－20°＝70°.
13.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，与AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20
cm，求△AOB的面积.
解：(1)∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°.
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∴∠APB＝60°.
(2)∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA＝PB.
∴点P在AB的垂直平分线上.
同理，点O在AB的垂直平分线上.
∴PO垂直平分AB.
∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠OPB＝∠OPA＝30°，∠POB＝∠POA＝60°.
∵PO＝20
cm，∴OB＝10
cm.
∴OD＝OB·cos∠POB＝5
cm.
BD＝OB·sin∠POB＝5
cm.
∴AB＝2BD＝10
cm.
∴S△AOB＝×10×5＝25(cm2).
综合题
14.(贺州中考)如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6
cm，CO＝8
cm.
(1)求证：BO⊥CO；
(2)求BE和CG的长.
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB.
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB.
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°.
∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.
(2)连接OF，则OF⊥BC，
∵在Rt△BOC中，BO＝6
cm，CO＝8
cm，
∴BC＝＝10(cm).
易证Rt△BOF∽Rt△BCO.∴＝.
∴＝，∴BF＝3.6
cm.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切，
∴BE＝BF＝3.6
cm，CG＝CF.
∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)，
∴CG＝CF＝6.4
cm.
小专题(十) 圆的切线的性质与判定的综合运用
1.(贵港中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.
(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；
(2)若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圆O所在圆的半径.
解：(1)证明：连接OD，OA，作OE⊥AB于E，
∵AB＝AC，O为BC的中点，
∴∠CAO＝∠BAO.
∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴OD＝OE.
∵AB经过圆O半径的外端，
∴AB是半圆O所在圆的切线.
(2)由cos∠ABC＝，AB＝12，得OB＝8.
由勾股定理，得AO＝＝4.
∵S△AOB＝AB·OE＝OB·AO，
∴OE＝＝，即半圆O所在圆的半径是.
2.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.
(1)求证：AD是半圆O的切线；
证明：(1)连接OD，BD.
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.
∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO.
∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO.
∴∠ADO＝∠ABO＝90°.
∴AD是半圆O的切线.
(2)连接CD，求证：∠A＝2∠CDE.
证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，
∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.
∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ODC＋∠CDE＝90°.
∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°.
∴∠BDO＝∠CDE.
∵∠BDO＝∠OBD，∠DOC＝2∠OBD，
∴∠DOC＝2∠BDO.
∴∠DOC＝2∠CDE.
∴∠A＝2∠CDE.
3.(玉林中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径为1，求EF的长.
解：(1)证明：连接OD，
∵四边形AOCD是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形AOCD是菱形.
∴△OAD和△OCD都是等边三角形.
∴∠AOD＝∠COD＝60°.∴∠FOB＝60°.
∵EF为切线，∴OD⊥EF.∴∠FDO＝90°.
在△FDO和△FBO中，
∴△FDO≌△FBO.∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
∴OB⊥BF.∴BF是⊙O的切线.
(2)在Rt△OBF中，
∵∠FOB＝60°，tan∠FOB＝，
∴∠E＝30°，BF＝1×tan60°＝.
∵∠E＝30°，
∴EF＝2BF＝2.
4.(西宁中考)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长.
解：(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADO＋∠ODB＝90°.
∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°.
∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，
∴△CDA∽△CBD.∴＝.
∵＝，BC＝6，∴CD＝4.
∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC.
∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2.
解得BE＝.
5.已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F，连接DF.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.
解：(1)证明：连接OE，
则OB＝OE.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°.
∴△OBE是等边三角形.
∴∠OEB＝∠C＝60°.∴OE∥AC.
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°.
∴∠OEF＝∠EFC＝90°.∴EF是⊙O的切线.
(2)∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF＝90°.
设⊙O的半径为r，则BE＝r，EC＝4－r，
AD＝4－2r.
在Rt△ADF中，∵∠A＝60°，
∴AF＝2AD＝8－4r.
∴FC＝4－(8－4r)＝4r－4.
在Rt△CEF中，∵∠C＝60°，
∴EC＝2FC.∴4－r＝2(4r－4)，解得r＝.
∴⊙O的半径是.
6.如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D.
(1)求证：OD＝AC；
(2)求证：MC是⊙O的切线；
(3)若MD＝8，BC＝12，连接PC，求PC的长.
解：(1)证明：∵AC∥OM，
∴△BOD∽△BAC.
∴
＝＝
.
∴OD＝AC.
(2)证明：连接OC，∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.
∴∠BOM＝∠COM.
在△OCM和△OBM中，
∴△OCM≌△OBM.
又∵MB是⊙O的切线，∴∠OCM＝∠OBM＝90°.
∴MC是⊙O的切线.
(3)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠APB＝90°，∵AC∥OM，∴OD⊥BC.
∴CD＝BD＝BC＝6.
∴∠OCD＋∠MCD＝∠CMD＋∠MCD＝90°，
∴∠OCD＝∠CMD.
∵∠OCM＝∠CDO＝∠CDM＝90°，
∴△CDO∽△MDC.
∴CD2＝OD·DM.∴OD＝.∴OC＝.
∴AB＝15.∴PA＝PB＝，AC＝9.
过点A作AH⊥PC于点H，∴AH＝CH＝.
∴PH＝＝6.
∴PC＝PH＋CH＝.
3.8 圆内接正多边形
基础题
知识点1 圆内接正多边形的概念
1.下列说法错误的是(C)
A.圆内接正多边形每个内角都相等
B.圆内接正多边形都是轴对称图形
C.圆内接正多边形都是中心对称图形
D.圆内接正多边形的中心到各边的距离相等
知识点2 圆内接正多边形的有关计算
2.中心角为30°的圆内接正n边形的n等于(B)
A.10
B.12
C.14
D.15
3.(青岛中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(A)
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
4.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于(B)
A.30°
B.45°
C.55°
D.60°
5.(滨州中考)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(B)
A.6，3
B.3，3
C.6，3
D.6，3
6.(西宁中考)一元钱硬币的直径约为24
mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(A)
A.12
mm
B.12
mm
C.6
mm
D.6
mm
7.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°.
8.(盐城中考)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B，E两点间的距离为8.
9.已知正六边形的边心距为，求正六边形的中心角、边长、周长和面积.
解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形.
∴∠OBC＝60°，BC＝OB＝OC.
∵OH＝，∴sin∠OBC＝＝＝.
∴OB＝BC＝2.
∴正六边形的周长为2×6＝12.
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6.
∴正六边形的中心角为60°，边长为2，周长为12，面积为6.
知识点3 圆内接正多边形的作图
10.(兰州中考)如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹)
解：画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点B，D，连接AB，BC，CD，DA，得到圆内接正四边形ABCD.如图所示，四边形ABCD即为所求.
中档题
11.(泸州中考)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(D)
A.
B.
C.
D.
12.如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是(C)
A.5
B.6
C.7
D.8
13.(滨州中考)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)
A.
B.2
C.
D.1
14.(莱芜中考)正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2，则这个正多边形为(B)
A.正十二边形
B.正六边形
C.正四边形
D.正三角形
15.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为(，－).
16.(威海中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为2.
17.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD＝5
cm，求⊙O的半径R.
解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°.
∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°.
∴OC＝CD·cos45°＝5×＝5(cm).
∴⊙O的半径R＝5
cm.
综合题
18.如图1，2，3，…，m中，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
解：(1)连接OA，OB.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，
∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
∴△AOM≌△BON(SAS).
∴∠AOM＝∠BON.
∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM.
∴∠AOB＝∠MON＝120°.
(3)∠MON＝.
3.9 弧长及扇形的面积
基础题
知识点1 弧长公式及其应用(l＝)
1.(云南中考)已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为(C)
A.
B.2π
C.3π
D.12π
2.(自贡中考)一个扇形的半径为8
cm，弧长为π
cm，则扇形的圆心角为(B)
A.60°
B.120°
C.150°
D.180°
3.(包头中考)120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是(C)
A.3
B.4
C.9
D.18
4.(长春中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为(C)
A.π
B.π
C.π
D.π
5.(莆田中考)如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于点E，∠A＝30°，则的长为π(结果保留π).
6.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2
km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20
s，弯道有一块限速警示牌，限速为40
km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？(π取3)
解：l＝＝
km.
∴汽车的速度为÷＝60(km/h).
∵60
km/h＞40
km/h，
∴这辆汽车经过弯道时超速.
知识点2 扇形面积公式及其应用(S＝＝lR)
7.(新疆中考)一个扇形的圆心角是120°，面积为3π
cm2，那么这个扇形的半径是(B)
A.1
cm
B.3
cm
C.6
cm
D.9
cm
8.(资阳中考)钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是(A)
A.π
B.π
C.π
D.π
9.(青岛中考)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，长为25
cm，贴纸部分的宽BD为15
cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为(B)
A.175π
cm2
B.350π
cm2
C.π
cm2
D.150π
cm2
10.(邵阳中考)如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是π.
11.(河北中考)如图，将长为8
cm的铁丝首尾相接围成半径为2
cm的扇形，则S扇形＝4cm2.
中档题
12.(南充中考)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(A)
A.π
B.13π
C.25π
D.25
13.(莱芜中考)如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为(B)
A.π
B.2π
C.
D.4π
14.(天水中考)如图，△ABC是等边三角形，曲线CDEF叫做等边三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是4π.
15.(绥化中考)如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是π－1.
16.(河南中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为－π.
17.(苏州中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD，BD，CD.若BC＝6，∠BAC＝50°，求，的长度之和(结果保留π).
解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵BD＝CD＝BC，
∴△BDC为等边三角形.
∴∠DBC＝∠DCB＝60°.
∴∠DBE＝∠DCF＝55°.
∵BC＝6，∴BD＝CD＝6.
∴l＝l＝＝.
∴、的长度之和为＋＝.
综合题
18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，斜边AB＝2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，经过点C，求图中阴影部分的面积.
解：令OF交BC于点G，OE交AC于点H，
作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N.
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，
∴OC＝AB＝1，四边形OMCN是正方形.
∴OM＝ON＝.
∴S扇形FOE＝＝.
∵∠GOH＝∠MON＝90°，∴∠GOM＝∠HON.
在△OMG和△ONH中，
∴△OMG≌△ONH(ASA).
∴S四边形OGCH＝S正方形OMCN＝OM2＝()2＝.
∴S阴影＝－.
小专题(十一) 教材P101随堂练习T1的变式与应用
——和阴影部分面积有关的计算
教材母题：如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12
cm，其中有油的部分油面高6
cm，求截面上有油部分的面积(结果精确到0.1
cm2).
【解答】 连接AO，BO，过点O作OC⊥AB于点C.
由题意可知OC＝12－6＝6(cm)，OA＝12
cm.
∴sin∠OAC＝＝.
∴∠OAC＝30°，AC＝6
cm.
∴∠AOC＝60°，AB＝12
cm.
∴∠AOB＝120°.∴S扇形AOB＝×π×122＝48π(cm2)，
S△AOB＝AB·OC＝×12×6＝36(cm2).
∴
S＝S扇形AOB－S△AOB＝48π－36≈88.4(cm2).
∴截面上有油部分的面积约为88.4
cm2.
【方法归纳】 求阴影部分的面积有以下几种方法：
①直接用公式法；②和差法：计算某部分的面积，可以把这部分看作几部分的和或差，再分别利用公式计算，从而求得阴影部分的面积；③割补法：通过割或补，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积；④等积变形法：先利用平移、旋转、对称等全等变换，将不规则图形的面积转化为一个和它面积相等的规则图形的面积，再利用公式计算.
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MERGEFORMAT
1.(重庆中考)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是(A)
A.
B.＋
C.
D.＋
2.(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为(D)
A.2π
B.π
C.
D.
3.(资阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(A)
A.2－π
B.4－π
C.2－π
D.π
4.(内江中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为(C)
A.π－4
B.π－1
C.π－2
D.－2
5.如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是(B)
A.－
B.－
C.－
D.－
6.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是(B)
A.
B.
C.
D.
7.如图，半径为2
cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(A)
A.(－1)cm2
B.(＋1)cm2
C.1
cm2
D.
cm2
8.(襄阳中考)如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为π.
9.(遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2
cm，C为的中点，D，E分别是OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为(π＋－)cm2.
10.(淮安中考)如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(2，0)，∠COA＝60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.
(1)直接写出点F的坐标；
(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.
解：(1)F(－2，0).
(2)连接AC交OB于点M.
∵四边形OABC为菱形，∴OC＝OA，AC⊥OB.
∵OA＝2，∠COA＝60°，
∴△AOC为等边三角形.
∴AC＝2，OM＝，OB＝2.
∴S阴影＝S扇形OEB－2S△BOC＝－2××2×1＝4π－2.
11.(钦州中考)如图，点B，C，D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积.
解：(1)证明：连接OC，交BD于点E.
∵∠CDB＝30°，
∴∠BOC＝60°.
∵∠OBD＝30°，
∴∠OEB＝90°.
∵AC∥BD，∴AC⊥OC.
∴AC是⊙O的切线.
(2)在Rt△OBE中，OB＝6，∠OBD＝30°，
∴OE＝OB＝3.
∴BE＝3.∴BD＝2BE＝6.
(3)∵OE＝EC＝3，BE＝ED，∠OEB＝∠CED＝90°，
∴△OBE≌△CDE(SAS).∴S△OBE＝S△DEC.
∴S阴影＝S扇形OBC＝＝6π.
12.(襄阳中考)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2，
∠ABC＝90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA，
∴△ABF≌△CBE.
∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE.
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG.
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG.
∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG.
∴四边形EFGC是平行四边形.∴EF∥CG.
(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB＝BE＝AB＝1.
∴AF＝＝.
在△FEC和△CGF中，∵EC＝GF，∠ECF＝∠CFG，FC＝CF，∴△FEC≌△CGF.
∴S△FEC＝S△CGF.
∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG
＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－
＝－.
章末复习(三) 圆
基础题
知识点1 圆的有关概念
1.下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝(A)
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
知识点2 圆的对称性
3.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)
A.等边三角形
B.平行四边形
C.圆
D.正五边形
4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点，则∠ACD＝125°.
知识点3 垂径定理
5.如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，B不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝(B)
A.4
B.5
C.5.5
D.6
6.(六盘水中考)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1
400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝25米.
知识点4 圆周角定理及其推论
7.如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝(D)
A.80°
B.70°
C.60°
D.40°
8.如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100
m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为200m.
9.如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC.求证：DB＝DC.
证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE＝∠DCB.
又∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DCB＝∠DAC.
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC.
∴DB＝DC.
知识点5 三角形的外接圆与内切圆
10.如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC等于(D)
A.59°
B.31°
C.124°
D.121°
11.如图，已知等腰△ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为点O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数.
解：(1)如图.
(2)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD.
∵∠BOC＝128°，
∴∠BDC＝∠BOC＝64°.
∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.
知识点6 点、直线与圆的位置关系
12.(白银中考)已知⊙O的半径是6
cm，点O到同一平面内直线l的距离为5
cm，则直线l与⊙O的位置关系是(A)
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的(B)
A.3
B.4
C.5
D.6
知识点7 切线的性质与判定
14.(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为115°.
15.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为2.
16.(宿迁中考)如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠B∶∠C∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆.
图1
图2
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)当BD是⊙O的直径时(如图2)，求∠CAD的度数.
解：(1)证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.
∵∠B∶∠C∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠B＝∠CAD.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°.
∴∠EAD＝90°－∠E.
∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠B＝∠CAD.
∴∠EAD＋∠CAD＝90°，即∠EAD＋∠CAD＝90°.
∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线.
(2)∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°.∴∠B＋∠ADB＝90°.
∵∠B∶∠C∶∠ADB＝1∶2∶3，
∴4∠B＝90°.∴∠B＝22.5°.
由(1)知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.
知识点8 与圆有关的计算
17.(遵义中考)如图，半圆的圆心为点O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是(D)
A.12π
B.6π
C.5π
D.4π
18.已知扇形的圆心角为60°，半径长为12，则扇形的面积为(D)
A.π
B.2π
C.3π
D.24π
19.如图，已知⊙O的周长等于8π
cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为(B)
A.2
cm
B.2
cm
C.4
cm
D.4
cm
20.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F.
(1)求劣弧PC的长；(结果保留π)
(2)求阴影部分的面积.(结果保留π)
解：(1)∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB.
∵∠A＝30°，
∴∠POC＝∠AOD＝60°，
OA＝2OD.
∵PF⊥AC，
∴∠OPF＝30°.
∴OF＝OP.
∵OA＝OC，AD＝BD，
∴BC＝2OD.
∴OA＝BC＝2.
∴⊙O的半径为2.
∴劣弧PC的长为＝π.
(2)∵OF＝OP，
∴OF＝1.
∴PF＝＝.
∴S阴影＝S扇形－S△OPF＝－×1×
＝π－.
中档题
21.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于(C)
A.
B.
C.8
D.6
22.(巴彦淖尔中考)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为(A)
A.－
B.－π
C.2－
D.－
23.已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a∶b∶c的值为(C)
A.1∶2∶3
B.3∶2∶1
C.1∶∶
D.∶∶1
24.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是点P，DH⊥BH，垂足是点H，下列结论：①CH＝CP；②AD＝DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线.其中一定成立的是(D)
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
25.如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为.
26.已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝30°.
27.如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于点E，CD＝2，AE＝5.
(1)求⊙O半径r的值；
(2)点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD＝∠DOB时，求AF的长.
解：(1)∵AB为直径，点B为的中点，CD＝2，
∴AB⊥CD，DE＝CD＝.
在Rt△ODE中，
∵OD＝r，OE＝5－r，DE＝，
∴r2＝(5－r)2＋()2，解得r＝3.
(2)∵由(1)知，OE＝AE－AO＝5－3＝2，
∴tan∠FCE＝tan∠DOB＝＝.
在Rt△FCE中，∵tan∠FCE＝＝＝，
∴EF＝.
∴AF＝AE－EF＝5－＝.
28.(葫芦岛中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，线段FD，AB的延长线相交于点G.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CF＝1，DF＝，求图中阴影部分的面积.
解：(1)证明：连接AD，OD，∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
∴AD⊥BC.
∵AC＝AB，
∴点D为线段BC的中点.
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线.∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.∴DF是⊙O的切线.
(2)在Rt△CFD中，CF＝1，DF＝，
∴tanC＝＝，CD＝2.∴∠C＝60°.
∵AC＝AB，∴△ABC为等边三角形.∴AB＝4.
∵OD∥AC，∴∠DOG＝∠BAC＝60°.
∴DG＝OD·tan∠DOG＝2.
∴S阴影＝S△ODG－S扇形OBD
＝DG·OD－πOB2
＝2－π.
综合题
29.如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为点D，弧长等于弧长，BF与AD，AO分别交于点E，G.求证：
(1)∠DAO＝∠FBC；
(2)AE＝BE.
证明：(1)连接CF.
∵等于，O为圆心，
∴点G是BF的中点，OG⊥BF.
∵BC是半圆O的直径，
∴CF⊥BF.
∴OG∥CF.
∴∠AOB＝∠FCB.
∴∠DAO＝90°－∠AOB，∠FBC＝90°－∠FCB.
∴∠DAO＝∠FBC.
(2)连接AC，AB.
∵l＝l，
∴∠BCA＝∠ACF＝∠ABF.
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ABC＋∠BAD＝90°.
∴∠BAD＝∠BCA.
∴∠ABF＝∠BAD，
即BE＝AE.